Funkcja różniczkowa jest niezmiennością postaci pierwszej różniczki. Własności pierwszej różniczki funkcji

Z definicji różnicę (pierwszą różnicę) funkcji oblicza się ze wzoru
Jeśli – zmienna niezależna.

PRZYKŁAD.

Pokażmy, że postać pierwszej różniczki pozostaje niezmieniona (jest niezmienna) nawet w przypadku, gdy argument funkcji sama w sobie jest funkcją, to znaczy funkcją złożoną
.

Pozwalać
są różniczkowalne, to z definicji

Co więcej, właśnie to należało udowodnić.

PRZYKŁADY.

Udowodniona niezmienność postaci pierwszej różniczki pozwala nam to założyć
to jest pochodna jest równa stosunkowi różniczki funkcji do różnica jej argumentacji, niezależnie od tego, czy argument jest zmienną niezależną, czy funkcją.

Różniczkowanie funkcji określonej parametrycznie

Niech funkcja If
ma na planie w takim razie odwrotnie
Potem równości
zdefiniowany na planie funkcja określona parametrycznie, – parametr (zmienna pośrednia).

PRZYKŁAD. Wykres funkcji
.

Skonstruowana krzywa nazywa się cykloida(ryc. 25) i jest trajektorią punktu na okręgu o promieniu 1, który toczy się bez przesuwania wzdłuż osi OX.

KOMENTARZ. Czasami, ale nie zawsze, parametr można wyeliminować z równań krzywej parametrycznej.

PRZYKŁADY.
są równaniami parametrycznymi okręgu, ponieważ oczywiście

–parametryczne równania elipsy, ponieważ

–parametryczne równania paraboli

Znajdźmy pochodną funkcji zdefiniowanej parametrycznie:

Pochodna funkcji określonej parametrycznie jest także funkcją określoną parametrycznie: .

DEFINICJA. Druga pochodna funkcji jest pochodną jej pierwszej pochodnej.

Pochodna rząd th jest pochodną pochodnej rzędu
.

Oznacz pochodne drugiego i -ta kolejność w ten sposób:

Z definicji drugiej pochodnej i reguły różniczkowania parametrycznie określonej funkcji wynika, że
Aby obliczyć trzecią pochodną, ​​należy przedstawić drugą pochodną w formularzu
i ponownie użyj wynikowej reguły. W podobny sposób oblicza się instrumenty pochodne wyższego rzędu.

PRZYKŁAD. Znajdź pochodne pierwszego i drugiego rzędu funkcji

.

Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego

TWIERDZENIE(Gospodarstwo rolne). Niech funkcja
ma w tym momencie
ekstremum. Jeśli istnieje
, To

DOWÓD. Pozwalać
jest na przykład punktem minimalnym. Z definicji punktu minimalnego istnieje sąsiedztwo tego punktu
, w ramach którego
, to jest
– przyrost
w tym punkcie
. A-przeorat
Obliczmy jednostronne pochodne w tym punkcie
:

przez twierdzenie o przejściu do granicy nierówności,

ponieważ

, ponieważ
Ale zgodnie z warunkiem
istnieje, zatem lewa pochodna jest równa prawej i jest to możliwe tylko wtedy, gdy

Założenie, że
– punkt maksymalny prowadzi do tego samego.

Znaczenie geometryczne twierdzenia:

TWIERDZENIE(Rolka). Niech funkcja
ciągły
, różniczkowalny
I
wtedy jest
takie, że

DOWÓD. Ponieważ
ciągły
, to zgodnie z drugim twierdzeniem Weierstrassa dochodzi do
ich największy
i najmniej
wartości albo w punktach ekstremalnych, albo na końcach segmentu.

1. Niech
, Następnie

2. Niech
Ponieważ
albo
, Lub
zostaje osiągnięty w punkcie ekstremalnym
, ale zgodnie z twierdzeniem Fermata
co było do okazania

TWIERDZENIE(Lagrange’a). Niech funkcja
ciągły
i różniczkowalne
, wtedy jest
takie, że
.

Znaczenie geometryczne twierdzenia:

Ponieważ
, to sieczna jest równoległa do stycznej. Zatem twierdzenie stwierdza, że ​​istnieje styczna równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty A i B.

DOWÓD. Przez punkty A
oraz b
Narysujmy sieczną AB. Jej równanie
Rozważ funkcję

– odległość pomiędzy odpowiednimi punktami na wykresie i na siecznej AB.

1.
ciągły
jako różnica funkcji ciągłych.

2.
różniczkowalne
jako różnica funkcji różniczkowalnych.

3.

Oznacza,
spełnia warunki twierdzenia Rolle’a, więc istnieje
takie, że

Twierdzenie zostało udowodnione.

KOMENTARZ. Formuła nazywa się Wzór Lagrange'a.

TWIERDZENIE(Cauchy’ego). Niech funkcje
ciągły
, różniczkowalny
I
, wtedy jest sens
takie, że
.

DOWÓD. Pokażmy to
. Jeśli
, a następnie funkcja
spełniałoby warunki twierdzenia Rolle’a, więc byłby sens
takie, że
– sprzeczność z warunkiem. Oznacza,
, a obie strony wzoru są zdefiniowane. Spójrzmy na funkcję pomocniczą.

ciągły
, różniczkowalny
I
, to jest
spełnia warunki twierdzenia Rolle'a. Wtedy jest pewien punkt
, w której
, Ale

co było do okazania

Sprawdzona formuła to tzw Formuła Cauchy’ego.

Reguła L'Hopitala(Twierdzenie L'Hopitala-Bernoulliego). Niech funkcje
ciągły
, różniczkowalny
,
I
. Ponadto istnieje skończone lub nieskończone
.

Wtedy jest

DOWÓD. Ponieważ według warunku
, następnie definiujemy
w tym punkcie
, zakładając
Następnie
stanie się ciągły
. Pokażmy to

Udawajmy, że tak
wtedy jest
takie, że
, ponieważ funkcja
NA
spełnia warunki twierdzenia Rolle'a. Ale zgodnie z warunkiem
– sprzeczność. Dlatego

. Funkcje
spełniają warunki twierdzenia Cauchy'ego na dowolnym przedziale
, który zawarty jest w
. Napiszmy wzór Cauchy'ego:

,
.

Stąd mamy:
, ponieważ jeśli
, To
.

Przeprojektowując zmienną w ostatniej granicy, otrzymujemy wymagane:

NOTATKA 1. Reguła L'Hopitala pozostaje ważna nawet wtedy, gdy
I
. Pozwala ujawnić nie tylko niepewność typu , ale także rodzaj :

.

UWAGA 2. Jeżeli po zastosowaniu reguły L'Hopitala niepewność nie ujawni się, należy ją zastosować ponownie.

PRZYKŁAD.

KOMENTARZ 3 . Reguła L'Hopitala jest uniwersalnym sposobem ujawniania niepewności, istnieją jednak ograniczenia, które można ujawnić, stosując tylko jedną z wcześniej zbadanych poszczególnych technik.

Ale oczywiście
, gdyż stopień licznika jest równy stopniowi mianownika, a granica jest równa stosunkowi współczynników przy największych potęgach

Zasada różniczkowania funkcji złożonej doprowadzi nas do jednej niezwykłej i ważnej właściwości różniczki.

Niech funkcje będą takie, aby można było z nich złożyć funkcję złożoną: . Jeżeli istnieją pochodne, to zgodnie z zasadą V istnieje również pochodna

Zastępując jednak jego pochodną wyrażeniem (7) i zauważając, że istnieje różniczka x w funkcji t, ostatecznie otrzymujemy:

czyli wróćmy do poprzedniej postaci różniczki!

Widzimy więc, że kształt różniczki można zachować nawet wtedy, gdy starą zmienną niezależną zastąpimy nową. Różniczkę y możemy zawsze zapisać w postaci (5), niezależnie od tego, czy x jest zmienną niezależną, czy nie; jedyna różnica polega na tym, że jeśli jako zmienną niezależną zostanie wybrane t, to nie oznacza to dowolnego przyrostu, ale różniczkę x jako funkcję. Właściwość ta nazywana jest niezmiennością postaci różniczki.

Ponieważ ze wzoru (5) bezpośrednio wynika wzór (6), który wyraża pochodną poprzez różniczki, to ostatni wzór pozostaje ważny bez względu na to, jaką zmienną niezależną (oczywiście taką samą w obu przypadkach) wyliczamy wspomniane różniczki.

Niech tak będzie np

Postawmy teraz. Wtedy będziemy mieli również: Łatwo sprawdzić, że formuła

podaje jedynie inne wyrażenie obliczonej powyżej pochodnej.

Ta okoliczność jest szczególnie wygodna w użyciu w przypadkach, gdy zależność y od x nie jest określona bezpośrednio, ale zamiast tego określona jest zależność obu zmiennych x i y od jakiejś trzeciej zmiennej pomocniczej (zwanej parametrem):

Zakładając, że obie te funkcje mają pochodne i że dla pierwszej z nich istnieje funkcja odwrotna posiadająca pochodną, ​​łatwo zauważyć, że wtedy y również okazuje się funkcją x:

dla którego istnieje również pochodna. Obliczenia tej pochodnej można dokonać według powyższej zasady:

bez przywracania bezpośredniej zależności y od x.

Na przykład, jeśli pochodną można wyznaczyć w sposób opisany powyżej, bez korzystania z zależności.

Jeśli potraktujemy x i y jako współrzędne prostokątne punktu na płaszczyźnie, to równania (8) przypisują każdą wartość parametru t do pewnego punktu, który wraz ze zmianą t opisuje krzywą na płaszczyźnie. Równania (8) nazywane są równaniami parametrycznymi tej krzywej.

W przypadku parametrycznej definicji krzywej wzór (10) pozwala bezpośrednio wyznaczyć nachylenie stycznej za pomocą równań (8), bez konieczności określania krzywej za pomocą równania (9); Dokładnie,

Komentarz. Możliwość wyrażenia pochodnej poprzez różniczki w szczególności względem dowolnej zmiennej prowadzi do tego, że wzory

wyrażając w notacji Leibniza zasady różniczkowania funkcji odwrotnej i funkcji zespolonej, stają się prostymi tożsamościami algebraicznymi (ponieważ wszystkie tutaj różnice można wziąść w odniesieniu do tej samej zmiennej). Nie należy jednak sądzić, że daje to nowy wniosek do powyższych wzorów: po pierwsze, nie udowodniono tutaj istnienia lewych pochodnych, najważniejsze jest to, że zasadniczo wykorzystaliśmy niezmienność postaci różniczki , co samo w sobie jest konsekwencją reguły V.

Jeżeli różniczkowalna funkcja zmiennych niezależnych i jej całkowita różniczka dz jest równa Załóżmy teraz, że w punkcie ((,?/) funkcje »?) i r)) mają ciągłe pochodne cząstkowe względem (i rf, oraz w odpowiednie pochodne cząstkowe punktu (x, y ) istnieją i są ciągłe, w wyniku czego funkcja r = f(x, y) jest różniczkowalna w tym punkcie. W tych warunkach funkcja ma pochodne w punkcie. 17) Różniczka funkcja zespolona Niezmienniczość postaci różniczki Funkcje ukryte Płaszczyzna styczna i normalna do powierzchni Płaszczyzna styczna powierzchni Znaczenie geometryczne różniczki całkowitej Normalna do powierzchni Jak widać ze wzorów (2), u i u są ciągłe w punkcie ((,*?). Zatem funkcja w punkcie jest różniczkowalna, zgodnie ze wzorem na różniczkę całkowitą dla funkcji zmiennych niezależnych £ i m], po prawej stronie równości mamy Zastępowanie (3 ) u i u ich wyrażeń ze wzorów (2) otrzymujemy albo, że zgodnie z warunkiem, funkcje w punkcie ((,17) mają ciągłe pochodne cząstkowe, to są one różniczkowalne w tym punkcie oraz Z zależności (4) oraz (5) otrzymujemy, że Porównanie wzorów (1) i (6) pokazuje, że różniczka całkowita funkcji z = /(z, y) wyraża się wzorem o takiej samej postaci jak w przypadku, gdy argumenty x i y funkcji /(z, y) są zmiennymi niezależnymi, a w przypadku gdy te argumenty są z kolei funkcjami niektórych zmiennych. Zatem całkowita różniczka funkcji kilku zmiennych ma właściwość niezmienności formy. Komentarz. Z niezmienności postaci różniczki całkowitej wynika, że ​​jeśli xnx i y są różniczkowalnymi funkcjami dowolnej skończonej liczby zmiennych, to wzór pozostaje ważny na płaszczyźnie xOy. Jeżeli dla każdej wartości x z pewnego przedziału (xo - 0, xo + ^o) istnieje dokładnie jedna wartość y, która razem z x spełnia równanie (1), to wyznacza to funkcję y = y(x), dla której równość jest zapisana identycznie wzdłuż x w określonym przedziale. W tym przypadku mówi się, że równanie (1) definiuje y jako ukrytą funkcję x. Innymi słowy, funkcja określona równaniem, która nie jest rozwiązana względem y, nazywana jest funkcją ukrytą”, staje się to jednoznaczne, jeśli podana zostanie bezpośrednio zależność y od x. Przykłady: 1. Równanie definiuje wartość y na całe OcW рх jako jednowartościowa funkcja x: 2. Za pomocą równania wielkość y definiuje się jako jednowartościową funkcję x. Zilustrujmy to stwierdzenie. Równanie spełnia para wartości x = 0, y = 0. Rozważymy * parametr i rozważymy funkcje. Pytanie, czy dla wybranego xo istnieje odpowiednia unikalna wartość O jest takie, że para (spełnia równanie (2) sprowadza się do przecięcia krzywych xay i pojedynczego punktu. Skonstruujmy ich wykresy na xOy płaszczyzna (ryc. 11) Krzywą » = x + c sin y, gdzie x jest traktowane jako parametr, uzyskuje się poprzez równoległe przesunięcie wzdłuż osi Ox i krzywej z = z sin y. Jest geometrycznie oczywiste, że dla dowolnego x krzywe x = y i z = t + c $1py mają unikalny punkt przecięcia, którego koordynator jest funkcją x, określoną równaniem (2) w sposób dorozumiany. Zależność ta nie jest wyrażona funkcjami elementarnymi 3 Równanie nie określa rzeczywistej funkcji x w tym samym argumencie. W pewnym sensie możemy mówić o ukrytych funkcjach kilku zmiennych. Poniższe twierdzenie podaje warunki wystarczające dla jednoznacznej rozwiązywalności równania = 0 (1). sąsiedztwo danego punktu (®o> 0). Twierdzenie 8 (istnienie funkcji ukrytej) Niech będą spełnione następujące warunki: 1) funkcja jest określona i ciągła w pewnym prostokącie ze środkiem w punkcie w punkcie funkcja y) zamienia się w n\l, 3) w prostokącie D istnieją ciągłe pochodne cząstkowe 4) Y) Jeśli dowolna liczba dostatecznie ma/sueo dodatnia e ma otoczenie tego sąsiedztwa, to istnieje pojedyncza funkcja ciągła y = f (x) (ryc. 12), który przyjmuje wartość), spełnia równanie \y - yol i zamienia równanie (1) w tożsamość: Funkcja ta jest różniczkowalna w sposób ciągły w otoczeniu punktu Xq, oraz Wyprowadźmy wzór (3) na pochodną funkcji ukrytej, biorąc pod uwagę, że istnienie tej pochodnej należy udowodnić. Niech y = f(x) będzie ukrytą funkcją różniczkowalną zdefiniowaną równaniem (1). Następnie w przedziale) istnieje tożsamość Różniczka funkcji zespolonej Niezmienniczość postaci różniczki Funkcje ukryte Płaszczyzna styczna i normalna do powierzchni Płaszczyzna styczna powierzchni Znaczenie geometryczne różniczki zupełnej Normalna do powierzchni z tego powodu w tym przedział Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej mamy Unique w tym sensie, że dowolny punkt (x, y), leżący na krzywej należącej do sąsiedztwa punktu (xo, yo)” ma współrzędne powiązane równaniem Zatem przy y = f(x) otrzymujemy to i przykład. Znajdź j* z funkcji y = y(x), określonej równaniem. W tym przypadku Stąd, na mocy wzoru (3) Uwaga. Twierdzenie dostarczy warunków na istnienie pojedynczej funkcji ukrytej, której wykres przechodzi przez zadany punkt (xo, oo). wystarczające, ale nie konieczne. W rzeczywistości rozważ równanie Tutaj ma ciągłe pochodne cząstkowe równe zeru w punkcie 0(0,0). Jednak to równanie ma unikalne rozwiązanie równe zero w zadaniu. Niech będzie dane równanie - funkcja jednowartościowa spełniająca równanie (G). 1) Ile funkcji jednowartościowych (2") spełnia równanie (!")? 2) Ile jednowartościowych funkcji ciągłych spełnia równanie (!")? 3) Ile jednowartościowych funkcji różniczkowalnych spełnia równanie (!")? 4) Ile jednowartościowych funkcji ciągłych spełnia „równanie (1”), nawet jeśli są one wystarczająco małe? Twierdzenie o istnieniu podobne do Twierdzenia 8 obowiązuje także w przypadku ukrytej funkcji z - z(x, y) dwóch zmiennych określonych równaniem Twierdzenie 9. Niech będą spełnione następujące warunki d) funkcja & jest zdefiniowana i ciągła w dziedzina D w dziedzinie D istnieją ciągłe pochodne cząstkowe. Wtedy dla każdego dostatecznie małego e > 0 istnieje otoczenie Γ2 punktu (®o»Yo)/ w którym występuje jednoznaczna funkcja ciągła z - /(x, y), przyjmując wartość w punkcie x = x0, y = y0, spełniając warunek i odwracając równanie (4) do tożsamości: W tym przypadku funkcja w dziedzinie Q ma ciągłe pochodne cząstkowe i GG Znajdźmy dla nich wyrażenia pochodne. Niech równanie definiuje z jako jednowartościową i różniczkowalną funkcję z = /(x, y) zmiennych niezależnych xnu. Jeśli podstawimy do tego równania funkcję f(x, y) zamiast z, otrzymamy tożsamość. W rezultacie całkowite pochodne cząstkowe funkcji y, z) po x i y, gdzie z = /(z, y ), musi być również równe zero. Różniczkując, dowiadujemy się, gdzie. Te wzory podają wyrażenia na pochodne cząstkowe funkcji ukrytej dwóch niezależnych zmiennych. Przykład. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji x(r,y) danej równaniem 4. Z tego mamy §11. Płaszczyzna styczna i normalna do powierzchni 11.1. Informacje wstępne Miejmy powierzchnię S zdefiniowaną równaniem Zdefiniowane*. Punkt M(x, y, z) powierzchni (1) nazywa się punktem zwyczajnym tej powierzchni, jeżeli w punkcie M istnieją wszystkie trzy pochodne i są ciągłe, a przynajmniej jedna z nich jest różna od zera. Jeżeli w punkcie My, z) powierzchni (1) wszystkie trzy pochodne są równe zero lub przynajmniej jedna z tych pochodnych nie istnieje, to punkt M nazywa się punktem osobliwym powierzchni. Przykład. Rozważmy okrągły stożek (ryc. 13). Tutaj jedynym szczególnym subtelnym punktem jest początek współrzędnych 0(0,0,0): w tym miejscu jednocześnie zanikają pochodne cząstkowe. Ryż. 13 Rozważmy krzywą przestrzenną L określoną równaniami parametrycznymi. Niech funkcje mają ciągłe pochodne w przedziale. Wyłączmy z rozważań punkty osobliwe krzywej, w których Niech będzie punktem zwyczajnym krzywej L, określonym przez wartość parametru to. Następnie jest wektorem stycznym do krzywej w tym punkcie. Płaszczyzna styczna powierzchni Niech powierzchnia 5 będzie dana równaniem. Weźmy punkt zwyczajny P na powierzchni S i narysujmy przez niego krzywą L leżącą na powierzchni i daną równaniami parametrycznymi. Załóżmy, że funkcje £(*), „/(0” C(0) ma ciągłe pochodne , nigdzie na (a)p), które jednocześnie zanikają. Z definicji styczną krzywej L w punkcie P nazywamy styczną do powierzchni 5 w tym punkcie (. 2) podstawia się do równania (1), to ponieważ krzywa L leży na powierzchni S, równanie (1) przekształca się w tożsamość ze względu na t: Różniczkowanie tej tożsamości ze względu na t, korzystając z reguły różniczkowania zespolonego. otrzymujemy Wyrażenie po lewej stronie (3) jest iloczynem skalarnym dwóch wektorów: W punkcie P wektor z jest w tym punkcie skierowany stycznie do krzywej L (rys. 14). , zależy to tylko od współrzędnych tego punktu i rodzaju funkcji ^"(x, y, z) i nie zależy od rodzaju krzywej przechodzącej przez punkt P. Ponieważ P - punkt zwyczajny powierzchni 5, wówczas długość wektora n jest różna od zera. Fakt, że iloczyn skalarny oznacza, że ​​wektor r styczny do krzywej L w punkcie P jest prostopadły do ​​wektora n w tym punkcie (ryc. 14). Argumenty te obowiązują dla dowolnej krzywej przechodzącej przez punkt P i leżącej na powierzchni S. W konsekwencji każda linia styczna do powierzchni 5 w punkcie P jest prostopadła do wektora n, a zatem wszystkie te proste leżą w tej samej płaszczyźnie, również prostopadle do wektora n Definicja. Płaszczyznę, w której znajdują się wszystkie styczne do powierzchni 5 przechodzące przez dany punkt zwyczajny P G 5, nazywamy płaszczyzną styczną powierzchni w punkcie P (rys. 15). Wektor Różniczka funkcji zespolonej Niezmienniczość postaci różniczki Funkcje ukryte Płaszczyzna styczna i normalna do powierzchni Płaszczyzna styczna powierzchni Znaczenie geometryczne różniczki całkowitej Normalna do powierzchni jest wektorem normalnym płaszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie punkt P. Stąd natychmiast otrzymujemy równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni ZG (w punkcie zwyczajnym P0 (®o, Uo” tej powierzchni: Jeżeli powierzchnię 5 daje równanie, to zapisując to równanie w z tej formy otrzymujemy także równanie płaszczyzny stycznej w punkcie, będzie to wyglądać tak: 11. 3. Znaczenie geometryczne różniczki całkowitej Jeśli umieścimy ją we wzorze (7), to przyjmie ona postać Prawa strona (8) przedstawia całkowitą różniczkę funkcji z w punkcie M0(x0) yо) na płaszczyzna xOy> tak, że Zatem całkowita różniczka funkcji z = /(x, y) dwóch niezależnych zmiennych x i y w punkcie M0, odpowiadająca przyrostom Dx i Du zmiennych oraz y, jest równa przyrostowi z - z0 dotyczy z punktu płaszczyzny stycznej powierzchni 5 w punkcie Z>(xo» Uo» /(, Uo)) PRZY przejściu z punktu M0(xo, Uo) do punktu - 11.4. Definicja normalna powierzchni. Prostą przechodzącą przez punkt Po(xo, y0, r0) powierzchni prostopadłą do płaszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie Po nazywamy normalną do powierzchni w punkcie Pq. Vector)L jest wektorem kierującym normalnej i jej równania mają postać Jeśli powierzchnia 5 jest dana równaniem, to równania normalnej w punkcie) wyglądają następująco: w punkcie Tutaj W punkcie (0, 0) te pochodne są równe zeru: a równanie płaszczyzny stycznej w punkcie 0 (0,0,0) przyjmuje postać: (płaszczyzna xOy). Równania normalne

Wzór na funkcję różniczkową ma postać

gdzie jest różnicą zmiennej niezależnej.

Niech teraz zostanie podana funkcja zespolona (różniczkowalna) , gdzie,. Następnie korzystając ze wzoru na pochodną funkcji zespolonej znajdujemy

ponieważ .

Więc, , tj. Wzór różniczkowy ma tę samą postać dla zmiennej niezależnej i dla argumentu pośredniego, który jest funkcją różniczkowalną.

Ta właściwość jest zwykle nazywana własnością niezmienność wzoru lub postaci różniczki. Należy pamiętać, że pochodna nie ma tej właściwości.

Związek między ciągłością a różniczkowalnością.

Twierdzenie (warunek konieczny różniczkowalności funkcji). Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest w tym punkcie ciągła.

Dowód. Niech funkcja y=F(X) różniczkowalna w punkcie X 0. W tym momencie nadajemy argumentowi przyrost  X. Funkcja zostanie zwiększona  Na. Znajdźmy to.

Stąd, y=F(X) ciągły w pewnym punkcie X 0 .

Konsekwencja. Jeśli X 0 jest punktem nieciągłości funkcji, to funkcja w tym miejscu nie jest różniczkowalna.

Odwrotność twierdzenia nie jest prawdziwa. Ciągłość nie oznacza różniczkowalności.

Mechanizm różnicowy. Znaczenie geometryczne. Zastosowanie różnicówki do obliczeń przybliżonych.

Definicja

Funkcja różnicowa nazywa się liniową względną częścią przyrostu funkcji. Jest oznaczony jako kakili. Zatem:

Komentarz

Różniczka funkcji stanowi większość jej przyrostu.

Komentarz

Wraz z koncepcją różniczki funkcji wprowadzono pojęcie różniczki argumentu. A-przeorat różnica argumentów jest przyrostem argumentu:

Komentarz

Wzór na różniczkę funkcji można zapisać jako:

Stąd to rozumiemy

Oznacza to, że pochodną można przedstawić jako ułamek zwykły - stosunek różnic funkcji i argumentu.

Geometryczne znaczenie różniczki

Różniczka funkcji w punkcie jest równa przyrostowi rzędnej stycznej narysowanej do wykresu funkcji w tym punkcie, odpowiadającemu przyrostowi argumentu.

Podstawowe zasady różniczkowania. Pochodna stałej, pochodna sumy.

Niech funkcje mają w punkcie pochodne. Następnie

1. Stały można usunąć ze znaku pochodnej.

5. Stała różniczkowa równy zeru.

2. Pochodna sumy/różnicy.

Pochodna sumy/różnicy dwóch funkcji jest równa sumie/różnicy pochodnych każdej funkcji.

Podstawowe zasady różniczkowania. Pochodna produktu.

3. Pochodna produktu.

Podstawowe zasady różniczkowania. Pochodna funkcji zespolonej i odwrotnej.

5. Pochodna funkcji zespolonej.

Pochodna funkcji zespolonej jest równa pochodnej tej funkcji po argumencie pośrednim, pomnożonej przez pochodną argumentu pośredniego po argumencie głównym.

I mają odpowiednio pochodne w punktach. Następnie

Twierdzenie

(O pochodnej funkcji odwrotnej)

Jeżeli funkcja jest ciągła i ściśle monotoniczna w pewnym sąsiedztwie punktu i różniczkowalna w tym punkcie, to funkcja odwrotna ma w tym punkcie pochodną i .

Wzory różniczkowe. Pochodna funkcji wykładniczej.