Twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego. Ilość ruchu

§1. Pęd układu (impuls układu)

Ilość ruchu (impuls ciała) – wektorowa wielkość fizyczna równa iloczynowi masy ciała i jego prędkości:

Impuls (ilość ruchu) jest jedną z najbardziej podstawowych cech ruchu ciała lub układu ciał.

Napiszmy II Prawo Newtona w innej formie, biorąc pod uwagę to przyspieszenie Zatem zatem

Iloczyn siły i czasu jej działania jest równy przyrostowi pędu ciała:

Gdzie- impuls siły, który pokazuje, że skutek działania siły zależy nie tylko od jej wartości, ale także od czasu jej działania.

Wielkość ruchu układu (impuls) będzie nazywana wielkością wektorową , równa sumie geometrycznej (wektorowi głównemu) wielkości ruchu (impulsów) wszystkich punktów układu (ryc. 2):

Z rysunku jasno wynika, że ​​niezależnie od wartości prędkości punktów układu (chyba że prędkości te są równoległe), wektormoże przyjmować dowolne wartości, a nawet być równe zeru, gdy wielokąt zbudowany jest z wektorów, Zamknie. Dlatego w rozmiarzenie da się w pełni ocenić charakteru ruchu układu.

Ryc.2. Ilość ruchu systemu

§2. Twierdzenie o zmianie pędu (pędu)

Niech przez pewien krótki czas Δt na ciało o masie m działa siła, pod wpływem której prędkość ciała zmienia się o Zatem w czasie Δt ciało poruszało się z przyspieszeniem:

Z podstawowej zasady dynamiki(Drugie prawo Newtona) jest następujące:

§3. Prawo zachowania pędu (prawo zachowania pędu)

Z twierdzenia o zmianie pędu układu można wyciągnąć następujące ważne wnioski:

1) Niech suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ zamknięty będzie równa zero:

Następnie z równania. wynika z tego, że Q = = konst. Zatem, jeśli suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ zamknięty jest równa zeru, wówczas wektor pędu (pędu) układu będzie stały pod względem wielkości i kierunku.

2) Niech siły zewnętrzne działające na układ będą takie, że suma ich rzutów na jakąś oś (np O X ) jest równe zeru:

Następnie z równania.z tego wynika, że ​​w tym przypadkuQx= konst. Jeżeli więc suma rzutów wszystkich działających sił zewnętrznych na dowolną oś jest równa zeru, to rzut wielkości ruchu (pędu) układu na tę oś jest wartością stałą.

Te wyniki wyrażają prawo zachowania pędu układu: dla dowolnego charakteru oddziaływania ciał tworzących układ zamknięty, wektor pędu całkowitego tego układu pozostaje przez cały czas stały.

Wynika z nich, że siły wewnętrzne nie mogą zmienić całkowitej wielkości ruchu układu.

Prawo zachowania pędu całkowitego izolowanego układu jest uniwersalnym prawem natury. W bardziej ogólnym przypadku, gdy system nie jest zamknięty, odwynika z tego, że całkowity pęd układu z otwartą pętlą nie pozostaje stały. Jego zmiana w jednostce czasu jest równa sumie geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych.

Spójrzmy na kilka przykładów:

a) Zjawisko odrzutu lub odrzutu. Jeśli potraktujemy karabin i kulę jako jeden układ, wówczas ciśnienie gazów proszkowych podczas strzału będzie siłą wewnętrzną. Siła ta nie może zmienić całkowitego pędu układu. Ponieważ jednak gazy prochowe, działając na kulę, nadają jej pewien ruch skierowany do przodu, muszą jednocześnie nadać karabinowi taki sam ruch w przeciwnym kierunku. Spowoduje to cofnięcie się karabinu, tj. tzw powrót. Podobne zjawisko występuje podczas strzelania z broni (cofanie).

b) Działanie śmigła (śmigła). Śmigło wprawia w ruch pewną masę powietrza (lub wody) wzdłuż osi śmigła, odrzucając tę ​​masę z powrotem. Jeżeli potraktujemy masę rzuconą i samolot (lub statek) jako jeden układ, wówczas siły oddziaływania śmigła z otoczeniem, jako siły wewnętrzne, nie są w stanie zmienić całkowitej wielkości ruchu tego układu. Dlatego też, gdy masa powietrza (wody) zostanie odrzucona, samolot (lub statek) uzyska odpowiednią prędkość do przodu, tak że całkowity ruch rozważanego układu pozostanie równy zeru, ponieważ był zerowy przed rozpoczął się ruch.

Podobny efekt uzyskuje się poprzez działanie wioseł lub kół łopatkowych.

c) Napęd odrzutowy. W rakiecie gazowe produkty spalania paliwa są wyrzucane z dużą prędkością przez otwór w ogonie rakiety (z dyszy silnika odrzutowego). Siły ciśnienia działające w tym przypadku będą siłami wewnętrznymi i nie mogą zmienić całkowitego ruchu układu rakietowego - produktów spalania paliwa. Ponieważ jednak uciekające gazy mają pewien ruch skierowany do tyłu, rakieta otrzymuje odpowiednią prędkość do przodu.

Pytania testowe:

Jak formułuje się twierdzenie o zmianie pędu układu?

Zapisz matematyczne wyrażenie twierdzenia o zmianie pędu układu mechanicznego w postaci różniczkowej i całkowej.

W którym przypadku pęd układu mechanicznego się nie zmienia?

Jak wyznacza się impuls o zmiennej sile w skończonym czasie? Co charakteryzuje impuls siły?

Jakie są rzuty impulsów siły stałej i zmiennej na osie współrzędnych?

Jaki jest impuls wypadkowej?

Jak zmienia się pęd punktu poruszającego się ruchem jednostajnym po okręgu?

Jaki jest pęd układu mechanicznego?

Jaki jest pęd koła zamachowego obracającego się wokół stałej osi przechodzącej przez jego środek ciężkości?

W jakich warunkach pęd układu mechanicznego się nie zmienia? W jakich warunkach jego rzut na określoną oś nie zmienia się?

Dlaczego broń cofa się po strzale?

Czy siły wewnętrzne mogą zmienić pęd układu lub pęd jego części?

Jakie czynniki determinują prędkość swobodnego ruchu rakiety?

Czy prędkość końcowa rakiety zależy od czasu spalania paliwa?

Pogląd: ten artykuł został przeczytany 23264 razy

Pdf Wybierz język... Rosyjski Ukraiński Angielski

Krótka recenzja

Całość materiału pobiera się powyżej, po wybraniu języka


Mechaniczny układ punktów materialnych lub ciała to taki ich zbiór, w którym położenie i ruch każdego punktu (lub ciała) zależy od położenia i ruchu pozostałych.
Ciało materialne jest uważane za system punktów materialnych (cząstek), które tworzą to ciało.
Przez siły zewnętrzne to siły działające na punkty lub ciała układu mechanicznego z punktów lub ciał, które nie należą do tego układu.
Przez siły wewnętrzne, to siły działające na punkty lub ciała układu mechanicznego z punktów lub ciał tego samego układu, tj. z którymi punkty lub ciała danego układu oddziałują ze sobą.
Z kolei siły zewnętrzne i wewnętrzne układu mogą być aktywne i reaktywne
Waga systemu równa się algebraicznej sumie mas wszystkich punktów lub ciał układu w jednorodnym polu grawitacyjnym, dla których ciężar dowolnej cząstki ciała jest proporcjonalny do jej masy. Zatem rozkład mas w ciele można wyznaczyć na podstawie położenia jego środka ciężkości – punktu geometrycznego Z, którego współrzędne nazywane są środkiem masy lub środkiem bezwładności układu mechanicznego
Twierdzenie o ruchu środka masy układu mechanicznego: środek masy układu mechanicznego porusza się jak punkt materialny, którego masa jest równa masie układu i do którego przyłożone są wszystkie siły zewnętrzne działające na układ
Wnioski:

  1. Układ mechaniczny lub ciało sztywne można uznać za punkt materialny w zależności od charakteru jego ruchu, a nie od jego wielkości.
  2. Twierdzenie o ruchu środka masy nie uwzględnia sił wewnętrznych.
  3. Twierdzenie o ruchu środka masy nie charakteryzuje ruchu obrotowego układu mechanicznego, a jedynie ruch translacyjny

Prawo zachowania ruchu środka masy układu:
1. Jeżeli suma sił zewnętrznych (wektor główny) jest stale równa zeru, to środek masy układu mechanicznego pozostaje w spoczynku lub porusza się równomiernie i prostoliniowo.
2. Jeżeli suma rzutów wszystkich sił zewnętrznych na dowolną oś jest równa zeru, to rzut prędkości środka masy układu na tę samą oś jest wartością stałą.

Twierdzenie o zmianie pędu.

Wielkość ruchu punktu materialnego i jest wielkością wektorową równą iloczynowi masy punktu i jego wektora prędkości.
Jednostką miary pędu jest (kg m/s).
Pęd układu mechanicznego- wielkość wektorowa równa sumie geometrycznej (wektorowi głównemu) pędów wszystkich punktów układu lub pęd układu jest równy iloczynowi masy całego układu i prędkości jego środka masy
Kiedy ciało (lub układ) porusza się w taki sposób, że jego środek masy jest nieruchomy, wówczas wielkość ruchu ciała jest równa zeru (na przykład obrót ciała wokół ustalonej osi przechodzącej przez środek masy ciała ciało).
Jeśli ruch ciała jest złożony, wówczas nie będzie charakteryzował obrotowej części ruchu podczas obrotu wokół środka masy. Oznacza to, że wielkość ruchu charakteryzuje jedynie ruch translacyjny układu (wraz ze środkiem masy).
Siła impulsu charakteryzuje działanie siły w określonym czasie.
Impuls siły w skończonym okresie czasu definiuje się jako całkowitą sumę odpowiednich impulsów elementarnych
Twierdzenie o zmianie pędu punktu materialnego:
(w postaci różniczkowej): Pochodna po czasie pędu punktu materialnego jest równa sumie geometrycznej sił działających na te punkty
(w postaci całkowej): Zmiana pędu w pewnym okresie czasu jest równa sumie geometrycznej impulsów sił przyłożonych do punktu w tym samym okresie czasu.

Twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego
(w postaci różniczkowej): Pochodna czasowa pędu układu jest równa sumie geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych działających na układ.
(w formie całkowej): Zmiana pędu układu w pewnym okresie czasu jest równa sumie geometrycznej impulsów działających na układ sił zewnętrznych w tym samym okresie.
Twierdzenie to pozwala wykluczyć z rozważań oczywiście nieznane siły wewnętrzne.
Twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego i twierdzenie o ruchu środka masy to dwie różne formy tego samego twierdzenia.
Prawo zachowania pędu układu.

  1. Jeśli suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, wówczas wektor pędu układu będzie stały pod względem kierunku i wielkości.
  2. Jeżeli suma rzutów wszystkich działających sił zewnętrznych na dowolną oś jest równa zeru, to rzut pędu na tę oś jest wartością stałą.

Prawa zachowania wskazują, że siły wewnętrzne nie mogą zmienić całkowitego ruchu układu.

  1. Klasyfikacja sił działających na układ mechaniczny
  2. Właściwości sił wewnętrznych
  3. Masa układu. Środek masy
  4. Równania różniczkowe ruchu układu mechanicznego
  5. Twierdzenie o ruchu środka masy układu mechanicznego
  6. Prawo zachowania ruchu środka masy układu
  7. Twierdzenie o zmianie pędu
  8. Prawo zachowania pędu układu

Język: rosyjski, ukraiński

Rozmiar: 248 tys

Przykład obliczeń koła zębatego czołowego
Przykład obliczenia koła zębatego czołowego. Dokonano doboru materiału, obliczenia dopuszczalnych naprężeń, obliczenia wytrzymałości stykowej i zginającej.


Przykład rozwiązania problemu zginania belki
W przykładzie skonstruowano wykresy sił poprzecznych i momentów zginających, znaleziono niebezpieczny przekrój i wybrano dwuteownik. W zadaniu dokonano analizy konstrukcji diagramów wykorzystując zależności różniczkowe oraz przeprowadzono analizę porównawczą różnych przekrojów belki.


Przykład rozwiązania problemu skręcania wału
Zadanie polega na badaniu wytrzymałości wału stalowego przy zadanej średnicy, materiale i dopuszczalnym naprężeniu. Podczas rozwiązywania konstruowane są wykresy momentów obrotowych, naprężeń ścinających i kątów skręcenia. Ciężar własny wału nie jest brany pod uwagę


Przykład rozwiązania problemu rozciągania-ściskania pręta
Zadanie polega na badaniu wytrzymałości pręta stalowego przy określonych naprężeniach dopuszczalnych. Podczas rozwiązywania konstruowane są wykresy sił podłużnych, naprężeń normalnych i przemieszczeń. Ciężar własny wędki nie jest brany pod uwagę


Zastosowanie twierdzenia o zachowaniu energii kinetycznej
Przykład rozwiązania zadania z wykorzystaniem twierdzenia o zachowaniu energii kinetycznej układu mechanicznego



Wyznaczanie prędkości i przyspieszenia punktu za pomocą zadanych równań ruchu
Przykład rozwiązania zadania wyznaczenia prędkości i przyspieszenia punktu przy wykorzystaniu zadanych równań ruchu


Wyznaczanie prędkości i przyspieszeń punktów ciała sztywnego podczas ruchu płasko-równoległego
Przykład rozwiązania zadania wyznaczenia prędkości i przyspieszeń punktów ciała sztywnego podczas ruchu płasko-równoległego

Ilość ruchu systemu nazwać sumą geometryczną wielkości ruchu wszystkich punktów materialnych układu

Aby wyjaśnić fizyczne znaczenie (70), obliczmy pochodną (64)

. (71)

Rozwiązując łącznie (70) i ​​(71) otrzymujemy

. (72)

Zatem, wektor pędu układu mechanicznego jest określony przez iloczyn masy układu i prędkości jego środka masy.

Obliczmy pochodną (72)

. (73)

Rozwiązując łącznie (73) i (67) otrzymujemy

. (74)

Równanie (74) wyraża następujące twierdzenie.

Twierdzenie: Pochodna czasowa wektora pędu układu jest równa sumie geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych układu.

Przy rozwiązywaniu problemów równanie (74) należy rzutować na osie współrzędnych:

. (75)

Z analizy (74) i (75) wynika, co następuje: prawo zachowania pędu układu: Jeżeli suma wszystkich sił układu wynosi zero, to jego wektor pędu zachowuje swoją wielkość i kierunek.

Jeśli
, To
,Q = konst . (76)

W szczególnym przypadku prawo to może być spełnione wzdłuż jednej z osi współrzędnych.

Jeśli
, To, Q z = konst. (77)

Wskazane jest stosowanie twierdzenia o zmianie pędu w przypadkach, gdy w układzie znajdują się ciała ciekłe i gazowe.

Twierdzenie o zmianie momentu pędu układu mechanicznego

Wielkość ruchu charakteryzuje jedynie translacyjną składową ruchu. Aby scharakteryzować ruch obrotowy ciała, wprowadzono pojęcie głównego momentu pędu układu względem danego środka (momentu kinetycznego).

Moment kinetyczny układu względem danego środka jest sumą geometryczną momentów wielkości ruchu wszystkich jego punktów względem tego samego środka

. (78)

Rzutując (22) na osie współrzędnych, możemy otrzymać wyrażenie na moment kinetyczny względem osi współrzędnych

. (79)

Moment kinetyczny ciała względem osi równy iloczynowi momentu bezwładności ciała względem tej osi i prędkości kątowej ciała

. (80)

Z (80) wynika, że ​​moment kinetyczny charakteryzuje jedynie obrotową składową ruchu.

Cechą działania obrotowego siły jest jej moment względem osi obrotu.

Twierdzenie o zmianie momentu pędu ustala związek pomiędzy charakterystyką ruchu obrotowego a siłą wywołującą ten ruch.

Twierdzenie: Pochodna czasowa wektora momentu pędu układu względem jakiegoś środka jest równa sumie geometrycznej momentów wszystkich sił zewnętrznych układu względem jakiegoś środkato samo centrum

. (81)

Przy rozwiązywaniu problemów inżynierskich (81) konieczne jest projektowanie na osiach współrzędnych

Z ich analizy wynika, że ​​(81) i (82). prawo zachowania momentu pędu: Jeżeli suma momentów wszystkich sił zewnętrznych względem środka (lub osi) jest równa zero, wówczas moment kinetyczny układu względem tego środka (lub osi) zachowuje swoją wielkość i kierunek.

,

Lub

Momentu kinetycznego nie można zmienić pod wpływem sił wewnętrznych układu, lecz dzięki tym siłom możliwa jest zmiana momentu bezwładności, a co za tym idzie, prędkości kątowej.

W ten sam sposób, jak dla jednego punktu materialnego, wyprowadzimy twierdzenie o zmianie pędu układu w różnych postaciach.

Przekształćmy równanie (twierdzenie o ruchu środka masy układu mechanicznego)

w następujący sposób:

;

Otrzymane równanie wyraża twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego w postaci różniczkowej: pochodna pędu układu mechanicznego po czasie jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na układ .

W rzutach na osie współrzędnych kartezjańskich:

; ; .

Biorąc całki obu stron ostatnich równań w czasie, otrzymujemy twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego w postaci całkowej: zmiana pędu układu mechanicznego jest równa pędowi wektora głównego układu mechanicznego siły zewnętrzne działające na układ .

.

Lub w rzutach na osie współrzędnych kartezjańskich:

; ; .

Wnioski z twierdzenia (prawa zachowania pędu)

Prawo zachowania pędu otrzymuje się jako szczególne przypadki twierdzenia o zmianie pędu układu w zależności od charakterystyki układu sił zewnętrznych. Siły wewnętrzne mogą być dowolne, ponieważ nie wpływają na zmiany pędu.

Istnieją dwa możliwe przypadki:

1. Jeżeli suma wektorów wszystkich sił zewnętrznych przyłożonych do układu jest równa zeru, wówczas wielkość ruchu układu jest stała pod względem wielkości i kierunku

2. Jeżeli rzut wektora głównego sił zewnętrznych na dowolną oś współrzędnych i/lub i/lub jest równy zeru, to rzut pędu na te same osie ma wartość stałą, tj. i/lub i/lub odpowiednio.

Podobne wpisy można dokonać dla punktu materialnego i dla punktu materialnego.

Zadanie. Z broni, której masa M, pocisk o masie wylatuje w kierunku poziomym M z szybkością w. Znajdź prędkość V pistolety po strzale.

Rozwiązanie. Wszystkie siły zewnętrzne działające na mechaniczny układ broń-pocisk mają charakter pionowy. Oznacza to, że bazując na następstwie twierdzenia o zmianie pędu układu, mamy: .

Wielkość ruchu układu mechanicznego przed odpaleniem:

Wielkość ruchu układu mechanicznego po strzale:

.

Porównując prawe strony wyrażeń, otrzymujemy to

.

Znak „-” w otrzymanym wzorze wskazuje, że po oddaniu strzału działo cofnie się w kierunku przeciwnym do osi Wół.

PRZYKŁAD 2. Strumień cieczy o gęstości wypływa z prędkością V z rury o polu przekroju poprzecznego F i uderza pod kątem w pionową ściankę. Wyznacz ciśnienie płynu na ścianę.

ROZWIĄZANIE. Zastosujmy twierdzenie o zmianie pędu w postaci całkowej do objętości cieczy o masie M uderzanie w ścianę przez pewien czas T.

RÓWNANIE MESHCHERSKIEGO

(podstawowe równanie dynamiki ciała o zmiennej masie)

We współczesnej technologii zdarzają się przypadki, gdy masa punktu i układu nie pozostaje stała podczas ruchu, ale się zmienia. I tak np. podczas lotu rakiet kosmicznych, na skutek wyrzucenia produktów spalania i poszczególnych, niepotrzebnych części rakiety, zmiana masy osiąga 90-95% całkowitej wartości początkowej. Ale nie tylko technologia kosmiczna może być przykładem dynamiki zmiennego ruchu mas. W przemyśle tekstylnym przy nowoczesnych prędkościach roboczych maszyn i maszyn zachodzą znaczne zmiany w masie różnych wrzecion, szpul i rolek.

Rozważmy główne cechy związane ze zmianami masy na przykładzie ruchu postępowego ciała o zmiennej masie. Podstawowej zasady dynamiki nie można bezpośrednio zastosować do ciała o zmiennej masie. Otrzymujemy zatem różniczkowe równania ruchu punktu o zmiennej masie, stosując twierdzenie o zmianie pędu układu.

Niech punkt będzie miał masę m+dm porusza się z dużą prędkością. Następnie od punktu oddziela się pewną cząstkę o masie dm poruszając się z dużą prędkością.

Wielkość ruchu ciała przed oderwaniem się cząstki:

Wielkość ruchu układu składającego się z ciała i oderwanej cząstki po jego oddzieleniu:

Następnie zmiana pędu:

Na podstawie twierdzenia o zmianie pędu układu:

Oznaczmy wielkość - prędkość względną cząstki:

Oznaczmy

Rozmiar R zwaną siłą reakcji. Siła reakcji to ciąg silnika wywołany wyrzutem gazu z dyszy.

Wreszcie dostajemy

-

Wzór ten wyraża podstawowe równanie dynamiki ciała o zmiennej masie (wzór Meshchersky'ego). Z ostatniego wzoru wynika, że ​​równania różniczkowe ruchu punktu o zmiennej masie mają taką samą postać jak dla punktu o stałej masie, z wyjątkiem dodatkowej siły reakcji przyłożonej do punktu na skutek zmiany masy.

Podstawowe równanie dynamiki ciała o zmiennej masie wskazuje, że przyspieszenie tego ciała powstaje nie tylko pod wpływem sił zewnętrznych, ale także pod wpływem siły reakcji.

Siła reakcji to siła zbliżona do odczuwanej przez osobę strzelającą - przy strzelaniu z pistoletu wyczuwalna jest ona w dłoni; Strzelając z karabinu, jest on postrzegany przez ramię.

Pierwszy wzór Ciołkowskiego (na rakietę jednostopniową)

Niech punkt o zmiennej masie lub rakieta porusza się po linii prostej pod wpływem tylko jednej siły reakcji. Ponieważ dla wielu nowoczesnych silników odrzutowych , gdzie oznacza maksymalną siłę reakcji dopuszczoną przez konstrukcję silnika (ciąg silnika); - siła ciężkości działająca na silnik umieszczony na powierzchni ziemi. Te. powyższe pozwala pominąć składnik równania Meshchersky'ego i przyjąć to równanie w postaci do dalszej analizy: ,

Oznaczmy:

Rezerwa paliwa (dla silników odrzutowych na ciecz - sucha masa rakiety (jej masa pozostała po spaleniu całego paliwa);

Masa cząstek oddzielonych od rakiety; jest uważany za wartość zmienną, wahającą się od do .

Zapiszmy równanie ruchu prostoliniowego punktu o zmiennej masie w postaci:

.

Ponieważ wzór na określenie zmiennej masy rakiety wynosi

Dlatego równania ruchu punktu Biorąc całki po obu stronach, otrzymujemy

Gdzie - charakterystyczna prędkość- jest to prędkość, jaką osiąga rakieta pod wpływem ciągu po wyrzuceniu z rakiety wszystkich cząstek (w przypadku silników odrzutowych na ciecz - po wypaleniu całego paliwa).

Poza znakiem całki (co można zrobić na podstawie znanego z wyższej matematyki twierdzenia o wartości średniej) znajduje się średnia prędkość cząstek wyrzucanych z rakiety.

i układ mechaniczny

Pęd punktu materialnego jest wektorową miarą ruchu mechanicznego, równą iloczynowi masy punktu i jego prędkości. Jednostką miary pędu w układzie SI jest
. Wielkość ruchu układu mechanicznego jest równa sumie wielkości ruchu wszystkich punktów materialnych tworzących układ:

. (5.2)

Przekształćmy otrzymaną formułę

.

Zgodnie ze wzorem (4.2)
, Dlatego

.

Zatem pęd układu mechanicznego jest równy iloczynowi jego masy i prędkości środka masy:

. (5.3)

Ponieważ o wielkości ruchu układu decyduje ruch tylko jednego z jego punktów (środka masy), nie może to być pełna charakterystyka ruchu układu. Rzeczywiście, dla dowolnego ruchu układu, gdy jego środek masy pozostaje nieruchomy, pęd układu wynosi zero. Dzieje się tak na przykład, gdy sztywny korpus obraca się wokół stałej osi przechodzącej przez jego środek masy.

Wprowadźmy system odniesienia Cxyz, mający swój początek w środku masy układu mechanicznego Z i porusza się translacyjnie względem układu inercjalnego
(ryc. 5.1). Następnie ruch każdego punktu
można uznać za złożony: przenośny ruch wraz z osiami Cxyz i ruch względem tych osi. Ze względu na postępujący ruch osi Cxyz prędkość przenośna każdego punktu jest równa prędkości środka masy układu, a wielkość ruchu układu, określona wzorem (5.3), charakteryzuje jedynie jego ruch postępowy.

5.3. Siła impulsu

Aby scharakteryzować działanie siły w pewnym okresie czasu, wielkość tzw impuls siły . Elementarny impuls siły jest wektorową miarą działania siły, równą iloczynowi siły przez elementarny przedział czasu jej działania:

. (5.4)

Jednostką SI impulsu siły jest
, tj. Wymiary impulsu i pędu siły są takie same.

Impuls siły w skończonym okresie czasu
jest równa pewnej całce pędu elementarnego:

. (5.5)

Impuls stałej siły jest równy iloczynowi siły i czasu jej działania:

. (5.6)

Generalnie impuls siły można wyznaczyć poprzez jego rzuty na osie współrzędnych:

. (5.7)

5.4. Twierdzenie o zmianie pędu

punkt materialny

W podstawowym równaniu dynamiki (1.2) masa punktu materialnego jest wielkością stałą, czyli jego przyspieszeniem
, co pozwala zapisać to równanie w postaci:

. (5.8)

Powstała zależność pozwala nam na sformułowanie twierdzenie o zmianie pędu punktu materialnego w formie różniczkowej: Pochodna po czasie pędu punktu materialnego jest równa sumie geometrycznej (wektorowi głównemu) sił działających na ten punkt.

Otrzymujemy teraz całkową postać tego twierdzenia. Z relacji (5.8) wynika, że

.

Zintegrujmy obie strony równości w granicach odpowiadających momentom czasu I ,

. (5.9)

Całki po prawej stronie reprezentują impulsy sił działających na punkt, zatem po całkowaniu lewej strony otrzymujemy

. (5.10)

W ten sposób zostało to udowodnione twierdzenie o zmianie pędu punktu materialnego w postaci integralnej: Zmiana pędu punktu materialnego w pewnym okresie czasu jest równa sumie geometrycznej impulsów sił działających na ten punkt w tym samym okresie czasu.

Równanie wektora (5.10) odpowiada układowi trzech równań w rzutach na osie współrzędnych:

;

; (5.11)

.

Przykład 1. Ciało porusza się translacyjnie po nachylonej płaszczyźnie tworzącej kąt α z horyzontem. W początkowej chwili miał prędkość , skierowany w górę wzdłuż pochyłej płaszczyzny (ryc. 5.2).

Po jakim czasie prędkość ciała staje się równa zeru, jeśli współczynnik tarcia jest równy F ?

Za punkt materialny weźmy ciało poruszające się translacyjnie i rozważmy działające na nie siły. To grawitacja
, normalna reakcja płaska i siła tarcia . Skierujmy oś X wzdłuż pochyłej płaszczyzny w górę i napisz pierwsze równanie układu (5.11)

gdzie są rzutami wielkości ruchu i są rzutami impulsów stałych sił
,I są równe iloczynom rzutów sił i czasu ruchu:

Ponieważ przyspieszenie ciała jest skierowane wzdłuż pochyłej płaszczyzny, suma rzutów na oś y wszystkich sił działających na ciało jest równa zeru:
, z czego to wynika
. Znajdźmy siłę tarcia

i z równania (5.12) otrzymujemy

skąd wyznaczamy czas ruchu ciała

.