Środek ciężkości wzoru trapezowego. Rozwiązywanie problemów dotyczących wytrzymałości materiałów

6.1. Informacje ogólne

Centrum Sił Równoległych
Rozważmy dwie równoległe siły skierowane w jednym kierunku i , przyłożone do ciała w punktach A 1 i A 2 (ryc. 6.1). Ten układ sił ma wypadkową, której linia działania przechodzi przez pewien punkt Z. Pozycja punktowa Z można znaleźć za pomocą twierdzenia Varignona:

Jeśli obrócisz siły i zbliżysz się do punktów A 1 i A 2 w jednym kierunku i pod tym samym kątem, wówczas otrzymujemy nowy system równoległych sal posiadających te same moduły. W tym przypadku ich wypadkowa również przejdzie przez punkt Z. Punkt ten nazywany jest środkiem sił równoległych.
Rozważmy układ równoległych i identycznie skierowanych sił przyłożonych do ciała stałego w punktach. Układ ten ma wynik.
Jeśli każdą siłę układu obrócimy w pobliżu punktów ich przyłożenia w tym samym kierunku i pod tym samym kątem, wówczas otrzymamy nowe układy identycznie skierowanych sił równoległych o tych samych modułach i punktach przyłożenia. Wynikowa takich układów będzie miała ten sam moduł R, ale za każdym razem w innym kierunku. Oszczędzając siły F 1 i F 2 stwierdzamy, że jest to ich wypadkowa R 1, który zawsze będzie przechodził przez punkt Z 1, którego położenie wyznacza równość . Składanie dalej R 1 i F 3, znajdujemy ich wypadkową, która zawsze przejdzie przez punkt Z 2 leżące na linii prostej A 3 Z 2. Doprowadziwszy do końca proces dodawania sił, dochodzimy do wniosku, że wypadkowa wszystkich sił rzeczywiście zawsze przejdzie przez ten sam punkt Z, którego położenie względem punktów pozostanie niezmienione.
Kropka Z, przez który przechodzi linia działania wypadkowego układu sił równoległych dla dowolnego obrotu tych sił w pobliżu punktów ich przyłożenia w tym samym kierunku pod tym samym kątem, nazywany jest środkiem sił równoległych (ryc. 6.2).

Ryc.6.2

Wyznaczmy współrzędne środka sił równoległych. Od położenia punktu Z względem ciała pozostaje niezmieniona, wówczas jego współrzędne nie zależą od wyboru układu współrzędnych. Obróćmy wszystkie siły wokół ich zastosowania tak, aby stały się równoległe do osi Jednostka organizacyjna i zastosować twierdzenie Varignona do sił obróconych. Ponieważ R" jest wypadkową tych sił, to zgodnie z twierdzeniem Varignona mamy , ponieważ , , dostajemy

Stąd znajdujemy współrzędną środka sił równoległych zc:

Aby określić współrzędne xc utwórzmy wyrażenie na moment sił względem osi Oz.

Aby określić współrzędne jc obróćmy wszystkie siły tak, aby stały się równoległe do osi Oz.

Położenie środka sił równoległych względem początku układu współrzędnych (ryc. 6.2) można określić za pomocą jego wektora promienia:

6.2. Środek ciężkości ciała sztywnego

Środek ciężkości ciała sztywnego jest punktem niezmiennie związanym z tym ciałem Z, przez który przechodzi linia działania wypadkowych sił ciężkości danego ciała, dla dowolnego położenia ciała w przestrzeni.
Środek ciężkości wykorzystuje się do badania stabilności położeń równowagi ciał i ośrodków ciągłych pod wpływem grawitacji oraz w niektórych innych przypadkach, a mianowicie: w wytrzymałości materiałów oraz w mechanice konstrukcji - przy zastosowaniu reguły Vereshchagina.
Istnieją dwa sposoby wyznaczania środka ciężkości ciała: analityczny i eksperymentalny. Analityczna metoda wyznaczania środka ciężkości bezpośrednio wynika z koncepcji środka sił równoległych.
Współrzędne środka ciężkości, jako środka sił równoległych, wyznaczają wzory:

Gdzie R- masa całego ciała; pk- masa cząstek ciała; xk, ok, zk- współrzędne cząstek ciała.
W przypadku ciała jednorodnego ciężar całego ciała i dowolnej jego części jest proporcjonalny do objętości P=Vγ, pk = vk γ, Gdzie γ - masa na jednostkę objętości, V- objętość ciała. Zastępowanie wyrażeń P, pk do wzoru na określenie współrzędnych środka ciężkości i zmniejszenie przez wspólny współczynnik γ , otrzymujemy:

Kropka Z, którego współrzędne są określone przez otrzymane wzory, nazywa się środek ciężkości objętości.
Jeśli ciało jest cienką, jednorodną płytą, wówczas środek ciężkości określa się za pomocą wzorów:

Gdzie S- powierzchnia całej płyty; sk- obszar jego części; xk, ok- współrzędne środka ciężkości części płytowych.
Kropka Z w tym przypadku jest to tzw środek ciężkości obszaru.
Nazywa się liczniki wyrażeń określających współrzędne środka ciężkości figur płaskich momenty statyczne powierzchni względem osi Na I X:

Następnie środek ciężkości obszaru można określić za pomocą wzorów:

W przypadku ciał, których długość jest wielokrotnie większa od wymiarów przekroju poprzecznego, należy określić środek ciężkości linii. Współrzędne środka ciężkości linii wyznaczają wzory:

Gdzie L- długość linii; Łk- długość jego części; xk, ok, zk- współrzędna środka ciężkości części linii.

6.3. Metody wyznaczania współrzędnych środków ciężkości ciał

Na podstawie otrzymanych wzorów można zaproponować praktyczne metody wyznaczania środków ciężkości ciał.
1. Symetria. Jeśli ciało ma środek symetrii, to środek ciężkości znajduje się w środku symetrii.
Jeśli ciało ma płaszczyznę symetrii. Na przykład płaszczyzna XOU, wówczas środek ciężkości leży w tej płaszczyźnie.
2. Rozdzielać. W przypadku brył składających się z brył o prostych kształtach stosuje się metodę dzielenia. Ciało jest podzielone na części, których środek ciężkości jest określony metodą symetrii. Środek ciężkości całego ciała wyznaczają wzory na środek ciężkości objętości (powierzchni).

Przykład. Wyznacz środek ciężkości płyty pokazany na poniższym rysunku (rys. 6.3). Płytkę można podzielić na prostokąty na różne sposoby i wyznaczyć współrzędne środka ciężkości każdego prostokąta oraz ich pole.

Ryc.6.3

Odpowiedź: XC=17,0 cm; yC=18,0cm.

3. Dodatek. Ta metoda jest szczególnym przypadkiem metody partycjonowania. Stosuje się go, gdy nadwozie posiada wycięcia, nacięcia itp., jeżeli znane są współrzędne środka ciężkości nadwozia bez wycięcia.

Przykład. Wyznacz środek ciężkości okrągłej płyty mającej promień wycięcia R = 0,6 R(ryc. 6.4).

Ryc.6.4

Okrągła płyta ma środek symetrii. Umieśćmy początek współrzędnych na środku płyty. Powierzchnia płyty bez wycięcia, powierzchnia wycięcia. Talerz kwadratowy z wycięciem; .
Płytka z wycięciem posiada oś symetrii О1 x, stąd, jc=0.

4. Integracja. Jeżeli ciała nie można podzielić na skończoną liczbę części, których położenie środków ciężkości jest znane, ciało dzieli się na dowolnie małe objętości, dla których wzór wykorzystujący metodę podziału przyjmuje postać: .
Następnie idą do granicy, kierując woluminy elementarne do zera, tj. kurczenie objętości w punktach. Sumy zastępuje się całkami rozciągniętymi na całą objętość ciała, wówczas wzory na określenie współrzędnych środka ciężkości objętości przyjmują postać:

Wzory do wyznaczania współrzędnych środka ciężkości powierzchni:

Współrzędne środka ciężkości obszaru należy określić podczas badania równowagi płyt, obliczając całkę Mohra w mechanice konstrukcji.

Przykład. Wyznacz środek ciężkości łuku kołowego o promieniu R z kątem centralnym AOB= 2α (ryc. 6.5).

Ryż. 6,5

Łuk koła jest symetryczny do osi Oh dlatego środek ciężkości łuku leży na osi Oh, ty = 0.
Zgodnie ze wzorem na środek ciężkości linii:

6.Metoda eksperymentalna. Środki ciężkości ciał niejednorodnych o złożonej konfiguracji można wyznaczyć eksperymentalnie: metodą wieszania i ważenia. Pierwsza metoda polega na zawieszeniu ciała na linie w różnych punktach. Kierunek liny, na której zawieszone jest ciało, określi kierunek ciężkości. Punkt przecięcia tych kierunków wyznacza środek ciężkości ciała.
Metoda ważenia polega na określeniu najpierw masy ciała, na przykład samochodu. Następnie na wadze określa się nacisk tylnej osi pojazdu na podporę. Układając równanie równowagi względem punktu, na przykład osi przednich kół, można obliczyć odległość od tej osi do środka ciężkości samochodu (ryc. 6.6).

Ryc.6.6

Czasami przy rozwiązywaniu problemów konieczne jest jednoczesne stosowanie różnych metod określania współrzędnych środka ciężkości.

6.4. Środki ciężkości niektórych prostych figur geometrycznych

Do wyznaczania środków ciężkości ciał o często występujących kształtach (trójkąt, łuk kołowy, wycinek, odcinek) wygodnie jest posłużyć się danymi referencyjnymi (tabela 6.1).

Tabela 6.1

Współrzędne środka ciężkości niektórych ciał jednorodnych

Środek ciężkości łuku kołowego

Łuk ma oś symetrii. Środek ciężkości leży na tej osi, tj. y C = 0 .

dł– element łukowy, dł = Rdφ, R– promień okręgu, x = Rcosφ, L= 2αR,

Stąd:

X C = R(sinα/α).

Środek ciężkości sektora kołowego

Sektor promienia R z kątem środkowym 2 α ma oś symetrii Wół, gdzie znajduje się środek ciężkości.

Sektor dzielimy na sektory elementarne, które można uznać za trójkąty. Środki ciężkości sektorów elementarnych leżą na łuku kołowym o promieniu (2/3) R.

Środek ciężkości sektora pokrywa się ze środkiem ciężkości łuku AB:

Półkole:

37. Kinematyka. Kinematyka punktu. Metody określania ruchu punktu.

Kinematyka– dział mechaniki, w którym bada się ruch ciał materialnych z geometrycznego punktu widzenia, bez uwzględnienia masy i działających na nie sił. Sposoby określenia ruchu punktu: 1) naturalny, 2) współrzędny, 3) wektorowy.

Kinematyka punktu- dział kinematyki zajmujący się matematycznym opisem ruchu punktów materialnych. Głównym zadaniem kinematyki jest opisanie ruchu za pomocą aparatu matematycznego bez identyfikowania przyczyn powodujących ten ruch.

Naturalne sp. wskazuje się trajektorię punktu, prawo jego ruchu po tej trajektorii, początek i kierunek współrzędnej łuku: s=f(t) – prawo ruchu punktu. Dla ruchu liniowego: x=f(t).

Koordynator sp. położenie punktu w przestrzeni wyznaczają trzy współrzędne, których zmiany wyznaczają prawo ruchu punktu: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Jeśli ruch odbywa się w płaszczyźnie, wówczas istnieją dwa równania ruchu. Równania ruchu opisują równanie trajektorii w postaci parametrycznej. Wykluczając z równań parametr t, otrzymujemy równanie trajektorii w zwykłej postaci: f(x,y)=0 (dla płaszczyzny).

wektor sp. położenie punktu określa jego wektor promienia poprowadzony z jakiegoś środka. Krzywa narysowana na końcu wektora nazywa się. hodograf ten wektor. Te. trajektoria – hodograf wektora promienia.

38. Zależność współrzędnej od wektora, współrzędne i naturalne metody wyznaczania ruchu punktu.

ZWIĄZEK METODY WEKTOROWEJ Z METODĄ WSPÓŁRZĘDNĄ I NATURALNĄ wyrażone współczynnikami:

gdzie jest jednostką jednostkową stycznej do trajektorii w danym punkcie, skierowanej w stronę odniesienia odległości, oraz jest jednostką jednostkową normalnej do trajektorii w danym punkcie, skierowanej w stronę środka krzywizny (patrz rys. 3) .

POŁĄCZENIE METODY WSPÓŁRZĘDNYCH Z NATURALNYM. Równanie trajektorii f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y otrzymujemy z równań ruchu w postaci współrzędnych poprzez wyeliminowanie czasu t. Dodatkowa analiza wartości, jakie mogą przyjmować współrzędne punktu, określa, która część krzywej jest trajektorią. Na przykład, jeśli ruch punktu jest określony równaniami: x=sin t; y=sin 2 t=x 2 , wówczas trajektorią punktu jest ten odcinek paraboli y=x 2, dla którego -1≤x≤+1, 0≤x≤1. Początek i kierunek zliczania drogi wybiera się dowolnie, co dodatkowo określa znak prędkości oraz wielkość i znak początkowej odległości s 0 .

Prawo ruchu wyznacza zależność:

znak + lub - określa się w zależności od przyjętego kierunku pomiaru odległości.

Prędkość punktowa jest kinematyczną miarą jego ruchu, równą pochodnej po czasie wektora promienia tego punktu w rozpatrywanym układzie odniesienia. Wektor prędkości jest skierowany stycznie do trajektorii punktu w kierunku ruchu

Wektor prędkości (v) to odległość, jaką ciało pokonuje w określonym kierunku w jednostce czasu. Proszę zwrócić uwagę na definicję wektor prędkości jest bardzo podobna do definicji prędkości, z wyjątkiem jednej istotnej różnicy: prędkość ciała nie wskazuje kierunku ruchu, ale wektor prędkości ciała wskazuje zarówno prędkość, jak i kierunek ruchu. Dlatego potrzebne są dwie zmienne opisujące wektor prędkości ciała: prędkość i kierunek. Wielkości fizyczne posiadające wartość i kierunek nazywane są wielkościami wektorowymi.

Wektor prędkości Ciało może się zmieniać od czasu do czasu. Jeśli zmienia się jego prędkość lub kierunek, zmienia się także prędkość ciała. Wektor stałej prędkości oznacza stałą prędkość i stały kierunek, podczas gdy termin stała prędkość oznacza jedynie stałą wartość bez uwzględnienia kierunku. Termin „wektor prędkości” jest często używany zamiennie z terminem „prędkość”. Obydwa wyrażają odległość, jaką przebywa ciało w jednostce czasu

Przyspieszenie punktowe jest miarą zmiany jego prędkości, równą pochodnej po czasie prędkości tego punktu lub drugiej pochodnej wektora promienia punktu po czasie. Przyspieszenie charakteryzuje zmianę wektora prędkości pod względem wielkości i kierunku i jest skierowane w stronę wklęsłości trajektorii.

Wektor przyspieszenia

Jest to stosunek zmiany prędkości do okresu czasu, w którym ta zmiana nastąpiła. Średnie przyspieszenie można wyznaczyć ze wzoru:

Gdzie - wektor przyspieszenia.

Kierunek wektora przyspieszenia pokrywa się z kierunkiem zmiany prędkości Δ = - 0 (tutaj 0 jest prędkością początkową, czyli prędkością, z jaką ciało zaczęło przyspieszać).

W chwili t1 (patrz rys. 1.8) ciało porusza się z prędkością 0. W chwili t2 ciało nabiera prędkości. Zgodnie z zasadą odejmowania wektorów znajdujemy wektor zmiany prędkości Δ = - 0. Następnie możesz określić przyspieszenie w następujący sposób:

Na podstawie uzyskanych powyżej wzorów ogólnych można wskazać konkretne metody wyznaczania współrzędnych środków ciężkości ciał.

1. Symetria. Jeżeli ciało jednorodne ma płaszczyznę, oś lub środek symetrii (ryc. 7), to jego środek ciężkości leży odpowiednio w płaszczyźnie symetrii, osi symetrii lub w środku symetrii.

Ryc.7

2. Rozdzielać. Ciało podzielone jest na skończoną liczbę części (ryc. 8), dla każdej z nich znane jest położenie środka ciężkości i powierzchnia.

Ryc.8

3.Metoda obszaru ujemnego. Szczególny przypadek metody partycjonowania (rys. 9). Dotyczy nadwozi posiadających wycięcia, jeżeli znane są środki ciężkości korpusu bez wycięcia oraz część wycięcia. Korpus w postaci płyty z wycięciem jest reprezentowany przez połączenie płyty pełnej (bez wycięcia) z powierzchnią S 1 i powierzchnią wyciętej części S 2 .

Ryc.9

4.Metoda grupowania. Jest dobrym uzupełnieniem dwóch ostatnich metod. Po podzieleniu figury na elementy składowe wygodnie jest niektóre z nich połączyć ponownie, aby następnie uprościć rozwiązanie, uwzględniając symetrię tej grupy.

Środki ciężkości niektórych ciał jednorodnych.

1) Środek ciężkości łuku kołowego. Rozważ łuk AB promień R z kątem centralnym. Ze względu na symetrię środek ciężkości tego łuku leży na osi Wół(ryc. 10).

Ryc.10

Znajdźmy współrzędne za pomocą wzoru. Aby to zrobić, wybierz na łuku AB element MM' długość, której położenie jest określone przez kąt. Koordynować X element MM' będzie . Zastępowanie tych wartości X i d l i pamiętając, że całkę należy rozciągnąć na całą długość łuku, otrzymujemy:

Gdzie L- długość łuku AB, równy .

Stąd w końcu dowiadujemy się, że środek ciężkości łuku kołowego leży na jego osi symetrii w pewnej odległości od środka O, równy

gdzie kąt mierzy się w radianach.

2) Środek ciężkości obszaru trójkąta. Rozważmy trójkąt leżący na płaszczyźnie Oksy, którego współrzędne wierzchołków są znane: A ja(x ja,tak, ja), (I= 1,2,3). Dzielenie trójkąta na wąskie paski równoległe do boku A 1 A 2 dochodzimy do wniosku, że środek ciężkości trójkąta musi należeć do środkowej A 3 M 3 (ryc. 11).

Ryc.11

Podział trójkąta na paski równoległe do boków A 2 A 3, możemy sprawdzić, że musi on leżeć na środkowej A 1 M 1. Zatem, środek ciężkości trójkąta leży w punkcie przecięcia jego środkowych, który, jak wiadomo, oddziela trzecią część od każdej środkowej, licząc od odpowiedniego boku.

W szczególności dla mediany A 1 M 1 otrzymujemy, biorąc pod uwagę współrzędne punktu M 1 to średnia arytmetyczna współrzędnych wierzchołków A 2 i A 3:

x w = X 1 + (2/3)∙(x M 1 - X 1) = X 1 + (2/3)∙[(X 2 + X 3)/2-X 1 ] = (X 1 +X 2 +X 3)/3.

Zatem współrzędne środka ciężkości trójkąta są średnią arytmetyczną współrzędnych jego wierzchołków:

X C =(1/3)Σ x ja ; y C =(1/3)Σ tak, ja.

3) Środek ciężkości obszaru sektora kołowego. Rozważmy wycinek koła o promieniu R o kącie środkowym 2α, położonym symetrycznie względem osi Wół(ryc. 12) .

To oczywiste y C = 0, a odległość środka okręgu, z którego wycięto ten wycinek, do jego środka ciężkości można wyznaczyć ze wzoru:

Ryc.12

Najprostszym sposobem obliczenia tej całki jest podzielenie dziedziny całkowania na elementarne sektory za pomocą kąta Dφ. Z dokładnością do nieskończenie małych pierwszego rzędu taki sektor można zastąpić trójkątem o podstawie równej R× Dφ i wysokość R. Pole takiego trójkąta dF=(1/2)R 2 ∙Dφ, a jego środek ciężkości znajduje się w odległości 2/3 R od wierzchołka, dlatego w (5) umieszczamy X = (2/3)R∙cosφ. Podstawianie w (5) F= α R 2, otrzymujemy:

Korzystając z ostatniego wzoru obliczamy w szczególności odległość do środka ciężkości półkole.

Podstawiając α = π/2 do (2) otrzymujemy: X C = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Przykład 1. Wyznaczmy środek ciężkości jednorodnego ciała pokazanego na ryc. 13.

Ryc.13

Korpus jest jednorodny, składa się z dwóch części o symetrycznym kształcie. Współrzędne ich środków ciężkości:

Ich objętości:

Dlatego współrzędne środka ciężkości ciała

Przykład 2. Znajdźmy środek ciężkości płyty wygiętej pod kątem prostym. Wymiary podano na rysunku (ryc. 14).

Ryc.14

Współrzędne środków ciężkości:

Obszary:

Ryc.15

W tym problemie wygodniej jest podzielić korpus na dwie części: duży kwadrat i kwadratowy otwór. Tylko powierzchnię otworu należy uznać za ujemną. Następnie współrzędne środka ciężkości blachy z otworem:

współrzędna, ponieważ ciało ma oś symetrii (przekątną).

Przykład 4. Wspornik druciany (ryc. 16) składa się z trzech odcinków o jednakowej długości l.

Ryc.16

Współrzędne środków ciężkości profili:

Zatem współrzędne środka ciężkości całego wspornika wynoszą:

Przykład 5. Określ położenie środka ciężkości kratownicy, której wszystkie pręty mają tę samą gęstość liniową (ryc. 17).

Przypomnijmy, że w fizyce gęstość ciała ρ i jego ciężar właściwy g powiązane są zależnością: γ= ρ G, Gdzie G- przyśpieszenie grawitacyjne. Aby znaleźć masę takiego jednorodnego ciała, należy pomnożyć gęstość przez jego objętość.

Ryc.17

Termin „liniowa” lub „liniowa” gęstość oznacza, że ​​aby określić masę pręta kratownicowego, gęstość liniową należy pomnożyć przez długość tego pręta.

Aby rozwiązać problem, możesz użyć metody partycjonowania. Reprezentując daną kratownicę jako sumę 6 pojedynczych prętów, otrzymujemy:

Gdzie L ja długość I pręt kratownicowy i x ja, tak, ja- współrzędne jego środka ciężkości.

Rozwiązanie tego problemu można uprościć grupując 5 ostatnich prętów kratownicy. Łatwo zauważyć, że tworzą one figurę, której środek symetrii znajduje się w środku czwartego pręta, gdzie znajduje się środek ciężkości tej grupy prętów.

Zatem daną kratownicę można przedstawić za pomocą kombinacji tylko dwóch grup prętów.

Pierwsza grupa składa się z pierwszego pręta L 1 = 4 m, X 1 = 0 m, y 1 = 2 m. Druga grupa prętów składa się z pięciu prętów L 2 = 20 m, X 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Współrzędne środka ciężkości kratownicy wyznacza się ze wzoru:

X C = (L 1 ∙X 1 +L 2 ∙X 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y C = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Należy pamiętać, że centrum Z leży na prostej łączącej Z 1 i Z 2 i dzieli odcinek Z 1 Z 2 dotyczące: Z 1 Z/SS 2 = (X C - X 1)/(X 2 - X C ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Pytania autotestowe

Jak nazywa się środek sił równoległych?

Jak wyznacza się współrzędne środka sił równoległych?

Jak wyznaczyć środek sił równoległych, których wypadkowa wynosi zero?

Jakie właściwości ma środek sił równoległych?

Jakich wzorów używa się do obliczania współrzędnych środka sił równoległych?

Jaki jest środek ciężkości ciała?

Dlaczego siły grawitacyjne Ziemi działające na punkt ciała można traktować jako układ sił równoległych?

Zapisz wzór na określenie położenia środka ciężkości ciał niejednorodnych i jednorodnych, wzór na określenie położenia środka ciężkości przekrojów płaskich?

Zapisz wzór na określenie położenia środka ciężkości prostych figur geometrycznych: prostokąta, trójkąta, trapezu i połowy koła?

Jaki jest moment statyczny powierzchni?

Podaj przykład ciała, którego środek ciężkości znajduje się na zewnątrz ciała.

W jaki sposób właściwości symetrii wykorzystywane są do wyznaczania środków ciężkości ciał?

Na czym polega istota metody wag ujemnych?

Gdzie znajduje się środek ciężkości łuku kołowego?

Jakiej konstrukcji graficznej można użyć do znalezienia środka ciężkości trójkąta?

Zapisz wzór określający środek ciężkości wycinka koła.

Korzystając ze wzorów wyznaczających środki ciężkości trójkąta i wycinka koła, wyprowadź podobny wzór na odcinek koła.

Jakie wzory służą do obliczania współrzędnych środków ciężkości ciał jednorodnych, figur płaskich i linii?

Jak nazywa się moment statyczny obszaru figury płaskiej względem osi, jak się go oblicza i jaki ma wymiar?

Jak określić położenie środka ciężkości terenu, jeśli znane jest położenie środków ciężkości poszczególnych jego części?

Jakie twierdzenia pomocnicze służą do określenia położenia środka ciężkości?

W praktyce inżynierskiej zdarza się, że istnieje potrzeba obliczenia współrzędnych środka ciężkości złożonej płaskiej figury składającej się z prostych elementów, dla których znane jest położenie środka ciężkości. Zadanie to jest częścią zadania polegającego na ustaleniu...

Charakterystyka geometryczna przekrojów zespolonych belek i prętów. Często projektanci wykrojników muszą mierzyć się z podobnymi pytaniami przy ustalaniu współrzędnych środka nacisku, twórcy schematów ładowania dla różnych pojazdów przy umieszczaniu ładunku, projektanci konstrukcji metalowych przy doborze przekrojów elementów i oczywiście studenci studiujący dyscypliny „Mechanika teoretyczna” i „Wytrzymałość materiałów”.

Biblioteka figur elementarnych.

W przypadku symetrycznych figur płaskich środek ciężkości pokrywa się ze środkiem symetrii. Do symetrycznej grupy obiektów elementarnych zalicza się: okrąg, prostokąt (w tym kwadrat), równoległobok (w tym romb), wielokąt foremny.

Z dziesięciu figur przedstawionych na powyższym rysunku tylko dwie są podstawowe. Oznacza to, że używając trójkątów i sektorów kół, możesz połączyć prawie każdą figurę o praktycznym znaczeniu. Dowolne krzywe można podzielić na sekcje i zastąpić łukami kołowymi.

Pozostałe osiem figurek jest najpowszechniejszych, dlatego też znalazły się w tej wyjątkowej bibliotece. W naszej klasyfikacji elementy te nie są podstawowymi. Z dwóch trójkątów można utworzyć prostokąt, równoległobok i trapez. Sześciokąt jest sumą czterech trójkątów. Odcinek koła to różnica między wycinkiem koła a trójkątem. Sektor pierścieniowy koła to różnica między dwoma sektorami. Okrąg jest wycinkiem koła o kącie α=2*π=360˚. Półkole jest zatem wycinkiem koła o kącie α=π=180˚.

Obliczanie w Excelu współrzędnych środka ciężkości figury złożonej.

Zawsze łatwiej jest przekazać i dostrzec informację na przykładzie, niż badać problem na podstawie obliczeń czysto teoretycznych. Rozważmy rozwiązanie problemu „Jak znaleźć środek ciężkości?” na przykładzie figury złożonej pokazanej na rysunku poniżej tego tekstu.

Przekrój złożony jest prostokątem (o wymiarach A1 =80 mm, B1 =40 mm), do którego w lewym górnym rogu dodano trójkąt równoramienny (o wielkości podstawy A2 =24 mm i wysokość H2 =42 mm) i z którego od prawego górnego rogu wycięto półkole (ze środkiem w punkcie o współrzędnych X03 =50 mm i y03 =40 mm, promień R3 =26 mm).

Posłużymy się programem, który pomoże Ci w wykonaniu obliczeń MS Excel lub programu Ooo Oblicz . Każdy z nich z łatwością poradzi sobie z naszym zadaniem!

W komórkach z żółty wypełnimy to wstępne pomocnicze obliczenia .

Wyniki obliczamy w komórkach z jasnożółtym wypełnieniem.

Niebieski czcionka jest Wstępne dane .

Czarny czcionka jest mediator wyniki obliczeń .

Czerwony czcionka jest finał wyniki obliczeń .

Przystępujemy do rozwiązywania problemu - zaczynamy szukać współrzędnych środka ciężkości przekroju.

Wstępne dane:

1. Odpowiednio napiszemy nazwy figur elementarnych tworzących przekrój złożony

do komórki D3: Prostokąt

do komórki E3: Trójkąt

do komórki F3: Półkole

2. Korzystając z przedstawionej w tym artykule „Biblioteki Figur Elementarnych” wyznaczamy współrzędne środków ciężkości elementów przekroju zespolonego xci I yci w mm względem dowolnie wybranych osi 0x i 0y i zapisz

do komórki D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = A 1 /2

do komórki D5: =40/2 =20,000

jc 1 = B 1 /2

do komórki E4: =24/2 =12,000

xc 2 = A 2 /2

do komórki E5: =40+42/3 =54,000

jc 2 = B 1 + H 2 /3

do komórki F4: =50 =50,000

xc 3 = X03

do komórki F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

jc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Obliczmy pola elementów F 1 , F 2 , F3 w mm2, ponownie korzystając ze wzorów z rozdziału „Biblioteka figur elementarnych”

w komórce D6: =40*80 =3200

F1 = A 1 * B1

w komórce E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

w komórce F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Pole trzeciego elementu - półkola - jest ujemne, ponieważ jest to wycięcie - pusta przestrzeń!

Obliczanie współrzędnych środka ciężkości:

4. Określmy całkowitą powierzchnię ostatecznej figury F0 w mm2

w połączonej komórce D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Obliczmy momenty statyczne figury złożonej Sx I sy w mm3 względem wybranych osi 0x i 0y

w połączonej komórce D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

w połączonej komórce D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Na koniec obliczmy współrzędne środka ciężkości przekroju kompozytowego Xc I Yc w mm w wybranym układzie współrzędnych 0x - 0y

w połączonej komórce D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = sy / F0

w połączonej komórce D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx/F0

Problem został rozwiązany, obliczenia w Excelu zakończone - znaleziono współrzędne środka ciężkości przekroju, zestawione za pomocą trzech prostych elementów!

Wniosek.

Przykład w artykule został wybrany jako bardzo prosty, aby ułatwić zrozumienie metodologii obliczania środka ciężkości przekroju złożonego. Metoda polega na tym, że dowolną złożoną figurę należy podzielić na proste elementy o znanym położeniu środków ciężkości i wykonać końcowe obliczenia dla całego przekroju.

Jeżeli przekrój składa się z profili walcowanych – kątowników i ceowników, to nie ma potrzeby dzielenia ich na prostokąty i kwadraty z wyciętymi okrągłymi sektorami „π/2”. Współrzędne środków ciężkości tych profili podano w tabelach GOST, czyli zarówno kąt, jak i kanał będą podstawowymi elementami elementarnymi w obliczeniach przekrojów zespolonych (nie ma sensu mówić o dwuteownikach, rury, pręty i sześciokąty – są to przekroje centralnie symetryczne).

Położenie osi współrzędnych nie ma oczywiście wpływu na położenie środka ciężkości figurki! Dlatego wybierz układ współrzędnych, który uprości obliczenia. Gdybym np. w naszym przykładzie miał obrócić układ współrzędnych o 45˚ zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to obliczenie współrzędnych środków ciężkości prostokąta, trójkąta i półkola zamieniłoby się w kolejny odrębny i uciążliwy etap obliczeń, którego nie da się wykonać „ w głowie".

Prezentowany poniżej plik obliczeniowy Excel nie jest w tym przypadku programem. Jest to raczej szkic kalkulatora, algorytmu, szablonu, który należy zastosować w każdym konkretnym przypadku utwórz własną sekwencję formuł dla komórek z jasnożółtym wypełnieniem.

Teraz wiesz, jak znaleźć środek ciężkości dowolnej sekcji! Pełne obliczenia wszystkich cech geometrycznych dowolnych złożonych przekrojów kompozytowych zostaną omówione w jednym z nadchodzących artykułów w sekcji „”. Śledź aktualności na blogu.

Dla otrzymujący informacja o wydaniu nowych artykułów i dla pobieranie plików programów roboczych Proszę o subskrypcję ogłoszeń w oknie znajdującym się na końcu artykułu lub w oknie u góry strony.

Po wpisaniu adresu e-mail i kliknięciu przycisku „Otrzymuj powiadomienia o artykułach”. NIE ZAPOMNIJ POTWIERDŹ SWOJĄ SUBSKRYPCJĘ klikając na link w liście, który natychmiast dotrze do Ciebie na określoną pocztę (czasami w folderze « spam » )!

Kilka słów o kieliszku, monecie i dwóch widelcach, które przedstawia „ikona ilustracji” na samym początku artykułu. Wielu z Was z pewnością zna ten „sztuczek”, który budzi podziw u dzieci i niewtajemniczonych dorosłych. Tematem tego artykułu jest środek ciężkości. To on i punkt podparcia, bawiąc się naszą świadomością i doświadczeniem, po prostu oszukują nasze umysły!

Środek ciężkości systemu „widelec + moneta” zawsze znajduje się na naprawił dystans pionowo w dół od krawędzi monety, która z kolei jest punktem podparcia. Jest to pozycja stabilnej równowagi! Jeśli potrząśniesz widłami, od razu stanie się oczywiste, że system stara się zająć poprzednią stabilną pozycję! Wyobraź sobie wahadło - punkt mocowania (= punkt podparcia monety na krawędzi kieliszka), oś pręta wahadła (= w naszym przypadku oś jest wirtualna, ponieważ masa dwóch widełek wynosi rozłożone w różnych kierunkach przestrzeni) i obciążenie na dole osi (= środek ciężkości całego układu „widełki” + moneta”). Jeśli zaczniesz odchylać wahadło od pionu w dowolnym kierunku (do przodu, do tyłu, w lewo, w prawo), wówczas nieuchronnie powróci ono do pierwotnej pozycji pod wpływem grawitacji. stały stan równowagi(to samo dzieje się z naszymi widelcami i monetą)!

Jeśli nie rozumiesz, ale chcesz zrozumieć, zastanów się sam. To bardzo interesujące „dotrzeć tam” samemu! Dodam, że tę samą zasadę stosowania stabilnej równowagi zastosowano także w zabawce Vanka-Get-Up. Tylko środek ciężkości tej zabawki znajduje się powyżej punktu podparcia, ale poniżej środka półkuli powierzchni nośnej.

Zawsze miło mi widzieć Wasze komentarze, drodzy czytelnicy!!!

Zapytać, CO DO praca autora, pobierz plik PO SUBSKRYBCJI do ogłoszeń artykułów.

Wynik obliczeń zależy nie tylko od pola przekroju poprzecznego, dlatego przy rozwiązywaniu problemów dotyczących wytrzymałości materiałów nie można obejść się bez określenia cechy geometryczne figur: statyczne, osiowe, biegunowe i odśrodkowe momenty bezwładności. Niezbędna jest możliwość określenia położenia środka ciężkości przekroju (podane cechy geometryczne zależą od położenia środka ciężkości). Oprócz charakterystyka geometryczna prostych figur: prostokąta, kwadratu, trójkąta równoramiennego i prostokątnego, koła, półkola. Wskazuje się środek ciężkości i położenie głównych osi środkowych oraz określa się względem nich właściwości geometryczne, pod warunkiem, że materiał belki jest jednorodny.

Charakterystyka geometryczna prostokąta i kwadratu

Osiowe momenty bezwładności prostokąta (kwadratu)

Charakterystyka geometryczna trójkąta prostokątnego

Osiowe momenty bezwładności trójkąta prostokątnego

Charakterystyka geometryczna trójkąta równoramiennego

Osiowe momenty bezwładności trójkąta równoramiennego