Teoreme privind modificarea impulsului unui sistem mecanic. Principiul mișcărilor posibile

Sistemul discutat în teoremă poate fi orice sistem mecanic format din orice corp.

Enunțul teoremei

Cantitatea de mișcare (impuls) a unui sistem mecanic este o cantitate egală cu suma cantităților de mișcare (impulsuri) ale tuturor corpurilor incluse în sistem. Impulsul forțelor externe care acționează asupra corpurilor sistemului este suma impulsurilor tuturor forțelor externe care acționează asupra corpurilor sistemului.

( kg m/s)

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem spune

Modificarea impulsului sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul forțelor externe care acționează asupra sistemului în aceeași perioadă de timp.

Legea conservării impulsului unui sistem

Dacă suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este zero, atunci cantitatea de mișcare (impulsul) sistemului este o cantitate constantă.

, obţinem expresia teoremei asupra modificării impulsului sistemului sub formă diferenţială:

După ce am integrat ambele părți ale egalității rezultate într-o perioadă de timp luată în mod arbitrar între unele și , obținem expresia teoremei asupra modificării impulsului sistemului în formă integrală:

Legea conservării impulsului (Legea conservării impulsului) afirmă că suma vectorială a impulsurilor tuturor corpurilor sistemului este o valoare constantă dacă suma vectorială a forțelor externe care acționează asupra sistemului este egală cu zero.

(momentul impulsului m 2 kg s −1)

Teorema privind modificarea momentului unghiular relativ la centru

derivata în timp a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material în raport cu orice centru fix este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Teoremă privind modificarea momentului unghiular în raport cu o axă

derivata temporală a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material față de orice axă fixă ​​este egală cu momentul forței care acționează asupra acestui punct față de aceeași axă.

dk X /dt = M X (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Luați în considerare un punct material M masa m , deplasându-se sub influența forței F (Figura 3.1). Să scriem și să construim vectorul momentului unghiular (momentul cinetic) M 0 punct material relativ la centru O :

Să diferențiem expresia pentru momentul unghiular (momentul cinetic k 0) după timp:

Deoarece dr /dt = V , apoi produsul vectorial V ⊗ m ⋅ V (vectori coliniari V Și m ⋅ V ) este egal cu zero. În același timp d(m ⋅ V) /dt = F conform teoremei asupra impulsului unui punct material. Prin urmare, obținem asta

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Unde r ⊗F = M 0 (F ) – vector-moment de forță F raportat la un centru fix O . Vector k 0 ⊥ plan ( r , m ⊗V ), și vectorul M 0 (F ) ⊥ avion ( r ,F ), avem în sfârșit

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Ecuația (3.4) exprimă teorema despre modificarea momentului unghiular (momentul unghiular) a unui punct material față de centru: derivata în timp a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material în raport cu orice centru fix este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru.

Proiectând egalitatea (3.4) pe axele coordonatelor carteziene, obținem

dk X /dt = M X (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Egalitățile (3.5) exprimă teorema despre modificarea momentului unghiular (momentul cinetic) a unui punct material în raport cu axa: derivata temporală a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material față de orice axă fixă ​​este egală cu momentul forței care acționează asupra acestui punct față de aceeași axă.

Să luăm în considerare consecințele care decurg din teoremele (3.4) și (3.5).

Corolarul 1. Luați în considerare cazul când forța F pe parcursul întregii mișcări a punctului trece prin centrul staționar O (cazul forței centrale), adică Când M 0 (F ) = 0. Atunci din teorema (3.4) rezultă că k 0 = const ,

acestea. în cazul unei forțe centrale, momentul unghiular (momentul cinetic) al unui punct material față de centrul acestei forțe rămâne constant în mărime și direcție (Figura 3.2).

Figura 3.2

Din condiție k 0 = const rezultă că traiectoria unui punct în mișcare este o curbă plană, al cărei plan trece prin centrul acestei forțe.

Corolarul 2. Lăsa M z (F ) = 0, adică forța traversează axa z sau paralel cu acesta. În acest caz, după cum se poate observa din a treia ecuație (3.5), k z = const ,

acestea. dacă momentul forței care acționează asupra unui punct relativ la orice axă fixă ​​este întotdeauna zero, atunci momentul unghiular (momentul cinetic) al punctului relativ la această axă rămâne constant.

Demonstrarea teoremei privind modificarea impulsului

Fie că sistemul este format din puncte materiale cu mase și accelerații. Împărțim toate forțele care acționează asupra corpurilor sistemului în două tipuri:

Forțele externe sunt forțe care acționează din corpuri care nu sunt incluse în sistemul în cauză. Rezultanta forțelor externe care acționează asupra unui punct material cu număr i să notăm

Forțele interne sunt forțele cu care corpurile sistemului însuși interacționează între ele. Forța cu care asupra punctului cu numărul i punctul cu numărul este valid k, vom desemna , și forța de influență i punctul de mai departe k al-lea punct -. Evident, atunci când , atunci

Folosind notația introdusă, scriem a doua lege a lui Newton pentru fiecare dintre punctele materiale luate în considerare sub forma

Având în vedere că și însumând toate ecuațiile celei de-a doua legi a lui Newton, obținem:

Expresia reprezintă suma tuturor forțelor interne care acționează în sistem. Conform celei de-a treia legi a lui Newton, în această sumă, fiecărei forțe îi corespunde o forță astfel încât, prin urmare, este valabilă Deoarece întreaga sumă este formată din astfel de perechi, suma în sine este zero. Astfel, putem scrie

Folosind notația pentru impulsul sistemului, obținem

Prin introducerea în considerare a schimbării impulsului forțelor externe , obținem expresia teoremei asupra modificării impulsului sistemului în formă diferențială:

Astfel, fiecare dintre ultimele ecuații obținute ne permite să afirmăm: o modificare a impulsului sistemului are loc doar ca urmare a acțiunii forțelor externe, iar forțele interne nu pot avea nicio influență asupra acestei valori.

După ce am integrat ambele părți ale egalității rezultate într-un interval de timp luat în mod arbitrar între unele și , obținem expresia teoremei privind modificarea impulsului sistemului în formă integrală:

unde și sunt valorile cantității de mișcare a sistemului în momente de timp și, respectiv, și este impulsul forțelor externe pe o perioadă de timp. În conformitate cu cele spuse mai devreme și cu notațiile introduse,

În același mod ca și pentru un punct material, vom deriva o teoremă asupra schimbării impulsului pentru sistem în diferite forme.

Să transformăm ecuația (teorema privind mișcarea centrului de masă al unui sistem mecanic)

in felul urmator:

;

;

Ecuația rezultată exprimă teorema despre modificarea impulsului unui sistem mecanic sub formă diferențială: derivata impulsului unui sistem mecanic în raport cu timpul este egală cu vectorul principal al forțelor externe care acționează asupra sistemului. .

În proiecțiile pe axe de coordonate carteziene:

; ; .

Luând integralele ambelor părți ale ultimelor ecuații în timp, obținem o teoremă despre modificarea impulsului unui sistem mecanic în formă integrală: modificarea impulsului unui sistem mecanic este egală cu impulsul vectorului principal al forțe externe care acționează asupra sistemului .

.

Sau în proiecții pe axe de coordonate carteziene:

; ; .

Corolare din teoremă (legile conservării impulsului)

Legea conservării impulsului se obține ca cazuri speciale ale teoremei privind modificarea impulsului pentru un sistem în funcție de caracteristicile sistemului de forțe externe. Forțele interne pot fi oricare, deoarece nu afectează schimbările de impuls.

Există două cazuri posibile:

1. Dacă suma vectorială a tuturor forțelor externe aplicate sistemului este egală cu zero, atunci cantitatea de mișcare a sistemului este constantă ca mărime și direcție

2. Dacă proiecția vectorului principal al forțelor externe pe orice axă de coordonate și/sau și/sau este egală cu zero, atunci proiecția impulsului pe aceleași axe este o valoare constantă, i.e. și/sau și/sau respectiv.

Se pot face intrări similare pentru un punct material și pentru un punct material.

Sarcina. De la un pistol a cărui masă M, un proiectil de masă zboară în direcție orizontală m cu viteza v. Găsiți viteza V pistoale după tragere.

Soluţie. Toate forțele externe care acționează asupra sistemului mecanic armă-proiectil sunt verticale. Aceasta înseamnă că, pe baza corolarului teoremei privind modificarea impulsului sistemului, avem: .

Cantitatea de mișcare a sistemului mecanic înainte de tragere:

Cantitatea de mișcare a sistemului mecanic după lovitură:

.

Echivalând părțile din dreapta ale expresiilor, obținem că

.

Semnul „-” din formula rezultată indică faptul că, după tragere, pistolul se va întoarce înapoi în direcția opusă axei Bou.

EXEMPLU 2. Un curent de lichid cu densitate curge cu viteza V dintr-o conductă cu aria secțiunii transversale F și lovește un perete vertical în unghi. Determinați presiunea fluidului pe perete.

SOLUŢIE. Să aplicăm teorema privind modificarea impulsului în formă integrală unui volum de lichid cu o masă m lovind un perete într-o perioadă de timp t.

ECUAȚIA MESHCHERSKY

(ecuația de bază a dinamicii unui corp de masă variabilă)

În tehnologia modernă, apar cazuri când masa unui punct și a unui sistem nu rămâne constantă în timpul mișcării, ci se modifică. Deci, de exemplu, în timpul zborului rachetelor spațiale, din cauza ejectării produselor de combustie și a părților individuale inutile ale rachetelor, modificarea masei ajunge la 90-95% din valoarea inițială totală. Dar nu numai tehnologia spațială poate fi un exemplu de dinamică a mișcării masei variabile. În industria textilă, există schimbări semnificative în masa diferitelor fusuri, bobine și role la viteze moderne de funcționare ale mașinilor și mașinilor.

Să luăm în considerare principalele caracteristici asociate cu modificările de masă, folosind exemplul mișcării de translație a unui corp de masă variabilă. Legea de bază a dinamicii nu poate fi aplicată direct unui corp de masă variabilă. Prin urmare, obținem ecuații diferențiale ale mișcării unui punct de masă variabilă, aplicând teorema privind modificarea impulsului sistemului.

Lăsați punctul să aibă masă m+dm se mișcă cu viteză. Apoi o anumită particulă cu o masă este separată de punct dm deplasându-se cu viteză.

Cantitatea de mișcare a corpului înainte ca particula să se desprindă:

Cantitatea de mișcare a unui sistem format dintr-un corp și o particulă detașată după separarea acestuia:

Apoi schimbarea impulsului:

Pe baza teoremei despre modificarea impulsului sistemului:

Să notăm cantitatea - viteza relativă a particulei:

Să notăm

mărimea R numită forță reactivă. Forța reactivă este forța motorului cauzată de ejectarea gazului din duză.

În sfârșit, obținem

-

Această formulă exprimă ecuația de bază a dinamicii unui corp de masă variabilă (formula Meshchersky). Din ultima formulă rezultă că ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct de masă variabilă au aceeași formă ca și pentru un punct de masă constantă, cu excepția forței reactive suplimentare aplicate punctului datorită modificării masei.

Ecuația de bază pentru dinamica unui corp de masă variabilă indică faptul că accelerația acestui corp se formează nu numai din cauza forțelor externe, ci și datorită forței reactive.

Forța reactivă este o forță asemănătoare cu cea resimțită de persoana care împușcă - atunci când trage din pistol, se simte cu mâna; Când trageți de la o pușcă, este perceput de umăr.

Prima formulă a lui Ciolkovski (pentru o rachetă cu o singură etapă)

Lasă un punct de masă variabilă sau o rachetă să se miște în linie dreaptă sub influența unei singure forțe reactive. Deoarece pentru multe motoare cu reacție moderne, unde este forța reactivă maximă (împingerea motorului) permisă de proiectarea motorului; - forta gravitatiei care actioneaza asupra motorului situat pe suprafata pamantului. Acestea. cele de mai sus ne permit să neglijăm componenta din ecuația Meshchersky și să acceptăm această ecuație sub forma pentru analiză ulterioară: ,

Să notăm:

Rezervă de combustibil (pentru motoarele cu reacție lichidă - masa uscată a rachetei (masa rămasă după arderea întregului combustibil);

Masa de particule separate de rachetă; este considerată o valoare variabilă, variind de la până la .

Să scriem ecuația mișcării rectilinie a unui punct de masă variabilă în următoarea formă:

Deoarece formula pentru determinarea masei variabile a unei rachete este

Prin urmare, ecuațiile de mișcare ale unui punct Luând integralele ambelor părți obținem

Unde - viteza caracteristica- aceasta este viteza pe care o dobândește o rachetă sub influența împingerii după ce toate particulele au erupt din rachetă (pentru motoarele cu reacție lichidă - după ce tot combustibilul s-a ars).

Plasată în afara semnului integral (care se poate face pe baza teoremei valorii medii cunoscută din matematica superioară) este viteza medie a particulelor ejectate din rachetă.

Vedere: acest articol a fost citit de 14066 ori

Pdf Selectează limba... Rusă Ucraineană Engleză

Scurtă recenzie

Întregul material este descărcat mai sus, după selectarea limbii

Cantitatea de mișcare

Momentul unui punct material - o mărime vectorială egală cu produsul dintre masa unui punct și vectorul său viteză.

Unitatea de măsură pentru impuls este (kg m/s).

Momentul sistemului mecanic - o mărime vectorială egală cu suma geometrică (vector principal) a impulsului unui sistem mecanic este egală cu produsul dintre masa întregului sistem și viteza centrului său de masă.

Când un corp (sau sistem) se mișcă astfel încât centrul său de masă să fie staționar, atunci cantitatea de mișcare a corpului este egală cu zero (de exemplu, rotația corpului în jurul unei axe fixe care trece prin centrul de masă a corpului ).

În cazul mișcării complexe, cantitatea de mișcare a sistemului nu va caracteriza partea de rotație a mișcării atunci când se rotește în jurul centrului de masă. Adică, cantitatea de mișcare caracterizează doar mișcarea de translație a sistemului (împreună cu centrul de masă).

Forța de impuls

Impulsul unei forțe caracterizează acțiunea unei forțe într-o anumită perioadă de timp.

Impulsul de forță pe o perioadă finită de timp este definită ca suma integrală a impulsurilor elementare corespunzătoare.

Teorema privind modificarea impulsului unui punct material

(în forme diferențiale e ):

Derivata în timp a impulsului unui punct material este egală cu suma geometrică a forțelor care acționează asupra punctelor.

(V formă integrală ):

Modificarea impulsului unui punct material într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor forțelor aplicate punctului în această perioadă de timp.

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic

(în formă diferenţială ):

Derivata în timp a impulsului sistemului este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

(în formă integrală ):

Modificarea impulsului unui sistem într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor forțelor externe care acționează asupra sistemului în această perioadă de timp.

Teorema permite excluderea forțelor interne evident necunoscute din considerare.

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic și teorema mișcării centrului de masă sunt două forme diferite ale aceleiași teoreme.

Legea conservării impulsului unui sistem

1. Dacă suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este egală cu zero, atunci vectorul impulsului sistemului va fi constant în direcție și mărime.
2. Dacă suma proiecțiilor tuturor forțelor externe care acționează pe orice axă arbitrară este egală cu zero, atunci proiecția impulsului pe această axă este o valoare constantă.

concluzii:

1. Legile de conservare indică faptul că forțele interne nu pot modifica cantitatea totală de mișcare a sistemului.
2. Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic nu caracterizează mișcarea de rotație a unui sistem mecanic, ci doar mișcarea de translație.

Este dat un exemplu: Determinați impulsul unui disc cu o anumită masă dacă sunt cunoscute viteza unghiulară și dimensiunea acestuia.

Exemplu de calcul al unui angrenaj drept
Un exemplu de calcul al unui angrenaj drept. Au fost efectuate alegerea materialului, calculul tensiunilor admisibile, calculul rezistenței la contact și la încovoiere.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de îndoire a fasciculului
În exemplu, au fost construite diagrame ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare, a fost găsită o secțiune periculoasă și a fost selectată o grindă în I. Problema a analizat construcția diagramelor folosind dependențe diferențiale și a efectuat o analiză comparativă a diferitelor secțiuni transversale ale grinzii.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de torsiune a arborelui
Sarcina este de a testa rezistența unui arbore din oțel la un diametru dat, material și efort admisibil. În timpul soluției, sunt construite diagrame ale cuplurilor, tensiunilor tăietoare și unghiurilor de răsucire. Greutatea proprie a arborelui nu este luată în considerare

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de tensiune-comprimare a unei tije
Sarcina este de a testa rezistența unei bare de oțel la solicitările admisibile specificate. În timpul rezolvării se construiesc diagrame ale forțelor longitudinale, tensiunilor normale și deplasărilor. Greutatea proprie a lansetei nu este luată în considerare

Aplicarea teoremei privind conservarea energiei cinetice
Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema privind conservarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Determinarea vitezei și accelerației unui punct folosind ecuații de mișcare date
Un exemplu de rezolvare a unei probleme pentru a determina viteza și accelerația unui punct folosind ecuații de mișcare date

Determinarea vitezelor și accelerațiilor punctelor unui corp rigid în timpul mișcării plan-paralel
Un exemplu de rezolvare a unei probleme pentru a determina vitezele și accelerațiile punctelor unui corp rigid în timpul mișcării plan-paralele

Determinarea forțelor în barele unei ferme plane
Un exemplu de rezolvare a problemei determinării forțelor în tijele unei ferme plane folosind metoda Ritter și metoda nodurilor de tăiere

Aplicarea teoremei asupra modificării momentului unghiular
Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema privind modificarea momentului cinetic pentru a determina viteza unghiulară a unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe.

(Fragmente dintr-o simfonie matematică)

Legătura dintre impulsul forței și ecuația de bază a dinamicii newtoniene este exprimată prin teorema privind modificarea impulsului unui punct material.

Teorema. Modificarea impulsului unui punct material într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul forței () care acționează asupra punctului material în aceeași perioadă de timp. Dovada matematică a acestei teoreme poate fi numită un fragment dintr-o simfonie matematică. Aici era.

Momentul diferenţial al unui punct material este egal cu impulsul elementar al forţei care acţionează asupra punctului material. Integrând expresia (128) pentru impulsul diferenţial al unui punct material, avem

(129)

Teorema a fost dovedită și matematicienii își consideră misiunea încheiată, dar inginerii, al căror destin este să creadă cu sfințenie în matematicieni, au întrebări atunci când folosesc ecuația dovedită (129). Dar ele sunt ferm blocate de succesiunea și frumusețea operațiilor matematice (128 și 129), care ne fascinează și ne încurajează să le numim fragmente dintr-o simfonie matematică. Câte generații de ingineri au fost de acord cu matematicienii și au fost uimiți de misterul simbolurilor lor matematice! Dar apoi a fost un inginer care nu a fost de acord cu matematicienii și le-a pus întrebări.

Dragi matematicieni! De ce niciunul dintre manualele dvs. de mecanică teoretică nu discută procesul de aplicare a rezultatului simfonic (129) în practică, de exemplu, când descrie procesul de accelerare a unei mașini? Partea stângă a ecuației (129) este foarte clară. Mașina pornește accelerația din viteză și o termină, de exemplu, la viteză. Este destul de firesc ca ecuația (129) să devină

Și prima întrebare apare imediat: cum putem determina din ecuația (130) forța sub influența căreia mașina este accelerată la o viteză de 10 m/s? Răspunsul la această întrebare nu se găsește în niciunul dintre nenumăratele manuale de mecanică teoretică. Să mergem mai departe. După accelerare, mașina începe să se miște uniform cu o viteză de 10 m/s. Ce forta misca masina???????????? Nu am de ales decât să roșesc împreună cu matematicienii. Prima lege a dinamicii newtoniene spune că atunci când o mașină se mișcă uniform, nu acționează asupra ei nicio forță, iar mașina, la figurat vorbind, strănută la această lege, consumă benzină și funcționează, deplasându-se, de exemplu, pe o distanță de 100 km. Unde este forța care a făcut munca pentru a muta mașina 100 km? Ecuația matematică simfonică (130) este tăcută, dar viața continuă și cere un răspuns. Începem să-l căutăm.

Deoarece mașina se mișcă rectiliniu și uniform, forța care o mișcă este constantă ca mărime și direcție, iar ecuația (130) devine

(131)

Deci, ecuația (131) în acest caz descrie mișcarea accelerată a corpului. Cu ce ​​este egală forța? Cum să-și exprime schimbarea în timp? Matematicienii preferă să ocolească această întrebare și să o lase în seama inginerilor, crezând că trebuie să caute răspunsul la această întrebare. Inginerilor le mai rămâne o singură opțiune - să țină cont de faptul că, dacă, după finalizarea mișcării accelerate a corpului, începe o fază de mișcare uniformă, care este însoțită de acțiunea unei forțe constante, prezentăm ecuația (131) pentru momentul de tranziție de la mișcarea accelerată la cea uniformă în această formă

(132)

Săgeata din această ecuație nu înseamnă rezultatul integrării acestei ecuații, ci procesul de trecere de la forma sa integrală la o formă simplificată. Forța din această ecuație este echivalentă cu forța medie care a schimbat impulsul corpului de la zero la o valoare finală. Așadar, dragi matematicieni și fizicieni teoreticieni, absența metodei voastre pentru determinarea mărimii impulsului vostru ne obligă să simplificăm procedura de determinare a forței, iar absența unei metode pentru determinarea timpului de acțiune a acestei forțe ne pune în general într-un poziție fără speranță și suntem forțați să folosim o expresie pentru a analiza procesul de schimbare a impulsului unui corp. Rezultatul este că, cu cât forța acționează mai mult, cu atât impulsul ei este mai mare. Acest lucru contrazice în mod clar ideea de lungă durată că, cu cât durata acțiunii sale este mai scurtă, cu atât impulsul de forță este mai mare.

Să acordăm atenție faptului că modificarea impulsului unui punct material (impuls de forță) în timpul mișcării sale accelerate are loc sub acțiunea forței newtoniene și a forțelor de rezistență la mișcare, sub forma unor forțe formate din rezistențe mecanice și forța de inerție. Dar dinamica newtoniană în marea majoritate a problemelor ignoră forța de inerție, iar Mecanodinamica afirmă că o modificare a impulsului unui corp în timpul mișcării sale accelerate are loc din cauza excesului forței newtoniene asupra forțelor de rezistență la mișcare, inclusiv forta de inertie.

Când un corp se mișcă cu mișcare lentă, de exemplu, o mașină cu treapta de viteză oprită, nu există nicio forță newtoniană, iar schimbarea impulsului mașinii are loc datorită excesului de forțe de rezistență la mișcare față de forța de inerție care se mișcă. mașina când se mișcă încet.

Cum putem aduce acum rezultatele acțiunilor matematice „simfonice” notate (128) la curentul principal al relațiilor cauză-efect? Există o singură cale de ieșire - găsirea unei noi definiții a conceptelor „impuls de forță” și „forță de impact”. Pentru a face acest lucru, împărțiți ambele părți ale ecuației (132) la timpul t. Ca rezultat vom avea

. (133)

Să observăm că expresia mV/t este rata de schimbare a impulsului (mV/t) a unui punct sau corp material. Dacă luăm în considerare că V/t este accelerație, atunci mV/t este forța care modifică impulsul corpului. Aceeași dimensiune din stânga și din dreapta semnului egal ne dă dreptul să numim forța F forță de șoc și să o notăm prin simbol, iar impulsul S - un impuls de șoc și să-l notăm cu simbolul. Aceasta conduce la o nouă definiție a forței de impact. Forța de impact care acționează asupra unui punct sau corp material este egală cu raportul dintre modificarea impulsului punctului sau corpului material și momentul acestei schimbări.

Să acordăm o atenție deosebită faptului că doar forța newtoniană participă la formarea impulsului de șoc (134), care a schimbat viteza mașinii de la zero la maxim - , prin urmare ecuația (134) aparține în întregime dinamicii newtoniene. Deoarece este mult mai ușor să determinați mărimea vitezei experimental decât să determinați accelerația, formula (134) este foarte convenabilă pentru calcule.

Acest rezultat neobișnuit rezultă din ecuația (134).

Să acordăm atenție faptului că, conform noilor legi ale mecanodinamicii, generatorul impulsului de forță în timpul mișcării accelerate a unui punct sau corp material este forța newtoniană. Formează accelerația mișcării unui punct sau a unui corp, la care se naște automat o forță inerțială, îndreptată opus forței newtoniene și impactului forța newtoniană trebuie să învingă acțiunea forței inerțiale, prin urmare forța inerțială trebuie reprezentată în echilibrul de forțe pe partea stângă a ecuației (134). Deoarece forța de inerție este egală cu masa punctului sau corpului înmulțită cu decelerația pe care o formează, atunci ecuația (134) devine

(136)

Dragi matematicieni! Vedeți ce formă a luat modelul matematic, descriind impulsul de șoc, care accelerează mișcarea corpului impactat de la viteza zero la V maxim (11). Acum să verificăm activitatea sa în determinarea impulsului de impact, care este egal cu forța de impact care a declanșat a doua unitate de putere a SShG (Fig. 120), și vă vom lăsa cu ecuația dvs. inutilă (132). Pentru a nu complica prezentarea, vom lăsa formula (134) în pace deocamdată și vom folosi formule care dau valori medii ale forțelor. Vezi în ce poziție ai pus un inginer care încearcă să rezolve o anumită problemă.

Să începem cu dinamica newtoniană. Experții au descoperit că a doua unitate de putere s-a ridicat la o înălțime de 14 m. Deoarece s-a ridicat în câmpul gravitațional, la o înălțime de h = 14 m energia sa potențială s-a dovedit a fi egală cu

iar energia cinetică medie a fost egală cu

Orez. 120. Fotografie cu camera turbinelor înainte de dezastru

Din egalitatea energiilor cinetice (138) și potențiale (137), urmează rata medie de creștere a unității de putere (Fig. 121, 122)

Orez. 121. Fotonul camerei turbinelor după dezastru

Conform noilor legi ale mecanodinamicii, creșterea unității de putere a constat din două faze (Fig. 123): prima fază OA - creștere accelerată și a doua fază AB - creștere lentă , , .

Timpul și distanța acțiunii lor sunt aproximativ egale (). Apoi ecuația cinematică a fazei accelerate de ridicare a unității de putere se va scrie după cum urmează:

. (140)

Orez. 122. Vedere a puțului unității de alimentare și a unității de alimentare în sine după dezastru

Legea schimbării ratei de creștere a unității de putere în prima fază are forma

. (141)

Orez. 123. Regularitatea modificărilor vitezei de zbor V a unei unități de putere

Înlocuind timpul din ecuația (140) în ecuația (141), avem

. (142)

Timpul de ridicare a blocului în prima fază este determinat din formula (140)

. (143)

Apoi, timpul total pentru ridicarea unității de putere la o înălțime de 14 m va fi egal cu . Masa unității de putere și a capacului este de 2580 de tone. Conform dinamicii newtoniene, forța care a ridicat unitatea de putere este egală cu

Dragi matematicieni! Urmărim rezultatele matematice simfonice și scriem formula (129), urmând din dinamica newtoniană, pentru a determina pulsul de șoc care a declanșat a 2-a unitate de putere

și puneți o întrebare de bază: cum să determinați durata pulsului de șoc care a declanșat a 2-a unitate de putere????????????

Dragă!!! Amintiți-vă câtă cretă a fost scrisă pe tablă de generații de colegi, învățându-i pe elevi în mod abstru cum să determine impulsul de șoc și nimeni nu a explicat cum să determine durata impulsului de șoc în fiecare caz specific. Veți spune că durata impulsului de șoc este egală cu intervalul de timp al schimbării vitezei unității de putere de la zero la, vom presupune, valoarea maximă de 16,75 m/s (139). Este în formula (143) și este egal cu 0,84 s. Deocamdată suntem de acord cu dumneavoastră și determinăm valoarea medie a impulsului de șoc

Apare imediat întrebarea: de ce magnitudinea impulsului de șoc (146) este mai mică decât forța newtoniană de 50600 de tone? Voi, dragi matematicieni, nu aveți niciun răspuns. Să mergem mai departe.

Conform dinamicii newtoniene, principala forță care a rezistat ascensiunii unității de putere a fost gravitația. Deoarece această forță este direcționată împotriva mișcării unității de putere, ea generează o decelerație care este egală cu accelerația căderii libere. Apoi, forța gravitațională care acționează asupra unității de putere care zboară în sus este egală cu

Dinamica lui Newton nu ține cont de alte forțe care au împiedicat acțiunea forței newtoniene de 50.600 de tone (144), iar mecanodinamica afirmă că ridicarea unității de putere a fost rezistată și de o forță inerțială egală cu

Apare imediat întrebarea: cum să găsiți cantitatea de decelerare în mișcarea unității de putere? Dinamica newtoniană este tăcută, dar mecanodinamica răspunde: în momentul acțiunii forței newtoniene, care a ridicat unitatea de putere, i-au rezistat: forța de gravitație și forța de inerție, deci ecuația forțelor care acționează asupra puterii. unitate în acel moment se scrie după cum urmează.

Cantitatea de mișcare este o măsură a mișcării mecanice, dacă mișcarea mecanică se transformă în mecanică. De exemplu, mișcarea mecanică a unei mingi de biliard (Fig. 22) înainte de impact se transformă în mișcare mecanică a bilelor după impact. Pentru un punct, impulsul este egal cu produsul .

Măsura forței în acest caz este impulsul forței

. (9.1)

Momentul determină acțiunea forței După o perioadă de timp . Pentru un punct material, teorema privind modificarea impulsului poate fi utilizată sub formă diferențială
(9.2) sau formă integrală (finită).
. (9.3)

Modificarea impulsului unui punct material într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul tuturor forțelor aplicate punctului în același timp.

Figura 22

La rezolvarea problemelor, teorema (9.3) este folosită mai des în proiecțiile pe axe de coordonate
;

; (9.4)

.

Folosind teorema privind modificarea impulsului unui punct, este posibil să se rezolve probleme în care un punct sau un corp care se mișcă translațional este acționat de forțe constante sau variabile care depind de timp, iar mărimile date și căutate includ timpul de mișcarea și vitezele la începutul și sfârșitul mișcării. Problemele folosind teorema sunt rezolvate în următoarea succesiune:

1. alege un sistem de coordonate;

2. descrieți toate forțele și reacțiile date (active) care acționează asupra unui punct;

3. scrieți o teoremă despre modificarea impulsului unui punct în proiecții pe axele de coordonate selectate;

4. determinați cantitățile necesare.

EXEMPLUL 12.

Un ciocan care cântărește G=2t cade de la o înălțime h=1m pe piesa de prelucrat în timp t=0,01s și ștampină piesa (Fig. 23). Determinați forța medie de presiune a ciocanului asupra piesei de prelucrat.

Modificarea impulsului unui sistem mecanic într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor forțelor externe care acționează în același timp. Uneori este mai convenabil să folosiți teorema privind modificarea impulsului în proiecția pe axele de coordonate
; (9.8)
. (9.9)

Legea conservării impulsului spune că, în absența forțelor externe, impulsul unui sistem mecanic rămâne constant. Acțiunea forțelor interne nu poate schimba impulsul sistemului. Din ecuația (9.6) este clar că atunci când
,
.

Dacă
, Acea
sau
.

D

elice sau elice, propulsie cu reacție. Calamarii se mișcă smucituri, aruncând apă din sacul muscular ca un tun cu apă (Fig. 25). Apa respinsă are o anumită mișcare îndreptată înapoi. Calamarul primește viteza corespunzătoare mișcarea înainte datorită forței reactive de tracțiune , din moment ce înainte ca calmarul să sară din forță echilibrat de gravitaţie .

Aplicarea teoremei asupra schimbării impulsului ne permite să excludem toate forțele interne din considerare.

EXEMPLUL 13.

Un troliu A cu un tambur cu raza r este instalat pe o platformă feroviară de sine stătătoare pe șine (Fig. 26). Troliul este proiectat să deplaseze o sarcină B cu o masă m 1 de-a lungul platformei. Greutatea platformei cu troliu m 2. Tamburul troliului se rotește conform legii
. La momentul inițial, sistemul era mobil. Neglijând frecarea, găsiți legea schimbării vitezei platformei după pornirea troliului.

R SOLUŢIE.

1. Considerați platforma, troliul și sarcina ca un singur sistem mecanic, asupra căruia sunt acționate forțe externe: gravitația sarcinii și platforme și reacții Și
.

2. Deoarece toate forțele externe sunt perpendiculare pe axa x, adică.
, aplicăm legea conservării impulsului unui sistem mecanic în proiecție pe axa x:
. La momentul inițial, sistemul era nemișcat, prin urmare,

Să exprimăm cantitatea de mișcare a sistemului la un moment arbitrar în timp. Platforma se deplasează înainte cu o viteză , sarcina suferă o mișcare complexă constând în deplasare relativă de-a lungul platformei cu o viteză și mișcare portabilă împreună cu platforma în viteză ., Unde
. Platforma se va deplasa în direcția opusă mișcării relative a încărcăturii.

EXEMPLUL 14.

Unde ,
-- cantitatea de mișcare a plăcii și respectiv a sarcinii.

;
, Unde --viteza absolută a sarcinii D. Din egalitatea (1) rezultă că K 1x + K 2x =C 1 sau m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. (2) Pentru a determina V Dx, considerați mișcarea sarcinii D ca fiind complexă, luând în considerare mișcarea ei în raport cu placa relativă și mișcarea plăcii în sine portabilă, atunci
, (3)
;sau în proiecție pe axa x: . (4) Să înlocuim (4) în (2):
. (5) Determinăm constanta de integrare C 1 din condiţiile iniţiale: la t=0 u=u 0 ; (m1 +m2)u0 =C1. (6) Înlocuind valoarea constantei C 1 în ecuația (5), obținem

Domnișoară.