Eterogenitatea sistemului. Introducere

Prima întrebare Examen

1. Metodologia analizei sistemului. Conceptul de sistem. Proprietățile statice ale sistemului. Deschidere. Dificultăți în construirea unui model cutie neagră. Eterogenitatea compoziției. Dificultăți în construirea unui model de compoziție. Structura. Dificultăți în construirea unui model de structură.

Proprietăți statice Să numim caracteristicile unei anumite stări a sistemului. Aceasta este ceea ce are sistemul în orice moment fix în timp.

Deschidere - a doua proprietate a sistemului. Un sistem izolat, care se distinge de orice altceva, nu este izolat de mediu. Dimpotrivă, ele sunt conectate și schimbă orice tip de resurse (materie, energie, informații etc.) între ele. Să ne amintim că conexiunile dintre sistem și mediu sunt direcționale; după unii, mediul influențează sistemul (se numesc intrări de sistem), după alții, sistemul influențează mediul, face ceva în mediu, produce ceva în mediu (astfel de conexiuni se numesc ieșiri de sistem). Este apelată lista de intrări și ieșiri ale sistemului model cutie neagra . Acest model nu are informații despre caracteristicile interne ale sistemului. În ciuda simplității (aparente) și sărăciei conținutului modelului cutie neagră, acest model este adesea destul de suficient pentru a lucra cu sistemul.

Dificultăți în construirea unui model cutie neagră . Toate acestea provin din faptul că modelul conține întotdeauna o listă finită de conexiuni, în timp ce numărul lor într-un sistem real este nelimitat. Apare întrebarea: care dintre ele ar trebui să fie incluse în model și care nu? Știm deja răspunsul: modelul trebuie să reflecte toate conexiunile care sunt firești pentru

atingerea scopului.

Patru tipuri de erori la construirea unui model cutie neagră:

O eroare de primul tip apare atunci când un subiect evaluează o legătură ca fiind semnificativă și decide să o includă în model, când de fapt este nesemnificativă în raport cu scopul și nu putea fi luată în considerare. Acest lucru duce la apariția unor elemente „extra” în model, în esență inutile.

O eroare de al doilea tip, dimpotrivă, o face subiectul atunci când decide că o legătură dată este nesemnificativă și nu merită să fie inclusă în model, când de fapt, fără ea, scopul nostru nu poate fi atins pe deplin sau chiar deloc.

O eroare de al treilea fel este considerată a fi consecințele ignoranței. Pentru a evalua semnificația unei anumite conexiuni, trebuie să știți că există deloc. Dacă acest lucru este necunoscut, problema includerii sau neincluderii în model nu se pune deloc: modelele conțin doar ceea ce știm. Dar pentru că nu bănuim existența unei anumite conexiuni, aceasta nu încetează să existe și să se manifeste în realitate. Și apoi totul depinde de cât de important este pentru atingerea scopului nostru. Dacă este nesemnificativ, atunci în practică nu vom observa prezența lui în realitate și absența în model. Dacă este semnificativă, vom experimenta aceleași dificultăți ca și în cazul unei erori de al doilea tip. Diferența este că o eroare de al treilea tip este mai greu de corectat: trebuie dobândite noi cunoștințe.

O eroare de al patrulea tip poate apărea atunci când o conexiune semnificativă cunoscută și recunoscută este atribuită incorect numărului de intrări sau ieșiri.

Eterogenitate internă: distingerea părților (a treia proprietate a sistemului). Dacă te uiți în interiorul „cutiei negre”, se dovedește că sistemul nu este omogen, nu este monolitic; se poate constata că diferite calități variază de la un loc la altul. Descrierea eterogenității interne a sistemului se reduce la izolarea zonelor relativ omogene și la trasarea granițelor între ele. Așa apare conceptul de părți ale sistemului. La o examinare mai atentă, se dovedește că părțile mari selectate nu sunt, de asemenea, omogene, ceea ce necesită identificarea părților și mai mici. Rezultatul este o listă ierarhică a părților sistemului, pe care o vom numi model de compoziție a sistemului.

Dificultăți în construirea unui model de compoziție pe care toată lumea trebuie să le depășească poate fi reprezentată în trei poziții:

Primul. Întregul poate fi împărțit în părți în moduri diferite (cum ar fi tăierea unei pâini în felii de diferite dimensiuni și forme). Și cum este mai exact necesar? Răspuns: modul în care aveți nevoie pentru a vă atinge scopul.

Al doilea. Numărul de piese din modelul de compoziție depinde și de nivelul la care este oprită fragmentarea sistemului. Părțile de pe ramurile terminale ale arborelui ierarhic rezultat sunt numite elemente .

Al treilea. Orice sistem face parte dintr-un sistem mai mare (și adesea parte din mai multe sisteme simultan). Și acest metasistem poate fi, de asemenea, împărțit în subsisteme în moduri diferite. Aceasta înseamnă că granița externă a sistemului este relativă, condiționată. Chiar și limita „evidentă” a sistemului (pielea umană, gardul unei întreprinderi etc.) în anumite condiții se dovedește a fi insuficientă pentru a determina limita în aceste condiții.

Structuralitatea ,A patra proprietate statică este că părțile sistemului nu sunt independente sau izolate unele de altele; sunt interconectate și interacționează între ele. Mai mult, proprietățile sistemului în ansamblu depind în mod semnificativ de modul în care interacționează exact părțile sale. Acesta este motivul pentru care informațiile despre conexiunile dintre părți sunt atât de des importante. Lista conexiunilor esențiale dintre elementele sistemului se numește model de structură a sistemului. Indivizibilitatea oricărui sistem de către o anumită structură va fi numită a patra proprietate statică a sistemelor - structurarea.

Dificultăți în construirea unui model de structură . Subliniem că multe modele de structură diferite pot fi propuse pentru un sistem dat. Este clar că pentru a atinge un anumit obiectiv este necesar un model specific, cel mai potrivit al acestora. Dificultatea de a alege dintre cele existente sau de a construi un model special pentru cazul nostru provine din faptul că, prin definiție, un model de structură este o listă de conexiuni esențiale.

Prima dificultate este legată de faptul că modelul de structură este determinat după selectarea modelului de compoziție și depinde de care este exact compoziția sistemului. Dar chiar și cu o compoziție fixă, modelul de structură este variabil - datorită posibilității de a defini în mod diferit semnificația conexiunilor.

A doua dificultate provine din faptul că fiecare element al sistemului este o „mică cutie neagră”. Deci toate cele patru tipuri de erori sunt POSIBILE atunci când se determină intrările și ieșirile fiecărui element inclus în modelul de structură.

2. Metodologia analizei sistemului. Conceptul de sistem. Proprietăți dinamice ale sistemului: funcționalitate, stimulare, variabilitate a sistemului în timp, existență într-un mediu în schimbare. Proprietăți sintetice ale sistemului: apariție, inseparabilitate în părți, inerență, oportunitate.

Proprietățile dinamice ale sistemului:

Funcționalitate - a cincea proprietate a sistemului. Procesele Y(t) care apar la ieșirile sistemului (Y(1)^(уi(t), Ур(1), -, Ун(0) sunt considerate drept funcții ale acestuia. Funcțiile sistemului - acesta este comportamentul său în mediul extern; modificările aduse de sistem în mediu; rezultatele activității sale; produse produse de sistem. Din multiplicitatea ieșirilor urmează multiplicitatea funcțiilor, fiecare dintre acestea putând fi folosită de cineva și pentru ceva. Prin urmare, același sistem poate servi unor scopuri diferite.

Stimulabilitate - a șasea proprietate a sistemului. La intrările sistemului apar și anumite procese X(t) = (x^(t), X2 (t), x^(t)), care afectează sistemul, transformându-se (după o serie de transformări în sistem) în Y(t). Să numim influențelor X(t) stimuli, iar susceptibilitatea oricărui sistem la influențe externe și schimbarea comportamentului său sub aceste influențe se va numi stimulabilitate.

Variabilitatea sistemului în timp - a șaptea proprietate a sistemului. În orice sistem apar modificări care trebuie luate în considerare; să prevadă și să includă în proiectarea viitorului sistem; promovați sau contracarați-le, accelerându-le sau încetinindu-le atunci când lucrați cu sistemul existent. Orice se poate schimba în sistem, dar în ceea ce privește modelele noastre putem oferi o clasificare vizuală a modificărilor: valorile variabilelor interne (parametrii) Z(t), compoziția și structura sistemului și orice combinații ale acestora. Schimbare.

Existența într-un mediu în schimbare - a opta proprietate a sistemului. Nu numai acest sistem se schimbă, ci și toate celelalte. Pentru un sistem dat, aceasta arată ca o schimbare continuă a mediului. Inevitabilitatea existenței într-un mediu în continuă schimbare are multe consecințe asupra sistemului însuși, de la nevoia ca acesta de a se adapta la schimbările exterioare pentru a nu pieri, la diverse alte reacții ale sistemului. Atunci când luăm în considerare un sistem specific pentru un scop specific, atenția este concentrată asupra unor caracteristici specifice ale răspunsului său.

Proprietățile sintetice ale sistemului:

Sintetic . Acest termen denotă proprietăți generalizatoare, colective, integrale, care țin cont de cele spuse mai devreme, dar pun accent pe interacțiunea sistemului cu mediul, pe integritate în sensul cel mai general.

Apariție - a noua proprietate a sistemului. Poate că această proprietate vorbește mai mult despre natura sistemelor decât oricare alta. Combinarea părților într-un sistem dă naștere la noi proprietăți calitativ în sistem, care nu sunt reductibile la proprietățile părților, nu sunt derivate din proprietățile părților, sunt inerente numai sistemului în sine și există numai în timp ce sistemul este un întreg. Un sistem este mai mult decât o simplă colecție de piese. Calități ale sistemului care îi sunt unice se numesc emergente (din engleză „to a apărea”).

Inseparabilitate în părți - a zecea proprietate a sistemului. Deși această proprietate este o simplă consecință a apariției, importanța sa practică este atât de mare, iar subestimarea ei atât de comună, încât este indicat să o subliniem separat. Dacă avem nevoie de sistemul în sine, și nu de altceva, atunci acesta nu poate fi împărțit în părți. Când o piesă este ȘTIRATĂ din sistem, au loc două evenimente importante.

În primul rând, aceasta modifică compoziția sistemului și, prin urmare, structura acestuia. Acesta va fi un sistem diferit, cu proprietăți diferite. Deoarece sistemul anterior are multe proprietăți, unele proprietăți asociate cu această parte anume vor dispărea cu totul (poate fi sau nu emergente. Unele proprietăți se vor schimba, dar vor fi parțial păstrate. Și unele proprietăți ale sistemului sunt în general neimportante sunt asociate cu partea care se retrage.Să subliniem încă o dată că dacă retragerea unei părți din sistem va avea sau nu un impact semnificativ este o chestiune de evaluare a consecințelor.

A doua consecință importantă a scoaterii unei piese din sistem este că partea din sistem și cea din afara acestuia nu sunt același lucru. Proprietățile sale se schimbă datorită faptului că proprietățile unui obiect se manifestă în interacțiuni cu obiectele care îl înconjoară, iar atunci când sunt îndepărtate din sistem, mediul elementului devine complet diferit.

Inserenta - a unsprezecea proprietate a sistemului. Vom spune că sistemul este mai inerent (din engleză inerent - fiind parte integrantă a ceva), cu atât este mai bine coordonat, adaptat mediului, compatibil cu acesta. Gradul de inerență variază și se poate schimba (învățare, uitare, evoluție, reformă, dezvoltare, degradare etc.). Faptul că toate sistemele sunt deschise nu înseamnă că toate sunt la fel de bine compatibile cu mediul.

Fezabilitate - a doisprezecea proprietate a sistemului. În sistemele create de om, subordonarea tuturor lucrurilor (atât compoziția, cât și structura) față de scopul stabilit este atât de evidentă încât ar trebui recunoscută ca o proprietate fundamentală a oricărui sistem artificial. Scopul pentru care este creat sistemul determină care proprietate emergentă va asigura implementarea scopului, iar aceasta, la rândul său, dictează alegerea compoziției și structurii sistemului. Una dintre definițiile sistemului este afirmă: un sistem este un mijloc pentru un scop. Se înțelege că, dacă scopul propus nu poate fi atins folosind capabilitățile existente, atunci subiectul asamblează un nou sistem din obiectele din jurul său, special creat pentru a ajuta la atingerea acestui scop. Este demn de remarcat faptul că scopul determină rareori fără ambiguitate compoziția și structura sistemului creat: este important ca funcția dorită să fie implementată, iar acest lucru poate fi adesea atins în moduri diferite.

3. Metodologia analizei sistemului. Modele și simulare. Conceptul de model ca sistem. Analiza și sinteza ca metode de construire a modelelor. Clasificarea artificială și naturală a modelelor. Coerența modelelor cu cultura subiectului.

În funcție de ceea ce trebuie să știm, să explicăm - cum este structurat sistemul sau cum interacționează cu mediul înconjurător, se disting două metode de cunoaștere: 1) analitic; 2) sintetice.

Procedura de analiză constă în efectuarea secvenţială a următoarelor trei operaţii; 1) împărțiți un întreg complex în părți mai mici, probabil mai simple; 2) dați o explicație clară a fragmentelor primite; 3) combinați explicația părților într-o explicație a întregului. Dacă o parte a sistemului rămâne neclară, operația de descompunere se repetă și încercăm din nou să explicăm fragmente noi, chiar mai mici.

Primul produs al analizei este, după cum se poate observa din diagramă, o listă de elemente de sistem, adică . model de compoziție a sistemului . Al doilea produs al analizei este un model al structurii sistemului . Al treilea produs al analizei este model cutie neagra pentru fiecare element al sistemului.

Metoda sintetică constă în efectuarea secvenţială a trei operaţii: 1) identificarea unui sistem mai mare (metasistem), din care sistemul care ne interesează este inclus ca parte; 2) luarea în considerare a compoziției și structurii metasistemului (analiza acestuia): 3) explicarea rolului pe care sistemul nostru îl ocupă în metasistem prin conexiunile sale cu alte subsisteme ale metasistemului. Produsul final al sintezei este cunoașterea conexiunilor sistemului nostru cu alte părți ale metasistemului, adică. model cutie neagra. Dar pentru a-l construi, a trebuit să creăm simultan modele ale compoziției și structurii metasistemului ca produse secundare.

Analiza și sinteza nu sunt opuse, ci se completează reciproc. Mai mult, în analiză există o componentă sintetică, iar în sinteză există o analiză a metasistemului.

Există două tipuri de clasificări: artificiale și naturale . Cu clasificare artificială Împărțirea în clase se efectuează „cum ar trebui să fie”, adică. pe baza scopului stabilit – pentru tot atâtea clase și cu astfel de limite dictate de obiectiv. Clasificarea se realizează oarecum diferit atunci când setul luat în considerare este în mod clar eterogen. Grupările naturale (în statistică sunt numite clustere) par să ceară să fie definite ca clase , (de unde și numele clasificării naturale) . Cu toate acestea, trebuie reținut că clasificarea naturală este doar un model simplificat, aspru al realității .

Coerența modelelor cu cultura subiectului . Pentru ca un model să-și realizeze funcția de model, prezența modelului în sine nu este suficientă. Este necesar să modelul a fost compatibil, în concordanță cu mediul, care pentru model este cultura (lumea modelelor) utilizatorului. Această condiție, atunci când se iau în considerare proprietățile sistemelor, se numește inerență: inerența unui model la cultură este o cerință necesară pentru modelare. Gradul de inerenta a modelului se poate modifica: creste (antrenamentul utilizatorului, aspectul unui adaptor precum piatra Rosetta etc.) sau scade (uitare, distrugere a culturii) datorita modificarilor mediului sau modelului in sine. Astfel, în metasistemul de modelare trebuie inclus încă un element – ​​cultura.

4. Metodologia analizei sistemului. Control. Cinci componente de control. Șapte tipuri de control.

Control - impactul vizat asupra sistemului.

Cinci componente de control:

Prima componentă de control este obiectul de control însuși, sistemul gestionat.

A doua componentă obligatorie a sistemului de management este scopul managementului.

Acțiunea de control U(t) este a treia componentă de control . Faptul că intrările și ieșirile sistemului sunt interconectate printr-o anumită relație Y(t)=S ne permite să sperăm că există o acțiune de control în care obiectivul V*(t) este realizat la ieșire.

Modelul de sistem devine a patra componentă a procesului de management.

Toate acțiunile necesare pentru control trebuie finalizate. Această funcție este de obicei atribuită unui sistem special creat în acest scop. (a cincea componentă a procesului de management). Numit unitate de control sau sistem de control (subsistem), dispozitiv de controlși așa mai departe. In realitate Bloc de control poate fi un subsistem al unui sistem controlat (cum ar fi un avodouiravle1gae - parte a unei fabrici, un pilot automat - o parte a unui avion), dar poate fi și un sistem extern (cum ar fi un minister pentru o întreprindere subordonată, ca un dispecer de aerodrom pentru aterizarea unui avion).

Șapte tipuri de control:

Primul tip de control este controlul simplu al sistemului sau controlul programului.

Al doilea tip de control este controlul unui sistem complex.

Al treilea tip de control este controlul prin parametri sau reglarea.

Al patrulea tip de management este managementul pe structură.

Al cincilea tip de management este managementul prin obiective.

Al șaselea tip de management este managementul sistemelor mari.

Al șaptelea tip de control. Pe lângă primul tip de control, când este disponibil tot ceea ce este necesar pentru atingerea scopului, celelalte tipuri de control luate în considerare sunt asociate cu depășirea factorilor care împiedică atingerea scopului: lipsa de informații despre obiectul de control (al doilea tip), interferență minoră externă care abate ușor sistemul de la traiectoria țintă (tip al treilea), discrepanță între proprietățile emergente ale sistemului și scopul stabilit (tipul al patrulea), lipsa resurselor materiale, care fac obiectivul inatins și necesită înlocuirea acestuia (tipul al cincilea). ), lipsa timpului pentru a găsi cea mai bună soluție (al șaselea tip).

5. Tehnologia de analiză a sistemului. Condiții pentru succesul cercetării sistemelor. Etapele cercetării sistemice: remedierea problemei, diagnosticarea problemei, alcătuirea unei liste de părți interesate, identificarea mixului de probleme.

Condiții pentru succesul cercetării sistemelor :

garantarea accesului la orice informație necesară (în același timp, analistul, la rândul său, garantează confidențialitatea);

garanția participării personale a oficialilor de rang înalt ai organizațiilor - participanți obligatorii într-o situație problematică (managerii sistemelor care conțin și rezolvă problemele);

refuzul cerinței de a formula în prealabil rezultatul necesar („specificații tehnice”), întrucât sunt multe intervenții de îmbunătățire și sunt necunoscute în prealabil, în special care va fi ales pentru implementare.

Remedierea problemei – sarcina este de a formula problema și de a o documenta. Formularea problemei este dezvoltată chiar de client; Treaba analistului este să afle de ce se plânge clientul, de ce este nemulțumit. Aceasta este problema clientului așa cum o vede el. În același timp, ar trebui să încercați să nu îi influențați opinia sau să o denaturați.

Diagnosticarea problemei . Care dintre metodele de rezolvare a problemelor să folosim pentru a rezolva o anumită problemă depinde dacă alegem să influențăm subiectul cel mai nemulțumit sau să intervenim în realitatea de care acesta este nemulțumit (pot fi cazuri când este recomandabilă o combinație a ambelor influențe). Sarcina acestei etape este de a face un diagnostic - pentru a determina ce tip de problemă este.

Alcătuirea unei liste de părți interesate .Scopul nostru final este implementarea intervențiilor de îmbunătățire. Fiecare etapă ar trebui să ne aducă cu un pas mai aproape de ea, dar trebuie să avem o grijă deosebită ca acest pas să fie în direcția corectă, și nu în cealaltă direcție. Pentru a ține ulterior cont de interesele tuturor participanților în situația problemă (și tocmai pe asta se bazează conceptul de îmbunătățire a intervenției), este necesar să aflăm mai întâi cine este implicat în situația problemă și să facem o listă. dintre ei. În același timp, este important să nu ratezi pe nimeni; la urma urmei, este imposibil să ținem cont de interesele cuiva care ne este necunoscut, iar a nu ține cont de nimeni amenință că intervenția noastră nu se va îmbunătăți. Astfel, lista participanților în situația problemă trebuie să fie completă.

Identificarea mizeriei cu probleme . Părțile interesate au interese de care trebuie să ținem cont. Dar pentru asta trebuie să le cunoști. Deocamdată avem doar o listă a deținătorilor de interese. Prima informație care trebuie obținută despre o parte interesată este propria sa evaluare a situației care este problematică pentru clientul nostru. Poate fi diferit: unii dintre părțile interesate pot avea propriile lor probleme (evaluare negativă), unii sunt complet mulțumiți (evaluare pozitivă), alții pot fi neutri în ceea ce privește realitatea. În acest fel va deveni mai clar<выражение л ица:^ каждого стейкхолдера. По сути, мы должны выполнить работу, которую делали на первом этапе с клиентом, но теперь с каждым стейкхолдером в отдельности.

6. Tehnologia de analiză a sistemului. Operațiuni de analiză a sistemului. Etapele cercetării sistemului: determinarea configuratorului, identificarea țintei, determinarea criteriilor, cercetare experimentală.

Operațiuni de analiză a sistemului . Dacă clientul este de acord cu termenii contractului, analistul trece la prima etapă, după ce a finalizat, începe a doua și așa mai departe până la ultima etapă, la finalul căreia trebuie să se obțină intervenția de îmbunătățire implementată.

Definiția configuratorului . O condiție necesară pentru o soluție de succes a unei probleme este prezența unui model adecvat al situației problemei, cu ajutorul acestuia va fi posibilă testarea și compararea opțiunilor pentru acțiunile propuse. Acest model (sau un set de modele) trebuie inevitabil construit folosind mijloacele unui limbaj (sau limbi). Se pune întrebarea câte și ce limbi sunt necesare pentru a lucra la această problemă și cum să le alegeți. Se numește configurator. un set minim de limbi profesionale care vă permite să oferiți o descriere completă (adecvată) a situației problemei și a transformărilor acesteia. Toate lucrările în timpul rezolvării problemelor vor avea loc în limbile configuratorului. Și numai pe ei. Definirea configuratorului este sarcina acestei etape. Subliniem că configuratorul nu este o invenție artificială a analiștilor de sistem, inventată pentru a le facilita munca.. Pe de o parte, configuratorul este determinat de natura problemei. Pe de altă parte, configuratorul poate fi considerat ca o altă PROPRIETATE a sistemelor, ca mijloc prin care sistemul își rezolvă problema.

Detectarea țintei . Când căutăm să implementăm o intervenție de îmbunătățire, trebuie să ne asigurăm că niciunul dintre părțile interesate nu o consideră negativ. Oamenii evaluează o schimbare în mod pozitiv dacă îi apropie de obiectivul lor și negativ dacă îi îndepărtează de el. Prin urmare, pentru a proiecta o intervenție, este necesar să se cunoască obiectivele tuturor părților interesate. Desigur, principala sursă de informații este însuși stakeholder-ul.

Definiţia criteriilor . În cursul rezolvării unei probleme, va fi necesar să se compare opțiunile propuse, să se evalueze gradul în care obiectivul a fost atins sau sa deviat de la acesta și să monitorizeze evoluția evenimentelor. Acest lucru se realizează prin evidențierea unor caracteristici ale obiectelor și proceselor luate în considerare. Aceste semne trebuie să fie legate de trăsăturile obiectelor sau proceselor luate în considerare care ne interesează și trebuie să fie accesibile pentru observare și măsurare. Apoi, pe baza rezultatelor măsurătorilor obținute, vom putea efectua controlul necesar. Astfel de caracteristici se numesc criterii. Fiecare studiu (inclusiv al nostru) va necesita criterii. Câte, ce și cum să alegi criterii? În primul rând, despre numărul de criterii. Evident, cu cât aveți nevoie de mai puține criterii, cu atât vă va fi mai ușor să faceți comparații. Adică, este de dorit să se minimizeze numărul de criterii; ar fi bine să-l reduceți la unul singur. Selectarea criteriilor . Criteriile sunt modele cantitative ale obiectivelor calitative. De fapt, criteriile formate în viitor, într-un fel, reprezintă și înlocuiesc obiectivele: optimizarea în funcție de criterii ar trebui să asigure o aproximare maximă la obiectiv. Desigur, criteriile nu sunt identice cu scopul, ele sunt o aparență a scopului, modelul acestuia. Determinarea valorii criteriului pentru o alternativă dată este în esență o măsurare a gradului de adecvare a acesteia ca mijloc pentru un scop.

Studiul experimental al sistemelor. Experiment și model. Adesea, informațiile lipsă despre un sistem pot fi obținute doar de la sistemul însuși prin efectuarea unui experiment special conceput în acest scop. Informațiile conținute în protocolul experimental sunt extrase, supunând datele rezultate la prelucrare și transformare într-o formă adecvată pentru includerea în modelul de sistem. Pasul final este corectarea modelului, încorporând informațiile primite în model. Este ușor de perceput că este nevoie de experimentare pentru a îmbunătăți modelul. De asemenea, este important să înțelegem că experimentarea este imposibilă fără un model. Sunt în același ciclu. Cu toate acestea, rotirea prin acest ciclu seamănă nu cu o roată care se învârte, ci cu un bulgăre de zăpadă care se rostogolește - cu fiecare revoluție devine mai mare și mai greu.

7. Tehnologia analizei sistemului. Etapele cercetării sistemului: construirea și îmbunătățirea modelelor, generarea de alternative, luarea deciziilor, +.

Construcția și îmbunătățirea modelelor. În analiza sistemelor, sunt necesare un model de problemă și o situație pentru a „pierde” posibil opțiuni de intervenție pentru a le tăia nu numai pe cele care nu se vor îmbunătăți, ci și pentru a le selecta dintre cele care se îmbunătățesc cel mai mult (după criteriile noastre) pe cele care se îmbunătățesc. Trebuie subliniat faptul că o contribuție la construirea unui model de situație se aduce la fiecare etapă anterioară și la toate etapele ulterioare (atât prin propria contribuție, cât și prin decizia de a reveni la un stadiu incipient pentru a completa modelul cu informații). Prin urmare, de fapt, nu există o „etapă separată, specială a construirii unui model.” Și totuși, merită să ne concentrăm asupra caracteristicilor modelelor de construcție sau, mai degrabă, asupra lor. "finalizarea constructiei" (adică adăugarea de elemente noi sau eliminarea celor inutile).

Generarea de alternative . În tehnologia descrisă, această acțiune se realizează în două etape:

identificarea discrepanțelor între problemă și amestecurile țintă. Diferențele dintre starea actuală (și nesatisfăcătoare) a organizației și starea viitoare, cea mai dezirabilă, ideală către care se presupune că se străduiește trebuie să fie formulate clar. Aceste diferențe sunt decalajele a căror eliminare trebuie planificată;

propunând posibile opțiuni pentru eliminarea sau reducerea discrepanțelor detectate. Acțiunile, procedurile, regulile, proiectele, programele și politicile - toate componentele managementului - trebuie concepute pentru implementare.

Eterogenitatea internă a sistemelor: distingerea pieselor. Dacă te uiți în interiorul „cutiei negre”, se dovedește că sistemul nu este omogen, nu este monolitic: poți descoperi că diferite calități diferă în locuri diferite. Descrierea eterogenității interne a sistemului se reduce la izolarea zonelor relativ omogene și la trasarea granițelor între ele. Așa apare conceptul de părți ale sistemului. La o examinare mai atentă, se dovedește că părțile mari selectate nu sunt, de asemenea, omogene, ceea ce necesită identificarea părților și mai mici. Rezultatul este o listă ierarhică a părților sistemului, pe care o vom numi model de compoziție a sistemului.

Informațiile despre compoziția sistemului pot fi folosite pentru a lucra cu sistemul. Obiectivele interacțiunii cu sistemele pot fi diferite și, prin urmare, modelele de compoziție ale aceluiași sistem pot diferi și ele. Crearea unui model util și funcțional nu este ușoară.

Dificultăți în construirea unui model de compoziție

La prima vedere, părțile sistemului nu sunt greu de distins; ele „atrag privirea”. Unele sisteme se diferențiază în părți în mod spontan în procesul de creștere și dezvoltare naturală (organisme, societăți, sisteme planetare, molecule, zăcăminte minerale etc.). Sistemele artificiale sunt în mod evident asamblate din părți separate anterior (mecanisme, clădiri, texte, melodii etc.). Există, de asemenea, tipuri mixte de sisteme (rezerve, sisteme agricole, organizații de cercetare a naturii, transport tiraj).

Pe de altă parte, întrebați-l pe rectorul, un student, un contabil sau un manager de afaceri din ce părți este formată o universitate și fiecare vă va oferi propriul model de compunere, diferit de celelalte. Pilotul, însoțitorul de bord și pasagerul vor determina, de asemenea, compoziția aeronavei în mod diferit. Putem spune că corpul este format din jumătăți drepte și stângi, sau se poate spune că este format din jumătăți superioare și inferioare. Deci, în ce constă „cu adevărat”?

Dificultățile construcției unui model de compoziție pe care trebuie să-l depășească toată lumea pot fi reprezentate în trei poziții.

1. Întregul poate fi împărțit în părți în moduri diferite

Întregul poate fi împărțit în părți în moduri diferite (cum ar fi tăierea unei pâini în felii de diferite dimensiuni și forme). Și cum este mai exact necesar? Răspuns: modul în care aveți nevoie pentru a vă atinge scopul. De exemplu, compoziția unei mașini este prezentată diferit pasionaților de mașini începători, viitorilor șoferi profesioniști, mecanicilor care se pregătesc să lucreze în atelierele de reparații auto și vânzătorilor din magazinele auto.

Atunci este firesc să revenim la întrebarea: părțile există „cu adevărat”? Rețineți formularea atentă a proprietății în cauză: distingerea părților, nu separabilitatea în părți. Am adoptat o altă abordare a problemei integrității sistemului: puteți face distincția între părțile sistemului de care aveți nevoie pentru scopul dvs. și puteți utiliza informațiile disponibile despre acestea, dar nu ar trebui să le separați. Mai târziu vom aprofunda și dezvolta această poziție.

2. Numărul de piese din modelul de compoziție

Numărul de piese din modelul de compoziție depinde și de nivelul la care este oprită fragmentarea sistemului. Părțile de pe ramurile terminale ale arborelui ierarhic rezultat se numesc elemente. În diferite circumstanțe, descompunerea se încheie la diferite niveluri. De exemplu, atunci când descrieți lucrările viitoare, este necesar să oferiți unui lucrător cu experiență și unui începător instrucțiuni de diferite grade de detaliu. Astfel, modelul de compunere depinde de ceea ce este considerat elementar, iar din moment ce acest cuvânt este evaluativ, nu este un concept absolut, ci relativ. Cu toate acestea, există cazuri când un element este de natură naturală, absolută (o celulă este cel mai simplu element al unui organism viu; un individ este ultimul element al societății; fonemele sunt cele mai mici părți ale vorbirii orale) sau este determinat de capabilități (de exemplu, putem presupune că un electron constă și din ceva, dar până acum fizicienii nu au fost capabili să detecteze părțile sale cu o sarcină fracțională).

3. Limita externă a sistemului

Orice sistem face parte dintr-un sistem mai mare (și adesea parte din mai multe sisteme simultan). Și acest metasistem poate fi, de asemenea, împărțit în subsisteme în moduri diferite. Aceasta înseamnă că granița externă a sistemului este relativă, condiționată. Chiar și limita „evidentă” a sistemului (pielea umană, gardul unei întreprinderi etc.) în anumite condiții se dovedește a fi insuficientă pentru a determina limita în aceste condiții. De exemplu, în timpul unei mese, iau o cotlet dintr-o farfurie cu o furculiță, o mușc, o mestec, o înghit și o diger. Unde este granița, trecerea prin care cotletul devine parte din mine? Un alt exemplu este cu granița întreprinderii. Muncitorul a căzut pe scări și și-a rupt piciorul. După tratament, la plata facturii, apare întrebarea: ce fel de prejudiciu a fost - casnic sau industrial (sunt plătiți diferit)? Nu există nicio îndoială dacă aceasta a fost scara întreprinderii. Dar dacă era vorba de scările casei în care locuiește muncitorul, atunci totul depinde de modul în care a mers acasă. Dacă sunteți direct de la serviciu și nu ați ajuns încă la ușa apartamentului, accidentarea este considerată legată de muncă. Dar dacă a intrat într-un magazin sau într-un cinema pe drum, este o vătămare domestică. După cum vedem, legea definește limitele întreprinderii în mod condiționat.

Convenționalitatea limitelor sistemului ne readuce din nou la problema integrității, acum a integrității întregii lumi. Limita sistemului este determinată ținând cont de obiectivele subiectului care va folosi modelele de sistem.

Tarasenko F.P. Analiza aplicată a sistemelor (știința și arta rezolvării problemelor): Manual. - Tomsk; Editura Universității din Tomsk, 2004. ISBN 5-7511-1838-3

2.4.1. Definiție. Să ni se dea un sistem neomogen de ecuații liniare

Luați în considerare un sistem omogen

a cărui matrice de coeficienți coincide cu matricea de coeficienți ai sistemului (2.4.1). Apoi se numește sistemul (2.4.2). sistem omogen redus (2.4.1).

2.4.2. Teorema. Soluția generală a unui sistem neomogen este egală cu suma unei soluții particulare a sistemului neomogen și soluția generală a sistemului omogen redus.

Astfel, pentru a găsi o soluție generală a sistemului neomogen (2.4.1) este suficient:

1) Cercetați-l pentru compatibilitate. În caz de compatibilitate:

2) Aflați soluția generală a sistemului omogen redus.

3) Găsiți orice soluție specială la cea originală (neomogenă).

4) Adunând soluția particulară găsită și soluția generală a celei date, găsiți soluția generală a sistemului original.

2.4.3. Exercițiu. Investigați sistemul pentru compatibilitate și, în cazul compatibilității, găsiți soluția generală a acestuia sub forma sumei particularului și generalului dat.

Soluţie. a) Pentru a rezolva problema, aplicăm schema de mai sus:

1) Examinăm sistemul pentru compatibilitate (prin metoda minorilor învecinați): rangul matricei principale este 3 (a se vedea soluția la Exercițiul 2.2.5, a), iar minorul non-zero de ordin maxim este compus din elemente de 1, Al 2-lea, al 4-lea rând și 1-a, 3-a, a 4-a coloană. Pentru a găsi rangul matricei extinse, o marginim cu al 3-lea rând și a 6-a coloană a matricei extinse: =0. Mijloace, rg A =rg=3, iar sistemul este consistent. În special, este echivalent cu sistemul

2) Să găsim o soluție generală X 0 sistem omogen redus

X 0 ={(-2A - b ; A ; b ; b ; b ) | A , b Î R}

(vezi soluția la Exercițiul 2.2.5, a)).

3) Să găsim orice soluție specială x h a sistemului original . Pentru aceasta, în sistemul (2.4.3), echivalent cu cel original, necunoscutele libere X 2 și X Presupunem că 5 este egal cu, de exemplu, zero (aceasta este datele cele mai convenabile):

și rezolvați sistemul rezultat: X 1 =- , X 3 =- , X 4 =-5. Astfel, (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ este o soluție particulară a sistemului.

4) Aflați soluția generală X n a sistemului original :

X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2A - b ; A ; b ; b ; b )}=

={(- -2A - b ; A ; - + b ; -5+b ; b )}.

Cometariu. Comparați răspunsul primit cu al doilea răspuns din exemplul 1.2.1 c). Pentru a obține răspunsul în prima formă pentru 1.2.1 c) se iau necunoscutele de bază X 1 , X 3 , X 5 (minorul pentru care, de asemenea, nu este egal cu zero), și ca liber ¾ X 2 și X 4 .

§3. Unele aplicații.

3.1. În problema ecuațiilor matriceale. Vă reamintim că ecuația matriceală peste câmp F este o ecuație în care necunoscutul este o matrice peste câmp F .

Cele mai simple ecuații matriceale sunt ecuații de formă

TOPOR=B , XA =B (2.5.1)

Unde A , B ¾ dată (cunoscută) matrice peste un câmp F , A X ¾ astfel de matrici, la înlocuirea cărora ecuațiile (2.5.1) se transformă în egalități matriceale adevărate. În special, metoda matriceală a anumitor sisteme se reduce la rezolvarea unei ecuații matriceale.

În cazul în care matricile A în ecuațiile (2.5.1) sunt nedegenerate, au soluții, respectiv X =A B Și X =B.A. .

În cazul în care cel puțin una dintre matricele din partea stângă a ecuațiilor (2.5.1) este singulară, această metodă nu mai este potrivită, deoarece matricea inversă corespunzătoare A nu exista. În acest caz, găsirea de soluții la ecuațiile (2.5.1) se reduce la rezolvarea sistemelor.

Dar mai întâi, să introducem câteva concepte.

Să numim setul tuturor soluțiilor sistemului decizie generală . Să numim o soluție luată separat a unui sistem nedefinit soluție privată .

3.1.1. Exemplu. Rezolvați ecuația matriceală pe câmp R.

A) X = ; b) X = ; V) X = .

Soluţie. a) Deoarece =0, atunci formula X =A B nu este potrivit pentru rezolvarea acestei ecuații. Dacă în muncă XA =B matrice A are 2 rânduri, apoi matricea X are 2 coloane. Numărul de linii X trebuie să se potrivească cu numărul de linii B . De aceea X are 2 linii. Prin urmare, X ¾ o matrice pătrată de ordinul doi: X = . Să înlocuim X în ecuația inițială:

Înmulțind matricele din partea stângă a (2.5.2), ajungem la egalitate

Două matrici sunt egale dacă și numai dacă au aceleași dimensiuni și elementele lor corespunzătoare sunt egale. Prin urmare (2.5.3) este echivalent cu sistemul

Acest sistem este echivalent cu sistemul

Rezolvând-o, de exemplu, folosind metoda Gaussiană, ajungem la un set de soluții (5-2 b , b , -2d , d ), Unde b , d rulează independent unul de celălalt R. Prin urmare, X = .

b) Similar cu a) avem X = și.

Acest sistem este inconsecvent (verificați-l!). Prin urmare, această ecuație matriceală nu are soluții.

c) Să notăm această ecuație cu TOPOR =B . Deoarece A are 3 coloane și B are 2 coloane, atunci X ¾ o matrice de dimensiunea 3´2: X = . Prin urmare, avem următorul lanț de echivalențe:

Rezolvăm ultimul sistem folosind metoda Gaussiană (omitem comentariile)

Astfel, ajungem la sistem

a cărui soluție este (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Unde z , w rulează independent unul de celălalt R.

Raspuns: a) X = , b , d Î R.

b) Nu există soluții.

V) X = z , w Î R.

3.2. Pe problema permutabilității matricelor.În general, produsul matricelor este necomutabil, adică dacă A Și B astfel încât AB Și B.A. sunt definite, atunci, în general, AB ¹ B.A. . Dar un exemplu de matrice de identitate E arată că comutabilitatea este de asemenea posibilă A.E. =E.A. pentru orice matrice A , doar daca A.E. Și E.A. au fost determinati.

În această secțiune vom lua în considerare problemele de găsire a mulțimii tuturor matricelor care fac naveta cu una dată. Prin urmare,

Necunoscut X 1 , y 2 și z 3 poate lua orice valoare: X 1 =A , y 2 =b , z 3 =g . Apoi

Prin urmare, X = .

Răspuns. A) X d ¾ orice număr.

b) X ¾ set de matrici de forma , unde A , b Și g ¾ orice numere.

§6. Sistem neomogen de ecuații liniare

Dacă în sistemul de ecuaţii liniare (7.1) cel puţin unul dintre termenii liberi V i este diferit de zero, atunci se numește un astfel de sistem eterogen.

Să fie dat un sistem neomogen de ecuații liniare, care poate fi reprezentat sub formă vectorială ca

, eu = 1,2,.. .,La, (7.13)

Luați în considerare sistemul omogen corespunzător

eu = 1,2,... ,La. (7.14)

Fie vectorul
este o soluție a sistemului neomogen (7.13), iar vectorul
este o soluție a sistemului omogen (7.14). Atunci este ușor de observat că vectorul
este și o soluție la sistemul neomogen (7.13). Într-adevăr

Acum, folosind formula (7.12) pentru soluția generală a ecuației omogene, avem

Unde
orice numere de la R, A
– soluţii fundamentale ale unui sistem omogen.

Astfel, soluția unui sistem neomogen este combinația dintre soluția sa particulară și soluția generală a sistemului omogen corespunzător.

Soluția (7.15) se numește soluție generală a unui sistem neomogen de ecuații liniare. Din (7.15) rezultă că un sistem neomogen simultan de ecuații liniare are o soluție unică dacă rangul r(A) matricea principală A se potrivește cu numărul n sisteme necunoscute (sistem Cramer), dacă r(A)  n, atunci sistemul are un număr infinit de soluții și această mulțime de soluții este echivalentă cu subspațiul de soluții al sistemului omogen de ecuații de dimensiune corespunzător n– r.

Exemple.

1. Să fie dat un sistem de ecuații neomogen, în care numărul de ecuații La= 3 și numărul de necunoscute n = 4.

X 1 – X 2 + X 3 –2X 4 = 1,

X 1 – X 2 + 2X 3 – X 4 = 2,

5X 1 – 5X 2 + 8X 3 – 7X 4 = 3.

Să determinăm rangurile matricei principale Ași extins A * a acestui sistem. Deoarece AȘi A * matrici nenule şi k = 3  n, prin urmare 1  r (A), r * (A * )  3. Luați în considerare minorele de ordinul doi de matrici AȘi A * :

Astfel, printre minorii de ordinul doi ai matricelor AȘi A * există un minor decât zero, deci 2 r(A),r * (A * )  3. Acum să ne uităm la minorii de ordinul al treilea

, deoarece prima și a doua coloană sunt proporționale. La fel și pentru minor
.

Și așa toți minorii de ordinul trei din matricea principală A sunt egale cu zero, prin urmare r(A) = 2. Pentru matricea extinsă A * sunt și minori de ordinul trei

În consecință, printre minorii de ordinul trei ai matricei extinse A * există un minor decât zero, deci r * (A * ) = 3. Aceasta înseamnă că r(A)  r * (A * ) și apoi, pe baza teoremei Korneker–Capelli, concluzionăm că acest sistem este inconsecvent.

2. Rezolvați sistemul de ecuații

3X 1 + 2X 2 + X 3 + X 4 = 1,

3X 1 + 2X 2 – X 3 – 2X 4 = 2.

Pentru acest sistem
și deci 1 r(A),r * (A * )  2. Considerați pentru matrici AȘi A * minori de ordinul doi

Prin urmare, r(A)= r * (A * ) = 2 și, prin urmare, sistemul este consistent. Ca variabile de bază, alegem oricare două variabile pentru care minorul de ordinul doi, compus din coeficienții acestor variabile, nu este egal cu zero. Astfel de variabile ar putea fi, de exemplu,

X 3 și X 4 pentru că
Atunci noi avem

X 3 + X 4 = 1 – 3X 1 – 2X 2 ,

– X 3 – 2X 4 = 2 – 3X 1 – 2X 2 .

Să definim o anumită soluție sistem eterogen. Pentru a face asta, să punem X 1 = X 2 = 0.

X 3 + X 4 = 1,

– X 3 – 2X 4 = 2.

Solutia acestui sistem: X 3 = 4, X 4 = – 3, prin urmare, = (0,0,4, –3).

Acum determinăm soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare

X 3 + X 4 = – 3X 1 – 2X 2 ,

–X 3 – 2X 4 = – 3X 1 – 2X 2 .

Sa punem: X 1 = 1, X 2 = 0

X 3 + X 4 = –3,

–X 3 – 2X 4 = –3.

Soluția acestui sistem X 3 = –9, X 4 = 6.

Prin urmare

Acum să punem X 1 = 0, X 2 = 1

X 3 + X 4 = –2,

–X 3 – 2X 4 = –2.

Soluţie: X 3 = – 6, X 4 = 4 și apoi

După ce a fost determinată o anumită soluție , ecuații neomogene și soluții fundamentale
Și a ecuației omogene corespunzătoare, notăm soluția generală a ecuației neomogene.

Unde
orice numere de la R.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect dintr-un curs de algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii se rezumă la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți

• alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
• studiază teoria metodei alese,
• rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare luând în considerare soluții detaliate la exemple și probleme tipice.

Scurtă descriere a materialului articolului.

În primul rând, dăm toate definițiile, conceptele necesare și introducem notații.

În continuare, vom lua în considerare metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, ne vom concentra pe metoda lui Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării secvențiale a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în moduri diferite.

După aceasta, vom trece la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este singulară. Să formulăm teorema Kronecker-Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE-urilor. Să analizăm soluția sistemelor (dacă sunt compatibile) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.

Ne vom opri cu siguranță asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să dăm conceptul de sistem fundamental de soluții și să arătăm cum este scrisă soluția generală a unui SLAE folosind vectorii sistemului fundamental de soluții. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.

În concluzie, vom lua în considerare sisteme de ecuații care pot fi reduse la cele liniare, precum și diverse probleme în soluția cărora apar SLAE-uri.

Navigare în pagină.

Definiții, concepte, denumiri.

Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n) de forma

Variabile necunoscute, - coeficienți (unele numere reale sau complexe), - termeni liberi (și numere reale sau complexe).

Această formă de înregistrare SLAE se numește coordona.

ÎN formă matriceală Scrierea acestui sistem de ecuații are forma,
Unde - matricea principală a sistemului, - o matrice coloană de variabile necunoscute, - o matrice coloană de termeni liberi.

Dacă adăugăm o coloană matrice de termeni liberi la matricea A ca coloană (n+1), obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, o matrice extinsă este desemnată cu litera T, iar coloana de termeni liberi este separată printr-o linie verticală de coloanele rămase, adică

Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute devine, de asemenea, o identitate.

Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.

Dacă un sistem de ecuații nu are soluții, atunci se numește nearticulată.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - incert.

Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero , atunci sistemul este apelat omogen, in caz contrar - eterogen.

Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.

Dacă numărul de ecuații ale unui sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci astfel de SLAE vor fi numite elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate variabilele necunoscute sunt egale cu zero.

Am început să studiem astfel de SLAE în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.

Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare

în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .

Fie determinantul matricei principale a sistemului, și - determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi:

Cu această notație, variabilele necunoscute sunt calculate folosind formulele metodei lui Cramer ca . Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer.

Exemplu.

metoda lui Cramer .

Soluţie.

Matricea principală a sistemului are forma . Să calculăm determinantul acestuia (dacă este necesar, vezi articolul):

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.

Să compunem și să calculăm determinanții necesari (obținem determinantul prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de termeni liberi, determinantul prin înlocuirea celei de-a doua coloane cu o coloană de termeni liberi și prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de termeni liberi) :

Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule :

Răspuns:

Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații din sistem este mai mare de trei.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei (folosind o matrice inversă).

Fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare sub formă de matrice, unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.

Deoarece , matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă. Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu stânga, obținem o formulă pentru găsirea unei matrice-coloană de variabile necunoscute. Așa am obținut o soluție a unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei.

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda matricei.

Soluţie.

Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice:

Deoarece

atunci SLAE poate fi rezolvat folosind metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca .

Să construim o matrice inversă folosind o matrice din adunări algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul):

Rămâne de calculat matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse la o coloană-matrice de membri liberi (dacă este necesar, vezi articolul):

Răspuns:

sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Principala problemă la găsirea de soluții la sisteme de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât treimea.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss.

Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în excluderea secvențială a variabilelor necunoscute: mai întâi, x 1 este exclus din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuațiile, începând cu a treia, și așa mai departe, până când doar variabila necunoscută x n rămâne în ultima ecuație. Acest proces de transformare a ecuațiilor de sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește metoda Gaussiană directă. După finalizarea cursei înainte a metodei gaussiene, se găsește x n din ultima ecuație, folosind această valoare din penultima ecuație, se calculează x n-1 și așa mai departe, se află x 1 din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Să eliminăm variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am fi ajuns la același rezultat dacă am fi exprimat x 1 în termenii altor variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am fi înlocuit expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului o adunăm pe a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, procedăm la eliminarea necunoscutului x 3, în timp ce acționăm similar cu partea de sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație .

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.

Soluţie.

Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu:

Acum eliminăm x 2 din a treia ecuație adunând la laturile sale stânga și dreapta laturile stânga și dreapta ale celei de-a doua ecuații, înmulțite cu:

Aceasta completează cursa înainte a metodei Gauss; începem cursa inversă.

Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat găsim x 3:

Din a doua ecuație obținem .

Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și completăm astfel inversul metodei Gauss.

Răspuns:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

În general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:

Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și singulară.

Teorema Kronecker–Capelli.

Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este inconsecvent este dat de Teorema Kronecker–Capelli:
Pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n) să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică , Rang(A)=Rang(T).

Să luăm în considerare, ca exemplu, aplicarea teoremei Kronecker–Capelli pentru a determina compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare.

Exemplu.

Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are solutii.

Soluţie.

. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi diferit de zero. Să ne uităm la minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta:

Deoarece toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, rangul matricei principale este egal cu doi.

La rândul său, rangul matricei extinse este egal cu trei, întrucât minorul este de ordinul trei

diferit de zero.

Prin urmare, Rang(A), prin urmare, folosind teorema Kronecker–Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.

Răspuns:

Sistemul nu are soluții.

Deci, am învățat să stabilim inconsistența unui sistem folosind teorema Kronecker-Capelli.

Dar cum să găsești o soluție la un SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de o teoremă despre rangul unei matrice.

Se numește minorul de ordinul cel mai înalt al matricei A, diferit de zero de bază.

Din definiția unei baze minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero pot exista mai multe baze minore; există întotdeauna o bază minoră.

De exemplu, luați în considerare matricea .

Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.

Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece sunt diferit de zero

Minorii nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.

Teorema rangului matricei.

Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este egal cu r, atunci toate elementele de rând (și coloană) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor de rând (și coloană) corespunzătoare care formează baza minoră.

Ce ne spune teorema rangului matricei?

Dacă, conform teoremei Kronecker-Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice bază minoră a matricei principale a sistemului (ordinea acesteia este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu nu formează baza selectată minoră. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).

Ca rezultat, după eliminarea ecuațiilor inutile ale sistemului, sunt posibile două cazuri.

Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Exemplu.

.

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemului este egal cu doi, deoarece minorul este de ordinul doi diferit de zero. Rang matrice extins este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul trei este zero

iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker–Capelli, putem afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2.

Ca bază minoră luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații:


A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea bazei minore, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema privind rangul matricei:


Așa am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer:


Răspuns:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat este mai mic decât numărul de variabile necunoscute n, atunci în partea stângă a ecuațiilor lăsăm termenii care formează baza minori și transferăm termenii rămași în partea dreaptă a ecuațiilor. ecuații ale sistemului cu semnul opus.

Se numesc variabilele necunoscute (r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor principal.

Se numesc variabile necunoscute (există n - r piese) care sunt în partea dreaptă gratuit.

Acum credem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele r variabile necunoscute vor fi exprimate prin variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați un sistem de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Să găsim rangul matricei principale a sistemului prin metoda limitării minorilor. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor diferit de zero de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor diferit de zero de ordinul doi care se învecinează cu acest minor:


Așa am găsit un minor non-zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero:


Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei extinse este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.

Luăm ca bază minorul non-zero găsit de ordinul al treilea.

Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră:


Lăsăm termenii implicați în baza minoră în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă:


Să dăm variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică acceptăm , unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE va lua forma


Să rezolvăm sistemul elementar rezultat de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer:


Prin urmare, .

În răspunsul dvs., nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.

Răspuns:

Unde sunt numerele arbitrare.

Rezuma.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare generale, determinăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker–Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este incompatibil.

Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci selectăm o bază minoră și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea bazei minore selectate.

Dacă ordinea bazei minore este egală cu numărul de variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.

Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci în partea stângă a ecuațiilor sistemului lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și dăm valori arbitrare pentru variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat găsim principalele variabile necunoscute folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Metoda Gauss poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără a le testa mai întâi pentru consistență. Procesul de eliminare secvențială a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre incompatibilitatea SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.

Din punct de vedere computațional, metoda Gaussiană este de preferat.

Vezi descrierea detaliată a acesteia și exemplele analizate în articolul Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare generale.

Scrierea unei soluții generale la sisteme algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectori ai sistemului fundamental de soluții.

În această secțiune vom vorbi despre sisteme omogene și neomogene simultane de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.

Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.

Sistem fundamental de soluții sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o colecție de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.

Dacă notăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt matrici coloane de dimensiunea n prin 1) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), adică .

Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?

Semnificația este simplă: formula specifică toate soluțiile posibile ale SLAE inițial, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), folosind formula pe care o vom obțineți una dintre soluțiile SLAE omogen original.

Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem defini toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .

Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen.

Selectăm baza minoră a sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm toți termenii care conțin variabile necunoscute libere în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse. Să dăm variabilelor necunoscute libere valorile 1,0,0,...,0 și să calculăm principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, folosind metoda Cramer. Aceasta va avea ca rezultat X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, obținem X (2) . Și așa mai departe. Dacă atribuim valorile 0,0,…,0,1 variabilelor necunoscute libere și calculăm principalele necunoscute, obținem X (n-r) . În acest fel, se va construi un sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .

Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată sub forma , unde este soluția generală a sistemului omogen corespunzător și este soluția particulară a SLAE neomogen original, pe care o obținem dând necunoscutelor libere valorile ​0,0,...,0 și calcularea valorilor principalelor necunoscute.

Să ne uităm la exemple.

Exemplu.

Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale folosind metoda limitării minorilor. Ca un minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Să găsim minorul care se limitează la zero de ordinul doi:

A fost găsit un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero:

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este egal cu doi. Hai sa luam . Pentru claritate, să notăm elementele sistemului care îl formează:

A treia ecuație a SLAE inițial nu participă la formarea bazei minore, prin urmare, poate fi exclusă:

Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:

Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea bazei sale minore este egală cu două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 = 1, x 4 = 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații
.