Definicja nieskończenie dużej funkcji. Definicja nieskończenie dużego ciągu: Nieskończenie duży i ich własności

Definicje i własności nieskończenie małych i nieskończenie dużych funkcji w punkcie. Dowody własności i twierdzeń. Związek między funkcjami nieskończenie małymi i nieskończenie dużymi.

Zobacz też: Ciągi nieskończenie małe - definicja i właściwości
Własności ciągów nieskończenie dużych

Definicja funkcji nieskończenie małych i nieskończenie małych

Niech x 0 jest punktem skończonym lub nieskończonym: ∞, -∞ lub +∞.

Definicja funkcji nieskończenie małej
Funkcja α (X) zwany nieskończenie mały ponieważ x ma tendencję do x 0 0 , i jest równe zeru:
.

Definicja nieskończenie dużej funkcji
Funkcja f (X) zwany nieskończenie duży ponieważ x ma tendencję do x 0 , jeśli funkcja ma granicę jako x → x 0 , i jest równe nieskończoności:
.

Własności funkcji nieskończenie małych

Własność sumy, różnicy i iloczynu funkcji nieskończenie małych

Suma, różnica i iloczyn skończona liczba nieskończenie małych funkcji jako x → x 0 jest nieskończenie małą funkcją jako x → x 0 .

Własność ta jest bezpośrednią konsekwencją właściwości arytmetycznych granic funkcji.

Twierdzenie o iloczynu funkcji ograniczonej i nieskończenie małej

Iloczyn funkcji ograniczonej na pewnym przebitym sąsiedztwie punktu x 0 , do nieskończenie małego, jako x → x 0 , jest nieskończenie małą funkcją jako x → x 0 .

Właściwość przedstawiania funkcji jako sumy funkcji stałej i nieskończenie małej

Aby funkcja f (X) ma skończoną granicę, jest to konieczne i wystarczające
,
gdzie jest nieskończenie małą funkcją jako x → x 0 .

Własności nieskończenie dużych funkcji

Twierdzenie o sumie funkcji ograniczonej i nieskończenie dużej

Suma lub różnica ograniczonej funkcji w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu x 0 i nieskończenie dużą funkcję, jak x → x 0 , jest nieskończenie dużą funkcją jako x → x 0 .

Twierdzenie o dzieleniu funkcji ograniczonej przez nieskończenie dużą

Jeśli funkcja f (X) jest nieskończenie duża jako x → x 0 i funkcja g (X)- jest ograniczony przez jakieś przebite otoczenie punktu x 0 , To
.

Twierdzenie o podziale funkcji ograniczonej od dołu przez nieskończenie małą

Jeżeli funkcja , w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu , jest ograniczona od dołu liczbą dodatnią w wartości bezwzględnej:
,
a funkcja jest nieskończenie mała jako x → x 0 :
,
i istnieje przebite sąsiedztwo punktu, w którym , następnie
.

Własność nierówności nieskończenie dużych funkcji

Jeśli funkcja jest nieskończenie duża w:
,
oraz funkcje i , w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu spełniają nierówność:
,
wówczas funkcja jest również nieskończenie duża w:
.

Ta właściwość ma dwa szczególne przypadki.

Niech na pewnym przebitym sąsiedztwie punktu funkcje i spełniają nierówność:
.
Wtedy jeśli , to i .
Jeśli , to i .

Zależność pomiędzy funkcjami nieskończenie dużymi i nieskończenie małymi

Z dwóch poprzednich właściwości wynika związek między nieskończenie dużymi i nieskończenie małymi funkcjami.

Jeśli funkcja jest nieskończenie duża w , to jest nieskończenie mała w .

Jeśli funkcja jest nieskończenie mała dla , i , to funkcja jest nieskończenie duża dla .

Związek między nieskończenie małą a nieskończenie dużą funkcją można wyrazić symbolicznie:
, .

Jeśli nieskończenie mała funkcja ma pewien znak w , to znaczy jest dodatnia (lub ujemna) w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu , to możemy zapisać to w ten sposób:
.
W ten sam sposób, jeśli nieskończenie duża funkcja ma pewien znak w , to piszą:
, Lub .

Wówczas symboliczne powiązanie pomiędzy nieskończenie małymi i nieskończenie dużymi funkcjami można uzupełnić następującymi relacjami:
, ,
, .

Dodatkowe wzory dotyczące symboli nieskończoności można znaleźć na stronie
„Punkty w nieskończoności i ich właściwości”.

Dowód własności i twierdzeń

Dowód twierdzenia o iloczynie funkcji ograniczonej i nieskończenie małej

Aby udowodnić to twierdzenie, użyjemy . Korzystamy także z własności ciągów nieskończenie małych, zgodnie z którą

Niech funkcja będzie nieskończenie mała w , i niech będzie ograniczona w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu:
Na .

Ponieważ istnieje granica, istnieje przebite sąsiedztwo punktu, w którym zdefiniowano funkcję. Niech będzie skrzyżowanie dzielnic i . Następnie definiuje się na nim funkcje i.

.
,
ciąg jest nieskończenie mały:
.

Skorzystajmy z faktu, że iloczyn ciągu ograniczonego i ciągu nieskończenie małego jest ciągiem nieskończenie małym:
.
.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Dowód własności przedstawiania funkcji jako sumy funkcji stałej i nieskończenie małej

Konieczność. Niech funkcja ma skończoną granicę w punkcie
.
Rozważ funkcję:
.
Korzystając z własności granicy różnicy funkcji mamy:
.
Oznacza to, że istnieje nieskończenie mała funkcja w .

Adekwatność. Niech będzie. Zastosujmy własność granicy sumy funkcji:
.

Właściwość została udowodniona.

Dowód twierdzenia o sumie funkcji ograniczonej i nieskończenie dużej

Aby udowodnić twierdzenie, skorzystamy z definicji granicy funkcji Heinego

Na .

Ponieważ istnieje granica, istnieje przebite sąsiedztwo punktu, w którym zdefiniowano funkcję. Niech będzie skrzyżowanie dzielnic i . Następnie definiuje się na nim funkcje i.

Niech istnieje dowolny ciąg zbieżny do , którego elementy należą do sąsiedztwa:
.
Następnie definiuje się ciągi i. Ponadto kolejność jest ograniczona:
,
ciąg jest nieskończenie duży:
.

Ponieważ suma lub różnica sekwencji ograniczonej i nieskończenie dużej
.
Wówczas, zgodnie z definicją granicy ciągu według Heinego,
.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Dowód twierdzenia o ilorazu podziału funkcji ograniczonej przez nieskończenie dużą

Aby to udowodnić, skorzystamy z definicji granicy funkcji Heinego. Korzystamy także z własności ciągów nieskończenie dużych, zgodnie z którą jest to ciąg nieskończenie mały.

Niech funkcja będzie nieskończenie duża w , i niech będzie ograniczona w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu:
Na .

Ponieważ funkcja jest nieskończenie duża, istnieje przebite sąsiedztwo punktu, w którym jest ona zdefiniowana i nie zanika:
Na .
Niech będzie skrzyżowanie dzielnic i . Następnie definiuje się na nim funkcje i.

Niech istnieje dowolny ciąg zbieżny do , którego elementy należą do sąsiedztwa:
.
Następnie definiuje się ciągi i. Ponadto kolejność jest ograniczona:
,
ciąg jest nieskończenie duży i ma niezerowe wyrazy:
, .

Ponieważ iloraz podzielenia ograniczonego ciągu przez nieskończenie duży jest zatem ciągiem nieskończenie małym
.
Wówczas, zgodnie z definicją granicy ciągu według Heinego,
.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Dowód twierdzenia o ilorazu dotyczącego dzielenia funkcji ograniczonej poniżej przez nieskończenie małą

Aby udowodnić tę własność, skorzystamy z definicji granicy funkcji Heinego. Korzystamy także z własności ciągów nieskończenie dużych, zgodnie z którą jest to ciąg nieskończenie duży.

Niech funkcja będzie nieskończenie mała dla , i niech będzie ograniczona wartością bezwzględną od dołu przez liczbę dodatnią, w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu:
Na .

Warunkowo istnieje przebite sąsiedztwo punktu, w którym funkcja jest zdefiniowana i nie zanika:
Na .
Niech będzie skrzyżowanie dzielnic i . Następnie definiuje się na nim funkcje i. Co więcej, i.

Niech istnieje dowolny ciąg zbieżny do , którego elementy należą do sąsiedztwa:
.
Następnie definiuje się ciągi i. Ponadto ciąg jest ograniczony poniżej:
,
a sekwencja jest nieskończenie mała z niezerowymi wyrazami:
, .

Ponieważ iloraz dzielenia ciągu ograniczonego od dołu przez nieskończenie mały jest ciągiem nieskończenie dużym, to
.
I niech będzie przebite sąsiedztwo punktu, w którym
Na .

Weźmy dowolny ciąg zbieżny do . Wtedy zaczynając od pewnej liczby N, elementy ciągu będą należeć do tego sąsiedztwa:
Na .
Następnie
Na .

Zgodnie z definicją granicy funkcji według Heinego,
.
Następnie, z własności nierówności nieskończenie dużych ciągów,
.
Ponieważ ciąg jest dowolny, zbiegający się do , to zgodnie z definicją granicy funkcji według Heinego,
.

Właściwość została udowodniona.

Bibliografia:
L.D. Kudryavtsev. Kurs analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 2003.

Funkcje nieskończenie małe

Wywoływana jest funkcja %%f(x)%%. nieskończenie mały(b.m.) z %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, jeśli przy tej tendencji argumentu granica funkcji jest równa zeru.

Koncepcja b.m. Funkcja jest nierozerwalnie powiązana z instrukcjami zmiany jej argumentu. Możemy porozmawiać o b.m. działa przy %%a \to a + 0%% i %%a \to a - 0%%. Zwykle b.m. funkcje są oznaczone pierwszymi literami alfabetu greckiego %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Przykłady

1. Funkcja %%f(x) = x%% to b.m. przy %%x \to 0%%, ponieważ jego granica w punkcie %%a = 0%% wynosi zero. Zgodnie z twierdzeniem o związku granicy dwustronnej z granicą jednostronną funkcja ta ma postać b.m. zarówno z %%x \to +0%%, jak i %%x \to -0%%.
2. Funkcja %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. przy %%x \to \infty%% (jak również przy %%x \to +\infty%% i %%x \to -\infty%%).

Stała liczba różna od zera, niezależnie od tego, jak mała jest jej wartość bezwzględna, nie jest b.m. funkcjonować. W przypadku liczb stałych jedynym wyjątkiem jest zero, ponieważ funkcja %%f(x) \equiv 0%% ma granicę zera.

Twierdzenie

Funkcja %%f(x)%% ma w punkcie %%a \in \overline(\mathbb(R))%% rozszerzonej osi liczbowej końcową granicę równą liczbie %%b%% wtedy i tylko jeśli ta funkcja jest równa sumie tej liczby %%b%% i b.m. funkcje %%\alpha(x)%% z %%x \to a%% lub $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Własności funkcji nieskończenie małych

Zgodnie z regułami przejścia do granicy z %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, następują następujące stwierdzenia:

1. Suma końcowej liczby b.m. funkcje dla %%x \to a%% to b.m. w %%x \do a%%.
2. Iloczyn dowolnej liczby b.m. funkcje dla %%x \to a%% to b.m. w %%x \do a%%.

Produkt b.m. funkcji w %%x \to a%% i funkcją ograniczoną w pewnym przebitym sąsiedztwie %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% punktu a, jest b.m. w %%x \do funkcji%%.

Jasne jest, że iloczyn stałej funkcji i b.m. w %%x \to a%% jest b.m. funkcja w %%x \to a%%.

Równoważne funkcje nieskończenie małe

Wywoływane są nieskończenie małe funkcje %%\alpha(x), \beta(x)%% dla %%x \to a%% równowartość i napisz %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, if

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alfa(x))) = 1. $$

Twierdzenie o podstawieniu b.m. funkcje równoważne

Niech %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% będzie b.m. funkcje dla %%x \to a%% i %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, następnie $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limity_(x \do a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Odpowiednik b.m. Funkcje.

Niech %%\alpha(x)%% będzie b.m. wówczas funkcja w %%x \to a%%.

1. %%\sin(\alfa(x)) \sim \alfa(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alfa (x)) \sim \frac(\alfa ^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alfa(x) \sim \alfa(x)%%
4. %%\arcsin\alfa(x) \sim \alfa(x)%%
5. %%\arctan\alfa(x) \sim \alfa(x)%%
6. %%\ln(1 + \alfa(x)) \sim \alfa(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alfa(x)) - 1 \sim \frac(\alfa(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alfa (x)) - 1 \sim \alfa(x) \ln(a)%%

Przykład

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(tablica) $$

Nieskończenie duże funkcje

Wywoływana jest funkcja %%f(x)%%. nieskończenie duży(b.b.) z %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, jeśli przy tej tendencji argumentu funkcja ma nieskończoną granicę.

Podobny do b.m. koncepcja funkcji b.b. Funkcja jest nierozerwalnie powiązana z instrukcjami zmiany jej argumentu. Możemy porozmawiać o b.b. funkcje dla %%x \to a + 0%% i %%x \to a - 0%%. Określenie „nieskończenie duża” nie mówi o wartości bezwzględnej funkcji, ale o charakterze jej zmiany w pobliżu rozpatrywanego punktu. Żadna stała liczba, niezależnie od tego, jak duża jest jej wartość bezwzględna, nie jest nieskończenie duża.

Przykłady

1. Funkcja %%f(x) = 1/x%% - b.b. przy %%x \do 0%%.
2. Funkcja %%f(x) = x%% - b.b. w %%x \to \infty%%.

Jeśli warunki definicji $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(tablica) $$

potem o tym rozmawiają pozytywny Lub negatywny nocleg ze śniadaniem. przy funkcji %%a%%.

Przykład

Funkcja %%1/(x^2)%% - dodatni t.b. przy %%x \do 0%%.

Związek pomiędzy b.b. i b.m. Funkcje

Jeśli %%f(x)%% to b.b. z funkcją %%x \to a%%, następnie %%1/f(x)%% - b.m.

w %%x \do a%%. Jeśli %%\alpha(x)%% - b.m. dla %%x \to a%% jest niezerową funkcją w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu %%a%%, wówczas %%1/\alpha(x)%% jest b.b. w %%x \do a%%.

Własności nieskończenie dużych funkcji

Przedstawmy kilka właściwości bb. Funkcje. Właściwości te wynikają bezpośrednio z definicji b.b. funkcje i własności funkcji mających skończone granice, a także z twierdzenia o związku pomiędzy b.b. i b.m. Funkcje.

1. Iloczyn skończonej liczby b.b. funkcje dla %%x \to a%% to b.b. funkcja w %%x \to a%%. Rzeczywiście, jeśli %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. funkcja w %%x \to a%%, następnie w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, oraz na podstawie twierdzenia o połączeniu b.b. i b.m. funkcje %%1/f_k(x)%% - b.m. funkcja w %%x \to a%%. Okazuje się, że %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - b.m funkcja dla %%x \to a%% i %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - b.b. funkcja w %%x \to a%%.
2. Produkt b.b. funkcje dla %%x \to a%%, a funkcja, która w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu %%a%% w wartości bezwzględnej jest większa od stałej dodatniej, to b.b. funkcja w %%x \to a%%. W szczególności produkt b.b. funkcja z %%x \to a%% i funkcja, która ma skończoną niezerową granicę w punkcie %%a%% będzie b.b. funkcja w %%x \to a%%.

Suma funkcji ograniczonej w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu %%a%% i b.b. funkcje z %%x \to a%% to b.b. funkcja w %%x \to a%%.

Na przykład funkcje %%x - \sin x%% i %%x + \cos x%% to b.b. w %%x \to \infty%%.

3. Suma dwóch b.b. działa w %%x \to a%% występuje niepewność. W zależności od znaku wyrazów charakter zmiany takiej sumy może być bardzo różny.

   Przykład

   Niech zostaną podane funkcje %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%%. działa w %%x \to \infty%%. Następnie:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. funkcja w %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. funkcja w %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% nie ma ograniczenia w %%x \to \infty%%.

Definicja funkcji numerycznej. Metody określania funkcji.

Niech D będzie zbiorem na osi liczbowej R. Jeżeli każdemu x należącemu do D towarzyszy pojedyncza liczba y=f(x), to mówimy, że dana jest funkcja f.

Metody określania funkcji:

1) tabelaryczny – dla funkcji zdefiniowanych na zbiorze skończonym.

2) analityczne

3) grafika

2 i 3 – dla funkcji zdefiniowanych na zbiorze nieskończonym.

Pojęcie funkcji odwrotnej.

Jeżeli funkcja y=f(x) jest taka, że ​​różnym wartościom argumentu x odpowiadają różne wartości funkcji, to zmienną x można wyrazić jako funkcję zmiennej y: x=g(y ). Funkcja g nazywana jest odwrotnością f i jest oznaczona przez f^(-1).

Pojęcie funkcji złożonej.

Funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest dowolna inna funkcja.

Niech będą dane funkcje f(x) i g(x). Zróbmy z nich dwie złożone funkcje. Uznając funkcję f za zewnętrzną (główną), a funkcję g za wewnętrzną, otrzymujemy funkcję zespoloną u(x)=f(g(x)).

Wyznaczanie granicy ciągu.

Liczbę a nazywamy granicą ciągu (xn), jeżeli dla dowolnego dodatniego istnieje liczba n0, od której wszystkie wyrazy ciągu różnią się od a in modułem o mniej niż ε (tzn. wpadają w sąsiedztwo ε punktu a):

Zasady obliczania granic ciągów zbieżnych.

1. Każdy ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę. 2. Jeżeli wszystkie elementy ciągu (x n) są równe C (stała), to granica ciągu (x n) również jest równa C. 3. ; 4. ; 5. .

Definicja sekwencji ograniczonej.

Ciąg (x n) nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór liczb X=(x n) jest ograniczony: .

Definicja ciągu nieskończenie małego.

Mówi się, że ciąg (x n) jest nieskończenie mały, jeśli dla dowolnej (nieważne jak małej) >0 istnieje liczba n 0 taka, że ​​dla dowolnego n>n 0 nierówność |x n |< .

Definicja nieskończenie dużego ciągu.

Mówi się, że ciąg jest nieskończenie duży, jeśli dla dowolnej (nieważnej jak dużej) liczby A>0 istnieje liczba n 0 taka, że ​​dla każdej liczby n>n 0 zachodzi nierówność |x n |>A.

Definicja ciągów monotonicznych.

Sekwencje monotonne: 1) zwiększenie ifx n x n +1 dla wszystkich n, 4) nierosnące, jeśli x n x n +1 dla wszystkich n.

Wyznaczanie granicy funkcji w punkcie.

Granicą funkcji y=f(x) w punkcie x 0 (lub w x x 0) jest liczba a jeśli dla dowolnego ciągu (x n) wartości argumentu zbieżnego do x 0 (wszystkie x n x 0), ciąg (f(x n)) wartości funkcji zbiega się do granicy a.

Definicja funkcji nieskończenie małej.

F-iya Mówi się, że f(x) jest nieskończenie małe jako x → A, jeśli .

Definicja nieskończenie dużej funkcji.

F-iya Mówi się, że f(x) jest nieskończenie duże dla x → A, jeśli .

Rachunek nieskończenie małych i dużych

Nieskończenie mały rachunek różniczkowy- obliczenia wykonywane na wielkościach nieskończenie małych, w których otrzymany wynik traktuje się jako nieskończoną sumę nieskończenie małych. Rachunek nieskończenie małych jest ogólną koncepcją rachunku różniczkowego i całkowego, która stanowi podstawę współczesnej matematyki wyższej. Pojęcie nieskończenie małej ilości jest ściśle powiązane z pojęciem granicy.

Nieskończenie mały

Podciąg A N zwany nieskończenie mały, Jeśli . Na przykład ciąg liczb jest nieskończenie mały.

Funkcja nazywa się nieskończenie małe w pobliżu punktu X 0 jeśli .

Funkcja nazywa się nieskończenie małe w nieskończoności, Jeśli Lub .

Nieskończenie mała jest także funkcja będąca różnicą między funkcją a jej granicą, to znaczy jeśli , To F(X) − A = α( X) , .

Nieskończenie duża ilość

Podciąg A N zwany nieskończenie duży, Jeśli .

Funkcja nazywa się nieskończenie duża w pobliżu punktu X 0 jeśli .

Funkcja nazywa się nieskończenie duży w nieskończoności, Jeśli Lub .

We wszystkich przypadkach zakłada się, że nieskończoność po prawej stronie równości ma określony znak (albo „plus”, albo „minus”). To jest na przykład funkcja X grzech X nie jest nieskończenie duży w .

Własności nieskończenie małe i nieskończenie duże

Porównanie wielkości nieskończenie małych

Jak porównać nieskończenie małe ilości?
Stosunek wielkości nieskończenie małych tworzy tzw. niepewność.

Definicje

Załóżmy, że mamy nieskończenie małe wartości α( X) i β( X) (lub, co nie jest istotne dla definicji, ciągi nieskończenie małe).

Aby obliczyć takie granice, wygodnie jest skorzystać z reguły L'Hopitala.

Przykłady porównawcze

Równoważne wartości

Definicja

Jeśli , to nazywa się nieskończenie małe wielkości α i β równowartość ().
Jest oczywiste, że ilości równoważne są szczególnym przypadkiem nieskończenie małych ilości tego samego rzędu małości.

Gdy obowiązują następujące relacje równoważności: , , .

Twierdzenie

Twierdzenie to ma praktyczne znaczenie przy znajdowaniu granic (patrz przykład).

Przykład użycia

Szkic historyczny

Pojęcie „nieskończenie małego” było omawiane już w starożytności w związku z koncepcją niepodzielnych atomów, ale nie było uwzględniane w matematyce klasycznej. Odrodziła się ponownie wraz z pojawieniem się w XVI wieku „metody niepodzielności” – podziału badanej figury na nieskończenie małe sekcje.

W XVII wieku miała miejsce algebraizacja rachunku nieskończenie małego. Zaczęto je definiować jako wielkości liczbowe, które są mniejsze od dowolnej ilości skończonej (niezerowej), a jednocześnie nie są równe zeru. Sztuka analizy polegała na stworzeniu relacji zawierającej nieskończenie małe (różniczki) i następnie jej całkowaniu.

Matematycy ze starej szkoły wystawili tę koncepcję na próbę nieskończenie mały ostra krytyka. Michel Rolle napisał, że nowy rachunek różniczkowy jest „ zestaw genialnych błędów"; Voltaire zjadliwie zauważył, że rachunek różniczkowy to sztuka obliczania i dokładnego mierzenia rzeczy, których istnienia nie można udowodnić. Nawet Huygens przyznał, że nie rozumiał znaczenia różniczek wyższych rzędów.

Za ironię losu można uznać pojawienie się w połowie stulecia niestandardowych analiz, które dowiodły, że pierwotny punkt widzenia – rzeczywiste nieskończenie małe – również był spójny i mógł stanowić podstawę analiz.

Zobacz też

Fundacja Wikimedia. 2010.

Zobacz, co oznacza „nieskończenie duży” w innych słownikach:

Zmienna ilość Y jest odwrotnością nieskończenie małej wielkości X, czyli Y = 1/X... Wielki słownik encyklopedyczny

Zmienna y jest odwrotnością nieskończenie małego x, to znaczy y = 1/x. * * * NIESKOŃCZONE DUŻE NIESKOŃCZONE DUŻE, zmienna ilość Y, odwrotna do nieskończenie małej wielkości X, czyli Y = 1/X... słownik encyklopedyczny

W matematyce zmienna wielkość, która w danym procesie zmian staje się i pozostaje większa w wartości bezwzględnej niż jakakolwiek z góry określona liczba. Studium B.b. ilości można sprowadzić do badania nieskończenie małych (patrz... ... Wielka encyklopedia radziecka

Funkcjonować y=f(x) zwany nieskończenie mały Na x → a albo kiedy X→∞, jeśli lub , tj. funkcja nieskończenie mała to funkcja, której granica w danym punkcie wynosi zero.

Przykłady.

1. Funkcja k(x)=(X-1) 2 jest nieskończenie małe w X→1, ponieważ (patrz rysunek).

2. Funkcja k(x)= tg X– nieskończenie mały przy X→0.

3. k(x)= log(1+ X) – nieskończenie przy X→0.

4. k(x) = 1/X– nieskończenie mały przy X→∞.

Ustalmy następującą ważną zależność:

Twierdzenie. Jeśli funkcja y=f(x) reprezentowalny z x → a jako suma liczby stałej B i nieskończenie mała wielkość α(x): f (x)=b+ α(x) To .

I odwrotnie, jeśli , to fa (x)=b+α(x), Gdzie topór)– nieskończenie mały przy x → a.

Dowód.

1. Udowodnimy pierwszą część twierdzenia. Od równości f(x)=b+α(x) powinien |f(x) – b|=| α|. Lecz odkąd topór) jest nieskończenie mała, to dla dowolnego ε istnieje δ – otoczenie punktu A, przed wszystkimi X z czego, wartości topór) zaspokoić relację |α(x)|< ε. Następnie |f(x) – b|< ε. A to oznacza, że.

2. Jeśli , to dla dowolnego ε >0 dla wszystkich X od pewnego δ – sąsiedztwo punktu A będzie |f(x) – b|< ε. Ale jeśli oznaczymy f(x) – b= α, To |α(x)|< ε, co oznacza, że A– nieskończenie małe.

Rozważmy podstawowe właściwości funkcji nieskończenie małych.

Twierdzenie 1. Suma algebraiczna dwóch, trzech i ogólnie dowolnej skończonej liczby nieskończenie małych jest funkcją nieskończenie małą.

Dowód. Przedstawmy dowód dla dwóch wyrazów. Pozwalać f(x)=α(x)+β(x), gdzie i . Musimy udowodnić, że dla dowolnie małego ε > Znaleziono 0 δ> 0, tak że dla X, spełniając nierówność |x – a|<δ , wykonane |f(x)|< ε.

Ustalmy więc dowolną liczbę ε > 0. Ponieważ zgodnie z warunkami twierdzenia α(x) jest funkcją nieskończenie małą, to istnieje takie δ 1 > 0, czyli |x – a|< δ 1 mamy |α(x)|< ε / 2. Podobnie od β(x) jest nieskończenie małe, to istnieje takie δ 2 > 0, czyli |x – a|< δ2 mamy | β(x)|< ε / 2.

Weźmy δ=min(δ 1 , δ2 } .Następnie w pobliżu punktu A promień δ każda z nierówności będzie spełniona |α(x)|< ε / 2 i | β(x)|< ε / 2. Dlatego w tej okolicy nie będzie

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

te. |f(x)|< ε, co należało udowodnić.

Twierdzenie 2. Iloczyn funkcji nieskończenie małej topór) dla ograniczonej funkcji k(x) Na x → a(albo kiedy x → ∞) jest funkcją nieskończenie małą.

Dowód. Ponieważ funkcja k(x) jest ograniczona, to jest liczba M tak, że dla wszystkich wartości X z jakiegoś sąsiedztwa punktu a|f(x)|≤M. Co więcej, od topór) jest nieskończenie małą funkcją w x → a, następnie dla dowolnego ε > 0 istnieje sąsiedztwo punktu A, w którym nierówność będzie zachowana |α(x)|< ε /M. Następnie w mniejszej z tych dzielnic, które mamy | αf|< ε /M= ε. A to oznacza, że af– nieskończenie małe. Z okazji x → ∞ dowód przeprowadza się analogicznie.

Z udowodnionego twierdzenia wynika:

Wniosek 1. Jeśli i wtedy.

Konsekwencja 2. Jeśli c= stała, następnie .

Twierdzenie 3. Stosunek funkcji nieskończenie małej α(x) na funkcję k(x), którego granica jest różna od zera, jest funkcją nieskończenie małą.

Dowód. Pozwalać . Następnie 1 /f(x) istnieje ograniczona funkcja. Dlatego ułamek jest iloczynem nieskończenie małej funkcji i ograniczonej funkcji, tj. funkcja jest nieskończenie mała.