Formulați legea conservării momentului unghiular. §2

Legile conservării energiei cinetice și a impulsului au concurat mult timp între ele, pretinzând un rol principal, întrucât nici una, nici cealaltă lege nu au o justificare strictă. Cu toate acestea, oamenii de știință au bănuit de mult existența unei legături între ei, despre care a vorbit H. Huygens (1629-1695). Potrivit lui Huygens, această legătură înseamnă că conservarea energiei mecanice în orice sistem care se mișcă uniform implică conservarea impulsului. Prin urmare, după lungi dezbateri, oamenii de știință au ajuns la concluzia că aceste legi sunt echivalente. Deci, de exemplu, d’Alembert a făcut următoarea declarație pe această temă: „Fiecărui trebuie să i se acorde libertatea de a rezolva această problemă la propria discreție. Mai mult, întrebarea pusă nu este altceva decât o dispută metafizică complet infructuoasă despre cuvinte, nedemnă de atenția filozofilor.”
Conexiunea dintre legile conservării energiei cinetice și impuls a fost stabilită de W. Pauli (1900-1958). Pentru a demonstra această legătură el folosește ideea lui Huygens. Cităm din: „Într-un sistem care constă în ciocnirea particulelor cu mase, vitezele particulelor se modifică după impacturi la viteze. Conservarea energiei este exprimată prin ecuația:

Lăsați sistemul să câștige viteză suplimentară V. Vitezele particulelor înainte de impact vor fi acum egale cu , și după impact, iar conservarea energiei este acum exprimată prin relația:
,

Prin urmare:

Viteză V- este arbitrară, prin urmare egalitatea scrisă va fi valabilă numai dacă:

Cu alte cuvinte, impulsul sistemului înainte de ciocnirea particulelor, egal cu expresia din stânga, este conservat după ciocnire.”
Vom lua în considerare și această problemă prin prisma importanței sale deosebite folosind exemplul ciocnirii bilelor, dar într-o interpretare ușor diferită (Fig. 1).
Lăsați bilele să se miște într-un cadru de referință inerțial arbitrar X-yîn aceeași direcție (Fig. 1, a) cu viteze și . După impact, vitezele bilelor vor prelua valorile și . În conformitate cu legea conservării energiei, va fi valabilă următoarea expresie:
, (1)

Acum luați în considerare mișcarea relativă, luând una dintre bile ca cadru de referință. Pentru a face acest lucru, folosim principiul inversării mișcării, adică dăm ambelor bile aceeași viteză, de exemplu, ceea ce va duce la oprirea primei bile, deoarece viteza sa totală va fi zero. Viteza celei de-a doua bile va fi egală cu viteza relativă:
(2)
Legea conservării energiei cinetice în acest caz va lua forma:
(3)

(4)
Rezolvând împreună ecuațiile (1) și (4), obținem expresia:
, (5)

(7)
Astfel, se obține un rezultat interesant: legea conservării impulsului decurge din legea conservării energiei. De asemenea, trebuie menționat că rezultatul obținut nu depinde de alegerea sistemului de referință.
Dacă luăm în considerare contra-mișcarea bilelor (Fig. 1, b), atunci pentru a obține rezultatul corect, viteza trebuie scăzută din viteză, adică viteza relativă trebuie găsită în conformitate cu expresia (2) , deși, după cum se poate observa din figură, aceste viteze ar trebui adăugate . Această împrejurare se datorează faptului că vitezele de mișcare ale tuturor corpurilor sunt vectori, ceea ce înseamnă că chiar și atunci când le scădem valorile pot fi însumate.
Astfel, expresiile (2), (5) și (7) ar trebui considerate vectori.
Rezolvând expresiile (1) și (5) împreună, precum și (3) și (7), găsim vitezele bilelor după impact, considerându-le ca vectori:
; (8)
; (9)
; (10)
(11)
Folosind aceste expresii, găsim vitezele relative ale bilelor după impact:
; (12)
(13)
Astfel, în timpul unui impact elastic, vitezele relative ale bilelor își vor schimba doar direcția.
Expresia (1), care caracterizează legea conservării energiei, poate fi prezentată sub altă formă:
(14)

; (15)
, (16)

; (17)
, (18)

• de unde rezultă că energia dobândită de prima bilă este egală cu energia dată de a doua bilă.

Înlocuind valorile vitezelor și în expresiile (7) și (8), obținem:
; (19)
(20)
Să vedem acum cum se va îndeplini legătura dintre legile conservării energiei și impulsul pentru un caz mai complex de impact - un impact oblic, atunci când vitezele bilelor în mișcare sunt direcționate în unghi una față de cealaltă (Fig. 2) . În figură, bilele sunt separate pentru a-și arăta mai bine tiparele de viteză. Presupunem că viteza coincide cu direcția axei X.
Pentru a rezolva problema, folosim metoda inversării mișcării, dând ambelor bile o viteză , adică ca cadru de referință în mișcare relativă, selectăm prima bilă, a cărei viteză totală va fi egală cu zero. Să presupunem, de asemenea, pentru a simplifica problema, că viteza rezultată va fi direcționată de-a lungul liniei care leagă centrele bilelor. Apoi, folosind valorile cunoscute ale vitezelor pentru cea de-a doua bilă, se construiește un paralelogram, cu ajutorul căruia se stabilește o legătură între aceste viteze și viteza în mișcare relativă și se poate găsi și unghiul, deoarece unghiul este dat.
Folosind un paralelogram, folosind teorema cosinusului obținem expresia:
(21)

• pe care îl transformăm în forma:

(22)
Din această ecuație găsim viteza în mișcare relativă înainte de începerea impactului -:
(23)
Unghiul care caracterizează direcția vectorului se găsește din expresia obținută folosind teorema cosinusului:
, (24)

• de unde obținem:

(25)
Astfel, în urma operațiilor efectuate, obținem ciocnirea obișnuită a unei mingi în mișcare și staționare în direcția liniei centrelor acestora cu o viteză relativă inițială .
Înainte de a determina vitezele bilelor după ciocnirea lor, să stabilim o legătură între energiile cinetice ale bilelor în mișcare absolută și relativă:
; (26)
(27)
Deoarece
(28)

• În consecință, vor fi determinate și alte viteze în mișcare relativă:

; (29)
(30)
Înlocuind aceste valori ale vitezelor relative în expresia (27), obținem:
(31)
Reducând cu doi și pătratând diferența de viteză, transformăm expresia (31) în forma:
, (32)

Adăugând la primul termen din partea dreaptă a expresiei, puteți elimina termenii corespunzători expresiei (26), drept urmare expresia (32) va lua forma:
(33)
Reducând această expresie cu și grupând termenii, obținem:
(34)
După ce au determinat vitezele și în conformitate cu expresiile (28) – (32):
(35)

• și substituind-le în expresia (34), o transformăm în forma:

(36)
Astfel, am stabilit o legătură între legile conservării energiei și impulsul în mișcarea absolută și relativă a bilelor în timpul unui impact oblic.
Rezolvând împreună ecuațiile (27) și (36), găsim vitezele bilelor în mișcarea lor relativă:
; (37)
, (38)

Când rezolvăm ecuații pentru a obține o soluție în formă vectorială, pătratele vitezelor trebuie reprezentate ca produsul scalar a doi vectori identici.
Vitezele bilelor în mișcare absolută pot fi găsite folosind teorema cosinusului din paralelograme prezentată în Fig. 2.
Pentru prima minge, modulul de viteză este determinat de expresia:
, (39)

• de unde obținem:

(40)
Pentru a doua minge, modulul de viteză va fi egal cu:
, (41)

• unde il putem gasi:

(42)
Unghiurile și , care caracterizează direcțiile vectorilor și față de vectorii și , se găsesc și folosind teorema cosinusului:
; (43)
(44)
Înlocuind valorile vitezelor și din formulele (39) și (41) în aceste expresii, obținem:
; (45)
(46)
Pentru a verifica soluțiile obținute, puteți găsi valorile energiei cinetice a bilelor după impact, deoarece înainte de impact energia lor era egală cu:
, (47)

• iar după lovitură va fi:

(48)
Înlocuind valorile vitezelor pătrate în expresia (48) și din expresiile (39) și (41), obținem:
(49)
Acum folosim valorile modulelor de viteză și din expresiile (37) și (38):
(50)
Înlocuind valoarea modulului vitezei în această expresie în conformitate cu formula (23) și făcând transformări, obținem în cele din urmă că , adică legea conservării energiei va fi îndeplinită.
Să luăm acum în considerare ciocnirea inelastică a două bile. În acest caz, o parte din energie va fi cheltuită pentru modificări structurale (deformații inelastice în bile) și pentru încălzirea acestora, adică o modificare a energiei interne. Prin urmare, expresiile legilor conservării energiei în două sisteme de referință vor lua forma:
; (51)
(52)

Rezolvând împreună acest sistem de ecuații, obținem legea conservării momentului în forma sa obișnuită:
, (53)

• adică pierderile de energie în timpul interacțiunii corpurilor nu afectează forma acestei legi.

Folosind ecuațiile (51) și (53), găsim vitezele bilelor după ciocnirea lor inelastică:
; (54)
(55)
Evident, expresiile (54) și (55) vor avea un sens fizic doar dacă expresia radicală are o valoare pozitivă. Din această condiție, puteți găsi valoarea la care legea conservării impulsului va fi încă îndeplinită prin echivalarea expresiei radicalului cu zero:
(56)

, (57)

(58)
Expresiile (54) și (56), ținând cont de formula (57), pot fi reprezentate ca:
; (59)
, (60)

(61)
În mișcare relativă, expresiile pentru viteze vor lua forma:
; (62)
(63)
Din expresiile de mai sus rezultă că vitezele bilelor vor fi egale și se vor mișca împreună ca una singură.
Dacă coeficientul este mai mare decât unu, atunci expresia radicală va fi negativă, iar expresiile pentru viteze își vor pierde sensul fizic. Deoarece la , bilele se vor mișca ca o singură unitate, o ecuație este suficientă pentru a determina viteza mișcării lor. Când încă poți folosi legea conservării impulsului, atunci când ar trebui să folosești doar legea conservării energiei, deși în termeni matematici legea conservării impulsului va fi îndeplinită în acest caz. Astfel, legea conservării impulsului are limite în utilizarea sa. Aceasta confirmă încă o dată rolul prioritar al legii conservării energiei în raport cu legea conservării impulsului. Cu toate acestea, în principiu, este posibil ca valorile coeficientului să nu fie mai mari de unu, atunci ambele legi vor fi întotdeauna valabile, dar această afirmație necesită o verificare experimentală.
Deoarece bilele se vor mișca ca un întreg cu aceeași viteză, legea conservării energiei va lua forma:
, (64)

• unde, în conformitate cu expresia (61),

(65)
Rezolvând ecuația (64), obținem:
(66)

• sau în mișcare relativă:

(67)
Dacă toată energia de impact este cheltuită pentru pierderi, adică atunci când relația este satisfăcută:
, (68)

(69)
Adevărat, rămân îndoieli cu privire la posibilitatea unui astfel de caz.
În §5 al primului capitol, s-a arătat că cantitatea de mișcare caracterizează inerția unui corp și este determinată de raportul, adică raportul dintre modificarea energiei cinetice a corpului și modificarea vitezei acestuia. . În legătură cu această definiție a inerției unui corp, se poate da o altă concluzie legii conservării impulsului. Pentru a face acest lucru, folosim expresiile (15), (17) și (18), împărțindu-le la modificarea vitezei primului corp: :
(70)
Să transformăm expresia rezultată în forma:
(71)
Folosind raportul de viteză (12) sub forma:
, (72)

• Să transformăm expresia (71) în forma:

(73)

• de unde urmează legea conservării impulsului:

Legile conservării energiei și impulsului sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea diferitelor probleme de mecanică. Totuși, având în vedere faptul că aceste legi sunt integrale, întrucât iau în considerare stările corpurilor doar înainte și după interacțiunea lor, dar nu în momentul interacțiunii în sine, există pericolul pierderii sensului fizic al interacțiunea în sine, evitând explicarea acestui sens fizic din cauza lipsei de înțelegere a acestuia, deși rezultatul final va fi corect.
Să demonstrăm această afirmație folosind exemplul mișcării unei bărci atunci când o persoană din ea aruncă o piatră în apă (Fig. 3). Nu există nicio îndoială că barca se va deplasa în direcția opusă aruncării. Pentru rezolvarea problemei se folosește legea conservării impulsului care, ținând cont de direcția vitezelor, va avea forma:
, (74)

, (75)

• adică cu cât masa pietrei și viteza acesteia sunt mai mari, cu atât viteza bărcii este mai mare.

Dacă îi întrebi pe profesorii de mecanică ce motiv îi face să se miște o barcă, cei mai mulți dintre ei vor răspunde că barca se va mișca deoarece legea conservării impulsului trebuie îndeplinită. Ei dau un astfel de răspuns pentru că nu pot explica cauza reală a mișcării, deși știu foarte bine că mișcarea poate apărea numai sub influența forței. Deci, ce forță va face barca să se miște?
Evident, aici trebuie să înțelegem interacțiunea dintre mâinile omului și piatra în momentul aruncării. Singurul motiv pentru apariția forței care acționează asupra unei persoane și prin intermediul lui pe barcă este impactul de la piatră. Această forță va apărea dacă piatra se mișcă accelerată în momentul aruncării. Apoi se va deforma și în el vor apărea forțe elastice, care vor acționa asupra mâinilor persoanei. Aceste forțe, după cum știm deja, sunt forțe de inerție și mărimea lor va fi egală cu produsul dintre masa pietrei și accelerația acesteia. De asemenea, puteți spune că o persoană se îndepărtează de o piatră. Cu toate acestea, rezolvarea acestei probleme folosind a doua lege a lui Newton este aproape imposibilă, deoarece nu vom putea găsi accelerația pietrei în momentul aruncării. Viteza mișcării sale în primele momente de mișcare este mult mai ușor de găsit. Deci, utilizarea legilor integrale ale mișcării simplifică în mod semnificativ rezolvarea multor probleme din mecanică. Adevărat, nu ar trebui să uităm de esența fizică a fenomenelor luate în considerare. În acest caz, puterea matematică a legilor de conservare integrală va fi dezvăluită și mai clar.
Acum să luăm în considerare o problemă mai complexă despre mișcarea unui cărucior pe care sunt amplasate două sarcini, care se rotesc în direcții diferite cu aceeași viteză unghiulară (Fig. 4). Această problemă este de asemenea rezolvată folosind legea conservării impulsului:
, (76)

Din expresia (76) rezultă:
, (77)

• adică căruciorul va efectua oscilații armonice. Dar care este motivul acestor fluctuații? Nu se poate spune că căruța respectă legea conservării impulsului. O forță trebuie să facă căruciorul să oscileze, dar ce fel de forță? Singurul candidat pentru acest rol poate fi doar forța centrifugă de inerție care acționează asupra sarcinilor rotative:

(78)
Sub influența a două forțe de inerție, căruciorul se va deplasa de-a lungul axei y. Natura mișcării căruciorului poate fi găsită folosind a doua lege a lui Newton:
(79)
Viteza căruciorului este determinată prin integrarea acestei expresii:
, (80)

• Unde CU– constanta de integrare.

Pentru a determina viteza căruciorului, este necesar să folosiți condiții inițiale. Totuși, aici apare o problemă: cu ce viteza va fi egală cu căruciorul? Să presupunem că la momentul inițial de timp, căruciorul neasigurat și încărcăturile erau staționare, iar apoi încărcăturile au fost imediat puse în rotație la o viteză unghiulară constantă, adică nu va exista un mod de mișcare tranzițional. Astfel, mărimea forțelor de inerție va prelua imediat valoarea finală determinată de expresia (78). Sub influența forțelor de inerție, căruciorul ar trebui să se miște imediat într-o direcție pozitivă. Totuși, trebuie avut în vedere că odată cu apariția instantanee a vitezei de deplasare a sarcinilor va apărea o accelerație teoretic infinită, dar practic foarte mare în direcția axei. y, dacă sarcinile au fost situate de-a lungul axei X, și forța de inerție corespunzătoare în direcția opusă, care va face căruciorul să se miște în direcția acțiunii sale în direcția negativă a axei y, adică va exista de fapt un impact asupra căruciorului.
Să presupunem că viteza inițială a căruciorului va fi egală cu , apoi din ecuația (80) obținem:
,

• unde găsim constanta integrării CU:

(81)
În conformitate cu aceasta, viteza căruciorului va fi:
(82)
Prin integrarea acestei expresii, găsim deplasarea căruciorului de-a lungul axei y:
(83)
În condițiile date, mișcarea căruciorului va fi armonică, deci expresia dintre paranteze trebuie să fie egală cu zero. Apoi legea mișcării căruciorului va lua forma:
, (84)

(85)
Apoi viteza căruciorului în funcție de unghiul de rotație va fi determinată din expresia (80):
,

• care corespunde expresiei (77).

Totuși, o a doua soluție la această problemă este posibilă, dacă presupunem că la început căruciorul este fix și încărcăturile se rotesc cu o viteză constantă. Apoi, când sarcinile iau o poziție de-a lungul axei X, căruciorul este eliberat. În astfel de condiții, forțele inerțiale în direcția axei y va fi absent, deoarece valoarea vitezei de rotație a sarcinilor nu se va modifica, prin urmare nu va exista niciun impact asupra căruciorului în direcția negativă a axei y iar viteza sa inițială va fi zero. Apoi din ecuația (80) rezultă că constanta de integrare CU va fi egal cu:
, (86)

• prin urmare, viteza căruciorului în funcție de timp va avea forma:

(87)
Integrând această expresie în timp, găsim mișcarea căruciorului de-a lungul axei y:
(88)

, (89)

; (90)
(91)
Astfel, proiecția în schimbare periodică a forțelor de inerție ale sarcinilor pe axă y face căruciorul să efectueze oscilații armonice și chiar să se miște de-a lungul axei y in functie de conditiile initiale de condus. Un cărucior neasigurat va efectua doar oscilații armonice, în timp ce un cărucior care este fixat și apoi eliberat va efectua o mișcare rectilinie, pe care se vor suprapune oscilații armonice.
Analiza pe care am efectuat-o ar fi fost imposibilă fără a lua în considerare forțele care acționează asupra căruciorului, care în acest caz sunt forțele inerțiale. Dacă mișcarea căruciorului se explică prin necesitatea de a îndeplini legea conservării impulsului, atunci aceasta înseamnă a nu spune nimic despre fondul problemei. Prin urmare, este recomandabil să combinați utilizarea legilor de conservare cu o analiză detaliată a forței a problemei luate în considerare.

Din teorema privind modificarea impulsului unui sistem se pot obține următoarele consecințe importante.

1. Fie suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului să fie egală cu zero:

Apoi din ecuația (20) rezultă că în acest caz. Astfel, dacă suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este egală cu zero, atunci vectorul moment al sistemului va fi constant ca mărime și direcție.

2. Fie ca forțele externe care acționează asupra sistemului să fie astfel încât suma proiecțiilor lor pe o anumită axă (de exemplu, ) să fie egală cu zero:

Apoi din ecuațiile (20) rezultă că în acest caz. Astfel, dacă suma proiecțiilor tuturor forțelor externe care acționează pe orice axă este egală cu zero, atunci proiecția impulsului sistemului pe această axă este o valoare constantă.

Aceste rezultate exprimă legea conservării impulsului sistemului. Din ele rezultă că forțele interne nu pot modifica cantitatea de mișcare a sistemului. Să ne uităm la câteva exemple.

Fenomenul de recul sau recul. Dacă luăm în considerare pușca și glonțul ca un singur sistem, atunci presiunea gazelor pulbere în timpul unei împușcături va fi o forță internă. Această forță nu poate modifica cantitatea de mișcare a sistemului, egală cu împușcătura melcului. Dar, deoarece gazele pulbere, care acționează asupra glonțului, îi conferă acestuia o anumită mișcare îndreptată înainte, ele trebuie să transmită simultan puștii aceeași cantitate de mișcare în direcția opusă. Acest lucru va face ca pușca să se miște înapoi, cunoscut sub numele de recul. Un fenomen similar are loc la tragerea cu o armă (rollback).

Funcționarea elicei (elicei). Elicea conferă mișcare unei anumite mase de aer (sau apă) de-a lungul axei elicei, aruncând această masă înapoi. Dacă considerăm masa aruncată și aeronava (sau nava) ca un singur sistem, atunci forțele de interacțiune dintre elice și mediu, ca fiind interne, nu pot modifica cantitatea totală de mișcare a acestui sistem. Prin urmare, atunci când o masă de aer (apă) este aruncată înapoi, aeronava (sau nava) primește o viteză înainte corespunzătoare, astfel încât cantitatea totală de mișcare a sistemului în cauză rămâne egală cu zero, deoarece era zero înainte de a începe mișcarea. .

Un efect similar se obține prin acțiunea vâslelor sau a roților cu zbaturi.

Propulsie cu reacție. Într-o rachetă (rachetă), produsele de combustie gazoasă a combustibilului sunt ejectate cu viteză mare dintr-o deschidere din coada rachetei (de la duza motorului rachetei). Forțele de presiune care acționează în acest caz vor fi forțe interne și nu pot schimba impulsul sistemului de rachete - produse de ardere a combustibilului. Dar, deoarece gazele care scapă au o anumită mișcare îndreptată înapoi, racheta primește o viteză corespunzătoare îndreptată înainte. Mărimea acestei viteze va fi determinată în § 114.

Vă rugăm să rețineți că un motor cu elice (exemplul anterior) conferă mișcare unui obiect, cum ar fi un avion, aruncând înapoi particule din mediul în care se mișcă. În spațiul fără aer, o astfel de mișcare este imposibilă. Un motor cu reacție conferă mișcare prin aruncarea înapoi a maselor generate de motorul însuși (produse de ardere). Această mișcare este la fel de posibilă atât în ​​aer, cât și în spațiul fără aer.

Atunci când rezolvăm probleme, aplicarea teoremei ne permite să excludem toate forțele interne din considerare. Prin urmare, trebuie să încercăm să alegem sistemul luat în considerare în așa fel încât toate (sau o parte din) forțele necunoscute anterior să fie interne.

Legea conservării impulsului este convenabil de aplicat în cazurile în care, prin modificarea vitezei de translație a unei părți a sistemului, este necesar să se determine viteza altei părți. În special, această lege este utilizată pe scară largă în teoria impactului.

Problema 126. Un glonț de masă , care zboară orizontal cu o viteză și lovește o cutie de nisip montată pe un cărucior (Fig. 289). Cu ce ​​viteză va începe să se miște căruciorul după impact, dacă masa căruciorului împreună cu cutia este egală cu

Soluţie. Vom considera glonțul și căruciorul ca un singur sistem. Acest lucru ne va permite să eliminăm forțele care apar atunci când glonțul lovește cutia atunci când rezolvăm problema. Suma proiecțiilor forțelor externe aplicate sistemului pe axa orizontală Ox este egală cu zero. Prin urmare, sau unde este cantitatea de mișcare a sistemului înainte de impact; - după lovitură.

Deoarece căruciorul este nemișcat înainte de impact, atunci .

După impact, căruța și glonțul se deplasează cu o viteză comună, pe care o notăm cu v. Apoi .

Echivalând părțile din dreapta ale expresiilor, găsim

Problema 127. Determinați viteza de recul liber a pistolului dacă greutatea pieselor de recul este egală cu P, greutatea proiectilului este , iar viteza proiectilului în raport cu țeava este egală cu în momentul plecării.

Soluţie. Pentru a elimina forțele de presiune necunoscute ale gazelor pulbere, considerați proiectilul și piesele de recul ca un singur sistem.

Să luăm în considerare acțiunea unul asupra celuilalt a două corpuri izolate care nu interacționează cu alte corpuri. Vom presupune că forțele sunt constante pe parcursul interacțiunii. În conformitate cu cea de-a doua lege a dinamicii, modificarea impulsului primului corp este:

unde este intervalul de timp de interacțiune.

Modificarea impulsului celui de-al doilea corp:

unde este forța care acționează de la primul corp asupra celui de-al doilea.

Conform celei de-a treia legi a lui Newton

si in plus, evident

Prin urmare,

Indiferent de natura forțelor de interacțiune și de durata acțiunii lor, impulsul total a două corpuri izolate rămâne constant.

Rezultatul obținut poate fi extins la orice număr de corpuri care interacționează și la forțe care se modifică în timp. Pentru a face acest lucru, împărțim intervalul de timp în care interacțiunea corpurilor are loc în intervale atât de mici în timpul fiecăruia dintre care forța poate fi considerată constantă cu un anumit grad de precizie. În fiecare perioadă de timp, relația (1.8) va fi satisfăcută. Prin urmare, va fi valabil pentru tot intervalul de timp

Pentru a generaliza concluzia la corpurile care interacționează, introducem conceptul de sistem închis.

Închis este un sistem de corpuri pentru care forțele externe rezultante sunt egale cu zero.

Lasă masele punctelor materiale să formeze un sistem închis. Modificarea impulsului fiecăruia dintre aceste puncte ca urmare a interacțiunii sale cu toate celelalte puncte ale sistemului, respectiv:

Să notăm forțele interne care acționează asupra unui punct după masă din alte puncte, prin punct cu masă etc. (Primul indice indică punctul pe care acționează forța; al doilea indice indică punctul pe axa căruia forța este acte.)

Să scriem în notația acceptată a doua lege a dinamicii pentru fiecare punct separat:

Numărul de ecuații este egal cu numărul de corpuri din sistem. Pentru a găsi modificarea totală a impulsului sistemului, trebuie să calculați suma geometrică a modificărilor impulsului tuturor punctelor sistemului. După ce însumăm egalitățile (1.9), obținem în partea stângă vectorul complet al modificărilor impulsului sistemului în timp, iar în partea dreaptă - impulsul elementar al rezultantei tuturor forțelor care acționează în sistem. Dar, deoarece sistemul este închis, forțele rezultate sunt zero. De fapt, conform celei de-a treia legi a dinamicii, fiecărei forțe în egalități (1.9) îi corespunde o forță și

adică etc.,

iar rezultanta acestor forțe este zero. În consecință, în întregul sistem închis, modificarea impulsului este zero:

impulsul total al unui sistem închis este o mărime constantă pe toată durata mișcării (legea conservării impulsului).

Legea conservării impulsului este una dintre legile fundamentale ale fizicii, valabilă atât pentru sistemele de corpuri macroscopice, cât și pentru sistemele formate din corpuri microscopice: molecule, atomi etc.

Dacă forțele externe acționează asupra punctelor sistemului, atunci cantitatea de mișcare deținută de sistem se modifică.

Să scriem ecuațiile (1.9), incluzând în ele forțele externe rezultante care acționează respectiv asupra primului, al doilea etc. Până la punctul al treilea:

Adăugând părțile stânga și dreaptă ale ecuațiilor, obținem: în stânga - vectorul complet al schimbărilor în impulsul sistemului; în dreapta - impulsul forțelor externe rezultate:

sau, indicând forțele externe rezultante:

modificarea impulsului total al unui sistem de corpuri este egală cu impulsul forțelor externe rezultate.

Egalitatea (1.13) poate fi scrisă sub altă formă:

derivata în timp a cantității totale de mișcare a unui sistem de puncte este egală cu forțele externe rezultante care acționează asupra punctelor sistemului.

Proiectând vectorii de impuls ai sistemului și forțele externe pe trei axe reciproc perpendiculare, în loc de egalitatea vectorială (6.14), obținem trei ecuații scalare de forma:

Dacă de-a lungul oricărei axe, de exemplu, componenta forțelor externe rezultante este egală cu zero, atunci cantitatea de mișcare de-a lungul acestei axe nu se modifică, adică fiind în general deschisă, în direcția în care sistemul poate fi considerat ca închis.

Am examinat transferul mișcării mecanice de la un corp la altul fără a trece la alte forme de mișcare a materiei.

Cantitatea „mv se dovedește a fi o măsură a mișcării pur și simplu transferate, adică în curs de desfășurare...”.

Aplicarea legii schimbării impulsului la problema mișcării unui sistem de corpuri ne permite să excludem toate forțele interne din considerare, ceea ce simplifică cercetarea teoretică și rezolvarea problemelor practice.

1. Lăsați o persoană să stea nemișcată pe un cărucior staționar (Fig. 2.a). Momentul sistemului om-car este zero. Acest sistem este închis? Acesta este acționat de forțe externe - gravitația și frecarea dintre roțile căruciorului și podea. În general, sistemul nu este închis. Cu toate acestea, prin plasarea căruciorului pe șine și tratarea suprafeței șinelor și a roților în mod corespunzător, adică reducând semnificativ frecarea dintre ele, forța de frecare poate fi neglijată.

Forța gravitației, îndreptată vertical în jos, este echilibrată de reacția șinelor deformate, iar rezultanta acestor forțe nu poate oferi sistemului accelerație orizontală, adică nu poate schimba viteza și, prin urmare, impulsul sistemului. Astfel, putem, cu un anumit grad de aproximare, să considerăm acest sistem ca fiind închis.

Să presupunem acum că o persoană lasă căruciorul la stânga (Fig. 2.b), având viteză. Pentru a dobândi această viteză, o persoană trebuie, prin contractarea mușchilor, să acționeze cu picioarele pe platforma căruciorului și să o deformeze. Forța care acționează din partea laterală a platformei deformate pe picioarele persoanei conferă accelerație corpului uman spre stânga, iar forța care acționează din partea picioarelor deformate ale persoanei (în conformitate cu cea de-a treia lege a dinamicii) oferă accelerație. spre căruciorul din dreapta. Ca urmare, atunci când interacțiunea se oprește (persoana coboară din cărucior), căruciorul câștigă o oarecare viteză.

Pentru a găsi viteze folosind legile de bază ale dinamicii, ar fi necesar să știm cum forțele de interacțiune dintre o persoană și un cărucior se schimbă în timp și unde sunt aplicate aceste forțe. Legea conservării impulsului vă permite să găsiți imediat raportul dintre vitezele unei persoane și ale unui cărucior, precum și să indicați direcția lor reciprocă, dacă sunt cunoscute valorile maselor unei persoane și ale unui cărucior.

În timp ce persoana stă nemișcată pe cărucior, cantitatea totală de mișcare a sistemului rămâne egală cu zero:

Vitezele dobândite de o persoană și un cărucior sunt invers proporționale cu masele lor. Semnul minus indică direcția opusă a acestora.

2. Dacă o persoană, care se deplasează cu viteză, aleargă pe un cărucior staționar și se oprește pe acesta, atunci căruciorul începe să se miște, astfel încât cantitatea totală de mișcare a acestuia și a persoanei se dovedește a fi egală cu cantitatea de mișcare care persoana singură a avut înainte:

3. O persoană care se deplasează cu viteză aleargă pe un cărucior care se deplasează spre el cu viteză și se oprește pe acesta. În continuare, sistemul om-căruță se mișcă cu o viteză comună. Cantitatea totală de mișcare a persoanei și a căruciorului este egală cu suma cantităților de mișcare pe care le-au avut fiecare separat:

4. Folosind faptul că căruciorul se poate deplasa doar de-a lungul șinelor, putem demonstra natura vectorială a schimbării impulsului. Dacă o persoană intră și se oprește pe un cărucior anterior staționar o dată pe direcția posibilei sale mișcări, a doua oară - la un unghi de 45 ° și a treia oară - la un unghi de 90 ° față de această direcție, apoi în a doua oară în cazul în care viteza dobândită de cărucior este de aproximativ o dată și jumătate mai mică decât în ​​primul, iar în al treilea caz căruciorul este nemișcat.

Să luăm în considerare cele mai generale legi ale conservării, care guvernează întreaga lume materială și care introduc o serie de concepte fundamentale în fizică: energie, moment (momentum), moment unghiular, sarcină.

Legea conservării impulsului

După cum se știe, cantitatea de mișcare sau impulsul este produsul dintre viteză și masa unui corp în mișcare: p = mv Această mărime fizică vă permite să găsiți modificarea mișcării unui corp într-o anumită perioadă de timp. Pentru a rezolva această problemă, ar trebui să se aplice a doua lege a lui Newton de nenumărate ori, în toate momentele intermediare de timp. Legea conservării impulsului (momentul) poate fi obținută folosind a doua și a treia lege a lui Newton. Dacă luăm în considerare două (sau mai multe) puncte (corpuri) materiale care interacționează între ele și formează un sistem izolat de acțiunea forțelor externe, atunci în timpul mișcării impulsurile fiecărui punct (corp) se pot schimba, dar impulsul total al sistemul trebuie să rămână neschimbat:

m 1 v+m 1 v 2 = const.

Corpurile care interacționează schimbă impulsuri menținând în același timp impulsul total.

În cazul general obținem:

unde P Σ este impulsul total, total al sistemului, m i v i– impulsurile părților individuale ale sistemului care interacționează. Să formulăm legea conservării impulsului:

Dacă suma forțelor externe este zero, impulsul sistemului de corpuri rămâne constant în timpul oricăror procese care au loc în el.

Un exemplu de funcționare a legii conservării impulsului poate fi luat în considerare în procesul de interacțiune a unei bărci cu o persoană, care și-a îngropat nasul pe țărm, iar persoana din barcă merge rapid de la pupa la prova la un viteză v 1 . În acest caz, barca se va îndepărta de țărm cu o viteză v 2 :

Un exemplu similar poate fi dat cu un proiectil care a explodat în aer în mai multe părți. Suma vectorială a impulsurilor tuturor fragmentelor este egală cu impulsul proiectilului înainte de explozie.

Legea conservării momentului unghiular

Este convenabil să se caracterizeze rotația corpurilor rigide printr-o mărime fizică numită moment unghiular.

Când un corp rigid se rotește în jurul unei axe fixe, fiecare particulă individuală a corpului se mișcă într-un cerc cu o rază r i cu o oarecare viteză liniară v i. Viteză v iși impuls p = m i v i perpendicular pe raza r i. Produsul impulsului p = m i v i pe rază r i se numește momentul unghiular al particulei:

L i= m i v i r i= P i r i·

Momentul unghiular al întregului corp:

Dacă înlocuim viteza liniară cu viteza unghiulară (v i = ωr i), atunci

unde J = mr 2 – momentul de inerție.

Momentul unghiular al unui sistem închis nu se modifică în timp, adică L= const și Jω = const.

În acest caz, momentul unghiular al particulelor individuale ale unui corp în rotație se poate modifica după cum se dorește, dar momentul unghiular total (suma momentului unghiular al părților individuale ale corpului) rămâne constantă. Legea conservării momentului unghiular poate fi demonstrată observând un patinator care se învârte pe patine cu brațele întinse în lateral și cu brațele ridicate deasupra capului. Deoarece Jω = const, atunci în al doilea caz momentul de inerție J scade, ceea ce înseamnă că viteza unghiulară u trebuie să crească, întrucât Jω = const.

Legea conservării energiei

Energie este o măsură universală a diferitelor forme de mișcare și interacțiune. Energia dată de un corp altuia este întotdeauna egală cu energia primită de celălalt corp. Pentru a cuantifica procesul de schimb de energie între corpurile care interacționează, mecanica introduce conceptul de lucru al unei forțe care provoacă mișcarea.

Energia cinetică a unui sistem mecanic este energia mișcării mecanice a acestui sistem. Forța care provoacă mișcarea unui corp funcționează, iar energia unui corp în mișcare crește cu cantitatea de muncă cheltuită. După cum se știe, un corp de masă m, deplasându-se cu viteză v, are energie cinetică E=mv 2 /2.

Energie potențială este energia mecanică a unui sistem de corpuri care interacționează prin câmpuri de forțe, de exemplu prin forțe gravitaționale. Munca efectuată de aceste forțe la deplasarea unui corp dintr-o poziție în alta nu depinde de traiectoria mișcării, ci depinde doar de poziția inițială și finală a corpului în câmpul de forță.

Astfel de câmpuri de forță se numesc potențial, iar forțele care acționează în ele se numesc conservator. Forțele gravitaționale sunt forțe conservatoare și energia potențială a unui corp de masă m, ridicat la o înălțime h deasupra suprafeței Pământului este egală cu

E sudoare = mgh,

Unde g- accelerarea gravitației.

Energia mecanică totală este egală cu suma energiei cinetice și potențiale:

E= E kin + E sudoare

Legea conservării energiei mecanice(1686, Leibniz) afirmă că într-un sistem de corpuri între care acţionează numai forţe conservatoare, energia mecanică totală rămâne neschimbată în timp. În acest caz, transformările energiei cinetice în energie potențială și invers pot avea loc în cantități echivalente.

Există un alt tip de sistem în care energia mecanică poate fi redusă prin conversie în alte forme de energie. De exemplu, atunci când un sistem se mișcă cu frecare, o parte din energia mecanică este redusă din cauza frecării. Astfel de sisteme sunt numite disipativ, adică sisteme care disipă energia mecanică. În astfel de sisteme, legea conservării energiei mecanice totale nu este valabilă. Cu toate acestea, atunci când energia mecanică scade, o cantitate de energie de alt tip apare întotdeauna echivalentă cu această scădere. Prin urmare, energia nu dispare sau reapare niciodată, se schimbă doar de la un tip la altul. Aici se manifestă proprietatea de indestructibilitate a materiei și mișcarea ei.

În mecanica clasică, există două legi de conservare: legea conservării impulsului și legea conservării energiei.

Impulsul corpului

Conceptul de impuls a fost introdus pentru prima dată de un matematician, fizician și mecanic francez. iar filozoful Descartes, care a numit impuls cantitatea de mișcare .

Din latină, „impuls” este tradus ca „împinge, mișcă”.

Orice corp care se mișcă are impuls.

Să ne imaginăm un cărucior care stă nemișcat. Momentul său este zero. Dar de îndată ce căruciorul începe să se miște, impulsul său nu va mai fi zero. Va începe să se schimbe pe măsură ce viteza se schimbă.

Momentul unui punct material, sau cantitatea de mișcare – o mărime vectorială egală cu produsul dintre masa unui punct și viteza acestuia. Direcția vectorului moment al punctului coincide cu direcția vectorului viteză.

Dacă vorbim despre un corp fizic solid, atunci impulsul unui astfel de corp se numește produsul dintre masa acestui corp și viteza centrului de masă.

Cum se calculează impulsul unui corp? Ne putem imagina că un corp este format din multe puncte materiale sau un sistem de puncte materiale.

Dacă - impulsul unui punct material, apoi impulsul unui sistem de puncte materiale

Acesta este, impulsul unui sistem de puncte materiale este suma vectorială a momentelor tuturor punctelor materiale incluse în sistem. Este egal cu produsul dintre masele acestor puncte și viteza lor.

Unitatea de impuls în sistemul internațional de unități SI este kilogram-metru pe secundă (kg m/sec).

Forța de impuls

În mecanică, există o legătură strânsă între impulsul unui corp și forță. Aceste două mărimi sunt legate printr-o mărime numită impuls de forță .

Dacă asupra unui corp acţionează o forţă constantăF După o perioadă de timp t , apoi conform celei de-a doua legi a lui Newton

Această formulă arată relația dintre forța care acționează asupra unui corp, timpul de acțiune al acestei forțe și modificarea vitezei corpului.

Se numeste cantitatea egala cu produsul fortei care actioneaza asupra unui corp si timpul in care acesta actioneaza impuls de forță .

După cum vedem din ecuație, impulsul forței este egal cu diferența dintre impulsurile corpului în momentele inițiale și finale ale timpului sau cu schimbarea impulsului de-a lungul unui timp.

A doua lege a lui Newton sub formă de impuls este formulată după cum urmează: modificarea impulsului unui corp este egală cu impulsul forței care acționează asupra acestuia. Trebuie spus că Newton însuși și-a formulat inițial legea exact în acest fel.

Impulsul de forță este, de asemenea, o mărime vectorială.

Legea conservării impulsului decurge din a treia lege a lui Newton.

Trebuie amintit că această lege operează doar într-un sistem fizic închis sau izolat. Un sistem închis este un sistem în care corpurile interacționează numai între ele și nu interacționează cu corpurile externe.

Să ne imaginăm un sistem închis de două corpuri fizice. Forțele de interacțiune ale corpurilor între ele se numesc forțe interne.

Impulsul de forță pentru primul corp este egal cu

Conform celei de-a treia legi a lui Newton, forțele care acționează asupra corpurilor în timpul interacțiunii lor sunt egale ca mărime și opuse ca direcție.

Prin urmare, pentru al doilea corp impulsul forței este egal cu

Prin calcule simple obținem o expresie matematică pentru legea conservării impulsului:

Unde m 1 Și m 2 - mase corporale,

v 1 Și v 2 – vitezele primului și celui de-al doilea corp înainte de interacțiune,

v 1" Și v 2" – vitezele primului și celui de-al doilea corp după interacțiune .

p 1 = m 1 · v 1 - impulsul primului corp înainte de interacțiune;

p 2 = m 2 · v 2 - impulsul celui de-al doilea corp înainte de interacțiune;

p 1 "= m 1 · v 1" - impulsul primului corp după interacțiune;

p 2 "= m 2 · v 2" - impulsul celui de-al doilea corp după interacțiune;

Acesta este

p 1 + p 2 = p 1" + p 2"

Într-un sistem închis, corpurile schimbă doar impulsuri. Și suma vectorială a momentelor acestor corpuri înainte de interacțiunea lor este egală cu suma vectorială a momentelor lor după interacțiune.

Deci, ca urmare a tragerii cu o armă, impulsul pistolului în sine și impulsul glonțului se vor schimba. Dar suma impulsurilor pistolului și glonțului din el înainte de împușcătură va rămâne egală cu suma impulsurilor pistolului și glonțului zburător după împușcătură.

Când trageți un tun, există recul. Proiectilul zboară înainte, iar pistolul în sine se rostogolește înapoi. Proiectilul și pistolul sunt un sistem închis în care funcționează legea conservării impulsului.

Elanul fiecărui corp într-un sistem închis se pot schimba ca urmare a interacțiunii lor între ele. Dar suma vectorială a impulsurilor corpurilor incluse într-un sistem închis nu se modifică atunci când aceste corpuri interacționează în timp, adică rămâne constantă. Asta e legea conservării impulsului.

Mai precis, legea conservării impulsului este formulată după cum urmează: suma vectorială a impulsurilor tuturor corpurilor unui sistem închis este o valoare constantă dacă nu există forțe externe care acționează asupra acestuia sau suma vectorială a acestora este egală cu zero.

Momentul unui sistem de corpuri se poate schimba numai ca urmare a acțiunii forțelor externe asupra sistemului. Și atunci legea conservării impulsului nu se va aplica.

Trebuie spus că sistemele închise nu există în natură. Dar, dacă timpul de acțiune al forțelor externe este foarte scurt, de exemplu, în timpul unei explozii, împușcături etc., atunci în acest caz influența forțelor externe asupra sistemului este neglijată, iar sistemul în sine este considerat ca fiind închis.

În plus, dacă asupra sistemului acționează forțe externe, dar suma proiecțiilor lor pe una dintre axele de coordonate este zero (adică forțele sunt echilibrate în direcția acestei axe), atunci legea conservării impulsului este îndeplinită. în această direcție.

Se mai numește legea conservării impulsului legea conservării impulsului .

Cel mai frapant exemplu de aplicare a legii conservării impulsului este mișcarea jetului.

Propulsie cu reacție

Mișcarea reactivă este mișcarea unui corp care are loc atunci când o parte a acestuia este separată de acesta cu o anumită viteză. Corpul însuși primește un impuls direcționat opus.

Cel mai simplu exemplu de propulsie cu reacție este zborul unui balon din care scapă aerul. Dacă umflam un balon și îl eliberăm, acesta va începe să zboare în direcția opusă mișcării aerului care iese din el.

Un exemplu de propulsie cu reacție în natură este eliberarea de lichid din fructul unui castravete nebun atunci când acesta explodează. În același timp, castravetele însuși zboară în direcția opusă.

Meduzele, sepia și alți locuitori ai mării adânci se mișcă luând apă și apoi aruncând-o afară.

Impingerea jetului se bazează pe legea conservării impulsului. Știm că atunci când o rachetă cu un motor cu reacție se mișcă, ca urmare a arderii combustibilului, un jet de lichid sau gaz este aruncat din duză ( curent cu jet ). Ca rezultat al interacțiunii motorului cu substanța care scăpă, Forța reactivă . Deoarece racheta, împreună cu substanța emisă, este un sistem închis, impulsul unui astfel de sistem nu se modifică în timp.

Forța reactivă apare din interacțiunea doar a unor părți ale sistemului. Forțele externe nu au nicio influență asupra aspectului său.

Înainte ca racheta să înceapă să se miște, suma impulsurilor rachetei și combustibilului a fost zero. În consecință, conform legii conservării impulsului, după pornirea motoarelor, suma acestor impulsuri este și ea zero.

unde este masa rachetei

Debitul de gaz

Schimbarea vitezei rachetei

∆mf - consum de combustibil

Să presupunem că racheta a funcționat pentru o perioadă de timp t .

Împărțirea ambelor părți ale ecuației cu ∆ t, obținem expresia

Conform celei de-a doua legi a lui Newton, forța reactivă este egală cu

Forța de reacție, sau împingerea cu jet, asigură deplasarea motorului cu reacție și a obiectului asociat acestuia în direcția opusă direcției curentului cu jet.

Motoarele cu reacție sunt utilizate în aeronavele moderne și diverse rachete, militare, spațiale etc.