Cum se determină dacă vectorii sunt dependenți sau independenți liniar. Dependența liniară a vectorilor

Dependența liniară și independența liniară a vectorilor.
Baza vectorilor. Sistem de coordonate afin

În sală există un cărucior cu bomboane de ciocolată, iar fiecare vizitator de astăzi va primi un cuplu dulce - geometrie analitică cu algebră liniară. Acest articol va atinge simultan două secțiuni ale matematicii superioare și vom vedea cum ele coexistă într-un singur pachet. Ia o pauză, mănâncă un Twix! ... la naiba, ce grămadă de prostii. Deși, bine, nu voi înscrie, în cele din urmă, ar trebui să ai o atitudine pozitivă față de studiu.

Dependența liniară a vectorilor, independența vectorului liniar, baza vectoriala iar alți termeni au nu numai o interpretare geometrică, ci, mai presus de toate, un sens algebric. Însuși conceptul de „vector” din punctul de vedere al algebrei liniare nu este întotdeauna vectorul „obișnuit” pe care îl putem reprezenta într-un plan sau în spațiu. Nu trebuie să cauți departe pentru dovezi, încearcă să desenezi un vector de spațiu cu cinci dimensiuni . Sau vectorul vremii, pentru care tocmai am fost la Gismeteo: temperatura și respectiv presiunea atmosferică. Exemplul, desigur, este incorect din punctul de vedere al proprietăților spațiului vectorial, dar, cu toate acestea, nimeni nu interzice formalizarea acestor parametri ca vector. Respirația de toamnă...

Nu, nu am de gând să vă plictisesc cu teorie, spații vectoriale liniare, sarcina este să a intelege definiții și teoreme. Termenii noi (dependență liniară, independență, combinație liniară, bază etc.) se aplică tuturor vectorilor din punct de vedere algebric, dar se vor da exemple geometrice. Astfel, totul este simplu, accesibil și clar. Pe lângă problemele de geometrie analitică, vom lua în considerare și câteva probleme tipice de algebră. Pentru a stăpâni materialul, este indicat să vă familiarizați cu lecțiile Vectori pentru manechineȘi Cum se calculează determinantul?

Dependența liniară și independența vectorilor plani.
Baza plană și sistemul de coordonate afine

Să luăm în considerare planul biroului computerului dvs. (doar o masă, noptieră, podea, tavan, orice doriți). Sarcina va consta din următoarele acțiuni:

1) Selectați baza avionului. În linii mari, un blat de masă are o lungime și o lățime, deci este intuitiv că vor fi necesari doi vectori pentru a construi baza. Un vector nu este suficient, trei vectori sunt prea mult.

2) Bazat pe baza selectată setați sistemul de coordonate(grilă de coordonate) pentru a atribui coordonate tuturor obiectelor de pe tabel.

Nu fi surprins, la început explicațiile vor fi pe degete. Mai mult, pe a ta. Vă rugăm să plasați degetul arătător stâng pe marginea mesei astfel încât să se uite la monitor. Acesta va fi un vector. Acum loc degetul mic drept pe marginea mesei în același mod - astfel încât să fie îndreptată spre ecranul monitorului. Acesta va fi un vector. Zâmbește, arăți grozav! Ce putem spune despre vectori? Vectori de date coliniare, care înseamnă liniar exprimate unul prin altul:
, bine, sau invers: , unde este un număr diferit de zero.

Puteți vedea o imagine a acestei acțiuni în clasă. Vectori pentru manechine, unde am explicat regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr.

Vor stabili degetele tale baza pe planul biroului computerului? Evident nu. Vectorii coliniari călătoresc înainte și înapoi singur direcție, iar un plan are lungime și lățime.

Astfel de vectori se numesc dependent liniar.

Referinţă: Cuvintele „liniar”, „liniar” denotă faptul că în ecuațiile și expresiile matematice nu există pătrate, cuburi, alte puteri, logaritmi, sinusuri etc. Există doar expresii și dependențe liniare (gradul I).

Doi vectori plani dependent liniar dacă și numai dacă sunt coliniare.

Încrucișează-ți degetele pe masă, astfel încât să existe orice unghi între ele, cu excepția 0 sau 180 de grade. Doi vectori planiliniar Nu dependente dacă și numai dacă nu sunt coliniare. Deci, baza este obținută. Nu trebuie să vă simțiți jenat că baza s-a dovedit a fi „deformată” cu vectori neperpendiculari de diferite lungimi. Foarte curând vom vedea că nu numai un unghi de 90 de grade este potrivit pentru construcția sa, și nu numai vectori unitari de lungime egală

Orice vector plan singura cale este extins în funcție de baza:
, unde sunt numerele reale. Numerele sunt numite coordonate vectorialeîn această bază.

Se mai spune că vectorprezentat ca combinație liniară vectori de bază. Adică expresia se numește descompunere vectorialăpe bază sau combinație liniară vectori de bază.

De exemplu, putem spune că vectorul este descompus de-a lungul unei baze ortonormale a planului, sau putem spune că este reprezentat ca o combinație liniară de vectori.

Să formulăm definirea bazei oficial: Baza avionului se numește pereche de vectori liniar independenți (necoliniari), , în care orice un vector plan este o combinație liniară de vectori de bază.

Un punct esențial al definiției este faptul că vectorii sunt luați într-o anumită ordine. Bazele – acestea sunt două baze complet diferite! După cum se spune, nu poți înlocui degetul mic de la mâna stângă în locul degetului mic de la mâna dreaptă.

Am descoperit baza, dar nu este suficient să setați o grilă de coordonate și să atribuiți coordonate fiecărui element de pe biroul computerului. De ce nu este suficient? Vectorii sunt liberi și rătăcesc pe tot planul. Deci, cum atribui coordonatele acelor mici locuri murdare de pe masă care au rămas după un weekend sălbatic? Este nevoie de un punct de plecare. Și un astfel de reper este un punct familiar tuturor - originea coordonatelor. Să înțelegem sistemul de coordonate:

Voi începe cu sistemul „școlar”. Deja în lecția introductivă Vectori pentru manechine Am evidențiat câteva diferențe între sistemul de coordonate dreptunghiular și baza ortonormală. Iată imaginea standard:

Când vorbesc despre sistem de coordonate dreptunghiular, atunci cel mai adesea înseamnă originea, axele de coordonate și scala de-a lungul axelor. Încercați să introduceți „sistem de coordonate dreptunghiulare” într-un motor de căutare și veți vedea că multe surse vă vor spune despre axele de coordonate familiare din clasa a 5-a-6-a și cum să reprezentați punctele pe un plan.

Pe de altă parte, se pare că un sistem de coordonate dreptunghiular poate fi complet definit în termenii unei baze ortonormale. Și asta este aproape adevărat. Formularea este următoarea:

origine, Și ortonormal baza este pusă Sistemul de coordonate plan cartezian dreptunghiular . Adică sistemul de coordonate dreptunghiular categoric este definită de un singur punct și doi vectori ortogonali unitari. De aceea vezi desenul pe care l-am dat mai sus - în problemele geometrice, atât vectorii, cât și axele de coordonate sunt adesea (dar nu întotdeauna) desenate.

Cred că toată lumea înțelege că folosind un punct (origine) și o bază ortonormală ORICE PUNCT din avion și ORICE VECTOR din avion pot fi atribuite coordonate. Figurat vorbind, „totul dintr-un avion poate fi numerotat”.

Este necesar ca vectorii de coordonate să fie unitar? Nu, pot avea o lungime arbitrară diferită de zero. Luați în considerare un punct și doi vectori ortogonali de lungime arbitrară diferită de zero:

O astfel de bază se numește ortogonală. Originea coordonatelor cu vectori este definită de o grilă de coordonate, iar orice punct din plan, orice vector își are coordonatele într-o bază dată. De exemplu, sau. Inconvenientul evident este că vectorii de coordonate în general au lungimi diferite, altele decât unitate. Dacă lungimile sunt egale cu unitatea, atunci se obține baza ortonormală obișnuită.

! Notă : în baza ortogonală, precum și mai jos în bazele afine ale planului și spațiului, se consideră unități de-a lungul axelor CONDIŢIONAL. De exemplu, o unitate de-a lungul axei x conține 4 cm, o unitate de-a lungul axei ordonatelor conține 2 cm. Această informație este suficientă pentru a converti, dacă este necesar, coordonatele „non-standard” în „centimetrii noștri obișnuiți”.

Și a doua întrebare, la care de fapt a primit deja răspuns, este dacă unghiul dintre vectorii de bază trebuie să fie egal cu 90 de grade? Nu! După cum afirmă definiția, vectorii de bază trebuie să fie numai necoliniare. În consecință, unghiul poate fi orice, cu excepția 0 și 180 de grade.

Un punct din avion numit origine, Și necoliniare vectori, , a stabilit sistem de coordonate plan afin :

Uneori este numit un astfel de sistem de coordonate oblic sistem. Ca exemple, desenul prezintă puncte și vectori:

După cum înțelegeți, sistemul de coordonate afine este și mai puțin convenabil formulele pentru lungimile vectorilor și segmentelor, despre care am discutat în a doua parte a lecției, nu funcționează în el; Vectori pentru manechine, multe formule delicioase legate de produsul scalar al vectorilor. Dar sunt valabile regulile de adunare a vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr, formulele de împărțire a unui segment în această relație, precum și alte tipuri de probleme pe care le vom lua în considerare în curând.

Iar concluzia este că cel mai convenabil caz special al unui sistem de coordonate afine este sistemul dreptunghiular cartezian. De aceea, cel mai adesea trebuie să o vezi, draga mea. ...Totuși, totul în această viață este relativ - există multe situații în care un unghi oblic (sau altul, de exemplu, polar) sistem de coordonate. Și umanoizilor le-ar putea plăcea astfel de sisteme =)

Să trecem la partea practică. Toate problemele din această lecție sunt valabile atât pentru sistemul de coordonate dreptunghiulare, cât și pentru cazul afin general. Nu este nimic complicat aici, tot materialul este accesibil chiar și unui școlar.

Cum se determină coliniaritatea vectorilor plani?

Lucru tipic. Pentru doi vectori plani au fost coliniare, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționaleÎn esență, aceasta este o detaliere coordonată cu coordonată a relației evidente.

Exemplul 1

a) Verificați dacă vectorii sunt coliniari .
b) Vectorii formează o bază? ?

Soluţie:
a) Să aflăm dacă există pentru vectori coeficient de proporționalitate, astfel încât egalitățile să fie îndeplinite:

Cu siguranță vă voi spune despre versiunea „foppish” a aplicării acestei reguli, care funcționează destul de bine în practică. Ideea este să inventezi imediat proporția și să vezi dacă este corectă:

Să facem o proporție din rapoartele coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor:

Să scurtăm:
, astfel coordonatele corespunzătoare sunt proporționale, prin urmare,

Relația ar putea fi făcută invers, aceasta este o opțiune echivalentă:

Pentru autotest, puteți folosi faptul că vectorii coliniari sunt exprimați liniar unul prin celălalt. În acest caz, au loc egalitățile . Valabilitatea lor poate fi ușor verificată prin operații elementare cu vectori:

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Examinăm vectorii pentru coliniaritate . Să creăm un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , din a doua ecuație rezultă că , ceea ce înseamnă sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor nu sunt proporționale.

Concluzie: vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

O versiune simplificată a soluției arată astfel:

Să facem o proporție din coordonatele corespunzătoare ale vectorilor :
, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt independenți liniar și formează o bază.

De obicei, această opțiune nu este respinsă de recenzori, dar apare o problemă în cazurile în care unele coordonate sunt egale cu zero. Ca aceasta: . Sau cam asa: . Sau cam asa: . Cum să lucrezi prin proporție aici? (într-adevăr, nu poți împărți la zero). Din acest motiv am numit soluția simplificată „foppish”.

Răspuns: a), b) formă.

Un mic exemplu creativ pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 2

La ce valoare a parametrului sunt vectorii vor fi coliniari?

În soluția de probă, parametrul se găsește prin proporție.

Există o modalitate algebrică elegantă de a verifica coliniaritatea vectorilor. Să ne sistematizăm cunoștințele și să le adăugăm ca al cincilea punct:

Pentru doi vectori plani următoarele afirmații sunt echivalente:

2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coliniari;

+ 5) determinantul compus din coordonatele acestor vectori este diferit de zero.

Respectiv, următoarele afirmații opuse sunt echivalente:
1) vectorii sunt dependenți liniar;
2) vectorii nu formează o bază;
3) vectorii sunt coliniari;
4) vectorii pot fi exprimați liniar unul prin altul;
+ 5) determinantul compus din coordonatele acestor vectori este egal cu zero.

Sper cu adevărat că până acum înțelegeți deja toți termenii și afirmațiile pe care le-ați întâlnit.

Să aruncăm o privire mai atentă la noul, al cincilea punct: doi vectori plani sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:. Pentru a aplica această caracteristică, desigur, trebuie să fii capabil găsiți determinanți.

Să decidem Exemplul 1 în al doilea mod:

a) Să calculăm determinantul alcătuit din coordonatele vectorilor :
, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt coliniari.

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale :
, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

Răspuns: a), b) formă.

Arată mult mai compact și mai frumos decât o soluție cu proporții.

Cu ajutorul materialului luat în considerare, se poate stabili nu numai coliniaritatea vectorilor, ci și demonstrarea paralelismului segmentelor și liniilor drepte. Să luăm în considerare câteva probleme cu forme geometrice specifice.

Exemplul 3

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că un patrulater este un paralelogram.

Dovada: Nu este nevoie să creați un desen în problemă, deoarece soluția va fi pur analitică. Să ne amintim definiția paralelogramului:
Paralelogram Un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi se numește.

Astfel, este necesar să se dovedească:
1) paralelismul laturilor opuse și;
2) paralelismul laturilor opuse și.

Demonstrăm:

1) Găsiți vectorii:

2) Găsiți vectorii:

Rezultatul este același vector („conform școlii” – vectori egali). Coliniaritatea este destul de evidentă, dar este mai bine să formalizezi decizia clar, cu aranjament. Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale:
, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt coliniari și .

Concluzie: Laturile opuse ale unui patrulater sunt paralele în perechi, ceea ce înseamnă că este un paralelogram prin definiție. Q.E.D.

Cifre mai bune și diferite:

Exemplul 4

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că un patrulater este un trapez.

Pentru o formulare mai riguroasă a dovezii, este mai bine, desigur, să obțineți definiția unui trapez, dar este suficient să vă amintiți pur și simplu cum arată.

Aceasta este o sarcină pe care o puteți rezolva singur. Soluție completă la sfârșitul lecției.

Și acum este timpul să trecem încet din avion în spațiu:

Cum se determină coliniaritatea vectorilor spațiali?

Regula este foarte asemănătoare. Pentru ca doi vectori spațiali să fie coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționale.

Exemplul 5

Aflați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:

A) ;
b)
V)

Soluţie:
a) Să verificăm dacă există un coeficient de proporționalitate pentru coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

Sistemul nu are soluție, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

„Simplificat” se formalizează prin verificarea proporției. În acest caz:
– coordonatele corespunzătoare nu sunt proporționale, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

Răspuns: vectorii nu sunt coliniari.

b-c) Acestea sunt puncte pentru o decizie independentă. Încercați-l în două moduri.

Există o metodă pentru verificarea coliniarității vectorilor spațiali printr-un determinant de ordinul trei, această metodă este tratată în articol Produs vectorial al vectorilor.

Similar cazului plan, instrumentele luate în considerare pot fi folosite pentru a studia paralelismul segmentelor spațiale și al liniilor drepte.

Bun venit la a doua secțiune:

Dependența liniară și independența vectorilor în spațiul tridimensional.
Baza spațială și sistemul de coordonate afine

Multe dintre modelele pe care le-am examinat în avion vor fi valabile pentru spațiu. Am încercat să minimizez notele de teorie, deoarece partea leului din informații a fost deja mestecată. Cu toate acestea, vă recomand să citiți cu atenție partea introductivă, deoarece vor apărea termeni și concepte noi.

Acum, în loc de planul biroului computerului, explorăm spațiul tridimensional. În primul rând, să-i creăm baza. Cineva este acum în interior, cineva este în aer liber, dar, în orice caz, nu putem scăpa de trei dimensiuni: lățime, lungime și înălțime. Prin urmare, pentru a construi o bază, vor fi necesari trei vectori spațiali. Unul sau doi vectori nu sunt de ajuns, al patrulea este de prisos.

Și din nou ne încălzim pe degete. Vă rugăm să ridicați mâna și să o întindeți în direcții diferite degetul mare, arătător și mijlociu. Aceștia vor fi vectori, arată în direcții diferite, au lungimi diferite și au unghiuri diferite între ei. Felicitări, baza spațiului tridimensional este gata! Apropo, nu este nevoie să le demonstrați profesorilor acest lucru, oricât de tare vă răsuciți degetele, dar nu puteți scăpa de definiții =)

În continuare, să ne punem o întrebare importantă: oricare trei vectori formează o bază a spațiului tridimensional? Vă rugăm să apăsați ferm trei degete pe partea de sus a biroului computerului. Ce s-a întâmplat? Trei vectori sunt localizați în același plan și, aproximativ vorbind, am pierdut una dintre dimensiuni - înălțimea. Astfel de vectori sunt coplanareși, este destul de evident că baza spațiului tridimensional nu este creată.

Trebuie remarcat faptul că vectorii coplanari nu trebuie să se afle în același plan, ei pot fi în planuri paralele (doar nu face asta cu degetele, doar Salvador Dali a făcut asta =)).

Definiție: se numesc vectorii coplanare, dacă există un plan cu care sunt paralele. Este logic să adăugăm aici că dacă un astfel de plan nu există, atunci vectorii nu vor fi coplanari.

Trei vectori coplanari sunt întotdeauna dependenți liniar, adică sunt exprimate liniar unul prin celălalt. Pentru simplitate, să ne imaginăm din nou că se află în același plan. În primul rând, vectorii nu sunt doar coplanari, ci pot fi și coliniari, apoi orice vector poate fi exprimat prin orice vector. În al doilea caz, dacă, de exemplu, vectorii nu sunt coliniari, atunci al treilea vector este exprimat prin ei într-un mod unic: (și de ce este ușor de ghicit din materialele din secțiunea anterioară).

Este adevărat și invers: trei vectori necoplanari sunt întotdeauna liniar independenți, adică nu sunt în niciun fel exprimate unul prin altul. Și, evident, doar astfel de vectori pot sta la baza spațiului tridimensional.

Definiție: Baza spațiului tridimensional se numește un triplu de vectori liniar independenți (necoplanari), luate într-o anumită ordine, și orice vector de spațiu singura cale este descompusă pe o bază dată, unde sunt coordonatele vectorului din această bază

Permiteți-mi să vă reamintesc că putem spune și că vectorul este reprezentat sub formă combinație liniară vectori de bază.

Conceptul de sistem de coordonate este introdus exact în același mod ca în cazul unui punct și oricare trei vectori liniar independenți sunt suficiente:

origine, Și necoplanare vectori, luate într-o anumită ordine, a stabilit sistem de coordonate afine al spațiului tridimensional :

Desigur, grila de coordonate este „oblică” și incomodă, dar, cu toate acestea, sistemul de coordonate construit ne permite categoric determinați coordonatele oricărui vector și coordonatele oricărui punct din spațiu. Similar unui plan, unele formule pe care le-am menționat deja nu vor funcționa în sistemul de coordonate afine al spațiului.

Cel mai familiar și convenabil caz special al unui sistem de coordonate afine, după cum toată lumea presupune, este sistem de coordonate spațiale dreptunghiulare:

Un punct din spațiu numit origine, Și ortonormal baza este pusă Sistemul de coordonate spațiu dreptunghiular cartezian . Poza cunoscută:

Înainte de a trece la sarcinile practice, să sistematizăm din nou informațiile:

Pentru trei vectori spațiali următoarele afirmații sunt echivalente:
1) vectorii sunt liniar independenți;
2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coplanari;
4) vectorii nu pot fi exprimați liniar unul prin altul;
5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Cred că afirmațiile opuse sunt de înțeles.

Dependența/independența liniară a vectorilor spațiali este în mod tradițional verificată folosind un determinant (punctul 5). Sarcinile practice rămase vor fi de natură algebrică pronunțată. Este timpul să închideți bastonul de geometrie și să mânuiți bâta de baseball de algebră liniară:

Trei vectori ai spațiului sunt coplanare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero: .

Aș dori să vă atrag atenția asupra unei mici nuanțe tehnice: coordonatele vectorilor pot fi scrise nu numai în coloane, ci și în rânduri (valoarea determinantului nu se va schimba de aici - vedeți proprietățile determinanților). Dar este mult mai bine în coloane, deoarece este mai benefic pentru rezolvarea unor probleme practice.

Pentru acei cititori care au uitat puțin metodele de calculare a determinanților și, probabil, nu le înțeleg deloc, recomand una dintre cele mai vechi lecții ale mele: Cum se calculează determinantul?

Exemplul 6

Verificați dacă următorii vectori formează baza spațiului tridimensional:

Soluţie: De fapt, întreaga soluție se rezumă la calcularea determinantului.

a) Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale (determinantul este dezvăluit în prima linie):

, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar (nu coplanari) și formează baza spațiului tridimensional.

Răspuns: acești vectori formează o bază

b) Acesta este un punct de decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Există și sarcini creative:

Exemplul 7

La ce valoare a parametrului vor fi vectorii coplanari?

Soluţie: Vectorii sunt coplanari dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele acestor vectori este egal cu zero:

În esență, trebuie să rezolvați o ecuație cu un determinant. Ne aruncăm pe zerouri ca zmeele pe jerboas - cel mai bine este să deschidem determinantul în a doua linie și să scăpăm imediat de minusuri:

Efectuăm simplificări suplimentare și reducem problema la cea mai simplă ecuație liniară:

Răspuns: la

Este ușor să verificați aici, pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți valoarea rezultată în determinantul original și să vă asigurați că , deschizând-o din nou.

În concluzie, vom lua în considerare o altă problemă tipică, care este de natură mai algebrică și este inclusă în mod tradițional într-un curs de algebră liniară. Este atât de comun încât merită propriul subiect:

Demonstrați că 3 vectori formează baza spațiului tridimensional
și găsiți coordonatele celui de-al 4-lea vector în această bază

Exemplul 8

Se dau vectori. Arătați că vectorii formează o bază în spațiul tridimensional și găsiți coordonatele vectorului în această bază.

Soluţie: În primul rând, să ne ocupăm de condiție. După condiție, sunt dați patru vectori și, după cum puteți vedea, ei au deja coordonate într-o anumită bază. Care este această bază nu ne interesează. Și următorul lucru este de interes: trei vectori pot forma o nouă bază. Și prima etapă coincide complet cu soluția din Exemplul 6, este necesar să se verifice dacă vectorii sunt cu adevărat independenți liniar:

Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale:

, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar și formează baza spațiului tridimensional.

! Important : coordonate vectoriale Neapărat scrie în coloane determinant, nu în șiruri. În caz contrar, va exista confuzie în algoritmul de soluție ulterioară.

Sistemul vectorial este numit dependent liniar, dacă există numere între care cel puțin unul este diferit de zero, astfel încât egalitatea https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Dacă această egalitate este satisfăcută numai în cazul în care toate , atunci sistemul de vectori este numit liniar independent.

Teorema. Sistemul vectorial va fi dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți.

Exemplul 1. Polinom este o combinație liniară de polinoame https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinoamele constituie un sistem liniar independent, deoarece polinomul https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Exemplul 2. Sistemul matriceal, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> este liniar independent, deoarece o combinație liniară este egală cu matrice zero numai în cazul în care https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> dependent liniar.

Soluţie.

Să facem o combinație liniară a acestor vectori https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" înălțime=" 22">.

Echivalând aceleași coordonate ale vectorilor egali, obținem https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

În sfârșit, obținem

Și

Sistemul are o soluție trivială unică, deci o combinație liniară a acestor vectori este egală cu zero numai în cazul în care toți coeficienții sunt egali cu zero. Prin urmare, acest sistem de vectori este liniar independent.

Exemplul 4. Vectorii sunt liniar independenți. Cum vor fi sistemele vectoriale?

A).;

b).?

Soluţie.

A). Să facem o combinație liniară și să o echivalăm cu zero

Folosind proprietățile operațiilor cu vectori în spațiu liniar, rescriem ultima egalitate în formă

Deoarece vectorii sunt liniar independenți, coeficienții la trebuie să fie egali cu zero, adică gif" width="12" height="23 src=">

Sistemul de ecuații rezultat are o soluție trivială unică .

De la egalitate (*) executat numai atunci când https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – liniar independent;

b). Să facem o egalitate https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Aplicând raționament similar, obținem

Rezolvând sistemul de ecuații prin metoda Gauss, obținem

sau

Ultimul sistem are un număr infinit de soluții https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Astfel, există o non- set zero de coeficienți pentru care deține egalitatea (**) . Prin urmare, sistemul de vectori – dependente liniar.

Exemplul 5 Un sistem de vectori este liniar independent, iar un sistem de vectori este liniar dependent..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

În egalitate (***) . Într-adevăr, la , sistemul ar fi dependent liniar.

Din relatie (***) primim sau Să notăm .

Primim

Probleme pentru rezolvare independentă (în clasă)

1. Un sistem care conține un vector zero este dependent liniar.

2. Sistem format dintr-un vector A, este dependentă liniar dacă și numai dacă, a=0.

3. Un sistem format din doi vectori este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii sunt proporționali (adică unul dintre ei se obține din celălalt prin înmulțirea cu un număr).

4. Dacă adăugați un vector la un sistem dependent liniar, obțineți un sistem dependent liniar.

5. Dacă un vector este îndepărtat dintr-un sistem liniar independent, atunci sistemul de vectori rezultat este liniar independent.

6. Dacă sistemul S este liniar independent, dar devine liniar dependent atunci când se adaugă un vector b, apoi vectorul b exprimată liniar prin vectori de sistem S.

c). Sistem de matrice , , în spațiul matricelor de ordinul doi.

10. Fie sistemul de vectori A,b,c spațiul vectorial este liniar independent. Demonstrați independența liniară a următoarelor sisteme vectoriale:

A).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– număr arbitrar

c).a+b, a+c, b+c.

11. Lăsa A,b,c– trei vectori pe planul din care se poate forma un triunghi. Vor fi acești vectori dependenți liniar?

12. Sunt dați doi vectori a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Găsiți încă doi vectori cu patru dimensiuni a3 șia4 astfel încât sistemul a1,a2,a3,a4 a fost liniar independent .

În acest articol vom acoperi:

• ce sunt vectorii coliniari;
• care sunt condițiile de coliniaritate a vectorilor;
• ce proprietăți există ale vectorilor coliniari;
• care este dependența liniară a vectorilor coliniari.

Vectorii coliniari sunt vectori care sunt paraleli cu o singură linie sau se află pe o singură linie.

Exemplul 1

Condiții de coliniaritate a vectorilor

Doi vectori sunt coliniari dacă oricare dintre următoarele condiții este adevărată:

• starea 1 . Vectorii a și b sunt coliniari dacă există un număr λ astfel încât a = λ b;
• starea 2 . Vectorii a și b sunt coliniari cu rapoarte de coordonate egale:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• starea 3 . Vectorii a și b sunt coliniari cu condiția ca produsul încrucișat și vectorul zero să fie egali:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Nota 1

Condiția 2 nu se aplică dacă una dintre coordonatele vectoriale este zero.

Nota 2

Condiția 3 se aplică numai acelor vectori care sunt specificați în spațiu.

Exemple de probleme pentru studiul coliniarității vectorilor

Examinăm vectorii a = (1; 3) și b = (2; 1) pentru coliniaritate.

Cum să rezolve?

În acest caz, este necesar să se folosească a doua condiție de coliniaritate. Pentru vectorii dați arată astfel:

Egalitatea este falsă. Din aceasta putem concluziona că vectorii a și b sunt necoliniari.

Răspuns : a | | b

Exemplul 2

Ce valoare m a vectorului a = (1; 2) și b = (- 1; m) este necesară pentru ca vectorii să fie coliniari?

Cum să rezolve?

Folosind a doua condiție de coliniaritate, vectorii vor fi coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale:

Aceasta arată că m = - 2.

Răspuns: m = - 2 .

Criterii de dependență liniară și independență liniară a sistemelor vectoriale

Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial este dependent liniar numai dacă unul dintre vectorii sistemului poate fi exprimat în termenii vectorilor rămași ai acestui sistem.

Dovada

Fie sistemul e 1 , e 2 , . . . , e n este dependent liniar. Să scriem o combinație liniară a acestui sistem egală cu vectorul zero:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

în care cel puţin unul dintre coeficienţii de combinaţie nu este egal cu zero.

Fie a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Împărțim ambele părți ale egalității cu un coeficient diferit de zero:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Să notăm:

A k - 1 a m , unde m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

În acest caz:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

sau e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Rezultă că unul dintre vectorii sistemului este exprimat prin toți ceilalți vectori ai sistemului. Ceea ce trebuia dovedit (etc.).

Adecvarea

Fie ca unul dintre vectori să fie exprimat liniar prin toți ceilalți vectori ai sistemului:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Mutăm vectorul e k în partea dreaptă a acestei egalități:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Deoarece coeficientul vectorului e k este egal cu - 1 ≠ 0, obținem o reprezentare netrivială a zero printr-un sistem de vectori e 1, e 2, . . . , e n , iar aceasta, la rândul său, înseamnă că acest sistem de vectori este dependent liniar. Ceea ce trebuia dovedit (etc.).

Consecinţă:

• Un sistem de vectori este liniar independent atunci când niciunul dintre vectorii săi nu poate fi exprimat în termenii tuturor celorlalți vectori ai sistemului.
• Un sistem de vectori care conține un vector zero sau doi vectori egali este dependent liniar.

Proprietăți ale vectorilor liniar dependenți

1. Pentru vectorii 2- și 3-dimensionali, este îndeplinită următoarea condiție: doi vectori dependenți liniar sunt coliniari. Doi vectori coliniari sunt dependenți liniar.
2. Pentru vectorii tridimensionali, este îndeplinită următoarea condiție: trei vectori dependenți liniar sunt coplanari. (3 vectori coplanari sunt dependenți liniar).
3. Pentru vectorii n-dimensionali, este îndeplinită următoarea condiție: n + 1 vectori sunt întotdeauna dependenți liniar.

Exemple de rezolvare a problemelor care implică dependența liniară sau independența liniară a vectorilor

Să verificăm vectorii a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 pentru independență liniară.

Soluţie. Vectorii sunt dependenți liniar deoarece dimensiunea vectorilor este mai mică decât numărul de vectori.

Exemplul 4

Să verificăm vectorii a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 pentru independența liniară.

Soluţie. Găsim valorile coeficienților la care combinația liniară va fi egală cu vectorul zero:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Scriem ecuația vectorială în formă liniară:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Rezolvăm acest sistem folosind metoda Gaussiană:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Din a 2-a linie scădem prima, din a 3-a - prima:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Din prima linie scadem pe al 2-lea, pe al 3-lea il adaugam pe al 2-lea:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Din solutie rezulta ca sistemul are multe solutii. Aceasta înseamnă că există o combinație diferită de zero de valori ale unor astfel de numere x 1, x 2, x 3 pentru care combinația liniară a, b, c este egală cu vectorul zero. Prin urmare, vectorii a, b, c sunt dependent liniar. ​​​​​​​

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Lăsa L este un spațiu liniar arbitrar, a i Î L,- elementele sale (vectorii).

Definiție 3.3.1. Expresie , Unde , - numere reale arbitrare, numite combinație liniară vectori a 1, a 2,…, a n.

Dacă vectorul R = , atunci ei spun asta R descompuse în vectori a 1, a 2,…, a n.

Definiție 3.3.2. O combinație liniară de vectori se numește nebanală, dacă printre numere există cel puțin unul diferit de zero. În caz contrar, se numește combinația liniară banal.

Definiția 3.3.3 . Vectorii a 1 , a 2 ,…, a n sunt numite dependente liniar dacă există o combinație liniară netrivială a acestora astfel încât

= 0 .

Definiția 3.3.4. Vectorii a 1 ,a 2 ,…, a n sunt numite liniar independente dacă egalitatea = 0 este posibilă numai în cazul în care toate numerele l 1, l 2,…, l n sunt simultan egale cu zero.

Rețineți că orice element diferit de zero a 1 poate fi considerat ca un sistem liniar independent, deoarece egalitatea l a 1 = 0 posibil doar dacă l= 0.

Teorema 3.3.1. O condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară a 1 , a 2 ,…, a n este posibilitatea de a descompune cel puțin unul dintre aceste elemente în restul.

Dovada. Necesitate. Fie elementele a 1 , a 2 ,…, a n dependent liniar. Înseamnă că = 0 , și cel puțin unul dintre numere l 1, l 2,…, l n diferit de zero. Lasă pentru certitudine l 1 ¹ 0. Apoi

adică elementul a 1 este descompus în elemente a 2 , a 3 , …, a n.

Adecvarea. Fie elementul a 1 descompus în elemente a 2 , a 3 , …, a n, adică a 1 = . Apoi = 0 , prin urmare, există o combinație liniară netrivială de vectori a 1 , a 2 ,…, a n, egal 0 , deci sunt dependente liniar .

Teorema 3.3.2. Dacă cel puțin unul dintre elementele a 1 , a 2 ,…, a n zero, atunci acești vectori sunt dependenți liniar.

Dovada . Lăsa A n= 0 , apoi = 0 , ceea ce înseamnă dependența liniară a acestor elemente.

Teorema 3.3.3. Dacă dintre n vectori orice p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dovada. Fie, pentru certitudine, elementele a 1 , a 2 ,…, a p dependent liniar. Aceasta înseamnă că există o combinație liniară non-trivială astfel încât = 0 . Egalitatea specificată va fi păstrată dacă adăugăm elementul la ambele părți ale acestuia. Apoi + = 0 , și cel puțin unul dintre numere l 1, l 2,…, lp diferit de zero. Prin urmare, vectorii a 1 , a 2 ,…, a n sunt dependente liniar.

Corolarul 3.3.1. Dacă n elemente sunt liniar independente, atunci orice k dintre ele sunt liniar independente (k< n).

Teorema 3.3.4. Dacă vectorii a 1, a 2,…, a n- 1 sunt liniar independente, iar elementele a 1, a 2,…, a n- 1, a n sunt dependente liniar, apoi vectorul A n poate fi extins în vectori a 1, a 2,…, a n- 1 .

Dovada.Întrucât prin condiția a 1 , a 2 ,…, A n- 1, a n sunt dependente liniar, atunci există o combinație liniară netrivială a acestora = 0 , și (în caz contrar, vectorii a 1 , a 2 ,…, a se vor dovedi a fi liniar dependenți n- 1). Dar apoi vectorul

Q.E.D.

Cu alte cuvinte, dependența liniară a unui grup de vectori înseamnă că există un vector printre aceștia care poate fi reprezentat printr-o combinație liniară a altor vectori din acest grup.

Sa spunem. Apoi

Prin urmare vectorul X dependentă liniar de vectorii acestui grup.

Vectori X, y, ..., z se numesc liniare vectori independenți, dacă din egalitatea (0) rezultă că

α=β= ...= γ=0.

Adică, grupurile de vectori sunt independenți liniar dacă niciun vector nu poate fi reprezentat printr-o combinație liniară a altor vectori din acest grup.

Determinarea dependenței liniare a vectorilor

Fie m vectori șir de ordin n:

Făcând o excepție gaussiană, reducem matricea (2) la forma triunghiulară superioară. Elementele ultimei coloane se schimbă numai atunci când rândurile sunt rearanjate. După m pași de eliminare obținem:

Unde i 1 , i 2 , ..., i m - indici de rând obținuți din posibila rearanjare a rândurilor. Luând în considerare rândurile rezultate din indicii rând, le excludem pe cele care corespund vectorului rând zero. Liniile rămase formează vectori liniar independenți. Rețineți că atunci când compuneți matricea (2), prin schimbarea secvenței de vectori rând, puteți obține un alt grup de vectori liniar independenți. Dar subspațiul pe care îl formează ambele grupuri de vectori coincide.