Elementy teorii wyznaczników i macierzy. Streszczenie: Teoria macierzy i wyznaczników

Wyślij swoją dobrą pracę do bazy wiedzy jest prosta. Skorzystaj z poniższego formularza

Studenci, doktoranci, młodzi naukowcy, którzy wykorzystują bazę wiedzy w swoich studiach i pracy, będą Państwu bardzo wdzięczni.

Elementy teorii wyznaczników

Wyznacznik to liczba zapisana w postaci kwadratowej tablicy liczb, obliczona według określonych zasad.

Na przykład każda z tabel (1.1) składa się z równej liczby wierszy i kolumn i reprezentuje liczbę, dla której zasady obliczeń zostaną omówione poniżej.

Liczba wierszy i kolumn określa kolejność wyznacznika. Zatem wyznacznik 1.1a) jest trzeciego rzędu, wyznacznik 1.1b) jest drugiego rzędu, 1.1c) jest pierwszego rzędu. Jak widać, wyznacznikiem pierwszego rzędu jest sama liczba.

Znakiem i symbolem wyznacznika są proste nawiasy pionowe umieszczone na krawędziach tabeli. Czy wyznacznik jest oznaczony dużą literą alfabetu greckiego? (delta).

W ogólnej formie wyznacznik n-tego rzędu zapisuje się w następujący sposób:

Każdy element A ja wyznacznik ma dwa indeksy: pierwszy indeks I wskazuje numer linii, sekunda J- numer słupa, na przecięciu którego znajduje się element. I tak dla wyznacznika 1.1a) elementów A 11 , A 22 , A 23 , A 32 są odpowiednio równe 2, 5, 4, 3.

Wyznacznik drugiego rzędu oblicza się ze wzoru

Wyznacznik drugiego rzędu jest równy iloczynowi elementów na przekątnej głównej minus iloczyn elementów na przekątnej drugiej.

Do obliczenia wyznacznika trzeciego rzędu stosuje się „metodę trójkąta” i metodę Sarrusa. Zwykle jednak w praktyce do obliczenia wyznacznika trzeciego rzędu stosuje się tzw. metodę efektywnej redukcji rzędu, o której zostanie mowa poniżej.

Metoda trójkąta

Przy obliczaniu wyznacznika tą metodą wygodnie jest skorzystać z jego graficznej reprezentacji. Na ryc. 1.1 i 1.2 elementy wyznacznika trzeciego rzędu przedstawiono schematycznie za pomocą kropek.

Ryż. 1.1 Ryc. 1.2

Przy obliczaniu wyznacznika iloczyn elementów połączonych liniami prostymi przebiega zgodnie ze schematem na ryc. 1.1, weź ze znakiem plus i iloczyn elementów połączonych zgodnie ze schematem na ryc. 1.2, weź ze znakiem minus. W wyniku tych działań wzór zastosowany do obliczeń przyjmuje postać:

Oblicz wyznacznik trzeciego rzędu.

Metoda Sarrusa

Aby to wdrożyć, musisz przypisać dwie pierwsze kolumny na prawo od wyznacznika, ułożyć iloczyny elementów znajdujących się na głównej przekątnej i na liniach do niej równoległych i wziąć je ze znakiem plus. Następnie skomponuj iloczyny elementów znajdujących się na boku przekątnym i równolegle do niego ze znakiem minus.

Schemat obliczania wyznacznika metodą Sarrusa.

Oblicz wyznacznik podany w przykładzie 1.2, korzystając z metody Sarrusa.

Dopełnienie drobne i algebraiczne elementu wyznacznika

Drobny M ja element A ja nazywa się wyznacznikiem ( N-1) -ty rząd otrzymany z wyznacznika N-ta kolejność poprzez skreślenie I-ta linia i J kolumnie (tj. poprzez przekreślenie wiersza i kolumny, na przecięciu których znajduje się element A ja).

Znajdź moll elementów A 23 I A 34 wyznacznik czwartego rzędu.

Element A 23 znajduje się w drugim rzędzie i trzeciej kolumnie. W tym przykładzie A 23 =4. Przekreślając drugi rząd i trzecią kolumnę na przecięciu tego elementu (pokazanego dla celów metodologicznych pionowymi i poziomymi liniami przerywanymi), otrzymujemy mniejsze M 23 tego elementu. Będzie to już wyznacznik trzeciego rzędu.

Przy obliczaniu nieletnich operację przekreślania wiersza i kolumny wykonuje się mentalnie. Po wykonaniu tej czynności otrzymujemy

Dopełnienie algebraiczne A ja element A ja wyznacznik N Rząd th jest mollem tego elementu, wzięty ze znakiem (-1) I + J, Gdzie I+ J- suma numerów wierszy i kolumn, do których należy element A ja. Te. a-przeorat A ja=(-1) I + JM ja

Oczywiste jest, że jeśli kwota I+ J- w takim razie liczba jest parzysta A ja=M ja, Jeśli I+ J- w takim razie liczba jest nieparzysta A ja= - M ja.

Dla wyznacznika znajdź uzupełnienie algebraiczne elementów A 23 I A 31 .

Dla elementu A 23 I=2, J=3 i I+ J=5 jest liczbą nieparzystą, zatem

Dla elementu A 31 I=3, J=1 i I+ J=4 jest liczbą parzystą, co oznacza

Właściwości wyznaczników

1. Jeżeli w wyznaczniku zamienimy dowolne dwa równoległe wiersze (dwa wiersze lub dwie kolumny), to znak wyznacznika zmieni się na przeciwny

Zamień 2 równoległe kolumny (1. i 2.).

Zamień 2 równoległe linie (1. i 3.).

2. Ze znaku wyznacznika można wyjąć wspólny czynnik elementów dowolnego wiersza (wiersza lub kolumny).

Własności wyznacznika równego zeru

3. Jeżeli wszystkie elementy pewnego szeregu w wyznaczniku są równe zero, to taki wyznacznik jest równy zero.

4. Jeżeli w wyznaczniku elementy dowolnego szeregu są proporcjonalne do elementów szeregu równoległego, to wyznacznik jest równy zero.

Własności niezmienności (niezmienności) wyznacznika.

5. Jeśli zamienimy wiersze i kolumny wyznacznika, wyznacznik nie ulegnie zmianie.

6. Wyznacznik nie ulegnie zmianie, jeżeli do elementów dowolnego szeregu dodamy elementy dowolnego szeregu równoległego, mnożąc najpierw przez określoną liczbę.

Właściwość 6 jest powszechnie stosowana przy obliczaniu wyznaczników tzw. metodą efektywnej redukcji rzędu. Stosując tę ​​metodę, konieczne jest sprowadzenie wszystkich elementów z wyjątkiem jednego do zera w jednym wierszu (jednym wierszu lub kolumnie). Niezerowy element wyznacznika będzie równy zeru, jeśli zostanie dodany do liczby o tej samej wielkości, ale o przeciwnym znaku.

Pokażmy na przykładzie, jak to się robi.

Korzystając z właściwości 2 i 6, zredukuj wyznacznik do takiego, który ma dwa zera w dowolnym wierszu.

Korzystając z właściwości 2, upraszczamy wyznacznik, usuwając 2 z pierwszego rzędu, 4 z drugiego rzędu i 2 z trzeciego rzędu jako wspólne czynniki.

Ponieważ element A 22 jest równa zeru, to do rozwiązania problemu wystarczy sprowadzić dowolny element drugiego rzędu lub drugiej kolumny do zera. Można to zrobić na kilka sposobów.

Weźmy na przykład element A 21 =2 do zera. Aby to zrobić, bazując na właściwości 6, pomnóż całą trzecią kolumnę przez (-2) i dodaj ją do pierwszej. Po wykonaniu tej operacji otrzymujemy

Możliwe jest zerowanie elementu A 12 =2, wówczas w drugiej kolumnie otrzymamy dwa elementy równe zero. Aby to zrobić, musisz pomnożyć trzecią linię przez (-2) i dodać otrzymane wartości do pierwszej linii

Obliczanie wyznacznika dowolnego rzędu

Zasada obliczania wyznacznika dowolnego rzędu opiera się na twierdzeniu Laplace'a.

Twierdzenie Laplace'a

Wyznacznik jest równy sumie iloczynów parami elementów dowolnego wiersza (wiersza lub kolumny) przez ich uzupełnienia algebraiczne.

Zgodnie z tym twierdzeniem wyznacznik można obliczyć, rozkładając go na elementy dowolnego wiersza lub dowolnej kolumny.

Ogólnie wyznacznik n-tego rzędu można rozwinąć i obliczyć w następujący sposób:

Oblicz wyznacznik korzystając z twierdzenia Laplace'a rozkładając go na elementy trzeciego rzędu i elementy pierwszej kolumny.

Wyznacznik obliczamy rozwijając go wzdłuż 3. linii

Obliczmy wyznacznik rozszerzając go na pierwszą kolumnę

Efektywna metoda redukcji zamówień

Złożoność obliczania wyznacznika za pomocą twierdzenia Laplace'a będzie znacznie mniejsza, jeśli w jego rozwinięciu będzie tylko jeden wyraz, czy to w rzędzie, czy w kolumnie. Takie rozwinięcie uzyskamy, jeśli w wierszu (kolumnie), wzdłuż którego rozwinie się wyznacznik, wszystkie elementy poza jednym będą równe zeru. Sposób „zerowania” elementów wyznacznika został omówiony wcześniej.

Oblicz wyznacznik stosując efektywną metodę redukcji rzędu.

Ponieważ wyznacznika trzeciego rzędu, wówczas „zerujemy” dowolne 2 elementy wyznacznika. W tym celu wygodnie jest wziąć drugą kolumnę, której element A 22 = - 1. W kolejności elementu A 21 była równa zero, należy dodać pierwszą kolumnę do drugiej. Aby element A 23 była równa zero, należy pomnożyć drugą kolumnę przez 2 i dodać ją do trzeciej. Po wykonaniu tych operacji podany wyznacznik zostaje przeliczony na wyznacznik

Teraz rozwijamy ten wyznacznik wzdłuż drugiej linii

Obliczanie wyznacznikawycinając go w trójkąt

Wyznacznik, dla którego wszystkie elementy powyżej lub poniżej głównej przekątnej są równe zero, nazywa się wyznacznikiem trójkątnym. W tym przypadku wyznacznik jest równy iloczynowi jego elementów głównej przekątnej.

Sprowadzenie wyznacznika do postaci trójkątnej jest zawsze możliwe na podstawie jego własności.

Podano wyznacznik. Sprowadź to do postaci trójkątnej i oblicz.

„Wyzerujmy” np. wszystkie elementy znajdujące się powyżej głównej przekątnej. Aby to zrobić, musisz wykonać trzy operacje: 1. operacja - dodaj pierwszą linię do ostatniej, otrzymamy A 13 = 0. 2. operacja - mnożąc ostatnią linię przez (-2) i dodając z 2. operacją, otrzymujemy A 23 = 0. Poniżej przedstawiono sekwencyjne wykonywanie tych operacji.

Aby zresetować element A 12 dodaj pierwszą i drugą linię

Elementy teorii macierzy

Macierz to tabela liczb lub dowolnych innych elementów zawierających M linie i N kolumny.

Ogólny widok matrycy

Macierz, podobnie jak wyznacznik, posiada elementy wyposażone w podwójny indeks. Znaczenie wskaźników jest takie samo jak wyznaczników.

Jeśli wyznacznik jest równy liczbie, wówczas macierzy nie można przyrównać do żadnego innego prostszego obiektu.

Nawiasy po bokach macierzy oznaczają jej znak lub symbol (ale nie nawiasy proste oznaczające wyznacznik). Dla zwięzłości macierz jest oznaczona wielkimi literami A, B, C itp.

Macierz ma rozmiar określony przez liczbę jej wierszy i kolumn, który jest zapisywany jako - A M N.

Na przykład macierz liczbowa o rozmiarze 23 ma postać, rozmiar 31 ma postać, rozmiar 14 ma postać itd.

Macierz, w której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn, nazywa się kwadratem. W tym przypadku, jeśli chodzi o wyznaczniki, mówimy o porządku macierzy.

Na przykład macierz liczbowa trzeciego rzędu ma postać

Rodzaje macierzy

Macierz składająca się z jednego wiersza nazywana jest macierzą wierszową

Macierz składająca się z jednej kolumny nazywana jest macierzą kolumnową

Macierz nazywa się kwadratem N-ty rząd, jeśli liczba jego wierszy jest równa liczbie kolumn i jest równa N.

Na przykład macierz kwadratowa trzeciego rzędu.

Macierz diagonalna to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy są zerowe z wyjątkiem tych na głównej przekątnej. Główna przekątna to przekątna biegnąca od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu.

Na przykład macierz diagonalna trzeciego rzędu.

Macierz diagonalna, której wszystkie elementy są równe jeden, nazywana jest tożsamością i jest oznaczona literą mi lub numer 1

Macierz zerowa to macierz, w której wszystkie elementy są równe zero.

Górna macierz trójkątna to macierz, w której wszystkie elementy znajdujące się poniżej głównej przekątnej są równe zero.

Dolna macierz trójkątna to macierz, w której wszystkie elementy znajdujące się powyżej głównej przekątnej są równe zeru.

Na przykład

Górna macierz trójkątna

Dolna macierz trójkątna

Jeśli w matrixie A zamień wiersze z kolumnami, otrzymamy transponowaną macierz, co jest oznaczone symbolem A*.

Na przykład, mając macierz,

macierz transponowana względem niej A*

Macierz kwadratowa A ma wyznacznik, który jest oznaczony przez det A(det to skrócone francuskie słowo oznaczające „determinant”).

Na przykład dla matrixa A

zapisujemy jego wyznacznik

Wszystkie operacje na wyznaczniku macierzy przebiegają tak samo, jak omówiono wcześniej.

Macierz, której wyznacznik jest równy zero, nazywa się specjalną, zdegenerowaną lub pojedynczą. Macierz, której wyznacznik nie jest równy zero, nazywa się nieosobliwą lub nieosobliwą.

Unijna lub załączona matryca.

Jeśli dla danej macierzy kwadratowej A określić uzupełnienia algebraiczne wszystkich jej elementów i następnie je transponować, wówczas otrzymaną w ten sposób macierz nazwiemy pokrewną lub przylegającą do macierzy A i jest oznaczony symbolem A

Aby znaleźć macierz A.

Obliczanie wyznacznika macierzy A

Dopełnienia algebraiczne wszystkich elementów wyznacznika wyznaczamy za pomocą wzoru

Transponując powstałe dodatki algebraiczne, otrzymujemy macierz sprzymierzoną lub sprzężoną A w odniesieniu do danej matrycy A.

Działania na macierzach

Równość macierzy

Dwie matryce A I W uważa się za równe, jeśli:

a) oba mają ten sam rozmiar;

b) odpowiednie elementy tych macierzy są sobie równe. Elementy odpowiadające to elementy o tych samych indeksach.

Dodawanie i odejmowanie macierzy

Można dodawać i odejmować tylko macierze o tym samym wymiarze. Suma (różnica) dwóch macierzy A I W będzie trzecia macierz Z, którego elementy Z ja równa sumie (różnicy) odpowiednich elementów macierzy A I W. Zgodnie z definicją elementy macierzy Z są zgodnie z regułą.

Na przykład, jeśli

Pojęcie sumy (różnicy) macierzy rozciąga się na dowolną skończoną liczbę macierzy. W tym przypadku suma macierzy podlega następującym prawom:

a) przemienne A + B = B + A;

b) asocjacyjne Z + (A + B) = (B + C)+ A.

Mnożenie macierzy przez liczbę.

Aby pomnożyć macierz przez liczbę, należy pomnożyć każdy element macierzy przez tę liczbę.

Konsekwencja. Ze znaku macierzy można wyprowadzić wspólny współczynnik wszystkich elementów macierzy.

Na przykład, .

Jak widać, czynności dodawania, odejmowania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbę są podobne do czynności na liczbach. Mnożenie macierzy jest operacją specyficzną.

Iloczyn dwóch macierzy.

Nie wszystkie macierze można pomnożyć. Iloczyn dwóch macierzy A I W w podanej kolejności A W możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszego czynnika A równa liczbie wierszy drugiego czynnika W.

Na przykład, .

Rozmiar matrycy A 33, rozmiar matrycy W 23. Praca A W niemożliwe, praca W A Może.

Iloczynem dwóch macierzy A i B jest trzecia macierz C, której element C ij jest równy sumie iloczynów parami elementów i-tego rzędu pierwszego czynnika i j-tej kolumny drugiego czynnik.

Pokazano, że w tym przypadku możliwy jest iloczyn macierzy W A

Z reguły istnienia iloczynu dwóch macierzy wynika, że ​​iloczyn dwóch macierzy w ogólnym przypadku nie spełnia prawa przemienności, tj. A W? W A. Jeśli w konkretnym przypadku okaże się, że A B = B A, wówczas takie macierze nazywane są permutowalnymi lub przemiennymi.

W algebrze macierzy iloczyn dwóch macierzy może być macierzą zerową, nawet jeśli żadna z macierzy czynnikowych nie jest równa zero, w przeciwieństwie do zwykłej algebry.

Na przykład znajdźmy iloczyn macierzy A W, Jeśli

Można pomnożyć wiele macierzy. Jeśli umiesz mnożyć macierze A, W a iloczyn tych macierzy można pomnożyć przez macierz Z, wówczas możliwe jest skomponowanie produktu ( A W) Z I A(W Z). W tym przypadku ma zastosowanie prawo kombinacyjne dotyczące mnożenia ( A W) Z = A(W Z).

odwrotna macierz

Jeśli dwie macierze A I W ten sam rozmiar i ich produkt A W jest macierzą jednostkową E, wówczas macierz B nazywa się odwrotnością A i jest oznaczana A -1 , tj. A A -1 = E.

odwrotna macierz A -1 równy stosunkowi macierzy unii A do wyznacznika macierzy A

Z tego jasno wynika, że ​​aby istniała macierz odwrotna A -1 konieczne i wystarczające jest, aby macierz det A? 0, tj. tak, że macierz A nie był zdegenerowany.

Aby znaleźć macierz A -1 .

Wyznaczanie wartości wyznacznika macierzy A

Ponieważ det A? 0, istnieje macierz odwrotna. W przykładzie 2.1. dla danego wyznacznika znaleziono macierz pokrewną

A-przeorat

Ranga matrycy

Do rozwiązywania i badania szeregu problemów matematycznych i stosowanych ważna jest koncepcja rangi macierzy.

Rozważ macierz A rozmiar M N

Wybierz losowo w matrycy Ak linie i k kolumny. Elementy znajdujące się na przecięciu wybranych wierszy i kolumn tworzą macierz kwadratową k-tego zamówienia. Wyznacznik tej macierzy nazywany jest mollem k-rząd macierzy A. Wybierz k linie i k Kolumny mogą być używane na różne sposoby, co daje różne elementy podrzędne k-tego zamówienia. Nieletnimi pierwszego rzędu są same elementy. Oczywiście największy możliwy rząd nieletnich jest równy najmniejszej z liczb M I N. Wśród utworzonych nieletnich różnych rzędów znajdą się te, które są równe zeru i nierówne zeru.

Najwyższy rząd niezerowych nieletnich macierzy A nazywa się rangą macierzy.

Ranga matrycy A oznaczone rangą A lub r( A).

Jeśli ranga macierzy A równa się R, oznacza to, że macierz ma niezerowy element pomocniczy rzędu R, ale każdy mniejszy jest wyższego rzędu niż R równy zeru.

Z definicji rangi macierzy wynika, że:

a) ranga macierzy A M N nie przekracza mniejszego z jego rozmiarów, tj. R(A)? min(m, n);

B) R(A) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy macierzy są równe zeru, tj. A = 0;

c) dla macierzy kwadratowej N-ta kolejność R(A) = N, jeśli macierz nie jest osobliwa.

Spójrzmy na przykład wyznaczania rangi macierzy metodą graniczących nieletnich. Jego istota polega na sekwencyjnym wyliczaniu mollów macierzy i znajdowaniu niezerowego molla najwyższego rzędu.

Oblicz rząd macierzy.

Dla matrixa A 3 4 R(A)? min (3,4) = 3. Sprawdźmy, czy rząd macierzy jest równy 3; w tym celu obliczamy wszystkie niepełnoletnie trzeciego rzędu (jest ich tylko 4, uzyskuje się je przez usunięcie jednego kolumn macierzy).

Ponieważ wszystkie nieletnie trzeciego rzędu wynoszą zero, R(A)? 2. Ponieważ istnieje na przykład zero-moll drugiego rzędu

To R(A) = 2.

Dowolny niezerowy element drugorzędny macierzy, którego rząd jest równy jej rządowi, nazywany jest mollem bazowym tej macierzy.

Macierz może mieć więcej niż jedną bazę mniejszą, ale kilka. Jednakże rzędy wszystkich nieletnich bazowych są takie same i równe rangi macierzy.

Wiersze i kolumny tworzące podstawę mniejszą nazywane są podstawą.

Każdy wiersz (kolumna) macierzy jest liniową kombinacją wierszy (kolumn) bazowych.

Podobne dokumenty

Pojęcie i istota wyznaczników drugiego rzędu. Rozważanie podstaw układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Badanie wyznaczników n-tego rzędu i metody ich obliczania. Cechy układu n równań liniowych z n niewiadomymi.

prezentacja, dodano 14.11.2014


Wyznaczniki drugiego i trzeciego rzędu. Permutacje i podstawienia. Minory i dopełnienia algebraiczne. Zastosowanie metod sprowadzania wyznacznika do postaci trójkątnej, przedstawiania wyznacznika jako sumy wyznaczników i izolowania czynników liniowych.

praca na kursie, dodano 19.07.2013


Pojęcie macierzy i działania liniowe na nich. Własności operacji dodawania macierzy. Wyznaczniki drugiego i trzeciego rzędu. Zastosowanie reguły Sarrusa. Podstawowe metody rozwiązywania wyznaczników. Elementarne przekształcenia macierzy. Własności macierzy odwrotnej.

tutorial, dodano 03.04.2010


Zagadnienia i metody algebry liniowej. Własności wyznaczników i kolejność ich obliczania. Znajdowanie macierzy odwrotnej metodą Gaussa. Opracowanie algorytmu obliczeniowego w programie Pascal ABC do obliczania wyznaczników i znajdowania macierzy odwrotnej.

praca na kursie, dodano 01.02.2013


Pojęcie i cel wyznaczników, ich ogólna charakterystyka, metody obliczeń i właściwości. Algebra macierzy. Układy równań liniowych i ich rozwiązanie. Algebra wektorowa, jej prawa i zasady. Właściwości i zastosowania produktu krzyżowego.

test, dodano 01.04.2012


Elementy algebry liniowej. Rodzaje macierzy i operacje na nich. Własności wyznaczników macierzowych i ich obliczanie. Rozwiązywanie układów równań liniowych w postaci macierzowej z wykorzystaniem wzorów Cramera i metody Gaussa. Elementy rachunku różniczkowego i całkowego.

tutorial, dodano 11.06.2011


Liczba charakteryzująca macierz kwadratową. Obliczanie wyznacznika pierwszego i drugiego rzędu macierzy. Korzystając z reguły trójkąta. Dopełnienie algebraiczne jakiegoś elementu wyznacznika. Zmiana układu dwóch wierszy lub kolumn wyznacznika.

prezentacja, dodano 21.09.2013


Pojęcie rangi macierzy. Model Leontiefa gospodarki zróżnicowanej. Właściwości iloczynu skalarnego. Rozkład wektora wzdłuż osi współrzędnych. Dopełnienie drobne i algebraiczne. Wyznaczniki drugiego i trzeciego rzędu. Płaszczyzna i linia prosta w przestrzeni.

przebieg wykładów, dodano 30.10.2013


Teoria wyznaczników w pracach P. Laplace'a, O. Cauchy'ego i C. Jacobiego. Wyznaczniki drugiego rzędu i układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Wyznaczniki trzeciego rzędu i własności wyznaczników. Rozwiązywanie układu równań z wykorzystaniem reguły Cramera.

prezentacja, dodano 31.10.2016


Wyznaczniki drugiego i trzeciego rzędu, własności wyznaczników. Dwa sposoby obliczania wyznacznika trzeciego rzędu. Twierdzenie o rozkładzie. Twierdzenie Cramera, które dostarcza praktycznego sposobu rozwiązywania układów równań liniowych za pomocą wyznaczników.

Wyznaczniki drugiego i trzeciego rzędu.

Nazywa się liczby m i n wymiary matryce.

Macierz nazywa się kwadrat, jeśli m = n. W tym przypadku nazywa się liczbę n w celu macierz kwadratowa.

Każdej macierzy kwadratowej można przypisać liczbę, która jest jednoznacznie określona przy użyciu wszystkich elementów macierzy. Liczba ta nazywana jest wyznacznikiem.

Wyznacznik drugiego rzędu jest liczbą otrzymaną przy użyciu elementów macierzy kwadratowej drugiego rzędu w następujący sposób: .

W tym przypadku od iloczynu elementów znajdujących się na tzw. głównej przekątnej macierzy (przechodząc od lewego górnego do prawego dolnego rogu) odejmuje się iloczyn elementów znajdujących się na drugiej, czyli wtórnej przekątnej macierzy .

Wyznacznik trzeciego rzędu jest liczbą wyznaczoną za pomocą elementów macierzy kwadratowej trzeciego rzędu w następujący sposób:

Komentarz. Aby ułatwić zapamiętanie tego wzoru, można skorzystać z tzw. reguły Cramera (trójkątów). Jest to następująco: elementy, których iloczyny wchodzą w skład wyznacznika ze znakiem „+”, układają się następująco:

Tworząc dwa trójkąty, symetryczne względem głównej przekątnej. Elementy, których iloczyny wchodzą w skład wyznacznika ze znakiem „-”, są usytuowane w podobny sposób względem przekątnej wtórnej:

14. Wyznaczniki VII rzędu. (determinanty wyższego rzędu)

Wyznacznik nr rząd odpowiadający macierzy nie, numer nazywa się:

Podstawowe metody obliczania wyznaczników:

1) Metoda redukcji zamówienia Wyznacznik opiera się na zależności: (1)

Gdzie nazywa się dopełnieniem algebraicznym th elementu. Drobny element ten nazywany jest wyznacznikiem n-1 porządek uzyskany z pierwotnego wyznacznika poprzez usunięcie I-ta linia i J kolumna.

Relacja (1) nazywa się rozwinięciem wyznacznika w I-ta linia. Podobnie możemy zapisać rozwinięcie wyznacznika wzdłuż kolumny:

Twierdzenie: Dla dowolnej macierzy kwadratowej zachodzi równość ,

gdzie i jest symbolem Kroneckera

2) Metoda redukcji do postaci trójkątnej w oparciu o siódmą własność wyznaczników.

Przykład: Oblicz wyznacznik: Odejmij pierwszą linię od wszystkich pozostałych.

3) Metoda relacji nawrotu pozwala wyrazić dany wyznacznik poprzez wyznacznik tego samego typu, ale niższego rzędu.

Permutacje, inwersje.

Dowolny układ liczb 1, 2, ..., N w określonej kolejności, tzw przegrupowanie z N znaki (cyfry).

Ogólny widok permutacji: .

Żadne z nich nie występuje dwukrotnie w permutacji.

Permutacja nazywa się nawet , jeśli jego elementy tworzą parzystą liczbę inwersji, oraz dziwne W przeciwnym razie.

Liczby k i p w permutacji to inwersja (zaburzenie), jeśli k > p, ale k w tej permutacji występuje przed p.

Trzy właściwości permutacji.

Właściwość 1: Liczba różnych permutacji jest równa ( , brzmi: „ N silnia").

Dowód. Liczba permutacji pokrywa się z liczbą sposobów tworzenia różnych permutacji. Podczas tworzenia permutacji jako J 1 możesz wziąć dowolną z liczb 1, 2, ..., N, co daje N możliwości. Jeśli J 1 jest już wybrany, a następnie jako J 2 możesz wziąć jeden z pozostałych N– 1 cyfry i liczba sposobów, które możesz wybrać J 1 i J 2 będzie równe itd. Ostatnią liczbę w permutacji można wybrać tylko w jeden sposób, co daje sposoby, a co za tym idzie, permutacje.

Właściwość 2: Każda transpozycja zmienia parzystość permutacji.

Dowód.Przypadek 1. Liczby podlegające transpozycji są umieszczane obok siebie w permutacji, tj. to wygląda jak (..., k,P, ...), tutaj wielokropek (...) oznacza liczby, które podczas transpozycji pozostają na swoich miejscach. Transpozycja zamienia to w permutację formy (..., P, k,...). W tych permutacjach każda z liczb k,R wykonuje te same inwersje z liczbami, które pozostają na miejscu. Jeśli liczby k I P nie skompilowali wcześniej inwersji (tj. k < R), wówczas w nowej permutacji pojawi się kolejna inwersja i liczba inwersji wzrośnie o jeden; Jeśli k I R stanowił inwersję, to po transpozycji liczba inwersji zmniejszy się o jeden. W każdym przypadku zmienia się parzystość permutacji.

Właściwość 3: Po przestawieniu wyznacznik zmienia znak.

17. Własności wyznaczników: wyznacznik macierzy transponowanej, zamiana wierszy w wyznaczniku, wyznacznik macierzy o identycznych wierszach.

Właściwość 1. Wyznacznik nie zmienia się podczas transpozycji, tj.

Dowód.

Komentarz. Poniższe własności wyznaczników zostaną sformułowane tylko dla ciągów. Ponadto z właściwości 1 wynika, że ​​kolumny będą miały te same właściwości.

Własność 6. Przy zmianie układu dwóch wierszy wyznacznika mnoży się go przez –1.

Dowód.

Właściwość 4. Wyznacznik mający dwa równe ciągi wynosi 0:

Dowód:

18. Własności wyznaczników: rozkład wyznacznika na ciąg znaków.

Drobny element wyznacznika to wyznacznik uzyskany z danego elementu poprzez przekreślenie wiersza i kolumny, w której występuje wybrany element.

Oznaczenie: wybrany element wyznacznika, jego drugorzędny.

Przykład. Dla

Dopełnienie algebraiczne element wyznacznika nazywa się jego mniejszym, jeśli suma wskaźników tego elementu i+j jest liczbą parzystą lub liczbą przeciwną do drobnego, jeśli i+j jest nieparzyste, tj.

Rozważmy inny sposób obliczania wyznaczników trzeciego rzędu - tzw. rozwinięcie wiersza lub kolumny. W tym celu udowodnimy następujące twierdzenie:

Twierdzenie: Wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów któregokolwiek z jego wierszy lub kolumn oraz ich uzupełnień algebraicznych, tj.: gdzie i=1,2,3.

Dowód.

Udowodnijmy twierdzenie dla pierwszego wiersza wyznacznika, gdyż dla każdego innego wiersza lub kolumny możemy przeprowadzić podobne rozumowanie i uzyskać ten sam wynik.

Znajdźmy uzupełnienia algebraiczne elementów pierwszego rzędu:

Możesz sam udowodnić tę właściwość, porównując wartości lewej i prawej strony równości znalezionej za pomocą definicji 1.5.

Gimnazjum nr 45.

Moskwa.

Uczeń 10. klasy „B” Gorochow Jewgienij

Zajęcia (wersja robocza).

Wprowadzenie do teorii macierzy i wyznaczników .

1996

1. Macierze.

1.1 Pojęcie macierzy.

Matryca to prostokątna tabela liczb zawierająca pewną ilość M linie i określoną liczbę N kolumny. Liczby M I N są nazywane Zamówienia matryce. Jeśli M = N , macierz nazywa się kwadratem, a liczbą m = rz - jej w celu .

1.2 Podstawowe operacje na macierzach.

Podstawowe operacje arytmetyczne na macierzach to mnożenie macierzy przez liczbę, dodawanie i mnożenie macierzy.

Przejdźmy do zdefiniowania podstawowych operacji na macierzach.

Dodawanie macierzy : Suma dwóch macierzy, na przykład: A I B , mający tę samą liczbę wierszy i kolumn, innymi słowy tę samą kolejność M I N zwana macierzą C = ( Z ja )( ja = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) te same zamówienia M I N , elementy Cij które są równe.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Aby oznaczyć sumę dwóch macierzy, stosuje się notację C = A + B. Operację sumowania macierzy nazywa się ich dodatek

Zatem z definicji mamy:

+ =

=

Z definicji sumy macierzy, a dokładniej ze wzoru ( 1.2 ) od razu wynika, że ​​operacja dodawania macierzy ma te same właściwości, co operacja dodawania liczb rzeczywistych, a mianowicie:

właściwość przemienna: A + B = B + A

łączenie własności: (A + B) + C = A + (B + C)

Te właściwości pozwalają nie martwić się o kolejność składników macierzy podczas dodawania dwóch lub więcej macierzy.

Mnożenie macierzy przez liczbę :

Produkt matrixowy do liczby rzeczywistej zwaną macierzą C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , których elementy są równe

Cij = Aij (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). ( 1.3 )

Aby oznaczyć iloczyn macierzy i liczby, stosuje się notację C= A Lub C=A . Operację składania iloczynu macierzy przez liczbę nazywa się mnożeniem macierzy przez tę liczbę.

Bezpośrednio ze wzoru ( 1.3 ) jasne jest, że mnożenie macierzy przez liczbę ma następujące właściwości:

własność rozdzielcza dotycząca sumy macierzy:

( A + B) = + B

właściwość asocjacyjna dotycząca czynnika liczbowego:

( ) A= ( A)

własność rozdzielcza dotycząca sumy liczb:

( + ) A= A + A .

Komentarz : Różnica dwóch macierzy A I B identycznych rzędów naturalne jest wywołanie takiej macierzy C tych samych rzędów, co sumuje się z macierzą B daje macierz A . Aby oznaczyć różnicę między dwiema macierzami, stosuje się notację naturalną: C = A – B.

Mnożenie macierzy :

Produkt matrixowy A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , mając odpowiednio równe rzędy M I N , na matrycę B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , mając odpowiednio równe rzędy N I P , nazywa się macierzą C= (Z ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , mając odpowiednio równe rzędy M I P i elementy Cij , określone wzorem

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Aby oznaczyć iloczyn macierzy A do matrixa B użyj nagrania

C=AB . Operacja komponowania produktu matrycowego A do matrixa B zwany mnożenie te matryce. Z definicji sformułowanej powyżej wynika, że matryca A nie można pomnożyć przez żadną macierz B : konieczne jest podanie liczby kolumn macierzy A był równa się liczba wierszy macierzy B . Aby obydwa dzieła AB I licencjat nie tylko zostały zdefiniowane, ale także miały ten sam porządek, konieczne i wystarczające jest, aby obie macierze A I B były macierzami kwadratowymi tego samego rzędu.

Formuła ( 1.4 ) reprezentuje zasadę komponowania elementów macierzy C ,

który jest iloczynem macierzy A do matrixa B . Zasadę tę można sformułować ustnie: Element Cij , stojąc na skrzyżowaniu I linia i J- kolumna macierzy C=AB , jest równy suma iloczynów parami odpowiednich elementów I linia matryce A I J- kolumna macierzy B . Jako przykład zastosowania tej reguły podajemy wzór na mnożenie macierzy kwadratowych drugiego rzędu

=

Ze wzoru ( 1.4 ) następujące właściwości produktu matrycowego: A do matrixa B :

łączność: ( AB) C = A(BC);

własność rozdzielcza w odniesieniu do sumy macierzy:

(A + B) C = AC + BC Lub A (B + C) = AB + AC.

Zagadnienie własności permutacyjnej iloczynu macierzy ma sens podnosić tylko dla macierzy kwadratowych tego samego rzędu. Pokazują to elementarne przykłady iloczyny dwóch macierzy kwadratowych tego samego rzędu, ogólnie rzecz biorąc, nie mają właściwości komutacji. W rzeczywistości, jeśli umieścimy

A= , B = , To AB = , A BA =

Zwykle nazywane są te same macierze, dla których iloczyn ma właściwość komutacji dojazdy.

Wśród macierzy kwadratowych wyróżniamy klasę tzw przekątna macierze, z których każda ma elementy znajdujące się poza główną przekątną równe zeru. Spośród wszystkich macierzy diagonalnych, których elementy na głównej przekątnej pokrywają się, szczególnie ważną rolę odgrywają dwie macierze. Pierwszą z tych macierzy uzyskuje się, gdy wszystkie elementy głównej przekątnej są równe jeden i nazywa się ją macierzą jednostkową N- mi . Drugą macierz otrzymuje się, gdy wszystkie elementy są równe zeru i nazywa się ją macierzą zerową N- kolejności i jest oznaczony symbolem O . Załóżmy, że istnieje dowolna macierz A , Następnie

AE=EA=A , AO=OA=O .

Pierwszy ze wzorów charakteryzuje szczególną rolę macierzy tożsamości mi , podobnie jak rolę odgrywaną przez liczbę 1 przy mnożeniu liczb rzeczywistych. Jeśli chodzi o szczególną rolę macierzy zerowej O , to ujawnia to nie tylko drugi ze wzorów, ale także elementarna sprawdzalna równość: A+O=O+A=A . Pojęcie macierzy zerowej można wprowadzić nie dla macierzy kwadratowych.

2. Determinanty.

2.1 Pojęcie wyznacznika.

Przede wszystkim trzeba pamiętać, że wyznaczniki istnieją tylko dla macierzy typu kwadratowego, gdyż dla macierzy innych typów nie ma wyznaczników. W teorii układów równań liniowych oraz w niektórych innych zagadnieniach wygodnie jest używać tego pojęcia wyznacznik , Lub wyznacznik .

2.2 Obliczanie wyznaczników.

Rozważmy dowolne cztery liczby zapisane w postaci macierzy dwa w rzędach i każdy dwie kolumny , Wyznacznik Lub wyznacznik , składający się z liczb w tej tabeli, jest liczbą ad-bc , oznaczone w następujący sposób: . Taki wyznacznik nazywa się wyznacznik drugiego rzędu , ponieważ do jego kompilacji wykorzystano tabelę składającą się z dwóch wierszy i dwóch kolumn. Liczby tworzące wyznacznik nazywane są jego elementy ; jednocześnie mówią, że żywioły A I D makijaż główna przekątna wyznacznik i elementy B I C jego przekątna boczna . Można zauważyć, że wyznacznik jest równy różnicy iloczynów par elementów znajdujących się na jego głównej i drugorzędnej przekątnej. Wyznacznik trzeciego i każdego innego rzędu jest w przybliżeniu taki sam, a mianowicie: Powiedzmy, że mamy macierz kwadratową . Wyznacznikiem poniższej macierzy jest wyrażenie: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Jak widać, oblicza się to dość łatwo, jeśli pamięta się określoną sekwencję. Ze znakiem dodatnim są przekątna główna i trójkąty utworzone z elementów, które mają bok równoległy do ​​głównej przekątnej, w tym przypadku są to trójkąty a12a23a31 , a13a21a32 .

Boczna przekątna i równoległe do niej trójkąty mają znak ujemny, tj. a11a23a32, a12a21a33 . W ten sposób można znaleźć wyznaczniki dowolnego rzędu. Ale zdarzają się przypadki, gdy metoda ta staje się dość skomplikowana, na przykład gdy w macierzy jest wiele elementów, a aby obliczyć wyznacznik, trzeba poświęcić dużo czasu i uwagi.

Istnieje prostszy sposób obliczenia wyznacznika N- och, zamówienie, gdzie N 2 . Zgódźmy się nazwać dowolny element elementem drugorzędnym Aij matryce N- wyznacznik pierwszego rzędu odpowiadający macierzy otrzymanej z macierzy w wyniku usunięcia I linia i J- kolumna (ten wiersz i ta kolumna, na przecięciu których znajduje się element Aij ). Element drugorzędny Aij będziemy oznaczać symbolem . W tym zapisie górny indeks oznacza numer wiersza, dolny indeks numer kolumny, a górna kreska M oznacza, że ​​określony wiersz i kolumna są przekreślone. Wyznacznik porządku N , odpowiadający macierzy, nazywamy liczbą równą i oznaczone symbolem .

Twierdzenie 1.1 Niezależnie od numeru linii I ( ja =1, 2…, n) , dla wyznacznika N- obowiązuje wzór pierwszego rzędu wielkości

= de A =

zwany I- linia . Podkreślamy, że w tym wzorze wykładnik, do którego podnoszona jest liczba (-1), jest równy sumie numerów wierszy i kolumn, na przecięciu których znajduje się element Aij .

Twierdzenie 1.2 Niezależnie od numeru kolumny J ( j =1, 2…, n) , dla wyznacznika N obowiązuje formuła trzeciego rzędu

= de A =

zwany rozwinięcie tego wyznacznika w J- kolumna .

2.3 Podstawowe własności wyznaczników.

Wyznaczniki mają także właściwości ułatwiające ich obliczanie. Poniżej ustalamy szereg właściwości, które ma dowolny wyznacznik N -ta kolejność.

1 . Właściwość równości wierszy i kolumn . Transpozycja dowolnej macierzy lub wyznacznika jest operacją, w wyniku której następuje zamiana wierszy i kolumn z zachowaniem ich kolejności. W wyniku transpozycji macierzy A uzyskana macierz nazywana jest macierzą, zwaną transpozycją w stosunku do macierzy A i jest oznaczony symbolem A .

Pierwsza właściwość wyznacznika jest sformułowana następująco: podczas transpozycji wartość wyznacznika zostaje zachowana, tj. = .

2 . Właściwość antysymetrii podczas zmiany układu dwóch wierszy (lub dwóch kolumn) . Kiedy zamieniamy dwa wiersze (lub dwie kolumny), wyznacznik zachowuje swoją wartość bezwzględną, ale zmienia znak na przeciwny. Dla wyznacznika drugiego rzędu właściwość tę można zweryfikować w sposób elementarny (ze wzoru na wyznacznik drugiego rzędu wynika od razu, że wyznaczniki różnią się jedynie znakiem).

3 . Własność liniowa wyznacznika. Powiemy, że jakiś ciąg ( A) jest liniową kombinacją pozostałych dwóch ciągów ( B I C ) ze współczynnikami I . Właściwość liniową można sformułować następująco: jeśli w wyznaczniku N -ta kolejność Niektóre I -ty rząd jest liniową kombinacją dwóch wierszy ze współczynnikami I , To = + , Gdzie

– wyznacznik, który ma I -ty rząd jest równy jednemu z dwóch rzędów kombinacji liniowej, a wszystkie pozostałe rzędy są takie same , A - wyznacznik, który ma I- i string jest równy drugiemu z dwóch ciągów, a wszystkie pozostałe ciągi są takie same jak .

Te trzy właściwości są głównymi właściwościami wyznacznika, ujawniającymi jego naturę. Oto pięć następujących właściwości logiczne konsekwencje trzy główne właściwości.

Wniosek 1. Wyznacznik mający dwa identyczne wiersze (lub kolumny) jest równy zero.

Konsekwencja 2. Mnożenie wszystkich elementów jakiegoś wiersza (lub kolumny) wyznacznika przez liczbę A jest równoważne pomnożeniu wyznacznika przez tę liczbę A . Innymi słowy, ze znaku tego wyznacznika można wyjąć wspólny czynnik wszystkich elementów pewnego wiersza (lub kolumny) wyznacznika.

Konsekwencja 3. Jeśli wszystkie elementy pewnego wiersza (lub jakiejś kolumny) są równe zero, to sam wyznacznik jest równy zero.

Konsekwencja 4. Jeżeli elementy dwóch wierszy (lub dwóch kolumn) wyznacznika są proporcjonalne, to wyznacznik jest równy zero.

Konsekwencja 5. Jeśli do elementów pewnego wiersza (lub jakiejś kolumny) wyznacznika dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (innej kolumny), to pomnożenie przez dowolny współczynnik , to wartość wyznacznika nie ulega zmianie. Wniosek 5, podobnie jak własność liniowa, pozwala na bardziej ogólne sformułowanie, które podam dla ciągów: jeśli do elementów pewnego rzędu wyznacznika dodamy odpowiednie elementy ciągu będącego liniową kombinacją kilku innych wierszy tego wyznacznika (przy dowolnych współczynnikach), to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie. Wniosek 5 jest szeroko stosowany w konkretnych obliczeniach wyznaczników.

3. Układy równań liniowych.

3.1 Podstawowe definicje.

…….

3.2 Warunek zgodności układów równań liniowych.

…….

3.3 Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera.

Wiadomo, że za pomocą macierzy można rozwiązywać różne układy równań, przy czym układy te mogą mieć dowolną wielkość i posiadać dowolną liczbę zmiennych. Dzięki kilku wyprowadzeniom i wzorom rozwiązywanie ogromnych układów równań staje się dość szybkie i łatwiejsze.

W szczególności opiszę metody Cramera i Gaussa. Najprostszym sposobem jest metoda Cramera (dla mnie) lub jak to się też nazywa formuła Cramera. Załóżmy więc, że mamy pewien układ równań . Głównym wyznacznikiem, jak już zauważyłeś, jest macierz złożona ze współczynników zmiennych. Występują one także w kolejności kolumnowej, tj. pierwsza kolumna zawiera współczynniki, które znajdują się w X , w drugiej kolumnie o godz y , i tak dalej. Jest to bardzo ważne, ponieważ w kolejnych krokach każdą kolumnę współczynników zmiennej zastąpimy kolumną odpowiedzi na równania. Tak więc, jak powiedziałem, zastępujemy kolumnę przy pierwszej zmiennej kolumną odpowiedzi, a następnie przy drugiej, oczywiście wszystko zależy od tego, ile zmiennych musimy znaleźć.

1 = , 2 = , 3 = .

Następnie musisz znaleźć wyznaczniki wyznacznik systemu .

3.4 Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.

…….

4. Macierz odwrotna.

4.1 Pojęcie macierzy odwrotnej.

4.2 Obliczanie macierzy odwrotnej.

Bibliografia.

V. A. Ilyin, E. G. Poznyak „Algebra liniowa”

2. G. D. Kim, E. V. Shikin „Elementarne transformacje w algebrze liniowej”

Temat 1. Macierze i wyznaczniki macierzy

Czego się uczymy:

Podstawowe pojęcia algebry liniowej: macierz, wyznacznik.

Czego się nauczymy:

Wykonuj operacje na macierzach;

Oblicz z wyznacznikami drugiego i trzeciego rzędu.

Temat 1.1. Pojęcie macierzy. Działania na macierzach

∆ Matryca to prostokątna tabela składająca się z wierszy i kolumn, wypełniona pewnymi obiektami matematycznymi.

Macierze oznacza się dużymi literami łacińskimi, samą tabelę ujęto w nawiasy (rzadziej w kwadraty lub inne kształty).

Elementy A ja zwany elementy matrycy . Pierwszy indeks I– numer linii, sekundaJ– numer kolumny. Najczęściej elementami są liczby.

Wpis „macierz” A ma rozmiar M× N» oznacza, że ​​mówimy o macierzy składającej się zM linie i N kolumny.

Jeśli M = 1, a N > 1, to macierz wynosimacierz - wiersz . Jeśli M > 1, A N = 1, to macierz wynosimacierz - kolumna .

Macierz, w której liczba wierszy pokrywa się z liczbą kolumn (m= rz), zwany kwadrat .

.

Elementy A 11 , A 22 ,…, A nn macierz kwadratowaA (rozmiar N× N) formularz główna przekątna , elementy A 1 N , A 2 N -1 ,…, A N 1 - przekątna boczna .

W matrixie
elementy 5; 7 tworzy główną przekątną, elementy –5; 8 – boczna przekątna.

Matryce A I B są nazywane równy (A= B), jeśli mają tę samą wielkość i ich elementy w tych samych pozycjach pokrywają się, tj.A ja = b ja .

Macierz jednostkowa nazywa się macierzą kwadratową, w której elementy głównej przekątnej są równe jeden, a pozostałe elementy są równe zero. Macierz tożsamości jest zwykle oznaczana jako E.

Matryca transponowane do macierzy A o rozmiarzeM× N, nazywa się macierzą A Rozmiar T N× M, otrzymanej z macierzy A, jeśli jej wiersze zostaną zapisane w kolumnach, a kolumny w wierszach.

Działania arytmetyczne na macierzach.

Znaleźć suma macierzy A I B o tym samym wymiarze, należy dodać elementy o tych samych indeksach (stojące w tych samych miejscach):

.

Dodawanie macierzy jest przemienne, to znaczy A + B = B + A.

Znaleźć różnica matrycy A I B tego samego wymiaru, należy znaleźć różnicę elementów o tych samych wskaźnikach:

.

Do pomnóż macierz Ana numer k, Należy pomnożyć każdy element macierzy przez tę liczbę:

.

Praca matryce AB można zdefiniować tylko dla macierzyA rozmiar M× N I B rozmiar N× P, tj. liczba kolumn macierzyA musi być równa liczbie wierszy macierzyW. W której A· B= C, matryca C ma rozmiar M× P, i jego element C ja występuje jako iloczyn skalarnyIt wiersze macierzy A NA Jt kolumna matrycyB: ( I=1,2,…, M; J=1,2,…, P).

!! Właściwie każda linia jest potrzebna matryce A (stoi po lewej stronie) pomnóż skalar przez każdą kolumnę macierzy B (stoi po prawej stronie).

Iloczyn macierzy nie jest przemienny, to znaczyА·В ≠ В·А . ▲

☺ Niezbędna jest analiza przykładów w celu utrwalenia materiału teoretycznego.

Przykład 1. Wyznaczanie wielkości macierzy.

Przykład 2. Definicja elementów macierzy.

W elemencie macierzy A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

W elemencie macierzy A 21 = 2, A 13 = 0.

Przykład 3: Wykonywanie transpozycji macierzy.

,

Przykład 4. Wykonywanie operacji na macierzach.

Znajdować 2 A- B, Jeśli , .

Rozwiązanie. .

Przykład 5. Znajdź iloczyn macierzy I .

Rozwiązanie. Rozmiar matrycyA – 3 × 2 , matryce W – 2 × 2 . Dlatego produktA·B możesz to znaleźć. Otrzymujemy:

Praca VA nie można znaleźć.

Przykład 6. Znajdź A 3 jeśli A =
.

Rozwiązanie. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

Przykład 6. Znajdź 2 A 2 + 3 A + 5 mi Na
,
.

Rozwiązanie. ,

,
,

,
.

Zadania do wykonania

1. Wypełnij tabelę.

2. Wykonaj operacje na macierzach
I
:

3. Wykonaj mnożenie macierzy:

4. Transponuj macierze:

? 1. Co to jest macierz?

2. Jak odróżnić macierz od innych elementów algebry liniowej?

3. Jak określić rozmiar matrycy? Dlaczego jest to konieczne?

4. Co oznacza wpis? A ja ?

5. Wyjaśnij pojęcia: przekątna główna, przekątna wtórna macierzy.

6. Jakie operacje można wykonywać na macierzach?

7. Wyjaśnij istotę operacji mnożenia macierzy?

8. Czy dowolną macierz można pomnożyć? Dlaczego?

Temat 1.2. Wyznaczniki drugiego i trzeciego rzędu : M metody ich obliczania

∆ Jeśli A jest macierzą kwadratową N-tego rzędu, to możemy z nim skojarzyć liczbę tzw wyznacznik n-te zamówienie i oznaczone przez |A|. Oznacza to, że wyznacznik zapisuje się jako macierz, ale zamiast nawiasów jest ujęty w nawiasy proste.

!! Czasami wyznaczniki nazywane są determinantami w języku angielskim, to znaczy = de A.

Wyznacznik pierwszego rzędu (wyznacznik macierzy A o rozmiarze1 × 1 ) jest samym elementem, który zawiera macierz A, tj.

Wyznacznik drugiego rzędu (wyznacznik macierzy Rozmiar 2 × 2 ) to liczba, którą można znaleźć korzystając z reguły:

(iloczyn elementów głównej przekątnej macierzy minus iloczyn elementów drugiej przekątnej).

Wyznacznik trzeciego rzędu (wyznacznik macierzy Rozmiar 3 × 3 ) to liczba, którą można znaleźć korzystając z reguły „trójkątów”:

Do obliczenia wyznaczników trzeciego rzędu można zastosować prostszą regułę - regułę kierunków (linie równoległe).

Kierunki rządzą : Z prawo wyznacznika dodaje się do pierwszych dwóch kolumn, iloczyny elementów na głównej przekątnej i na przekątnych do niej równoległych przyjmuje się ze znakiem plus; a iloczyny elementów drugiej przekątnej i równoległych do niej przekątnych są oznaczone znakiem minus.

!! Do obliczenia wyznaczników można wykorzystać ich właściwości, które obowiązują dla wyznaczników dowolnego rzędu.

Właściwości wyznaczników:

1° . Wyznacznik macierzy A nie zmienia się podczas transpozycji, tj. |A| = |A T |. Ta właściwość charakteryzuje równość wierszy i kolumn.

2° . Przy zmianie układu dwóch wierszy (dwóch kolumn) wyznacznik zachowuje swoją poprzednią wartość, ale znak jest odwrócony.

4° . Jeśli jakikolwiek wiersz lub kolumna zawiera wspólny czynnik, można go usunąć ze znaku wyznacznika.

Wniosek 4.1. Jeżeli wszystkie elementy dowolnego szeregu wyznacznika są równe zero, to wyznacznik jest równy zero.

Wniosek 4.2. Jeżeli elementy dowolnego szeregu wyznacznika są proporcjonalne do odpowiednich elementów szeregu do niego równoległego, to wyznacznik jest równy zero.▲

☺ Należy przeanalizować zasady obliczania wyznaczników.

Przykład 1: Obliczeniadeterminanty drugiego rzędu,
.

Rozwiązanie.

Gimnazjum nr 45.

Moskwa.

Uczeń 10. klasy „B” Gorochow Jewgienij

Zajęcia (wersja robocza).

Wprowadzenie do teorii macierzy i wyznaczników .

1. Macierze.................................................. .................................................. ............... .................................. ........................ ......

1.1 Pojęcie macierzy .................................................. ...................................................... ............... ..................................

1.2 Podstawowe operacje na macierzach........................................... ....... .................................. ............. .

2. Determinanty .................................................. .................................................. ............... .................................. ...........

2.1 Pojęcie wyznacznika .................................................. ........................................... .............. ...............

2.2 Obliczanie wyznaczników .................................................. ...................................................... ............... ..............

2.3 Podstawowe własności wyznaczników............................................ ....... .................................. .............

3. Układy równań liniowych............................................ ........................................... .............. .

3.1 Podstawowe definicje .................................................. .................................................... ........................

3.2 Warunek spójności układów równań liniowych........................................... .............. ..............

3.3 Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera............................................ ........................

3.4 Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa........................................... ............... .............

4. Macierz odwrotna........................................... ...................................................... ............... ..................................

4.1 Pojęcie macierzy odwrotnej............................................ ....... .................................. ............. .............

4.2 Obliczanie macierzy odwrotnej........................................... ........................................... .........................

Bibliografia .................................................. . .................................................. ..................................

Matryca to prostokątna tabela liczb zawierająca pewną ilość M linie i określoną liczbę N kolumny. Liczby M I N są nazywane Zamówienia matryce. Jeśli M = N , macierz nazywa się kwadratem, a liczbą m = rz -- jej w celu .

Podstawowe operacje arytmetyczne na macierzach to mnożenie macierzy przez liczbę, dodawanie i mnożenie macierzy.

Przejdźmy do zdefiniowania podstawowych operacji na macierzach.

Dodawanie macierzy: Suma dwóch macierzy, na przykład: A I B , mający tę samą liczbę wierszy i kolumn, innymi słowy tę samą kolejność M I N zwana macierzą C = ( Z ja )( ja = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) te same zamówienia M I N , elementy Cij które są równe.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Aby oznaczyć sumę dwóch macierzy, stosuje się notację C = A + B. Operację sumowania macierzy nazywa się ich dodatek

Zatem z definicji mamy:

+ =

=

Z definicji sumy macierzy, a dokładniej ze wzoru ( 1.2 ) od razu wynika, że ​​operacja dodawania macierzy ma te same właściwości, co operacja dodawania liczb rzeczywistych, a mianowicie:

1) właściwość przemienna: A + B = B + A

2) łączenie własności: (A + B) + C = A + (B + C)

Te właściwości pozwalają nie martwić się o kolejność składników macierzy podczas dodawania dwóch lub więcej macierzy.

Mnożenie macierzy przez liczbę :

Produkt matrixowy liczba rzeczywista nazywana jest macierzą C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , których elementy są równe

Cij = Aij (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). (1.3 )

Aby oznaczyć iloczyn macierzy i liczby, stosuje się notację C= A Lub C=A . Operację składania iloczynu macierzy przez liczbę nazywa się mnożeniem macierzy przez tę liczbę.

Bezpośrednio ze wzoru ( 1.3 ) jasne jest, że mnożenie macierzy przez liczbę ma następujące właściwości:

1) własność rozdzielcza dotycząca sumy macierzy:

( A + B) = + B

2) właściwość asocjacyjna dotycząca czynnika liczbowego:

() A= ( A)

3) własność rozdzielcza dotycząca sumy liczb:

( + ) A= A + A .

Komentarz :Różnica dwóch macierzy A I B identycznych rzędów naturalne jest wywołanie takiej macierzy C tych samych rzędów, co sumuje się z macierzą B daje macierz A . Aby oznaczyć różnicę między dwiema macierzami, stosuje się notację naturalną: C = A – B.

Mnożenie macierzy :

Produkt matrixowy A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , mając odpowiednio równe rzędy M I N , na matrycę B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , mając odpowiednio równe rzędy N I P , nazywa się macierzą C= (Z ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , mając odpowiednio równe rzędy M I P i elementy Cij , określone wzorem

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Aby oznaczyć iloczyn macierzy A do matrixa B użyj nagrania

C=AB . Operacja komponowania produktu matrycowego A do matrixa B zwany mnożenie te matryce. Z definicji sformułowanej powyżej wynika, że matryca A nie można pomnożyć przez żadną macierz B : konieczne jest podanie liczby kolumn macierzy A był równa się liczba wierszy macierzy B . Aby obydwa dzieła AB I licencjat nie tylko zostały zdefiniowane, ale także miały ten sam porządek, konieczne i wystarczające jest, aby obie macierze A I B były macierzami kwadratowymi tego samego rzędu.

Formuła ( 1.4 ) reprezentuje zasadę komponowania elementów macierzy C ,

który jest iloczynem macierzy A do matrixa B . Zasadę tę można sformułować ustnie: Element Cij , stojąc na skrzyżowaniu I linia i J- kolumna macierzy C=AB , jest równy suma iloczynów parami odpowiednich elementów I linia matryce A I J- kolumna macierzy B . Jako przykład zastosowania tej reguły podajemy wzór na mnożenie macierzy kwadratowych drugiego rzędu

Ze wzoru ( 1.4 ) następujące właściwości produktu matrycowego: A do matrixa B :

1) łączność: ( AB) C = A(BC);

2) własność rozdzielcza w odniesieniu do sumy macierzy:

(A + B) C = AC + BC Lub A (B + C) = AB + AC.

Zagadnienie własności permutacyjnej iloczynu macierzy ma sens podnosić tylko dla macierzy kwadratowych tego samego rzędu. Elementarne przykłady pokazują, że iloczyn dwóch macierzy kwadratowych tego samego rzędu, ogólnie rzecz biorąc, nie ma własności komutacji. W rzeczywistości, jeśli umieścimy

ZA = , B = , To AB = , A BA =

Zwykle nazywane są te same macierze, dla których iloczyn ma właściwość komutacji dojazdy.

Wśród macierzy kwadratowych wyróżniamy klasę tzw przekątna macierze, z których każda ma elementy znajdujące się poza główną przekątną równe zeru. Spośród wszystkich macierzy diagonalnych, których elementy na głównej przekątnej pokrywają się, szczególnie ważną rolę odgrywają dwie macierze. Pierwszą z tych macierzy uzyskuje się, gdy wszystkie elementy głównej przekątnej są równe jeden i nazywa się ją macierzą jednostkową N- mi . Drugą macierz otrzymuje się, gdy wszystkie elementy są równe zeru i nazywa się ją macierzą zerową N- kolejności i jest oznaczony symbolem O . Załóżmy, że istnieje dowolna macierz A , Następnie

AE=EA=A , AO=OA=O .

Pierwszy ze wzorów charakteryzuje szczególną rolę macierzy tożsamości mi, podobnie jak rolę odgrywaną przez liczbę 1 przy mnożeniu liczb rzeczywistych. Jeśli chodzi o szczególną rolę macierzy zerowej O, to ujawnia to nie tylko drugi ze wzorów, ale także elementarna sprawdzalna równość: A+O=O+A=A . Pojęcie macierzy zerowej można wprowadzić nie dla macierzy kwadratowych.

Przede wszystkim trzeba pamiętać, że wyznaczniki istnieją tylko dla macierzy typu kwadratowego, gdyż dla macierzy innych typów nie ma wyznaczników. W teorii układów równań liniowych oraz w niektórych innych zagadnieniach wygodnie jest używać tego pojęcia wyznacznik, Lub wyznacznik .

Rozważmy dowolne cztery liczby zapisane w postaci macierzy dwójkowej w rzędach i dwie kolumny , Wyznacznik Lub wyznacznik, składający się z liczb w tej tabeli, jest liczbą ad-bc , oznaczone następująco: .Taki wyznacznik nazywa się wyznacznik drugiego rzędu, ponieważ do jego kompilacji wykorzystano tabelę składającą się z dwóch wierszy i dwóch kolumn. Liczby tworzące wyznacznik nazywane są jego elementy; jednocześnie mówią, że żywioły A I D makijaż główna przekątna wyznacznik i elementy B I C jego przekątna boczna. Można zauważyć, że wyznacznik jest równy różnicy iloczynów par elementów znajdujących się na jego głównej i drugorzędnej przekątnej. Wyznacznik trzeciego i każdego innego rzędu jest w przybliżeniu taki sam, a mianowicie: Powiedzmy, że mamy macierz kwadratową . Wyznacznikiem poniższej macierzy jest wyrażenie: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Jak widać, oblicza się to dość łatwo, jeśli pamięta się określoną sekwencję. Ze znakiem dodatnim są przekątna główna i trójkąty utworzone z elementów, które mają bok równoległy do ​​głównej przekątnej, w tym przypadku są to trójkąty a12a23a31, a13a21a32 .

Boczna przekątna i równoległe do niej trójkąty mają znak ujemny, tj. a11a23a32, a12a21a33 . W ten sposób można znaleźć wyznaczniki dowolnego rzędu. Ale zdarzają się przypadki, gdy metoda ta staje się dość skomplikowana, na przykład gdy w macierzy jest wiele elementów, a aby obliczyć wyznacznik, trzeba poświęcić dużo czasu i uwagi.

Istnieje prostszy sposób obliczenia wyznacznika N- och, zamówienie, gdzie n2 . Zgódźmy się nazwać dowolny element elementem drugorzędnym Aij matryce N- wyznacznik pierwszego rzędu odpowiadający macierzy otrzymanej z macierzy w wyniku usunięcia I linia i J- kolumna (ten wiersz i ta kolumna, na przecięciu których znajduje się element Aij ). Element drugorzędny Aij będzie oznaczone symbolem . W tym zapisie górny indeks oznacza numer wiersza, dolny indeks numer kolumny, a górna kreska M oznacza, że ​​określony wiersz i kolumna są przekreślone. Wyznacznik porządku N , odpowiadający macierzy, nazywamy liczbą równą i oznaczone symbolem .

Twierdzenie 1.1 Niezależnie od numeru linii I ( ja =1, 2…, n) , dla wyznacznika N- obowiązuje wzór pierwszego rzędu wielkości

= de A =

zwany I- linia . Podkreślamy, że w tym wzorze wykładnik, do którego podnoszona jest liczba (-1), jest równy sumie numerów wierszy i kolumn, na przecięciu których znajduje się element Aij .

Twierdzenie 1.2 Niezależnie od numeru kolumny J ( j =1, 2…, n) , dla wyznacznika N obowiązuje formuła trzeciego rzędu

= de A =

zwany rozwinięcie tego wyznacznika w J- kolumna .

Wyznaczniki mają także właściwości ułatwiające ich obliczanie. Poniżej ustalamy szereg właściwości, które ma dowolny wyznacznik N -ta kolejność.

1. Właściwość równości wierszy i kolumn . Transpozycja dowolnej macierzy lub wyznacznika jest operacją, w wyniku której następuje zamiana wierszy i kolumn z zachowaniem ich kolejności. W wyniku transpozycji macierzy A uzyskana macierz nazywana jest macierzą, zwaną transpozycją w stosunku do macierzy A i jest oznaczony symbolem A .

Pierwsza właściwość wyznacznika jest sformułowana w następujący sposób: podczas transpozycji wartość wyznacznika zostaje zachowana, tj. = .

2. Właściwość antysymetrii podczas zmiany układu dwóch wierszy (lub dwóch kolumn). Kiedy zamieniamy dwa wiersze (lub dwie kolumny), wyznacznik zachowuje swoją wartość bezwzględną, ale zmienia znak na przeciwny. Dla wyznacznika drugiego rzędu właściwość tę można zweryfikować w sposób elementarny (ze wzoru na wyznacznik drugiego rzędu wynika od razu, że wyznaczniki różnią się jedynie znakiem).

3. Liniowa właściwość wyznacznika. Powiemy, że jakiś ciąg ( A) jest liniową kombinacją pozostałych dwóch ciągów ( B I C ) ze współczynnikami i . Właściwość liniową można sformułować następująco: jeśli w wyznaczniku N jakiś porządek I Th rząd jest liniową kombinacją dwóch wierszy ze współczynnikami i , a następnie = + , gdzie

- wyznacznik, który ma I -ty rząd jest równy jednemu z dwóch rzędów kombinacji liniowej, a wszystkie pozostałe rzędy są takie same , a jest wyznacznikiem którego I- i string jest równy drugiemu z dwóch ciągów, a wszystkie pozostałe ciągi są takie same jak .

Te trzy właściwości są głównymi właściwościami wyznacznika, ujawniającymi jego naturę. Oto pięć następujących właściwości logiczne konsekwencje trzy główne właściwości.

Wniosek 1. Wyznacznik mający dwa identyczne wiersze (lub kolumny) jest równy zero.

Konsekwencja 2. Mnożenie wszystkich elementów jakiegoś wiersza (lub kolumny) wyznacznika przez liczbę A jest równoważne pomnożeniu wyznacznika przez tę liczbę A . Innymi słowy, ze znaku tego wyznacznika można wyjąć wspólny czynnik wszystkich elementów pewnego wiersza (lub kolumny) wyznacznika.

Konsekwencja 3. Jeśli wszystkie elementy pewnego wiersza (lub jakiejś kolumny) są równe zero, to sam wyznacznik jest równy zero.

Konsekwencja 4. Jeżeli elementy dwóch wierszy (lub dwóch kolumn) wyznacznika są proporcjonalne, to wyznacznik jest równy zero.

Konsekwencja 5. Jeśli do elementów pewnego wiersza (lub kolumny) wyznacznika dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (innej kolumny), mnożąc przez dowolny współczynnik, to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie. Wniosek 5, podobnie jak własność liniowa, pozwala na bardziej ogólne sformułowanie, które podam dla ciągów: jeśli do elementów pewnego rzędu wyznacznika dodamy odpowiednie elementy ciągu będącego liniową kombinacją kilku innych wierszy tego wyznacznika (przy dowolnych współczynnikach), to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie. Wniosek 5 jest szeroko stosowany w konkretnych obliczeniach wyznaczników.

Wiadomo, że za pomocą macierzy można rozwiązywać różne układy równań, przy czym układy te mogą mieć dowolną wielkość i posiadać dowolną liczbę zmiennych. Dzięki kilku wyprowadzeniom i wzorom rozwiązywanie ogromnych układów równań staje się dość szybkie i łatwiejsze.

W szczególności opiszę metody Cramera i Gaussa. Najprostszym sposobem jest metoda Cramera (dla mnie) lub jak to się też nazywa formuła Cramera. Załóżmy więc, że mamy pewien układ równań

, W postaci macierzowej układ ten można zapisać w następujący sposób: A= , gdzie odpowiedzi na równania będą w ostatniej kolumnie. Wprowadzimy teraz koncepcję wyznacznika fundamentalnego; w tym przypadku będzie to wyglądać następująco:

= . Głównym wyznacznikiem, jak już zauważyłeś, jest macierz złożona ze współczynników zmiennych. Występują one także w kolejności kolumnowej, tj. pierwsza kolumna zawiera współczynniki, które znajdują się w X , w drugiej kolumnie o godz y , i tak dalej. Jest to bardzo ważne, ponieważ w kolejnych krokach każdą kolumnę współczynników zmiennej zastąpimy kolumną odpowiedzi na równania. Tak więc, jak powiedziałem, zastępujemy kolumnę przy pierwszej zmiennej kolumną odpowiedzi, a następnie przy drugiej, oczywiście wszystko zależy od tego, ile zmiennych musimy znaleźć.

1 = , 2 = , 3 = .

Następnie musisz znaleźć wyznaczniki 1, 2, 3. Wiesz już, jak znaleźć wyznacznik trzeciego rzędu. A Tutaj stosujemy regułę Cramera. To wygląda tak:

x1 = , x2 = , x3 = – w tym przypadku, ale ogólnie wygląda to tak: X ja = . Wyznacznik złożony ze współczynników niewiadomych nazywa się wyznacznik systemu .

1. V. A. Ilyin, E. G. Poznyak „Algebra liniowa”

2. G. D. Kim, E. V. Shikin „Elementarne transformacje w algebrze liniowej”