Obrót ciała wokół ustalonej osi. Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół ustalonej osi Ruch obrotowy punktu materialnego

DEFINICJA: Ruch obrotowy ciała sztywnego nazwiemy taki ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się po okręgach, których środki leżą na tej samej linii prostej, zwanej osią obrotu.

Aby zbadać dynamikę rotacyjną, dodajemy do znanych wielkości kinematycznych dwie ilości: chwila mocy(M) i moment bezwładności(J).

1. Z doświadczenia wiadomo: przyspieszenie ruchu obrotowego zależy nie tylko od wielkości siły działającej na ciało, ale także od odległości osi obrotu od linii, wzdłuż której działa ta siła. Aby scharakteryzować tę okoliczność, wielkość fizyczna tzw moment siły.

Rozważmy najprostszy przypadek.

DEFINICJA: Moment siły względem pewnego punktu „O” jest wielkością wektorową określoną wyrażeniem , gdzie jest wektorem promienia narysowanym od punktu „O” do punktu przyłożenia siły.

Z definicji wynika, że ​​jest to wektor osiowy. Jego kierunek dobiera się tak, aby obrót wektora wokół punktu „O” w kierunku siły i wektora tworzyły układ prawoskrętny. Moduł momentu siły jest równy , gdzie a jest kątem pomiędzy kierunkami wektorów i , oraz l= r grzech a jest długością prostopadłej opuszczonej z punktu „O” do linii prostej, wzdłuż której działa siła (tzw ramię siły względem punktu „O”) (ryc. 4.2).

2. Dane eksperymentalne wskazują, że na wielkość przyspieszenia kątowego wpływa nie tylko masa obracającego się korpusu, ale także rozkład masy względem osi obrotu. Ilość, która uwzględnia tę okoliczność, nazywa się moment bezwładności względem osi obrotu.

DEFINICJA: Ściśle mówiąc, moment bezwładności ciało względem określonej osi obrotu nazywa się wartością J, równą sumie iloczynów mas elementarnych przez kwadraty ich odległości od danej osi.

Sumowanie przeprowadza się po wszystkich masach elementarnych, na które podzielono ciało. Należy pamiętać, że wielkość ta (J) istnieje niezależnie od obrotu (choć pojęcie momentu bezwładności zostało wprowadzone przy rozważaniu obrotu ciała sztywnego).

Każde ciało, niezależnie od tego, czy znajduje się w spoczynku, czy też się obraca, ma pewien moment bezwładności względem dowolnej osi, tak jak ciało ma masę niezależnie od tego, czy jest w ruchu, czy w spoczynku.

Biorąc to pod uwagę, moment bezwładności można przedstawić jako: . Zależność ta jest przybliżona i im mniejsze są objętości elementarne i odpowiadające im elementy masowe, tym będzie ona dokładniejsza. Zatem zadanie znalezienia momentów bezwładności sprowadza się do całkowania: . Tutaj integracja odbywa się w całej objętości ciała.

Zapiszmy momenty bezwładności niektórych ciał o regularnym kształcie geometrycznym.

Obliczenie momentu bezwładności jest tutaj dość proste, ponieważ Przyjmuje się, że ciało jest jednorodne i symetryczne, a moment bezwładności wyznacza się względem osi symetrii.

Aby wyznaczyć moment bezwładności ciała względem dowolnej osi, należy skorzystać z twierdzenia Steinera.

DEFINICJA: Moment bezwładności J względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności J c względem osi równoległej do zadanej i przechodzącej przez środek bezwładności ciała oraz iloczynu masy ciała przez kwadrat odległości między osiami (rys. 4.10).

Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół ustalonej osi to taki ruch, w którym dowolne dwa punkty należące do ciała (lub niezmiennie z nim skojarzone) pozostają w ruchu przez cały czas trwania ruchu(ryc. 2.2) .

Rysunek 2.2

Przechodzenie przez stałe punkty A I W nazywa się linia prosta oś obrotu. Ponieważ odległość między punktami ciała sztywnego musi pozostać niezmieniona, jest oczywiste, że podczas ruchu obrotowego wszystkie punkty należące do osi będą nieruchome, a wszystkie inne będą opisywały okręgi, których płaszczyzny są prostopadłe do osi obrotu, a środki leżą na tej osi. Aby określić położenie obracającego się ciała, rysujemy przez oś obrotu, wzdłuż której ta oś jest skierowana Az, półpłaski І – stałe i półpłaskie ІІ osadzone w samym ciele i obracające się wraz z nim. Wtedy położenie ciała w dowolnym momencie jest jednoznacznie określone przez kąt przyjęty z odpowiednim znakiem φ pomiędzy tymi płaszczyznami, które nazywamy kąt obrotu ciała. Rozważymy kąt φ pozytywny, jeśli jest opóźniony od ustalonej płaszczyzny w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (dla obserwatora patrzącego od dodatniego końca osi Az) i ujemna, jeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zmierz kąt φ Będziemy w radianach. Aby poznać położenie ciała w dowolnym momencie, należy znać zależność kąta φ od czasu T, tj.

To równanie wyraża prawo ruchu obrotowego ciała sztywnego wokół ustalonej osi.

Główną charakterystyką kinematyczną ruchu obrotowego ciała sztywnego jest jego prędkość kątowa ω i przyspieszenie kątowe ε.

9.2.1. Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe ciała

Wielkość charakteryzującą szybkość zmiany kąta obrotu φ w czasie nazywa się prędkością kątową.

Jeśli przez jakiś czas
ciało obraca się o kąt
, to będzie liczbowo średnia prędkość kątowa ciała w tym okresie czasu
. W limicie o godz
dostajemy

Zatem, wartość liczbowa prędkości kątowej ciała w danym czasie jest równa pierwszej pochodnej kąta obrotu po czasie.

Zasada znaku: Gdy obrót następuje w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ω> 0, a następnie zgodnie z ruchem wskazówek zegara ω< 0.

lub, ponieważ radian jest wielkością bezwymiarową,
.

W obliczeniach teoretycznych wygodniej jest używać wektora prędkości kątowej , którego moduł jest równy i który jest skierowany wzdłuż osi obrotu ciała w kierunku, z którego widoczny jest obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Wektor ten natychmiast określa wielkość prędkości kątowej, oś obrotu i kierunek obrotu wokół tej osi.

Wielkość charakteryzująca szybkość zmiany prędkości kątowej w czasie nazywa się przyspieszeniem kątowym ciała.

Jeśli przez jakiś czas
przyrost prędkości kątowej jest równy
, następnie relacja
, tj. określa wartość średniego przyspieszenia obracającego się ciała w czasie
.

Kiedy się starasz
otrzymujemy wielkość przyspieszenia kątowego w tej chwili T:

Zatem, wartość liczbowa przyspieszenia kątowego ciała w danym czasie jest równa pierwszej pochodnej prędkości kątowej lub drugiej pochodnej kąta obrotu ciała w czasie.

Zwykle używana jest jednostka miary lub, co jest również,
.

Jeśli moduł prędkości kątowej rośnie z czasem, nazywa się to obrotem ciała przyśpieszony, a jeśli maleje, - powolny Kiedy wartości ω I ε mają te same znaki, wówczas obrót zostanie przyspieszony, gdy są różne, zostanie spowolniony. Analogicznie do prędkości kątowej, przyspieszenie kątowe można również przedstawić w postaci wektora , skierowanych wzdłuż osi obrotu. W której

.

Jeśli ciało obraca się w kierunku przyspieszonym zbiega się z i odwrotnie z powolnym obrotem.

Jeżeli prędkość kątowa ciała podczas ruchu pozostaje stała ( ω= konst), wówczas nazywa się obrót ciała mundur.

Z
mamy
. Dlatego należy to wziąć pod uwagę w początkowym momencie
narożnik
i biorąc całki po lewej stronie zanim , a po prawej stronie od 0 do T, w końcu dostaniemy

Przy równomiernym obrocie, kiedy =0,
I
.

Szybkość równomiernego obrotu często określa się na podstawie liczby obrotów na minutę, oznaczając tę ​​wartość przez N obr./min Znajdźmy związek pomiędzy N obr./min i ω 1/s. Przy jednym obrocie ciało obróci się o 2π i o N obr/min przy 2π N; ta tura jest wykonywana w ciągu 1 minuty, tj. T= 1 minuta = 60 sekund. Wynika, że

Jeżeli przyspieszenie kątowe ciała pozostaje stałe w całym jego ruchu (ε = konst), wówczas nazywa się obrót równie zmienne.

W początkowej chwili T= 0 kąt
i prędkość kątową
(- początkowa prędkość kątowa).
;
=ε
. Integracja lewej strony zanim , a prawy od 0 do T, znajdziemy

Prędkość kątowa ω tego obrotu
. Jeśli ω i ε mają te same znaki, rotacja będzie miała miejsce równomiernie przyspieszony, a jeśli jest inaczej – równie powolny.

I Savelyeva.

Podczas ruchu ciała do przodu (§ 60 w podręczniku E. M. Nikitina) wszystkie jego punkty poruszają się po identycznych trajektoriach i w każdym momencie mają jednakowe prędkości i równe przyspieszenia.

Dlatego ruch translacyjny ciała jest określony przez ruch dowolnego punktu, zwykle ruch środka ciężkości.

Rozważając ruch samochodu osobowego (zadanie 147) lub lokomotywy spalinowej (zadanie 141) w dowolnym zadaniu, tak naprawdę bierzemy pod uwagę ruch ich środków ciężkości.

Ruchu obrotowego ciała (E.M. Nikitin, § 61) nie można utożsamiać z ruchem żadnego z jego punktów. Oś dowolnego korpusu obrotowego (koło zamachowe diesla, wirnik silnika elektrycznego, wrzeciono maszyny, łopatki wentylatora itp.) podczas ruchu zajmuje to samo miejsce w przestrzeni w stosunku do otaczających ciał stacjonarnych.

Ruch punktu materialnego lub ruch do przodu ciała charakteryzują się w zależności od czasu wielkości liniowe s (droga, odległość), v (prędkość) i a (przyspieszenie) z jego składowymi a t i an.

Ruch obrotowy ciała w zależności od czasu t charakteryzują wartości kątowe: φ (kąt obrotu w radianach), ω (prędkość kątowa w rad/s) i ε (przyspieszenie kątowe w rad/s 2).

Prawo ruchu obrotowego ciała wyraża równanie
φ = f(t).

Prędkość kątowa- wielkość charakteryzująca prędkość obrotu ciała, definiowana w ogólnym przypadku jako pochodna kąta obrotu po czasie
ω = dφ/dt = f” (t).

Przyspieszenie kątowe- wielkość charakteryzującą szybkość zmian prędkości kątowej definiuje się jako pochodną prędkości kątowej
ε = dω/dt = f"" (t).

Rozpoczynając rozwiązywanie problemów dotyczących ruchu obrotowego ciała, należy pamiętać, że w obliczeniach i problemach technicznych z reguły przemieszczenie kątowe wyraża się nie w radianach φ, ale w obrotach φ około.

Dlatego konieczna jest możliwość przejścia od liczby obrotów do radianowego pomiaru przemieszczenia kątowego i odwrotnie.

Ponieważ jeden pełny obrót odpowiada 2π rad, zatem
φ = 2πφ około i φ około = φ/(2π).

Prędkość kątową w obliczeniach technicznych bardzo często mierzy się w obrotach wytwarzanych na minutę (rpm), dlatego konieczne jest jasne zrozumienie, że ω rad/s i n obr/min wyrażają to samo pojęcie – prędkość obrotową ciała (prędkość kątowa), ale w różnych jednostkach - w rad/s lub w obr./min.

Przejście z jednej jednostki prędkości kątowej na drugą dokonuje się zgodnie ze wzorami
ω = πn/30 i n = 30ω/π.

Podczas ruchu obrotowego ciała wszystkie jego punkty poruszają się po okręgach, których środki leżą na jednej ustalonej linii prostej (oś obracającego się ciała). Przy rozwiązywaniu problemów podanych w tym rozdziale bardzo ważne jest jasne zrozumienie zależności pomiędzy wielkościami kątowymi φ, ω i ε, które charakteryzują ruch obrotowy ciała, a wielkościami liniowymi s, v, a t i an, charakteryzującymi ruch różnych punktów tego ciała (ryc. 205).

Jeżeli R jest odległością od osi geometrycznej obracającego się ciała do dowolnego punktu A (na rys. 205 R = OA), to związek pomiędzy φ – kątem obrotu ciała i s – drogą przebytą przez punkt ciała w tym samym czasie wyraża się w następujący sposób:
s = φR.

Zależność prędkości kątowej ciała od prędkości punktu w danym momencie wyraża się równością
v = ωR.

Przyspieszenie styczne punktu zależy od przyspieszenia kątowego i jest określone wzorem
za t = εR.

Przyspieszenie normalne punktu zależy od prędkości kątowej ciała i jest określone przez zależność
za n = ω 2 R.

Rozwiązując problem podany w tym rozdziale, należy jasno zrozumieć, że obrót jest ruchem ciała sztywnego, a nie punktem. Pojedynczy punkt materialny nie obraca się, ale porusza się po okręgu - wykonuje ruch krzywoliniowy.

§ 33. Jednostajny ruch obrotowy

Jeżeli prędkość kątowa wynosi ω=const, wówczas ruch obrotowy nazywa się ruchem jednostajnym.

Równanie rotacji jednolitej ma postać
φ = φ 0 + ωt.

W szczególnym przypadku, gdy początkowy kąt obrotu φ 0 = 0,
φ = ωt.

Prędkość kątowa ciała obracającego się równomiernie
ω = φ/t
można wyrazić w ten sposób:
ω = 2π/T,
gdzie T jest okresem obrotu ciała; φ=2π - kąt obrotu w jednym okresie.

§ 34. Jednostajny ruch obrotowy

Ruch obrotowy ze zmienną prędkością kątową nazywany jest nierównomiernym (patrz poniżej § 35). Jeżeli przyspieszenie kątowe ε=const, to nazywamy ruch obrotowy równie zmienne. Zatem równomierny obrót ciała jest szczególnym przypadkiem nierównomiernego ruchu obrotowego.

Równanie rotacji jednostajnej
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
oraz równanie wyrażające prędkość kątową ciała w dowolnym momencie,
(2) ω = ω 0 + εt
reprezentują zbiór podstawowych wzorów na jednostajny ruch obrotowy ciała.

Wzory te obejmują tylko sześć wielkości: trzy stałe dla danego problemu φ 0, ω 0 i ε oraz trzy zmienne φ, ω i t. W związku z tym warunek każdego problemu dotyczący równomiernego obrotu musi zawierać co najmniej cztery określone wielkości.

Dla wygody rozwiązywania niektórych problemów z równań (1) i (2) można uzyskać jeszcze dwa wzory pomocnicze.

Wykluczmy przyspieszenie kątowe ε z (1) i (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Wykluczmy czas t z (1) i (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

W szczególnym przypadku równomiernie przyspieszonego obrotu rozpoczynającego się od stanu spoczynku φ 0 =0 i ω 0 =0. Dlatego powyższe wzory podstawowe i pomocnicze przyjmują następującą postać:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Nierówny ruch obrotowy

Rozważmy przykład rozwiązania problemu, w którym określony jest niejednostajny ruch obrotowy ciała.

Ruch ciała sztywnego nazywa się obrotowym, jeśli podczas ruchu wszystkie punkty ciała znajdujące się na określonej linii prostej, zwanej osią obrotu, pozostają w bezruchu(ryc. 2.15).

Zwykle określa się położenie ciała podczas ruchu obrotowego kąt obrotu ciało , który jest mierzony jako kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyzną stałą i ruchomą przechodzącą przez oś obrotu. Ponadto ruchoma płaszczyzna jest połączona z obracającym się korpusem.

Wprowadźmy pod uwagę ruchome i nieruchome układy współrzędnych, których początek zostanie umieszczony w dowolnym punkcie O na osi obrotu. Oś Oz, wspólna dla ruchomego i nieruchomego układu współrzędnych, będzie skierowana wzdłuż osi obrotu, czyli osi Oh ustalonego układu współrzędnych kierujemy go prostopadle do osi Oz tak, aby leżał w ustalonej płaszczyźnie, osi O 1 Skierujmy ruchomy układ współrzędnych prostopadle do osi Oz tak, aby leżał w poruszającej się płaszczyźnie (ryc. 2.15).

Jeśli rozważymy przekrój ciała przez płaszczyznę prostopadłą do osi obrotu, to kąt obrotu φ można zdefiniować jako kąt pomiędzy stałą osią Oh i ruchoma oś O 1, niezmiennie powiązany z obracającym się korpusem (ryc. 2.16).

Przyjmuje się kierunek odniesienia dla kąta obrotu nadwozia φ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara jest uważany za dodatni, patrząc z dodatniego kierunku osi Oz.

Równość φ = φ(t), opisujący zmianę kąta φ w czasie nazywa się prawem lub równaniem ruchu obrotowego ciała sztywnego.

Charakteryzuje się prędkością i kierunkiem zmiany kąta obrotu ciała sztywnego prędkość kątowa. Wartość bezwzględna prędkości kątowej jest zwykle oznaczana literą alfabetu greckiego ω (omega). Wartość algebraiczna prędkości kątowej jest zwykle oznaczana przez . Wartość algebraiczna prędkości kątowej jest równa pierwszej pochodnej kąta obrotu:

. (2.33)

Jednostki prędkości kątowej są równe jednostkom kąta podzielonym przez jednostkę czasu, na przykład stopień/min, rad/h. W układzie SI jednostką miary prędkości kątowej jest rad/s, ale częściej nazwę tej jednostki miary zapisuje się jako 1/s.

Jeśli > 0, wówczas korpus obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, patrząc od końca osi współrzędnych pokrywającej się z osią obrotu.

Jeśli< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Prędkość i kierunek zmiany prędkości kątowej charakteryzują się przyspieszeniem kątowym. Wartość bezwzględną przyspieszenia kątowego oznacza się zwykle literą greckiego alfabetu e (epsilon). Wartość algebraiczna przyspieszenia kątowego jest zwykle oznaczana przez . Wartość algebraiczna przyspieszenia kątowego jest równa pierwszej pochodnej po czasie wartości algebraicznej prędkości kątowej lub drugiej pochodnej kąta obrotu:

Jednostki przyspieszenia kątowego są równe jednostkom kąta podzielonym przez jednostkę czasu do kwadratu. Na przykład stopień/s 2, rad/h 2. W układzie SI jednostką miary przyspieszenia kątowego jest rad/s 2, ale częściej nazwę tej jednostki miary zapisuje się jako 1/s 2.

Jeśli algebraiczne wartości prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego mają ten sam znak, wówczas prędkość kątowa z czasem rośnie, a jeśli jest inna, maleje.

Jeżeli prędkość kątowa jest stała ( ω = const), wówczas zwyczajowo mówi się, że obrót ciała jest równomierny. W tym przypadku:

φ = t + φ 0, (2.35)

Gdzie φ 0 - początkowy kąt obrotu.

Jeżeli przyspieszenie kątowe jest stałe (e = const), to zwyczajowo mówi się, że obrót ciała jest jednostajnie przyspieszany (jednolicie wolny). W tym przypadku:

Gdzie 0 - początkowa prędkość kątowa.

W pozostałych przypadkach w celu ustalenia zależności φ z I konieczne jest całkowanie wyrażeń (2.33), (2.34) w danych warunkach początkowych.

Na rysunkach kierunek obrotu ciała jest czasami pokazany zakrzywioną strzałką (ryc. 2.17).

Często w mechanice prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe są uważane za wielkości wektorowe I . Oba te wektory są skierowane wzdłuż osi obrotu ciała. Co więcej, wektor skierowany w jednym kierunku z wersorem jednostkowym, który określa kierunek osi współrzędnych pokrywający się z osią obrotu, jeżeli >0, i odwrotnie, jeśli
Kierunek wektora wybiera się w ten sam sposób (ryc. 2.18).

Podczas ruchu obrotowego ciała każdy z jego punktów (z wyjątkiem punktów położonych na osi obrotu) porusza się po torze, który jest okręgiem o promieniu równym najkrótszej odległości punktu od osi obrotu (rys. 2.19).

Ponieważ styczna okręgu w dowolnym punkcie tworzy z promieniem kąt 90°, wektor prędkości punktu ciała znajdującego się w ruchu obrotowym będzie skierowany prostopadle do promienia i będzie leżał w płaszczyźnie okręgu, czyli trajektoria ruchu punktu. Składowa styczna przyspieszenia będzie leżeć na tej samej linii co prędkość, a składowa normalna będzie skierowana promieniowo w stronę środka okręgu. Dlatego czasami nazywa się odpowiednio składową styczną i normalną przyspieszenia podczas ruchu obrotowego obrotowy i dośrodkowy (osiowy) komponenty (ryc. 2.19)

Wartość algebraiczną prędkości punktu określa wyrażenie:

, (2.37)

gdzie R = OM jest najkrótszą odległością od punktu do osi obrotu.

Wartość algebraiczną składowej stycznej przyspieszenia określa się za pomocą wyrażenia:

. (2.38)

Moduł składowej normalnej przyspieszenia określa się za pomocą wyrażenia:

. (2.39)

Wektor przyspieszenia punktu podczas ruchu obrotowego wyznacza się na podstawie reguły równoległoboku jako sumę geometryczną składowej stycznej i normalnej. Odpowiednio moduł przyspieszenia można wyznaczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe są zdefiniowane jako wielkości wektorowe , , wówczas wektory prędkości, składowej stycznej i normalnej przyspieszenia można wyznaczyć ze wzorów:

gdzie jest wektorem promienia poprowadzonym do punktu M z dowolnego punktu na osi obrotu (ryc. 2.20).

Rozwiązanie zagadnień związanych z ruchem obrotowym jednego ciała zwykle nie nastręcza trudności. Za pomocą wzorów (2.33)-(2.40) można łatwo wyznaczyć dowolny nieznany parametr.

Pewne trudności pojawiają się przy rozwiązywaniu problemów związanych z badaniem mechanizmów składających się z kilku połączonych ze sobą ciał wykonujących zarówno ruch obrotowy, jak i translacyjny.

Ogólne podejście do rozwiązywania takich problemów jest takie, że ruch z jednego ciała do drugiego jest przenoszony przez jeden punkt - punkt styczności (kontakt). Ponadto stykające się ciała mają w punkcie styku jednakowe prędkości i styczne składowe przyspieszenia. Składowe normalne przyspieszenia ciał stykających się w punkcie styku są różne i zależą od trajektorii punktów ciał.

Przy rozwiązywaniu problemów tego typu wygodnie jest, w zależności od konkretnych okoliczności, zastosować zarówno wzory podane w podrozdziale 2.3, jak i wzory na określenie prędkości i przyspieszenia punktu, określając jego ruch jako naturalny (2.7), (2.14 ) (2.16) lub metody współrzędnych (2.3), (2.4), (2.10), (2.11). Co więcej, jeśli ruch ciała, do którego należy ten punkt, ma charakter obrotowy, to trajektoria punktu będzie kołem. Jeśli ruch ciała jest prostoliniowy, to trajektoria punktu będzie linią prostą.

Przykład 2.4. Ciało obraca się wokół stałej osi. Kąt obrotu ciała zmienia się zgodnie z prawem φ = π t 3 zadowolony. Dla punktu znajdującego się w odległości OM = R = 0,5 m od osi obrotu wyznacz prędkość, styczną, składowe normalne przyspieszenia i przyspieszenia w chwili czasu t 1= 0,5 s. Pokaż kierunek tych wektorów na rysunku.

Rozważmy przekrój ciała przez płaszczyznę przechodzącą przez punkt O prostopadły do ​​osi obrotu (rys. 2.21). Na tym rysunku punkt O jest punktem przecięcia osi obrotu i płaszczyzny cięcia, pkt Mo I M 1- odpowiednio początkowa i bieżąca pozycja punktu M. Przez punkty O i Mo narysuj stałą oś Oh i przez punkty O i M 1 - ruchoma oś O 1. Kąt między tymi osiami będzie równy

Prawo zmiany prędkości kątowej ciała znajdujemy różniczkując prawo zmiany kąta obrotu:

W tym momencie t 1 prędkość kątowa będzie równa

Prawo zmiany przyspieszenia kątowego ciała znajdziemy różniczkując prawo zmiany prędkości kątowej:

W tym momencie t 1 przyspieszenie kątowe będzie równe:

1/s 2,

Wartości algebraiczne wektorów prędkości, składową styczną przyspieszenia, moduł składowej normalnej przyspieszenia i moduł przyspieszenia znajdujemy za pomocą wzorów (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):

M/s 2 ;

m/s 2 .

Od kąta φ 1>0, wówczas przesuniemy go z osi Wółu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. I od > 0, następnie wektory będzie skierowany prostopadle do promienia OM 1 tak, że widzimy je obracające się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Wektor będzie skierowany wzdłuż promienia OM 1 do osi obrotu. Wektor Budujmy zgodnie z zasadą równoległoboku na wektorach τ I .

Przykład 2.5. Zgodnie z podanym równaniem prostoliniowego ruchu postępowego obciążenia 1 x = 0,6T 2 - 0,18 (m) określ prędkość, a także styczną, normalną składową przyspieszenia i przyspieszenie punktu M mechanizmu w chwili czasu t 1, gdy droga przebyta przez ładunek 1 wynosi s = 0,2 m. Rozwiązując zadanie założymy, że w miejscu styku ciał 2 i 3 nie ma poślizgu, R2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R3 = 0,5 m (ryc. 2.22).

Prawo prostoliniowego ruchu postępowego obciążenia 1 podane jest w postaci współrzędnych. Ustalmy moment w czasie t 1, dla którego droga przebyta przez obciążenie 1 będzie równa s

s = x(t l)-x(0),

skąd dostajemy:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

Stąd,

Po zróżniczkowaniu równania ruchu ze względu na czas znajdujemy rzuty prędkości i przyspieszenia obciążenia 1 na oś Wołu:

SM 2 ;

W chwili t = t 1 rzut prędkości obciążenia 1 będzie równy:

czyli będzie ono większe od zera, zgodnie z rzutem przyspieszenia obciążenia 1. Zatem obciążenie 1 będzie w chwili t 1 poruszają się w dół ze stałym przyspieszeniem, odpowiednio, ciało 2 będzie obracać się z jednostajnym przyspieszeniem w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a ciało 3 będzie obracać się w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Korpus 2 wprawiany jest w ruch obrotowy przez korpus 1 poprzez nić nawiniętą na werbel. Zatem moduły prędkości punktów korpusu 1, gwintu i powierzchni werbla korpusu 2 są równe, a moduły przyspieszeń punktów korpusu 1, gwintu i składowej stycznej przyspieszenia punkty powierzchni werbla korpusu 2 również będą równe, w związku z czym moduł prędkości kątowej korpusu 2 można określić jako

Moduł przyspieszenia kątowego ciała 2 będzie równy:

1/s 2 .

Wyznaczmy moduły prędkości i składowej stycznej przyspieszenia dla punktu K ciała 2 – punktu styku ciał 2 i 3:

SM, SM 2

Ponieważ ciała 2 i 3 obracają się bez wzajemnego poślizgu, wartości prędkości i składowej stycznej przyspieszenia punktu K - punktu styku tych ciał będą równe.

Ryż. 6.4

Taki ruch ciała, w którym dowolne dwa jego punkty (A I W na ryc. 6.4) pozostają w bezruchu, co nazywa się obrotem wokół ustalonej osi.

Można wykazać, że w tym przypadku dowolny punkt ciała leżący na prostej łączącej te punkty pozostaje nieruchomy Och V.

Nazywa się oś przechodzącą przez te punkty oś obrotu ciała; jego dodatni kierunek jest wybierany arbitralnie (ryc. 6.4).

Dowolny punkt M ciało nie leżące na osi obrotu opisuje okrąg, którego środek znajduje się na osi obrotu (ryc. 6.4).

Pozycja ciała ze stałą osią obrotu z(Rys. 6.5) można opisać za pomocą tylko jednego parametru skalarnego - kąt obrotu (r. Jest to kąt pomiędzy dwiema płaszczyznami przechodzącymi przez oś obrotu: płaszczyzna stała N i ruchome - R, sztywno połączone z korpusem (ryc. 6.5). Kierunek odniesienia kąta przyjmujemy jako dodatni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, patrząc od końca osi z.(zaznaczone strzałką łukową na ryc. 6.5). Jednostką miary kąta w SI jest 1 radian «57,3°. Funkcjonalna zależność kąta obrotu od czasu

całkowicie określa ruch obrotowy ciała wokół ustalonej osi. Dlatego równość (6.3) nazywa się równaniem obrotu ciała sztywnego wokół ustalonej osi.

Prędkość obrotu ciała charakteryzuje się prędkością kątową z bryłę, którą definiuje się jako pochodną kąta obrotu po czasie

i ma wymiar rad/s (lub s"").

Drugą cechą kinematyczną ruchu obrotowego jest przyspieszenie kątowe – pochodna prędkości kątowej ciała:

Wymiar przyspieszenia kątowego wynosi rad/s 2 (lub Z~ 2).

Komentarz. Symbolika z I? V tego wykładu są wyznaczone algebraiczny wartości prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego. Ich znaki wskazują kierunek obrotu i jego charakter (przyspieszony lub spowolniony). Na przykład, jeśli z = F> 0, to kąt (R wzrasta z biegiem czasu i dlatego ciało obraca się w kierunku odniesienia (R.

Prędkość i przyspieszenie każdego punktu obracającego się ciała można łatwo powiązać z jego prędkością kątową i przyspieszeniem kątowym. Rozważmy ruch dowolnego punktu M ciała (ryc. 6.6).

Ponieważ jego trajektoria jest okręgiem, wówczas współrzędna łuku.9 punktu M po obróceniu korpusu pod kątem będzie

Gdzie H- odległość od punktu M do osi obrotu (ryc. 6.6).

Różniczkując obie strony tej równości ze względu na czas, otrzymujemy, biorąc pod uwagę (5.14) i (6.4):

gdzie g g jest rzutem prędkości punktu na styczną g skierowaną w stronę punktu odniesienia łuku.v i kątem

Wartość przyspieszenia normalnego punktu M zgodnie z (5.20) i (6.6) tak będzie

oraz rzut jego przyspieszenia stycznego na styczną r zgodnie z (5.19) i (6.5)

Moduł przyspieszenia pełnopunktowego M

Kierunki wektorów v, a, a, a, w przypadku gdy f> 0 i f > 0 pokazano na ryc. 6.7.

Przykład 1. Mechanizm przekładni składa się z kół / i 2, które są połączone punktowo DO tak, aby podczas obracania się nie doszło do wzajemnego poślizgu. Równanie obrotu koła 1:

kierunek odniesienia kąta dodatniego (R zaznaczone strzałką łukową na ryc. 6.8.

Znane są wymiary mechanizmu: G= 4cm, R2= 6 cm, sol 2 = 2cm.

Znajdź prędkość i przyspieszenie punktu M koła 2 na chwilę /| = 2 s.

Rozwiązanie. Kiedy mechanizm koła się porusza 1 i 2 obracają się wokół stałych osi przechodzących przez punkty 0 I 0 2 prostopadle do płaszczyzny z rys. 6.8. Wyznaczanie prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego koła I w czasie / = 2 s, korzystając z powyższych definicji (6.4) i (6.5) tych wielkości:

Ich znaki ujemne wskazują, że w tym momencie T- 2 s koło / obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara (przeciwnie do kierunku odczytu kąta (R) i ten obrót jest przyspieszany. Ze względu na brak wzajemnego poślizgu kół I oraz 2 wektory prędkości ich punktów w punkcie styku DO musi być równe. Wyraźmy wielkość tej prędkości w postaci prędkości kątowych kół, korzystając z (6.6):

Z ostatniej równości wyrażamy moduł prędkości kątowej koła 2 i znajdujemy jego wartość dla zadanego momentu czasu 6 = 2 s:

Kierunek prędkości Do(ryc. 6.9) wskazuje, że koło 2 obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a zatem Oh> 0. Z (6.10) i ostatniej nierówności wynika, że ​​prędkości kątowe kół różnią się o stały ujemny współczynnik (- g1g 2): z 2 = g (/g 2). Ale wtedy pochodne tych prędkości - przyspieszenia kątowe kół - muszą różnić się o ten sam współczynnik: mi 2 =? ] (-g ] /g 1)=-2-(-4/2) = 4s ~ 2 .

Wyznaczanie prędkości i przyspieszenia punktu M koło stopniowane 2 korzystając ze wzorów (6.6) - (6.9):

Kierunki wektorów v, a, d/ pokazano na ryc. 6.9.