Twierdzenie o zmianie momentu pędu punktu. Zmiana momentu pędu Twierdzenie o zmianie momentu pędu punktu materialnego

W niektórych problemach zamiast samego pędu za dynamiczną charakterystykę poruszającego się punktu uważa się jego moment względem jakiegoś środka lub osi. Momenty te definiuje się w taki sam sposób, jak momenty siły.

Wielkość pędu ruchu punkt materialny względem jakiegoś środka O nazywany jest wektorem określonym przez równość

Nazywa się także moment pędu punktu moment kinetyczny .

Pęd względem dowolnej osi przechodzącej przez środek O jest równy rzutowi wektora pędu na tę oś.

Jeżeli pęd dany jest poprzez jego rzuty na osie współrzędnych oraz podane są współrzędne punktu w przestrzeni, to moment pędu względem początku oblicza się w następujący sposób:

Rzuty momentu pędu na osie współrzędnych są równe:

Jednostką pędu w układzie SI jest – .

Koniec pracy -

Ten temat należy do działu:

Dynamika

Wykład.. podsumowanie wprowadzenie do dynamiki, aksjomaty mechaniki klasycznej.. wprowadzenie..

Jeśli potrzebujesz dodatkowych materiałów na ten temat lub nie znalazłeś tego czego szukałeś, polecamy skorzystać z wyszukiwarki w naszej bazie dzieł:

Co zrobimy z otrzymanym materiałem:

Jeśli ten materiał był dla Ciebie przydatny, możesz zapisać go na swojej stronie w sieciach społecznościowych:

Wszystkie tematy w tym dziale:

Systemy jednostek
SGS Si Techniczne [L] cm m m [M]

Równania różniczkowe ruchu punktu
Podstawowe równanie dynamiki można zapisać w następujący sposób

Podstawowe zadania dynamiki
Problem pierwszy lub bezpośredni: Znana jest masa punktu i prawo jego ruchu; należy znaleźć siłę działającą na ten punkt. M

Najważniejsze sprawy
1. Siła jest stała.

Ilość ruchu punktowego
Wielkość ruchu punktu materialnego jest wektorem równym iloczynowi m

Impuls siłowy elementarny i pełny
Działanie siły na punkt materialny w czasie

Twierdzenie o zmianie pędu punktu
Twierdzenie. Pochodna pędu punktu po czasie jest równa sile działającej na ten punkt. Zapiszmy podstawowe prawo dynamiki

Twierdzenie o zmianie momentu pędu punktu
Twierdzenie. Pochodna po czasie momentu pędu punktu wziętego względem jakiegoś środka jest równa momentowi siły działającej na punkt względem tego samego

Praca siły. Moc
Jedna z głównych cech siły, która ocenia wpływ siły na ciało podczas pewnego ruchu.

Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej punktu
Twierdzenie. Różniczka energii kinetycznej punktu jest równa elementarnej pracy siły działającej na ten punkt.

Zasada D'Alemberta dla punktu materialnego
Równanie ruchu punktu materialnego względem inercyjnego układu odniesienia pod działaniem przyłożonych sił czynnych i sił reakcji sprzęgania ma postać:

Dynamika nieswobodnego punktu materialnego
Niewolny punkt materialny to punkt, którego swoboda ruchu jest ograniczona. Ciała ograniczające swobodę ruchu punktu nazywane są połączeniami

Ruch względny punktu materialnego
W wielu zagadnieniach dynamiki rozpatrywany jest ruch punktu materialnego względem układu odniesienia poruszającego się względem inercjalnego układu odniesienia.

Szczególne przypadki ruchu względnego
1. Ruch względny na skutek bezwładności Jeżeli punkt materialny porusza się względem poruszającego się układu odniesienia prostoliniowo i równomiernie, wówczas taki ruch nazywa się względnym

Geometria mas
Rozważmy układ mechaniczny składający się ze skończonej liczby punktów materialnych posiadających masy

Momenty bezwładności
Aby scharakteryzować rozkład mas w ciałach przy rozpatrywaniu ruchów obrotowych, konieczne jest wprowadzenie pojęć momentów bezwładności. Moment bezwładności względem punktu

Momenty bezwładności najprostszych ciał
1. Pręt jednolity 2. Płytka prostokątna 3. Tarcza okrągła jednolita

Ilość ruchu systemu
Wielkość ruchu układu punktów materialnych jest wektorową sumą wielkości

Twierdzenie o zmianie pędu układu
Twierdzenie to występuje w trzech różnych postaciach. Twierdzenie. Pochodna pędu układu po czasie jest równa sumie wektorów wszystkich działających na niego sił zewnętrznych

Prawa zachowania pędu
1. Jeśli główny wektor wszystkich sił zewnętrznych układu wynosi zero (), wówczas wielkość ruchu układu jest stała

Twierdzenie o ruchu środka masy
Twierdzenie Środek masy układu porusza się w taki sam sposób, jak punkt materialny, którego masa jest równa masie całego układu, jeśli wszystkie siły zewnętrzne przyłożone do tego punktu działają na ten punkt.

Pęd układu
Moment pędu układu punktów materialnych w stosunku do niektórych

Moment pędu ciała sztywnego względem osi obrotu podczas ruchu obrotowego ciała sztywnego
Obliczmy moment pędu ciała sztywnego względem osi obrotu.

Twierdzenie o zmianie momentu pędu układu
Twierdzenie. Pochodna po czasie momentu pędu układu, wzięta względem jakiegoś środka, jest równa sumie wektorów momentów sił zewnętrznych działających na

Prawa zachowania momentu pędu
1. Jeżeli główny moment sił zewnętrznych układu względem punktu jest równy zero (

Energia kinetyczna układu
Energia kinetyczna układu jest sumą energii kinetycznych wszystkich punktów układu.

Energia kinetyczna ciała stałego
1. Ruch ciała do przodu. Energię kinetyczną ciała sztywnego podczas ruchu postępowego oblicza się analogicznie jak dla jednego punktu, którego masa jest równa masie tego ciała.

Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej układu
Twierdzenie to występuje w dwóch postaciach. Twierdzenie. Różniczka energii kinetycznej układu jest równa sumie prac elementarnych wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych działających na układ

Najpierw rozważmy przypadek jednego punktu materialnego. Niech będzie masą punktu materialnego M, jego prędkością i wielkością ruchu.

Wybierzmy punkt O w otaczającej przestrzeni i skonstruujmy moment wektora względem tego punktu według tych samych zasad, według których oblicza się moment siły w statyce. Otrzymujemy wielkość wektorową

co nazywa się momentem pędu punktu materialnego względem środka O (ryc. 31).

Skonstruujmy prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich Oxyz z początkiem w środku O i rzućmy wektor ko na te osie. Jego rzuty na te osie, równe momentom wektora względem odpowiednich osi współrzędnych, nazywane są momentami pędu punktu materialnego względem osi współrzędnych:

Miejmy teraz układ mechaniczny składający się z N punktów materialnych. W takim przypadku moment pędu można wyznaczyć dla każdego punktu układu:

Suma geometryczna pędu wszystkich punktów materialnych tworzących układ nazywana jest głównym momentem pędu lub momentem kinetycznym układu.

Problemy z rozwiązaniami

28.1 Pociąg kolejowy porusza się po poziomym i prostym odcinku toru. Podczas hamowania powstaje siła oporu równa 0,1 masy pociągu. W chwili hamowania prędkość pociągu wynosi 20 m/s. Znajdź czas hamowania i drogę hamowania.
ROZWIĄZANIE

28.2 Ciężkie ciało bez prędkości początkowej opada po nierównej, pochyłej płaszczyźnie tworzącej z horyzontem kąt α=30°. Oblicz, w jakim czasie T ciało przebędzie drogę o długości l=39,2 m, jeśli współczynnik tarcia f=0,2.
ROZWIĄZANIE

28.3 Pociąg o masie 4*10^5 kg wjeżdża na wzniesienie i=tg α=0,006 (gdzie α to kąt wznoszenia) z prędkością 15 m/s. Współczynnik tarcia (współczynnik całkowitego oporu) podczas ruchu pociągu wynosi 0,005. Po 50 s od wjazdu pociągu na wzniesienie jego prędkość spada do 12,5 m/s. Znajdź siłę uciągu lokomotywy spalinowej.
ROZWIĄZANIE

28.4 Na końcu nierozciągliwej nici MOA przymocowany jest obciążnik M, którego część OA przechodzi przez pionową rurkę; obciążnik porusza się wokół osi rury po okręgu o promieniu MC=R, z prędkością 120 obr/min. Powoli wciągając nitkę OA do rurki, skróć zewnętrzną część gwintu do długości OM1, przy której ciężarek opisuje okrąg o promieniu R/2. Ile obrotów na minutę wykonuje ciężarek po tym okręgu?
ROZWIĄZANIE

28.5 W celu określenia masy załadowanego pociągu pomiędzy lokomotywami spalinowymi a wagonami zainstalowano hamownię. Średni odczyt hamowni w ciągu 2 minut wyniósł 10^6 N. W tym samym czasie pociąg nabrał prędkości 16 m/s (początkowo pociąg stał w miejscu). Znajdź masę kompozycji, jeśli współczynnik tarcia wynosi f=0,02.
ROZWIĄZANIE

28.6 Jaki powinien być współczynnik tarcia f kół hamowanego samochodu na drodze, jeżeli przy prędkości jazdy v=20 m/s zatrzymuje się on po 6 s od rozpoczęcia hamowania?
ROZWIĄZANIE

28.7 Pocisk o masie 20 g wylatuje z lufy karabinu z prędkością v=650 m/s, przechodząc przez lufę w czasie t=0,00095 s. Wyznacz średnie ciśnienie gazów wyrzucających pocisk, jeśli pole przekroju poprzecznego kanału wynosi σ=150 mm^2.
ROZWIĄZANIE

28.8 Punkt M porusza się wokół stałego środka pod wpływem siły przyciągania skierowanej w stronę tego środka. Znajdź prędkość v2 w punkcie trajektorii najbardziej oddalonym od środka, jeśli prędkość punktu znajdującego się najbliżej niego wynosi v1=30 cm/s, a r2 jest pięciokrotnie większe niż r1.
ROZWIĄZANIE

28.9 Znajdź impuls wypadkowej wszystkich sił działających na pocisk w czasie, gdy pocisk przemieszcza się z położenia początkowego O do najwyższego położenia M. Dane: v0=500 m/s; α0=60°; v1=200 m/s; masa pocisku 100 kg.
ROZWIĄZANIE

28.10 Dwie planetoidy M1 i M2 opisują tę samą elipsę, w której ognisku S znajduje się Słońce. Odległość między nimi jest na tyle mała, że ​​łuk M1M2 elipsy można uznać za odcinek prosty. Wiadomo, że długość łuku M1M2 była równa a, gdy jego środek znajdował się w peryhelium P. Zakładając, że asteroidy poruszają się z jednakowymi prędkościami sektorowymi, wyznacz długość łuku M1M2 w chwili, gdy jego środek przechodzi przez aphelium A, jeżeli jest wiadomo, że SP = R1 i SA =R2.
ROZWIĄZANIE

28.11 Chłopiec o masie 40 kg stoi na płozach sań sportowych o masie 20 kg i co sekundę pcha się z impulsem 20 N*s. Znajdź prędkość, jaką uzyskały sanki w ciągu 15 s, jeśli współczynnik tarcia wynosi f=0,01.
ROZWIĄZANIE

28.12 Punkt wykonuje ruch jednostajny po okręgu z prędkością v=0,2 m/s, wykonując pełny obrót w czasie T=4 s. Znajdź impuls S sił działających na punkt podczas jednego półokresu, jeśli masa punktu wynosi m=5 kg. Wyznacz średnią wartość siły F.
ROZWIĄZANIE

28.13 Dwa wahadła matematyczne zawieszone na nitkach o długości l1 i l2 (l1>l2) drgają z tą samą amplitudą. Obydwa wahadła jednocześnie zaczęły poruszać się w tym samym kierunku, wychodząc z skrajnie odchylonych pozycji. Znajdź warunek, jaki muszą spełniać długości l1 i l2, aby wahadła po pewnym czasie jednocześnie powróciły do ​​położenia równowagi. Wyznacz najkrótszy przedział czasu T.
ROZWIĄZANIE

28.14 Kulka o masie m, przywiązana do nierozciągliwej nici, ślizga się po gładkiej poziomej płaszczyźnie; drugi koniec nici wciąga się ze stałą prędkością a do otworu wykonanego na płaszczyźnie. Wyznaczyć ruch kulki i naprężenie nitki T, jeżeli wiadomo, że w chwili początkowej nitka leży w linii prostej, odległość kulki od otworu jest równa R, a rzut prędkość początkowa kuli prostopadle do kierunku gwintu jest równa v0.
ROZWIĄZANIE

28.15 Wyznacz masę M Słońca, mając następujące dane: promień Ziemi R=6,37*106 m, średnia gęstość 5,5 t/m3, półoś wielka orbity Ziemi a=1,49*10^11 m, czas obrotu Ziemi wokół Słońca T=365,25 dni. Siłę powszechnego ciążenia pomiędzy dwiema masami równymi 1 kg w odległości 1 m uważa się za równą gR2/m Н, gdzie m jest masą Ziemi; Z praw Keplera wynika, że ​​siła przyciągania Ziemi przez Słońce wynosi 4π2a3m/(T2r2), gdzie r jest odległością Ziemi od Słońca.
ROZWIĄZANIE

28.16 Punkt o masie m, na który działa siła centralna F, opisuje lemniskatę r2=a cos 2φ, gdzie a jest wartością stałą, r jest odległością punktu od środka siły; w chwili początkowej r=r0 prędkość punktu jest równa v0 i tworzy kąt α z prostą łączącą punkt ze środkiem siły. Wyznacz wielkość siły F wiedząc, że zależy ona tylko od odległości r. Według wzoru Bineta F =-(mc2/r2)(d2(1/r)/dφ2+1/r), gdzie c jest prędkością podwójnego sektora punktu.
ROZWIĄZANIE

28.17 Punkt M, którego masa wynosi m, porusza się w pobliżu stałego środka O pod wpływem siły F pochodzącej z tego środka i zależnej tylko od odległości MO=r. Wiedząc, że prędkość punktu v=a/r, gdzie a jest wartością stałą, znajdź wartość siły F i trajektorię punktu.
ROZWIĄZANIE

28.18 Wyznaczyć ruch punktu o masie 1 kg pod działaniem centralnej siły przyciągania, odwrotnie proporcjonalnej do sześcianu odległości punktu od środka ciężkości, mając następujące dane: w odległości 1 m , siła wynosi 1 N. W chwili początkowej odległość punktu od środka ciężkości wynosi 2 m, prędkość v0=0,5 m/s i tworzy kąt 45° z kierunkiem prostej poprowadzonej z punktu centrum do punktu.
ROZWIĄZANIE

28.19 Cząstka M o masie 1 kg przyciągana jest do stałego środka O siłą odwrotnie proporcjonalną do piątej potęgi odległości. Siła ta jest równa 8 N w odległości 1 m. W chwili początkowej cząstka znajduje się w odległości OM0 = 2 m i ma prędkość prostopadłą do OM0 i równą 0,5 m/s. Wyznacz trajektorię cząstki.
ROZWIĄZANIE

28.20 Punkt o masie 0,2 kg, poruszający się pod wpływem siły przyciągania do nieruchomego środka zgodnie z prawem ciężkości Newtona, opisuje pełną elipsę o półosiach 0,1 m i 0,08 m przez 50 s. Określ największe i najmniejsze wartości siły przyciągania F podczas tego ruchu.
ROZWIĄZANIE

28.21 Wahadło matematyczne, którego każde wahnięcie trwa jedną sekundę, nazywane jest wahadłem sekundowym i służy do liczenia czasu. Znajdź długość l tego wahadła, zakładając, że przyspieszenie ziemskie wynosi 981 cm/s2. Jaki czas wskaże to wahadło na Księżycu, gdzie przyspieszenie ziemskie jest 6 razy mniejsze niż na Ziemi? Jaką długość l1 powinno mieć drugie wahadło księżycowe?
ROZWIĄZANIE

28.22 W pewnym momencie na Ziemi wahadło sekundowe poprawnie odlicza czas. Po przeniesieniu w inne miejsce opóźnia się o T sekund dziennie. Wyznacz przyspieszenie ziemskie w nowym położeniu wahadła sekundowego.

Pogląd: ten artykuł przeczytano 18009 razy

Pdf Wybierz język... Rosyjski Ukraiński Angielski

Krótka recenzja

Całość materiału pobiera się powyżej, po wybraniu języka

Twierdzenie o zmianie momentu pędu punktu materialnego

Pęd

Moment pędu punktu M względem środka O jest wektorem skierowanym prostopadle do płaszczyzny przechodzącej przez wektor pędu i środek O w kierunku, z którego widoczny jest obrót wektora pędu względem środka O w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Moment pędu punktu M względem osi i jest równy iloczynowi rzutu wektora pędu na płaszczyznę prostopadłą do osi na ramię tego rzutu względem punktu O przecięcia osi z płaszczyzną.

Twierdzenie o zmianie momentu pędu punktu materialnego względem środka

Pochodna po czasie momentu pędu punktu materialnego względem jakiegoś stałego środka jest równa sumie geometrycznej momentów sił działających na punkt względem tego samego środka.

Twierdzenie o zmianie momentu pędu punktu materialnego względem osi

Pochodna po czasie momentu pędu punktu materialnego względem jakiejś ustalonej osi jest równa sumie algebraicznej momentów sił działających na punkt względem tej samej osi.

Prawa zachowania momentu pędu punktu materialnego

1. Jeżeli linia działania sił wypadkowych przyłożonych do punktu materialnego zawsze przechodzi przez jakiś ustalony środek, to moment pędu punktu materialnego pozostaje stały.
2. Jeżeli moment sił wypadkowych przyłożonych do punktu materialnego względem określonej osi jest zawsze równy zeru, to moment pędu punktu materialnego względem tej samej osi pozostaje stały.

Twierdzenie o zmianie głównego momentu pędu układu

Moment kinetyczny

Moment kinetyczny lub główny moment pędu układu mechanicznego względem centrum nazywany wektorem równym sumie geometrycznej pędu wszystkich punktów materialnych układu względem tego samego środka.

Moment kinetyczny lub główny moment pędu układu mechanicznego względem osi nazwać algebraiczną sumą momentów wielkości ruchu wszystkich punktów materialnych względem tej samej osi

Rzut momentu kinetycznego układu mechanicznego względem środka O na oś przechodzącą przez ten środek jest równy momentowi kinetycznemu układu względem tej osi.

Twierdzenie o zmianie głównego momentu pędu układu (względem środka) - twierdzenie o momentach

Pochodna po czasie momentu kinetycznego układu mechanicznego względem jakiegoś stałego środka jest geometrycznie równa głównemu momentowi sił zewnętrznych działających na ten układ względem tego samego środka

Twierdzenie o zmianie momentu pędu układu mechanicznego (względem osi)

Pochodna po czasie momentu kinetycznego układu mechanicznego względem określonej osi jest równa głównemu momentowi sił zewnętrznych względem tej samej osi.

Prawa zachowania momentu pędu układu mechanicznego

1. Jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem jakiegoś stałego środka jest zawsze równy zeru, to moment kinetyczny układu mechanicznego względem tego środka jest wartością stałą.
2. Jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem danej osi wynosi zero, to moment kinetyczny układu mechanicznego względem tej osi ma wartość stałą.

1. Twierdzenie o momentach ma ogromne znaczenie w badaniu ruchu obrotowego ciał i pozwala nie brać pod uwagę oczywiście nieznanych sił wewnętrznych.
2. Siły wewnętrzne nie mogą zmienić głównego momentu pędu układu.

Pęd układu wirującego

W przypadku układu, który obraca się wokół stałej osi (lub osi przechodzącej przez środek masy), moment pędu wokół osi obrotu jest równy iloczynowi momentu bezwładności wokół tej osi i prędkości kątowej.

Format: pdf

Język: rosyjski, ukraiński

Przykład obliczeń koła zębatego czołowego
Przykład obliczenia koła zębatego czołowego. Dokonano doboru materiału, obliczenia dopuszczalnych naprężeń, obliczenia wytrzymałości stykowej i zginającej.

Przykład rozwiązania problemu zginania belki
W przykładzie skonstruowano wykresy sił poprzecznych i momentów zginających, znaleziono niebezpieczny przekrój i wybrano dwuteownik. W zadaniu dokonano analizy konstrukcji diagramów wykorzystując zależności różniczkowe oraz przeprowadzono analizę porównawczą różnych przekrojów belki.

Przykład rozwiązania problemu skręcania wału
Zadanie polega na badaniu wytrzymałości wału stalowego przy zadanej średnicy, materiale i dopuszczalnym naprężeniu. Podczas rozwiązywania konstruowane są wykresy momentów obrotowych, naprężeń ścinających i kątów skręcenia. Ciężar własny wału nie jest brany pod uwagę

Przykład rozwiązania problemu rozciągania-ściskania pręta
Zadanie polega na badaniu wytrzymałości pręta stalowego przy określonych naprężeniach dopuszczalnych. Podczas rozwiązywania konstruowane są wykresy sił podłużnych, naprężeń normalnych i przemieszczeń. Ciężar własny wędki nie jest brany pod uwagę

Zastosowanie twierdzenia o zachowaniu energii kinetycznej
Przykład rozwiązania zadania z wykorzystaniem twierdzenia o zachowaniu energii kinetycznej układu mechanicznego

Wyznaczanie prędkości i przyspieszenia punktu za pomocą zadanych równań ruchu
Przykład rozwiązania zadania wyznaczenia prędkości i przyspieszenia punktu przy wykorzystaniu zadanych równań ruchu

Wyznaczanie prędkości i przyspieszeń punktów ciała sztywnego podczas ruchu płasko-równoległego
Przykład rozwiązania zadania wyznaczenia prędkości i przyspieszeń punktów ciała sztywnego podczas ruchu płasko-równoległego

Wyznaczanie sił w prętach kratownicy płaskiej
Przykład rozwiązania problemu wyznaczania sił w prętach kratownicy płaskiej metodą Rittera i metodą węzłów tnących

Moment kinetyczny punktu i układu mechanicznego

Ryż. 3.14

Jedną z dynamicznych charakterystyk ruchu punktu materialnego i układu mechanicznego jest moment kinetyczny lub moment pędu.

W przypadku punktu materialnego moment pędu względem dowolnego środka O jest momentem pędu punktu względem tego środka (ryc. 3.14),

Moment kinetyczny punktu materialnego względem osi to rzut na tę oś momentu kinetycznego punktu względem dowolnego środka tej osi:

Moment kinetyczny układu mechanicznego względem środka O jest sumą geometryczną momentów kinetycznych wszystkich punktów układu względem tego samego środka (ryc. 3.15):

(3.20)

Moment kinetyczny jest przykładany do punktu O, względem którego jest obliczana.

Jeśli rzutujemy (3.20) na osie kartezjańskiego układu współrzędnych, otrzymamy rzuty momentu kinetycznego na te osie, czyli momenty kinetyczne względem osi współrzędnych:

Wyznaczmy moment kinetyczny ciała względem jego ustalonej osi obrotu z(ryc. 3.16).

Zgodnie ze wzorami (3.21) mamy

Ale gdy ciało obraca się z prędkością kątową w, prędkość i wielkość ruchu punktu prostopadle do odcinka nie wiem i leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu Oz, stąd,

Dla całego ciała:

Gdzie J z– moment bezwładności względem osi obrotu.

W konsekwencji moment pędu ciała sztywnego względem osi obrotu jest równy iloczynowi momentu bezwładności ciała względem danej osi i prędkości kątowej ciała.

2. Twierdzenie o zmianie momentu pędu
układ mechaniczny

Moment kinetyczny układu względem nieruchomego środka O(ryc. 3.15)

Weźmy pochodną po czasie z lewej i prawej strony tej równości:

(3.22)

Weźmy to pod uwagę wówczas wyrażenie (3.22) przybierze postać

Lub, biorąc pod uwagę to

– suma momentów sił zewnętrznych względem środka O, w końcu mamy:

(3.23)

Równość (3.23) wyraża twierdzenie o zmianie momentu pędu.

Twierdzenie o zmianie momentu pędu. Pochodna po czasie momentu kinetycznego układu mechanicznego względem nieruchomego środka jest równa głównemu momentowi sił zewnętrznych układu względem tego samego środka.

Po rzutowaniu równości (3.23) na stałe osie współrzędnych kartezjańskich otrzymujemy reprezentację twierdzenia w rzutach na te osie:

Z (3.23) wynika, że ​​jeśli główny moment sił zewnętrznych względem dowolnego stałego środka wynosi zero, to moment kinetyczny względem tego środka pozostaje stały, tj. Jeśli

(3.24)

Jeżeli suma momentów sił zewnętrznych układu względem dowolnej ustalonej osi wynosi zero, to odpowiadający mu rzut momentu kinetycznego pozostaje stały,

(3.25)

Twierdzenia (3.24) i (3.25) reprezentują prawo zachowania momentu pędu układu.

Uzyskajmy twierdzenie o zmianie momentu kinetycznego układu wybierając punkt jako punkt przy obliczaniu momentu kinetycznego A, poruszając się względem inercjalnego układu odniesienia z prędkością

Moment kinetyczny układu względem punktu A(ryc. 3.17)

ponieważ To

Biorąc pod uwagę, że gdzie jest prędkość środka masy układu, otrzymujemy

Obliczmy pochodną po czasie momentu pędu

W wynikowym wyrażeniu:

Łącząc drugi i trzeci termin i biorąc to pod uwagę

w końcu dostajemy

Jeśli punkt pokrywa się ze środkiem masy układu C, To i twierdzenie przyjmuje postać

te. ma taki sam kształt jak punkt stały O.

3. Równanie różniczkowe obrotu ciała sztywnego
wokół stałej osi

Niech sztywne ciało obraca się wokół ustalonej osi Az(ryc. 3.18) pod wpływem układu sił zewnętrznych
Zapiszmy równanie twierdzenia o zmianie momentu pędu układu w rzucie na oś obrotu:

Dla przypadku obrotu ciała sztywnego wokół ustalonej osi:

Gdzie J z– stały moment bezwładności względem osi obrotu; w – prędkość kątowa.

Biorąc to pod uwagę otrzymujemy:

Jeśli wprowadzimy kąt obrotu ciała j, to biorąc pod uwagę równość mamy

(3.26)

Wyrażenie (3.26) jest równaniem różniczkowym obrotu ciała sztywnego wokół ustalonej osi.

4. Twierdzenie o zmianie momentu pędu układu
we względnym ruchu względem środka masy

Aby zbadać układ mechaniczny, wybieramy stały układ współrzędnych Wół 1 y 1 z 1 i ruchome Cxyz z początkiem w środku masy C, poruszając się do przodu (ryc. 3.19).

Z trójkąta wektorowego:

Różniczkując tę ​​równość ze względu na czas, otrzymujemy

Lub

gdzie jest prędkością bezwzględną punktu Mk, - prędkość bezwzględna środka masy Z,
- prędkość względna punktu Mk, ponieważ

Pęd wokół punktu O

Zastępując wartości i , otrzymujemy

W tym wyrażeniu: – masa układu; ;

– moment pędu układu względem środka masy dla ruchu względnego w układzie współrzędnych Сxyz.

Moment kinetyczny przyjmuje postać

Twierdzenie o zmianie momentu pędu względem punktu O wygląda jak

Zastąpmy wartości i dostajemy

Przekształćmy to wyrażenie, biorąc pod uwagę to

Lub

Wzór ten wyraża twierdzenie o zmianie momentu pędu układu względem środka masy na względny ruch układu względem układu współrzędnych poruszającego się translacyjnie ze środkiem masy. Formułuje się go w taki sam sposób, jak gdyby środek masy był punktem stałym.