Demonstrați că vectorii sunt independenți liniar. Dependența liniară și independența liniară a unui sistem de vectori

Lăsa L – spațiu liniar peste câmp R . Lăsa А1, а2, …, аn (*) sistem finit de vectori din L . Vector ÎN = a1× A1 +a2× A2 + … + an× Un (16) se numește Combinație liniară de vectori ( *), sau ei spun că vectorul ÎN exprimată liniar printr-un sistem de vectori (*).

Definiția 14. Sistemul de vectori (*) se numește Liniar dependent , dacă și numai dacă există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 +a2× A2 + … + an× Un = 0. Dacă a1× A1 +a2× A2 + … + an× Un = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, atunci se apelează sistemul (*) Liniar independent.

Proprietăți ale dependenței și independenței liniare.

10. Dacă un sistem de vectori conține un vector zero, atunci acesta este dependent liniar.

Într-adevăr, dacă în sistem (*) vectorul A1 = 0, Adică 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .

20. Dacă un sistem de vectori conține doi vectori proporționali, atunci este dependent liniar.

Lăsa A1 = L×a2. Apoi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Un sistem finit de vectori (*) pentru n ³ 2 este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a vectorilor rămași ai acestui sistem.

Þ Fie (*) dependent liniar. Apoi există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, …, an, pentru care a1× A1 +a2× A2 + … + an× Un = 0 . Fără pierderea generalității, putem presupune că a1 ¹ 0. Atunci există A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Deci, vector A1 este o combinație liniară a vectorilor rămași.

Ü Fie unul dintre vectori (*) o combinație liniară a celorlalți. Putem presupune că acesta este primul vector, adică A1 = B2 A2+ … + mld A N, deci (–1)× A1 + b2 A2+ … + mld A N= 0 , adică (*) este dependent liniar.

Cometariu. Folosind ultima proprietate, putem defini dependența liniară și independența unui sistem infinit de vectori.

Definiția 15. Sistem vectorial А1, а2, …, аn , … (**) se numește dependent liniar, Dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a unui număr finit de alți vectori. În caz contrar, sistemul (**) este apelat Liniar independent.

40. Un sistem finit de vectori este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii săi nu poate fi exprimat liniar în termenii vectorilor săi rămași.

50. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, liniar independent.

60. Dacă un subsistem al unui sistem dat de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este, de asemenea, dependent liniar.

Să fie date două sisteme de vectori А1, а2, …, аn , … (16) și В1, В2, …, Вs, … (17). Dacă fiecare vector al sistemului (16) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unui număr finit de vectori ai sistemului (17), atunci se spune că sistemul (17) este exprimat liniar prin sistemul (16).

Definiția 16. Cele două sisteme vectoriale sunt numite Echivalent , dacă fiecare dintre ele este exprimat liniar prin celălalt.

Teorema 9 (teorema dependenței liniare de bază).

Lăsați-l să fie – două sisteme finite de vectori din L . Dacă primul sistem este liniar independent și liniar exprimat prin al doilea, atunci N£s.

Dovada. Să ne prefacem că N> S. Conform condiţiilor teoremei

comun Deoarece numărul de ecuații este mai mare decât numărul de necunoscute, sistemul are infinite de soluții. Prin urmare, are un non-zero X10, x20, …, xN0. Pentru aceste valori, egalitatea (18) va fi adevărată, ceea ce contrazice faptul că sistemul de vectori este liniar independent. Deci presupunerea noastră este greșită. Prin urmare, N£s.

Consecinţă. Dacă două sisteme echivalente de vectori sunt finite și liniar independenți, atunci ele conțin același număr de vectori.

Definiția 17. Sistemul vectorial este numit Sistem de vectori liniar independent maxim Spațiu liniar L , dacă este liniar independent, dar când se adaugă la el orice vector din L , neinclus în acest sistem, devine liniar dependent.

Teorema 10. Orice două sisteme maxime finite liniar independente de vectori din L Conțin același număr de vectori.

Dovada rezultă din faptul că oricare două sisteme de vectori maxime liniar independente sunt echivalente .

Este ușor de demonstrat că orice sistem liniar independent de vectori spațiali L poate fi extins la un sistem maxim liniar independent de vectori în acest spațiu.

Exemple:

1. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coliniari, orice sistem format dintr-un vector diferit de zero este independent liniar maxim.

2. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coplanari, oricare doi vectori necoliniari constituie un sistem independent liniar maxim.

3. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici posibili ai spațiului euclidian tridimensional, orice sistem de trei vectori necoplanari este independent liniar maxim.

4. În mulțimea tuturor polinoamelor, gradele nu sunt mai mari decât N Cu coeficienți reali (complexi), un sistem de polinoame 1, x, x2, … , xn Este independent liniar maxim.

5. În mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți reali (complexi), exemple de sistem maximal independent liniar sunt

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N,...

6. Set de matrici de dimensiuni M´ N este un spațiu liniar (verificați acest lucru). Un exemplu de sistem independent liniar maxim în acest spațiu este sistemul matriceal E11= , E12 =, …, EMn = .

Să fie dat un sistem de vectori C1, c2, …, cf (*). Se numește subsistemul de vectori din (*) Maxim liniar independent Subsistemul sisteme ( *) , dacă este liniar independent, dar atunci când se adaugă orice alt vector al acestui sistem, acesta devine liniar dependent. Dacă sistemul (*) este finit, atunci oricare dintre subsistemele sale maxime independente liniar conține același număr de vectori. (Demonstrați-l singur). Se numește numărul de vectori din subsistemul maxim liniar independent al sistemului (*) Rang Acest sistem. Evident, sistemele echivalente de vectori au aceleași ranguri.

Definiție. Combinație liniară de vectori a 1 , ..., a n cu coeficienți x 1 , ..., x n se numește vector

x 1 a 1 + ... + x n a n .

banal, dacă toți coeficienții x 1 , ..., x n sunt egali cu zero.

Definiție. Se numește combinația liniară x 1 a 1 + ... + x n a n nebanală, dacă cel puțin unul dintre coeficienții x 1, ..., x n nu este egal cu zero.

liniar independent, dacă nu există o combinație netrivială a acestor vectori egală cu vectorul zero.

Adică, vectorii a 1, ..., a n sunt independenți liniar dacă x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 dacă și numai dacă x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definiție. Se numesc vectorii a 1, ..., a n dependent liniar, dacă există o combinație netrivială a acestor vectori egală cu vectorul zero.

Proprietățile vectorilor dependenți liniar:

Pentru vectori cu 2 și 3 dimensiuni.

Doi vectori dependenți liniar sunt coliniari. (Vectorii coliniari sunt dependenți liniar.)

Pentru vectori tridimensionali.

Trei vectori dependenți liniar sunt coplanari. (Trei vectori coplanari sunt dependenți liniar.)

• Pentru vectori n-dimensionali.

  n + 1 vectori sunt întotdeauna dependenți liniar.

Exemple de probleme privind dependența liniară și independența liniară a vectorilor:

Exemplul 1. Verificați dacă vectorii a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) sunt liniar independenți .

Soluţie:

Vectorii vor fi dependenți liniar, deoarece dimensiunea vectorilor este mai mică decât numărul de vectori.

Exemplul 2. Verificați dacă vectorii a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) sunt liniar independenți.

Soluţie:

scade pe al doilea din prima linie; adăugați o a doua linie la a treia linie:

Această soluție arată că sistemul are multe soluții, adică există o combinație diferită de zero de valori ale numerelor x 1, x 2, x 3, astfel încât combinația liniară a vectorilor a, b, c este egală cu vectorul zero, de exemplu:

A + b + c = 0

ceea ce înseamnă că vectorii a, b, c sunt liniar dependenți.

Răspuns: vectorii a, b, c sunt liniar dependenți.

Exemplul 3. Verificați dacă vectorii a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) sunt liniar independenți.

Soluţie: Să găsim valorile coeficienților la care combinația liniară a acestor vectori va fi egală cu vectorul zero.

Această ecuație vectorială poate fi scrisă ca un sistem de ecuații liniare

Să rezolvăm acest sistem folosind metoda Gauss

scade primul din a doua linie; scade primul din a treia linie:

scade pe al doilea din prima linie; adăugați o secundă la a treia linie.

Cu alte cuvinte, dependența liniară a unui grup de vectori înseamnă că există un vector printre aceștia care poate fi reprezentat printr-o combinație liniară a altor vectori din acest grup.

Sa spunem. Apoi

Prin urmare vectorul X dependentă liniar de vectorii acestui grup.

Vectori X, y, ..., z se numesc liniare vectori independenți, dacă din egalitatea (0) rezultă că

α=β= ...= γ=0.

Adică, grupurile de vectori sunt independenți liniar dacă niciun vector nu poate fi reprezentat printr-o combinație liniară a altor vectori din acest grup.

Determinarea dependenței liniare a vectorilor

Fie m vectori șir de ordinul n:

Făcând o excepție gaussiană, reducem matricea (2) la forma triunghiulară superioară. Elementele ultimei coloane se schimbă numai atunci când rândurile sunt rearanjate. După m pași de eliminare obținem:

Unde i 1 , i 2 , ..., i m - indici de rând obținuți prin posibila permutare a rândurilor. Luând în considerare rândurile rezultate din indicii rând, le excludem pe cele care corespund vectorului rând zero. Liniile rămase formează vectori liniar independenți. Rețineți că atunci când compuneți matricea (2), prin schimbarea secvenței de vectori rând, puteți obține un alt grup de vectori liniar independenți. Dar subspațiul pe care îl formează ambele grupuri de vectori coincide.

Introdus de noi operații liniare pe vectori fac posibilă crearea diferitelor expresii pentru cantități vectorialeși transformați-le folosind proprietățile setate pentru aceste operații.

Pe baza unui set dat de vectori a 1, ..., a n, puteți crea o expresie de forma

unde a 1, ... și n sunt numere reale arbitrare. Această expresie se numește combinație liniară de vectori a 1, ..., a n. Numerele α i, i = 1, n, reprezintă coeficienți de combinație liniară. Se mai numește și un set de vectori sistem de vectori.

În legătură cu conceptul introdus de combinație liniară de vectori, se pune problema descrierii unui set de vectori care poate fi scris ca o combinație liniară a unui sistem dat de vectori a 1, ..., a n. În plus, există întrebări naturale despre condițiile în care există o reprezentare a unui vector sub forma unei combinații liniare și despre unicitatea unei astfel de reprezentări.

Definiție 2.1. Vectorii a 1, ... și n sunt numiți dependent liniar, dacă există o mulțime de coeficienți α 1 , ... , α n astfel încât

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

și cel puțin unul dintre acești coeficienți este diferit de zero. Dacă setul specificat de coeficienți nu există, atunci vectorii sunt numiți liniar independent.

Dacă α 1 = ... = α n = 0, atunci, evident, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Având în vedere acest lucru, putem spune astfel: vectori a 1, ..., și n sunt liniar independenți dacă din egalitatea (2.2) rezultă că toți coeficienții α 1 , ... , α n sunt egali cu zero.

Următoarea teoremă explică de ce noul concept este numit termenul „dependență” (sau „independență”) și oferă un criteriu simplu pentru dependența liniară.

Teorema 2.1. Pentru ca vectorii a 1, ..., și n, n > 1 să fie liniar dependenți, este necesar și suficient ca unul dintre ei să fie o combinație liniară a celorlalți.

◄ Necesitatea. Să presupunem că vectorii a 1, ... și n sunt dependenți liniar. Conform Definiției 2.1 a dependenței liniare, în egalitatea (2.2) din stânga există cel puțin un coeficient diferit de zero, de exemplu α 1. Lăsând primul termen în partea stângă a egalității, mutăm restul în partea dreaptă, schimbându-le semnele, ca de obicei. Împărțind egalitatea rezultată la α 1, obținem

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

acestea. reprezentarea vectorului a 1 ca o combinație liniară a vectorilor rămași a 2, ..., a n.

Adecvarea. Fie, de exemplu, primul vector a 1 poate fi reprezentat ca o combinație liniară a vectorilor rămași: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Transferând toți termenii din partea dreaptă spre stânga, obținem a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, adică. o combinație liniară de vectori a 1, ..., a n cu coeficienți α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, egal cu vector zero.În această combinație liniară, nu toți coeficienții sunt zero. Conform Definiției 2.1, vectorii a 1, ... și n sunt dependenți liniar.

Definiția și criteriul pentru dependența liniară sunt formulate pentru a implica prezența a doi sau mai mulți vectori. Totuși, putem vorbi și despre o dependență liniară a unui vector. Pentru a realiza această posibilitate, în loc de „vectorii sunt dependenți liniar”, trebuie să spuneți „sistemul de vectori este dependent liniar”. Este ușor de observat că expresia „un sistem de un vector este dependent liniar” înseamnă că acest singur vector este zero (într-o combinație liniară există un singur coeficient și nu ar trebui să fie egal cu zero).

Conceptul de dependență liniară are o interpretare geometrică simplă. Următoarele trei afirmații clarifică această interpretare.

Teorema 2.2. Doi vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă coliniare.

◄ Dacă vectorii a și b sunt dependenți liniar, atunci unul dintre ei, de exemplu a, este exprimat prin celălalt, adică. a = λb pentru un număr real λ. Conform definiției 1.7 lucrări vectori pe număr, vectorii a și b sunt coliniari.

Fie acum vectorii a și b coliniari. Dacă ambele sunt zero, atunci este evident că sunt dependente liniar, deoarece orice combinație liniară a acestora este egală cu vectorul zero. Fie ca unul dintre acești vectori să nu fie egal cu 0, de exemplu vectorul b. Să notăm cu λ raportul lungimilor vectorului: λ = |a|/|b|. Vectorii coliniari pot fi unidirecțional sau îndreptată opus. În acest din urmă caz, schimbăm semnul lui λ. Apoi, verificând Definiția 1.7, suntem convinși că a = λb. Conform teoremei 2.1, vectorii a și b sunt liniar dependenți.

Observație 2.1.În cazul a doi vectori, ținând cont de criteriul dependenței liniare, teorema demonstrată poate fi reformulată astfel: doi vectori sunt coliniari dacă și numai dacă unul dintre ei este reprezentat ca produs al celuilalt printr-un număr. Acesta este un criteriu convenabil pentru coliniaritatea a doi vectori.

Teorema 2.3. Trei vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă coplanare.

◄ Dacă trei vectori a, b, c sunt liniar dependenți, atunci, conform teoremei 2.1, unul dintre ei, de exemplu a, este o combinație liniară a celorlalți: a = βb + γc. Să combinăm originile vectorilor b și c în punctul A. Atunci vectorii βb, γс vor avea o origine comună în punctul A și de-a lungul conform regulii paralelogramului, suma lor este acestea. vectorul a va fi un vector cu originea A și sfârșitul, care este vârful unui paralelogram construit pe vectori componente. Astfel, toți vectorii se află în același plan, adică coplanari.

Fie vectorii a, b, c coplanari. Dacă unul dintre acești vectori este zero, atunci va fi evident o combinație liniară a celorlalți. Este suficient să luăm toți coeficienții unei combinații liniare egale cu zero. Prin urmare, putem presupune că toți cei trei vectori nu sunt zero. Compatibil a început a acestor vectori într-un punct comun O. Fie ca capetele lor să fie punctele A, B, respectiv C (Fig. 2.1). Prin punctul C trasăm drepte paralele cu drepte care trec prin perechi de puncte O, A și O, B. Desemnând punctele de intersecție A" și B", obținem un paralelogram OA"CB", prin urmare, OC" = OA" + OB". Vector OA" și vectorul diferit de zero a = OA sunt coliniare și, prin urmare, primul dintre ele poate fi obținut prin înmulțirea celui de-al doilea cu un număr real α:OA" = αOA. În mod similar, OB" = βOB, β ∈ R. Ca urmare, obținem că OC" = α OA + βOB, adică vectorul c este o combinație liniară a vectorilor a și b. Conform teoremei 2.1, vectorii a, b, c sunt liniar dependenți.

Teorema 2.4. Oricare patru vectori sunt dependenți liniar.

◄ Efectuăm demonstrația după aceeași schemă ca în Teorema 2.3. Luați în considerare patru vectori arbitrari a, b, c și d. Dacă unul dintre cei patru vectori este zero, sau printre ei există doi vectori coliniari sau trei dintre cei patru vectori sunt coplanari, atunci acești patru vectori sunt dependenți liniar. De exemplu, dacă vectorii a și b sunt coliniari, atunci putem face combinația lor liniară αa + βb = 0 cu coeficienți nenuli și apoi adăugați cei doi vectori rămași la această combinație, luând zerouri ca coeficienți. Obținem o combinație liniară de patru vectori egali cu 0, în care există coeficienți nenuli.

Astfel, putem presupune că dintre cei patru vectori selectați, niciun vector nu este zero, nici doi nu sunt coliniari și nici trei nu sunt coplanari. Să alegem ca început comun punctul O. Atunci capetele vectorilor a, b, c, d vor fi niște puncte A, B, C, D (Fig. 2.2). Prin punctul D trasăm trei plane paralele cu planurile OBC, OCA, OAB și fie A", B", C" punctele de intersecție ale acestor plane cu dreptele OA, OB, respectiv OS. Obținem o paralelipiped OA" C "B" C" B"DA", iar vectorii a, b, c se află pe marginile sale care ies din vârful O. Deoarece patrulaterul OC"DC" este un paralelogram, atunci OD = OC" + OC". La rândul său, segmentul OC" este un paralelogram diagonal OA"C"B", deci OC" = OA" + OB" și OD = OA" + OB" + OC" .

Rămâne de observat că perechile de vectori OA ≠ 0 și OA" , OB ≠ 0 și OB" , OC ≠ 0 și OC" sunt coliniari și, prin urmare, este posibil să se selecteze coeficienții α, β, γ astfel încât OA" = aOA, OB" = pOB și OC" = yOC. În cele din urmă obținem OD = αOA + βOB + γOC. În consecință, vectorul OD este exprimat prin ceilalți trei vectori, iar toți cei patru vectori, conform teoremei 2.1, sunt liniar dependenți.

A 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, A 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, A 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Soluţie. Căutăm o soluție generală a sistemului de ecuații

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

metoda Gauss. Pentru a face acest lucru, scriem acest sistem omogen în coordonate:

Matricea sistemului

Sistemul permis are forma: (r A = 2, n= 3). Sistemul este cooperant și incert. Soluția sa generală ( X 2 – variabilă liberă): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Prezența unei soluții particulare diferite de zero, de exemplu, indică faptul că vectorii A 1 , A 2 , A 3 dependent liniar.

Exemplul 2.

Aflați dacă un anumit sistem de vectori este liniar dependent sau liniar independent:

1. A 1 = { -20, -15, - 4 }, A 2 = { –7, -2, -4 }, A 3 = { 3, –1, –2 }.

Soluţie. Luați în considerare un sistem omogen de ecuații A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

sau în formă extinsă (prin coordonate)

Sistemul este omogen. Dacă este nedegenerat, atunci are o soluție unică. În cazul unui sistem omogen, există o soluție zero (trivială). Aceasta înseamnă că în acest caz sistemul de vectori este independent. Dacă sistemul este degenerat, atunci are soluții diferite de zero și, prin urmare, este dependent.

Verificăm sistemul pentru degenerare:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistemul este nedegenerat și, prin urmare, vectorii A 1 , A 2 , A 3 liniar independent.

Sarcini. Aflați dacă un anumit sistem de vectori este liniar dependent sau liniar independent:

1. A 1 = { -4, 2, 8 }, A 2 = { 14, -7, -28 }.

2. A 1 = { 2, -1, 3, 5 }, A 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. A 1 = { -7, 5, 19 }, A 2 = { -5, 7 , -7 }, A 3 = { -8, 7, 14 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

5. A 1 = { 1, 8 , -1 }, A 2 = { -2, 3, 3 }, A 3 = { 4, -11, 9 }.

6. A 1 = { 1, 2 , 3 }, A 2 = { 2, -1 , 1 }, A 3 = { 1, 3, 4 }.

7. A 1 = {0, 1, 1 , 0}, A 2 = {1, 1 , 3, 1}, A 3 = {1, 3, 5, 1}, A 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. A 1 = {-1, 7, 1 , -2}, A 2 = {2, 3 , 2, 1}, A 3 = {4, 4, 4, -3}, A 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Demonstrați că un sistem de vectori va fi dependent liniar dacă conține:

a) doi vectori egali;

b) doi vectori proporţionali.