§7. Przykłady przestrzeni liniowych

Nazywana jest również powłoką liniową wygenerowana podprzestrzeń X. Zwykle oznaczane. Mówi się również, że powłoka liniowa rozciągnięty pęczek X .

Nieruchomości

Zobacz też

Spinki do mankietów

Fundacja Wikimedia. 2010.

• Jangara
• Saldo płatności

Zobacz, co „powłoka liniowa” znajduje się w innych słownikach:

POWŁOKA LINIOWA- przecięcie M wszystkich podprzestrzeni zawierających zbiór przestrzeni wektorowej E. Ponadto Mnaz. także podprzestrzeń wygenerowana przez A.M.I. Voitsekhovsky'ego... Encyklopedia matematyczna

Liniowe wektory powłokowe

Liniowe wektory powłokowe- zbiór kombinacji liniowych tych wektorów ∑αiаi ze wszystkimi możliwymi współczynnikami (α1, …, αn) … Słownik ekonomiczny i matematyczny

liniowe wektory powłokowe- Zbiór kombinacji liniowych tych wektorów?iai ze wszystkimi możliwymi współczynnikami (?1, …, ?n). Tematy ekonomia PL kadłub liniowy…

algebra liniowa- Dyscyplina matematyczna, dział algebry, obejmujący w szczególności teorię równań liniowych, macierzy i wyznaczników oraz teorię przestrzeni wektorowych (liniowych). Zależność liniowa „zależność postaci: a1x1 + a2x2 + … +… … Przewodnik tłumacza technicznego

Zależność liniowa- „związek postaci: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, gdzie a1, a2, …, an są liczbami, z których przynajmniej jedna jest różna od zera; x1, x2, ..., xn to pewne obiekty matematyczne, dla których zdefiniowano operacje dodawania... Słownik ekonomiczny i matematyczny

Powłoka- patrz Powłoka liniowa... Słownik ekonomiczny i matematyczny

Zależność liniowa

Kombinacja liniowa- Przestrzeń liniowa, czyli przestrzeń wektorowa, jest głównym przedmiotem badań algebry liniowej. Spis treści 1 Definicja 2 Najprostsze właściwości 3 Powiązane definicje i właściwości ... Wikipedia

GRUPA LINIOWA jest grupą przekształceń liniowych przestrzeni wektorowej V o skończonym wymiarze n nad jakimś ciałem K. Wybór bazy w przestrzeni V realizuje grupę liniową jako grupę niezdegenerowanych macierzy kwadratowych stopnia n nad ciałem K. To ustanawia izomorfizm... Encyklopedia matematyczna

Książki

• Algebra liniowa. Podręcznik i warsztaty z edukacji open source Kup za 1471 UAH (tylko Ukraina)
• Algebra liniowa. Podręcznik i warsztaty dla licencjata akademickiego Kremera N.Sh.. Podręcznik ten zawiera szereg nowych pojęć i dodatkowych pytań, takich jak norma macierzy, metoda uzupełniania bazy, izomorfizm przestrzeni liniowych, podprzestrzeni liniowych, liniowe ...

Niech będzie układem wektorów z przestrzeni wektorowej V nad polem P.

Definicja 2: Powłoka liniowa L systemy A jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu A. Przeznaczenie LA).

Można to wykazać dla dowolnych dwóch systemów A I B,

A wyrażone liniowo przez B wtedy i tylko wtedy gdy . (1)

A równowartość B wtedy i tylko kiedy L(A)=L(B). (2)

Dowód wynika z poprzedniej własności

3 Rozpiętość liniowa dowolnego układu wektorów jest podprzestrzenią przestrzeni V.

Dowód

Weź dowolne dwa wektory i z LA), posiadający następujące rozwinięcia w wektorach z A: . Sprawdźmy wykonalność warunków 1) i 2) kryterium:

Ponieważ jest to liniowa kombinacja wektorów systemowych A.

Ponieważ jest to również kombinacja liniowa wektorów systemowych A.

Rozważmy teraz macierz. Rozpiętość liniowa wierszy macierzy A nazywa się przestrzenią wierszy macierzy i jest oznaczana Lr(A). Rozpiętość liniowa kolumn macierzy A nazywa się przestrzenią kolumnową i jest oznaczana Lc(A). Należy pamiętać, że gdy przestrzeń wierszy i kolumn macierzy A są podprzestrzeniami różnych przestrzeni arytmetycznych P. n I Po południu odpowiednio. Korzystając ze stwierdzenia (2) możemy dojść do następującego wniosku:

Twierdzenie 3: Jeśli jedną macierz otrzymamy od drugiej poprzez łańcuch przekształceń elementarnych, wówczas przestrzenie wierszy takich macierzy pokrywają się.

Suma i przecięcie podprzestrzeni

Pozwalać L I M- dwie podprzestrzenie przestrzeni R.

Kwota L+M nazywa się zbiorem wektorów x+y , Gdzie X ∈L I y ∈M. Oczywiście dowolna kombinacja liniowa wektorów z L+M należy L+M, stąd L+M jest podprzestrzenią przestrzeni R(może pokrywać się z przestrzenią R).

Przekraczając L∩M podprzestrzenie L I M jest zbiorem wektorów, które jednocześnie należą do podprzestrzeni L I M(może składać się tylko z wektora zerowego).

Twierdzenie 6.1. Suma wymiarów dowolnych podprzestrzeni L I M skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa R równy wymiarowi sumy tych podprzestrzeni i wymiarowi przecięcia tych podprzestrzeni:

przyciemnienie L+przyciemnienie M=przyciemnienie(L+M)+przyciemnienie(L∩M).

Dowód. Oznaczmy F=L+M I G=L∩M. Pozwalać G-wymiarowa podprzestrzeń. Wybierzmy w nim podstawę. Ponieważ G⊂L I G⊂M, zatem podstawa G można dodać do bazy L i do podstawy M. Niech podstawa podprzestrzeni L i niech podstawa podprzestrzeni M. Pokażmy, że wektory

(6.1) stanowią podstawę F=L+M. Aby wektory (6.1) stanowiły podstawę przestrzeni F muszą być liniowo niezależne i mieć dowolny wektor przestrzeni F można przedstawić za pomocą liniowej kombinacji wektorów (6.1).

Udowodnimy liniową niezależność wektorów (6.1). Niech wektor zerowy przestrzeni F jest reprezentowany przez liniową kombinację wektorów (6.1) z pewnymi współczynnikami:

Lewa strona (6.3) to wektor podprzestrzenny L, a prawa strona to wektor podprzestrzenny M. Dlatego wektor

(6.4)należy do podprzestrzeni G=L∩M. Z drugiej strony wektor w można przedstawić za pomocą liniowej kombinacji wektorów bazowych podprzestrzeni G:

(6.5) Z równań (6.4) i (6.5) mamy:

Ale wektory są podstawą podprzestrzeni M, dlatego są liniowo niezależne i . Wtedy (6.2) przyjmie postać:

Ze względu na liniową niezależność bazy podprzestrzeni L mamy:

Ponieważ wszystkie współczynniki w równaniu (6.2) okazały się równe zero, wówczas wektory

liniowo niezależny. Ale dowolny wektor z z F(z definicji sumy podprzestrzeni) można przedstawić za pomocą sumy x+y , Gdzie X ∈ L,y ∈ M. Z kolei X jest reprezentowany przez liniową kombinację wektorów a y - liniowa kombinacja wektorów. Zatem wektory (6.10) tworzą podprzestrzeń F. Odkryliśmy, że wektory (6.10) tworzą bazę F=L+M.

Badanie baz podprzestrzennych L I M i podprzestrzennych F=L+M(6.10) mamy: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Stąd:

przyciemniony L+przyciemniony M−przyciemniony(L∩M)=przyciemniony(L+M). ■

Suma bezpośrednia podprzestrzeni

Definicja 6.2. Przestrzeń F reprezentuje bezpośrednią sumę podprzestrzeni L I M, jeśli każdy wektor X przestrzeń F można przedstawić jedynie jako sumę x=y+z , Gdzie y ∈L i z ∈M.

Wskazana jest kwota bezpośrednia L⊕M. Mówią, że jeśli F=L⊕M, To F rozkłada się na sumę bezpośrednią swoich podprzestrzeni L I M.

Twierdzenie 6.2. W celu N-przestrzeń wymiarowa R była bezpośrednią sumą podprzestrzeni L I M, wystarczy na skrzyżowanie L I M zawierał tylko element zerowy i że wymiar R był równy sumie wymiarów podprzestrzeni L I M.

Dowód. Wybierzmy jakąś bazę w podprzestrzeni L i jakąś bazę w podprzestrzeni M. Udowodnijmy to

(6.11) jest podstawą przestrzeni R. Zgodnie z warunkami twierdzenia wymiar przestrzeni Rn równa sumie podprzestrzeni L I M (n=l+m). Wystarczy udowodnić liniową niezależność elementów (6.11). Niech wektor zerowy przestrzeni R jest reprezentowany przez liniową kombinację wektorów (6.11) z pewnymi współczynnikami:

(6.13) Ponieważ lewa strona (6.13) jest wektorem podprzestrzeni L, a prawa strona to wektor podprzestrzenny M I L∩M=0 , To

(6.14) Ale wektory są bazami podprzestrzeni L I M odpowiednio. Są zatem liniowo niezależne. Następnie

(6.15) Ustalono, że (6.12) obowiązuje tylko pod warunkiem (6.15), co dowodzi liniowej niezależności wektorów (6.11). Dlatego stanowią podstawę R.

Niech x∈R. Rozwińmy to według podstawy (6.11):

(6.16) Z (6.16) mamy:

(6.18) Z (6.17) i (6.18) wynika, że ​​dowolny wektor z R można przedstawić jako sumę wektorów X 1 ∈L I X 2 ∈M. Pozostaje udowodnić, że ta reprezentacja jest wyjątkowa. Niech oprócz reprezentacji (6.17) będzie następująca reprezentacja:

(6.19)Odejmując (6.19) od (6.17) otrzymujemy

(6.20) Ponieważ , i L∩M=0 , następnie i . Dlatego i. ■

Twierdzenie 8.4 o wymiarze sumy podprzestrzeni. Jeżeli i są podprzestrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej, to wymiar sumy podprzestrzeni jest równy sumie ich wymiarów bez wymiaru ich przecięcia ( Wzór Grassmanna):

W rzeczywistości niech będzie podstawą przecięcia . Uzupełnijmy go o uporządkowany zbiór wektorów do podstawy podprzestrzeni i uporządkowany zbiór wektorów do podstawy podprzestrzeni. Takie dodanie jest możliwe na podstawie Twierdzenia 8.2. Z tych trzech zbiorów wektorów utwórzmy uporządkowany zbiór wektorów. Pokażmy, że wektory te są generatorami przestrzeni. Rzeczywiście, dowolny wektor tej przestrzeni jest reprezentowany jako liniowa kombinacja wektorów z uporządkowanego zbioru

Stąd, . Udowodnimy, że generatory są liniowo niezależne i dlatego stanowią podstawę przestrzeni. Rzeczywiście, zróbmy liniową kombinację tych wektorów i przyrównajmy ją do wektora zerowego: . Wszystkie współczynniki tego rozwinięcia wynoszą zero: podprzestrzenie przestrzeni wektorowej o postaci dwuliniowej są zbiorem wszystkich wektorów ortogonalnych do każdego wektora z . Zbiór ten jest podprzestrzenią wektorową, którą zwykle oznaczamy przez .

W artykule opisano podstawy algebry liniowej: przestrzeń liniową, jej własności, pojęcie bazy, wymiary przestrzeni, kadłub liniowy, związek pomiędzy przestrzeniami liniowymi oraz rząd macierzy.

Przestrzeń liniowa

Pęczek L zwany przestrzeń liniowa, jeśli dla wszystkich jego elementów operacje dodawania dwóch elementów i pomnożenia elementu przez liczbę spełniającą I Grupa Aksjomaty Weyla. Elementy przestrzeni liniowej nazywane są wektory. To jest pełna definicja; W skrócie można powiedzieć, że przestrzeń liniowa to zbiór elementów, dla którego określone są operacje dodawania dwóch elementów i mnożenia elementu przez liczbę.

Aksjomaty Weyla.

Hermanna Weila zasugerował, że w geometrii mamy dwa typy obiektów ( wektory i punkty), których właściwości opisują następujące aksjomaty, które stanowiły podstawę tej sekcji algebra liniowa. Wygodnie jest podzielić aksjomaty na 3 grupy.

Grupa I

1. dla dowolnych wektorów x i y spełniona jest równość x+y=y+x;
2. dla dowolnych wektorów x, y i z spełniona jest równość x+(y+z)=(x+y)+z;
3. istnieje wektor o taki, że dla dowolnego wektora x zachodzi równość x+o=x;
4. dla dowolnego wektora X istnieje wektor (-x) taki, że x+(-x)=o;
5. dla dowolnego wektora X zachodzi równość 1x=x;
6. dla dowolnych wektorów X I Na i dowolna liczba λ równość λ( X+Na)=λ X+λ Na;
7. dla dowolnego wektora X i dowolne liczby λ i μ równość zachodzi (λ+μ) X=λ X+μ X;
8. dla dowolnego wektora X oraz dowolne liczby λ i μ równość λ(μ X)=(λμ) X;

Grupa II

Grupa I definiuje to pojęcie liniowa kombinacja wektorów, liniowa zależność i liniowa niezależność. Pozwala to na sformułowanie dwóch kolejnych aksjomatów:

1. istnieje n liniowo niezależnych wektorów;
2. dowolne (n+1) wektory są liniowo zależne.

Dla planimetrii n=2, dla stereometrii n=3.

Grupa III

W tej grupie zakłada się, że istnieje operacja mnożenia skalarnego, która przypisuje parę wektorów X I Na liczba ( x, y). W której:

1. dla dowolnych wektorów X I Na zachodzi równość ( x, y)=(y, x);
2. dla dowolnych wektorów X , Na I z zachodzi równość ( x+y,z)=(x, z)+(y, z);
3. dla dowolnych wektorów X I Na i dowolna liczba λ równość (λ x, y)=λ( x, y);
4. dla dowolnego wektora x zachodzi nierówność ( x, x) ≥ 0 i ( x, x)=0 wtedy i tylko wtedy, gdy X=0.

Właściwości przestrzeni liniowej

Większość właściwości przestrzeni liniowej opiera się na aksjomatach Weyla:

1. Wektor O, którego istnienie gwarantuje Aksjomat 3, jest określony w sposób unikalny;
2. Wektor (- X), którego istnienie gwarantuje Aksjomat 4, jest określony w sposób unikalny;
3. Dla dowolnych dwóch wektorów A I B należący do przestrzeni L, jest tylko jeden wektor X, również należący do kosmosu L, co jest rozwiązaniem równania +x=B i nazwał różnicą wektorową b-a.

Definicja. Podzbiór L' przestrzeń liniowa L zwany podprzestrzeń liniowa przestrzeń L, jeśli sama jest przestrzenią liniową, w której suma wektorów oraz iloczyn wektora i liczby są określone w taki sam sposób jak w L.

Definicja. Powłoka liniowa L(x1, x2, x3, …, xk) wektory x1, x2, x3, I xk nazywa się zbiorem wszystkich kombinacji liniowych tych wektorów. O powłoce liniowej możemy tak powiedzieć

-kadłub liniowy jest podprzestrzenią liniową;

– kadłub liniowy to minimalna podprzestrzeń liniowa zawierająca wektory x1, x2, x3, I xk.

Definicja. Przestrzeń liniową nazywamy n-wymiarową, jeśli spełnia II grupę układu aksjomatów Weyla. Nazywa się liczbę n wymiar przestrzeń liniowa i pisz dimL=n.

Podstawa– dowolny uporządkowany system N liniowo niezależne wektory przestrzeni. Znaczenie bazy jest takie, że wektory tworzące bazę mogą być użyte do opisu dowolnego wektora w przestrzeni.

Twierdzenie. Podstawą jest dowolne n liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni L.

Izomorfizm.

Definicja. Przestrzenie liniowe L I L' nazywane są izomorficznymi, jeśli między ich elementami można ustalić taką zgodność jeden do jednego x↔x’, Co:

1. Jeśli x↔x’, y↔y’, To x+y↔x’+y’;
2. Jeśli x↔x’, następnie λ x↔λ X'.

Sama korespondencja nazywa się izomorfizm. Izomorfizm pozwala nam na sformułowanie następujących twierdzeń:

• jeśli dwie przestrzenie są izomorficzne, to ich wymiary są równe;
• dowolne dwie przestrzenie liniowe nad tym samym polem i o tym samym wymiarze są izomorficzne.

1. Zbiór wielomianów P N (X) stopnie nie wyższe N.

2. Pęczek N-ciągi terminów (z dodawaniem i mnożeniem wyrazów przez skalar).

3 . Wiele funkcji C [ A , B ] ciągły na [ A, B] oraz punktowe dodawanie i mnożenie przez skalar.

4. Wiele funkcji określonych w [ A, B] i znikający w pewnym ustalonym punkcie wewnętrznym C: F (C) = 0 oraz z punktowymi operacjami dodawania i mnożenia przez skalar.

5. Ustaw R+, jeśli X ⊕ y  X  y, ⊙X X  .

§8. Definicja podprzestrzeni

Niech zestaw W jest podzbiorem przestrzeni liniowej V (W  V) i takie tam

a)  X, yW  X ⊕ yW;

b)  XW,    ⊙ XW.

Operacje dodawania i mnożenia są tutaj takie same jak w przestrzeni V(nazywa się je indukowanymi przestrzenią V).

Tak wiele W zwaną podprzestrzenią przestrzeni V.

7  . Podprzestrzeń W samo w sobie jest przestrzenią.

◀ Aby to udowodnić, wystarczy udowodnić istnienie elementu neutralnego i jego przeciwieństwa. Równości 0⊙ X=  i (–1)⊙ X = –X udowodnić, co jest konieczne.

Podprzestrzeń składająca się wyłącznie z elementu neutralnego () i podprzestrzeni pokrywającej się z samą przestrzenią V, nazywane są trywialnymi podprzestrzeniami przestrzeni V.

§9. Liniowa kombinacja wektorów. Rozpiętość liniowa układu wektorowego

Niech wektory mi 1 ,mi 2 , …mi N V i  1,  2 , …  N .

Wektor x =  1 mi 1 +  2 mi 2 + … +  N mi N = zwany liniowym kombinacja wektorów mi 1 , mi 2 , … , mi N ze współczynnikami  1,  2 , …  N .

Jeśli wszystkie współczynniki w kombinacji liniowej są równe zeru, to kombinacja liniowa zwany trywialny.

Zbiór wszystkich możliwych kombinacji liniowych wektorów
zwany kadłubem liniowym ten układ wektorów i oznaczamy:

ℒ(mi 1 , mi 2 , …, mi N) = ℒ
.

8  . ℒ(mi 1 , mi 2 , …, mi N

◀ Poprawność operacji dodawania i mnożenia przez skalar wynika z faktu, że ℒ( mi 1 , mi 2 , …, mi N) jest zbiorem wszystkich możliwych kombinacji liniowych. Element neutralny jest trywialną kombinacją liniową. Dla elementu X=
przeciwieństwem jest element - X =
. Spełnione są również aksjomaty, które muszą spełniać operacje. Zatem ℒ( mi 1 , mi 2 , …, mi N) jest przestrzenią liniową.

Każda przestrzeń liniowa zawiera w ogólnym przypadku nieskończoną liczbę innych przestrzeni liniowych (podprzestrzeni) - powłok liniowych

W przyszłości postaramy się odpowiedzieć na następujące pytania:

Kiedy powłoki liniowe różnych układów wektorowych składają się z tych samych wektorów (tj. pokrywają się)?

2) Jaka jest minimalna liczba wektorów definiujących tę samą rozpiętość liniową?

3) Czy pierwotna przestrzeń jest rozpiętością liniową jakiegoś układu wektorów?

§10. Kompletne systemy wektorowe

Jeśli w kosmosie V istnieje skończony zbiór wektorów
i co z tego, ℒ
 V, to układ wektorów
nazywa się systemem kompletnym V, a przestrzeń nazywa się skończoną wymiarową. Zatem układ wektorów mi 1 , mi 2 , …, mi N V nazywany kompletnym V systemu, tj. Jeśli

XV   1 ,  2 , …  N takie, że x =  1 mi 1 +  2 mi 2 + … +  N mi N .

Jeśli w kosmosie V nie ma skończonego układu kompletnego (a zawsze istnieje kompletny - na przykład zbiór wszystkich wektorów przestrzeni). V), potem spacja V nazywa się nieskończonym wymiarem.

9  . Jeśli
w pełni V układ wektorów i y V, To ( mi 1 , mi 2 , …, mi N , y) jest również systemem kompletnym.

◀ W kombinacjach liniowych współczynnik wcześniej y przyjąć równą 0.

Niech będzie systemem wektorów z . Powłoka liniowa systemy wektorowe jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych wektorów danego układu, tj.

Właściwości powłoki liniowej: Jeśli , to dla i .

Powłoka liniowa ma tę właściwość, że jest zamknięta na operacje liniowe (operacje dodawania i mnożenia przez liczbę).

Nazywa się podzbiór przestrzeni, który ma właściwość domknięcia ze względu na operacje dodawania i mnożenia przez liczbyliniowa podprzestrzeń przestrzeni .

Liniowa powłoka układu wektorów jest liniową podprzestrzenią przestrzeni.

System wektorów z nazywa się bazą ,Jeśli

Dowolny wektor można wyrazić jako liniową kombinację wektorów bazowych:

2. Układ wektorów jest liniowo niezależny.

Lemat Współczynniki rozwinięcia wektora według podstawy są jednoznacznie określone.

Wektor , złożony ze współczynników rozwinięcia wektorów zgodnie z podstawą nazywa się wektorem współrzędnych wektora w podstawie .

Przeznaczenie . Wpis ten podkreśla, że ​​współrzędne wektora zależą od bazy.

Przestrzenie liniowe

Definicje

Niech będzie dany zbiór elementów o dowolnym charakterze. Niech zostaną zdefiniowane dwie operacje na elementach tego zbioru: dodawanie i mnożenie przez dowolne prawdziwy numer: i ustaw Zamknięte dotyczące tych operacji: . Niech te operacje są zgodne z aksjomatami:

3. Istnieje wektor zerowy posiadający własność ;

4. dla każdego istnieje wektor odwrotny o własności ;

6. dla , ;

7. dla , ;

Następnie taki zbiór nazywa się przestrzeń liniowa (wektorowa)., nazywane są jego elementy wektory, i - aby podkreślić ich różnicę w stosunku do liczb - te ostatnie nazywane są skalary 1) . Nazywa się przestrzeń składającą się tylko z jednego wektora zerowego trywialny .

Jeżeli w aksjomatach 6 - 8 pozwolimy na mnożenie przez skalary zespolone, wówczas taką przestrzeń liniową nazywamy wyczerpujący. Aby uprościć nasze rozumowanie, w dalszej części będziemy rozważać tylko przestrzenie rzeczywiste.

Przestrzeń liniowa to grupa ze względu na operację dodawania oraz grupa abelowa.

Wyjątkowość wektora zerowego i niepowtarzalność wektora odwrotnego do wektora można łatwo udowodnić: , jest zwykle oznaczony .

Podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową (to znaczy domknięty przez dodanie wektorów i pomnożenie przez dowolny skalar), nazywa się podprzestrzeń liniowa przestrzeń. Trywialne podprzestrzenie Przestrzeń liniowa nazywana jest samą sobą i przestrzenią składającą się z jednego wektora zerowego.

Przykład. Przestrzeń uporządkowanych trójek liczb rzeczywistych

operacje określone przez równości:

Interpretacja geometryczna jest oczywista: wektor w przestrzeni, „związany” z początkiem, można określić we współrzędnych jego końca. Rysunek pokazuje również typową podprzestrzeń przestrzeni: płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Dokładniej, elementy są wektorami, które zaczynają się w początku i kończą w punktach na płaszczyźnie. Zamknięcie takiego zbioru ze względu na dodawanie wektorów i ich dylatację 2) jest oczywiste.

W oparciu o tę interpretację geometryczną często mówi się o wektorze dowolnej przestrzeni liniowej jako punkt w przestrzeni. Czasami ten punkt nazywany jest „końcem wektora”. Poza wygodą percepcji skojarzeniowej, słowom tym nie nadano żadnego znaczenia formalnego: w aksjomatyce przestrzeni liniowej nie ma pojęcia „końca wektora”.

Przykład. Na tym samym przykładzie możemy podać inną interpretację przestrzeni wektorowej (nawiasem mówiąc, osadzonej w samym pochodzeniu słowa „wektor” 3)) - definiuje ona zbiór „przesunięć” punktów w przestrzeni. Te przesunięcia – lub równoległe translacje dowolnej figury przestrzennej – są wybierane tak, aby były równoległe do płaszczyzny.

Ogólnie rzecz biorąc, przy takich interpretacjach pojęcia wektora wszystko nie jest takie proste. Próby odwoływania się do jego fizycznego znaczenia – jako przedmiotu, który ma rozmiar I kierunek- wywołać uczciwą naganę ze strony surowych matematyków. Definicja wektora jako elementu przestrzeni wektorowej bardzo przypomina epizod z sepulchami ze słynnego opowiadania science fiction Stanisława Lema (czytaj ☞TUTAJ). Nie skupiajmy się na formalizmie, ale zbadajmy ten rozmyty obiekt w jego konkretnych przejawach.

Przykład. Naturalnym uogólnieniem jest przestrzeń: przestrzeń wektorowa wierszowa lub kolumnowa . Jednym ze sposobów określenia podprzestrzeni w jest określenie zestawu ograniczeń.

Przykład. Zbiór rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych:

tworzy liniową podprzestrzeń przestrzeni. Faktycznie, jeśli

Zatem rozwiązanie układu

To samo rozwiązanie dla każdego. Jeśli

Zatem inne rozwiązanie systemu

To także będzie jej decyzja.

Dlaczego istnieje wiele rozwiązań systemu? heterogeniczny równania nie tworzą podprzestrzeni liniowej?

Przykład. Uogólniając dalej, możemy rozważyć przestrzeń „nieskończonych” strun lub sekwencje , zwykle będący przedmiotem analizy matematycznej - przy rozważaniu ciągów i szeregów. Można rozważać linie (ciągi) „nieskończone w obu kierunkach” - są one stosowane w TEORII SYGNAŁU.

Przykład. Zbiór -macierzy z elementami rzeczywistymi z operacjami dodawania i mnożenia macierzy przez liczby rzeczywiste tworzy przestrzeń liniową.

W przestrzeni macierzy rzędu kwadratowego można wyróżnić dwie podprzestrzenie: podprzestrzeń macierzy symetrycznych i podprzestrzeń macierzy skośno-symetrycznych. Dodatkowo każdy ze zbiorów tworzą podprzestrzenie: macierze idiagonalne górne trójkątne, dolne trójkątne.

Przykład. Zbiór wielomianów o jednym zmiennym stopniu dokładnie równy współczynnikom (gdzie jest którykolwiek ze zbiorów lub ) ze zwykłymi operacjami dodawania wielomianów i mnożenia przez liczbę z nie tworzy się przestrzeń liniowa. Dlaczego? - Ponieważ nie jest to domknięte na dodawaniu: suma wielomianów nie będzie wielomianem x stopnia. Ale tutaj jest wiele wielomianów stopnia nie wyżej

formy przestrzeni liniowej; tylko do tego zbioru musimy także dodać identycznie zerowy wielomian 4). Oczywiste podprzestrzenie to . Ponadto podprzestrzenie będą zbiorem parzystych i nieparzystych wielomianów stopnia co najwyżej . Zbiór wszystkich możliwych wielomianów (bez ograniczeń stopni) również tworzy przestrzeń liniową.

Przykład. Uogólnieniem poprzedniego przypadku będzie przestrzeń wielomianów o kilku zmiennych stopnia co najwyżej o współczynnikach od . Na przykład zbiór wielomianów liniowych

tworzy przestrzeń liniową. Zbiór jednorodnych wielomianów (form) stopnia (po dodaniu do tego zbioru identycznie zerowego wielomianu) jest również przestrzenią liniową.

W rozumieniu powyższej definicji zbiór ciągów znaków o składnikach całkowitych

rozpatrywane w odniesieniu do operacji dodawania i mnożenia składowego przez liczby całkowite skalary nie są przestrzenią liniową. Jednak wszystkie aksjomaty 1 - 8 będą spełnione, jeśli pozwolimy na mnożenie tylko przez skalary całkowite. W tej sekcji nie będziemy skupiać się na tym obiekcie, ale jest on całkiem przydatny w matematyce dyskretnej, na przykład w ☞ TEORII KODOWANIA. Rozważane są przestrzenie liniowe nad ciałami skończonymi ☞ TUTAJ.

Zmienne są izomorficzne z przestrzenią macierzy symetrycznych rzędu. Izomorfizm ustala się na podstawie korespondencji, którą zilustrujemy dla przypadku:

Pojęcie izomorfizmu wprowadza się w celu badania obiektów powstających w różnych obszarach algebry, ale o „podobnych” właściwościach operacji, na przykładzie jednej próbki, wypracowując na niej wyniki, które można następnie tanio odtworzyć. Którą przestrzeń liniową powinniśmy wziąć „jako próbkę”? - Zobacz zakończenie następnego akapitu