Jak znaleźć współrzędne produktu wektorowego. Produkt krzyżowy - definicje, właściwości, wzory, przykłady i rozwiązania

W tej lekcji przyjrzymy się dwóm kolejnym operacjom na wektorach: iloczyn wektorowy wektorów I mieszany produkt wektorów (link natychmiastowy dla potrzebujących). W porządku, czasami zdarza się, że dla pełnego szczęścia, w dodatku Iloczyn skalarny wektorów potrzeba coraz więcej. To jest uzależnienie od wektorów. Może się wydawać, że wkraczamy w dżunglę geometrii analitycznej. To jest źle. W tej części wyższej matematyki jest ogólnie mało drewna, może z wyjątkiem Pinokia. W rzeczywistości materiał jest bardzo powszechny i ​​​​prosty - niewiele bardziej skomplikowany niż ten sam produkt skalarny, będzie jeszcze mniej typowych zadań. Najważniejsze w geometrii analitycznej, o czym wielu się przekona lub już przekonało, to NIE POPEŁNIAĆ BŁĘDÓW W OBLICZENIACH. Powtarzaj jak zaklęcie, a będziesz szczęśliwy =)

Jeśli wektory błyszczą gdzieś daleko, jak błyskawica na horyzoncie, nie ma to znaczenia, zacznij od lekcji Wektory dla manekinów przywrócenie lub ponowne zdobycie podstawowej wiedzy o wektorach. Bardziej przygotowani czytelnicy mogą zapoznać się z informacjami wybiórczo; starałem się zebrać jak najpełniejszy zbiór przykładów, które często można znaleźć w pracy praktycznej

Co sprawi, że od razu będziesz szczęśliwy? Kiedy byłem mały, potrafiłem żonglować dwiema, a nawet trzema piłkami. To zadziałało dobrze. Teraz nie będziesz musiał w ogóle żonglować, ponieważ rozważymy tylko wektory przestrzenne, a wektory płaskie z dwiema współrzędnymi zostaną pominięte. Dlaczego? Tak narodziły się te działania - wektor i iloczyn mieszany wektorów są definiowane i działają w przestrzeni trójwymiarowej. To już jest łatwiejsze!

Operacja ta, podobnie jak iloczyn skalarny, obejmuje dwa wektory. Niech to będą listy niezniszczalne.

Sama akcja oznaczony przez w następujący sposób: . Istnieją inne opcje, ale jestem przyzwyczajony do oznaczania iloczynu wektorów w ten sposób, w nawiasach kwadratowych z krzyżykiem.

I od razu pytanie: jeśli w Iloczyn skalarny wektorów w grę wchodzą dwa wektory i tutaj dwa wektory również są mnożone jaka jest różnica? Oczywistą różnicą jest przede wszystkim WYNIK:

Wynikiem iloczynu skalarnego wektorów jest LICZBA:

Wynikiem iloczynu wektorów jest WEKTOR: , czyli mnożymy wektory i ponownie otrzymujemy wektor. Zamknięty klub. Właściwie stąd wzięła się nazwa operacji. W różnej literaturze edukacyjnej oznaczenia mogą się również różnić; będę używał tej litery.

Definicja produktu krzyżowego

Najpierw będzie definicja ze zdjęciem, potem komentarze.

Definicja: Produkt wektorowy niewspółliniowy wektory, podjęte w tej kolejności, zwany WEKTOREM, długość czyli liczbowo równy obszarowi równoległoboku, zbudowane na tych wektorach; wektor ortogonalne do wektorów, i jest skierowany tak, aby podstawa miała właściwą orientację:

Rozłóżmy definicję, jest tu mnóstwo ciekawych rzeczy!

Można zatem wyróżnić następujące istotne punkty:

1) Oryginalne wektory, z definicji oznaczone czerwonymi strzałkami nie współliniowy. Przypadek wektorów współliniowych wypada będzie rozważyć nieco później.

2) Pobierane są wektory w ściśle określonej kolejności: – „a” jest mnożone przez „być”, a nie „być” z „a”. Wynik mnożenia wektorów to WEKTOR, zaznaczony na niebiesko. Jeśli wektory pomnożymy w odwrotnej kolejności, otrzymamy wektor o równej długości i przeciwnym kierunku (kolor malinowy). Oznacza to, że równość jest prawdziwa .

3) Teraz zapoznajmy się z geometrycznym znaczeniem iloczynu wektorowego. To bardzo ważny punkt! DŁUGOŚĆ niebieskiego wektora (a zatem wektora szkarłatnego) jest liczbowo równa POWIERZCHNI równoległoboku zbudowanego na wektorach. Na rysunku ten równoległobok jest zacieniowany na czarno.

Notatka : rysunek jest schematyczny i oczywiście nominalna długość produktu wektorowego nie jest równa powierzchni równoległoboku.

Przypomnijmy jeden ze wzorów geometrycznych: Pole równoległoboku jest równe iloczynowi sąsiednich boków i sinusowi kąta między nimi. Dlatego na podstawie powyższego obowiązuje wzór na obliczenie DŁUGOŚCI iloczynu wektorowego:

Podkreślam, że wzór dotyczy DŁUGOŚCI wektora, a nie samego wektora. Jakie jest praktyczne znaczenie? Znaczenie jest takie, że w problemach geometrii analitycznej obszar równoległoboku często określa się poprzez koncepcję iloczynu wektorowego:

Zdobądźmy drugą ważną formułę. Przekątna równoległoboku (czerwona przerywana linia) dzieli go na dwa równe trójkąty. Dlatego pole trójkąta zbudowanego na wektorach (czerwone cieniowanie) można znaleźć za pomocą wzoru:

4) Równie ważnym faktem jest to, że wektor jest prostopadły do ​​wektorów, tzn . Oczywiście wektor skierowany przeciwnie (malinowa strzałka) jest również ortogonalny do wektorów oryginalnych.

5) Wektor jest skierowany tak, że podstawa To ma Prawidłowy orientacja. Na lekcji o przejście na nową podstawę Mówiłem wystarczająco szczegółowo o orientacja płaska, a teraz dowiemy się, jaka jest orientacja przestrzenna. Wyjaśnię ci to na palcach prawa ręka. Mentalnie połącz palec wskazujący z wektorem i środkowy palec z wektorem. Palec serdeczny i mały palec wciśnij go w dłoń. W rezultacie kciuk– produkt wektorowy wyświetli się. Jest to podstawa zorientowana na prawo (jest to ta na rysunku). Teraz zmień wektory ( palce wskazujące i środkowe) w niektórych miejscach, w wyniku czego kciuk się obróci, a produkt wektorowy będzie już patrzył w dół. Jest to również podstawa zorientowana na prawo. Możesz mieć pytanie: która podstawa opuściła orientację? „Przypisz” do tych samych palców lewa ręka wektory i uzyskaj lewą podstawę i lewą orientację przestrzeni (w tym przypadku kciuk będzie zlokalizowany w kierunku dolnego wektora). Mówiąc obrazowo, podstawy te „przekręcają” lub orientują przestrzeń w różnych kierunkach. I tej koncepcji nie należy uważać za coś naciąganego lub abstrakcyjnego - na przykład najzwyklejsze lustro zmienia orientację przestrzeni, a jeśli „wyciągniesz odbity obiekt z lustra”, to w ogólnym przypadku będzie to nie będzie możliwości połączenia go z „oryginałem”. Przy okazji podnieś trzy palce do lustra i przeanalizuj odbicie ;-)

...jak dobrze, że teraz o tym wiesz zorientowane na prawo i lewo baz, bo wypowiedzi niektórych wykładowców o zmianie orientacji są przerażające =)

Iloczyn krzyżowy wektorów współliniowych

Definicja została szczegółowo omówiona, pozostaje dowiedzieć się, co się dzieje, gdy wektory są współliniowe. Jeśli wektory są współliniowe, to można je ułożyć na jednej prostej i nasz równoległobok również „składa się” w jedną prostą. Obszar taki, jak mówią matematycy, zdegenerowany równoległobok jest równy zero. To samo wynika ze wzoru - sinus zera lub 180 stopni jest równy zeru, co oznacza, że ​​pole wynosi zero

Zatem jeśli , to I . Należy pamiętać, że sam iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu, ale w praktyce jest to często zaniedbywane i pisze się, że jest również równy zero.

Szczególnym przypadkiem jest iloczyn wektorowy wektora samego siebie:

Za pomocą iloczynu wektorowego można sprawdzić kolinearność wektorów trójwymiarowych, będziemy także analizować m.in. ten problem.

Aby rozwiązać praktyczne przykłady, których możesz potrzebować tablica trygonometryczna znaleźć z niego wartości sinusów.

No to rozpalmy ogień:

Przykład 1

a) Znajdź długość iloczynu wektorów wektorów jeśli

b) Znajdź obszar równoległoboku zbudowanego na wektorach, jeśli

Rozwiązanie: Nie, to nie jest literówka, celowo ustaliłem, że początkowe dane w klauzulach są takie same. Ponieważ projekt rozwiązań będzie inny!

a) Zgodnie z warunkiem musisz znaleźć długość wektor (iloczyn krzyżowy). Zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

Jeśli zapytano Cię o długość, w odpowiedzi podajemy wymiar - jednostki.

b) Zgodnie z warunkiem musisz znaleźć kwadrat równoległobok zbudowany na wektorach. Pole tego równoległoboku jest liczbowo równe długości iloczynu wektorowego:

Odpowiedź:

Należy pamiętać, że odpowiedź w ogóle nie mówi o produkcie wektorowym; obszar figury odpowiednio wymiar jest jednostkami kwadratowymi.

Zawsze sprawdzamy, CO musimy znaleźć w zależności od warunku, i na tej podstawie formułujemy jasne odpowiedź. Może się to wydawać dosłownością, ale wśród nauczycieli jest mnóstwo literalistów i istnieje duże prawdopodobieństwo, że zadanie zostanie zwrócone do sprawdzenia. Choć nie jest to szczególnie naciągana sprzeczka - jeśli odpowiedź jest błędna, to można odnieść wrażenie, że dana osoba nie rozumie prostych rzeczy i/lub nie zrozumiała istoty zadania. Tę kwestię należy zawsze mieć pod kontrolą przy rozwiązywaniu wszelkich problemów z matematyki wyższej, a także z innych przedmiotów.

Gdzie podziała się wielka litera „en”? W zasadzie można było to dodatkowo podpiąć do rozwiązania, jednak w celu skrócenia wpisu tego nie zrobiłem. Mam nadzieję, że wszyscy to rozumieją i jest to oznaczenie tego samego.

Popularny przykład rozwiązania typu „zrób to sam”:

Przykład 2

Znajdź obszar trójkąta zbudowanego na wektorach jeśli

Wzór na znalezienie pola trójkąta poprzez iloczyn wektorowy podano w komentarzach do definicji. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

W praktyce zadanie jest naprawdę bardzo powszechne; trójkąty mogą ogólnie cię dręczyć.

Aby rozwiązać inne problemy, będziemy potrzebować:

Własności iloczynu wektorowego wektorów

Rozważaliśmy już niektóre właściwości produktu wektorowego, jednak uwzględnię je na tej liście.

W przypadku dowolnych wektorów i dowolnej liczby prawdziwe są następujące właściwości:

1) W innych źródłach informacji ta pozycja zwykle nie jest wyróżniona we właściwościach, ale jest bardzo ważna z praktycznego punktu widzenia. Niech tak zostanie.

2) – nieruchomość jest również omawiana powyżej, czasami jest nazywana antykomutacyjność. Innymi słowy, kolejność wektorów ma znaczenie.

3) – asocjacyjne lub asocjacyjny prawa dotyczące produktów wektorowych. Stałe można łatwo przenosić poza iloczyn wektorowy. Właściwie, co powinni tam robić?

4) – dystrybucja lub dystrybucyjny prawa dotyczące produktów wektorowych. Nie ma też problemów z otwieraniem zamków.

Aby to zademonstrować, spójrzmy na krótki przykład:

Przykład 3

Znajdź jeśli

Rozwiązanie: Warunek ponownie wymaga znalezienia długości iloczynu wektorowego. Pomalujmy naszą miniaturę:

(1) Zgodnie z prawami asocjacji stałe są poza zakresem iloczynu wektorowego.

(2) Przesuwamy stałą poza moduł, a moduł „zjada” znak minus. Długość nie może być ujemna.

(3) Reszta jest jasna.

Odpowiedź:

Czas dołożyć drewna do ognia:

Przykład 4

Oblicz pole trójkąta zbudowanego na wektorach, jeśli

Rozwiązanie: Znajdź obszar trójkąta za pomocą wzoru . Problem polega na tym, że wektory „tse” i „de” są same w sobie przedstawiane jako sumy wektorów. Algorytm tutaj jest standardowy i nieco przypomina przykłady nr 3 i 4 z lekcji Iloczyn skalarny wektorów. Dla przejrzystości rozwiązanie podzielimy na trzy etapy:

1) W pierwszym kroku wyrażamy iloczyn wektorowy poprzez iloczyn wektorowy, w rzeczywistości wyrażmy wektor za pomocą wektora. Nie ma jeszcze słowa na temat długości!

(1) Zastąp wyrażenia wektorów.

(2) Korzystając z praw rozdzielności, otwieramy nawiasy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów.

(3) Używając praw asocjacji, przenosimy wszystkie stałe poza iloczyny wektorowe. Przy odrobinie doświadczenia kroki 2 i 3 można wykonać jednocześnie.

(4) Pierwszy i ostatni wyraz są równe zeru (wektor zerowy) ze względu na własność nice. W drugim członie korzystamy z własności antyprzemienności iloczynu wektorowego:

(5) Przedstawiamy podobne terminy.

W rezultacie wektor okazał się wyrażony poprzez wektor, co należało osiągnąć:

2) W drugim kroku znajdujemy potrzebną długość iloczynu wektorowego. Ta akcja jest podobna do przykładu 3:

3) Znajdź obszar wymaganego trójkąta:

Etapy 2-3 rozwiązania można było zapisać w jednym wierszu.

Odpowiedź:

Rozważany problem jest dość powszechny w testach, oto przykład samodzielnego rozwiązania:

Przykład 5

Znajdź jeśli

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Zobaczmy, jak uważny byłeś, studiując poprzednie przykłady ;-)

Iloczyn krzyżowy wektorów we współrzędnych

Wzór jest naprawdę prosty: w górnym wierszu wyznacznika zapisujemy wektory współrzędnych, w drugim i trzecim wierszu „umieszczamy” współrzędne wektorów i umieszczamy w ścisłym porządku– najpierw współrzędne wektora „ve”, następnie współrzędne wektora „podwójnego ve”. Jeśli zachodzi potrzeba pomnożenia wektorów w innej kolejności, należy zamienić wiersze:

Przykład 10

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:
A)
B)

Rozwiązanie: Sprawdzenie opiera się na jednym ze stwierdzeń z tej lekcji: jeśli wektory są współliniowe, to ich iloczyn wektorowy jest równy zeru (wektor zerowy): .

a) Znajdź iloczyn wektorowy:

Zatem wektory nie są współliniowe.

b) Znajdź iloczyn wektorowy:

Odpowiedź: a) nie współliniowy, b)

Być może tutaj znajdują się wszystkie podstawowe informacje na temat iloczynu wektorów wektorów.

Ta sekcja nie będzie zbyt obszerna, ponieważ istnieje niewiele problemów, gdy używany jest mieszany iloczyn wektorów. W rzeczywistości wszystko będzie zależeć od definicji, znaczenia geometrycznego i kilku działających wzorów.

Iloczyn mieszany wektorów to iloczyn trzech wektorów:

Ustawili się zatem w kolejce jak pociąg i nie mogą się doczekać, aż zostaną zidentyfikowani.

Na początek jeszcze raz definicja i obraz:

Definicja: Praca mieszana niewspółpłaszczyznowe wektory, podjęte w tej kolejności, zwany objętość równoległościenna, zbudowane na tych wektorach, oznaczone znakiem „+”, jeśli podstawa jest prawidłowa, oraz znakiem „–”, jeśli podstawa jest pozostawiona.

Zróbmy rysunek. Linie niewidoczne dla nas rysujemy liniami przerywanymi:

Przejdźmy do definicji:

2) Pobierane są wektory w określonej kolejności, czyli przegrupowanie wektorów w iloczynie, jak można się domyślić, nie następuje bez konsekwencji.

3) Zanim skomentuję znaczenie geometryczne, zwrócę uwagę na oczywisty fakt: mieszany iloczyn wektorów to LICZBA: . W literaturze edukacyjnej projekt może być nieco inny; jestem przyzwyczajony do oznaczania produktu mieszanego przez , a wynik obliczeń literą „pe”.

A-przeorat produkt mieszany to objętość równoległościanu, zbudowane na wektorach (figura jest rysowana za pomocą czerwonych wektorów i czarnych linii). Oznacza to, że liczba jest równa objętości danego równoległościanu.

Notatka : Rysunek ma charakter schematyczny.

4) Nie martwmy się już o koncepcję orientacji podstawy i przestrzeni. Znaczenie ostatniej części jest takie, że do objętości można dodać znak minus. Krótko mówiąc, produkt mieszany może być negatywny: .

Bezpośrednio z definicji wynika wzór na obliczenie objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach.

Grafika wektorowa jest pseudowektorem prostopadłym do płaszczyzny zbudowanej z dwóch czynników, będącym wynikiem operacji binarnej „mnożenia wektorów” po wektorach w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Iloczyn wektorowy nie ma właściwości przemienności i skojarzeń (jest antyprzemienny) i w przeciwieństwie do iloczynu skalarnego wektorów jest wektorem. Szeroko stosowane w wielu zastosowaniach inżynieryjnych i fizycznych. Na przykład moment pędu i siła Lorentza są zapisywane matematycznie jako iloczyn wektorowy. Iloczyn krzyżowy jest przydatny do „pomiaru” prostopadłości wektorów - moduł iloczynu krzyżowego dwóch wektorów jest równy iloczynowi ich modułów, jeśli są one prostopadłe, i maleje do zera, jeśli wektory są równoległe lub antyrównoległe.

Iloczyn wektorowy można definiować na różne sposoby i teoretycznie w przestrzeni o dowolnym wymiarze n można obliczyć iloczyn n-1 wektorów, otrzymując w ten sposób pojedynczy wektor prostopadły do ​​nich wszystkich. Jeśli jednak iloczyn ogranicza się do nietrywialnych produktów binarnych z wynikami wektorowymi, wówczas tradycyjny iloczyn wektorowy jest definiowany tylko w przestrzeniach trójwymiarowych i siedmiwymiarowych. Wynik iloczynu wektorowego, podobnie jak iloczynu skalarnego, zależy od metryki przestrzeni euklidesowej.

W przeciwieństwie do wzoru na obliczanie wektorów iloczynu skalarnego ze współrzędnych w trójwymiarowym prostokątnym układzie współrzędnych, wzór na iloczyn poprzeczny zależy od orientacji prostokątnego układu współrzędnych, czyli innymi słowy od jego „chiralności”.

Definicja:
Iloczyn wektorowy wektora a i wektora b w przestrzeni R3 jest wektorem c spełniającym następujące wymagania:
długość wektora c jest równa iloczynowi długości wektorów a i b oraz sinusa kąta φ między nimi:
|c|=|a||b|sin φ;
wektor c jest ortogonalny do każdego z wektorów aib;
wektor c jest skierowany tak, że trójka wektorów abc jest prawoskrętna;
w przypadku przestrzeni R7 wymagana jest łączność trójki wektorów a, b, c.
Przeznaczenie:
c===a × b

Ryż. 1. Powierzchnia równoległoboku jest równa modułowi iloczynu wektorowego

Właściwości geometryczne iloczynu krzyżowego:
Warunkiem koniecznym i wystarczającym kolinearności dwóch niezerowych wektorów jest to, że ich iloczyn wektorowy jest równy zero.

Moduł krzyżowy produktów równa się powierzchni S równoległobok zbudowany na wektorach zredukowanych do wspólnego początku A I B(patrz ryc. 1).

Jeśli mi- wektor jednostkowy ortogonalny do wektorów A I B i wybrałem tak, że trzy a, b, e- prawda i S jest obszarem zbudowanego na nich równoległoboku (sprowadzonego do wspólnego pochodzenia), wówczas obowiązuje wzór na iloczyn wektorowy:
=S mi

Ryc.2. Objętość równoległościanu przy użyciu wektora i iloczynu skalarnego wektorów; linie przerywane pokazują rzuty wektora c na a × b i wektora a na b × c, pierwszym krokiem jest znalezienie iloczynów skalarnych

Jeśli C- jakiś wektor, π - dowolna płaszczyzna zawierająca ten wektor, mi- wektor jednostkowy leżący na płaszczyźnie π i ortogonalne do c, dz- wektor jednostkowy prostopadły do ​​płaszczyzny π i skierowane tak, aby trójka wektorów ekg ma rację, to dla każdego leżącego w samolocie π wektor A formuła jest poprawna:
=Pre a |c|g
gdzie Pre e a jest rzutem wektora e na a
|c|-moduł wektora c

Używając iloczynów wektorowych i skalarnych, możesz obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach zredukowanych do wspólnego początku a, b I C. Taki iloczyn trzech wektorów nazywa się mieszanym.
V=|a (b×c)|
Rysunek pokazuje, że objętość tę można znaleźć na dwa sposoby: wynik geometryczny zostaje zachowany nawet po zamianie iloczynów „skalarnych” i „wektorowych”:
V=a×b c=a b×c

Wielkość iloczynu poprzecznego zależy od sinusa kąta pomiędzy pierwotnymi wektorami, zatem iloczyn poprzeczny można postrzegać jako stopień „prostopadłości” wektorów, tak jak iloczyn skalarny można postrzegać jako stopień „równoległości” ”. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jednostkowych jest równy 1 (wektor jednostkowy), jeśli pierwotne wektory są prostopadłe, i równy 0 (wektor zerowy), jeśli wektory są równoległe lub antyrównoległe.

Wyrażenie iloczynu krzyżowego we współrzędnych kartezjańskich
Jeśli dwa wektory A I B określone przez ich prostokątne współrzędne kartezjańskie, lub dokładniej, przedstawione w bazie ortonormalnej
a=(a x, a y, a z)
b=(b x, b y, b z)
a układ współrzędnych jest prawoskrętny, to ich iloczyn wektorowy ma postać
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Aby zapamiętać tę formułę:
i =∑ε ijk a jot b k
Gdzie ε tak- symbol Levi-Civita.

7.1. Definicja produktu krzyżowego

Trzy niewspółpłaszczyznowe wektory a, b i c, wzięte we wskazanej kolejności, tworzą prawoskrętną trójkę, jeśli od końca trzeciego wektora c widać, że najkrótszy zwrot od pierwszego wektora a do drugiego wektora b być w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a trójka lewoskrętna, jeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara (patrz ryc. 16).

Iloczyn wektorowy wektora a i wektora b nazywa się wektorem c, który:

1. Prostopadle do wektorów a i b, tj. c ^ a i c ^ B ;

2. Ma długość równą liczbowo powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach a iB jak po bokach (patrz rys. 17), tj.

3. Wektory a, b i c tworzą prawoskrętną trójkę.

Iloczyn krzyżowy jest oznaczony jako a x b lub [a, b]. Z definicji iloczynu wektorowego wynikają bezpośrednio następujące zależności pomiędzy wektorami jednostkowymi, J I k(patrz rys. 18):

ja x jot = k, jot x k = ja, k x ja = jot.
Udowodnijmy to na przykład ixj =k.

1) k ^ i, k ^ J;

2) |k |=1, ale | ja x j| = |i | |J | grzech(90°)=1;

3) wektory i, j oraz k tworzą prawą potrójną (patrz ryc. 16).

7.2. Właściwości produktu krzyżowego

1. Podczas przestawiania czynników iloczyn wektorowy zmienia znak, tj. i xb =(b xa) (patrz rys. 19).

Wektory a xb i b xa są współliniowe, mają te same moduły (obszar równoległoboku pozostaje niezmieniony), ale są skierowane przeciwnie (potrójne a, b, a xb i a, b, b x a o przeciwnej orientacji). To jest axb = -(b xa).

2. Iloczyn wektorowy ma właściwość łączenia w odniesieniu do współczynnika skalarnego, tj. l ​​(a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Niech l > 0. Wektor l (a xb) jest prostopadły do ​​wektorów aib. Wektor ( l topór B jest również prostopadła do wektorów a i B(wektory a, l ale leżą w tej samej płaszczyźnie). Oznacza to, że wektory l(axb) i ( l topór B współliniowy. Oczywiste jest, że ich kierunki są zbieżne. Mają tę samą długość:

Dlatego l(axb)= l xb. Udowodniono to podobnie dla l<0.

3. Dwa niezerowe wektory a i B są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu, tj. a ||b<=>i xb =0.

W szczególności i *i =j *j =k *k =0 .

4. Iloczyn wektorowy ma właściwość dystrybucji:

(a+b) xc = a xc + B xs.

Przyjmiemy bez dowodu.

7.3. Wyrażanie iloczynu krzyżowego we współrzędnych

Będziemy korzystać z tabeli iloczynów krzyżowych wektorów i, J ik:

jeśli kierunek najkrótszej ścieżki od pierwszego wektora do drugiego pokrywa się z kierunkiem strzałki, wówczas iloczyn jest równy trzeciemu wektorowi, jeśli się nie pokrywa, trzeci wektor jest przyjmowany ze znakiem minus.

Niech będą dane dwa wektory a =a x i +a y J+a z k oraz b = bx I+b y J+b z k. Znajdźmy iloczyn wektorowy tych wektorów, mnożąc je jako wielomiany (zgodnie z właściwościami iloczynu wektorowego):

Otrzymaną formułę można zapisać jeszcze krócej:

ponieważ prawa strona równości (7.1) odpowiada rozwinięciu wyznacznika trzeciego rzędu pod względem elementów pierwszego rzędu. Równość (7.2) jest łatwa do zapamiętania.

7.4. Niektóre zastosowania produktów krzyżowych

Ustalanie kolinearności wektorów

Znalezienie obszaru równoległoboku i trójkąta

Zgodnie z definicją iloczynu wektorów A oraz b |a xb | =|a| * |b |sing g, tj. S par = |a x b |. A zatem D S =1/2|a x b |.

Wyznaczanie momentu siły względem punktu

Niech w punkcie A zostanie przyłożona siła F = AB Odpuść sobie O- jakiś punkt w przestrzeni (patrz ryc. 20).

Z fizyki wiadomo, że moment siły F w stosunku do punktu O zwany wektorem M, który przechodzi przez punkt O I:

1) prostopadle do płaszczyzny przechodzącej przez punkty O, A, B;

2) liczbowo równy iloczynowi siły na ramię

3) tworzy prawą trójkę z wektorami OA i A B.

Dlatego M = OA x F.

Znalezienie liniowej prędkości obrotowej

Prędkość w punkt M ciała sztywnego obracającego się z prędkością kątową w wokół ustalonej osi, wyznacza się wzorem Eulera v = w xr, gdzie r = OM, gdzie O jest pewnym stałym punktem osi (patrz rys. 21).

Język angielski: Wikipedia zwiększa bezpieczeństwo witryny. Używasz starej przeglądarki internetowej, która w przyszłości nie będzie mogła połączyć się z Wikipedią. Zaktualizuj swoje urządzenie lub skontaktuj się z administratorem IT.

中文: The以下提供更长,更具技术性的更新（仅英语）。

Hiszpański: Wikipedia jest miejscem zamieszkania más seguro. Służy do korzystania z nawigacji internetowej viejo que no será capaz de conectarse z Wikipedią w przyszłości. Actualice su dispositivo lub skontaktuj się z administratorem informático. Más abajo hay una updateización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

francuski: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Skorzystaj z aktualnej nawigacji internetowej, która jest dostępna za pomocą połączenia z Wikipedią lub z sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Dodatkowe informacje i techniki oraz dostępne w języku angielskim narzędzia ci-dessous.

日本語: ?す るか情報は以下に英語で提供しています。

Niemiecki: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detalliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

włoski: Wikipedia udostępnia najbardziej aktualne witryny. Pozostań przy użyciu przeglądarki internetowej, aby nie łączyć się z Wikipedią w przyszłości. Na korzyść, aggiorna il tuo dispositivo lub contatta il tuo amministratore informatico. Bezpłatne Più in basso jest dostępne w języku angielskim.

Madziar: Biztonságosabb lesz w Wikipedii. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Szwedzka: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia w framtiden. Uppdatetera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Usuwamy obsługę niezabezpieczonych wersji protokołu TLS, w szczególności TLSv1.0 i TLSv1.1, których oprogramowanie Twojej przeglądarki używa do łączenia się z naszymi witrynami. Jest to zwykle spowodowane nieaktualnymi przeglądarkami lub starszymi smartfonami z Androidem. Może to być również ingerencja firmowego lub osobistego oprogramowania „Web Security”, które w rzeczywistości obniża bezpieczeństwo połączenia.

Aby uzyskać dostęp do naszych witryn, musisz zaktualizować swoją przeglądarkę internetową lub w inny sposób rozwiązać ten problem. Komunikat ten będzie widoczny do 1 stycznia 2020 r. Po tym terminie Twoja przeglądarka nie będzie mogła nawiązać połączenia z naszymi serwerami.

Będziemy korzystać z tabeli iloczynów krzyżowych wektorów i, j i k:

jeśli kierunek najkrótszej ścieżki od pierwszego wektora do drugiego pokrywa się z kierunkiem strzałki, wówczas iloczyn jest równy trzeciemu wektorowi, jeśli się nie pokrywa, trzeci wektor jest przyjmowany ze znakiem minus.

Niech zostaną dane dwa wektory a=axi +ayj +azk i b =bxi +byj +bzk. Znajdźmy iloczyn wektorowy tych wektorów, mnożąc je jako wielomiany (zgodnie z właściwościami iloczynu wektorowego):
Otrzymaną formułę można zapisać jeszcze krócej: ponieważ prawa strona równości (7.1) odpowiada rozwinięciu wyznacznika trzeciego rzędu pod względem elementów pierwszego rzędu. Równość (7.2) jest łatwa do zapamiętania.

7.4. Niektóre zastosowania produktów krzyżowych

Ustalanie kolinearności wektorów.
Znalezienie obszaru równoległoboku i trójkąta

Zgodnie z definicją iloczynu wektorów wektorów a i b |a xb | = |a| * |b |śpiewać, tj. S par = |a x b |. A zatem DS =1/2|a x b |.

Wyznaczanie momentu siły względem punktu

Niech siła F = AB zostanie przyłożona w punkcie A i niech O będzie jakimś punktem w przestrzeni Z fizyki wiadomo, że moment siły F względem punktu O jest wektorem M przechodzącym przez punkt O oraz:

1) prostopadle do płaszczyzny przechodzącej przez punkty O, A, B;

2) jest liczbowo równy iloczynowi siły działającej na ramię 3) tworzy prawą trójkę z wektorami OA i A B.

Dlatego M = OA x F. Znalezienie liniowej prędkości obrotowej

Prędkość v punktu M ciała sztywnego obracającego się z prędkością kątową w wokół ustalonej osi wyznacza się ze wzoru Eulera v = w xr, gdzie r = OM, gdzie O jest pewnym stałym punktem osi (patrz rys. 21).

Kąt między wektorami

Z definicji iloczynu skalarnego dwóch wektorów wynika, że ​​jeżeli wektory i są określone przez współrzędne i , wówczas wzór (1.6.3.1) zostanie zapisany jako:

Pole równoległoboku zbudowanego na wektorach

Zagadnienia pomiaru długości odcinków, odległości między punktami, pól powierzchni i objętości ciał należą do ważnej klasy problemów, które zwykle nazywane są metryką. W poprzedniej sekcji nauczyliśmy się używać algebry wektorowej do obliczania długości odcinków linii i odległości między punktami. Teraz znajdziemy sposoby obliczania powierzchni i objętości. Algebra wektorowa pozwala stawiać i rozwiązywać takie problemy tylko dla dość prostych przypadków. Aby obliczyć pola dowolnych powierzchni i objętości dowolnych ciał, wymagane są metody analityczne. Jednak metody analizy w dużym stopniu opierają się na wynikach, jakie daje algebra wektorowa.

Aby rozwiązać problem, wybraliśmy dość długą i trudną drogę, zaproponowaną przez Hilberta Stranga, związaną z licznymi przekształceniami geometrycznymi i żmudnymi obliczeniami algebraicznymi. Wybraliśmy tę drogę, mimo że są inne podejścia, które szybciej prowadzą do celu, bo wydawała nam się bezpośrednia i naturalna. Bezpośrednia droga w nauce nie zawsze jest najłatwiejsza. Doświadczeni ludzie o tym wiedzą i wolą okrężne ścieżki, ale jeśli nie spróbujesz jechać prosto, możesz pozostać nieświadomym niektórych subtelności teorii.

Na obranej przez nas ścieżce w naturalny sposób pojawiają się takie pojęcia, jak orientacja przestrzenna, wyznacznik, iloczyn wektorowy i mieszany. Szczególnie wyraźnie, jak pod mikroskopem, widać geometryczne znaczenie wyznacznika i jego właściwości. Tradycyjnie pojęcie wyznacznika wprowadza się do teorii układów równań liniowych, ale właśnie przy rozwiązywaniu takich układów wyznacznik jest prawie bezużyteczny. Geometryczne znaczenie wyznacznika jest istotne dla algebry wektorowej i tensorowej.

Teraz bądźmy cierpliwi i zacznijmy od najprostszych i najbardziej zrozumiałych przypadków.

1. Wektory są zorientowane wzdłuż osi współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych.

Niech wektor a będzie skierowany wzdłuż osi x, a wektor b wzdłuż osi y. Na ryc. Rysunek 21 przedstawia cztery różne możliwości położenia wektorów względem osi współrzędnych.

Wektory aib w postaci współrzędnych: gdzie aib oznaczają wielkość odpowiedniego wektora, a a jest znakiem współrzędnej wektora.

Ponieważ wektory są ortogonalne, zbudowane na nich równoległoboki są prostokątami. Ich obszary są po prostu iloczynem ich boków. Wyraźmy te iloczyny w postaci współrzędnych wektorowych dla wszystkich czterech przypadków.

Wszystkie cztery wzory na obliczanie powierzchni są takie same, z wyjątkiem znaku. Mógłbyś po prostu zamknąć oczy i napisać: to we wszystkich przypadkach. Bardziej produktywna okazuje się jednak inna możliwość: nadanie znakowi jakiegoś znaczenia. Przyjrzyjmy się uważnie rys. 21. W przypadkach, gdy obrót wektora na wektor odbywa się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. W tych przypadkach, gdy jesteśmy zmuszeni użyć znaku minus we wzorze, obrót wektora na wektor odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Ta obserwacja pozwala nam powiązać znak w wyrażeniach na pole z orientacją płaszczyzny.

Pole prostokąta zbudowanego na wektorach a i b ze znakiem plus lub minus będzie uważane za obszar zorientowany, a znak będzie powiązany z orientacją określoną przez wektory. Dla obszaru zorientowanego możemy napisać jedną formułę dla wszystkich czterech rozpatrywanych przypadków: . Wprowadzono słupek „wektorowy” nad literą S, aby odróżnić obszar zwykły, zawsze dodatni, od zorientowanego.

Ponadto oczywiste jest, że te same wektory, wzięte w innej kolejności, wyznaczają zatem przeciwną orientację. Będziemy nadal oznaczać obszar literą S, a zatem .

Teraz, gdy wydawałoby się, że kosztem rozszerzenia pojęcia obszaru otrzymaliśmy wyrażenie ogólne, uważny czytelnik powie, że nie rozważyliśmy wszystkich możliwości. Rzeczywiście, oprócz czterech opcji lokalizacji wektorów przedstawionych na ryc. 21, są jeszcze cztery (ryc. 22) Zapiszmy wektory ponownie w formie współrzędnych: Wyraźmy obszary poprzez współrzędne wektorów. 4. . Znaki w nowych wyrażeniach nie uległy zmianie, ale niestety zmieniła się orientacja w stosunku do poprzednich czterech przypadków. Dlatego dla zorientowanego obszaru zmuszeni jesteśmy napisać: . Chociaż nadzieja na genialną prostotę nie była uzasadniona, możemy jednak zapisać ogólne wyrażenie dla wszystkich czterech przypadków.

Oznacza to, że zorientowany obszar prostokąta zbudowanego na wektorach, jak na bokach, jest równy wyznacznikowi złożonemu ze współrzędnych wektorów, jak na kolumnach.

Uważamy, że czytelnik jest zaznajomiony z teorią wyznaczników, dlatego nie rozwodzimy się nad tym pojęciem szczegółowo. Podajemy jednak odpowiednie definicje, aby zmienić akcent i pokazać, że do pojęcia tego można dojść na podstawie rozważań czysto geometrycznych. , , to różne formy zapisu tego samego pojęcia - wyznacznik składający się ze współrzędnych wektorowych, podobnie jak kolumny. Równość można przyjąć za definicję przypadku dwuwymiarowego.

2. Wektor b nie jest równoległy do ​​osi x; wektor a/ jest wektorem dowolnym.

Aby sprowadzić ten przypadek do już znanych, rozważmy kilka przekształceń geometrycznych równoległoboku zbudowanego na wektorach i (rys. iloczyny mieszane wektorów i jego właściwości