Precesja żyroskopu pod wpływem sił zewnętrznych. Podstawowa teoria

Aby w czasie zachować niezmienne położenie osi obrotu ciała stałego, stosuje się łożyska, w których jest ono utrzymywane. Istnieją jednak osie obrotu ciał, które nie zmieniają swojej orientacji w przestrzeni bez działania na nią sił zewnętrznych. Te osie to tzw wolne osie(Lub osie swobodnego obrotu). Można udowodnić, że w dowolnym ciele istnieją trzy wzajemnie prostopadłe osie przechodzące przez środek masy ciała, które mogą służyć jako osie swobodne (tzw. główne osie bezwładności ciało). Na przykład główne osie bezwładności jednorodnego prostokątnego równoległościanu przechodzą przez środki przeciwległych ścian (ryc. 30). W przypadku jednorodnego cylindra jedną z głównych osi bezwładności jest jego oś geometryczna, a pozostałymi osiami mogą być dowolne dwie wzajemnie prostopadłe osie poprowadzone przez środek masy w płaszczyźnie prostopadłej do osi geometrycznej cylindra. Główne osie bezwładności piłki

są dowolnymi trzema wzajemnie prostopadłymi osiami przechodzącymi przez środek masy.

Dla stabilności obrotu duże znaczenie ma to, która z wolnych osi służy jako oś obrotu.

Można wykazać, że obrót wokół osi głównych z największymi i najmniejszymi momentami bezwładności okazuje się stabilny, natomiast obrót wokół osi z momentem średnim jest niestabilny. Tak więc, jeśli rzucisz ciało w kształcie równoległościanu, jednocześnie wprawiając je w obrót, to podczas upadku będzie ono stale obracało się wokół osi 1 I 2 (ryc. 30).

Jeśli np. drążek zostanie zawieszony na jednym końcu nici, a drugi koniec, przymocowany do wrzeciona maszyny odśrodkowej, zostanie wprawiony w gwałtowny obrót, wówczas drążek będzie obracał się w płaszczyźnie poziomej wokół osi pionowej prostopadłej do do osi drążka i przechodząc przez jego środek (ryc. 31). Jest to swobodna oś obrotu (moment bezwładności w tym położeniu drążka jest maksymalny). Jeśli teraz drążek obracający się wokół wolnej osi zostanie uwolniony od połączeń zewnętrznych (ostrożnie zdejmij górny koniec gwintu z haka wrzeciona), to położenie osi obrotu w przestrzeni utrzyma się przez pewien czas. Właściwość wolnych osi do utrzymywania ich położenia w przestrzeni jest szeroko wykorzystywana w technologii. Najciekawsze pod tym względem żyroskopy- masywne, jednorodne ciała obracające się z dużą prędkością kątową wokół swojej osi symetrii, która jest osią swobodną.

Rozważmy jeden z rodzajów żyroskopów - żyroskop montowany na przegubie Cardana (ryc. 32). Korpus w kształcie dysku - żyroskop - jest zamocowany na osi AA, który może obracać się wokół prostopadłej do niego osi poziomej NOCLEG ZE ŚNIADANIEM, które z kolei mogą obracać się wokół osi pionowej D.D. Wszystkie trzy osie przecinają się w jednym punkcie C, który jest środkiem masy żyroskopu i pozostaje nieruchomy, a oś żyroskopu może przyjmować dowolny kierunek w przestrzeni. Pomijamy siły tarcia w łożyskach wszystkich trzech osi oraz moment impulsu pierścieni.

Ponieważ tarcie w łożyskach jest małe, podczas gdy żyroskop jest nieruchomy, jego oś może mieć dowolny kierunek. Jeśli zaczniesz szybko obracać żyroskop (na przykład za pomocą liny owiniętej wokół osi) i obrócisz jego stojak, to oś żyroskopu utrzyma swoje położenie w przestrzeni bez zmian. Można to wyjaśnić wykorzystując podstawowe zasady dynamiki ruchu obrotowego. W przypadku swobodnie obracającego się żyroskopu siła grawitacji nie może zmienić orientacji jego osi obrotu, ponieważ siła ta jest przyłożona do środka masy (środek obrotu C pokrywa się ze środkiem masy), a moment ciężkości względny do ustalonego środka masy wynosi zero. Pomijamy także moment sił tarcia. Jeżeli zatem moment sił zewnętrznych względem ustalonego środka masy wynosi zero, to zgodnie z równaniem (19.3) L =

Const, tj. moment pędu żyroskopu zachowuje swoją wielkość i kierunek w przestrzeni. Dlatego razem Z zachowuje swoje położenie w przestrzeni i oś żyroskopu.

Aby oś żyroskopu zmieniła swój kierunek w przestrzeni, konieczne jest, zgodnie z (19.3), aby moment sił zewnętrznych był różny od zera. Jeżeli moment sił zewnętrznych przyłożonych do obracającego się żyroskopu względem jego środka masy jest różny od zera, to zachodzi zjawisko zwane efekt żyroskopowy. Polega na tym, że pod wpływem pary sił F, przyłożony do osi obracającego się żyroskopu, oś żyroskopu (ryc. 33) obraca się wokół linii prostej O 3 O 3, a nie wokół linii prostej O 2 O 2 , jak naturalne mogłoby się to wydawać na pierwszy rzut oka (O 1 O 1 I O 2 O 2 leżą w płaszczyźnie rysunku, a O 3 O 3 i siły F prostopadle do niego).

Efekt żyroskopowy wyjaśniono w następujący sposób. Za chwilę M pary sił F skierowany wzdłuż linii prostej O 2 O 2 . W czasie dt moment impulsu Lżyroskop otrzyma przyrost d L = M dt (kierunek d L pokrywa się z kierunkiem M) i staną się równe L"=L+d L. Kierunek wektora L" pokrywa się z nowym kierunkiem osi obrotu żyroskopu. Zatem oś obrotu żyroskopu będzie obracać się wokół linii prostej O 3 O 3. Jeśli czas działania siły jest krótki, to chociaż moment siły M i duże, zmiana momentu pędu d LŻyroskop również będzie dość mały. Dlatego krótkotrwałe działanie sił praktycznie nie prowadzi do zmiany orientacji osi obrotu żyroskopu w przestrzeni. Aby to zmienić, należy zastosować siłę przez długi czas.

Jeżeli oś żyroskopu jest ustalona za pomocą łożysk, to na skutek efektu żyroskopowego, tzw. siły żyroskopowe, działające na podpory, w których obraca się oś żyroskopu. Ich działanie musi być brane pod uwagę przy projektowaniu urządzeń zawierających szybko obracające się masywne elementy. Siły żyroskopowe mają sens tylko w obracającym się układzie odniesienia i stanowią szczególny przypadek siły bezwładności Coriolisa (patrz §27).

Żyroskopy są stosowane w różnych żyroskopowych urządzeniach nawigacyjnych (żyrokompas, żyrohoryzont itp.). Kolejnym ważnym zastosowaniem żyroskopów jest utrzymywanie zadanego kierunku ruchu pojazdów np. statku (autopilot) i samolotu (autopilot) itp. W przypadku wszelkich odchyleń od kursu pod wpływem jakiegoś wpływu (fala, podmuch wiatru itp.) .), położenie osi Żyroskop w przestrzeni zostaje zachowane. W efekcie oś żyroskopu wraz z ramami przegubu obrotowego obraca się względem poruszającego się urządzenia. Obracanie ram gimbala za pomocą odpowiednich urządzeń włącza stery kierunku, które przywracają ruch na zadany kurs.

Żyroskop został po raz pierwszy użyty przez francuskiego fizyka J. Foucaulta (1819-1868) do udowodnienia obrotu Ziemi.

Doświadczenie pokazuje, że ruch precesyjny żyroskopu pod wpływem sił zewnętrznych jest na ogół bardziej złożony niż opisany powyżej w ramach teorii elementarnej. Jeśli naciśniesz żyroskop, co zmieni kąt (patrz ryc. 4.6), to precesja nie będzie już jednolita (często mówi się: regularna), ale będą jej towarzyszyć niewielkie obroty i drżenie górnej części żyroskopu - nutacje. Aby je opisać, należy wziąć pod uwagę niedopasowanie wektora całkowitego momentu pędu L, chwilową prędkość kątową obrotu i oś symetrii żyroskopu.

Dokładna teoria żyroskopu wykracza poza zakres ogólnego kursu fizyki. Z relacji wynika, że ​​koniec wektora L zmierzając w kierunku M, czyli prostopadle do pionu i osi żyroskopu. Oznacza to, że rzuty wektora L w pionie i na osi żyroskopu pozostają stałe. Kolejną stałą jest energia

(4.14)

Gdzie - energia kinetycznażyroskop Wyrażając kąty Eulera i ich pochodne, możemy użyć Równania Eulera, opisują analitycznie ruch ciała.

Wynik tego opisu jest następujący: wektor momentu pędu L opisuje stożek precesji nieruchomy w przestrzeni, a jednocześnie oś symetrii żyroskopu porusza się wokół wektora L wzdłuż powierzchni stożka nutacji. Wierzchołek stożka nutacji, podobnie jak wierzchołek stożka precesji, znajduje się w punkcie mocowania żyroskopu, a oś stożka nutacji pokrywa się w kierunku L i porusza się razem z nim. Prędkość kątową nutacji określa się na podstawie wyrażenia

(4.15)

gdzie i są momentami bezwładności korpusu żyroskopu względem osi symetrii oraz względem osi przechodzącej przez punkt podparcia i prostopadłej do osi symetrii oraz są prędkością kątową obrotu wokół osi symetrii (porównaj z ( 3,64)).

Zatem oś żyroskopu bierze udział w dwóch ruchach: nutacyjnym i precesyjnym. Trajektorie bezwzględnego ruchu wierzchołka żyroskopu są skomplikowanymi liniami, których przykłady przedstawiono na ryc. 4.7.

Ryż. 4.7.

Charakter trajektorii, po której porusza się górna część żyroskopu, zależy od warunków początkowych. W przypadku rys. 4.7a żyroskop obrócono wokół osi symetrii, umieszczono na stojaku pod pewnym kątem do pionu i ostrożnie puszczono. W przypadku rys. 4.7b dodatkowo popchnięto go do przodu, a w przypadku ryc. 4,7 V - cofnij się wzdłuż precesji. Krzywe na ryc. 4.7 są dość podobne do cykloid, które opisuje punkt na obrzeżu koła toczącego się po płaszczyźnie bez poślizgu lub z poślizgiem w tym czy innym kierunku. I tylko poprzez początkowe naciśnięcie żyroskopu o bardzo określonej wielkości i kierunku można osiągnąć precesję osi żyroskopu bez nutacji. Im szybciej obraca się żyroskop, tym większa jest prędkość kątowa nutacji i mniejsza ich amplituda. Przy bardzo szybkich obrotach nutacje stają się niemal niewidoczne dla oka.

Może się to wydawać dziwne: dlaczego żyroskop po odkręceniu, ustawiony pod kątem do pionu i puszczony, nie spada pod wpływem grawitacji, ale porusza się na boki? Skąd bierze się energia kinetyczna ruchu precesyjnego?

Odpowiedzi na te pytania można uzyskać jedynie w ramach dokładnej teorii żyroskopów. W rzeczywistości żyroskop faktycznie zaczyna spadać, a ruch precesyjny pojawia się jako konsekwencja prawa zachowania momentu pędu. W rzeczywistości odchylenie osi żyroskopu w dół prowadzi do zmniejszenia rzutu momentu pędu w kierunku pionowym. Spadek ten musi być kompensowany przez moment pędu związany z precesyjnym ruchem osi żyroskopu. Z energetycznego punktu widzenia energia kinetyczna precesji pojawia się w wyniku zmian energii potencjalnej żyroskopów

Jeżeli z powodu tarcia w podporze nutacje wygasają szybciej niż obrót żyroskopu wokół osi symetrii (z reguły tak się dzieje), to wkrótce po „uruchomieniu” żyroskopu nutacje znikają i są czyste pozostaje precesja (ryc. 4.8). W tym przypadku kąt nachylenia osi żyroskopu do pionu okazuje się większy niż na początku, czyli energia potencjalna żyroskopu maleje. Zatem oś żyroskopu musi się nieco obniżyć, aby móc wykonać precesję wokół osi pionowej.

Ryż. 4.8.

Siły żyroskopowe.

Przejdźmy do prostego eksperymentu: weź w ręce wał AB z zamontowanym na nim kołem C (ryc. 4.9). Dopóki koło nie jest odkręcone, nie jest trudno obrócić wał w przestrzeni w dowolny sposób. Ale jeśli koło się kręci, to próby obrócenia wału na przykład w płaszczyźnie poziomej z małą prędkością kątową prowadzą do ciekawego efektu: wał ma tendencję do wymykania się z rąk i obracania się w płaszczyźnie pionowej; działa na ręce z pewnymi siłami i (ryc. 4.9). Utrzymanie wału z obracającym się kołem w płaszczyźnie poziomej wymaga znacznego wysiłku fizycznego.

Obróćmy żyroskop wokół niego wokół jego osi symetrii do dużej prędkości kątowej (momentu pędu L) i zaczynamy obracać ramę z zamontowanym w niej żyroskopem wokół osi pionowej OO" z określoną prędkością kątową jak pokazano na rys. 4.10. Moment pędu L, otrzyma przyrost, który musi zapewnić moment siły M, przyłożony do osi żyroskopu. Za chwilę M, z kolei tworzony jest przez parę sił, które powstają podczas wymuszonego obrotu osi żyroskopu i działają na oś od strony ramy. Zgodnie z trzecim prawem Newtona oś działa na ramę siłami (ryc. 4.10). Siły te nazywane są żyroskopowymi; tworzą moment żyroskopowy Nazywa się występowaniem sił żyroskopowych efekt żyroskopowy. To właśnie te siły żyroskopowe odczuwamy, próbując obrócić oś obracającego się koła (ryc. 4.9).

gdzie jest prędkością kątową wymuszonego obrotu (czasami nazywanego wymuszoną precesją). Po stronie osi na łożyska działa moment przeciwny

(4.)

Zatem wał żyroskopu pokazany na ryc. 4.10, zostanie dociśnięty do góry w łożysku B i wywrze nacisk na spód łożyska A.

Kierunek sił żyroskopowych można łatwo znaleźć, korzystając z reguły sformułowanej przez N.E. Żukowski: Siły żyroskopowe mają tendencję do łączenia momentu pędu Lżyroskop z kierunkiem prędkości kątowej wymuszonego skrętu. Zasadę tę można wyraźnie wykazać wykorzystując urządzenie pokazane na ryc. 4.11.

ŻYROSKOP
urządzenie nawigacyjne, którego głównym elementem jest szybko obracający się wirnik, zamocowany w taki sposób, że można obracać jego oś obrotu. Trzy stopnie swobody (osie możliwego obrotu) wirnika żyroskopu zapewniają dwie ramy przegubowe. Jeśli na takie urządzenie nie wpływają zakłócenia zewnętrzne, to oś obrotu własnego wirnika utrzymuje stały kierunek w przestrzeni. Jeśli działa na niego moment siły zewnętrznej, zmierzającej do obrotu osi własnego obrotu, wówczas zaczyna się on obracać nie wokół kierunku momentu, ale wokół osi prostopadłej do niego (precesja).

W dobrze wyważonym (astatycznym) i dość szybko obracającym się żyroskopie, osadzonym na wysoce zaawansowanych łożyskach o znikomym tarciu, moment sił zewnętrznych praktycznie nie występuje, dzięki czemu żyroskop przez długi czas zachowuje swoją orientację w przestrzeni niemal niezmienioną. Może zatem wskazywać kąt obrotu podstawy, na której jest zamocowany. W ten sposób francuski fizyk J. Foucault (1819-1868) jako pierwszy wyraźnie zademonstrował obrót Ziemi. Jeśli obrót osi żyroskopu jest ograniczony przez sprężynę, to jeśli zostanie ona odpowiednio zamontowana, np. w samolocie wykonującym zakręt, żyroskop będzie odkształcał sprężynę aż do momentu zrównoważenia się siły zewnętrznej. W tym przypadku siła ściskająca lub rozciągająca sprężynę jest proporcjonalna do prędkości kątowej samolotu. Taka jest zasada działania kierunkowskazu samolotu i wielu innych urządzeń żyroskopowych. Ponieważ w łożyskach występuje bardzo małe tarcie, utrzymanie wirnika żyroskopu w ruchu nie wymaga dużej ilości energii. Do wprawienia go w ruch obrotowy i utrzymania obrotów zazwyczaj wystarczy silnik elektryczny małej mocy lub strumień sprężonego powietrza.
Aplikacja.Żyroskop stosowany jest najczęściej jako czuły element wskazujący urządzeń żyroskopowych oraz jako czujnik kąta obrotu lub prędkości kątowej w urządzeniach automatyki. W niektórych przypadkach, np. w żyrostabilizatorach, żyroskopy wykorzystuje się jako generatory momentu obrotowego lub energii.
Zobacz też KOŁO ZAMACHOWE. Główne obszary zastosowań żyroskopów to żegluga, lotnictwo i astronautyka (patrz NAWIGACJA INERTYCZNA). Prawie każdy statek dalekomorski wyposażony jest w żyrokompas do ręcznego lub automatycznego sterowania statkiem, niektóre są wyposażone w stabilizatory żyroskopowe. W systemach kierowania ogniem artylerii morskiej istnieje wiele dodatkowych żyroskopów, które zapewniają stabilny układ odniesienia lub mierzą prędkości kątowe. Bez żyroskopów automatyczne sterowanie torpedami jest niemożliwe. Samoloty i helikoptery są wyposażone w urządzenia żyroskopowe, które dostarczają wiarygodnych informacji dla systemów stabilizacji i nawigacji. Do takich instrumentów zalicza się wskaźnik położenia przestrzennego, żyroskopowy i żyroskopowy wskaźnik przechyłu i skrętu. Żyroskopy mogą być urządzeniami wskazującymi lub czujnikami autopilota. Wiele samolotów jest wyposażonych w stabilizowane żyroskopowo kompasy magnetyczne i inny sprzęt - celowniki nawigacyjne, kamery z żyroskopem, żyrosekstanty. W lotnictwie wojskowym żyroskopy wykorzystuje się także w celownikach strzeleckich i bombardowań. Żyroskopy do różnych celów (nawigacyjnych, energetycznych) produkowane są w różnych rozmiarach w zależności od warunków pracy i wymaganej dokładności. W urządzeniach żyroskopowych średnica wirnika wynosi 4-20 cm, z mniejszą wartością w urządzeniach lotniczych. Średnice wirników żyrostabilizatorów okrętowych mierzone są w metrach.
PODSTAWOWE KONCEPCJE
Efekt żyroskopowy powstaje w wyniku tej samej siły odśrodkowej, która działa na bączek, na przykład na stole. W miejscu oparcia blatu o stół powstaje siła i moment, pod wpływem którego oś obrotu blatu odchyla się od pionu oraz siła odśrodkowa obracającej się masy, uniemożliwiająca zmianę orientacji płaszczyzny obrotu, wymusza obrót blatu wokół pionu, utrzymując w ten sposób zadaną orientację w przestrzeni. Przy tym obrocie, zwanym precesją, wirnik żyroskopu reaguje na przyłożony moment siły wokół osi prostopadłej do osi własnego obrotu. Udział mas wirnika w tym efekcie jest proporcjonalny do kwadratu odległości od osi obrotu, gdyż im większy promień, tym większe jest, po pierwsze, przyspieszenie liniowe, a po drugie, przełożenie siły odśrodkowej. Wpływ masy i jej rozkład w wirniku charakteryzuje się „momentem bezwładności”, tj. wynik zsumowania iloczynów wszystkich mas składowych przez kwadrat odległości do osi obrotu. Pełny efekt żyroskopowy obracającego się wirnika jest określony przez jego „moment kinetyczny”, tj. iloczyn prędkości kątowej (w radianach na sekundę) i momentu bezwładności względem osi obrotu własnego wirnika. Moment kinetyczny jest wielkością wektorową, która ma nie tylko wartość liczbową, ale także kierunek. Na ryc. 1 moment kinetyczny jest oznaczony strzałką (której długość jest proporcjonalna do wielkości momentu) skierowaną wzdłuż osi obrotu zgodnie z „regułą świdra”: gdzie świder jest zasilany, jeśli jest obrócony w kierunku obrót rotora. Precesję i moment obrotowy charakteryzują także wielkości wektorowe. Kierunek wektora prędkości kątowej precesji i wektora momentu obrotowego są powiązane regułą świdra z odpowiednim kierunkiem obrotu.
Zobacz też WEKTOR.
ŻYROSKOP O TRZECH STOPNIACH SWOBODY
Na ryc. Rysunek 1 przedstawia uproszczony schemat kinematyczny żyroskopu z trzema stopniami swobody (trzy osie obrotu), a kierunki obrotu pokazano na nim zakrzywionymi strzałkami. Moment kinetyczny jest reprezentowany przez grubą, prostą strzałkę skierowaną wzdłuż osi obrotu własnego wirnika. Moment siły przykładany jest poprzez naciśnięcie palca tak, aby miał składową prostopadłą do osi obrotu własnego wirnika (druga siła pary tworzona jest przez pionowe półosie zamocowane w ramie, która jest połączona z podstawą ). Zgodnie z prawami Newtona taki moment siły musi wytworzyć moment kinetyczny, który pokrywa się z nim w kierunku i jest proporcjonalny do jego wielkości. Ponieważ moment kinetyczny (związany z własnym obrotem wirnika) ma stałą wartość (poprzez ustawienie stałej prędkości kątowej w, powiedzmy, silniku elektrycznym), to wymaganie praw Newtona można spełnić jedynie poprzez obrót osi obrotu (w kierunku wektor momentu zewnętrznego), co prowadzi do zwiększenia rzutu momentu kinetycznego na tę oś. Rotacja ta jest precesją omówioną wcześniej. Szybkość precesji wzrasta wraz ze wzrostem zewnętrznego momentu obrotowego i maleje wraz ze wzrostem momentu kinetycznego wirnika.
Żyroskopowy wskaźnik kursu. Na ryc. Rysunek 2 przedstawia przykład zastosowania trzystopniowego żyroskopu w lotniczym wskaźniku kursu (półkompas żyroskopowy). Obrót wirnika w łożyskach kulkowych wytwarzany jest i utrzymywany przez strumień sprężonego powietrza skierowany na rowkowaną powierzchnię felgi. Ramy wewnętrzne i zewnętrzne gimbala zapewniają pełną swobodę obrotu osi obrotu własnego wirnika. Korzystając ze skali azymutu dołączonej do ramki zewnętrznej, można wprowadzić dowolną wartość azymutu, zrównując oś obrotu własnego wirnika z podstawą urządzenia. Tarcie w łożyskach jest na tyle znikome, że po wpisaniu tej wartości azymutu oś obrotu wirnika utrzymuje zadaną pozycję w przestrzeni, a za pomocą strzałki umieszczonej na podstawie można sterować obrotem samolotu na azymucie skala. Wskazania skrętu nie wykazują żadnych odchyleń innych niż efekty dryfu związane z niedoskonałościami mechanizmu i nie wymagają komunikacji z zewnętrznymi (np. naziemnymi) pomocami nawigacyjnymi.

Tłumienie wiskotyczne. Aby stłumić wyjściowy moment siły względem osi żyroskopu dwustopniowego, można zastosować tłumienie wiskotyczne. Schemat kinematyczny takiego urządzenia pokazano na ryc. 5; różni się od schematu na ryc. 4, ponieważ nie ma przeciwsprężyny, a amortyzator wiskotyczny jest zwiększony. Kiedy takie urządzenie obraca się ze stałą prędkością kątową wokół osi wejściowej, moment wyjściowy żyroskopu powoduje precesję ramy wokół osi wyjściowej. Odejmując skutki reakcji bezwładności (bezwładność ramy wiąże się głównie z niewielkim opóźnieniem reakcji), moment ten równoważy się momentem sił lepkiego oporu wytwarzanych przez amortyzator. Moment tłumika jest proporcjonalny do prędkości kątowej obrotu ramy względem nadwozia, zatem moment wyjściowy żyroskopu jest również proporcjonalny do tej prędkości kątowej. Ponieważ ten wyjściowy moment obrotowy jest proporcjonalny do wejściowej prędkości kątowej (przy małych kątach wyjściowych ramy), wyjściowy kąt ramy wzrasta wraz z obrotem korpusu wokół osi wejściowej. Strzałka poruszająca się po skali (ryc. 5) wskazuje kąt obrotu ramy. Odczyty są proporcjonalne do całki prędkości kątowej obrotu względem osi wejściowej w przestrzeni inercyjnej, a zatem do urządzenia, którego schemat pokazano na ryc. 5 nazywany jest integrującym dwustopniowym czujnikiem żyroskopowym.

Encyklopedia Colliera. - Społeczeństwo otwarte. 2000 .

1. Wolne osie obrotu. Rozważmy dwa przypadki obrotu pręta wokół osi przechodzącej przez środek masy.

Jeśli odkręcisz pręt względem osi O.O. i zostawmy to sobie, czyli uwolnijmy oś obrotu od łożysk, to w przypadku rys. 71-a zmieni się orientacja osi swobodnego obrotu względem pręta, gdyż pręt pod wpływ pary sił odśrodkowych bezwładności rozwinie się w płaszczyźnie poziomej. W przypadku rys. 71-b moment pary sił odśrodkowych wynosi zero, zatem nieskręcony pręt będzie się nadal obracał wokół osi OO i po jej zwolnieniu.

Oś obrotu, której położenie w przestrzeni jest utrzymywane bez działania jakichkolwiek sił zewnętrznych, nazywana jest swobodną osią obracającego się ciała. W konsekwencji oś prostopadła do pręta i przechodząca przez jego środek masy jest swobodną osią obrotu pręta.

Każde ciało sztywne ma trzy wzajemnie prostopadłe swobodne osie obrotu, przecinające się w środku masy. Położenie wolnych osi ciał jednorodnych pokrywa się z położeniem ich geometrycznych osi symetrii (ryc. 72).

Nazywane są również wolne osie obrotu główne osie bezwładności. Gdy ciała obracają się swobodnie wokół głównych osi bezwładności, stabilne są tylko obroty wokół tych osi, które odpowiadają maksymalnej i minimalnej wartości momentu bezwładności. Jeżeli na ciało działają siły zewnętrzne, to obrót jest stabilny tylko wokół osi głównej, której odpowiada maksymalny moment bezwładności.

2. Żyroskop(z greckiego żyruo- Kręcę się i skopeo– rozumiem) jest jednorodnym ciałem obrotowym szybko obracającym się wokół osi symetrii, której oś może zmieniać swoje położenie w przestrzeni.

Badając ruch żyroskopu, zakładamy, że:

A. Środek masy żyroskopu pokrywa się z jego punktem stałym O. Ten żyroskop nazywa się zrównoważony.

B. Prędkość kątowa w obrót żyroskopu wokół osi jest znacznie większy niż prędkość kątowa W ruchu osi w przestrzeni, czyli w >> W.

B. Wektor momentu pędu żyroskopu L pokrywa się z wektorem prędkości kątowej w , ponieważ żyroskop obraca się wokół głównej osi bezwładności.

Niech na oś żyroskopu działa siła F w czasie D T. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki ruchu obrotowego, zatem zmiana momentu pędu żyroskopu w tym czasie (26.1)

Gdzie R – wektor promienia narysowany od stałego punktu O do punktu działania siły (ryc. 73).

Zmianę momentu pędu żyroskopu można uznać za obrót osi żyroskopu o kąt z prędkością kątową . (26.2)

Oto składowa siły działającej na niego prostopadle do osi żyroskopu.

Pod przymusem F przyłożona do osi żyroskopu, oś obraca się nie w kierunku siły, ale w kierunku momentu siły M względem stałego punktu O. W dowolnym momencie prędkość obrotu osi żyroskopu jest proporcjonalna pod względem wielkości do momentu siły, a przy stałym ramieniu siły jest proporcjonalna do samej siły. Zatem, ruch osi żyroskopu jest pozbawiony bezwładności. Jest to jedyny przypadek ruchu bez bezwładności w mechanice.

Ruch osi żyroskopu pod wpływem siły zewnętrznej nazywa się wymuszonym precesjażyroskop (od łacińskiego praecessio – ruch do przodu).

3. Działanie uderzeniowe na oś żyroskopu. Wyznaczmy przemieszczenie kątowe osi żyroskopu na skutek krótkotrwałego działania siły na oś, czyli uderzenia. Pozwól na krótki czas dt do osi żyroskopu w pewnej odległości R od centrum O działa siła F . Pod wpływem impulsu tej siły F dt oś obraca się (ryc. 74) w kierunku wytworzonego przez nią momentu impulsu siły M dt pod pewnym kątem

dq = W dt=(rF/Iw)dt. (26.3)

Jeśli punkt przyłożenia siły się nie zmieni, to R= const i po całkowaniu otrzymujemy. q = .(26.4)

Całka w każdym przypadku zależy od rodzaju funkcji ( T). W normalnych warunkach prędkość kątowa obrotu żyroskopu jest bardzo duża, dlatego licznik jest najczęściej znacznie mniejszy od mianownika, a zatem kąt Q– mała wartość. Szybko obracający się żyroskop jest odporny na uderzenia – im większy, tym większy jest jego moment pędu.

4. Co ciekawe, siła, pod jaką następuje precesja osi żyroskopu, nie wykonuje żadnej pracy. Dzieje się tak, ponieważ punkt żyroskopu, do którego przykładana jest siła, w dowolnym momencie przemieszcza się w kierunku prostopadłym do kierunku siły. Dlatego iloczyn skalarny siły i wektora małego przemieszczenia wynosi zawsze zero.

Siły w tej manifestacji nazywane są żyroskopowy. Zatem siła Lorentza działająca na cząstkę naładowaną elektrycznie od strony pola magnetycznego, w którym się ona porusza, ma zawsze charakter żyroskopowy.

5. Stan równowagi PP. Aby przekładnik prądowy był w równowadze konieczne jest, aby suma sił zewnętrznych i suma momentów sił zewnętrznych była równa zeru:

. (26.5)

Istnieją 4 rodzaje równowagi: stabilny, niestabilny, w kształcie siodła i obojętny.

A. Położenie równowagi TP jest stabilne, jeśli przy niewielkich odchyleniach od równowagi siły zaczynają działać na ciało, dążąc do przywrócenia go do położenia równowagi.

Rysunek 75 przedstawia sytuacje stabilnej równowagi ciał w polu grawitacyjnym. Siły grawitacyjne są siłami masowymi, zatem wypadkowa sił grawitacyjnych działających na elementy punktowe TT przykładana jest do środka masy. W takich sytuacjach środek masy nazywany jest środkiem ciężkości.

Stabilna pozycja równowagi odpowiada minimalnej energii potencjalnej ciała.

B. Jeżeli przy niewielkich odchyleniach od położenia równowagi na ciało zaczną działać siły w kierunku od równowagi, wówczas położenie równowagi jest niestabilne. Niestabilna pozycja równowagi odpowiada względnemu maksimum energii potencjalnej ciała (ryc. 76).

V. Równowaga siodłowa ma miejsce wtedy, gdy ciało porusza się po jednym stopniu swobody, a równowaga jest stabilna, a gdy porusza się po innym stopniu swobody, jest niestabilna. W sytuacji pokazanej na rysunku 77 położenie ciała względem współrzędnej X jest stabilny i względem współrzędnej y– niestabilny.

G. Jeżeli podczas odchylenia ciała od położenia równowagi nie powstają siły, które mają tendencję do przemieszczania ciała w tę czy inną stronę, wówczas położenie równowagi nazywa się obojętnym. Np. kula w polu grawitacyjnym na powierzchni ekwipotencjalnej, ciało sztywne zawieszone w punkcie środka masy (w punkcie środka ciężkości) (ryc. 78).

§ 89. Żyroskop swobodny i jego podstawowe właściwości

Żyroskop to ciało szybko obracające się wokół własnej osi symetrii, a oś, wokół której następuje obrót, może zmieniać swoje położenie w przestrzeni. Żyroskop to masywny dysk, który w niemal wszystkich współczesnych urządzeniach nawigacyjnych napędzany jest elektrycznie, będąc wirnikiem silnika elektrycznego.

Ryż. 120.

Żyroskop, który może obracać się wokół trzech określonych osi, nazywany jest żyroskopem o trzech stopniach swobody. Punkt przecięcia tych osi nazywany jest punktem zawieszenia żyroskopu. Nazywa się żyroskop o trzech stopniach swobody, w którym środek ciężkości całego układu składającego się z wirnika i pierścieni kardana pokrywa się z punktem zawieszenia zrównoważony, lub AC statyczny,żyroskop.

Nazywa się zrównoważonym żyroskopem, do którego nie przykładane są żadne zewnętrzne momenty obrotowe bezpłatnyżyroskop.

Dzięki szybkiemu obrotowi swobodny żyroskop zyskuje właściwości powszechnie stosowane we wszystkich urządzeniach żyroskopowych. Głównymi właściwościami swobodnego żyroskopu są właściwości stabilności i precesji.

Po pierwsze, główna oś swobodnego żyroskopu ma tendencję do utrzymywania pierwotnie nadanego jej kierunku względem przestrzeni świata. Stabilność osi głównej jest tym większa, im dokładniej środek ciężkości układu pokrywa się z punktem zawieszenia, tym mniejsza siła tarcia w osiach gimbala oraz im większa jest masa żyroskopu, jego średnica i prędkość obrotowa . Wielkość charakteryzująca żyroskop od strony jakościowej nazywana jest momentem kinetycznym żyroskopu i jest wyznaczana przez iloczyn momentu bezwładności żyroskopu i jego prędkości kątowej obrotu, tj.

Q jest prędkością kątową obrotu.

Projektując urządzenia żyroskopowe, dążą do uzyskania znacznej wartości momentu kinetycznego H poprzez nadanie wirnikowi żyroskopu specjalnego profilu, a także zwiększenie prędkości kątowej jego obrotu. Zatem w nowoczesnych żyrokompasach wirniki żyromotorów mają prędkość obrotową od 6000 do 30 000 obr./min.

Ryż. 121.

Tę właściwość żyroskopu po raz pierwszy zademonstrował słynny francuski fizyk Leon Foucault w 1852 roku. On również wpadł na pomysł wykorzystania żyroskopu jako urządzenia do określania kierunku ruchu i określania szerokości geograficznej statku na morzu.

Właściwość precesji polega na tym, że pod działaniem siły przyłożonej do pierścieni kardana główna oś żyroskopu porusza się w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku siły (ryc. 121).

Ten ruch żyroskopu nazywa się precesyjnym. Ruch precesyjny będzie występował przez cały czas działania siły zewnętrznej i zatrzymuje się po ustaniu jej działania. Kierunek ruchu precesyjnego wyznacza się za pomocą reguły biegunów, która jest sformułowana następująco: po przyłożeniu do żyroskopu momentu siły zewnętrznej, biegun żyroskopu najkrótszą drogą dąży do bieguna siły. Biegunem żyroskopu jest ten koniec jego głównej osi, od którego obserwuje się, że obrót żyroskopu następuje w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Biegun siły to koniec osi żyroskopu, względem którego przyłożona siła zewnętrzna powoduje obrót żyroskopu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Na ryc. Strzałka wskazuje ruch precesyjny żyroskopu.

Prędkość kątową precesji można obliczyć ze wzoru