Dependență liniară și independență. Dependența și independența liniară, proprietăți, studiul unui sistem de vectori pentru dependența liniară, exemple și soluții Teorema independenței liniare

Lema 1 : Dacă într-o matrice de dimensiune n n cel puțin un rând (coloană) este zero, atunci rândurile (coloanele) ale matricei sunt dependente liniar.

Dovada: Fie prima linie zero, atunci

Unde a 10. Asta se cerea.

Definiție: Se numește o matrice ale cărei elemente situate sub diagonala principală sunt egale cu zero triunghiular:

și ij = 0, i>j.

Lema 2: Determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonalei principale.

Dovada este ușor de realizat prin inducție pe dimensiunea matricei.

Teorema privind independența liniară a vectorilor.

A)Necesitate: dependent liniar D=0 .

Dovada: Lasă-le să fie dependente liniar, j=,

adică există un j , nu toate egale cu zero, j= , Ce a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n = , A j – coloane de matrice A. Să, de exemplu, un n¹0.

Avem a j * = a j / a n , j£ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .

Să înlocuim ultima coloană a matricei A pe

A n * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n = .

Conform proprietății dovedite mai sus a determinantului (nu se va modifica dacă la orice coloană se adaugă o altă coloană dintr-o matrice, înmulțită cu un număr), determinantul noii matrice este egal cu determinantul unul original. Dar în noua matrice o coloană este zero, ceea ce înseamnă că, extinzând determinantul peste această coloană, obținem D=0, Q.E.D.

b)Adecvarea: Matricea dimensiunilor n ncu rânduri liniar independente Poate fi întotdeauna redusă la o formă triunghiulară folosind transformări care nu modifică valoarea absolută a determinantului. Mai mult, din independența rândurilor matricei originale, rezultă că determinantul său este egal cu zero.

1. Dacă în matricea dimensiunilor n n cu element de rânduri liniar independent un 11 este egal cu zero, apoi coloana al cărei element a 1 j ¹ 0. Conform Lemei 1, un astfel de element există. Determinantul matricei transformate poate diferi de determinantul matricei originale numai în semn.

2. Din linii cu numere i>1 scădeți prima linie înmulțită cu fracția a i 1 /a 11. Mai mult, în prima coloană de rânduri cu numere i>1 veți obține zero elemente.

3. Să începem să calculăm determinantul matricei rezultate prin descompunerea peste prima coloană. Deoarece toate elementele din el, cu excepția primului, sunt egale cu zero,

D nou = a 11 nou (-1) 1+1 D 11 nou,

Unde d 11 nou este determinantul unei matrice de dimensiuni mai mici.

Apoi, pentru a calcula determinantul D 11 repetați pașii 1, 2, 3 până când ultimul determinant se dovedește a fi determinantul matricei de mărime 1 1. Deoarece pasul 1 schimbă doar semnul determinantului matricei care se transformă, iar pasul 2 nu schimbă deloc valoarea determinantului, atunci, până la semn, vom obține în final determinantul matricei originale. În acest caz, deoarece datorită independenței liniare a rândurilor matricei originale, pasul 1 este întotdeauna satisfăcut, toate elementele diagonalei principale se vor dovedi a fi inegale cu zero. Astfel, determinantul final, conform algoritmului descris, este egal cu produsul elementelor nenule de pe diagonala principală. Prin urmare, determinantul matricei originale nu este egal cu zero. Q.E.D.

Anexa 2

Următoarele oferă câteva criterii pentru dependența liniară și, în consecință, independența liniară a sistemelor vectoriale.

Teorema. (Condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară a vectorilor.)

Un sistem de vectori este dependent dacă și numai dacă unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar prin ceilalți ai acestui sistem.

Dovada. Necesitate. Fie ca sistemul să fie dependent liniar. Apoi, prin definiție, reprezintă vectorul zero în mod netrivial, adică. există o combinație netrivială a acestui sistem de vectori egală cu vectorul zero:

unde cel puțin unul dintre coeficienții acestei combinații liniare nu este egal cu zero. Lăsa , .

Să împărțim ambele părți ale egalității anterioare la acest coeficient diferit de zero (adică înmulțim cu:

Să notăm: , unde .

acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar prin ceilalți ai acestui sistem etc.

Adecvarea. Fie ca unul dintre vectorii sistemului să fie exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem:

Să mutăm vectorul la dreapta acestei egalități:

Deoarece coeficientul vectorului este egal cu , atunci avem o reprezentare netrivială a zero printr-un sistem de vectori, ceea ce înseamnă că acest sistem de vectori este dependent liniar etc.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă.

1. Un sistem de vectori într-un spațiu vectorial este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.

2. Un sistem de vectori care conțin un vector zero sau doi vectori egali este dependent liniar.

Dovada.

1) Necesitatea. Fie sistemul liniar independent. Să presupunem contrariul și există un vector al sistemului care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem. Apoi, conform teoremei, sistemul este dependent liniar și ajungem la o contradicție.

Adecvarea. Niciunul dintre vectorii sistemului nu fie exprimat în termenii celorlalți. Să presupunem contrariul. Fie ca sistemul să fie dependent liniar, dar din teoremă rezultă că există un vector al sistemului care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem și ajungem din nou la o contradicție.

2a) Fie ca sistemul să conțină un vector zero. Să presupunem pentru certitudine că vectorul :. Atunci egalitatea este evidentă

acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar prin ceilalți vectori ai acestui sistem. Din teoremă rezultă că un astfel de sistem de vectori este dependent liniar etc.

Rețineți că acest fapt poate fi demonstrat direct dintr-un sistem de vectori dependent liniar.

Deoarece , următoarea egalitate este evidentă

Aceasta este o reprezentare non-trivială a vectorului zero, ceea ce înseamnă că sistemul este dependent liniar.

2b) Fie ca sistemul să aibă doi vectori egali. Lasă pentru . Atunci egalitatea este evidentă

Acestea. primul vector este exprimat liniar prin vectorii rămași ai aceluiași sistem. Din teoremă rezultă că acest sistem este dependent liniar etc.

Similar cu cea precedentă, această afirmație poate fi demonstrată direct prin definiția unui sistem dependent liniar. Atunci acest sistem reprezintă vectorul zero în mod netrivial

de unde urmează dependenţa liniară a sistemului.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă. Un sistem format dintr-un vector este liniar independent dacă și numai dacă acest vector este diferit de zero.

Lăsa L – spațiu liniar peste câmp R . Lăsa А1, а2, …, аn (*) sistem finit de vectori din L . Vector ÎN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un (16) se numește Combinație liniară de vectori ( *), sau ei spun că este un vector ÎN exprimată liniar printr-un sistem de vectori (*).

Definiția 14. Sistemul de vectori (*) este numit Liniar dependent , dacă și numai dacă există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0. Dacă a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, atunci se apelează sistemul (*) Liniar independent.

Proprietăți ale dependenței și independenței liniare.

10. Dacă un sistem de vectori conține un vector zero, atunci acesta este dependent liniar.

Într-adevăr, dacă în sistem (*) vectorul A1 = 0, Adică 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .

20. Dacă un sistem de vectori conține doi vectori proporționali, atunci este dependent liniar.

Lăsa A1 = L×a2. Apoi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Un sistem finit de vectori (*) pentru n ³ 2 este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a vectorilor rămași ai acestui sistem.

Þ Fie (*) dependent liniar. Apoi există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, …, an, pentru care a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 . Fără pierderea generalității, putem presupune că a1 ¹ 0. Atunci există A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Deci, vector A1 este o combinație liniară a vectorilor rămași.

Ü Fie unul dintre vectori (*) o combinație liniară a celorlalți. Putem presupune că acesta este primul vector, adică A1 = B2 A2+ … + mld A N, deci (–1)× A1 + b2 A2+ … + mld A N= 0 , adică (*) este dependent liniar.

Cometariu. Folosind ultima proprietate, putem defini dependența liniară și independența unui sistem infinit de vectori.

Definiția 15. Sistem vectorial А1, а2, …, аn , … (**) se numește dependent liniar, Dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a unui număr finit de alți vectori. În caz contrar, sistemul (**) este apelat Liniar independent.

40. Un sistem finit de vectori este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii săi nu poate fi exprimat liniar în termenii vectorilor săi rămași.

50. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, liniar independent.

60. Dacă un subsistem al unui sistem dat de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este, de asemenea, dependent liniar.

Să fie date două sisteme de vectori А1, а2, …, аn , … (16) și В1, В2, …, Вs, … (17). Dacă fiecare vector al sistemului (16) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unui număr finit de vectori ai sistemului (17), atunci se spune că sistemul (17) este exprimat liniar prin sistemul (16).

Definiția 16. Cele două sisteme vectoriale sunt numite Echivalent , dacă fiecare dintre ele este exprimat liniar prin celălalt.

Teorema 9 (teorema dependenței liniare de bază).

Lăsați-l să fie – două sisteme finite de vectori din L . Dacă primul sistem este liniar independent și liniar exprimat prin al doilea, atunci N£s.

Dovada. Să ne prefacem că N> S. Conform condiţiilor teoremei

comun Deoarece numărul de ecuații este mai mare decât numărul de necunoscute, sistemul are infinite de soluții. Prin urmare, are un non-zero X10, x20, …, xN0. Pentru aceste valori, egalitatea (18) va fi adevărată, ceea ce contrazice faptul că sistemul de vectori este liniar independent. Deci presupunerea noastră este greșită. Prin urmare, N£s.

Consecinţă. Dacă două sisteme echivalente de vectori sunt finite și liniar independente, atunci ele conțin același număr de vectori.

Definiția 17. Sistemul vectorial este numit Sistem de vectori liniar independent maxim Spațiu liniar L , dacă este liniar independent, dar când se adaugă la el orice vector din L , neinclus în acest sistem, devine liniar dependent.

Teorema 10. Orice două sisteme maxime finite liniar independente de vectori din L Conțin același număr de vectori.

Dovada rezultă din faptul că oricare două sisteme de vectori maxime liniar independente sunt echivalente .

Este ușor de demonstrat că orice sistem liniar independent de vectori spațiali L poate fi extins la un sistem maxim liniar independent de vectori în acest spațiu.

Exemple:

1. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coliniari, orice sistem format dintr-un vector diferit de zero este independent liniar maxim.

2. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coplanari, oricare doi vectori necoliniari constituie un sistem independent liniar maxim.

3. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici posibili ai spațiului euclidian tridimensional, orice sistem de trei vectori necoplanari este independent liniar maxim.

4. În mulțimea tuturor polinoamelor, gradele nu sunt mai mari decât N Cu coeficienți reali (complexi), un sistem de polinoame 1, x, x2, … , xn Este independent liniar maxim.

5. În mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți reali (complexi), exemple de sistem maximal independent liniar sunt

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N,...

6. Set de matrici de dimensiuni M´ N este un spațiu liniar (verificați acest lucru). Un exemplu de sistem independent liniar maxim în acest spațiu este sistemul matriceal E11= , E12 =, …, EMn = .

Să fie dat un sistem de vectori C1, c2, …, cf (*). Se numește subsistemul de vectori din (*) Maxim liniar independent Subsistemul sisteme ( *) , dacă este liniar independent, dar atunci când se adaugă orice alt vector al acestui sistem, acesta devine liniar dependent. Dacă sistemul (*) este finit, atunci oricare dintre subsistemele sale maxime independente liniar conține același număr de vectori. (Demonstrați-l singur). Se numește numărul de vectori din subsistemul maxim liniar independent al sistemului (*) Rang Acest sistem. Evident, sistemele echivalente de vectori au aceleași ranguri.

Teorema 1. (Despre independența liniară a vectorilor ortogonali). Fie Atunci sistemul de vectori este liniar independent.

Să facem o combinație liniară ∑λ i x i =0 și să considerăm produsul scalar (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, dar ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

Definiția 1. Sistem vectorialsau (e i ,e j)=δ ij - simbolul Kronecker, numite ortonormale (ONS).

Definiția 2. Pentru un element arbitrar x dintr-un spațiu euclidian de dimensiuni infinite arbitrare și un sistem ortonormal arbitrar de elemente, seria Fourier a unui element x peste sistem se numește o sumă (seria) infinită compusă formal de forma , în care numerele reale λ i se numesc coeficienți Fourier ai elementului x din sistem, unde λ i =(x,e i).

Un comentariu. (Desigur, se pune întrebarea despre convergența acestei serii. Pentru a studia această problemă, fixăm un număr arbitrar n și aflăm ce diferențiază a n-a sumă parțială a seriei Fourier de orice altă combinație liniară a primelor n elemente ale sistemului ortonormal.)

Teorema 2. Pentru orice număr fix n, dintre toate sumele formei, a n-a sumă parțială a seriei Fourier a elementului are cea mai mică abatere de la elementul x conform normei unui spațiu euclidian dat

Ținând cont de ortonormalitatea sistemului și de definiția coeficientului Fourier, putem scrie

Minimul acestei expresii este atins la c i =λ i, deoarece în acest caz prima sumă nenegativă din partea dreaptă dispare întotdeauna, iar termenii rămași nu depind de c i.

Exemplu. Luați în considerare sistemul trigonometric

în spațiul tuturor funcțiilor integrabile Riemann f(x) pe segmentul [-π,π]. Este ușor de verificat că acesta este un ONS, iar apoi seria Fourier a funcției f(x) are forma unde .

Un comentariu. (Seria Fourier trigonometrică este de obicei scrisă sub formă Apoi )

Un ONS arbitrar într-un spațiu euclidian cu dimensiuni infinite fără presupuneri suplimentare, în general, nu este o bază a acestui spațiu. La nivel intuitiv, fără a da definiții stricte, vom descrie esența problemei. Într-un spațiu euclidian arbitrar cu dimensiuni infinite E, luați în considerare ONS, unde (e i ,e j)=δ ij este simbolul Kronecker. Fie M un subspațiu al spațiului euclidian, iar k=M ⊥ să fie un subspațiu ortogonal cu M astfel încât spațiul euclidian E=M+M ⊥ . Proiecția vectorului x∈E pe subspațiul M este vectorul ∈M, unde

Vom căuta acele valori ale coeficienților de expansiune α k pentru care rezidualul (reziduul pătrat) h 2 =||x-|| 2 va fi minim:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Este clar că această expresie va lua o valoare minimă la α k =0, ceea ce este trivial, și la α k =(x,e k). Atunci ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. De aici obținem inegalitatea lui Bessel ∑α k 2 ||x|| 2. La ρ=0 un sistem ortonormal de vectori (ONS) se numește sistem ortonormal complet în sensul Steklov (PONS). De aici putem obține egalitatea Steklov-Parseval ∑α k 2 =||x|| 2 - „Teorema lui Pitagora” pentru spații euclidiene cu dimensiuni infinite care sunt complete în sensul lui Steklov. Acum ar fi necesar să se demonstreze că, pentru ca orice vector din spațiu să fie reprezentat în mod unic sub forma unei serii Fourier care converge către acesta, este necesar și suficient ca egalitatea Steklov-Parseval să fie valabilă. Sistemul de vectori pic=""> ONB formează sistemul de vectori Considerăm pentru suma parțială a seriei Apoi ca coada unei serii convergente. Astfel, sistemul de vectori este un PONS și formează un ONB.

Exemplu. Sistem trigonometric

în spațiul tuturor funcțiilor integrabile Riemann f(x) pe segmentul [-π,π] este un PONS și formează un ONB.

Funcțiile sunt numite liniar independent, Dacă

(este permisă doar o combinație liniară trivială de funcții care este identic egală cu zero). Spre deosebire de independența liniară a vectorilor, aici combinația liniară este identică cu zero și nu egalitatea. Acest lucru este de înțeles, deoarece egalitatea unei combinații liniare cu zero trebuie să fie satisfăcută pentru orice valoare a argumentului.

Funcțiile sunt numite dependent liniar, dacă există un set de constante nenule (nu toate constantele sunt egale cu zero) astfel încât (există o combinație liniară netrivială de funcții identic egale cu zero).

Teorema.Pentru ca funcțiile să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca oricare dintre ele să fie exprimată liniar prin celelalte (reprezentate ca combinație liniară).

Demonstrați singuri această teoremă, se dovedește în același mod ca o teoremă similară despre dependența liniară a vectorilor.

determinantul lui Vronsky.

Determinantul Wronski pentru funcții este introdus ca un determinant ale cărui coloane sunt derivatele acestor funcții de la zero (funcțiile în sine) până la ordinul n-1.

.

Teorema. Dacă funcţiile sunt dependente liniar, atunci

Dovada. Din moment ce funcţiile sunt dependente liniar, atunci oricare dintre ele este exprimat liniar prin celelalte, de exemplu,

Identitatea poate fi diferenţiată, deci

Apoi prima coloană a determinantului Wronski este exprimată liniar prin coloanele rămase, astfel încât determinantul Wronski este identic egal cu zero.

Teorema.Pentru ca soluțiile unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul al n-lea să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca.

Dovada. Necesitatea rezultă din teorema anterioară.

Adecvarea. Să reparăm un punct. Deoarece , coloanele determinantului calculat în acest punct sunt vectori dependenți liniar.

, că relațiile sunt satisfăcute

Deoarece o combinație liniară de soluții la o ecuație liniară omogenă este soluția ei, putem introduce o soluție de forma

O combinație liniară de soluții cu aceiași coeficienți.

Rețineți că această soluție satisface condiții inițiale zero, aceasta rezultă din sistemul de ecuații scris mai sus. Dar soluția trivială a unei ecuații liniare omogene satisface și aceleași condiții inițiale zero. Prin urmare, din teorema lui Cauchy rezultă că soluția introdusă este identic egală cu cea trivială, prin urmare,

prin urmare soluțiile sunt dependente liniar.

Consecinţă.Dacă determinantul Wronski, construit pe soluțiile unei ecuații liniare omogene, dispare cel puțin într-un punct, atunci este identic egal cu zero.

Dovada. Dacă , atunci soluțiile sunt dependente liniar, prin urmare, .

Teorema.1. Pentru dependența liniară a soluțiilor este necesar și suficient(sau ).

2. Pentru independența liniară a soluțiilor este necesar și suficient.

Dovada. Prima afirmație decurge din teorema și corolarul demonstrat mai sus. A doua afirmație poate fi ușor dovedită prin contradicție.

Fie soluțiile să fie liniar independente. Dacă , atunci soluțiile sunt dependente liniar. Contradicţie. Prin urmare, .

Lăsa . Dacă soluțiile sunt dependente liniar, atunci , deci o contradicție. Prin urmare, soluțiile sunt liniar independente.

Consecinţă.Dispariția determinantului Wronski la cel puțin un punct este un criteriu pentru dependența liniară a soluțiilor față de o ecuație liniară omogenă.

Diferența dintre determinantul Wronski și zero este un criteriu pentru independența liniară a soluțiilor la o ecuație liniară omogenă.

Teorema.Dimensiunea spațiului de soluții la o ecuație liniară omogenă de ordinul n este egală cu n.

Dovada.

a) Să arătăm că există n soluții liniar independente pentru o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul al n-lea. Să luăm în considerare soluții , îndeplinind următoarele condiții inițiale:

...........................................................

Asemenea soluții există. Într-adevăr, conform teoremei lui Cauchy, prin punct trece printr-o singură curbă integrală — soluția. Prin punct soluția trece prin punct

- rezolvare, printr-un punct - solutie.

Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece .

b) Să arătăm că orice soluție a unei ecuații liniare omogenă este exprimată liniar prin aceste soluții (este combinația lor liniară).

Să luăm în considerare două soluții. Unu - o soluție arbitrară cu condiții inițiale . Raport corect