Co to jest siła uogólniona? Siły uogólnione

1. Zgodnie z definicją (2.26) siła uogólniona

Biorąc to pod uwagę , otrzymujemy

(2.28)

Ta metoda wyznaczania sił uogólnionych nazywa się analityczną.

Przykład 2.11. Znajdź uogólnioną siłę Qq = jot, jeśli w mechanizmie korbowo-suwakowym (ryc. 2.10) OA=AB= l,¾ pionowy i ¾ siły poziomej.

Rozwiązanie. Ponieważ F1 x =0 I F 2 y =0, to siła uogólniona zgodnie z (2.28)

Rzuty sił i współrzędne punktów ich przyłożenia definiuje się jako

F1y =- F1; fa 2x =- fa 2 ;

Ryc.2.10y A = l grzech J; x B = 2 l bo j.

Stąd, Qq = jot= - F 1 l sałata j + 2 F 2 l grzech J.

2. Wskażmy prostszy sposób obliczania uogólnionego

siła, przydatna w rozwiązywaniu problemów.

Siły uogólnione dla układów mechanicznych o liczbie stopni swobody s=k > 1 wskazane jest wykonywanie obliczeń sekwencyjnie, biorąc pod uwagę uogólnione współrzędne, a tym samym ich odmiany niezależne od siebie. System może zawsze zostać poinformowany o wirtualnym ruchu, tak że zmienia się tylko jedna uogólniona współrzędna, a pozostałe nie ulegają zmianie. W tym przypadku z (2.27)

. dostajemy

(2.29)

Gdzie (2.30)

Indeks q ja w (2.30) oznacza, że ​​wirtualną pracę sił działających na układ wyznaczają przemieszczenia punktów przyłożenia tych sił odpowiadające zmianom tylko jednego I- uogólnione współrzędne.

Przykład 2.12 Znajdź siły uogólnione dla układu pokazanego na ryc. 2.11. Masa ładunku (1) jest równa m 1, masa cylindra (2) jest równa m 2, a jego promień wynosi ¾ R. Gwint nie ślizga się po bloku (3) i cylindrze (2). Środek masy cylindra (2) porusza się wzdłuż pionu.

Rozwiązanie. Aby określić uogólnioną siłę, ustalamy przyrost ds¹ 0 współrzędna obciążenia (1) i kąt J obrót cylindra (2) ,Przyjmujemy

DJ =0. W tym przypadku środek masy cylindra (2)

będzie miał przemieszczenie równe przemieszczeniu obciążenia. Stąd,

Ryc.2.11

Gdzie P 1 = m 1 g; P 2 = m 2 g.

Ustalając , założymy, że ds=0 i dj¹ 0. Następnie

3. Jeżeli siły działające na układ mechaniczny są potencjalne, to określić siły uogólnione możesz użyć funkcji siły U lub energia potencjalna P systemy.

Potencjalna siła

(2.31)

Podstawiając rzuty siły do ​​(2.30), otrzymujemy

W mechanice analitycznej wraz z pojęciem siły jako wielkości wektorowej charakteryzującej oddziaływanie na dane ciało innych ciał materialnych posługują się pojęciem siła uogólniona. Do ustalenia uogólniona władza Rozważmy wirtualną pracę sił przyłożonych do punktów układu.

Jeśli jest to układ mechaniczny z nałożonymi na niego holonomicznymi siłami ograniczającymi H ma powiązania s = 3n-h stopnie swobody , następnie określa się położenie tego układu ( ja = s)

współrzędne uogólnione i (2.11) : Zgodnie z (2.13), (2.14) przemieszczeniem wirtualnym k – punktów

(2.13)

(2.14)

Podstawiając (2.14): do wzoru na wirtualną pracę sił

(2.24) otrzymujemy

Ilość skalarna = (2.26)

zwany siła uogólniona, odpowiedni I uogólniona współrzędna.

Uogólniona siłaodpowiadający I-uogólniona współrzędna jest wielkością równą mnożnikowi zmiany danej uogólnionej współrzędnej w wyrażeniu wirtualnej pracy sił działających na układ mechaniczny.

Wirtualna praca ustalone od

¾ określone siły czynne niezależne od ograniczeń i

¾ reakcje sprzęgania (jeżeli sprzężenia nie są idealne, to aby rozwiązać problem należy dodatkowo ustawić zależność fizyczną T j z N J , ( T j ¾ są to z reguły siły tarcia lub momenty oporu tarcia tocznego, które możemy wyznaczyć).

Ogólnie siła uogólniona jest funkcją uogólnionych współrzędnych, prędkości punktów układu i czasu. Z definicji wynika, że siła uogólniona¾ jest wielkością skalarną zależną od uogólnionych współrzędnych wybranych dla danego układu mechanicznego. Oznacza to, że gdy zmienia się zbiór uogólnionych współrzędnych wyznaczających położenie danego układu, siły uogólnione.

Przykład 2.10. Dla dysku o promieniu R i masa M, który toczy się bez ślizgania po pochyłej płaszczyźnie (ryc. 2.9), można przyjąć jako uogólnioną współrzędną:

¾ lub q = s¾ ruch środka masy dysku,

¾ albo Q= j ¾ kąt obrotu dysku. Jeśli pominiemy opór toczenia, to:

¾ w pierwszym przypadku siła uogólniona będzie

Ryż. 2.9 Q s = mg sina, a

¾ w drugim przypadku ¾ Q j = mg r cosa.

Uogólniona współrzędna określa również jednostkę miary odpowiedniej uogólniona władza. Z wyrażenia (2.25)

(2.27)

wynika z tego, że jednostka miary uogólniona władza równa jednostce pracy podzielonej przez jednostkę uogólnionej współrzędnej.

Jeśli jako uogólniona współrzędna Q zaakceptować q = s¾ ruchu dowolnego punktu, a następnie jednostka miary uogólniona władza Q s ¾ będzie [niuton] ,

Jeżeli jako Q= j ¾ zostanie przyjęty kąt obrotu (w radianach) ciała, a następnie jednostka miary uogólniona władza Q j 2 będzie [ Newton metr].

Definicja sił uogólnionych

Dla układu o jednym stopniu swobody uogólniona siła odpowiadająca uogólnionej współrzędnej Q, nazywa się wielkością określoną wzorem

gdzie d Q– mały przyrost współrzędnej uogólnionej; – suma prac elementarnych sił układu podczas jego możliwego ruchu.

Przypomnijmy, że możliwy ruch układu definiuje się jako ruch układu do nieskończenie bliskiego położenia, na które pozwalają połączenia w danym momencie (więcej szczegółów w Załączniku 1).

Wiadomo, że suma pracy sił reakcji wiązań idealnych przy dowolnym możliwym przemieszczeniu układu jest równa zeru. Dlatego dla układu o połączeniach idealnych w wyrażeniu należy uwzględnić jedynie pracę sił czynnych układu. Jeśli połączenia nie są idealne, wówczas siły reakcji, na przykład siły tarcia, są umownie uważane za siły aktywne (patrz poniżej instrukcje dotyczące diagramu na rys. 1.5). Obejmuje to elementarną pracę sił czynnych i elementarną pracę momentów aktywnych par sił. Zapiszmy wzory na określenie tych prac. Powiedzmy, że siła ( F kx, F k, F kz) zastosowany w tym punkcie DO, którego wektor promienia wynosi ( x k, y k, z k), a ewentualne przemieszczenie – (zm xk, D tak, D z k). Elementarna praca siły na możliwe przemieszczenie jest równa iloczynowi skalarnemu, co w formie analitycznej odpowiada wyrażeniu

D A( ) = F do D r do cos(), (1.3a)

oraz w formie współrzędnych – wyrażenie

D A( ) = Fkx D x k + F k D y k + F kz D z k. (1.3b)

Jeśli kilka sił z chwilą M przyłożony do obracającego się ciała, którego współrzędna kątowa wynosi j, a możliwe przemieszczenie dj, wówczas elementarna praca momentu M o możliwym przemieszczeniu dj określa się ze wzoru

D JESTEM) = ± M D J. (1,3 V)

Tutaj znak (+) odpowiada przypadkowi, gdy moment M i możliwy ruch dj pokrywa się w kierunku; znak (–), gdy są skierowane w przeciwną stronę.

Aby móc wyznaczyć siłę uogólnioną za pomocą wzoru (1.3), należy wyrazić możliwe ruchy ciał i punktów poprzez niewielki przyrost uogólnionej współrzędnej d Q, korzystając z zależności (1)…(7) przym. 1.

Definicja siły uogólnionej Q, odpowiadający wybranej współrzędnej uogólnionej Q, zaleca się zrobić to w następującej kolejności.

· Narysuj na schemacie konstrukcyjnym wszystkie siły czynne układu.

· Podaj mały przyrost uogólnionej współrzędnej d q> 0; pokazać na diagramie obliczeniowym odpowiednie możliwe przemieszczenia wszystkich punktów, w których przykładane są siły, oraz możliwe przemieszczenia kątowe wszystkich ciał, do których przykładane są momenty par sił.

· Ułóż wyrażenie na elementarną pracę wszystkich sił czynnych układu na te ruchy, wyraź możliwe ruchy do d Q.

· Wyznaczyć siłę uogólnioną korzystając ze wzoru (1.3).

Przykład 1.4 (patrz warunek na rys. 1.1).

Zdefiniujmy uogólnioną siłę odpowiadającą uogólnionej współrzędnej S(ryc. 1.4).

Na układ działają siły czynne: P- masa ładunku; G– masa bębna i moment obrotowy M.

Chropowata, nachylona płaszczyzna służy do obciążenia A niedoskonałe połączenie. Przesuwająca się siła tarcia F tr, działając na obciążenie A z tego połączenia jest równe fa tr = fa N.

Aby określić siłę N normalnego nacisku ładunku na płaszczyznę podczas ruchu, korzystamy z zasady D'Alemberta: jeśli do każdego punktu układu, oprócz aktywnych sił czynnych i sił reakcji połączeń, przyłożona zostanie warunkowa siła bezwładności, to otrzymany zbiór siły zostaną zrównoważone, a równania dynamiczne można zapisać w postaci równań równowagi statycznej. Kierując się dobrze znaną metodą zastosowania tej zasady, przedstawimy wszystkie siły działające na ładunek A(Rys. 1.5), – i , gdzie jest siłą naciągu liny.

Ryż. 1.4 Ryc. 1,5

Dodajmy siłę bezwładności, gdzie jest przyspieszenie obciążenia. Równanie zasady d'Alemberta w rzucie na oś y wygląda jak N – PCOS A = 0.

Stąd N = szt A. Siłę tarcia ślizgowego można teraz wyznaczyć ze wzoru F tr = f P sałata A.

Podajmy uogólnioną współrzędną S mały przyrost d s> 0. W tym przypadku obciążenie (ryc. 1.4) przesunie się w górę pochyłej płaszczyzny na odległość d S, a bęben obróci się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt dj.

Korzystając ze wzorów (1.3a) i (1.3c) ułóżmy wyrażenie na sumę elementarnych prac momentu obrotowego M, siły P I F tr:

Wyraźmy dj w tym równaniu poprzez d S: , Następnie

zdefiniujmy uogólnioną siłę za pomocą wzoru (1.3)

Weźmy pod uwagę wcześniej napisany wzór na F tr i w końcu dostaniemy

Jeśli w tym samym przykładzie przyjmiemy kąt j jako uogólnioną współrzędną, to uogólniona siła Qj wyrażone wzorem

1.4.2. Wyznaczanie uogólnionych sił układu
z dwoma stopniami swobody

Jeśli system ma N stopni swobody, wyznaczane jest jego położenie N uogólnione współrzędne. Każda współrzędna q ja(ja = 1,2,…,N) odpowiada jego uogólnionej sile Q, co jest określone przez wzór

gdzie jest sumą elementarnych prac sił czynnych I-ty możliwy ruch układu, gdy d q ja > 0, a pozostałe uogólnione współrzędne pozostają niezmienione.

Przy określaniu należy wziąć pod uwagę instrukcje dotyczące wyznaczania sił uogólnionych zgodnie ze wzorem (1.3).

Zaleca się wyznaczanie sił uogólnionych układu o dwóch stopniach swobody w następującej kolejności.

· Pokaż na schemacie projektowym wszystkie siły czynne układu.

· Wyznacz pierwszą siłę uogólnioną Pytanie 1. Aby to zrobić, wykonaj pierwszy możliwy ruch systemu, gdy d q 1 > 0 i D q 2 =q 1 możliwe ruchy wszystkich ciał i punktów układu; komponować - wyraz elementarnej pracy sił układowych na pierwszym możliwym przemieszczeniu; możliwe ruchy wyrażone poprzez d q 1; znajdować Pytanie 1 zgodnie ze wzorem (1.4), biorąc ja = 1.

· Wyznacz drugą siłę uogólnioną Pytanie 2. Aby to zrobić, daj systemowi drugi możliwy ruch, gdy d q 2 > 0 i D q 1 = 0; pokaż odpowiednie d na schemacie projektowym q 2 możliwe ruchy wszystkich ciał i punktów układu; komponować - wyraz elementarnej pracy sił systemowych na drugim możliwym przemieszczeniu; możliwe ruchy wyrażone poprzez d q 2; znajdować Pytanie 2 zgodnie ze wzorem (1.4), biorąc ja = 2.

Przykład 1.5 (patrz warunek na rys. 1.2)

Zdefiniujmy Pytanie 1 I Pytanie 2, odpowiadające uogólnionym współrzędnym xD I xA(ryc. 1.6, A).

Na układ działają trzy aktywne siły: PA = 2P, P. B = P. D = P.

Definicja Pytanie 1. Dajmy układowi pierwszy możliwy ruch, gdy d xD> 0, zm xA = 0 (ryc. 1.6, A). Jednocześnie obciążenie D xD, blok B obróci się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt dj B, oś cylindra A pozostanie nieruchomy, cylinder A będzie się obracać wokół osi A pod kątem dj A zgodnie ze wskazówkami zegara. Zestawmy sumę pracy nad wskazanymi ruchami:

zdefiniujmy

Zdefiniujmy Pytanie 2. Dajmy systemowi drugi możliwy ruch, gdy d x D = 0, zm xA> 0 (ryc. 1.6, B). W tym przypadku oś cylindra A przesunie się pionowo w dół o odległość d xA, cylinder A będzie się obracać wokół osi A zgodnie z ruchem wskazówek zegara do kąta dj A, blok B i ładunek D pozostanie bez ruchu. Zestawmy sumę pracy nad wskazanymi ruchami:

zdefiniujmy

Przykład 1.6 (patrz warunek na rys. 1.3)

Zdefiniujmy Pytanie 1 I Pytanie 2, odpowiadające uogólnionym współrzędnym j, S(ryc. 1.7, A). Na układ działają cztery aktywne siły: ciężar pręta P, ciężar piłki, siła sprężystości sprężyny i .

Weźmy to pod uwagę. Moduł sił sprężystych określa wzór (a).

Należy pamiętać, że punkt przyłożenia siły F 2 jest nieruchomy, zatem praca tej siły przy dowolnym możliwym przemieszczeniu układu jest równa zeru, w wyrażeniu uogólnionych sił siła F 2 nie wejdę.

Definicja Pytanie 1. Dajmy systemowi pierwszy możliwy ruch, gdy dj > 0, zm s = 0 (ryc. 1.7, A). W tym przypadku drążek AB będzie się obracać wokół osi z przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o kąt dj, możliwe ruchy piłki D i centrum mi pręty są skierowane prostopadle do segmentu OGŁOSZENIE, długość sprężyny nie ulegnie zmianie. Zapiszmy to w formie współrzędnych [patrz. wzór (1.3b)]:

(Proszę zauważyć, że praca wykonana przez tę siłę przy pierwszym możliwym przemieszczeniu wynosi zero).

Wyraźmy przemieszczenia d x E i d xD za pośrednictwem DJ-a. Aby to zrobić, najpierw piszemy

Następnie zgodnie ze wzorem (7) przym. 1 znajdziemy

Podstawiając znalezione wartości do , otrzymujemy

Korzystając ze wzoru (1.4) uwzględniając, że , wyznaczamy

Definicja Pytanie 2. Dajmy systemowi drugi możliwy ruch, gdy DJ = 0, zm s> 0 (ryc. 1.7, B). W tym przypadku drążek AB pozostanie w bezruchu, a piłka M przesunie się wzdłuż pręta o odległość d S. Zestawmy sumę pracy nad wskazanymi ruchami:

zdefiniujmy

zastępując wartość siły F 1 ze wzoru (a) otrzymujemy

1,5. Wyrażanie energii kinetycznej układu
we współrzędnych uogólnionych

Energia kinetyczna układu jest równa sumie energii kinetycznych jego ciał i punktów (Załącznik 2). Aby zdobyć T Wyrażenie (1.2) powinno wyrażać prędkości wszystkich ciał i punktów układu poprzez prędkości uogólnione metodami kinematyki. W tym przypadku uważa się, że układ znajduje się w dowolnym położeniu, wszystkie jego uogólnione prędkości są uważane za dodatnie, tj. Zwrócone w stronę zwiększania uogólnionych współrzędnych.

Przykład 1. 7 (patrz warunek na rys. 1.1)

Wyznaczmy energię kinetyczną układu (rys. 1.8), przyjmując odległość jako uogólnioną współrzędną S,

T = T ZA + T B.

Według wzorów (2) i (3) przym. 2 mamy: .

Podstawiając te dane do T i biorąc to pod uwagę, otrzymujemy

Przykład 1.8(patrz warunek na rys. 1.2)

Wyznaczmy energię kinetyczną układu z rys. 1.9, przyjmując jako uogólnione współrzędne ilości xD I xA,

T = T ZA + T B + T D.

Według wzorów (2), (3), (4) przym. 2 zapiszemy

Wyraźmy V A , V D , w B i w A Poprzez :

Przy ustalaniu w A bierze się pod uwagę, że pkt O(Rys. 1.9) – chwilowy środek prędkości obrotowej cylindrów A I Vk = VD(patrz odpowiednie wyjaśnienia, na przykład 2 załącznik 2).

Podstawiając otrzymane wyniki do T i biorąc to pod uwagę

zdefiniujmy

Przykład 1.9(patrz warunek na rys. 1.3)

Wyznaczmy energię kinetyczną układu z rys. 1.10, przyjmując j i jako współrzędne uogólnione S,

T = T AB + T D.

Według wzorów (1) i (3) przym. 2 mamy

Wyraźmy W AB I V D przez i:

gdzie jest prędkość przenoszenia piłki D, jego moduł jest określony przez wzór

Skierowany prostopadle do odcinka OGŁOSZENIE w kierunku rosnącego kąta j; – prędkość względna piłki, jej moduł wyznacza wzór, skierowany w kierunku rosnących współrzędnych S. Należy zauważyć, że jest prostopadła do , w związku z tym

Podstawiając te wyniki do T i biorąc to pod uwagę

1.6. Tworzenie równań różniczkowych
ruch układów mechanicznych

Aby uzyskać wymagane równania, należy podstawić do równań Lagrange'a (1.1) znalezione wcześniej wyrażenie na energię kinetyczną układu we współrzędnych uogólnionych i siłach uogólnionych Q 1 , Q 2 , … , Q rz.

Podczas znajdowania pochodnych cząstkowych T stosując uogólnione współrzędne i uogólnione prędkości, należy wziąć pod uwagę, że zmienne Q 1 , Q 2 , … , q rz; są uważane za niezależne od siebie. Oznacza to, że przy definiowaniu pochodnej cząstkowej T dla jednej z tych zmiennych wszystkie pozostałe zmienne w wyrażeniu for T należy traktować jako stałe.

Podczas wykonywania operacji wszystkie zmienne zawarte w zmiennej muszą zostać zróżnicowane w czasie.

Podkreślamy, że równania Lagrange'a są zapisywane dla każdej uogólnionej współrzędnej q ja (ja = 1, 2,…N) systemy.

Miejmy układ punktów materialnych podporządkowanych powiązaniom utwierdzającym, którego równania mają postać podaną powyżej.

Gdyby układ był swobodny, wówczas wszystkie współrzędne kartezjańskie jego punktów byłyby niezależne. Aby wskazać położenie układu, konieczne byłoby podanie wszystkich współrzędnych kartezjańskich jego punktów. W nieswobodnym mechanicznym układzie współrzędnych kartezjańskich jego punkty muszą spełniać równania więzów, więc tylko współrzędne pomiędzy nimi będą niezależne.

Liczba wzajemnie niezależnych wielkości skalarnych, które jednoznacznie określają położenie układu mechanicznego w przestrzeni, nazywana jest liczbą stopni swobody układu.

W konsekwencji układ mechaniczny składający się z N wolnych punktów materialnych ma stopnie swobody. Nieswobodny układ N punktów materialnych z s utwierdzającymi połączeniami stopni swobody.

Określając położenie układu niewolnego, możemy samodzielnie określić jedynie współrzędne; pozostałe współrzędne są wyznaczane z równań więzów. Jednak położenie układu niewolnego można określić w wygodniejszy sposób - zamiast niezależnych współrzędnych kartezjańskich można podać tę samą liczbę innych wielkości geometrycznych, za pomocą których można jednoznacznie wyrazić współrzędne kartezjańskie (zarówno zależne, jak i niezależne). Kąty, odległości liniowe, pola itp. można wybierać jako takie wielkości, zwane uogólnionymi współrzędnymi układu. Wygodą jest to, że współrzędne uogólnione można dobierać z uwzględnieniem narzuconych połączeń, tj. zgodnie z charakterem ruchu dozwolonego w systemie przez cały zestaw nałożonych na siebie połączeń. W tym przypadku połączenia są uwzględniane automatycznie i nie ma potrzeby rozwiązywania równań połączeń ze względu na współrzędne zależne.

Przykład 1. Położenie wahadła fizycznego składającego się z ciężkiego pręta O A przegubowego w punkcie O jest całkowicie określone poprzez ustawienie kąta (ryc. 78). Jeśli kąt jest określony, to dla dowolnego punktu pręta o zadanej odległości można obliczyć jego współrzędne kartezjańskie:

Przykład 2. W przypadku układu mechanicznego składającego się z wahadła matematycznego na ruchomej platformie (ryc. 79) położenie w przestrzeni jest całkowicie określone przez wartości s i ( podane).

Położenie platformy określa odległość s, łatwo obliczyć współrzędne masy punktowej M:

Ilości (przykład 1) i s (przykład 2) są uogólnionymi współrzędnymi wskazanych układów. Koncepcję tę można rozszerzyć na przypadek dowolnego układu mechanicznego.

Zatem uogólnione współrzędne układu mechanicznego to dowolne niezależne od siebie wielkości geometryczne, które jednoznacznie określają położenie układu w przestrzeni. Liczba współrzędnych uogólnionych jest równa liczbie stopni swobody układu.

Niezależnie od znaczenia geometrycznego i co za tym idzie wymiaru, współrzędne uogólnione oznaczane są w sposób jednolity literą q i liczbą: . Z faktu, że uogólnione współrzędne jednoznacznie określają położenie układu mechanicznego w wybranym układzie współrzędnych Oxyz, wynika, że ​​istnieją funkcje

wyrażając współrzędne kartezjańskie wszystkich punktów układu za pomocą uogólnionych współrzędnych i być może czasu t. Konkretny typ tych funkcji jest ustawiany inaczej dla każdego systemu (patrz przykłady 1 i 2).

Jeśli wprowadzisz wektory promieni punktów (), funkcje te można przedstawić w postaci wektorowej

Wprowadźmy teraz pojęcie siły uogólnionej. Ustalmy układ w dowolnym momencie t i powiedzmy mu o możliwym ruchu z tego położenia.

W rezultacie niech uogólnione współrzędne otrzymają przyrosty (wariacje). Odpowiednie elementarne przemieszczenia punktów układu znajdziemy obliczając różniczki funkcji w ustalonym () czasie:

Obliczając możliwą pracę przyłożonych sił, znajdujemy:

Można zauważyć, że możliwa praca jest wyrażona przez jednorodną funkcję pierwszego stopnia (postać liniowa) względem zmian uogólnionych współrzędnych ze współczynnikami

tj. wygląda jak

Współczynniki nazywane są siłami uogólnionymi.

Zatem każda uogólniona współrzędna ma swoją własną uogólnioną siłę. W tym przypadku uogólniona siła odpowiadająca uogólnionej współrzędnej nazywana jest współczynnikiem zmienności tej uogólnionej współrzędnej w wyrażeniu na możliwą pracę sił przyłożonych do punktów układu.

Siły uogólnione można wprowadzić dla poszczególnych grup sił, np. dla sił aktywnych, dla reakcji wiązań, dla sił potencjalnych itp. Następnie całkowita siła uogólniona zostanie wyrażona przez sumę sił uogólnionych odpowiadających tym wybranym grupom. Jeśli zatem działające siły podzielimy na siły czynne i reakcje reakcji, wówczas całkowite siły uogólnione będą równe

gdzie są uogólnionymi siłami czynnymi, są uogólnionymi reakcjami połączeń.

Uogólnione reakcje wiązań idealnych są zawsze równe zeru. Z tego powodu reakcje wiązań idealnych można pominąć przy obliczaniu sił uogólnionych.

Przykład 3. Oblicz uogólnioną siłę wahadła fizycznego składającego się z pręta OA o długości i masie (ryc. 80).

Rozwiązanie. Wahadło fizyczne to układ o jednym stopniu swobody. W konsekwencji położenie wahadła wyznacza jedna uogólniona współrzędna, dla której wybieramy kąt nachylenia do pionu.

Przedstawiamy wahadło w dowolnym położeniu i przykładamy działające siły. Nie ma potrzeby pokazywania reakcji podpory A, ponieważ zawias jest połączeniem idealnym i jego udział w uogólnionej sile wynosi zero. Informujemy układ o możliwym ruchu - elementarnym obrocie wahadła o kąt w kierunku narastającego kąta. Praca jest wykonywana wyłącznie przez ciężar wahadła. Jego punkt przyłożenia (środek ciężkości pręta C) będzie opisywany łukiem o długości , i wzniesie się wzdłuż pionu o wielkość , wykonując elementarną pracę

Oczywiście przy obliczaniu tej uogólnionej siły należy określić energię potencjalną jako funkcję uogólnionych współrzędnych

P = P( Q 1 , Q 2 , Q 3 ,…,pytanie).

Notatki.

Pierwszy. Przy obliczaniu uogólnionych sił reakcji nie bierze się pod uwagę połączeń idealnych.

Drugi. Wymiar uogólnionej siły zależy od wymiaru uogólnionej współrzędnej. Jeśli więc wymiar [ Q] – metr, następnie wymiar

[Q]= Nm/m = Newton, jeżeli [ Q] – radian, wówczas [Q] = Nm; Jeśli [ Q] = m 2, następnie [Q] = H/m itd.

Przykład 4. Pierścień ślizga się po pręcie wahającym się w płaszczyźnie pionowej. M waga R(ryc. 10). Uważamy, że pręt jest nieważki. Zdefiniujmy siły uogólnione.

Ryc.10

Rozwiązanie. Układ ma dwa stopnie swobody. Przypisujemy dwie uogólnione współrzędne S I .

Znajdźmy uogólnioną siłę odpowiadającą współrzędnej S. Podajemy przyrost tej współrzędnej, pozostawiając współrzędną bez zmian i obliczając pracę jedynej siły czynnej R, otrzymujemy uogólnioną siłę

Następnie zwiększamy współrzędną, zakładając S= stała Kiedy pręt jest obracany o kąt, punktem przyłożenia siły jest R, pierścień M, przeniosę się do . Uogólniona siła będzie

Ponieważ system jest konserwatywny, uogólnione siły można również znaleźć na podstawie energii potencjalnej. Dostajemy I . Okazuje się, że jest to znacznie prostsze.

Równania równowagi Lagrange'a

Z definicji (7) siły uogólnione , k = 1,2,3,…,S, Gdzie S– liczba stopni swobody.

Jeśli układ jest w równowadze, to zgodnie z zasadą możliwych przemieszczeń (1) . Oto ruchy, na które pozwalają połączenia, możliwe ruchy. Dlatego, gdy układ materialny jest w równowadze, wszystkie jego uogólnione siły są równe zeru:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, S). (10)

Te równania równania równowagi we współrzędnych uogólnionych Lub Równania równowagi Lagrange'a , pozwalają na jeszcze jedną metodę rozwiązywania problemów ze statyką.

Jeśli system jest konserwatywny, to . Oznacza to, że znajduje się w położeniu równowagi. Oznacza to, że w pozycji równowagi takiego układu materialnego jego energia potencjalna jest albo maksymalna, albo minimalna, tj. funkcja П(q) ma ekstremum.

Widać to wyraźnie na podstawie analizy najprostszego przykładu (rys. 11). Energia potencjalna piłki w miejscu M 1 ma minimum na pozycji M 2 – maksymalnie. Można zauważyć, że na stanowisku M 1 równowaga będzie stabilna; w ciąży M 2 – niestabilny.

Ryc.11

Równowagę uważa się za stabilną, jeśli ciału w tej pozycji nadano małą prędkość lub przesunięto na niewielką odległość i odchylenia te nie zwiększają się w przyszłości.

Można udowodnić (twierdzenie Lagrange'a-Dirichleta), że jeśli w położeniu równowagi układu konserwatywnego jego energia potencjalna ma minimum, to to położenie równowagi jest stabilne.

Dla układu konserwatywnego o jednym stopniu swobody warunek minimalnej energii potencjalnej, a co za tym idzie stabilności położenia równowagi, wyznacza druga pochodna, jej wartość w położeniu równowagi,

Przykład 5. Jądro OA waga R może obracać się w płaszczyźnie pionowej wokół osi O(ryc. 12). Znajdźmy i zbadajmy stabilność pozycji równowagi.

Ryc.12

Rozwiązanie. Pręt ma jeden stopień swobody. Uogólniona współrzędna – kąt.

W odniesieniu do dolnego, zerowego położenia, energia potencjalna P = Doktorat Lub

W pozycji równowagi powinno być . Stąd mamy dwie pozycje równowagi odpowiadające kątom i (pozycjom OA 1 i OA 2). Zbadajmy ich stabilność. Znalezienie drugiej pochodnej. Oczywiście z , . Położenie równowagi jest stabilne. Na , . Drugie położenie równowagi jest niestabilne. Wyniki są oczywiste.

Uogólnione siły bezwładności.

Stosując tę ​​samą metodę (8), według której obliczono siły uogólnione Q k, odpowiadające aktywnym, określonym siłom, określane są również siły uogólnione S k, odpowiadające siłom bezwładności punktów układu:

A ponieważ To

Kilka przekształceń matematycznych.

Oczywiście,

Ponieważ a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), to

Oznacza to, że pochodna cząstkowa prędkości względem

Dodatkowo w ostatnim wyrazie (14) można zmienić kolejność różniczkowania:

Podstawiając (15) i (16) do (14), a następnie (14) do (13), otrzymujemy

Dzieląc ostatnią sumę przez dwa i pamiętając, że suma pochodnych jest równa pochodnej sumy, otrzymujemy

gdzie jest energią kinetyczną układu i jest uogólnioną prędkością.

Równania Lagrange'a.

Z definicji (7) i (12) siły uogólnione

Jednak bazując na ogólnym równaniu dynamiki (3), prawa strona równości jest równa zeru. A ponieważ wszystko ( k = 1,2,3,…,S) są różne od zera, to . Podstawiając wartość uogólnionej siły bezwładności (17) otrzymujemy równanie

Te równania nazywane są równaniami różniczkowymi ruchu we współrzędnych uogólnionych, równaniami Lagrange'a drugiego rodzaju lub po prostu – Równania Lagrange'a.

Liczba tych równań jest równa liczbie stopni swobody układu materialnego.

Jeżeli układ jest zachowawczy i porusza się pod wpływem potencjalnych sił pola, gdy siły uogólnione wynoszą , równania Lagrange'a można zapisać w postaci

Gdzie L = T– nazywa się P Funkcja Lagrange'a (zakłada się, że energia potencjalna P nie zależy od prędkości uogólnionych).

Często podczas badania ruchu układów materialnych okazuje się, że istnieją pewne uogólnione współrzędne qj nie są uwzględnione jawnie w funkcji Lagrange'a (lub w T i p). Takie współrzędne nazywane są cykliczny. Równania Lagrange'a odpowiadające tym współrzędnym uzyskuje się prościej.

Pierwszą całkę takich równań można znaleźć natychmiast. Nazywa się to całką cykliczną:

Dalsze badania i przekształcenia równań Lagrange'a stanowią przedmiot specjalnego działu mechaniki teoretycznej - „Mechanika analityczna”.

Równania Lagrange'a mają szereg zalet w porównaniu z innymi metodami badania ruchu układów. Główne zalety: sposób układania równań jest taki sam we wszystkich zadaniach, reakcje idealnych połączeń nie są brane pod uwagę przy rozwiązywaniu problemów.

I jeszcze jedno - równania te można wykorzystać do badania nie tylko układów mechanicznych, ale także innych układów fizycznych (elektrycznych, elektromagnetycznych, optycznych itp.).

Przykład 6. Kontynuujmy badanie ruchu pierścienia M na drążku wahadłowym (przykład 4).

Przypisuje się współrzędne uogólnione – i s (ryc. 13). Zdefiniowano siły uogólnione: i .

Ryc.13

Rozwiązanie. Energia kinetyczna pierścienia Gdzie a i .

Tworzymy dwa równania Lagrange'a

wówczas równania są następujące:

Otrzymaliśmy dwa nieliniowe równania różniczkowe drugiego rzędu, których rozwiązanie wymaga specjalnych metod.

Przykład 7. Utwórzmy różniczkowe równanie ruchu belki AB, który toczy się bez ślizgania po cylindrycznej powierzchni (ryc. 14). Długość belki AB = l, waga - R.

W położeniu równowagi belka znajdowała się poziomo, a środek ciężkości był ustawiony poziomo Z znajdował się w górnym punkcie cylindra. Belka ma jeden stopień swobody. Jego położenie wyznacza uogólniona współrzędna – kąt (ryc. 76).

Ryc.14

Rozwiązanie. System jest konserwatywny. Dlatego równanie Lagrange'a ułożymy wykorzystując energię potencjalną P=mgh, obliczoną względem położenia poziomego. W punkcie styku znajduje się chwilowy środek prędkości i (równy długości łuku kołowego z kątem).

Dlatego (patrz rys. 76) i .

Energia kinetyczna (belka porusza się płasko-równolegle)

Znajdujemy niezbędne pochodne równania i

Zróbmy równanie

lub w końcu

Pytania autotestowe

Jak nazywa się możliwy ruch ograniczonego układu mechanicznego?

Jak powiązane są możliwe i rzeczywiste ruchy układu?

Jakie połączenia nazywane są: a) stacjonarne; b) idealny?

Sformułuj zasadę możliwych ruchów. Zapisz jego formułę.

Czy można zastosować zasadę ruchów wirtualnych do systemów z nieidealnymi połączeniami?

Jakie są uogólnione współrzędne układu mechanicznego?

Jaka jest liczba stopni swobody układu mechanicznego?

W jakim przypadku współrzędne kartezjańskie punktów układu zależą nie tylko od współrzędnych uogólnionych, ale także od czasu?

Jak nazywają się możliwe ruchy układu mechanicznego?

Czy możliwe ruchy zależą od sił działających na układ?

Jakie połączenia układu mechanicznego nazywamy idealnymi?

Dlaczego wiązanie powstałe w wyniku tarcia nie jest wiązaniem idealnym?

Jak sformułowana jest zasada możliwych ruchów?

Jakie typy może mieć równanie pracy?

Dlaczego zasada możliwych przemieszczeń upraszcza wyprowadzenie warunków równowagi dla sił przyłożonych do układów ograniczonych składających się z dużej liczby ciał?

Jak konstruuje się równania pracy dla sił działających na układ mechaniczny o kilku stopniach swobody?

Jaka jest zależność pomiędzy siłą napędową a siłą oporu w najprostszych maszynach?

Jak sformułowana jest złota zasada mechaniki?

Jak wyznacza się reakcje połączeń wykorzystując zasadę możliwych ruchów?

Jakie połączenia nazywamy holonomicznymi?

Jaka jest liczba stopni swobody układu mechanicznego?

Jakie są uogólnione współrzędne układu?

Ile uogólnionych współrzędnych ma nieswobodny układ mechaniczny?

Ile stopni swobody ma kierownica samochodu?

Co to jest siła uogólniona?

Zapisz wzór wyrażający całkowitą pracę elementarną wszystkich sił przyłożonych do układu we współrzędnych uogólnionych.

Jak określa się wymiar siły uogólnionej?

Jak obliczane są siły uogólnione w układach konserwatywnych?

Zapisz jeden ze wzorów wyrażających ogólne równanie dynamiki układu o połączeniach idealnych. Jakie jest fizyczne znaczenie tego równania?

Jaka jest uogólniona siła sił czynnych przyłożonych do układu?

Jaka jest uogólniona siła bezwładności?

Sformułuj zasadę d'Alemberta w zakresie sił uogólnionych.

Jakie jest ogólne równanie dynamiki?

Jak nazywa się uogólniona siła odpowiadająca jakiejś uogólnionej współrzędnej układu i jaki ma ona wymiar?

Jakie są uogólnione reakcje wiązań idealnych?

Wyprowadź ogólne równanie dynamiki sił uogólnionych.

Jaką postać mają warunki równowagi dla sił przyłożonych do układu mechanicznego, otrzymane z ogólnego równania dynamiki w siłach uogólnionych?

Jakie wzory wyrażają uogólnione siły poprzez rzuty sił na stałe osie współrzędnych kartezjańskich?

Jak wyznacza się siły uogólnione w przypadku sił zachowawczych i niezachowawczych?

Jakie połączenia nazywamy geometrycznymi?

Podaj wektorową reprezentację zasady możliwych przemieszczeń.

Podaj warunek konieczny i wystarczający równowagi układu mechanicznego z idealnymi stacjonarnymi połączeniami geometrycznymi.

Jaką właściwość ma funkcja siły układu konserwatywnego w stanie równowagi?

Zapisz układ równań różniczkowych Lagrange'a drugiego rodzaju.

Ile równań Lagrange'a drugiego rodzaju można skonstruować dla ograniczonego układu mechanicznego?

Czy liczba równań Lagrange'a układu mechanicznego zależy od liczby ciał wchodzących w skład układu?

Jaki jest potencjał kinetyczny układu?

Dla jakich układów mechanicznych istnieje funkcja Lagrange'a?

Jakimi argumentami jest funkcja wektora prędkości punktu należącego do układu mechanicznego S stopnie swobody?

Jaka jest pochodna cząstkowa wektora prędkości punktu układu względem pewnej uogólnionej prędkości?

Funkcją jakich argumentów jest energia kinetyczna układu podlegającego holonomicznym więzom niestacjonarnym?

Jaką postać mają równania Lagrange'a drugiego rodzaju? Jaka jest liczba tych równań dla każdego układu mechanicznego?

Jaką postać przyjmują równania Lagrange'a drugiego rodzaju w przypadku, gdy na układ działają jednocześnie siły zachowawcze i niezachowawcze?

Co to jest funkcja Lagrange'a, czyli potencjał kinetyczny?

Jaką postać mają równania Lagrange'a drugiego rodzaju dla układu konserwatywnego?

W zależności od jakich zmiennych należy wyrazić energię kinetyczną układu mechanicznego podczas układania równań Lagrange'a?

Jak wyznacza się energię potencjalną układu mechanicznego pod wpływem sił sprężystych?

Problemy do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1. Korzystając z zasady możliwych przemieszczeń, określić reakcje połączeń konstrukcji zespolonych. Schematy strukturalne pokazano na ryc. 15, a dane niezbędne do rozwiązania podano w tabeli. 1. Na zdjęciach wszystkie wymiary podane są w metrach.

Tabela 1

Opcja 1 Opcja 2

Opcja 3 Opcja 4

Opcja 5 Opcja 6

Opcja 7 Opcja 8

Ryc.16 Ryc.17

Rozwiązanie.Łatwo sprawdzić, że w tym zadaniu spełnione są wszystkie warunki zastosowania zasady Lagrange'a (układ jest w równowadze, połączenia są stacjonarne, holonomiczne, ograniczające i idealne).

Uwolnijmy się od związku odpowiadającego reakcji X A (ryc. 17). W tym celu należy w punkcie A zastąpić zawias stały np. wspornikiem prętowym i wtedy układ otrzyma jeden stopień swobody. Jak już wspomniano, możliwy ruch układu jest określony przez nałożone na niego ograniczenia i nie zależy od przyłożonych sił. Dlatego określenie możliwych przemieszczeń jest problemem kinematycznym. Ponieważ w tym przykładzie rama może poruszać się tylko w płaszczyźnie obrazu, jej możliwe ruchy są również planarne. W ruchu płaskim ruch ciała można uznać za obrót wokół chwilowego środka prędkości. Jeżeli chwilowy środek prędkości leży w nieskończoności, to odpowiada to przypadkowi chwilowego ruchu postępowego, gdy przemieszczenia wszystkich punktów ciała są takie same.

Aby znaleźć chwilowy środek prędkości, należy znać kierunki prędkości dowolnych dwóch punktów ciała. Dlatego określenie możliwych przemieszczeń konstrukcji zespolonej należy rozpocząć od znalezienia możliwych przemieszczeń elementu, dla którego znane są takie prędkości. W takim przypadku należy zacząć od ramki CDB, od jego punktu W jest nieruchoma i dlatego możliwy ruch tej ramy polega na jej obrocie o kąt wokół osi przechodzącej przez zawias B. Teraz znając możliwy ruch punktu Z(należy jednocześnie do obu ram układu) i możliwym ruchem punktu A(możliwym ruchem punktu A jest jego ruch wzdłuż osi X), znajdź środek prędkości chwilowej C 1 układu AES. Zatem możliwy ruch ramy AES jest jego obrotem wokół punktu C 1 o kąt . Połączenie pomiędzy kątami i jest wyznaczane poprzez ruch punktu C (patrz rys. 17)

Z podobieństwa trójkątów EC 1 C i BCD mamy

W rezultacie otrzymujemy zależności:

Zgodnie z zasadą możliwych ruchów

Obliczmy sekwencyjnie możliwe stanowiska uwzględnione tutaj:

Q=2q – wypadkowa obciążenia rozłożonego, którego miejsce przyłożenia pokazano na rys. 79; możliwa praca wykonana przez niego jest równa.