Odległość punktu od wzoru wektorowego na płaszczyźnie. Odległość punktu od płaszczyzny
Rozważmy pewną płaszczyznę π i dowolny punkt M 0 w przestrzeni. Wybierzmy samolot jednostkowy wektor normalny n z początek w pewnym punkcie M 1 ∈ π i niech p(M 0 , π) będzie odległością punktu M 0 od płaszczyzny π. Następnie (ryc. 5.5)
р(М 0, π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5,8)
od |n| = 1.
Jeżeli podana jest płaszczyzna π prostokątny układ współrzędnych z jego ogólnym równaniem Ax + By + Cz + D = 0, to jego wektor normalny jest wektorem o współrzędnych (A; B; C) i możemy wybrać
Niech (x 0 ; y 0 ; z 0) i (x 1 ; y 1 ; z 1) będą współrzędnymi punktów M 0 i M 1 . Wtedy zachodzi równość Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, ponieważ punkt M 1 należy do płaszczyzny i można znaleźć współrzędne wektora M 1 M 0: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y0-y1; z 0-z 1). Nagranie produkt skalarny nM 1 M 0 w formie współrzędnych i przekształcając (5.8), otrzymujemy
ponieważ Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Zatem aby obliczyć odległość punktu od płaszczyzny należy podstawić współrzędne punktu do ogólnego równania płaszczyzny, a następnie podzielić wartość bezwzględną wynik za pomocą współczynnika normalizującego równego długości odpowiedniego wektora normalnego.
, Konkurs „Prezentacja na lekcję”
Klasa: 11
Prezentacja na lekcję
Powrót do przodu
Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Cele:
- uogólnianie i systematyzacja wiedzy i umiejętności uczniów;
- rozwój umiejętności analizowania, porównywania, wyciągania wniosków.
Sprzęt:
- projektor multimedialny;
- komputer;
- arkusze z tekstami problemowymi
POSTĘPY KLASY
I. Moment organizacyjny
II. Etap aktualizacji wiedzy(slajd 2)
Powtarzamy sposób wyznaczania odległości punktu od płaszczyzny
III. Wykład(slajdy 3-15)
W tej lekcji przyjrzymy się różnym sposobom obliczania odległości punktu od płaszczyzny.
Pierwsza metoda: obliczenia krok po kroku
Odległość punktu M od płaszczyzny α:
– równa odległości do płaszczyzny α od dowolnego punktu P leżącego na prostej a, przechodzącej przez punkt M i równoległej do płaszczyzny α;
– jest równa odległości do płaszczyzny α od dowolnego punktu P leżącego na płaszczyźnie β, który przechodzi przez punkt M i jest równoległy do płaszczyzny α.
Rozwiążemy następujące problemy:
№1. W sześcianie A...D 1 znajdź odległość punktu C 1 od płaszczyzny AB 1 C.
Pozostaje obliczyć wartość długości odcinka O 1 N.
№2. W foremnym sześciokątnym pryzmacie A...F 1, którego wszystkie krawędzie są równe 1, znajdź odległość punktu A od płaszczyzny DEA 1.
Następna metoda: metoda objętościowa.
Jeżeli objętość piramidy ABCM jest równa V, to odległość punktu M od płaszczyzny α zawierającej ∆ABC oblicza się ze wzoru ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Rozwiązując problemy, używamy równości objętości jednej figury wyrażonej na dwa różne sposoby.
Rozwiążmy następujący problem:
№3. Krawędź AD ostrosłupa DABC jest prostopadła do płaszczyzny podstawy ABC. Znajdź odległość A od płaszczyzny przechodzącej przez środki krawędzi AB, AC i AD, jeżeli.
Podczas rozwiązywania problemów metoda współrzędnych odległość punktu M od płaszczyzny α można obliczyć ze wzoru ρ(M; α) = 
, gdzie M(x 0; y 0; z 0), a płaszczyzna jest dana równaniem ax + by + cz + d = 0
Rozwiążmy następujący problem:
№4. W sześcianie jednostkowym A...D 1 znajdź odległość punktu A 1 od płaszczyzny BDC 1.
Wprowadźmy układ współrzędnych z początkiem w punkcie A, oś y będzie przebiegać wzdłuż krawędzi AB, oś x wzdłuż krawędzi AD, a oś z wzdłuż krawędzi AA 1. Następnie współrzędne punktów B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Utwórzmy równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez punkty B, D, C 1.
Wtedy – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Zatem ρ = 
Następującą metodą, którą można zastosować do rozwiązywania problemów tego typu, jest sposób rozwiązywania problemów.
Zastosowanie tej metody polega na wykorzystaniu znanych problemów odniesienia, które formułuje się w postaci twierdzeń.
Rozwiążmy następujący problem:
№5. W sześcianie jednostkowym A...D 1 znajdź odległość punktu D 1 od płaszczyzny AB 1 C.
Rozważmy aplikację metoda wektorowa.
№6. W sześcianie jednostkowym A...D 1 znajdź odległość punktu A 1 od płaszczyzny BDC 1.
Przyjrzeliśmy się więc różnym metodom, które można zastosować do rozwiązania tego typu problemu. Wybór tej czy innej metody zależy od konkretnego zadania i Twoich preferencji.
IV. Praca grupowa
Spróbuj rozwiązać problem na różne sposoby.
№1. Krawędź sześcianu A...D 1 jest równa . Znajdź odległość wierzchołka C od płaszczyzny BDC 1.
№2. W czworościanie foremnym ABCD z krawędzią znajdź odległość punktu A od płaszczyzny BDC
№3. W foremnym trójkątnym pryzmacie ABCA 1 B 1 C 1, którego wszystkie krawędzie są równe 1, znajdź odległość od A do płaszczyzny BCA 1.
№4. W regularnej czworokątnej piramidzie SABCD, której wszystkie krawędzie są równe 1, znajdź odległość od A do płaszczyzny SCD.
V. Podsumowanie lekcji, praca domowa, refleksja
Wyznaczanie odległości pomiędzy: 1 - punktem a płaszczyzną; 2 - proste i płaskie; 3 - samoloty; 4 - przecinające się proste rozpatrywane są łącznie, ponieważ algorytm rozwiązania wszystkich tych problemów jest zasadniczo taki sam i składa się z konstrukcji geometrycznych, które należy wykonać, aby wyznaczyć odległość między danym punktem A a płaszczyzną α. Jeżeli jest jakaś różnica, to polega ona jedynie na tym, że w przypadkach 2 i 3 przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania należy zaznaczyć dowolny punkt A na prostej m (przypadek 2) lub płaszczyźnie β (przypadek 3). odległości pomiędzy przecinającymi się prostymi, najpierw zamykamy je w równoległych płaszczyznach α i β, a następnie wyznaczamy odległość pomiędzy tymi płaszczyznami.
Rozważmy każdy z odnotowanych przypadków rozwiązania problemu.
1. Wyznaczanie odległości punktu od płaszczyzny.
Odległość punktu od płaszczyzny wyznacza się na podstawie długości odcinka prostopadłego poprowadzonego z punktu do płaszczyzny.
Dlatego rozwiązanie tego problemu polega na sekwencyjnym wykonaniu następujących operacji graficznych:
1) z punktu A obniżamy prostopadłą do płaszczyzny α (ryc. 269);
2) znajdź punkt M przecięcia tej prostopadłej z płaszczyzną M = a ∩ α;
3) określić długość odcinka.
Jeżeli płaszczyzna α znajduje się w położeniu ogólnym, to w celu obniżenia prostopadłej na tę płaszczyznę należy najpierw określić kierunek rzutów poziomych i czołowych tej płaszczyzny. Znalezienie punktu styku tej prostopadłej z płaszczyzną również wymaga dodatkowych konstrukcji geometrycznych.
Rozwiązanie problemu jest uproszczone, jeżeli płaszczyzna α zajmuje określone położenie względem płaszczyzn rzutowania. W tym przypadku zarówno rzut prostopadłej, jak i znalezienie punktu jej styku z płaszczyzną odbywa się bez dodatkowych konstrukcji pomocniczych.
PRZYKŁAD 1. Wyznacz odległość punktu A od wystającej do przodu płaszczyzny α (ryc. 270).
ROZWIĄZANIE. Przez A” rysujemy rzut poziomy prostopadłej l” ⊥ h 0α, a przez A” - jej rzut czołowy l” ⊥ f 0α. Zaznaczamy punkt M" = l" ∩ f 0α . Od południa || π 2, następnie [A" M"] == |AM| = re.
Z rozważanego przykładu jasno wynika, jak łatwo rozwiązać problem, gdy samolot zajmuje pozycję wystającą. Jeżeli zatem w danych źródłowych podana jest ogólna płaszczyzna położenia, to przed przystąpieniem do rozwiązywania płaszczyznę należy przesunąć do położenia prostopadłego do dowolnej płaszczyzny rzutowania.
PRZYKŁAD 2. Wyznacz odległość punktu K od płaszczyzny określonej przez ΔАВС (ryc. 271).
1. Przenosimy płaszczyznę ΔАВС do pozycji wystającej *. W tym celu przechodzimy z układu xπ 2 /π 1 do x 1 π 3 /π 1: kierunek nowej osi x 1 wybieramy prostopadle do rzutu poziomego płaszczyzny poziomej trójkąta.
2. Rzuć ΔABC na nową płaszczyznę π 3 (płaszczyzna ΔABC zostanie rzutowana na π 3, w [ C " 1 B " 1 ]).
3. Rzuć punkt K na tę samą płaszczyznę (K" → K" 1).
4. Przez punkt K" 1 rysujemy (K" 1 M" 1)⊥ odcinek [C" 1 B" 1]. Wymagana odległość d = |K" 1 M" 1 |
Rozwiązanie problemu jest uproszczone, jeśli płaszczyzna jest zdefiniowana śladami, ponieważ nie ma potrzeby rysowania rzutów linii poziomu.
PRZYKŁAD 3. Wyznacz odległość punktu K od płaszczyzny α wyznaczonej przez tory (ryc. 272).
* Najbardziej racjonalnym sposobem przeniesienia płaszczyzny trójkąta do pozycji wystającej jest zastąpienie płaszczyzn projekcji, ponieważ w tym przypadku wystarczy skonstruować tylko jeden rzut pomocniczy.
ROZWIĄZANIE. Zastępujemy płaszczyznę π 1 płaszczyzną π 3, w tym celu rysujemy nową oś x 1 ⊥ f 0α. Na h 0α zaznaczamy dowolny punkt 1” i wyznaczamy jego nowy rzut poziomy na płaszczyznę π 3 (1” 1). Przez punkty X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) i 1" 1 rysujemy h 0α 1. Wyznaczamy nowy rzut poziomy punktu K → K" 1. Z punktu K” 1 obniżamy prostopadłą do h 0α 1 i zaznaczamy punkt jej przecięcia z h 0α 1 - M” 1. Długość odcinka K" 1 M" 1 wskaże wymaganą odległość.
2. Wyznaczanie odległości prostej od płaszczyzny.
Odległość między linią a płaszczyzną wyznaczana jest przez długość prostopadłego odcinka zrzuconego z dowolnego punktu na linii na płaszczyznę (patrz ryc. 248).
Dlatego rozwiązanie problemu wyznaczania odległości między prostą m a płaszczyzną α nie różni się od przykładów omówionych w paragrafie 1 dotyczących wyznaczania odległości między punktem a płaszczyzną (patrz ryc. 270 ... 272). Za punkt możesz przyjąć dowolny punkt należący do prostej m.
3. Wyznaczanie odległości pomiędzy płaszczyznami.
Odległość między płaszczyznami jest określona przez wielkość odcinka prostopadłego zrzuconego z punktu wziętego na jedną płaszczyznę na inną płaszczyznę.
Z tej definicji wynika, że algorytm rozwiązania problemu znalezienia odległości między płaszczyznami α i β różni się od podobnego algorytmu rozwiązania problemu wyznaczenia odległości między prostą m a płaszczyzną α tylko w tym, że prosta m musi należeć do płaszczyzny α , czyli w celu wyznaczenia odległości płaszczyzn α i β stosuje się:
1) poprowadź linię prostą m w płaszczyźnie α;
2) wybrać dowolny punkt A na prostej m;
3) z punktu A obniżyć prostopadłą l do płaszczyzny β;
4) wyznaczyć punkt M – miejsce styku prostopadłej l z płaszczyzną β;
5) określić wielkość segmentu.
W praktyce wskazane jest zastosowanie innego algorytmu rozwiązania, który będzie różnił się od podanego jedynie tym, że przed przystąpieniem do pierwszego kroku należy przenieść płaszczyzny do pozycji rzutowej.
Uwzględnienie tej dodatkowej operacji w algorytmie upraszcza wykonanie wszystkich pozostałych punktów bez wyjątku, co ostatecznie prowadzi do prostszego rozwiązania.
PRZYKŁAD 1. Wyznacz odległość pomiędzy płaszczyznami α i β (ryc. 273).
ROZWIĄZANIE. Przechodzimy od układu xπ 2 /π 1 do x 1 π 1 /π 3. W stosunku do nowej płaszczyzny π 3 płaszczyzny α i β zajmują pozycję wystającą, dlatego odległość pomiędzy nowymi śladami czołowymi f 0α 1 i f 0β 1 jest pożądana.
W praktyce inżynierskiej często konieczne jest rozwiązanie problemu zbudowania płaszczyzny równoległej do danej płaszczyzny i oddalonej od niej w zadanej odległości. Przykład 2 poniżej ilustruje rozwiązanie takiego problemu.
PRZYKŁAD 2. Należy skonstruować rzuty płaszczyzny β równoległej do danej płaszczyzny α (m || n), jeśli wiadomo, że odległość między nimi wynosi d (ryc. 274).
1. W płaszczyźnie α rysujemy dowolne linie poziome h (1, 3) i linie frontu f (1,2).
2. Z punktu 1 przywracamy prostopadłą l do płaszczyzny α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").
3. Na prostopadłej l zaznaczamy dowolny punkt A.
4. Wyznacz długość odcinka - (położenie wskazuje na wykresie niezniekształcony metrycznie kierunek prostej l).
5. Rozłóż odcinek = d na linii prostej (1"A 0) od punktu 1".
6. Zaznacz na występach l” i l” punkty B” i B”, odpowiadające punktowi B 0.
7. Przez punkt B rysujemy płaszczyznę β (h 1 ∩ f 1). Do β || α, należy spełnić warunek h 1 || h i f 1 || F.
4. Wyznaczanie odległości pomiędzy przecinającymi się liniami.
Odległość między przecinającymi się liniami wyznaczana jest przez długość prostopadłej zawartej pomiędzy równoległymi płaszczyznami, do których należą przecinające się linie.
Aby poprowadzić wzajemnie równoległe płaszczyzny α i β poprzez przecinające się proste m i f, wystarczy przez punkt A (A ∈ m) poprowadzić prostą p równoległą do prostej f, a przez punkt B (B ∈ f) linia prosta k równoległa do prostej m . Przecinające się linie m i p, f i k wyznaczają wzajemnie równoległe płaszczyzny α i β (patrz ryc. 248, e). Odległość między płaszczyznami α i β jest równa wymaganej odległości między przecinającymi się liniami m i f.
Można zaproponować inny sposób wyznaczania odległości pomiędzy przecinającymi się liniami, który polega na tym, że stosując jakąś metodę transformacji rzutów ortogonalnych, jedna z przecinających się linii zostaje przeniesiona do pozycji rzutu. W tym przypadku jeden rzut linii ulega degeneracji w punkt. Odległość pomiędzy nowymi rzutami przecinających się linii (punkt A" 2 i odcinek C" 2 D" 2) jest wymagana.
Na ryc. 275 przedstawiono rozwiązanie problemu wyznaczania odległości pomiędzy przecinającymi się liniami a i b, na danych odcinkach [AB] i [CD]. Rozwiązanie wykonuje się w następującej kolejności:
1. Przenieś jedną z przecinających się linii (a) do położenia równoległego do płaszczyzny π 3; W tym celu należy przejść z układu płaszczyzn rzutowania xπ 2 /π 1 do nowego x 1 π 1 /π 3, oś x 1 jest równoległa do rzutu poziomego prostej a. Określ a" 1 [A" 1 B" 1 ] i b" 1.
2. Zastępując płaszczyznę π 1 płaszczyzną π 4, tłumaczymy prostą
i ustawić a" 2, prostopadle do płaszczyzny π 4 (nowa oś x 2 jest rysowana prostopadle do a" 1).
3. Skonstruuj nowy rzut poziomy prostej b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].
4. Odległość od punktu A" 2 do prostej C" 2 D" 2 (odcinek (A" 2 M" 2 ] (jest wymagana).
Należy mieć na uwadze, że przeniesienie jednej z przecinających się linii do pozycji wystającej to nic innego jak przeniesienie płaszczyzn równoległości, w których można ująć linie aib, również do pozycji wystającej.
Faktycznie, przesuwając linię a do położenia prostopadłego do płaszczyzny π 4, zapewniamy, że każda płaszczyzna zawierająca linię a jest prostopadła do płaszczyzny π 4, włączając płaszczyznę α określoną przez linie a i m (a ∩ m, m | |. b ). Jeśli teraz narysujemy linię n, równoległą do a i przecinającą się z linią b, otrzymamy płaszczyznę β, która jest drugą płaszczyzną równoległości, która zawiera przecinające się linie a i b. Ponieważ β || α, następnie β ⊥ π 4 .
Niech będzie samolot 
. Narysujmy normalność 
poprzez początek współrzędnych O. Niech podane 
– kąty utworzone przez normalną 
z osiami współrzędnych. 
. Pozwalać 
– długość odcinka normalnego 
dopóki nie przetnie się z płaszczyzną. Zakładając, że znane są cosinusy kierunku normalnej 
, wyprowadzamy równanie płaszczyzny 
.
Pozwalać 
) jest dowolnym punktem na płaszczyźnie. Jednostkowy wektor normalny ma współrzędne. Znajdźmy rzut wektora 
Do normalności.
Od tego momentu M należy zatem do samolotu
.
Jest to równanie danej płaszczyzny, tzw normalna .
Odległość punktu od płaszczyzny
Niech zostanie dany samolot 
,M*
– punkt w przestrzeni, D
– jego odległość od płaszczyzny.
Definicja.
Odchylenie
zwrotnica M* z samolotu nazywa się liczbą ( +
D),
Jeśli M*
leży po drugiej stronie płaszczyzny, gdzie dodatni kierunek normalnych punktów 
i liczba (- D), jeśli punkt znajduje się po drugiej stronie płaszczyzny:
.
Twierdzenie.
Niech samolot 
z jednostką w normie 
dane przez równanie normalne:
Pozwalać M*
– punkt w przestrzeni Odchylenie t. M* z płaszczyzny wyraża się wyrażeniem
Dowód. Projekcja t. 
*oznaczamy przez normalną Q.
Odchylenie punktowe M* z płaszczyzny jest równa
.
Reguła. Znaleźć odchylenie
T. M* z płaszczyzny należy podstawić współrzędne t do równania normalnego płaszczyzny. M*
. Odległość punktu od płaszczyzny wynosi 
.
Sprowadzenie ogólnego równania płaszczyzny do postaci normalnej
Niech tę samą płaszczyznę zdefiniują dwa równania:
Równanie ogólne
Normalne równanie.
Ponieważ oba równania definiują tę samą płaszczyznę, ich współczynniki są proporcjonalne:
Podnieśmy do kwadratu pierwsze trzy równości i dodajmy je:
Stąd znajdziemy 
– współczynnik normalizujący:
. (10)
Mnożąc ogólne równanie płaszczyzny przez współczynnik normalizujący, otrzymujemy równanie normalne płaszczyzny:
Przykłady problemów na temat „Samolot”.
Przykład 1. Utwórz równanie płaszczyzny 
przechodząc przez dany punkt 
(2,1,-1) i równolegle do płaszczyzny.
Rozwiązanie. Normalnie do samolotu 
:
. Ponieważ płaszczyzny są równoległe, to normalna 
jest również normalna do żądanej płaszczyzny 
. Korzystając z równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt (3) otrzymujemy dla płaszczyzny 
równanie:
Odpowiedź:
Przykład 2. Podstawa prostopadłej spadła z początku na płaszczyznę 
, o to właśnie chodzi 
. Znajdź równanie płaszczyzny 
.
Rozwiązanie. Wektor 
jest normalne dla samolotu 
. Kropka M 0
należy do samolotu. Można skorzystać z równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt (3):
Odpowiedź:
Przykład 3. Zbuduj samolot 
, przechodząc przez punkty 
i prostopadle do płaszczyzny 
:.
Dlatego w pewnym momencie M
(X,
y,
z) należał do samolotu 
, konieczne są trzy wektory 
były współpłaszczyznowe:
=0.
Pozostaje ujawnić wyznacznik i sprowadzić otrzymane wyrażenie do postaci równania ogólnego (1).
Przykład 4. Samolot 
dane przez ogólne równanie:
Znajdź odchylenie punktowe 
z danego samolotu.
Rozwiązanie. Doprowadźmy równanie płaszczyzny do postaci normalnej.
,
.
Podstawmy współrzędne punktu do otrzymanego równania normalnego M*.
.
Odpowiedź: 
.
Przykład 5. Czy płaszczyzna przecina odcinek?
Rozwiązanie. Uciąć AB przekroczył samolot, odchylenia 
I 
z samolotu 
musi mieć różne znaki:
.
Przykład 6. Przecięcie trzech płaszczyzn w jednym punkcie.
.
Układ ma unikalne rozwiązanie, dlatego te trzy płaszczyzny mają jeden punkt wspólny.
Przykład 7. Znajdowanie dwusiecznych kąta dwuściennego utworzonego przez dwie dane płaszczyzny.
Pozwalać 
I 
- odchylenie w pewnym punkcie 
z pierwszej i drugiej płaszczyzny.
Na jednej z płaszczyzn dwusiecznych (odpowiadającej kątowi, pod którym leży początek współrzędnych) odchylenia te są równe co do wielkości i znaku, a na drugiej są równe co do wielkości i przeciwne pod względem znaku.
To jest równanie pierwszej płaszczyzny dwusiecznej.
To jest równanie drugiej płaszczyzny dwusiecznej.
Przykład 8. Wyznaczanie położenia dwóch danych punktów 
I 
względem kątów dwuściennych utworzonych przez te płaszczyzny.
Pozwalać 
. Określ: w jednym, sąsiadującym lub pionowym narożniku znajdują się punkty 
I 
.
A). Jeśli 
I 
położyć się na jednym boku 
i od 
, to leżą pod tym samym kątem dwuściennym.
B). Jeśli 
I 
położyć się na jednym boku 
i różni się od 
, to leżą w sąsiednich rogach.
V). Jeśli 
I 
leżeć po przeciwnych stronach 
I 
, wówczas leżą w pionowych rogach.
Układy współrzędnych 3
Linie na płaszczyźnie 8
Linie pierwszego zamówienia. Prosto w samolocie. 10
Kąt między prostymi 12
Ogólne równanie linii 13
Niekompletne równanie pierwszego stopnia 14
Równanie prostej „w odcinkach” 14
Wspólne badanie równań dwóch prostych 15
Normalnie do linii 15
Kąt pomiędzy dwiema prostymi 16
Równanie kanoniczne linii 16
Równania parametryczne prostej 17
Równanie normalne (znormalizowane) prostej 18
Odległość od punktu do linii 19
Równanie ołówka linii 20
Przykłady problemów na temat „linia na płaszczyźnie” 22
Iloczyn wektorowy wektorów 24
Właściwości iloczynu krzyżowego 24
Właściwości geometryczne 24
Właściwości algebraiczne 25
Wyrażanie iloczynu wektorowego poprzez współrzędne czynników 26
Iloczyn mieszany trzech wektorów 28
Znaczenie geometryczne produktu mieszanego 28
Wyrażanie iloczynu mieszanego za pomocą współrzędnych wektorowych 29
Przykłady rozwiązywania problemów
Znalezienie odległości punktu od płaszczyzny jest częstym problemem pojawiającym się przy rozwiązywaniu różnych problemów geometrii analitycznej; na przykład problem ten można sprowadzić do znalezienia odległości między dwiema przecinającymi się liniami prostymi lub między linią prostą a płaszczyzną równoległą do nich. To.
Rozważmy płaszczyznę $β$ i punkt $M_0$ o współrzędnych $(x_0;y_0; z_0)$, który nie należy do płaszczyzny $β$.
Definicja 1
Najkrótszą odległością punktu od płaszczyzny będzie prostopadła poprowadzona z punktu $M_0$ do płaszczyzny $β$.
Rysunek 1. Odległość punktu od płaszczyzny. Avtor24 - internetowa wymiana prac studenckich
Poniżej omawiamy, jak znaleźć odległość punktu od płaszczyzny za pomocą metody współrzędnych.
Wyprowadzenie wzoru na metodę współrzędnych wyznaczania odległości punktu od płaszczyzny w przestrzeni
Prostopadła z punktu $M_0$ przecinająca płaszczyznę $β$ w punkcie $M_1$ o współrzędnych $(x_1;y_1; z_1)$ leży na prostej, której wektor kierunkowy jest wektorem normalnym płaszczyzny $β$. W tym przypadku długość wektora jednostkowego $n$ jest równa jeden. Odpowiednio, odległość od $β$ do punktu $M_0$ będzie wynosić:
$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, gdzie $\vec(M_1M_0)$ jest wektorem normalnym płaszczyzny $β$, a $\vec( n)$ jest jednostkowym wektorem normalnym rozważanej płaszczyzny.
W przypadku gdy równanie płaszczyzny podane jest w postaci ogólnej $Ax+ By + Cz + D=0$, współrzędnymi wektora normalnego płaszczyzny są współczynniki równania $\(A;B;C\ )$, a jednostkowy wektor normalny w tym przypadku ma współrzędne , obliczone za pomocą poniższego równania:
$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.
Teraz możemy znaleźć współrzędne wektora normalnego $\vec(M_1M_0)$:
$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\left(3\right)$.
Współczynnik $D$ wyrażamy również za pomocą współrzędnych punktu leżącego na płaszczyźnie $β$:
$D= Topór_1+O_1+Cz_1$
Współrzędne jednostkowego wektora normalnego z równości $(2)$ można podstawić do równania płaszczyzny $β$ i wtedy otrzymamy:
$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\lewo(4\prawo)$
Równość $(4)$ to wzór na znalezienie odległości punktu od płaszczyzny w przestrzeni.
Ogólny algorytm wyznaczania odległości punktu $M_0$ od płaszczyzny
- Jeśli równanie płaszczyzny nie jest podane w formie ogólnej, należy najpierw sprowadzić je do postaci ogólnej.
- Następnie należy z ogólnego równania płaszczyzny wyrazić wektor normalny danej płaszczyzny przechodzący przez punkt $M_0$ i punkt należący do danej płaszczyzny, w tym celu należy skorzystać z równości $(3)$ .
- Kolejnym etapem jest poszukiwanie współrzędnych jednostkowego wektora normalnego płaszczyzny za pomocą wzoru $(2)$.
- Na koniec możesz zacząć wyznaczać odległość punktu od płaszczyzny, robi się to poprzez obliczenie iloczynu skalarnego wektorów $\vec(n)$ i $\vec(M_1M_0)$.