Exemple de cum să găsiți probabilitatea unui eveniment. Definiția clasică și statistică a probabilității

În economie, ca și în alte domenii ale activității umane sau în natură, trebuie să ne confruntăm constant cu evenimente care nu pot fi prezise cu exactitate. Astfel, volumul vânzărilor unui produs depinde de cerere, care poate varia semnificativ, și de o serie de alți factori care sunt aproape imposibil de luat în considerare. Prin urmare, atunci când organizați producția și desfășurați vânzări, trebuie să preziceți rezultatul unor astfel de activități pe baza fie a propriei experiențe anterioare, fie a experienței similare a altor oameni, fie a intuiției, care în mare măsură se bazează și pe date experimentale.

Pentru a evalua cumva evenimentul în cauză este necesar să se țină cont sau să se organizeze special condițiile în care este înregistrat acest eveniment.

Se apelează la implementarea anumitor condiții sau acțiuni pentru identificarea evenimentului în cauză experienţă sau experiment.

Evenimentul este numit Aleatoriu, dacă în urma experienței poate apărea sau nu.

Evenimentul este numit de încredere, dacă apare neapărat ca urmare a unei experiențe date, și imposibil, dacă nu poate apărea în această experiență.

De exemplu, ninsoarea la Moscova pe 30 noiembrie este un eveniment întâmplător. Răsăritul zilnic poate fi considerat un eveniment de încredere. Ninsorile la ecuator pot fi considerate un eveniment imposibil.

Una dintre sarcinile principale în teoria probabilității este sarcina de a determina o măsură cantitativă a posibilității ca un eveniment să se producă.

Algebra evenimentelor

Evenimentele sunt numite incompatibile dacă nu pot fi observate împreună în aceeași experiență. Astfel, prezența a două și trei mașini într-un magazin de vânzare în același timp sunt două evenimente incompatibile.

Cantitate evenimente este un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente

Un exemplu al sumei evenimentelor este prezența a cel puțin unuia dintre cele două produse în magazin.

Munca evenimente este un eveniment constând în producerea simultană a tuturor acestor evenimente

Un eveniment constând în apariția a două mărfuri într-un magazin în același timp este un produs al unor evenimente: - apariția unui produs, - apariția unui alt produs.

Evenimentele formează un grup complet de evenimente dacă cel puțin unul dintre ele este sigur că va avea loc prin experiență.

Exemplu. Portul are două dane pentru primirea navelor. Pot fi avute în vedere trei evenimente: - absența navelor la dane, - prezența unei nave la una dintre dane, - prezența a două nave la două dane. Aceste trei evenimente formează un grup complet de evenimente.

Opus sunt numite două evenimente posibile unice care formează un grup complet.

Dacă unul dintre evenimentele care este opus este notat cu , atunci evenimentul opus este de obicei notat cu .

Definiții clasice și statistice ale probabilității evenimentelor

Fiecare dintre rezultatele la fel de posibile ale testelor (experimentelor) se numește rezultat elementar. Ele sunt de obicei desemnate prin litere. De exemplu, se aruncă un zar. Pot exista un total de șase rezultate elementare bazate pe numărul de puncte de pe părți.

Din rezultatele elementare puteți crea un eveniment mai complex. Astfel, evenimentul unui număr par de puncte este determinat de trei rezultate: 2, 4, 6.

O măsură cantitativă a posibilității de apariție a evenimentului în cauză este probabilitatea.

Cele mai utilizate definiții ale probabilității unui eveniment sunt: clasicȘi statistic.

Definiția clasică a probabilității este asociată cu conceptul de rezultat favorabil.

Rezultatul se numește favorabil la un eveniment dat dacă producerea acestuia implică producerea acestui eveniment.

În exemplul de mai sus, evenimentul în cauză – un număr par de puncte pe partea rulată – are trei rezultate favorabile. În acest caz, generalul
numărul de rezultate posibile. Aceasta înseamnă că definiția clasică a probabilității unui eveniment poate fi folosită aici.

Definiție clasică este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate posibile

unde este probabilitatea evenimentului, este numărul de rezultate favorabile evenimentului, este numărul total de rezultate posibile.

În exemplul considerat

Definiția statistică a probabilității este asociată cu conceptul de frecvență relativă de apariție a unui eveniment în experimente.

Frecvența relativă de apariție a unui eveniment este calculată folosind formula

unde este numărul de apariții ale unui eveniment într-o serie de experimente (teste).

Definiție statistică. Probabilitatea unui eveniment este numărul în jurul căruia frecvența relativă se stabilizează (se stabilește) cu o creștere nelimitată a numărului de experimente.

În problemele practice, probabilitatea unui eveniment este considerată frecvența relativă pentru un număr suficient de mare de încercări.

Din aceste definiții ale probabilității unui eveniment este clar că inegalitatea este întotdeauna satisfăcută

Pentru a determina probabilitatea unui eveniment pe baza formulei (1.1), se folosesc adesea formule combinatorice, care sunt folosite pentru a afla numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate posibile.

Când o monedă este aruncată, putem spune că va ateriza heads up, sau probabilitate aceasta este 1/2. Desigur, asta nu înseamnă că, dacă o monedă este aruncată de 10 ori, ea va ateriza neapărat pe capete de 5 ori. Dacă moneda este „corectă” și dacă este aruncată de mai multe ori, atunci capete vor ateriza foarte aproape în jumătate din timp. Astfel, există două tipuri de probabilități: experimental Și teoretic .

Probabilitate experimentală și teoretică

Dacă aruncăm o monedă de un număr mare de ori - să zicem 1000 - și numărăm de câte ori aterizează în capete, putem determina probabilitatea ca aceasta să capete. Dacă capul este aruncat de 503 ori, putem calcula probabilitatea ca acesta să aterizeze:
503/1000 sau 0,503.

Acest experimental definiția probabilității. Această definiție a probabilității provine din observarea și studiul datelor și este destul de comună și foarte utilă. Iată, de exemplu, câteva probabilități care au fost determinate experimental:

1. Probabilitatea ca o femeie să dezvolte cancer de sân este de 1/11.

2. Dacă săruți pe cineva care este răcit, atunci probabilitatea ca și tu să răcești este de 0,07.

3. O persoană care tocmai a fost eliberată din închisoare are șanse de 80% să se întoarcă în închisoare.

Dacă luăm în considerare aruncarea unei monede și ținând cont de faptul că este la fel de probabil ca aceasta să iasă cu cap sau cozi, putem calcula probabilitatea de a obține capete: 1/2. Aceasta este o definiție teoretică a probabilității. Iată câteva alte probabilități care au fost determinate teoretic folosind matematică:

1. Dacă într-o cameră sunt 30 de persoane, probabilitatea ca două dintre ele să aibă aceeași zi de naștere (excluzând anul) este de 0,706.

2. În timpul unei călătorii, întâlnești pe cineva, iar în timpul conversației descoperi că ai un prieten comun. Reacție tipică: „Asta nu poate fi!” De fapt, această frază nu este potrivită, deoarece probabilitatea unui astfel de eveniment este destul de mare - puțin peste 22%.

Astfel, probabilitățile experimentale sunt determinate prin observare și colectare de date. Probabilitățile teoretice sunt determinate prin raționament matematic. Exemple de probabilități experimentale și teoretice, precum cele discutate mai sus, și mai ales cele la care nu ne așteptăm, ne conduc la importanța studierii probabilității. Puteți întreba: „Care este probabilitatea adevărată?” De fapt, nu există așa ceva. Probabilitățile în anumite limite pot fi determinate experimental. Ele pot coincide sau nu cu probabilitățile pe care le obținem teoretic. Există situații în care este mult mai ușor să determinați un tip de probabilitate decât altul. De exemplu, ar fi suficient să găsim probabilitatea de a răci folosind probabilitatea teoretică.

Calculul probabilităților experimentale

Să luăm mai întâi în considerare definiția experimentală a probabilității. Principiul de bază pe care îl folosim pentru a calcula astfel de probabilități este următorul.

Principiul P (experimental)

Dacă într-un experiment în care se fac n observații, o situație sau eveniment E are loc de m ori în n observații, atunci probabilitatea experimentală a evenimentului se spune că este P (E) = m/n.

Exemplul 1 Ancheta sociologică. A fost realizat un studiu experimental pentru a determina numărul de stângaci, dreptaci și persoane ale căror ambele mâini sunt egal dezvoltate.Rezultatele sunt prezentate în grafic.

a) Determinați probabilitatea ca persoana să fie dreptaci.

b) Determinați probabilitatea ca persoana să fie stângaci.

c) Determinați probabilitatea ca o persoană să fie la fel de fluentă în ambele mâini.

d) Majoritatea turneelor Asociației Profesionale de Bowling sunt limitate la 120 de jucători. Pe baza datelor din acest experiment, câți jucători ar putea fi stângaci?

Soluţie

a)Numărul de oameni care sunt dreptaci este de 82, numărul de stângaci este de 17, iar numărul celor care vorbesc la fel de fluent cu ambele mâini este 1. Numărul total de observații este 100. Astfel, probabilitatea că o persoană este dreptaci este P
P = 82/100, sau 0,82, sau 82%.

b) Probabilitatea ca o persoană să fie stângacă este P, unde
P = 17/100 sau 0,17 sau 17%.

c) Probabilitatea ca o persoană să fie la fel de fluentă în ambele mâini este P, unde
P = 1/100, sau 0,01, sau 1%.

d) 120 de bowler, iar de la (b) ne putem aștepta ca 17% să fie stângaci. De aici
17% din 120 = 0,17,120 = 20,4,
adică ne putem aștepta ca vreo 20 de jucători să fie stângaci.

Exemplul 2 Control de calitate . Este foarte important ca un producător să mențină calitatea produselor sale la un nivel ridicat. De fapt, companiile angajează inspectori de control al calității pentru a asigura acest proces. Scopul este de a produce un număr minim posibil de produse defecte. Dar, deoarece compania produce mii de produse în fiecare zi, nu își poate permite să testeze fiecare produs pentru a determina dacă este defect sau nu. Pentru a afla ce procent de produse sunt defecte, compania testează mult mai puține produse.
USDA cere ca 80% din semințele vândute de cultivatori să germineze. Pentru a determina calitatea semințelor pe care le produce o firmă agricolă, se plantează 500 de semințe din cele care au fost produse. După aceasta, s-a calculat că au încolțit 417 semințe.

a) Care este probabilitatea ca sămânța să germineze?

b) Semințele respectă standardele guvernamentale?

Soluţie a) Știm că din 500 de semințe care au fost plantate, 417 au încolțit. Probabilitatea germinării semințelor P, și
P = 417/500 = 0,834 sau 83,4%.

b) Deoarece procentul de semințe germinate a depășit 80% conform cerințelor, semințele îndeplinesc standardele guvernamentale.

Exemplul 3 Evaluări de televiziune. Potrivit statisticilor, în Statele Unite există 105.500.000 de gospodării cu televizoare. În fiecare săptămână, informații despre vizionarea programelor sunt colectate și procesate. Într-o săptămână, 7.815.000 de gospodării s-au conectat la serialul de comedie de succes „Everybody Loves Raymond” de la CBS și 8.302.000 de gospodării s-au conectat la serialul de succes „Law & Order” de pe NBC (Sursa: Nielsen Media Research). Care este probabilitatea ca televizorul unei gospodării să fie reglat pe „Everybody Loves Raymond” în timpul unei anumite săptămâni? pe „Law & Order”?

Soluţie Probabilitatea ca televizorul dintr-o gospodărie să fie reglat pe „Everybody Loves Raymond” este P și
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Șansa ca televizorul gospodăriei să fie reglat pe Law & Order este P și
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Aceste procente se numesc rating.

Probabilitate teoretică

Să presupunem că efectuăm un experiment, cum ar fi aruncarea unei monede sau săgeți, extragerea unei cărți dintr-un pachet sau testarea calității produselor pe o linie de asamblare. Fiecare rezultat posibil al unui astfel de experiment este numit Exod . Se numește setul tuturor rezultatelor posibile spațiu de rezultat . Eveniment este un set de rezultate, adică un subset al spațiului de rezultate.

Exemplul 4 Aruncarea săgeților. Să presupunem că într-un experiment de aruncare a săgeții, o săgetă lovește o țintă. Găsiți fiecare dintre următoarele:

b) Spațiul rezultatului

Soluţie
a) Rezultatele sunt: lovirea negru (B), lovirea roșu (R) și lovirea alb (B).

b) Spațiul rezultatelor este (lovirea negru, lovirea roșu, lovirea alb), care poate fi scris simplu ca (H, K, B).

Exemplul 5 Aruncarea zarurilor. Un zar este un cub cu șase laturi, fiecare având unul până la șase puncte pe el.

Să presupunem că aruncăm un zar. Găsi
a) Rezultate
b) Spațiul rezultatului

Soluţie
a) Rezultate: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Spațiul rezultat (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Notăm probabilitatea ca un eveniment E să se producă ca P(E). De exemplu, „moneda va ateriza pe capete” poate fi notat cu H. Atunci P(H) reprezintă probabilitatea ca moneda să aterizeze pe capete. Când toate rezultatele unui experiment au aceeași probabilitate de a avea loc, se spune că sunt la fel de probabile. Pentru a vedea diferențele dintre evenimentele care sunt la fel de probabile și evenimentele care nu sunt, luați în considerare ținta prezentată mai jos.

Pentru ținta A, evenimentele de lovire a negru, roșu și alb sunt la fel de probabile, deoarece sectoarele negru, roșu și alb sunt aceleași. Cu toate acestea, pentru ținta B, zonele cu aceste culori nu sunt aceleași, adică atingerea lor nu este la fel de probabilă.

Principiul P (teoretic)

Dacă un eveniment E se poate întâmpla în m moduri din n rezultate posibile la fel de probabile din spațiul rezultat S, atunci probabilitatea teoretică evenimente, P(E) este
P(E) = m/n.

Exemplul 6 Care este probabilitatea de a arunca un zar pentru a obține un 3?

Soluţie Există 6 rezultate la fel de probabile pe un zar și există o singură posibilitate de a arunca numărul 3. Atunci probabilitatea P va fi P(3) = 1/6.

Exemplul 7 Care este probabilitatea de a arunca un număr par pe un zar?

Soluţie Evenimentul este aruncarea unui număr par. Acest lucru se poate întâmpla în 3 moduri (dacă aruncați un 2, 4 sau 6). Numărul de rezultate la fel de probabile este 6. Atunci probabilitatea P(par) = 3/6 sau 1/2.

Vom folosi o serie de exemple care implică un pachet standard de 52 de cărți. Acest pachet este format din cărțile prezentate în figura de mai jos.

Exemplul 8 Care este probabilitatea de a extrage un As dintr-un pachet de cărți bine amestecat?

Soluţie Există 52 de rezultate (numărul de cărți din pachet), acestea sunt la fel de probabile (dacă pachetul este amestecat bine) și există 4 moduri de a trage un As, deci conform principiului P, probabilitatea
P(trage un as) = 4/52 sau 1/13.

Exemplul 9 Să presupunem că alegem, fără să ne uităm, o minge dintr-o pungă cu 3 bile roșii și 4 bile verzi. Care este probabilitatea de a alege o minge roșie?

Soluţie Există 7 rezultate la fel de probabile la extragerea oricărei mingi și, deoarece numărul de moduri de a extrage o minge roșie este 3, obținem
P(selecția mingii roșii) = 3/7.

Următoarele afirmații sunt rezultate din Principiul P.

Proprietăți ale probabilității

a) Dacă evenimentul E nu se poate întâmpla, atunci P(E) = 0.
b) Dacă evenimentul E este sigur că se va întâmpla atunci P(E) = 1.
c) Probabilitatea ca evenimentul E să se producă este un număr de la 0 la 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

De exemplu, la aruncarea unei monede, evenimentul în care moneda aterizează pe marginea ei are probabilitate zero. Probabilitatea ca o monedă să fie fie cap, fie coadă are o probabilitate de 1.

Exemplul 10 Să presupunem că 2 cărți sunt extrase dintr-un pachet de 52 de cărți. Care este probabilitatea ca ambele să fie vârfuri?

Soluţie Numărul n de moduri de a trage 2 cărți dintr-un pachet de 52 de cărți bine amestecat este 52 C 2 . Deoarece 13 din cele 52 de cărți sunt pică, numărul de moduri m pentru a trage 2 pică este de 13 C 2 . Apoi,
P(tragând 2 vârfuri) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Exemplul 11 Să presupunem că 3 persoane sunt alese aleatoriu dintr-un grup de 6 bărbați și 4 femei. Care este probabilitatea ca 1 bărbat și 2 femei să fie selectați?

Soluţie Numărul de moduri de a selecta trei persoane dintr-un grup de 10 persoane este de 10 C 3. Un bărbat poate fi ales în 6 moduri C 1, iar 2 femei pot fi alese în 4 moduri C 2. Conform principiului fundamental al numărării, numărul de moduri de a alege 1 bărbat și 2 femei este de 6 C 1. 4 C 2 . Apoi, probabilitatea ca 1 bărbat și 2 femei să fie selectați este
P = 6 C1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Exemplul 12 Aruncarea zarurilor. Care este probabilitatea de a arunca un total de 8 pe două zaruri?

Soluţie Fiecare zar are 6 rezultate posibile. Rezultatele sunt dublate, adică există 6,6 sau 36 de moduri posibile în care pot apărea numerele de pe cele două zaruri. (Este mai bine dacă cuburile sunt diferite, să spunem că unul este roșu și celălalt este albastru - acest lucru va ajuta la vizualizarea rezultatului.)

Perechile de numere care însumează până la 8 sunt prezentate în figura de mai jos. Există 5 moduri posibile de a obține o sumă egală cu 8, deci probabilitatea este 5/36.

În sarcinile Unified State Examination în matematică, există și probleme de probabilitate mai complexe (decât am considerat în Partea 1), unde trebuie să aplicăm regula adunării, înmulțirii probabilităților și să distingem între evenimente compatibile și incompatibile.

Deci, teoria.

Evenimente comune și non-comunite

Evenimentele sunt numite incompatibile dacă apariția unuia dintre ele exclude apariția altora. Adică se poate întâmpla doar un anumit eveniment sau altul.

De exemplu, atunci când aruncați un zar, puteți distinge între evenimente precum obținerea unui număr par de puncte și obținerea unui număr impar de puncte. Aceste evenimente sunt incompatibile.

Evenimentele sunt numite comune dacă apariția unuia dintre ele nu exclude apariția celuilalt.

De exemplu, atunci când aruncați un zar, puteți distinge astfel de evenimente cum ar fi aruncarea unui număr impar de puncte și aruncarea unui număr de puncte care sunt multiplu de trei. Când se aruncă un trei, au loc ambele evenimente.

Suma evenimentelor

Suma (sau combinația) mai multor evenimente este un eveniment constând din apariția a cel puțin unuia dintre aceste evenimente.

în care suma a două evenimente incompatibile este suma probabilităților acestor evenimente:

De exemplu, probabilitatea de a obține 5 sau 6 puncte pe un zar cu o singură aruncare va fi , deoarece ambele evenimente (rularea 5, aruncarea 6) sunt inconsecvente și probabilitatea ca unul sau altul să se producă este calculată după cum urmează:

Probabilitatea suma a două evenimente comune egal cu suma probabilităților acestor evenimente fără a lua în considerare apariția lor comună:

De exemplu, într-un centru comercial, două aparate identice vând cafea. Probabilitatea ca aparatul să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei este de 0,3. Probabilitatea ca ambele aparate să rămână fără cafea este de 0,12. Să aflăm probabilitatea ca până la sfârșitul zilei cafeaua să se epuizeze în cel puțin una dintre aparate (adică fie una, fie alta, fie ambele deodată).

Probabilitatea primului eveniment „se va epuiza cafeaua în prima mașină” precum și probabilitatea celui de-al doilea eveniment „se va epuiza cafeaua în a doua mașină” conform condiției este egală cu 0,3. Evenimentele sunt colaborative.

Probabilitatea apariției comune a primelor două evenimente conform condiției este de 0,12.

Aceasta înseamnă că probabilitatea ca până la sfârșitul zilei să se epuizeze cafeaua în cel puțin una dintre aparate este

Evenimente dependente și independente

Două evenimente aleatoare A și B sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu modifică probabilitatea de apariție a celuilalt. În caz contrar, evenimentele A și B se numesc dependente.

De exemplu, când două zaruri sunt aruncate simultan, unul dintre ele, să zicem 1, iar celălalt, 5, sunt evenimente independente.

Produsul probabilităților

Produsul (sau intersecția) mai multor evenimente este un eveniment constând din apariția în comun a tuturor acestor evenimente.

Dacă apar două evenimente independente A și B cu probabilitățile P(A) și respectiv P(B), atunci probabilitatea de apariție a evenimentelor A și B în același timp este egală cu produsul probabilităților:

De exemplu, suntem interesați să vedem un șase apar pe un zar de două ori la rând. Ambele evenimente sunt independente și probabilitatea ca fiecare dintre ele să se producă separat este de . Probabilitatea ca ambele evenimente să se producă va fi calculată folosind formula de mai sus: .

Vedeți o selecție de sarcini pentru a exersa subiectul.

Probabilitatea este gradul (măsură relativă, evaluare cantitativă) al posibilității de apariție a unui eveniment. Atunci când motivele pentru care un eveniment posibil să apară efectiv depășesc motivele opuse, atunci acest eveniment se numește probabil, în caz contrar - improbabil sau improbabil. Preponderența motivelor pozitive față de cele negative și invers, poate fi în grade diferite, drept urmare probabilitatea (și improbabilitatea) poate fi mai mare sau mai mică. Prin urmare, probabilitatea este adesea evaluată la nivel calitativ, mai ales în cazurile în care o evaluare cantitativă mai mult sau mai puțin precisă este imposibilă sau extrem de dificilă. Sunt posibile diferite gradații de „niveluri” de probabilitate.
Studiul probabilității din punct de vedere matematic constituie o disciplină specială – teoria probabilității. În teoria probabilității și statistica matematică, conceptul de probabilitate este formalizat ca o caracteristică numerică a unui eveniment - o măsură a probabilității (sau valoarea acesteia) - o măsură a unui set de evenimente (subseturi ale unui set de evenimente elementare), luând valori de la
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Sens
(\displaystyle 1)
Corespunde unui eveniment de încredere. Un eveniment imposibil are o probabilitate de 0 (reversul, în general, nu este întotdeauna adevărat). Dacă probabilitatea ca un eveniment să se producă este
(\displaystyle p)
Atunci probabilitatea neapariției sale este egală cu
(\displaystyle 1-p)
În special, probabilitatea
(\displaystyle 1/2)
Înseamnă probabilitatea egală de apariție și neapariție a unui eveniment.
Definiția clasică a probabilității se bazează pe conceptul de probabilitate egală a rezultatelor. Probabilitatea este raportul dintre numărul de rezultate favorabile pentru un anumit eveniment și numărul total de rezultate la fel de posibile. De exemplu, probabilitatea de a obține cap sau cozi într-o aruncare aleatorie de monede este de 1/2 dacă se presupune că numai aceste două posibilități apar și că sunt la fel de posibile. Această „definiție” clasică a probabilității poate fi generalizată în cazul unui număr infinit de valori posibile - de exemplu, dacă un eveniment poate avea loc cu probabilitate egală în orice punct (numărul de puncte este infinit) al unei regiuni limitate a spațiu (plan), atunci probabilitatea ca aceasta să apară într-o anumită parte a acestei regiuni fezabile este egală cu raportul dintre volumul (aria) acestei părți și volumul (aria) regiunii tuturor punctelor posibile.
„Definiția” empirică a probabilității este legată de frecvența unui eveniment, pe baza faptului că, cu un număr suficient de mare de încercări, frecvența ar trebui să tindă spre gradul obiectiv de posibilitate a acestui eveniment. În prezentarea modernă a teoriei probabilităților, probabilitatea este definită axiomatic, ca un caz special al teoriei abstracte a măsurii mulțimilor. Cu toate acestea, legătura de legătură dintre măsura abstractă și probabilitate, care exprimă gradul de posibilitate a producerii unui eveniment, este tocmai frecvența observării acestuia.
Descrierea probabilistică a anumitor fenomene a devenit larg răspândită în știința modernă, în special în econometrie, fizica statistică a sistemelor macroscopice (termodinamice), unde chiar și în cazul unei descrieri deterministe clasice a mișcării particulelor, o descriere deterministă a întregului sistem. de particule nu pare practic posibil sau adecvat. În fizica cuantică, procesele descrise sunt ele însele de natură probabilistică.

Ce este probabilitatea?

Prima dată când am întâlnit acest termen, nu aș fi înțeles ce este. Prin urmare, voi încerca să explic clar.

Probabilitatea este șansa ca evenimentul pe care îl dorim să se întâmple.

De exemplu, ai decis să mergi la casa unui prieten, îți amintești de intrare și chiar de podeaua pe care locuiește. Dar am uitat numărul și locația apartamentului. Și acum stai pe scară, iar în fața ta există uși din care să alegi.

Care este șansa (probabilitatea) ca, dacă suni la prima sonerie, prietenul tău să răspundă la ușă în locul tău? Sunt doar apartamente, iar un prieten locuiește doar în spatele unuia dintre ele. Cu șanse egale putem alege orice ușă.

Dar care este această șansă?

Ușa, ușa dreaptă. Probabilitatea de a ghici prin sunetul primei sonerie: . Adică, o dată din trei vei ghici cu exactitate.

Vrem să știm, după ce am sunat o dată, cât de des vom ghici ușa? Să ne uităm la toate opțiunile:

Tu ai sunat 1 uşă
Tu ai sunat al 2-lea uşă
Tu ai sunat al 3-lea uşă

Acum să ne uităm la toate opțiunile în care ar putea fi un prieten:

A. In spate 1 usa
b. In spate al 2-lea usa
V. In spate al 3-lea usa

Să comparăm toate opțiunile sub formă de tabel. O bifă indică opțiuni atunci când alegerea dvs. coincide cu locația unui prieten, o cruce - când nu coincide.

Cum vezi totul Pot fi Opțiuni locația prietenului tău și alegerea ta asupra ușii să sune.

A rezultate favorabile tuturor . Adică vei ghici o dată sunând o dată la sonerie, adică. .

Aceasta este probabilitatea - raportul dintre un rezultat favorabil (când alegerea ta coincide cu locația prietenului tău) și numărul de evenimente posibile.

Definiția este formula. Probabilitatea este de obicei notată cu p, prin urmare:

Nu este foarte convenabil să scriem o astfel de formulă, așa că vom lua pentru - numărul de rezultate favorabile și pentru - numărul total de rezultate.

Probabilitatea poate fi scrisă ca procent; pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți rezultatul rezultat cu:

Probabil că ți-a atras atenția cuvântul „rezultate”. Deoarece matematicienii numesc diverse acțiuni (în cazul nostru, o astfel de acțiune este o sonerie) experimente, rezultatul unor astfel de experimente este de obicei numit rezultat.

Ei bine, există rezultate favorabile și nefavorabile.

Să revenim la exemplul nostru. Să presupunem că am sunat la una dintre uși, dar un străin ne-a deschis-o. Nu am ghicit bine. Care este probabilitatea ca, dacă sună la una dintre ușile rămase, prietenul nostru să ne deschidă?

Dacă ai crezut asta, atunci aceasta este o greșeală. Să ne dăm seama.

Mai avem două uși. Deci avem pași posibili:

1) Sună 1 uşă
2) Sună al 2-lea uşă

Prietenul, în ciuda tuturor acestor lucruri, este cu siguranță în spatele unuia dintre ei (la urma urmei, el nu era în spatele celui pe care l-am sunat):

a) Prieten pentru 1 usa
b) Prieten pentru al 2-lea usa

Să desenăm din nou tabelul:

După cum puteți vedea, există doar opțiuni, dintre care sunt favorabile. Adică, probabilitatea este egală.

De ce nu?

Situația pe care am luat-o în considerare este exemplu de evenimente dependente. Primul eveniment este prima sonerie, al doilea eveniment este a doua sonerie.

Și se numesc dependenți pentru că influențează următoarele acțiuni. La urma urmei, dacă după primul sunet la sonerie a răspuns un prieten, care ar fi probabilitatea ca acesta să fie în spatele unuia dintre ceilalți doi? Dreapta, .

Dar dacă există evenimente dependente, atunci trebuie să existe și independent? Așa e, se întâmplă.

Un exemplu de manual este aruncarea unei monede.

Aruncă o monedă o dată. Care este probabilitatea de a obține capete, de exemplu? Așa este - pentru că există toate opțiunile (fie capete, fie cozi, vom neglija probabilitatea ca moneda să aterizeze pe marginea ei), dar ni se potrivește doar nouă.
Dar a venit capul. Bine, hai să-l aruncăm din nou. Care este probabilitatea de a obține capete acum? Nimic nu s-a schimbat, totul este la fel. Câte opțiuni? Două. Cu câți suntem mulțumiți? Unu.

Și lăsați-l să vină în cap de cel puțin o mie de ori la rând. Probabilitatea de a obține capete deodată va fi aceeași. Există întotdeauna opțiuni și unele favorabile.

Este ușor să distingem evenimentele dependente de cele independente:

Dacă experimentul se desfășoară o singură dată (ei aruncă o monedă o dată, sună o dată la ușă etc.), atunci evenimentele sunt întotdeauna independente.
Dacă un experiment este efectuat de mai multe ori (se aruncă o monedă o dată, se sună soneria de mai multe ori), atunci primul eveniment este întotdeauna independent. Și apoi, dacă numărul celor favorabile sau numărul tuturor rezultatelor se schimbă, atunci evenimentele sunt dependente, iar dacă nu, sunt independente.

Să exersăm puțin determinarea probabilității.

Exemplul 1.

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea de a obține capete de două ori la rând?

Soluţie:

Să luăm în considerare toate opțiunile posibile:

Vultur-vultur
Capete-cozi
Cozi-capete
Cozi-cozi

După cum puteți vedea, există doar opțiuni. Dintre acestea, suntem doar mulțumiți. Adică probabilitatea:

Dacă condiția vă cere pur și simplu să găsiți probabilitatea, atunci răspunsul trebuie dat sub forma unei fracții zecimale. Dacă s-ar preciza că răspunsul trebuie dat în procente, atunci am înmulți cu.

Răspuns:

Exemplul 2.

Într-o cutie de ciocolată, toate ciocolatele sunt ambalate în același ambalaj. Totusi, din dulciuri - cu nuci, cu coniac, cu cirese, cu caramel si cu nuga.

Care este probabilitatea de a lua o bomboană și de a obține o bomboană cu nuci? Dați răspunsul dvs. ca procent.

Soluţie:

Câte rezultate posibile există? .

Adică dacă iei o bomboană, aceasta va fi una dintre cele disponibile în cutie.

Câte rezultate favorabile?

Pentru că cutia conține doar ciocolată cu nuci.

Răspuns:

Exemplul 3.

Într-o cutie de baloane. dintre care sunt albe și negre.

Care este probabilitatea de a extrage o minge albă?
Am adăugat mai multe bile negre în cutie. Care este acum probabilitatea de a extrage o minge albă?

Soluţie:

a) În cutie sunt doar bile. Dintre ei sunt albi.

Probabilitatea este:

b) Acum sunt mai multe bile în cutie. Și au mai rămas la fel de mulți albi - .

Răspuns:

Probabilitate totală

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este egală cu ().

Să presupunem că într-o cutie sunt bile roșii și verzi. Care este probabilitatea de a extrage o minge roșie? Minge verde? Minge rosie sau verde?

Probabilitatea de a extrage o minge roșie

Minge verde:

Minge roșie sau verde:

După cum puteți vedea, suma tuturor evenimentelor posibile este egală cu (). Înțelegerea acestui punct vă va ajuta să rezolvați multe probleme.

Exemplul 4.

Există markere în cutie: verde, roșu, albastru, galben, negru.

Care este probabilitatea de a trage NU un marcator roșu?

Soluţie:

Să numărăm numărul rezultate favorabile.

NU este un marker roșu, adică verde, albastru, galben sau negru.

Probabilitatea tuturor evenimentelor. Iar probabilitatea evenimentelor pe care le considerăm nefavorabile (când scoatem un marcaj roșu) este .

Astfel, probabilitatea de a scoate un stilou NU roșu este de .

Răspuns:

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este egală cu minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Știți deja ce sunt evenimentele independente.

Ce se întâmplă dacă trebuie să găsiți probabilitatea ca două (sau mai multe) evenimente independente să aibă loc la rând?

Să presupunem că vrem să știm care este probabilitatea ca, dacă aruncăm o monedă o dată, să vedem capete de două ori?

Am luat în considerare deja - .

Dacă aruncăm o monedă o dată? Care este probabilitatea de a vedea un vultur de două ori la rând?

Total opțiuni posibile:

Vultur-vultur-vultur
Capete-capete-cozi
Capete-cozi-capete
Capete-cozi-cozi
Cozi-capete-capete
Cozi-capete-cozi
Cozi-cozi-capete
Cozi-cozi-cozi

Nu știu despre tine, dar am făcut greșeli de mai multe ori când am alcătuit această listă. Wow! Și singura variantă (prima) ni se potrivește.

Pentru 5 aruncări, puteți face singur o listă cu posibilele rezultate. Dar matematicienii nu sunt la fel de muncitori ca tine.

Prin urmare, ei au observat mai întâi și apoi au demonstrat că probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente scade de fiecare dată cu probabilitatea unui eveniment.

Cu alte cuvinte,

Să ne uităm la exemplul aceleiași monede nefericite.

Probabilitatea de a primi capete într-o provocare? . Acum aruncăm moneda o dată.

Care este probabilitatea de a obține capete la rând?

Această regulă nu funcționează numai dacă ni se cere să găsim probabilitatea ca același eveniment să se întâmple de mai multe ori la rând.

Dacă am vrea să găsim secvența COZI-CAPE-COZI pentru aruncări consecutive, am proceda la fel.

Probabilitatea de a obține cozi este , capete - .

Probabilitatea obținerii secvenței TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Puteți verifica singur făcând un tabel.

Regula de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile.

Așa că oprește-te! Definiție nouă.

Să ne dăm seama. Să luăm moneda noastră uzată și să o aruncăm o dată.
Opțiuni posibile:

Vultur-vultur-vultur
Capete-capete-cozi
Capete-cozi-capete
Capete-cozi-cozi
Cozi-capete-capete
Cozi-capete-cozi
Cozi-cozi-capete
Cozi-cozi-cozi

Deci, evenimentele incompatibile sunt o anumită secvență dată de evenimente. - acestea sunt evenimente incompatibile.

Dacă vrem să stabilim care este probabilitatea a două (sau mai multe) evenimente incompatibile, atunci adăugăm probabilitățile acestor evenimente.

Trebuie să înțelegeți că capul sau cozile sunt două evenimente independente.

Dacă vrem să determinăm probabilitatea ca o secvență (sau oricare alta) să apară, atunci folosim regula înmulțirii probabilităților.
Care este probabilitatea de a obține cap la prima aruncare și cozi la a doua și a treia aruncare?

Dar dacă vrem să știm care este probabilitatea de a obține una dintre mai multe secvențe, de exemplu, când capetele apar exact o dată, i.e. opțiuni și, atunci trebuie să adunăm probabilitățile acestor secvențe.

Opțiuni totale ni se potrivesc.

Putem obține același lucru prin adunarea probabilităților de apariție a fiecărei secvențe:

Astfel, adăugăm probabilități atunci când dorim să determinăm probabilitatea unor secvențe certe, inconsecvente, de evenimente.

Există o regulă excelentă care vă ajută să evitați să vă încurcați când să înmulțiți și când să adăugați:

Să ne întoarcem la exemplul în care am aruncat o monedă o dată și am vrut să știm probabilitatea de a vedea capete o dată.
Ce se va întâmpla?

Ar trebui să cadă:
(capete ŞI cozi ŞI cozi) SAU (cozi ŞI capete ŞI cozi) SAU (cozi ŞI cozi ŞI capete).
Așa se dovedește:

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 5.

În cutie sunt creioane. roșu, verde, portocaliu și galben și negru. Care este probabilitatea de a desena creioane roșii sau verzi?

Soluţie:

Ce se va întâmpla? Trebuie să tragem (roșu SAU verde).

Acum este clar, să adunăm probabilitățile acestor evenimente:

Răspuns:

Exemplul 6.

Dacă un zar este aruncat de două ori, care este probabilitatea de a obține un total de 8?

Soluţie.

Cum putem obține puncte?

(și) sau (și) sau (și) sau (și) sau (și).

Probabilitatea de a obține o (orice) față este de .

Calculăm probabilitatea:

Răspuns:

Instruire.

Cred că acum înțelegeți când trebuie să calculați probabilitățile, când să le adăugați și când să le înmulțiți. Nu-i așa? Hai să exersăm puțin.

Sarcini:

Să luăm un pachet de cărți care conține cărți care includ pică, inimi, 13 treci și 13 diamante. De la Asul fiecarui costum.

Care este probabilitatea de a extrage crose la rând (punem prima carte scoasă înapoi în pachet și o amestecăm)?
Care este probabilitatea de a extrage o carte neagră (piccă sau bâte)?
Care este probabilitatea de a face o imagine (joc, regină, rege sau as)?
Care este probabilitatea de a extrage două imagini la rând (înlăturăm prima carte extrasă din pachet)?
Care este probabilitatea, luând două cărți, de a colecta o combinație - (joc, damă sau rege) și un as? Secvența în care sunt extrase cărțile nu contează.

Raspunsuri:

Într-un pachet de cărți de fiecare valoare, înseamnă:
Evenimentele sunt dependente, deoarece după scoaterea primei cărți, numărul de cărți din pachet a scăzut (la fel și numărul de „imagini”). În pachet sunt inițial șorici, dame, regi și ași totale, ceea ce înseamnă probabilitatea de a extrage o „imagine” cu prima carte:
Deoarece scoatem prima carte din pachet, înseamnă că au mai rămas deja cărți în pachet, inclusiv imagini. Probabilitatea de a desena o imagine cu a doua carte:
Deoarece suntem interesați de situația în care scoatem o „poză” ȘI o „poză” de pe punte, trebuie să înmulțim probabilitățile:
Răspuns:
După scoaterea primei cărți, numărul de cărți din pachet va scădea, astfel că ni se potrivesc două opțiuni:
1) Prima carte este As, a doua este Jack, Queen sau King
2) Scoatem un valet, damă sau rege cu prima carte și un as cu a doua. (as și (jack sau regina sau rege)) sau ((jack sau regina sau rege) și as). Nu uita de reducerea numărului de cărți din pachet!

Dacă ai reușit să rezolvi singur toate problemele, atunci ești grozav! Acum veți rezolva problemele de teorie a probabilităților la examenul de stat unificat ca nucile!

TEORIA PROBABILITĂȚII. NIVEL MEDIU

Să ne uităm la un exemplu. Să zicem că aruncăm un zar. Ce fel de os este acesta, știi? Acesta este ceea ce ei numesc un cub cu numere pe fețele sale. Câte fețe, atâtea numere: de la la câte? Inainte de.

Așa că aruncăm zarurile și vrem să apară sau. Și o înțelegem.

În teoria probabilității ei spun ce s-a întâmplat eveniment de bun augur(a nu se confunda cu prosper).

Dacă s-ar întâmpla, evenimentul ar fi și el favorabil. În total, se pot întâmpla doar două evenimente favorabile.

Câte sunt defavorabile? Deoarece există un total de evenimente posibile, înseamnă că cele nefavorabile sunt evenimente (asta dacă sau cade).

Definiție:

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile. Adică, probabilitatea arată ce proporție dintre toate evenimentele posibile sunt favorabile.

Ele denotă probabilitate cu o literă latină (aparent din cuvântul englezesc probabilitate - probabilitate).

Se obișnuiește să se măsoare probabilitatea ca procent (vezi subiectele și). Pentru a face acest lucru, valoarea probabilității trebuie înmulțită cu. În exemplul cu zaruri, probabilitatea.

Și în procente: .

Exemple (decideți singur):

Care este probabilitatea de a obține capete când aruncați o monedă? Care este probabilitatea de a ateriza capete?
Care este probabilitatea de a obține un număr par la aruncarea unui zar? Care este ciudat?
Într-o cutie de creioane simple, albastre și roșii. Desenăm un creion la întâmplare. Care este probabilitatea de a obține unul simplu?

Solutii:

Câte opțiuni există? Capete și cozi - doar două. Câte dintre ele sunt favorabile? Doar unul este un vultur. Deci probabilitatea
La fel e cu cozile: .
Opțiuni totale: (câte laturi are cubul, atât de multe opțiuni diferite). Cele favorabile: (acestea sunt toate numere pare:).
Probabilitate. Desigur, este același lucru cu numerele impare.
Total: . Favorabil: . Probabilitate: .

Probabilitate totală

Toate creioanele din cutie sunt verzi. Care este probabilitatea de a desena un creion roșu? Nu există șanse: probabilitate (la urma urmei, evenimente favorabile -).

Un astfel de eveniment se numește imposibil.

Care este probabilitatea de a desena un creion verde? Există exact același număr de evenimente favorabile ca și evenimente totale (toate evenimentele sunt favorabile). Deci probabilitatea este egală cu sau.

Un astfel de eveniment se numește de încredere.

Dacă o cutie conține creioane verzi și roșii, care este probabilitatea de a desena verde sau roșu? Încă o dată. Să remarcăm acest lucru: probabilitatea de a scoate verde este egală, iar roșu este egală.

În concluzie, aceste probabilități sunt exact egale. Acesta este, suma probabilităților tuturor evenimentelor posibile este egală cu sau.

Exemplu:

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a nu trage verde?

Soluţie:

Ne amintim că toate probabilitățile se adună. Și probabilitatea de a obține verde este egală. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a nu trage verde este egală.

Amintiți-vă acest truc: Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este egală cu minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Evenimente independente și regula înmulțirii

Răsturnești o monedă o dată și vrei să ia capul de ambele ori. Care este probabilitatea asta?

Să trecem prin toate opțiunile posibile și să stabilim câte sunt:

Cape-capete, Cozi-Cape, Capete-Cozi, Cozi-Cozi. Ce altceva?

Opțiuni totale. Dintre acestea, doar unul ni se potrivește: Vulturul-Vultur. În total, probabilitatea este egală.

Amenda. Acum să aruncăm o monedă o dată. Fă singur calculul. S-a întâmplat? (Răspuns).

Poate ați observat că, odată cu adăugarea fiecărei aruncări ulterioare, probabilitatea scade la jumătate. Regula generală se numește regula înmulțirii:

Probabilitățile de evenimente independente se modifică.

Ce sunt evenimentele independente? Totul este logic: acestea sunt cele care nu depind unul de celălalt. De exemplu, atunci când aruncăm o monedă de mai multe ori, de fiecare dată se face o nouă aruncare, al cărei rezultat nu depinde de toate aruncările anterioare. Putem arunca la fel de ușor două monede diferite în același timp.

Mai multe exemple:

Zarurile sunt aruncate de două ori. Care este probabilitatea de a obține ambele ori?
Moneda este aruncată o dată. Care este probabilitatea ca prima dată să apară capete, apoi de două ori?
Jucătorul aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca suma numerelor de pe ele să fie egală?

Raspunsuri:

Evenimentele sunt independente, ceea ce înseamnă că regula înmulțirii funcționează: .
Probabilitatea capetelor este egală. Probabilitatea de cozi este aceeași. Multiplica:
12 poate fi obținut numai dacă se aruncă două -ki: .

Evenimente incompatibile și regula adunării

Evenimentele care se completează până la probabilitatea maximă sunt numite incompatibile. După cum sugerează și numele, acestea nu pot avea loc simultan. De exemplu, dacă aruncăm o monedă, aceasta poate apărea fie cu cap, fie cu cozi.

Exemplu.

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a trage verde sau roșu?

Soluție.

Probabilitatea de a desena un creion verde este egală. Roșu - .

Evenimente favorabile în general: verde + roșu. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a trage verde sau roșu este egală.

Aceeași probabilitate poate fi reprezentată sub această formă: .

Aceasta este regula de adunare: se adună probabilitățile de evenimente incompatibile.

Probleme de tip mixt

Exemplu.

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea ca rezultatele aruncărilor să fie diferite?

Soluție.

Aceasta înseamnă că, dacă primul rezultat este cap, al doilea trebuie să fie cozi și invers. Se pare că există două perechi de evenimente independente, iar aceste perechi sunt incompatibile între ele. Cum să nu fii confuz cu privire la unde să înmulți și unde să adaugi.

Există o regulă simplă pentru astfel de situații. Încercați să descrie ce se va întâmpla folosind conjuncțiile „ȘI” sau „SAU”. De exemplu, în acest caz:

Ar trebui să apară (capete și cozi) sau (cozi și capete).

Acolo unde există o conjuncție „și” va fi înmulțire, iar acolo unde există „sau” va fi adunare:

Incearca-l tu insuti:

Care este probabilitatea ca, dacă o monedă este aruncată de două ori, moneda să cadă de ambele ori pe aceeași parte?
Zarurile sunt aruncate de două ori. Care este probabilitatea de a obține un total de puncte?

Solutii:

(capetele au cazut si cozile au cazut) sau (cozile au cazut si cozile au cazut): .
Care sunt optiunile? Și. Apoi:
Scăpat (și) sau (și) sau (și): .

Alt exemplu:

Aruncă o monedă o dată. Care este probabilitatea ca capetele să apară măcar o dată?

Soluţie:

Oh, cum nu vreau să trec prin opțiuni... Cap-cozi-cozi, vultur-capete-cozi,... Dar nu este nevoie! Să ne amintim despre probabilitatea totală. Vă amintiți? Care este probabilitatea ca vulturul nu va cădea niciodată? Este simplu: capetele zboară tot timpul, de aceea.

TEORIA PROBABILITĂȚII. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente dacă apariția unuia nu modifică probabilitatea ca celălalt să se producă.

Probabilitate totală

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este egală cu ().

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este egală cu minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente este egală cu produsul probabilităților fiecărui eveniment

Evenimente incompatibile

Evenimentele incompatibile sunt cele care nu pot avea loc simultan ca urmare a unui experiment. O serie de evenimente incompatibile formează un grup complet de evenimente.

Probabilitățile de evenimente incompatibile se adună.

După ce am descris ce ar trebui să se întâmple, folosind conjuncțiile „ȘI” sau „SAU”, în loc de „ȘI” punem un semn de înmulțire, iar în loc de „SAU” punem un semn de adunare.

Deveniți student YouClever,

Pregătiți-vă pentru examenul de stat unificat sau examenul de stat unificat la matematică,

Și, de asemenea, obțineți acces la manualul YouClever fără restricții...