Matryce. Działania na macierzach

Należy pamiętać, że elementami macierzy mogą być nie tylko liczby. Wyobraźmy sobie, że opisujesz książki, które znajdują się na Twojej półce. Niech na Twojej półce będzie porządek, a wszystkie książki w ściśle określonych miejscach. Tabela, która będzie zawierała opis Twojej biblioteki (według półek i kolejności książek na półce), będzie jednocześnie matrycą. Ale taka macierz nie będzie numeryczna. Inny przykład. Zamiast liczb istnieją różne funkcje, które łączy pewna zależność. Wynikowa tabela będzie również nazywana macierzą. Innymi słowy, macierz to dowolny prostokątny stół składający się z jednorodny elementy. Tutaj i dalej będziemy mówić o macierzach złożonych z liczb.

Zamiast nawiasów do zapisu macierzy stosuje się nawiasy kwadratowe lub proste podwójne linie pionowe

(2.1*)

Definicja 2. Jeśli w wyrażeniu(1) m = n, potem o tym rozmawiają macierz kwadratowa, i jeśli , wtedy och prostokątny.

W zależności od wartości m i n wyróżnia się niektóre specjalne typy macierzy:

Najważniejsza cecha kwadrat matrix to ona wyznacznik Lub wyznacznik, który składa się z elementów macierzy i jest oznaczony

Oczywiście DE =1; .

Definicja 3. Jeśli , potem matryca A zwany niezdegenerowany Lub nie specjalne.

Definicja 4. Jeśli deA = 0, potem matryca A zwany zdegenerowany Lub specjalny.

Definicja 5. Dwie matryce A I B są nazywane równy i napisz A = B jeśli mają te same wymiary i odpowiadające im elementy są równe, tj..

Na przykład macierze i są równe, ponieważ są one równe pod względem wielkości i każdy element jednej macierzy jest równy odpowiedniemu elementowi drugiej macierzy. Ale macierzy nie można nazwać równymi, chociaż wyznaczniki obu macierzy są równe i rozmiary macierzy są takie same, ale nie wszystkie elementy znajdujące się w tych samych miejscach są równe. Macierze są różne, ponieważ mają różne rozmiary. Pierwsza matryca ma rozmiar 2x3, a druga 3x2. Co prawda liczba elementów jest taka sama - 6, a same elementy to te same 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale znajdują się w różnych miejscach w każdej macierzy. Ale macierze są równe, zgodnie z definicją 5.

Definicja 6. Jeśli naprawisz określoną liczbę kolumn macierzy A i taką samą liczbę wierszy, wówczas elementy na przecięciu wskazanych kolumn i wierszy tworzą macierz kwadratową N- rząd, którego wyznacznik zwany drobny k – macierz trzeciego rzędu A.

Przykład. Zapisz trzy molle drugiego rzędu macierzy

Zagadnienia algebry liniowej. Pojęcie macierzy. Rodzaje macierzy. Operacje na macierzach. Rozwiązywanie problemów transformacji macierzy.

Rozwiązując różne problemy matematyczne, często masz do czynienia z tablicami liczb zwanymi macierzami. Za pomocą macierzy wygodnie jest rozwiązywać układy równań liniowych, wykonywać wiele operacji na wektorach, rozwiązywać różne problemy grafiki komputerowej i inne problemy inżynieryjne.

Macierz nazywa się prostokątna tabela liczb zawierająca ilość M linie i określoną liczbę P kolumny. Liczby T I P nazywane są porządkami macierzowymi. Jeśli T = P, macierz nazywa się kwadratem, a liczbą m = n - jej zamówienie.

W przyszłości do zapisywania macierzy będą używane podwójne myślniki lub nawiasy:

Lub

Aby krótko oznaczyć macierz, często używana będzie pojedyncza wielka litera (na przykład A) lub symbol || ij ||, a czasem z wyjaśnieniem: A = || ij || = (a ij), Gdzie (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n).

Liczby Aij, zawarte w tej macierzy nazywane są jej elementami. W nagraniu ij pierwszy indeks і oznacza numer linii i drugi indeks J- numer kolumny. W przypadku macierzy kwadratowej

(1.1)

Wprowadzono pojęcia przekątnych głównych i drugorzędnych. Główną przekątną macierzy (1.1) nazywamy przekątną 11 i 12 … anna przechodząc od lewego górnego rogu tej macierzy do jej prawego dolnego rogu. Boczna przekątna tej samej macierzy nazywana jest przekątną za n 1 za (n -1)2… a 1 n, przechodząc od lewego dolnego rogu do prawego górnego rogu.

Podstawowe operacje na macierzach i ich własności.

Przejdźmy do zdefiniowania podstawowych operacji na macierzach.

Dodawanie macierzy. Suma dwóch macierzy A = || ij || , Gdzie I B = || b ij || , Gdzie (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n) te same zamówienia T I P zwana macierzą C = || c ij || (i =1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) te same zamówienia T I P, elementy z ij które są określone przez wzór

, Gdzie (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.2)

Aby oznaczyć sumę dwóch macierzy, stosuje się notację C = A + B. Operację składania sumy macierzy nazywa się ich dodawaniem. Zatem z definicji:

+ =

Z definicji sumy macierzy, a dokładniej ze wzorów (1.2), od razu wynika, że ​​operacja dodawania macierzy ma te same właściwości, co operacja dodawania liczb rzeczywistych, a mianowicie:

1) własność przemienna: A + B = B + A,

2) właściwość asocjacyjna: ( A + B) + C = A + (B + C).

Te właściwości pozwalają nie martwić się o kolejność składników macierzy podczas dodawania dwóch lub więcej macierzy.

Mnożenie macierzy przez liczbę. Iloczyn macierzy A = || ij || , gdzie (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) przez liczbę rzeczywistą l, nazywa się macierzą C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), którego elementy określa wzór:

, Gdzie (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.3)

Aby oznaczyć iloczyn macierzy i liczby, stosuje się notację C = l A Lub C = A l. Operację składania iloczynu macierzy przez liczbę nazywa się mnożeniem macierzy przez tę liczbę.

Bezpośrednio ze wzoru (1.3) wynika, że ​​mnożenie macierzy przez liczbę ma następujące właściwości:

1) własność asocjacyjna dotycząca mnożnika liczbowego: (l m) ZA = l (m A);

2) własność rozkładu dotycząca sumy macierzy: l (A + B) = l ZA + l B;

3) własność rozdzielcza dotycząca sumy liczb: (l + m) ZA = l ZA + m A

Komentarz. Różnica dwóch macierzy A I W identyczne zamówienia T I P naturalne jest wywołanie takiej matrycy Z te same zamówienia T I P, co sumuje się z macierzą B daje macierz A. Notację naturalną stosuje się do oznaczenia różnicy dwóch macierzy: C = A - B.

Bardzo łatwo jest sprawdzić tę różnicę Z dwie matryce A I W można uzyskać według reguły C = A + (–1) V.

Iloczyn macierzy Lub mnożenie macierzy.

Produkt matrixowy A = || ij || , gdzie (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) mając odpowiednio równe zamówienia T I N, do matrixa B = || b ij || , Gdzie (i = 1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., p), mając odpowiednio równe zamówienia N I R, zwaną macierzą C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), mając odpowiednio równe rzędy T I R których elementy określa wzór:

Gdzie (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Aby oznaczyć iloczyn macierzy A do matrixa W użyj nagrania C = A × B. Operacja komponowania produktu matrycowego A do matrixa W nazywa się mnożeniem tych macierzy.

Z powyższej definicji wynika, że Macierzy A nie można pomnożyć przez każdą macierz B, konieczne jest podanie liczby kolumn macierzy A była równa liczbie wierszy macierzy W.

Wzór (1.4) jest regułą komponowania elementów macierzy C, która jest iloczynem macierzy A do matrixa W. Zasadę tę można sformułować ustnie: element c i j znajdujący się na przecięciu i-tego rzędu i j-tej kolumny macierzy C = A B jest równy sumie iloczynów parami odpowiednich elementów i-tego rzędu macierzy A i j-tej kolumny macierzy B.

Jako przykład zastosowania tej reguły podajemy wzór na mnożenie macierzy kwadratowych drugiego rzędu.

× =

Ze wzoru (1.4) wynikają następujące właściwości produktu macierzowego: A na matrixie W:

1) właściwość asocjacyjna: (A B) do = A (B C);

2) własność rozdzielcza w odniesieniu do sumy macierzy:

(A + B) C = A C + B C lub A (B + C) = A B + A C.

Pytanie o przemienność iloczynu macierzy A do matrixa W sensowne jest ustawienie go tylko dla macierzy kwadratowych A i B ta sama kolejność.

Przedstawmy ważne szczególne przypadki macierzy, dla których spełniona jest również własność permutacji. Dwie macierze, których iloczyn ma właściwość komutacji, nazywane są zwykle komutacją.

Wśród macierzy kwadratowych wyróżniamy klasę tzw. macierzy diagonalnych, z których każda ma elementy znajdujące się poza główną przekątną równe zeru. Każda diagonalna macierz rzędu P wygląda jak

D= (1.5)

Gdzie d 1, d 2,… , dn- dowolne liczby. Łatwo zauważyć, że jeśli wszystkie te liczby są sobie równe, tj. re 1 = re 2 =… = d n następnie dla dowolnej macierzy kwadratowej A zamówienie P równość jest prawdą ZA D = D A.

Spośród wszystkich macierzy diagonalnych (1,5) z pokrywającymi się elementami re 1 = re 2 =… = dn= = D Szczególnie ważną rolę odgrywają dwie macierze. Pierwszą z tych macierzy otrzymujemy metodą d = 1, zwaną macierzą tożsamości N MI. Drugą macierz uzyskuje się, gdy re = 0, nazywana jest macierzą zerową N-tego rzędu i jest oznaczone symbolem O. Zatem,

E= O=

Ze względu na to, co zostało udowodnione powyżej AE = EA I A O = O A. Co więcej, łatwo to wykazać

ZA E = mi ZA = A, ZA O = O A = 0. (1.6)

Pierwszy ze wzorów (1.6) charakteryzuje szczególną rolę macierzy tożsamości MI, podobny do roli, jaką odgrywa cyfra 1 przy mnożeniu liczb rzeczywistych. Jeśli chodzi o szczególną rolę macierzy zerowej O, wówczas ujawnia to nie tylko drugi ze wzorów (1.7), ale także elementarna sprawdzalna równość

ZA + 0 = 0 + A = A.

Podsumowując, zauważamy, że pojęcie macierzy zerowej można wprowadzić również dla macierzy niekwadratowych (zero nazywa się każdy macierz, której wszystkie elementy są równe zero).

Macierze blokowe

Załóżmy, że jakaś macierz A = || ij || za pomocą linii poziomych i pionowych dzieli się go na osobne prostokątne komórki, z których każda jest macierzą o mniejszych rozmiarach i nazywana jest blokiem macierzy pierwotnej. W takim przypadku możliwe staje się rozważenie macierzy oryginalnej A jako jakaś nowa (tzw. blokowa) macierz A = || A za b ||, którego elementami są wskazane bloki. Elementy te oznaczamy dużą literą, aby podkreślić, że są to, ogólnie rzecz biorąc, macierze, a nie liczby i (podobnie jak zwykłe elementy liczbowe) podajemy dwa indeksy, z których pierwszy wskazuje numer linii „bloku”, a drugi - numer kolumny „blok” ».

Na przykład macierz

można uznać za macierz blokową

którego elementami są następujące bloki:

Godnym uwagi faktem jest to, że główne operacje na macierzach blokowych wykonywane są według tych samych zasad, według których są wykonywane na zwykłych macierzach numerycznych, tylko bloki pełnią rolę elementów.

Pojęcie wyznacznika.

Rozważmy dowolną macierz kwadratową dowolnego rzędu P:

A= (1.7)

Z każdą taką macierzą kojarzymy dobrze określoną cechę liczbową, zwaną wyznacznikiem, odpowiadającą tej macierzy.

Jeśli zamówienie N macierz (1.7) jest równa jeden, to macierz ta składa się z jednego elementu i ja j wyznacznik pierwszego rzędu odpowiadający takiej macierzy nazwiemy wartością tego elementu.

wówczas wyznacznikiem drugiego rzędu odpowiadającym takiej macierzy jest liczba równa od 11 do 22 - od 12 do 21 i oznaczone jednym z symboli:

A więc z definicji

(1.9)

Wzór (1.9) jest regułą konstruowania wyznacznika drugiego rzędu z elementów odpowiedniej macierzy. Słowne sformułowanie tej reguły jest następujące: wyznacznik drugiego rzędu odpowiadający macierzy (1.8) jest równy różnicy iloczynu elementów na głównej przekątnej tej macierzy i iloczynu elementów na jej drugiej przekątnej. Wyznaczniki drugiego i wyższych rzędów znajdują szerokie zastosowanie w rozwiązywaniu układów równań liniowych.

Przyjrzyjmy się, jak są wykonywane operacje na macierzach w systemie MathCad . Najprostsze operacje algebry macierzowej zaimplementowano w programie MathCad w postaci operatorów. Zapis operatorów jest możliwie najbliższy ich matematycznemu działaniu. Każdy operator jest wyrażony odpowiednim symbolem. Rozważmy operacje na macierzach i wektorach w programie MathCad 2001. Wektory są szczególnym przypadkiem macierzy wymiarów n x 1, dlatego obowiązują dla nich wszystkie te same operacje, co na macierzach, chyba że wyraźnie określono ograniczenia (na przykład niektóre operacje mają zastosowanie tylko do macierzy kwadratowych n x n). Niektóre akcje obowiązują tylko dla wektorów (na przykład iloczyn skalarny), a niektóre, pomimo tej samej pisowni, działają inaczej na wektorach i macierzach.

q Po naciśnięciu przycisku OK otwiera się pole do wpisania elementów matrycy. Aby wprowadzić element macierzy, należy ustawić kursor w zaznaczonym miejscu i wpisać liczbę lub wyrażenie z klawiatury.

Aby wykonać jakąkolwiek operację przy użyciu paska narzędzi należy:

q wybierz matrycę i kliknij przycisk operacji w panelu,

q lub kliknij przycisk w panelu i w zaznaczonej pozycji wpisz nazwę macierzy.

Menu „Symbole” zawiera trzy operacje - transpozycja, inwersja, wyznacznik.

Oznacza to na przykład, że możesz obliczyć wyznacznik macierzy, uruchamiając polecenie Symbole/Macierze/Wyznacznik.

MathCAD przechowuje numer pierwszego wiersza (i pierwszej kolumny) macierzy w zmiennej ORIGIN. Domyślnie liczenie rozpoczyna się od zera. W notacji matematycznej częściej liczy się od 1. Aby MathCAD liczył liczby wierszy i kolumn od 1, należy ustawić wartość zmiennej ORIGIN:=1.

Funkcje przeznaczone do pracy z problemami algebry liniowej zebrane są w sekcji „Wektory i macierze” okna dialogowego „Wstaw funkcję” (przypominamy, że wywołuje się ją przyciskiem na panelu „Standard”). Główne z tych funkcji zostaną opisane później.

Transponować

Powiązana informacja.

Macierz to prostokątna tabela wypełniona pewnymi obiektami matematycznymi. W przeważającej części będziemy rozważać macierze z elementami z jakiejś dziedziny, chociaż wiele propozycji pozostaje aktualnych, jeśli elementy macierzy potraktujemy jako elementy pierścienia asocjacyjnego (niekoniecznie przemiennego).

Najczęściej elementy macierzy oznaczane są jedną literą i dwoma indeksami wskazującymi „adres” elementu – pierwszy indeks podaje numer wiersza zawierającego element, drugi – numer kolumny. Zatem macierz (wymiarów) jest zapisana w postaci

Macierze wstawiane z liczb powstają naturalnie przy rozważaniu układów równań liniowych

Danymi wejściowymi dla tego problemu jest zbiór współczynników, tworzących w naturalny sposób macierz

oraz zbiór wolnych członków tworzących macierz z tylko jedną kolumną. Szukamy zbioru nieznanych wartości, który, jak się okazuje, można też wygodnie przedstawić w postaci macierzy składającej się z jednej kolumny.

Ważną rolę odgrywają tak zwane macierze diagonalne. Nazwa ta odnosi się do macierzy kwadratowych, w których wszystkie elementy są równe zeru, z wyjątkiem elementów głównej przekątnej, czyli elementów na pozycjach

Oznacza się macierz diagonalną D z elementami diagonalnymi

Macierz złożona z elementów znajdujących się na przecięciach kilku wybranych wierszy macierzy A i kilku wybranych kolumn nazywana jest podmacierzą macierzy A. Jeżeli są numerami wybranych wierszy i są numerami wybranych kolumn, to odpowiadającą jej podmacierzą jest

W szczególności wiersze i kolumny macierzy można uznać za jej podmacierze.

Macierze w naturalny sposób powiązane są z liniowym podstawieniem (transformacją liniową) zmiennych. Nazwa ta nawiązuje do przejścia z pierwotnego systemu zmiennych do innego, nowego, powiązanego wzorami

Liniowe podstawienie zmiennych określa się za pomocą macierzy współczynników

Wśród układów równań liniowych największe znaczenie mają układy, w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych. Wśród podstawień liniowych zmiennych główną rolę odgrywają podstawienia, w których liczba zmiennych pierwotnych i nowych jest taka sama. W takich sytuacjach macierz współczynników okazuje się kwadratowa, to znaczy mająca tę samą liczbę wierszy i kolumn; liczba ta nazywana jest rzędem macierzy kwadratowej.

Zamiast mówić „macierz składająca się z jednego wiersza” i „macierz składająca się z jednej kolumny”, mówią w skrócie: wiersz, kolumna.

Matryce. Działania na macierzach. Własności operacji na macierzach. Rodzaje macierzy.

Macierze (i odpowiednio sekcja matematyczna - algebra macierzy) są ważne w matematyce stosowanej, ponieważ pozwalają zapisać znaczną część modeli matematycznych obiektów i procesów w dość prostej formie. Termin „matryca” pojawił się w 1850 r. Pierwsze wzmianki o macierzach pojawiły się w starożytnych Chinach, a później przez matematyków arabskich.

Matryca A=A min wywoływane jest zamówienie m*n prostokątna tabela liczb zawierająca m - wierszy i n - kolumn.

Elementy macierzy Aij, dla których i=j nazywane są przekątną i formą główna przekątna.

W przypadku macierzy kwadratowej (m=n) główną przekątną tworzą elementy a 11, a 22,..., an nn.

Równość macierzy.

A=B, jeśli macierz porządku A I B są takie same i a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Działania na macierzach.

1. Dodawanie macierzy - działanie elementarne

2. Odejmowanie macierzy - działanie elementarne

3. Iloczyn macierzy i liczby jest operacją elementarną

4. Mnożenie A*B macierze zgodnie z regułą wiersz do kolumny(liczba kolumn macierzy A musi być równa liczbie wierszy macierzy B)

A mk *B kn =C mn i każdy element z ij matryce Cmn jest równa sumie iloczynów elementów i-tego rzędu macierzy A przez odpowiednie elementy j-tej kolumny macierzy B, tj.

Zademonstrujmy działanie mnożenia macierzy na przykładzie

5. Potęgowanie

m>1 jest dodatnią liczbą całkowitą. A jest macierzą kwadratową (m=n), tj. istotne tylko dla macierzy kwadratowych

6. Macierz transponująca A. Macierz transponowana jest oznaczona przez A T lub A"

Zamieniono wiersze i kolumny

Przykład

Własności operacji na macierzach

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)”=λ(A)”

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Rodzaje macierzy

1. Prostokątny: M I N- dowolne dodatnie liczby całkowite

2. Kwadrat: m=n

3. Wiersz macierzy: m=1. Na przykład (1 3 5 7) - w wielu praktycznych problemach taką macierz nazywa się wektorem

4. Kolumna macierzy: n=1. Na przykład

5. Macierz diagonalna: m=n I a ij =0, Jeśli i≠j. Na przykład

6. Macierz tożsamości: m=n I

7. Macierz zerowa: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Macierz trójkątna: wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej wynoszą 0.

9. Macierz symetryczna: m=n I a ij = a ji(tj. równe elementy znajdują się w miejscach symetrycznych względem głównej przekątnej), a zatem A"=A

Na przykład,

10. Macierz skośno-symetryczna: m=n I a ij = -a ji(tj. przeciwległe elementy znajdują się w miejscach symetrycznych względem głównej przekątnej). W związku z tym na głównej przekątnej znajdują się zera (od kiedy ja=j mamy a ii = -a ii)

Jasne, A"=-A

11. Macierz hermitowska: m=n I a ii =-ã ii (ã ji- złożony - sprzężony z ji, tj. Jeśli A=3+2i, a następnie złożony koniugat ã=3-2i)

Instrukcje. W przypadku rozwiązania online należy określić wyrażenie macierzowe. W drugim etapie konieczne będzie wyjaśnienie wymiaru macierzy. Poprawne operacje: mnożenie (*), dodawanie (+), odejmowanie (-), macierz odwrotna A^(-1), potęgowanie (A^2, B^3), transpozycja macierzy (A^T).

Poprawne operacje: mnożenie (*), dodawanie (+), odejmowanie (-), macierz odwrotna A^(-1), potęgowanie (A^2, B^3), transpozycja macierzy (A^T).
Aby wykonać listę operacji, użyj separatora średnika (;). Na przykład, aby wykonać trzy operacje:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
będziesz musiał napisać to w ten sposób: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Macierz to prostokątna tablica liczbowa z m wierszami i n kolumnami, więc macierz można schematycznie przedstawić jako prostokąt.
Macierz zerowa (macierz zerowa) jest macierzą, której wszystkie elementy są równe zero i są oznaczone przez 0.
Macierz jednostkowa nazywa się macierzą kwadratową postaci

Zdefiniujmy podstawowe operacje na macierzach.

Dodawanie macierzy

Przykład 6. .
Operacja dodawania macierzy rozciąga się na przypadek dowolnej liczby terminów. Oczywiście A+0=A.
Podkreślmy jeszcze raz, że można dodawać tylko macierze o tym samym rozmiarze; Dla macierzy o różnych rozmiarach operacja dodawania nie jest zdefiniowana.

Odejmowanie macierzy

Mnożenie macierzy

Definicja . Niech dwie macierze A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) i B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), a liczba kolumn A jest równa liczbie wierszy B. Iloczynem A i B jest macierz C=||c i k ||, której elementy znajdują się ze wzoru .
Oznaczone jako C=A·B.
Schematycznie operację mnożenia macierzy można przedstawić w następujący sposób:

oraz zasada obliczania elementu w produkcie:

Podkreślmy jeszcze raz, że iloczyn A·B ma sens wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszego czynnika jest równa liczbie wierszy drugiego, a iloczyn daje macierz, której liczba wierszy jest równa liczba wierszy pierwszego czynnika, a liczba kolumn jest równa liczbie kolumn drugiego. Wynik mnożenia możesz sprawdzić za pomocą specjalnego kalkulatora online.

Przykład 7. Dane macierze I . Znajdź macierze C = A·B i D = B·A.
Rozwiązanie. Przede wszystkim zauważ, że iloczyn A·B istnieje, ponieważ liczba kolumn A jest równa liczbie wierszy B.

Przykład 8. Biorąc pod uwagę macierz . Znajdź 3A 2 – 2A.
Rozwiązanie.

.
; .
.
Zwróćmy uwagę na następujący ciekawy fakt.
Jak wiadomo, iloczyn dwóch liczb niezerowych nie jest równy zero. W przypadku macierzy podobna okoliczność może nie wystąpić, czyli iloczyn niezerowych macierzy może okazać się równy macierzy zerowej.