Scrieți teorema despre modificarea impulsului. Dinamica mișcării relative

Vedere: acest articol a fost citit de 14066 ori

Pdf Selectează limba... Rusă Ucraineană Engleză

Scurtă recenzie

Întregul material este descărcat mai sus, după selectarea limbii

Cantitatea de mișcare

Momentul unui punct material - o mărime vectorială egală cu produsul dintre masa unui punct și vectorul său viteză.

Unitatea de măsură pentru impuls este (kg m/s).

Momentul sistemului mecanic - o mărime vectorială egală cu suma geometrică (vector principal) a impulsului unui sistem mecanic este egală cu produsul dintre masa întregului sistem și viteza centrului său de masă.

Când un corp (sau sistem) se mișcă astfel încât centrul său de masă să fie staționar, atunci cantitatea de mișcare a corpului este egală cu zero (de exemplu, rotația corpului în jurul unei axe fixe care trece prin centrul de masă a corpului ).

În cazul mișcării complexe, cantitatea de mișcare a sistemului nu va caracteriza partea de rotație a mișcării atunci când se rotește în jurul centrului de masă. Adică, cantitatea de mișcare caracterizează doar mișcarea de translație a sistemului (împreună cu centrul de masă).

Forța de impuls

Impulsul unei forțe caracterizează acțiunea unei forțe într-o anumită perioadă de timp.

Impulsul de forță pe o perioadă finită de timp este definită ca suma integrală a impulsurilor elementare corespunzătoare.

Teorema privind modificarea impulsului unui punct material

(în forme diferențiale e ):

Derivata în timp a impulsului unui punct material este egală cu suma geometrică a forțelor care acționează asupra punctelor.

(V formă integrală ):

Modificarea impulsului unui punct material într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor forțelor aplicate punctului în această perioadă de timp.

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic

(în formă diferenţială ):

Derivata în timp a impulsului sistemului este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

(în formă integrală ):

Modificarea impulsului unui sistem într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor forțelor externe care acționează asupra sistemului în această perioadă de timp.

Teorema permite excluderea forțelor interne evident necunoscute din considerare.

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic și teorema mișcării centrului de masă sunt două forme diferite ale aceleiași teoreme.

Legea conservării impulsului unui sistem

Dacă suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este egală cu zero, atunci vectorul impulsului sistemului va fi constant în direcție și mărime.
Dacă suma proiecțiilor tuturor forțelor externe care acționează pe orice axă arbitrară este egală cu zero, atunci proiecția impulsului pe această axă este o valoare constantă.

concluzii:

Legile de conservare indică faptul că forțele interne nu pot modifica cantitatea totală de mișcare a sistemului.
Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic nu caracterizează mișcarea de rotație a unui sistem mecanic, ci doar mișcarea de translație.

Este dat un exemplu: Determinați impulsul unui disc cu o anumită masă dacă sunt cunoscute viteza unghiulară și dimensiunea acestuia.

Exemplu de calcul al unui angrenaj drept
Un exemplu de calcul al unui angrenaj drept. Au fost efectuate alegerea materialului, calculul tensiunilor admisibile, calculul rezistenței la contact și la încovoiere.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de îndoire a fasciculului
În exemplu, au fost construite diagrame ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare, a fost găsită o secțiune periculoasă și a fost selectată o grindă în I. Problema a analizat construcția diagramelor folosind dependențe diferențiale și a efectuat o analiză comparativă a diferitelor secțiuni transversale ale grinzii.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de torsiune a arborelui
Sarcina este de a testa rezistența unui arbore din oțel la un diametru dat, material și efort admisibil. În timpul soluției, sunt construite diagrame ale cuplurilor, tensiunilor tăietoare și unghiurilor de răsucire. Greutatea proprie a arborelui nu este luată în considerare

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de tensiune-comprimare a unei tije
Sarcina este de a testa rezistența unei bare de oțel la solicitările admisibile specificate. În timpul rezolvării se construiesc diagrame ale forțelor longitudinale, tensiunilor normale și deplasărilor. Greutatea proprie a lansetei nu este luată în considerare

Aplicarea teoremei privind conservarea energiei cinetice
Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema privind conservarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Determinarea vitezei și accelerației unui punct folosind ecuații de mișcare date
Un exemplu de rezolvare a unei probleme pentru a determina viteza și accelerația unui punct folosind ecuații de mișcare date

Determinarea vitezelor și accelerațiilor punctelor unui corp rigid în timpul mișcării plan-paralel
Un exemplu de rezolvare a unei probleme pentru a determina vitezele și accelerațiile punctelor unui corp rigid în timpul mișcării plan-paralele

Determinarea forțelor în barele unei ferme plane
Un exemplu de rezolvare a problemei determinării forțelor în tijele unei ferme plane folosind metoda Ritter și metoda nodurilor de tăiere

Aplicarea teoremei asupra modificării momentului unghiular
Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema privind modificarea momentului cinetic pentru a determina viteza unghiulară a unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe.

Ecuația diferențială a mișcării unui punct material sub influența forței F poate fi reprezentat sub următoarea formă vectorială:

Deoarece masa unui punct m este acceptată ca constantă, apoi poate fi introdusă sub semnul derivatului. Apoi

Formula (1) exprimă teorema privind modificarea impulsului unui punct sub formă diferențială: prima derivată în raport cu timpul a impulsului unui punct este egală cu forța care acționează asupra punctului.

În proiecțiile pe axele de coordonate (1) poate fi reprezentat ca

Dacă ambele părți (1) sunt înmulțite cu dt, atunci obținem o altă formă a aceleiași teoreme - teorema momentului în formă diferențială:

acestea. diferența de impuls al unui punct este egală cu impulsul elementar al forței care acționează asupra punctului.

Proiectând ambele părți ale lui (2) pe axele de coordonate, obținem

Integrând ambele părți ale lui (2) de la zero la t (Fig. 1), avem

unde este viteza punctului în acest moment t; - viteza la t = 0;

S- impuls de forță în timp t.

O expresie în forma (3) este adesea numită teorema momentului în formă finită (sau integrală): modificarea impulsului unui punct în orice perioadă de timp este egală cu impulsul forței în aceeași perioadă de timp.

În proiecțiile pe axe de coordonate, această teoremă poate fi reprezentată în următoarea formă:

Pentru un punct material, teorema privind modificarea momentului în oricare dintre forme nu este în esență diferită de ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct.

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem

Mărimea mișcării sistemului va fi numită mărime vectorială Q, egală cu suma geometrică (vectorul principal) a mărimilor de mișcare ale tuturor punctelor sistemului.

Luați în considerare un sistem format din n puncte materiale. Să compunem ecuații diferențiale de mișcare pentru acest sistem și să le adăugăm termen cu termen. Atunci obținem:

Ultima sumă, datorită proprietății forțelor interne, este egală cu zero. In afara de asta,

In sfarsit gasim:

Ecuația (4) exprimă teorema privind modificarea impulsului sistemului sub formă diferențială: derivata în timp a impulsului sistemului este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

Să găsim o altă expresie pentru teoremă. Lasă să intre momentul t= 0 cantitatea de mișcare a sistemului este Q 0, și în momentul de față t 1 devine egal Î 1. Apoi, înmulțind ambele părți ale egalității (4) cu dtși integrând, obținem:

Sau unde:

(S-impuls de forță)

întrucât integralele din dreapta dau impulsuri ale forțelor externe,

ecuația (5) exprimă teorema privind modificarea impulsului sistemului în formă integrală: modificarea impulsului sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor forțelor externe care acționează asupra sistemului în aceeași perioadă de timp.

În proiecțiile pe axele de coordonate vom avea:

Legea conservării impulsului

Din teorema privind modificarea impulsului unui sistem se pot obține următoarele corolare importante:

1. Fie suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului să fie egală cu zero:

Apoi din ecuația (4) rezultă că în acest caz Q = const.

Prin urmare, dacă suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este egală cu zero, atunci vectorul impulsului sistemului va fi constant în mărime și direcție.

2. 01 Fie ca forțele externe care acționează asupra sistemului să fie astfel încât suma proiecțiilor lor pe o anumită axă (de exemplu Ox) să fie egală cu zero:

Apoi din ecuațiile (4`) rezultă că în acest caz Q = const.

Prin urmare, dacă suma proiecțiilor tuturor forțelor externe care acționează asupra oricărei axe este egală cu zero, atunci proiecția cantității de mișcare a sistemului pe această axă este o valoare constantă.

Aceste rezultate exprimă legea conservării impulsului unui sistem. Din ele rezultă că forțele interne nu pot modifica cantitatea totală de mișcare a sistemului.

Să ne uităm la câteva exemple:

· Fenomen despre întoarcerea rolului. Dacă luăm în considerare pușca și glonțul ca un singur sistem, atunci presiunea gazelor pulbere în timpul unei împușcături va fi o forță internă. Această forță nu poate schimba impulsul total al sistemului. Dar, deoarece gazele pulbere, acționând asupra glonțului, îi conferă acestuia o anumită mișcare îndreptată înainte, ele trebuie să imprime simultan puștii aceeași mișcare în direcția opusă. Acest lucru va face ca pușca să se miște înapoi, de exemplu. așa-numita întoarcere. Un fenomen similar are loc la tragerea cu o armă (rollback).

· Funcționarea elicei (elicei). Elicea conferă mișcare unei anumite mase de aer (sau apă) de-a lungul axei elicei, aruncând această masă înapoi. Dacă considerăm masa aruncată și aeronava (sau nava) ca un singur sistem, atunci forțele de interacțiune dintre elice și mediu, ca fiind interne, nu pot modifica cantitatea totală de mișcare a acestui sistem. Prin urmare, atunci când o masă de aer (apă) este aruncată înapoi, aeronava (sau nava) primește o viteză înainte corespunzătoare, astfel încât cantitatea totală de mișcare a sistemului în cauză rămâne egală cu zero, deoarece era zero înainte de a începe mișcarea. .

Un efect similar se obține prin acțiunea vâslelor sau a roților cu zbaturi.

· Propulsie R e c t i v e.Într-o rachetă (rachetă), produșii gazoși de ardere a combustibilului sunt ejectați cu viteză mare din orificiul din coada rachetei (din duza motorului cu reacție). Forțele de presiune care acționează în acest caz vor fi forțe interne și nu pot modifica impulsul total al sistemului rachetă-gaze pulbere. Dar, deoarece gazele care scapă au o anumită mișcare îndreptată înapoi, racheta primește o viteză de înainte corespunzătoare.

Teorema momentelor despre o axă.

Luați în considerare punctul de masă material m, deplasându-se sub influența forței F. Să găsim pentru aceasta relația dintre momentul vectorilor mVȘi F relativ la o axă Z fixă.

mz (F) = xF - yF (7)

La fel și pentru valoare m(mV), dacă este scos m va fi din paranteze

m z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Luând derivatele cu privire la timp din ambele părți ale acestei egalități, găsim

În partea dreaptă a expresiei rezultate, prima paranteză este egală cu 0, deoarece dx/dt=V și dу/dt = V, a doua paranteză conform formulei (7) este egală cu

mz(F), deoarece conform legii de bază a dinamicii:

În sfârșit vom avea (8)

Ecuația rezultată exprimă teorema momentelor în jurul axei: derivata temporală a momentului de impuls al unui punct în raport cu orice axă este egală cu momentul forței care acționează față de aceeași axă. O teoremă similară este valabilă pentru momente despre orice centru O.

Sistemul discutat în teoremă poate fi orice sistem mecanic format din orice corp.

Enunțul teoremei

Cantitatea de mișcare (impuls) a unui sistem mecanic este o cantitate egală cu suma cantităților de mișcare (impulsuri) ale tuturor corpurilor incluse în sistem. Impulsul forțelor externe care acționează asupra corpurilor sistemului este suma impulsurilor tuturor forțelor externe care acționează asupra corpurilor sistemului.

( kg m/s)

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem spune

Modificarea impulsului sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul forțelor externe care acționează asupra sistemului în aceeași perioadă de timp.

Legea conservării impulsului unui sistem

Dacă suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este zero, atunci cantitatea de mișcare (impulsul) sistemului este o cantitate constantă.

, obţinem expresia teoremei asupra modificării impulsului sistemului sub formă diferenţială:

După ce am integrat ambele părți ale egalității rezultate într-o perioadă de timp luată în mod arbitrar între unele și , obținem expresia teoremei asupra modificării impulsului sistemului în formă integrală:

Legea conservării impulsului (Legea conservării impulsului) afirmă că suma vectorială a impulsurilor tuturor corpurilor sistemului este o valoare constantă dacă suma vectorială a forțelor externe care acționează asupra sistemului este egală cu zero.

(momentul impulsului m 2 kg s −1)

Teorema privind modificarea momentului unghiular relativ la centru

derivata în timp a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material în raport cu orice centru fix este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Teoremă privind modificarea momentului unghiular în raport cu o axă

derivata temporală a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material față de orice axă fixă este egală cu momentul forței care acționează asupra acestui punct față de aceeași axă.

dk X /dt = M X (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Luați în considerare un punct material M masa m , deplasându-se sub influența forței F (Figura 3.1). Să scriem și să construim vectorul momentului unghiular (momentul cinetic) M 0 punct material relativ la centru O :

Să diferențiem expresia pentru momentul unghiular (momentul cinetic k 0) după timp:

Deoarece dr /dt = V , apoi produsul vectorial V ⊗ m ⋅ V (vectori coliniari V Și m ⋅ V ) este egal cu zero. În același timp d(m ⋅ V) /dt = F conform teoremei asupra impulsului unui punct material. Prin urmare, obținem asta

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Unde r ⊗F = M 0 (F ) – vector-moment de forță F raportat la un centru fix O . Vector k 0 ⊥ plan ( r , m ⊗V ), și vectorul M 0 (F ) ⊥ avion ( r ,F ), avem în sfârșit

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Ecuația (3.4) exprimă teorema despre modificarea momentului unghiular (momentul unghiular) a unui punct material față de centru: derivata în timp a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material în raport cu orice centru fix este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru.

Proiectând egalitatea (3.4) pe axele coordonatelor carteziene, obținem

dk X /dt = M X (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Egalitățile (3.5) exprimă teorema despre modificarea momentului unghiular (momentul cinetic) a unui punct material în raport cu axa: derivata temporală a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material față de orice axă fixă este egală cu momentul forței care acționează asupra acestui punct față de aceeași axă.

Să luăm în considerare consecințele care decurg din teoremele (3.4) și (3.5).

Corolarul 1. Luați în considerare cazul când forța F pe parcursul întregii mișcări a punctului trece prin centrul staționar O (cazul forței centrale), adică Când M 0 (F ) = 0. Atunci din teorema (3.4) rezultă că k 0 = const ,

acestea. în cazul unei forțe centrale, momentul unghiular (momentul cinetic) al unui punct material față de centrul acestei forțe rămâne constant în mărime și direcție (Figura 3.2).

Figura 3.2

Din condiție k 0 = const rezultă că traiectoria unui punct în mișcare este o curbă plană, al cărei plan trece prin centrul acestei forțe.

Corolarul 2. Lăsa M z (F ) = 0, adică forța traversează axa z sau paralel cu acesta. În acest caz, după cum se poate observa din a treia ecuație (3.5), k z = const ,

acestea. dacă momentul forței care acționează asupra unui punct relativ la orice axă fixă este întotdeauna zero, atunci momentul unghiular (momentul cinetic) al punctului relativ la această axă rămâne constant.

Demonstrarea teoremei privind modificarea impulsului

Fie că sistemul este format din puncte materiale cu mase și accelerații. Împărțim toate forțele care acționează asupra corpurilor sistemului în două tipuri:

Forțele externe sunt forțe care acționează din corpuri care nu sunt incluse în sistemul în cauză. Rezultanta forțelor externe care acționează asupra unui punct material cu număr i să notăm

Forțele interne sunt forțele cu care corpurile sistemului însuși interacționează între ele. Forța cu care asupra punctului cu numărul i punctul cu numărul este valid k, vom desemna , și forța de influență i punctul de mai departe k al-lea punct -. Evident, atunci când , atunci

Folosind notația introdusă, scriem a doua lege a lui Newton pentru fiecare dintre punctele materiale luate în considerare sub forma

Având în vedere că și însumând toate ecuațiile celei de-a doua legi a lui Newton, obținem:

Expresia reprezintă suma tuturor forțelor interne care acționează în sistem. Conform celei de-a treia legi a lui Newton, în această sumă, fiecărei forțe îi corespunde o forță astfel încât, prin urmare, este valabilă. Deoarece întreaga sumă este formată din astfel de perechi, suma în sine este zero. Astfel, putem scrie

Folosind notația pentru impulsul sistemului, obținem

Prin introducerea în considerare a schimbării impulsului forțelor externe , obținem expresia teoremei asupra modificării impulsului sistemului în formă diferențială:

Astfel, fiecare dintre ultimele ecuații obținute ne permite să afirmăm: o modificare a impulsului sistemului are loc doar ca urmare a acțiunii forțelor externe, iar forțele interne nu pot avea nicio influență asupra acestei valori.

După ce am integrat ambele părți ale egalității rezultate într-un interval de timp luat în mod arbitrar între unele și , obținem expresia teoremei privind modificarea impulsului sistemului în formă integrală:

unde și sunt valorile cantității de mișcare a sistemului în momente de timp și, respectiv, și este impulsul forțelor externe pe o perioadă de timp. În conformitate cu cele spuse mai devreme și cu notațiile introduse,

Deoarece masa unui punct este constantă, iar accelerația sa, ecuația care exprimă legea de bază a dinamicii poate fi reprezentată sub forma

Ecuația exprimă simultan teorema despre modificarea impulsului unui punct sub formă diferențială: derivată în timp a impulsului unui punct este egal cu suma geometrică a forțelor care acționează asupra punctului.

Să integrăm această ecuație. Lăsați punctul de masă m, deplasându-se sub influența forței (Fig. 15), are în momentul de față t=0 viteză, iar în acest moment t 1-viteză.

Fig.15

Atunci să înmulțim ambele părți ale egalității cu și să luăm integrale definite din ele. În acest caz, în dreapta, unde integrarea are loc în timp, limitele integralelor vor fi 0 și t 1, iar în stânga, unde este integrată viteza, limitele integralei vor fi valorile corespunzătoare ale vitezei și . Întrucât integrala lui este egală cu , apoi ca rezultat obținem:

Integralele din dreapta reprezintă impulsurile forțelor care acționează. Prin urmare, vom avea în sfârșit:

Ecuația exprimă teorema despre modificarea impulsului unui punct în forma finală: modificarea impulsului unui punct într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor tuturor forțelor care acționează asupra punctului în aceeași perioadă de timp ( orez. 15).

La rezolvarea problemelor, ecuațiile din proiecții sunt adesea folosite în locul ecuațiilor vectoriale.

În cazul mișcării rectilinie care apar de-a lungul axei Oh teorema este exprimată prin prima dintre aceste ecuații.

Întrebări de autotest

Formulați legile de bază ale mecanicii.

Ce ecuație se numește ecuația fundamentală a dinamicii?

Care este măsura inerției corpurilor solide în timpul mișcării de translație?

Greutatea unui corp depinde de locația sa pe Pământ?

Ce sistem de referință se numește inerțial?

Cărui corp se aplică forța de inerție a unui punct material și care sunt modulul și direcția acestuia?

Explicați diferența dintre conceptele de „inerție” și „forță de inerție”?

Cărui corpuri se aplică forța de inerție, cum este direcționată și prin ce formulă poate fi calculată?

Care este principiul kinetostaticei?

Care sunt modulele și direcțiile forțelor tangențiale și normale de inerție ale unui punct material?

Cum se numește greutatea corporală? Care este unitatea de masă SI?

Care este măsura inerției unui corp?

Scrieți legea de bază a dinamicii în formă vectorială și diferențială?

O forță constantă acționează asupra unui punct material. Cum se mișcă punctul?

Ce accelerație va primi un punct dacă asupra lui acționează o forță egală cu dublul forței gravitației?

După ciocnirea a două puncte materiale cu mase m 1 =6 kg și m 2 =24 kg primul punct a primit o accelerație de 1,6 m/s. Care este accelerația primită de al doilea punct?

La ce mișcare a unui punct material este forța sa tangențială de inerție egală cu zero și la ce mișcare este normală?

Ce formule se folosesc pentru a calcula modulele forțelor de rotație și centrifuge de inerție ale unui punct aparținând unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe?

Cum este formulată legea de bază a dinamicii punctelor?

Dați formularea legii independenței acțiunii forțelor.

Scrieți ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct material sub formă vectorială și de coordonate.

Formulați esența primei și celei de-a doua probleme principale ale dinamicii punctelor.

Dați condițiile din care se determină constantele de integrare ale ecuațiilor diferențiale ale mișcării unui punct material.

Ce ecuații de dinamică se numesc ecuațiile naturale ale mișcării unui punct material?

Care sunt cele două probleme principale ale dinamicii punctului care sunt rezolvate folosind mișcările diferențiale ale unui punct material?

Ecuații diferențiale ale mișcării unui punct material liber.

Cum se determină constantele atunci când se integrează ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct material?

Determinarea valorilor constantelor arbitrare care apar la integrarea ecuațiilor diferențiale ale mișcării unui punct material.

Care sunt legile căderii libere a unui corp?

După ce legi au loc mișcările orizontale și verticale ale unui corp aruncat în unghi față de orizont în spațiu? Care este traiectoria mișcării sale și în ce unghi are corpul cea mai mare rază de zbor?

Cum se calculează impulsul unei forțe variabile pe o perioadă finită de timp?

Cum se numește impulsul unui punct material?

Cum se exprimă munca elementară a unei forțe prin traseul elementar al punctului de aplicare a forței și cum - prin creșterea coordonatei arcului acestui punct?

La ce deplasări este munca gravitației: a) pozitivă, b) negativă, c) zero?

Cum se calculează puterea unei forțe aplicate unui punct material care se rotește în jurul unei axe fixe cu viteză unghiulară?

Formulați o teoremă despre modificarea impulsului unui punct material.

În ce condiții nu se modifică impulsul unui punct material? În ce condiții nu se modifică proiecția sa pe o anumită axă?

Dați formularea teoremei privind modificarea energiei cinetice a unui punct material în formă diferențială și finită.

Cum se numește momentul unghiular al unui punct material în raport cu: a) centru, b) axă?

Cum este formulată teorema despre modificarea momentului unghiular al unui punct în raport cu centrul și față de axă?

În ce condiții momentul unghiular al unui punct în raport cu axa rămâne neschimbat?

Cum se determină momentul unghiular al unui punct material față de centru și față de axă? Care este relația dintre ei?

În ce locație a vectorului moment al unui punct material este momentul său relativ la ax egal cu zero?

De ce traiectoria unui punct material care se deplasează sub influența unei forțe centrale se află în același plan?

Ce mișcare a unui punct se numește rectilinie? Scrieți ecuația diferențială pentru mișcarea rectilinie a unui punct material.

Scrieți ecuațiile diferențiale ale mișcării plane a unui punct material.

Ce mișcare a unui punct material este descrisă de ecuațiile diferențiale Lagrange de primul fel?

În ce cazuri un punct material este numit neliber și care sunt ecuațiile diferențiale ale mișcării acestui punct?

Dați definiții ale conexiunilor staționare și non-staționare, holonomice și non-holonomice.

Ce fel de conexiuni se numesc bilaterale? Unilateral?

Care este esența principiului eliberării de legături?

Ce formă au ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct material neliber în forma Lagrange? Ce se numește multiplicatorul Lagrange?

Dați formularea teoremei dinamice Coriolis.

Care este esența principiului relativității Galileo-Newton?

Numiți mișcările în care forța de inerție Coriolis este zero.

Ce modul și ce direcție au forțele de transfer și inerțiale Coriolis?

Care este diferența dintre ecuațiile diferențiale ale mișcării relative și absolute ale unui punct material?

Cum sunt determinate forțele de transfer și de inerție Coriolis în diferite cazuri de mișcare de transfer?

Care este esența principiului relativității mecanicii clasice?

Ce sisteme de referință se numesc inerțiale?

Care este condiția pentru restul relativ al unui punct material?

În ce puncte de pe suprafața pământului gravitația are cele mai mari și cele mai mici valori?

Ce explică abaterea corpurilor în cădere spre est?

În ce direcție se deviază un corp aruncat vertical?

O găleată este coborâtă în arbore cu accelerație A=4 m/s 2. Gravitatea găleții G=2 kN. Determinați forța de întindere a frânghiei care susține cada?

Două puncte de material se deplasează în linie dreaptă cu viteze constante de 10 și 100 m/s. Putem spune că în aceste puncte se aplică sisteme echivalente de forțe?

1) este imposibil;

Forțe egale sunt aplicate la două puncte materiale cu masa de 5 și 15 kg. Comparați valorile numerice ale accelerației acestor puncte?

1) accelerațiile sunt aceleași;

2) accelerația unui punct cu masa de 15 kg este de trei ori mai mică decât accelerația unui punct cu masa de 5 kg.

Problemele de dinamică pot fi rezolvate folosind ecuații de echilibru?

Lasă un punct material să se miște sub influența forței F. Este necesar să se determine mișcarea acestui punct în raport cu sistemul de mișcare Oxyz(vezi mișcarea complexă a unui punct material), care se mișcă într-un mod cunoscut în raport cu un sistem staționar O 1 X 1 y 1 z 1 .

Ecuația de bază a dinamicii într-un sistem staționar

Să notăm accelerația absolută a unui punct folosind teorema Coriolis

Unde A abs– accelerație absolută;

A rel– accelerație relativă;

A BANDĂ– accelerație portabilă;

A miez– Accelerația Coriolis.

Să rescriem (25) ținând cont de (26)

Să introducem notația
- forță de inerție portabilă,
- Forța de inerție Coriolis. Atunci ecuația (27) ia forma

Ecuația de bază a dinamicii pentru studierea mișcării relative (28) este scrisă în același mod ca și pentru mișcarea absolută, la forțele care acționează asupra unui punct trebuie adăugate doar forțele de transfer și Coriolis de inerție.

Teoreme generale asupra dinamicii unui punct material

Când rezolvați multe probleme, puteți utiliza spații prefabricate obținute pe baza celei de-a doua legi a lui Newton. Astfel de metode de rezolvare a problemelor sunt combinate în această secțiune.

Teorema privind modificarea impulsului unui punct material

Să introducem următoarele caracteristici dinamice:

1. Momentul unui punct material– mărime vectorială egală cu produsul dintre masa unui punct și vectorul său viteză

. (29)

2. Impulsul de forță

Impulsul elementar de forță– mărime vectorială egală cu produsul vectorului forță și un interval de timp elementar

(30).

Apoi impuls deplin

. (31)

La F=const obținem S=Ft.

Impulsul total pentru o perioadă finită de timp poate fi calculat doar în două cazuri, când forța care acționează asupra unui punct este constantă sau depinde de timp. În alte cazuri, este necesar să se exprime forța în funcție de timp.

Egalitatea dimensiunilor impulsului (29) și impulsului (30) ne permite să stabilim o relație cantitativă între ele.

Să considerăm mișcarea unui punct material M sub acțiunea unei forțe arbitrare F de-a lungul unei traiectorii arbitrare.

DESPRE UD:
. (32)

Separăm variabilele din (32) și integrăm

. (33)

Ca urmare, ținând cont de (31), obținem

. (34)

Ecuația (34) exprimă următoarea teoremă.

Teorema: Modificarea impulsului unui punct material într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul forței care acționează asupra punctului în același interval de timp.

La rezolvarea problemelor, ecuația (34) trebuie proiectată pe axele de coordonate

Această teoremă este convenabilă de utilizat atunci când printre mărimile date și necunoscute se numără masa unui punct, viteza sa inițială și finală, forțele și timpul de mișcare.

Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui punct material

M
momentul impulsului unui punct material relativ la centru este egal cu produsul dintre modulul impulsului punctului și umărului, i.e. cea mai scurtă distanță (perpendiculară) de la centru la linia care coincide cu vectorul viteză

, (36)

. (37)

Relația dintre momentul forței (cauză) și momentul impulsului (efectul) se stabilește prin următoarea teoremă.

Fie punctul M al unei mase date m se deplasează sub influența forței F.

,
,

, (38)

. (39)

Să calculăm derivata lui (39)

. (40)

Combinând (40) și (38), obținem în final

. (41)

Ecuația (41) exprimă următoarea teoremă.

Teorema: Derivata în timp a vectorului moment unghiular al unui punct material relativ la un centru este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru.

La rezolvarea problemelor, ecuația (41) trebuie proiectată pe axele de coordonate

În ecuațiile (42), momentele momentului și forței sunt calculate în raport cu axele de coordonate.

Din (41) rezultă legea conservării momentului unghiular (legea lui Kepler).

Dacă momentul forței care acționează asupra unui punct material în raport cu orice centru este zero, atunci momentul unghiular al punctului față de acest centru își păstrează mărimea și direcția.

Dacă
, Acea
.

Teorema și legea conservării sunt utilizate în problemele care implică mișcare curbilinie, în special sub acțiunea forțelor centrale.