Formuły Ferrari i Cardano. Wzór Cardano na rozwiązanie równania sześciennego

Spójrzmy jeszcze raz na wzór na kostkę sumy, ale zapiszmy go inaczej:

Porównaj ten wpis z równaniem (13) i spróbuj ustalić związek między nimi. Nawet z podpowiedzią nie jest to łatwe. Musimy złożyć hołd matematykom renesansu, którzy rozwiązali równanie sześcienne, nie znając symboli alfabetycznych. Podstawmy do naszego wzoru:

Teraz jest jasne: aby znaleźć pierwiastek równania (13), wystarczy rozwiązać układ równań

Lub

i przyjąć jako sumę i . Zastępując , system ten zostaje zredukowany do bardzo prostej postaci:

Wtedy możesz działać na różne sposoby, ale wszystkie „drogi” będą prowadzić do tego samego równania kwadratowego. Na przykład, zgodnie z twierdzeniem Viety, suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego jest równa współczynnikowi ze znakiem minus, a iloczyn jest równy członowi swobodnemu. Wynika z tego i są pierwiastkami równania

Zapiszmy te korzenie:

Zmienne i są równe pierwiastkom sześciennym i , a pożądanym rozwiązaniem równania sześciennego (13) jest suma tych pierwiastków:

Formuła ta znana jest jako Formuła Cardano.

Rozwiązanie trygonometryczne

poprzez podstawienie zostaje zredukowany do postaci „niekompletnej”.

, , . (14)

Pierwiastki , , „niepełnego” równania sześciennego (14) są równe

, ,

Niech obowiązuje „niepełne” równanie sześcienne (14).

a) Jeżeli (przypadek „nieredukowalny”), to

(b) Jeśli , , to

, .

, ,

, .

We wszystkich przypadkach brana jest pod uwagę rzeczywista wartość pierwiastka sześciennego.

Równanie dwukwadratowe

Równanie algebraiczne czwartego stopnia.

gdzie a, b, c to liczby rzeczywiste, tzw równanie dwukwadratowe. Przez podstawienie równanie sprowadza się do równania kwadratowego następnie rozwiązuje się dwa równania dwumianowe i ( i są pierwiastkami odpowiedniego równania kwadratowego).

Jeśli i , to równanie dwukwadratowe ma cztery rzeczywiste pierwiastki:

Jeśli , ), wówczas równanie dwukwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste i urojone pierwiastki sprzężone:

Jeśli i , to równanie dwukwadratowe ma cztery czysto urojone pierwiastki sprzężone parami:

, .

Równania czwartego stopnia

Metodę rozwiązywania równań czwartego stopnia wynaleziono w XVI wieku. Ludovico Ferrari, uczeń Gerolamo Cardano. Tak to się nazywa – metoda. Ferrari.

Podobnie jak przy rozwiązywaniu równań sześciennych i kwadratowych, w równaniu czwartego stopnia

możesz pozbyć się tego terminu przez podstawienie. Dlatego założymy, że współczynnik sześcianu niewiadomej wynosi zero:

Pomysł Ferrari polegał na przedstawieniu równania w postaci , gdzie lewa strona jest kwadratem wyrażenia , a prawa strona jest kwadratem równania liniowego , którego współczynniki zależą od . Następnie pozostaje rozwiązać dwa równania kwadratowe: i . Oczywiście taka reprezentacja jest możliwa tylko przy specjalnym wyborze parametru. Wygodnie jest przyjąć to w formie , wówczas równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

Prawa strona tego równania to trójmian kwadratowy . Będzie to pełny kwadrat, gdy jego dyskryminator będzie równy zeru, tj.

, Lub

To równanie nazywa się rozpuszczalnik (tj. „zezwalający”). Jest stosunkowo sześcienny, a wzór Cardano pozwala znaleźć niektóre jego korzenie. Gdy prawa strona równania (15) przyjmuje postać

a samo równanie sprowadza się do dwóch równań kwadratowych:

Ich pierwiastki dają wszystkie rozwiązania pierwotnego równania.

Na przykład rozwiążmy równanie

Tutaj wygodniej będzie skorzystać nie z gotowych formuł, ale z samej idei rozwiązania. Zapiszmy równanie w postaci

i dodaj wyrażenie po obu stronach, tak aby po lewej stronie powstał pełny kwadrat:

Przyrównajmy teraz dyskryminator prawej strony równania do zera:

lub, po uproszczeniu,

Jeden z pierwiastków powstałego równania można odgadnąć, sortując dzielniki wyrazu wolnego: . Po podstawieniu tej wartości otrzymujemy równanie

Gdzie . Pierwiastkami powstałych równań kwadratowych są I . Oczywiście w ogólnym przypadku można również otrzymać złożone pierwiastki.

Każde równanie sześcienne ze współczynnikami rzeczywistymi ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, pozostałe dwa są również rzeczywiste lub stanowią złożoną parę koniugatów.

Zacznijmy recenzję od najprostszych przypadków - dwumianowy I zwrotne równania. Następnie przechodzimy do znalezienia racjonalnych korzeni (jeśli takie istnieją). Zakończmy przykładem znajdowania pierwiastków równania sześciennego za pomocą Wzór Cardano dla przypadku ogólnego.

Nawigacja strony.

Rozwiązywanie dwuczłonowego równania sześciennego.

Dwumianowe równanie sześcienne ma postać .

Równanie to sprowadza się do postaci poprzez podzielenie przez współczynnik A różny od zera. Następnie zastosuj wzór na skróconą sumę mnożenia kostek:

Z pierwszego nawiasu znajdujemy , i trójmian kwadratowy ma tylko złożone korzenie.

Przykład.

Znajdź rzeczywiste pierwiastki równania sześciennego.

Rozwiązanie.

Stosujemy wzór na skrócone mnożenie różnicy kostek:

Z pierwszego nawiasu dowiadujemy się, że trójmian kwadratowy w drugim nawiasie nie ma pierwiastków rzeczywistych, ponieważ jego wyróżnik jest ujemny.

Odpowiedź:

Rozwiązywanie odwrotnego równania sześciennego.

Odwrotne równanie sześcienne ma postać , gdzie A i B są współczynnikami.

Pogrupujmy:

Oczywiście x = -1 jest pierwiastkiem takiego równania i pierwiastkiem powstałego trójmianu kwadratowego można łatwo znaleźć poprzez dyskryminator.

Przykład.

Rozwiąż równanie sześcienne .

Rozwiązanie.

To jest równanie odwrotne. Pogrupujmy:

Oczywiście x = -1 jest pierwiastkiem równania.

Znajdowanie pierwiastków trójmianu kwadratowego:

Odpowiedź:

Rozwiązywanie równań sześciennych z pierwiastkami wymiernymi.

Zacznijmy od najprostszego przypadku, gdy x=0 jest pierwiastkiem równania sześciennego.

W tym przypadku wolny termin D jest równy zeru, to znaczy równanie ma postać .

Jeśli usuniemy x z nawiasów, wówczas w nawiasach pozostanie trójmian kwadratowy, którego pierwiastki można łatwo znaleźć albo za pomocą dyskryminatora, albo za pomocą twierdzenia Viety .

Przykład.

Znajdź rzeczywiste pierwiastki równania .

Rozwiązanie.

x=0 jest pierwiastkiem równania. Znajdźmy pierwiastki trójmianu kwadratowego.

Ponieważ jego wyróżnik jest mniejszy od zera, trójmian nie ma rzeczywistych pierwiastków.

Odpowiedź:

x=0.

Jeśli współczynniki równania sześciennego są liczbami całkowitymi, wówczas równanie może mieć pierwiastki wymierne.

Gdy , pomnóż obie strony równania przez i zmień zmienne y = Ax:

Dotarliśmy do danego równania sześciennego. Może mieć całe korzenie, które są dzielnikami wolnego terminu. Zapisujemy więc wszystkie dzielniki i zaczynamy je zastępować w wynikowym równaniu, aż otrzymamy identyczną równość. Dzielnik, przy którym uzyskuje się tożsamość, jest pierwiastkiem równania. Dlatego pierwiastkiem pierwotnego równania jest .

Przykład.

Znajdź pierwiastki równania sześciennego.

Rozwiązanie.

Przekształćmy równanie do powyższego: pomnóżmy przez obie strony i zmieńmy zmienną y = 2x.

Wolny termin to 36. Zapiszmy wszystkie jego dzielniki: .

Podstawiamy je jeden po drugim do równości do momentu uzyskania tożsamości:

Zatem y = -1 jest pierwiastkiem. Odpowiada .

Podzielmy się włączone, używając:

Dostajemy,

Pozostaje tylko znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego.

To oczywiste , to znaczy, że jego pierwiastkiem wielokrotnym jest x=3.

Odpowiedź:

Komentarz.

Algorytm ten można wykorzystać do rozwiązywania równań odwrotności. Ponieważ -1 jest pierwiastkiem dowolnego odwrotnego równania sześciennego, możemy podzielić lewą stronę pierwotnego równania przez x+1 i znaleźć pierwiastki powstałego trójmianu kwadratowego.

W przypadku, gdy równanie sześcienne nie ma pierwiastków wymiernych, stosuje się inne metody rozwiązania, na przykład metody specyficzne.

Rozwiązywanie równań sześciennych z wykorzystaniem wzoru Cardano.

Ogólnie pierwiastki równania sześciennego wyznacza się za pomocą wzoru Cardano.

Dla równania sześciennego znaleziono wartości . Dalej znajdujemy I .

Podstawiamy powstałe p i q do wzoru Cardano:

Spór

FormułaCardano

Mostowoj

Odessa

Spór

Spory w średniowieczu zawsze były ciekawym widowiskiem, przyciągającym bezczynnych mieszczan, młodszych i starszych. Tematyka debat była różnorodna, ale zawsze naukowa. Jednocześnie przez naukę rozumiano to, co znalazło się na liście tzw. siedmiu sztuk wyzwolonych, jaką była oczywiście teologia. Najczęściej dochodziło do sporów teologicznych. Kłócili się o wszystko. Na przykład o tym, czy mysz kojarzyć z duchem świętym, jeśli spożywa sakrament, czy Cumae Sibyl mogła przepowiedzieć narodziny Jezusa Chrystusa, dlaczego bracia i siostry Zbawiciela nie są kanonizowani itp.

Jeśli chodzi o spór, który miał toczyć się między słynnym matematykiem a nie mniej znanym lekarzem, poczyniono jedynie najbardziej ogólne domysły, ponieważ tak naprawdę nikt nic nie wiedział. Powiedzieli, że jeden z nich oszukał drugiego (nie wiadomo, kto dokładnie i komu). Prawie wszyscy zgromadzeni na placu mieli jak najbardziej mgliste wyobrażenia o matematyce, ale wszyscy nie mogli się doczekać rozpoczęcia debaty. Zawsze było ciekawie, można było się pośmiać z przegranego, niezależnie od tego, czy miał rację, czy nie.

Kiedy zegar ratuszowy wybił piątą, bramy otworzyły się szeroko i tłum wbiegł do katedry. Po obu stronach linii środkowej łączącej wejście do ołtarza, w pobliżu dwóch bocznych kolumn, wzniesiono dwie wysokie ambony, przeznaczone dla debatujących. Obecni głośno hałasowali, nie zwracając uwagi na to, że są w kościele. Wreszcie przed żelazną kratą oddzielającą ikonostas od reszty nawy głównej pojawił się miejski krzykacz w czarno-fioletowym płaszczu i oznajmił: „Wybitni obywatele Mediolanu! Teraz przemówi do Was słynny matematyk Niccolo Tartaglia z Breni. Jego przeciwnikiem miał być matematyk i lekarz Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia zarzuca Cardano, że jako ostatni opublikował w swojej książce „Ars magna” metodę rozwiązywania równania trzeciego stopnia, która należy do niego, Tartaglii. Sam Cardano nie mógł jednak przybyć na debatę i dlatego wysłał swojego ucznia Luige Ferrari. Uznaje się zatem debatę za otwartą, jej uczestników zaprasza się na wydziały.” Na ambonę po lewej stronie wejścia wspiął się niezdarny mężczyzna z haczykowatym nosem i kręconą brodą, a na ambonę naprzeciwko wstąpił dwudziestokilkuletni mężczyzna o przystojnej, pewnej siebie twarzy. Cała jego postawa odzwierciedlała całkowitą pewność, że każdy jego gest i każde słowo zostanie przyjęte z zachwytem.

Zaczęła się Tartaglia.

Szanowni Państwo! Wiadomo, że 13 lat temu udało mi się znaleźć sposób na rozwiązanie równania III stopnia i wtedy tą metodą wygrałem spór z Fiori. Moja metoda przyciągnęła uwagę twojego współobywatela Cardano, który wykorzystał całą swoją przebiegłość, aby odkryć przede mną tajemnicę. Nie powstrzymał się ani od oszustwa, ani od jawnego fałszerstwa. Wiecie też, że 3 lata temu w Norymberdze ukazała się książka Cardano o zasadach algebry, gdzie moja bezwstydnie skradziona metoda została udostępniona wszystkim. Wyzwałem Cardano i jego ucznia na konkurs. Zaproponowałem rozwiązanie 31 problemów, tyle samo zaproponowali mi moi przeciwnicy. Wyznaczono termin rozwiązania problemów – 15 dni. W 7 dni udało mi się rozwiązać większość problemów, które zebrały Cardano i Ferrari. Wydrukowałem je i wysłałem kurierem do Mediolanu. Na odpowiedzi na swoje zadania musiałem jednak czekać pełne pięć miesięcy. Zostały one rozwiązane nieprawidłowo. Dało mi to podstawę do wyrzucenia ich obu do publicznej debaty.

Tartaglia zamilkła. Młodzieniec, patrząc na nieszczęsną Tartaglię, powiedział:

Szanowni Państwo! Mój godny przeciwnik pozwolił sobie już w pierwszych słowach swego przemówienia na tyle oszczerstw pod adresem mnie i mojego nauczyciela; jego argument był tak bezpodstawny, że nie zadałbym sobie trudu obalenie pierwszego i wykazanie niespójności drugi. Po pierwsze, o jakim oszustwie możemy mówić, jeśli Niccolo Tartaglia całkowicie dobrowolnie podzielił się z nami swoją metodą? I tak Geronimo Cardano pisze o roli mojego przeciwnika w odkryciu reguły algebraicznej. Mówi, że to nie on, Cardano, „ale mój przyjaciel Tartaglia ma zaszczyt odkryć coś tak pięknego i niesamowitego, przewyższającego ludzki dowcip i wszelkie talenty ludzkiego ducha. To odkrycie jest doprawdy darem niebiańskim, tak cudownym dowodem potęgi umysłu, który je ogarnął, że nie można uważać niczego za nieosiągalne dla niego.”

Mój przeciwnik oskarżył mnie i mojego nauczyciela o rzekome podanie złego rozwiązania jego problemów. Ale jak pierwiastek równania może być niepoprawny, jeśli podstawiając go do równania i wykonując wszystkie czynności przewidziane w tym równaniu, dochodzimy do tożsamości? A jeśli pan Tartaglia chce być konsekwentny, to powinien był odpowiedzieć na uwagę, dlaczego my, którzy – jak twierdzi – ukradliśmy jego wynalazek i wykorzystaliśmy go do rozwiązania zaproponowanych problemów, otrzymaliśmy złe rozwiązanie. My – mój nauczyciel i ja – nie uważamy wynalazku Signora Tartaglii za mało istotny. Ten wynalazek jest cudowny. Co więcej, opierając się w dużej mierze na tym, znalazłem sposób na rozwiązanie równania IV stopnia iw Ars Magna mówi o tym mój nauczyciel. Czego chce od nas Senor Tartaglia? Co chce osiągnąć poprzez spór?

Panowie, panowie – zawołał Tartaglia – proszę, abyście mnie wysłuchali! Nie przeczę, że mój młody przeciwnik jest bardzo mocny w logice i elokwencji. Ale to nie może zastąpić prawdziwego dowodu matematycznego. Problemy, które dałem Cardano i Ferrari, nie zostały rozwiązane poprawnie, ale to też udowodnię. Rzeczywiście, weźmy na przykład równanie spośród rozwiązanych. Wiadomo, że...

W kościele powstał niewyobrażalny hałas, który całkowicie zagłuszył koniec zdania rozpoczętego przez nieszczęsnego matematyka. Nie pozwolono mu kontynuować. Tłum zażądał, aby się zamknął i aby Ferrari przeszło na drugą stronę. Tartaglia widząc, że dalsza dyskusja jest zupełnie bezcelowa, pospiesznie zszedł z ambony i wyszedł przez północny ganek na plac. Tłum dziko witał „zwycięzcę” sporu, Luigiego Ferrari.

...Tak zakończył się ten spór, który wciąż powoduje coraz więcej nowych sporów. Kto właściwie jest właścicielem metody rozwiązywania równań trzeciego stopnia? Rozmawiamy teraz – Niccolo Tartaglie. Odkrył to, a Cardano oszukał go, aby dokonał tego odkrycia. A jeśli teraz wzór przedstawiający pierwiastki równania trzeciego stopnia poprzez jego współczynniki nazwiemy wzorem Cardano, to jest to niesprawiedliwość historyczna. Czy jest to jednak niesprawiedliwe? Jak obliczyć stopień udziału każdego matematyka w odkryciu? Może z czasem ktoś będzie w stanie odpowiedzieć na to pytanie całkowicie trafnie, a może pozostanie to tajemnicą...

Formuła Cardano

Używając współczesnego języka matematycznego i współczesnej symboliki, wyprowadzenie wzoru Cardano można znaleźć, stosując następujące niezwykle elementarne rozważania:

Otrzymamy ogólne równanie trzeciego stopnia:

topór 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Jeśli umieścisz

, następnie podajemy równanie (1) do głowy

Wprowadźmy nową niewiadomą U stosując równość

Wprowadzając to wyrażenie do (2) , otrzymujemy

stąd

Jeśli licznik i mianownik drugiego wyrazu zostaną pomnożone przez wyrażenie i uwzględnione, wynikowe wyrażenie dla ty okazuje się symetryczny względem znaków „+” i „-”, to w końcu otrzymujemy

(Iloczyn pierwiastków sześciennych w ostatniej równości musi być równy P).

To słynna formuła Cardano. Jeśli pójdziesz z y wrócić do X, wówczas otrzymujemy wzór wyznaczający pierwiastek równania ogólnego III stopnia.

Młody człowiek, który tak bezlitośnie traktował Tartaglię, rozumiał matematykę z taką samą łatwością, jak rozumiał prawo bezpretensjonalnej tajemnicy. Ferrari znajduje sposób na rozwiązanie równania czwartego stopnia. Cardano opisał tę metodę w swojej książce. Jaka jest ta metoda?

Pozwalać (1)

- równanie ogólne IV stopnia.

Jeśli umieścisz

następnie równanie (1) można przywołać na myśl

Gdzie p, q, r- niektóre współczynniki w zależności od a, b, c, d, e. Łatwo zauważyć, że równanie to można zapisać w następujący sposób:

W rzeczywistości wystarczy otworzyć nawiasy, a następnie wszystkie terminy zawierające T, anuluje się i wracamy do równania (2) .

Wybierzmy parametr T tak, że prawa strona równania (3) był idealnym kwadratem w stosunku do y. Jak wiadomo warunkiem koniecznym i wystarczającym jest zanik dyskryminatora współczynników trójmianu (ze względu na y) stojący po prawej:

Otrzymaliśmy pełne równanie sześcienne, które możemy teraz rozwiązać. Znajdźmy którykolwiek z jego pierwiastków i dodajmy go do równania (3) , przybierze teraz formę

To jest równanie kwadratowe. Rozwiązując to, możesz znaleźć pierwiastek równania (2) , i dlatego (1) .

Na 4 miesiące przed śmiercią Cardano zakończył swoją autobiografię, którą pisał intensywnie przez cały ostatni rok i która miała podsumować jego trudne życie. Poczuł zbliżającą się śmierć. Według niektórych raportów jego własny horoskop powiązał jego śmierć z 75. urodzinami. Zmarł 21 września 1576 r. 2 dni przed rocznicą. Istnieje wersja, w której popełnił samobójstwo w oczekiwaniu na rychłą śmierć lub nawet w celu potwierdzenia swojego horoskopu. W każdym razie astrolog Cardano poważnie traktował horoskop.

Uwaga na temat wzoru Cardano

Przeanalizujmy wzór na rozwiązanie równania w dziedzinie rzeczywistej. Więc,

Podczas obliczania X musimy najpierw obliczyć pierwiastek kwadratowy, a potem pierwiastek sześcienny. Możemy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, pozostając w obszarze rzeczywistym, jeśli . Dwie wartości pierwiastka kwadratowego różniące się znakiem pojawiają się w różnych terminach X. Wartości pierwiastka sześciennego w domenie rzeczywistej są unikalne, a wynikiem jest unikalny pierwiastek rzeczywisty X Na . Badając wykres trójmianu sześciennego, łatwo jest sprawdzić, czy rzeczywiście ma on jeden pierwiastek rzeczywisty w punkcie . Istnieją trzy prawdziwe korzenie. Kiedy istnieje podwójny pierwiastek rzeczywisty i pojedynczy pierwiastek, i kiedy istnieje potrójny pierwiastek x=0.

Kontynuujmy naukę wzoru na . Okazało się. Co się stanie, jeśli równanie ze współczynnikami całkowitymi ma pierwiastek całkowity, podczas obliczania go za pomocą wzoru mogą pojawić się pośrednie irracjonalności. Na przykład równanie ma pojedynczy pierwiastek (rzeczywisty) - x=1. Wzór Cardano daje temu pojedynczemu pierwiastkowi rzeczywistemu wyrażenie

Ale praktycznie każdy dowód wymaga wykorzystania faktu, że to wyrażenie jest pierwiastkiem równania. Jeśli tego nie zgadniesz, podczas transformacji pojawią się niezniszczalne rodniki sześcienne.

Wkrótce zapomniano o problemie Cardano-Tartaglia. Wzór na rozwiązanie równania sześciennego kojarzono z „Wielką Sztuką” i stopniowo zaczęto go nazywać formuła Cardano.

Wielu pragnęło przywrócić prawdziwy obraz wydarzeń w sytuacji, gdy ich uczestnicy niewątpliwie nie powiedzieli całej prawdy. Dla wielu ważne było ustalenie zakresu winy Cardano. Pod koniec XIX wieku część dyskusji zaczęła nabierać charakteru poważnych badań historycznych i matematycznych. Matematycy zdali sobie sprawę, jak dużą rolę odegrało dzieło Cardano pod koniec XVI wieku. Stało się jasne, co Leibniz zauważył już wcześniej: „Cardano był wielkim człowiekiem, pomimo wszystkich swoich wad; bez nich byłby idealny.”

KOMUNALNY VII STUDENCKA KONFERENCJA NAUKowo-PRAKTYCZNA „MŁODZIEŻ: KREATYWNOŚĆ, POSZUKIWANIE, SUKCES”

Okręg miejski Anninsky

Region Woroneża

Sekcja:MATEMATYKA

Temat:„Formuła Cardano: historia i zastosowanie”

Szkoła średnia nr 3 MKOU Anninskaya, 9 klasa „B”.

Niccolò Fontana Tartaglia (wł. NiccolòFontanaTartaglia, 1499-1557) – włoski matematyk.

Ogólnie rzecz biorąc, historia mówi, że przepis został pierwotnie odkryty przez Tartaglię i przekazany Cardano w gotowej formie, ale sam Cardano zaprzeczył temu faktowi, choć nie zaprzeczył zaangażowaniu Tartaglii w tworzenie receptury.

Nazwa „wzór Cardano” jest mocno zakorzeniona w tej formule, na cześć naukowca, który ją wyjaśnił i przedstawił opinii publicznej.

Kiedy zegar ratuszowy wybił piątą, bramy otworzyły się szeroko i tłum wbiegł do katedry. Po obu stronach linii środkowej łączącej wejście do ołtarza, w pobliżu dwóch bocznych kolumn, wzniesiono dwie wysokie ambony, przeznaczone dla debatujących. Obecni głośno hałasowali, nie zwracając uwagi na to, że są w kościele. Wreszcie przed żelazną kratą oddzielającą ikonostas od reszty nawy głównej pojawił się miejski krzykacz w czarno-fioletowym płaszczu i oznajmił: „Wybitni obywatele Mediolanu! Teraz przemówi do Was słynny matematyk Niccolo Tartaglia z Breni. Jego przeciwnikiem miał być matematyk i lekarz Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia zarzuca Cardano, że ten ostatni w swojej książce „Arsmagna” opublikował metodę rozwiązywania równania trzeciego stopnia, która należy do niego, Tartaglii. Sam Cardano nie mógł jednak przybyć na debatę i dlatego wysłał swojego ucznia Luige Ferrari. Uznaje się zatem debatę za otwartą, jej uczestników zaprasza się na wydziały.” Na ambonę na lewo od wejścia wspiął się niezdarny mężczyzna z haczykowatym nosem i kręconą brodą, a na ambonę naprzeciwko wstąpił dwudziestokilkuletni mężczyzna o przystojnej, pewnej siebie twarzy. Cała jego postawa odzwierciedlała całkowitą pewność, że każdy jego gest i każde słowo zostanie przyjęte z zachwytem.

Zaczęła się Tartaglia.

Tartaglia zamilkła. Młodzieniec, patrząc na nieszczęsną Tartaglię, powiedział:

Mój przeciwnik oskarżył mnie i mojego nauczyciela o rzekome podanie złego rozwiązania jego problemów. Ale jak pierwiastek równania może być niepoprawny, jeśli podstawiając go do równania i wykonując wszystkie czynności przewidziane w tym równaniu, dochodzimy do tożsamości? A jeśli pan Tartaglia chce być konsekwentny, to powinien był odpowiedzieć na uwagę, dlaczego my, którzy jego zdaniem ukradliśmy jego wynalazek i wykorzystaliśmy go do rozwiązania zaproponowanych problemów, otrzymaliśmy złe rozwiązanie. My – mój nauczyciel i ja – nie uważamy wynalazku Signora Tartaglii za mało istotny. Ten wynalazek jest cudowny. Co więcej, opierając się w dużej mierze na tym, znalazłem sposób na rozwiązanie równania IV stopnia i w Arsmagna opowiada o tym moja nauczycielka. Czego chce od nas Senor Tartaglia? Co chce osiągnąć poprzez spór?

Panowie, panowie – zawołał Tartaglia – proszę, abyście mnie wysłuchali! Nie przeczę, że mój młody przeciwnik jest bardzo mocny w logice i elokwencji. Ale to nie może zastąpić prawdziwego dowodu matematycznego. Problemy, które dałem Cardano i Ferrari, zostały rozwiązane niepoprawnie, ale też to udowodnię. Rzeczywiście, weźmy na przykład równanie spośród rozwiązanych. Wiadomo, że...

W ten sposób zakończył się spór, który wciąż powoduje coraz więcej nowych sporów. Kto właściwie jest właścicielem metody rozwiązywania równań trzeciego stopnia? Rozmawiamy teraz – Niccolo Tartaglie. Odkrył to, a Cardano oszukał go, aby dokonał tego odkrycia. A jeśli teraz wzór przedstawiający pierwiastki równania trzeciego stopnia poprzez jego współczynniki nazwiemy wzorem Cardano, to jest to niesprawiedliwość historyczna. Czy jest to jednak niesprawiedliwe? Jak obliczyć stopień udziału każdego matematyka w odkryciu? Może z czasem ktoś będzie w stanie odpowiedzieć na to pytanie całkowicie trafnie, a może pozostanie to tajemnicą...

Używając współczesnego języka matematycznego i współczesnej symboliki, wyprowadzenie wzoru Cardano można znaleźć, stosując następujące niezwykle elementarne rozważania:

Otrzymamy ogólne równanie trzeciego stopnia:

X 3 + topór 2 + bx + C = 0,

(1)

Gdziea, b, c – dowolne liczby rzeczywiste.

Zamieńmy zmienną w równaniu (1)X do nowej zmiennej ywedług wzoru:

X 3 + topór 2 +bx+c = (y ) 3 + a(y ) 2 + b(y ) + do = y 3 3 lata 2 + 3 lata+ a(y 2 2 lata+ przez = y 3 y 3 + (ur

wówczas równanie (1) przyjmie postaćy 3 + ( B

Jeśli wprowadzimy oznaczenieP = B, Q = ,

wtedy równanie przybierze postaćy 3 + py + Q = 0.

To słynna formuła Cardano.

Pierwiastki równania sześciennegoy 3 + py + Q = 0 zależą od dyskryminatora

JeśliD> 0, zatemwielomian sześcienny ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

JeśliD< 0, то wielomian sześcienny ma jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa pierwiastki zespolone (które są sprzężone zespolone).

JeśliD = 0, ma pierwiastek wielokrotny (albo jeden pierwiastek z krotności 2 i jeden pierwiastek z krotności 1, oba są rzeczywiste, lub jeden pojedynczy pierwiastek rzeczywisty z krotności 3).

2.4. Przykłady uniwersalnych metod rozwiązywania równań sześciennych

Spróbujmy zastosować wzór Cardana do rozwiązywania konkretnych równań.

Przykład 1: X 3 +15 X+124 = 0

TutajP = 15; Q = 124.

Odpowiedź:X