Elemente ale teoriei determinanților și matricelor. Rezumat: Teoria Matricelor și Determinanților

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Elemente de teoria determinantilor

Un determinant este un număr scris sub forma unui tabel pătrat de numere, calculat după anumite reguli.

De exemplu, fiecare dintre tabelele (1.1) constă dintr-un număr egal de rânduri și coloane și reprezintă un număr, regulile de calcul pentru care vor fi discutate mai jos.

Numărul de rânduri și coloane determină ordinea determinantului. Astfel, determinantul 1.1a) este de ordinul al treilea, determinantul 1.1b) este de ordinul doi, 1.1c) este de ordinul întâi. După cum puteți vedea, determinantul de ordinul întâi este numărul însuși.

Parantezele verticale drepte de la marginile mesei sunt semnul și simbolul determinantului. Determinantul este indicat printr-o literă mare a alfabetului grecesc? (delta).

În formă generală, determinantul de ordinul al n-lea se scrie după cum urmează:

Fiecare element A ij determinantul are doi indici: primul indice i indică numărul liniei, al doilea j- numărul coloanei la intersecția căreia se află elementul. Deci pentru elementele determinante 1.1a). A 11 , A 22 , A 23 , A 32 sunt, respectiv, egale cu 2, 5, 4, 3.

Determinantul de ordinul 2 se calculează folosind formula

Determinantul de ordinul 2 este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.

Pentru a calcula determinantul de ordinul 3 se folosesc „metoda triunghiului” și metoda Sarrus. Dar, de obicei, în practică, pentru a calcula determinantul de ordinul 3, se folosește așa-numita metodă de reducere efectivă a ordinii, care va fi discutată mai jos.

Metoda triunghiului

Când se calculează determinantul folosind această metodă, este convenabil să se folosească reprezentarea sa grafică. În fig. 1.1 și 1.2, elementele determinantului de ordinul 3 sunt reprezentate schematic prin puncte.

Orez. 1.1 Fig. 1.2

La calcularea determinantului, produsul elementelor legate prin drepte urmează diagrama din Fig. 1.1, luați cu semnul plus și produsul elementelor conectate conform diagramei din Fig. 1.2, luați cu semnul minus. Ca urmare a acestor acțiuni, formula utilizată pentru calcul ia forma:

Calculați determinantul de ordinul 3.

metoda Sarrus

Pentru a o implementa, trebuie să atribuiți primele două coloane din dreapta determinantului, să compuneți produsele elementelor situate pe diagonala principală și pe linii paralele cu acesta și să le luați cu un semn plus. Compune apoi produsele elementelor situate pe diagonala laterală și paralele cu aceasta cu semnul minus.

Schema de calcul a determinantului folosind metoda Sarrus.

Calculați determinantul dat în exemplul 1.2 folosind metoda Sarrus.

Complementul minor și algebric al elementului determinant

Minor M ij element A ij se numește determinant ( n-1) -al-lea ordin obţinut din determinant n-a ordin prin tăiere i-a linia și j a-a coloană (adică prin tăierea rândului și coloanei la intersecția cărora se află elementul A ij).

Găsiți elementul minor A 23 Și A 34 determinant de ordinul al 4-lea.

Element A 23 este pe al 2-lea rând și pe a 3-a coloană. În acest exemplu A 23 =4. Tăiind rândul 2 și coloana a 3-a la intersecția acestui element (prezentat în scopuri metodologice prin linii punctate verticale și orizontale), obținem M 23 minor al acestui element. Acesta va fi deja un determinant de ordinul 3.

La calcularea minorilor, operația de tăiere a unui rând și a unei coloane se realizează mental. După ce am făcut asta, obținem

Complement algebric A ij element A ij determinant n Ordinul al treilea este minorul acestui element, luat cu semnul (-1) i + j, Unde i+ j- suma numerelor rândurilor și coloanelor căreia îi aparține elementul A ij. Acestea. a-prioriu A ij=(-1) i + jM ij

Este clar că dacă suma i+ j- atunci numărul este par A ij=M ij, Dacă i+ j- atunci numărul este impar A ij= - M ij.

Pentru determinant, găsiți complementele algebrice ale elementelor A 23 Și A 31 .

Pentru element A 23 i=2, j=3 și i+ j=5 este un număr impar, prin urmare

Pentru element A 31 i=3, j=1 și i+ j=4 este un număr par, ceea ce înseamnă

Proprietățile determinanților

1. Dacă oricare două rânduri paralele (două rânduri sau două coloane) sunt schimbate în determinant, semnul determinantului se schimbă în opus

Schimbați 2 coloane paralele (prima și a doua).

Schimbați 2 linii paralele (prima și a treia).

2. Factorul comun al elementelor oricărui rând (rând sau coloană) poate fi scos din semnul determinant.

Proprietățile unui determinant fiind egale cu zero

3. Dacă toate elementele unei anumite serii dintr-un determinant sunt egale cu zero, un astfel de determinant este egal cu zero.

4. Dacă într-un determinant elementele oricărei serii sunt proporţionale cu elementele unei serii paralele, determinantul este egal cu zero.

Proprietăți de invarianță (imuabilitate) ale determinantului.

5. Dacă rândurile și coloanele din determinant sunt schimbate, determinantul nu se va schimba.

6. Determinantul nu se va schimba dacă elementele oricărei serie paralele sunt adăugate elementelor oricărei serii, înmulțind mai întâi cu un anumit număr.

Proprietatea 6 este utilizată pe scară largă în calcularea determinanților folosind așa-numita metodă de reducere a ordinii efective. La aplicarea acestei metode, este necesar să aduceți toate elementele cu excepția unu la zero pe un rând (un rând sau coloană). Un element diferit de zero al determinantului va fi egal cu zero dacă este adăugat la un număr de mărime egală, dar semn opus.

Să arătăm cu un exemplu cum se face acest lucru.

Folosind proprietățile 2 și 6, reduceți determinantul la un determinant care are două zerouri în orice rând.

Folosind proprietatea 2, simplificăm determinantul eliminând 2 din primul rând, 4 din al 2-lea rând și 2 din al 3-lea rând ca factori comuni.

Deoarece element A 22 este egal cu zero, atunci pentru a rezolva problema este suficient să reduceți la zero orice element din rândul 2 sau coloana a 2-a. Există mai multe moduri de a face acest lucru.

De exemplu, să luăm elementul A 21 =2 la zero. Pentru a face acest lucru, pe baza proprietății 6, înmulțiți întreaga a treia coloană cu (-2) și adăugați-o la prima. După ce am efectuat această operație, obținem

Este posibil să anulați un element A 12 =2, atunci vom obține două elemente egale cu zero în a doua coloană. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți a treia linie cu (-2) și să adăugați valorile rezultate la prima linie.

Calculul determinantului oricărei ordine

Regula pentru calcularea determinantului oricărei ordine se bazează pe teorema lui Laplace.

teorema lui Laplace

Determinantul este egal cu suma produselor perechi ale elementelor oricărui rând (rând sau coloană) prin complementele lor algebrice.

Conform acestei teoreme, determinantul poate fi calculat prin descompunerea lui fie peste elementele oricărui rând, fie al oricărei coloane.

În general, determinantul de ordin al n-lea poate fi extins și calculat în următoarele moduri:

Calculați determinantul folosind teorema lui Laplace descompunându-l în elementele rândului 3 și elementele coloanei 1.

Calculăm determinantul extinzându-l de-a lungul liniei a 3-a

Să calculăm determinantul extinzându-l peste prima coloană

Metodă eficientă de reducere a comenzilor

Complexitatea calculării determinantului folosind teorema lui Laplace va fi semnificativ mai mică dacă există un singur termen în expansiunea sa fie într-un rând, fie într-o coloană. O astfel de expansiune se va obține dacă în rândul (sau coloana) de-a lungul căreia este extins determinantul, toate elementele cu excepția unuia sunt egale cu zero. Metoda „reducerii la zero” a elementelor determinantului a fost discutată mai devreme.

Calculați determinantul folosind metoda reducerii efective a comenzii.

Deoarece determinant de ordinul 3, apoi „zero” oricare 2 elemente ale determinantului. În acest scop, este convenabil să luați a doua coloană, al cărei element A 22 = - 1. Pentru ca elementul A 21 a fost egal cu zero, prima coloană trebuie adăugată la a doua. Pentru ca elementul A 23 a fost egal cu zero, trebuie să înmulțiți a doua coloană cu 2 și să o adăugați la a treia. După efectuarea acestor operații, determinantul dat este convertit în determinant

Acum extindem acest determinant de-a lungul liniei a 2-a

Calculul determinantuluităind-o într-o formă triunghiulară

Un determinant pentru care toate elementele de deasupra sau dedesubtul diagonalei principale sunt egale cu zero se numește determinant triunghiular. În acest caz, determinantul este egal cu produsul elementelor sale din diagonala principală.

Reducerea determinantului la formă triunghiulară este întotdeauna posibilă pe baza proprietăților sale.

Este dat un determinant. Reduceți-l la formă triunghiulară și calculați.

Să „eliminăm zero”, de exemplu, toate elementele situate deasupra diagonalei principale. Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuați trei operații: prima operație - adăugați prima linie cu ultima, obținem A 13 = 0. A 2-a operație - înmulțind ultima linie cu (-2) și adunând cu a 2-a, obținem A 23 = 0. Execuția secvențială a acestor operații este prezentată mai jos.

Pentru a reseta un element A 12 adăugați rândurile 1 și 2

Elemente de teoria matricelor

O matrice este un tabel de numere sau orice alte elemente care conțin m linii şi n coloane.

Vedere generală a matricei

Matricea, ca și determinantul, are elemente echipate cu un indice dublu. Semnificația indicilor este aceeași ca și pentru determinanți.

Dacă determinantul este egal cu un număr, atunci matricea nu este echivalată cu niciun alt obiect mai simplu.

Parantezele de pe laturile matricei sunt semnul sau simbolul acesteia (dar nu parantezele drepte care denotă determinantul). Pentru concizie, matricea este indicată cu majuscule A, B, C etc.

O matrice are o dimensiune care este determinată de numărul său de rânduri și coloane, care este scrisă ca - A m n.

De exemplu, o matrice numerică de dimensiunea 23 are forma, dimensiunea 31 are forma, dimensiunea 14 are forma etc.

O matrice în care numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane se numește pătrat. În acest caz, în ceea ce privește determinanții, vorbim despre ordinea matricei.

De exemplu, o matrice numerică de ordinul 3 are forma

Tipuri de matrice

O matrice formată dintr-un rând se numește matrice de rând

O matrice formată dintr-o coloană se numește matrice coloană

Matricea se numește pătrat n-a ordinul dacă numărul rândurilor sale este egal cu numărul de coloane și este egal cu n.

De exemplu, o matrice pătrată de ordinul 3.

O matrice diagonală este o matrice pătrată în care toate elementele sunt zero, cu excepția celor de pe diagonala principală. Diagonala principală este diagonala care merge din colțul din stânga sus până în colțul din dreapta jos.

De exemplu, o matrice diagonală de ordinul trei.

O matrice diagonală, ale cărei toate elementele sunt egale cu unul, se numește identitate și se notează cu literă E sau numărul 1

O matrice nulă este o matrice în care toate elementele sunt egale cu zero.

O matrice triunghiulară superioară este o matrice în care toate elementele situate sub diagonala principală sunt egale cu zero.

O matrice triunghiulară inferioară este o matrice în care toate elementele situate deasupra diagonalei principale sunt egale cu zero.

De exemplu

Matricea triunghiulară superioară

Matricea triunghiulară inferioară

Dacă în matrice A schimbând rândurile cu coloane, obținem o matrice transpusă, care este notă cu simbolul A*.

De exemplu, având în vedere o matrice,

matrice transpusă în raport cu acesta A*

Matrice pătrată A are un determinant, care se notează prin det A(det este un cuvânt francez prescurtat pentru „determinator”).

De exemplu, pentru matrice A

notăm determinantul acestuia

Toate operațiile cu determinantul unei matrice sunt aceleași ca cele discutate mai devreme.

O matrice al cărei determinant este egal cu zero se numește specială, sau degenerată sau singulară. O matrice pentru care determinantul său nu este egal cu zero se numește nesingular sau nesingular.

Unire sau matrice anexată.

Dacă pentru o matrice pătrată dată A determinați complementele algebrice ale tuturor elementelor sale și apoi transpuneți-le, apoi matricea astfel obținută se va numi aliată sau adjunctă matricei Ași este indicată prin simbol A

Pentru o găsire a matricei A.

Compilarea determinantului matricei A

Determinăm complementele algebrice ale tuturor elementelor determinantului folosind formula

Transpunând adunările algebrice rezultate, obținem matricea aliată sau adiacentă Aîn raport cu o matrice dată A.

Acțiuni asupra matricelor

Egalitatea matricei

Două matrice AȘi ÎN sunt considerate egale dacă:

a) ambele au aceeași dimensiune;

b) elementele corespunzătoare acestor matrici sunt egale între ele. Elementele corespondente sunt elemente cu aceiași indici.

Adunarea și scăderea matricelor

Puteți adăuga și scădea doar matrici de aceeași dimensiune. Suma (diferența) a două matrici AȘi ÎN va exista o a treia matrice CU, ale căror elemente CU ij egală cu suma (diferența) elementelor matricei corespunzătoare AȘi ÎN. Conform definiției, elementele matricei CU sunt conform regulii.

De exemplu, dacă

Conceptul de sumă (diferență) de matrice se extinde la orice număr finit de matrice. În acest caz, suma matricelor respectă următoarele legi:

a) comutativă A + B = B + A;

b) asociativ CU + (A + B) = (B + C)+ A.

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Pentru a înmulți o matrice cu un număr, trebuie să înmulțiți fiecare element al matricei cu acel număr.

Consecinţă. Factorul comun al tuturor elementelor matricei poate fi scos din semnul matricei.

De exemplu, .

După cum puteți vedea, acțiunile de adunare, scădere a matricelor și înmulțire a unei matrice cu un număr sunt similare cu acțiunile asupra numerelor. Înmulțirea matricelor este o operație specifică.

Produsul a două matrice.

Nu toate matricele pot fi multiplicate. Produsul a două matrice AȘi ÎNîn ordinea enumerată A ÎN posibil numai atunci când numărul de coloane al primului factor A egal cu numărul de rânduri ale celui de-al doilea factor ÎN.

De exemplu, .

Dimensiunea matricei A 33, dimensiunea matricei ÎN 23. Munca A ÎN imposibil, munca ÎN A Pot fi.

Produsul a două matrice A și B este a treia matrice C, al cărei element C ij este egal cu suma produselor perechi ale elementelor rândului i al primului factor și coloanei j a celui de-al doilea. factor.

S-a demonstrat că în acest caz produsul matricelor este posibil ÎN A

Din regula existenței produsului a două matrici rezultă că produsul a două matrice în cazul general nu se supune legii comutative, i.e. A ÎN? ÎN A. Dacă într-un anumit caz se dovedește că A B = B A, atunci astfel de matrici se numesc permutabile sau comutative.

În algebra matriceală, produsul a două matrice poate fi o matrice zero chiar și atunci când niciuna dintre matricele factorilor nu este zero, spre deosebire de algebra obișnuită.

De exemplu, să găsim produsul matricelor A ÎN, Dacă

Puteți înmulți mai multe matrice. Dacă poți înmulți matrice A, ÎN iar produsul acestor matrici poate fi înmulțit cu matricea CU, atunci este posibil să compune produsul ( A ÎN) CUȘi A(ÎN CU). În acest caz are loc legea combinațională privind înmulțirea ( A ÎN) CU = A(ÎN CU).

matrice inversă

Dacă două matrice AȘi ÎN aceeași dimensiune și produsul lor A ÎN este matricea de identitate E, atunci matricea B se numește inversa lui A și se notează A -1 , adică A A -1 = E.

matrice inversă A -1 egal cu raportul matricei de unire A la determinantul matricei A

Din aceasta rezultă clar că pentru ca matricea inversă să existe A -1 este necesar si suficient ca matricea det A? 0, adică astfel încât matricea A a fost nedegenerat.

Pentru o găsire a matricei A -1 .

Determinarea valorii determinantului matricei A

Deoarece det A? 0, matricea inversă există. În exemplul 2.1. pentru un determinat determinant s-a găsit matricea aliată

A-prioriu

Rangul matricei

Pentru rezolvarea și studierea unui număr de probleme matematice și aplicate, conceptul de rang matriceal este important.

Luați în considerare matricea A mărimea m n

Selectați aleatoriu în matrice Ak linii şi k coloane. Elementele situate la intersecția rândurilor și coloanelor selectate formează o matrice pătrată k- din acea ordine. Determinantul acestei matrice se numește minor k-ordinea matricei A. Selectati k linii şi k coloanele pot fi folosite în moduri diferite, rezultând minori diferiți k- din acea ordine. Minorii de ordinul 1 sunt elementele în sine. Evident, cea mai mare ordine posibilă de minori este egală cu cea mai mică dintre numere mȘi n. Printre minorii formați de diferite ordine vor fi cei egali cu zero și nu egali cu zero.

Cel mai înalt ordin al minorilor cu matrice diferită de zero A se numește rangul matricei.

Rangul matricei A notată prin rang A sau r( A).

Dacă rangul matricei A egală r, atunci aceasta înseamnă că matricea are un minor de ordin diferit de zero r, dar fiecare minor este de ordin mai mare decât r egal cu zero.

Din definiția rangului matricei rezultă că:

a) rangul matricei A m n nu depășește cea mai mică dintre dimensiunile sale, adică r(A) ? min(m, n);

b) r(A) = 0 dacă și numai dacă toate elementele matricei sunt egale cu zero, i.e. A = 0;

c) pentru o matrice pătrată n-a ordine r(A) = n, dacă matricea este nesingulară.

Să ne uităm la un exemplu de determinare a rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor. Esența sa constă în enumerarea secvenţială a minorilor matricei și găsirea minorului de ordinul cel mai înalt, diferit de zero.

Calculați rangul matricei.

Pentru matrice A 3 4 r(A) ? min (3,4) = 3. Să verificăm dacă rangul matricei este egal cu 3, pentru a face acest lucru, calculăm toți minorii de ordinul trei (sunt doar 4, se obțin prin ștergerea unuia); a coloanelor matricei).

Deoarece toți minorii de ordinul trei sunt zero, r(A) ? 2. Deoarece există un zero minor de ordinul doi, de exemplu

Acea r(A) = 2.

Orice minor diferit de zero al unei matrice a cărei ordine este egală cu rangul său se numește o bază minoră a acestei matrice.

O matrice poate avea mai multe baze minore, dar mai multe. Cu toate acestea, ordinele tuturor minorilor de bază sunt aceleași și egale cu rangul matricei.

Rândurile și coloanele care formează o bază minoră se numesc bază.

Fiecare rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a rândurilor de bază (coloane).

Documente similare

Conceptul și esența determinanților de ordinul doi. Considerarea elementelor de bază ale unui sistem de două ecuații liniare în două necunoscute. Studiul determinanților de ordin al n-lea și metodele de calcul a acestora. Caracteristicile unui sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute.

prezentare, adaugat 14.11.2014


Determinanți de ordinul doi și trei. Permutări și substituții. Minori și complemente algebrice. Aplicarea metodelor de reducere a determinantului la formă triunghiulară, reprezentarea determinantului ca sumă de determinanți și izolarea factorilor liniari.

lucrare curs, adaugat 19.07.2013


Conceptul de matrice și acțiuni liniare asupra acestora. Proprietățile operației de adunare a matricei. Determinanți ai ordinului al doilea și al treilea. Aplicarea regulii lui Sarrus. Metode de bază pentru rezolvarea determinanților. Transformări matrice elementare. Proprietățile unei matrice inverse.

tutorial, adăugat 03/04/2010


Probleme și metode de algebră liniară. Proprietățile determinanților și ordinea calculului lor. Găsirea matricei inverse folosind metoda Gaussiană. Dezvoltarea unui algoritm de calcul în programul Pascal ABC pentru calcularea determinanților și găsirea matricei inverse.

lucrare curs, adăugată 02/01/2013


Conceptul și scopul determinanților, caracteristicile generale ale acestora, metodele și proprietățile de calcul. Algebră matriceală. Sisteme de ecuații liniare și soluția lor. Algebra vectorială, legile și principiile ei. Proprietăți și aplicații ale unui produs încrucișat.

test, adaugat 01.04.2012


Elemente de algebră liniară. Tipuri de matrice și operații asupra acestora. Proprietățile determinanților matricei și calculul acestora. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare sub formă de matrice folosind formulele lui Cramer și metoda lui Gauss. Elemente de calcul diferenţial şi integral.

tutorial, adăugat 11/06/2011


Un număr care caracterizează o matrice pătrată. Calculul determinantului primului și al doilea ordin al unei matrice. Folosind regula triunghiului. Complement algebric al unui element al determinantului. Rearanjarea a două rânduri sau coloane ale unui determinant.

prezentare, adaugat 21.09.2013


Conceptul de rang de matrice. Modelul Leontief al unei economii diversificate. Proprietățile produsului scalar. Descompunerea unui vector de-a lungul axelor de coordonate. Complement minor și algebric. Determinanți de ordinul doi și trei. Linie plană și dreaptă în spațiu.

curs de prelegeri, adăugat 30.10.2013


Teoria determinanților în lucrările lui P. Laplace, O. Cauchy și C. Jacobi. Determinanți de ordinul doi și sisteme de două ecuații liniare în două necunoscute. Determinanți de ordinul trei și proprietăți ale determinanților. Rezolvarea unui sistem de ecuații folosind regula lui Cramer.

prezentare, adaugat 31.10.2016


Determinanți de ordinul doi și trei, proprietăți ale determinanților. Două moduri de a calcula determinantul de ordinul trei. Teorema de descompunere. Teorema lui Cramer, care oferă o modalitate practică de a rezolva sisteme de ecuații liniare folosind determinanți.

Determinanți de ordinul doi și trei.

Se numesc numerele m și n dimensiuni matrici.

Matricea se numește pătrat, dacă m = n. Numărul n în acest caz este numit în ordine matrice pătrată.

Fiecare matrice pătrată poate fi asociată cu un număr care este determinat în mod unic folosind toate elementele matricei. Acest număr se numește determinant.

Determinant de ordinul doi este un număr obţinut folosind elementele unei matrice pătrate de ordinul 2 astfel: .

În acest caz, din produsul elementelor situate pe așa-numita diagonală principală a matricei (mergând din colțul din stânga sus în colțul din dreapta jos), se scade produsul elementelor situate pe a doua diagonală sau secundară. .

Determinant de ordinul trei este un număr determinat folosind elementele unei matrice pătrate de ordinul 3, după cum urmează:

Cometariu. Pentru a vă ajuta să vă amintiți mai ușor această formulă, puteți utiliza așa-numita regulă Cramer (a triunghiurilor). Este astfel: elementele ale căror produse sunt incluse în determinantul cu semnul „+” sunt dispuse astfel:

Formând două triunghiuri, simetrice față de diagonala principală. Elementele ale căror produse sunt incluse în determinantul cu semnul „-” sunt situate într-un mod similar față de diagonala secundară:

14. Determinanți ai ordinului al-lea. (determinanți de ordin superior)

Determinant n ordinul corespunzător matricei n'n, numarul se numeste:

Metode de bază pentru calcularea determinanților:

1) Metoda de reducere a comenzii Determinantul se bazează pe relația: (1)

Unde se numește complement algebric al elementului al-lea. Minor al-lea element se numește determinant n-1 ordine, obținută din determinantul inițial prin ștergere i-acea linie și j a coloana.

Relația (1) se numește expansiunea determinantului în i- acea linie. În mod similar, putem scrie expansiunea determinantului de-a lungul unei coloane:

Teorema: Pentru orice matrice pătrată, egalitatea este valabilă ,

unde și este simbolul Kronecker

2) Metoda de reducere la formă triunghiulară pe baza proprietății a șaptea a determinanților.

Exemplu: Calculați determinantul: Scădeți prima linie din toate celelalte.

3) Metoda relației de recurență permite exprimarea unui determinat determinant printr-un determinant de același tip, dar de ordin inferior.

Permutări, inversiuni.

Orice aranjament de numere 1, 2, ..., nîntr-o anumită ordine specifică, numită rearanjare din n caractere (numere).

Vedere generală a permutării: .

Niciuna dintre ele nu apare de două ori într-o permutare.

Permutarea se numește chiar , dacă elementele sale alcătuiesc un număr par de inversiuni și ciudat in caz contrar.

Numerele k și p din permutare sunt inversare (tulburare), dacă k > p, dar k vine înaintea p în această permutare.

Trei proprietăți ale permutărilor.

Proprietatea 1: Numărul de permutări diferite este egal cu ( , se citește: „ n factorial").

Dovada. Numărul de permutări coincide cu numărul de moduri în care pot fi compuse diferite permutări. La alcătuirea permutărilor ca j 1 poți lua oricare dintre numerele 1, 2, ..., n, ce dă n oportunități. Dacă j 1 este deja selectat, apoi ca j 2 poti lua una dintre cele ramase n– 1 numere și numărul de moduri pe care le puteți alege j 1 și j 2 va fi egal etc. Ultimul număr din permutare poate fi ales doar într-un singur mod, ceea ce dă moduri și, prin urmare, permutări.

Proprietatea 2: Fiecare transpunere schimbă paritatea permutării.

Dovada.Cazul 1. Numerele transpuse sunt plasate una lângă alta într-o permutare, adică. arată ca (..., k,p, ...), aici punctele de suspensie (...) marchează numere care rămân la locul lor în timpul transpunerii. Transpunerea o transformă într-o permutare a formei (..., p, k,...). În aceste permutări, fiecare dintre numere k,R face aceleași inversiuni cu numerele rămase pe loc. Dacă numerele kȘi p nu au compilat anterior inversiuni (de ex. k < R), apoi o altă inversiune va apărea în noua permutare și numărul de inversiuni va crește cu una; dacă kȘi R a constituit o inversiune, apoi dupa transpunere numarul de inversiuni va scadea cu una. În orice caz, paritatea permutării se modifică.

Proprietatea 3: Când este rearanjat, determinantul își schimbă semnul.

17. Proprietățile determinanților: determinant al unei matrice transpuse, schimbul de rânduri în determinant, determinant al unei matrice cu rânduri identice.

Proprietatea 1. Determinantul nu se modifică în timpul transpunerii, adică.

Dovada.

Cometariu. Următoarele proprietăți ale determinanților vor fi formulate numai pentru șiruri. Mai mult, din proprietatea 1 rezultă că coloanele vor avea aceleași proprietăți.

Proprietatea 6. La rearanjarea a două rânduri ale unui determinant, acesta se înmulțește cu –1.

Dovada.

Proprietatea 4. Determinantul care are două șiruri egale este 0:

Dovada:

18. Proprietățile determinanților: descompunerea unui determinant într-un șir.

Minor elementul unui determinant este un determinant obținut dintr-un element dat prin tăierea rândului și coloanei în care apare elementul selectat.

Denumire: elementul selectat al determinantului, minorul acestuia.

Exemplu. Pentru

Complement algebric elementul determinantului se numește minor al acestuia dacă suma indicilor acestui element i+j este un număr par, sau numărul opus minorului dacă i+j este impar, adică.

Să luăm în considerare o altă modalitate de a calcula determinanții de ordinul trei - așa-numita extindere a rândurilor sau coloanelor. Pentru a face acest lucru, demonstrăm următoarea teoremă:

Teorema: Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricăruia dintre rândurile sau coloanele sale și complementele lor algebrice, adică: unde i=1,2,3.

Dovada.

Să demonstrăm teorema pentru primul rând al determinantului, deoarece pentru orice alt rând sau coloană putem efectua raționamente similare și obținem același rezultat.

Să găsim complemente algebrice la elementele primului rând:

Puteți dovedi singur această proprietate comparând valorile părților stânga și dreaptă ale egalității găsite folosind Definiția 1.5.

Scoala Gimnaziala nr 45.

Orașul Moscova.

Elev din clasa a X-a „B” Gorokhov Evgeniy

Lucrări de curs (schiță).

Introducere în teoria matricelor și determinanților .

1996

1. Matrici.

1.1 Conceptul de matrice.

Matrice este un tabel dreptunghiular de numere care conține o anumită cantitate m linii și un anumit număr n coloane. Numerele m Și n sunt numite Comenzi matrici. Dacă m = n , matricea se numește pătrat, iar numărul m = n - a ei în ordine .

1.2 Operații de bază pe matrice.

Operațiile aritmetice de bază pe matrice sunt înmulțirea unei matrice cu un număr, adăugarea și înmulțirea matricelor.

Să trecem la definirea operațiilor de bază pe matrice.

Adăugarea matricei : Suma a două matrici, de exemplu: A Și B , având același număr de rânduri și coloane, cu alte cuvinte, aceleași ordine m Și n numită matrice C = ( CU ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, … n) aceleași ordine m Și n , elemente Cij care sunt egale.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Pentru a desemna suma a două matrice, se folosește notația C = A + B. Operația de însumare a matricelor se numește lor plus

Deci prin definiție avem:

+ =

=

Din definiția sumei matricelor, sau mai precis din formula ( 1.2 ) rezultă imediat că operația de adunare a matricelor are aceleași proprietăți ca și operația de adunare a numerelor reale și anume:

comutativitate: A + B = B + A

proprietăți combinate: (A + B) + C = A + (B + C)

Aceste proprietăți fac posibil să nu vă faceți griji cu privire la ordinea termenilor matricei atunci când adăugați două sau mai multe matrice.

Înmulțirea unei matrice cu un număr :

Produs Matrix la un număr real numită matrice C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , ale căror elemente sunt egale

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Pentru a desemna produsul dintre o matrice și un număr, se folosește notația C= A sau C=A . Operația de alcătuire a produsului unei matrice cu un număr se numește înmulțirea matricei cu acest număr.

Direct din formula ( 1.3 ) este clar că înmulțirea unei matrice cu un număr are următoarele proprietăți:

proprietate distributivă privind suma matricelor:

( A + B) = A+ B

proprietate asociativă privind un factor numeric:

( ) A= ( A)

proprietatea distributivă a sumei numerelor:

( + ) A= A + A .

cometariu : Diferența a două matrice A Și B de ordine identice este firesc să numim o astfel de matrice C de aceleasi ordine, care in suma cu matricea B dă matricea A . Pentru a indica diferența dintre două matrici, se folosește o notație naturală: C = A – B.

Înmulțirea matricei :

Produs Matrix A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , având ordinele respectiv egale m Și n , pe matrice B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , având ordinele respectiv egale n Și p , se numește matrice C= (CU ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , având ordine egale în mod corespunzător m Și p , și elemente Cij , definit prin formula

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Pentru a desemna produsul unei matrice A la matrice B utilizați înregistrarea

C=AB . Operația de alcătuire a unui produs matrice A la matrice B numit multiplicare aceste matrici. Din definiţia formulată mai sus rezultă că matrice A nu poate fi înmulțit cu nicio matrice B : este necesar ca numărul coloanelor matricei A a fost egală numărul de rânduri ale matricei B . Pentru ambele lucrări AB Și B.A. nu numai că au fost definite, dar au și avut aceeași ordine, este necesar și suficient ca ambele matrice A Și B au fost matrici pătrate de același ordin.

Formulă ( 1.4 ) reprezintă regula pentru alcătuirea elementelor matriceale C ,

care este produsul matricei A la matrice B . Această regulă poate fi formulată verbal: Element Cij , stând la intersecție i a linia și j- coloana a matricei C=AB , este egal suma produselor perechi ale elementelor corespondente i a linia matrici A Și j- coloana a matricei B . Ca exemplu de aplicare a acestei reguli, prezentăm formula de înmulțire a matricelor pătrate de ordinul doi

=

Din formula ( 1.4 ) urmează următoarele proprietăți ale produsului matrice: A la matrice B :

Proprietate asociativă: ( AB) C = A(BC);

proprietate distributivă în raport cu suma matricelor:

(A + B) C = AC + BC sau A (B + C) = AB + AC.

Este logic să ridicăm problema proprietății de permutare a unui produs de matrici numai pentru matrici pătrate de același ordin. Exemplele elementare arată că produsele a două matrice pătrate de același ordin nu au, în general, proprietatea de comutație. De fapt, dacă punem

A= , B = , Acea AB = , A BA =

Sunt de obicei numite aceleași matrice pentru care produsul are proprietatea de comutație naveta.

Dintre matricele pătrate, evidențiem clasa așa-numitelor diagonală matrici, fiecare dintre acestea având elemente situate în afara diagonalei principale egale cu zero. Dintre toate matricele diagonale cu elemente care coincid pe diagonala principală, două matrice joacă un rol deosebit de important. Prima dintre aceste matrice se obține atunci când toate elementele diagonalei principale sunt egale cu unul și se numește matrice de identitate n- E . A doua matrice se obține cu toate elementele egale cu zero și se numește matrice zero n- ordine și este notat cu simbolul O . Să presupunem că există o matrice arbitrară A , Apoi

AE=EA=A , AO=OA=O .

Prima dintre formule caracterizează rolul deosebit al matricei identitare E , asemănător cu rolul jucat de număr 1 la înmulțirea numerelor reale. Cât despre rolul special al matricei zero DESPRE , atunci este relevat nu numai de a doua dintre formule, ci și de o egalitate elementară verificabilă: A+O=O+A=A . Conceptul de matrice zero poate fi introdus nu pentru matrice pătrată.

2. Determinanți.

2.1 Conceptul de determinant.

În primul rând, trebuie să rețineți că determinanții există doar pentru matrice de tip pătrat, deoarece nu există determinanți pentru matrice de alte tipuri. În teoria sistemelor de ecuații liniare și în alte probleme, este convenabil să se utilizeze conceptul determinant , sau determinant .

2.2 Calculul determinanților.

Luați în considerare orice patru numere scrise sub forma unei matrice două în rânduri și fiecare două coloane , Determinant sau determinant , alcătuit din numerele din acest tabel, este numărul ad-bc , notată după cum urmează: . Un astfel de determinant se numește determinant de ordinul doi , deoarece a fost luat un tabel de două rânduri și două coloane pentru al compila. Numerele care alcătuiesc determinantul se numesc al său elemente ; în acelaşi timp ei spun că elementele A Și d inventa diagonala principală determinant și elemente b Și c a lui diagonală laterală . Se poate observa că determinantul este egal cu diferența produselor perechilor de elemente situate pe diagonalele sale principale și secundare. Determinantul celui de-al treilea și al oricărei alte ordini este aproximativ același, și anume: Să presupunem că avem o matrice pătrată . Determinantul următoarei matrice este următoarea expresie: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . După cum puteți vedea, se calculează destul de ușor dacă vă amintiți o anumită secvență. Cu semn pozitiv sunt diagonala principală și triunghiurile formate din elemente, care au o latură paralelă cu diagonala principală, în acest caz acestea sunt triunghiuri a12a23a31 , a13a21a32 .

Diagonala laterală și triunghiurile paralele cu aceasta au semn negativ, adică. a11a23a32, a12a21a33 . În acest fel se pot găsi determinanți ai oricărei ordine. Dar există cazuri când această metodă devine destul de complicată, de exemplu, când există o mulțime de elemente în matrice, iar pentru a calcula determinantul trebuie să petreceți mult timp și atenție.

Există o modalitate mai simplă de a calcula determinantul n- o, ordine, unde n 2 . Să fim de acord să numim orice element minor Aij matrici n- determinant de ordinul întâi corespunzător matricei care se obține din matrice ca urmare a ștergerii i a linia și j- a-a coloană (acel rând și acea coloană la intersecția căreia se află un element Aij ). Element minor Aij vom nota prin simbol . În această notație, indexul superior indică numărul rândului, indexul inferior numărul coloanei și bara de deasupra M înseamnă că rândul și coloana specificate sunt tăiate. Determinant al ordinii n , corespunzător matricei, numim numărul egal cu și notat cu simbolul .

Teorema 1.1 Oricare ar fi numărul liniei i ( i =1, 2…, n) , pentru determinant n- formula primului ordin de mărime este valabilă

= det A =

numit eu- a linia . Subliniem că în această formulă exponentul la care se ridică numărul (-1) este egal cu suma numerelor de rând și coloane la intersecția cărora se află elementul Aij .

Teorema 1.2 Oricare ar fi numărul coloanei j ( j =1, 2…, n) , pentru determinant n formula de ordinul a treia este valabilă

= det A =

numit extinderea acestui determinant în j- a coloana .

2.3 Proprietăţile de bază ale determinanţilor.

Determinanții au și proprietăți care ușurează sarcina de a le calcula. Deci, mai jos stabilim o serie de proprietăți pe care le are un determinant arbitrar n -a comanda.

1 . Proprietate de egalitate rând-coloană . Transpunerea a oricărei matrice sau determinant este o operație în urma căreia rândurile și coloanele sunt schimbate, menținându-și ordinea. Ca urmare a transpunerii matricei A matricea rezultată se numește matrice, numită transpusă față de matrice A și este indicată prin simbol A .

Prima proprietate a determinantului se formulează astfel: în timpul transpunerii se păstrează valoarea determinantului, adică. = .

2 . Proprietate de antisimetrie la rearanjarea a două rânduri (sau două coloane) . Când două rânduri (sau două coloane) sunt schimbate, determinantul își păstrează valoarea absolută, dar își schimbă semnul în sens opus. Pentru un determinant de ordinul doi, această proprietate poate fi verificată în mod elementar (din formula de calcul a determinantului de ordinul doi rezultă imediat că determinanții diferă doar în semn).

3 . Proprietatea liniară a determinantului. Vom spune că niște șir ( A) este o combinație liniară a celorlalte două șiruri ( b Și c ) cu coeficienți Și . Proprietatea liniară poate fi formulată astfel: dacă în determinant n -a ordine niste i --lea rând este o combinație liniară de două rânduri cu coeficienți Și , Acea = + , Unde

– determinant care are i Al-lea rând este egal cu unul dintre cele două rânduri ale combinației liniare și toate celelalte rânduri sunt la fel ca , A - un determinant care are eu- i șir este egal cu al doilea dintre cele două șiruri și toate celelalte șiruri sunt la fel ca .

Aceste trei proprietăți sunt principalele proprietăți ale determinantului, dezvăluind natura acestuia. Următoarele cinci proprietăți sunt consecințe logice trei proprietăți principale.

Corolarul 1. Un determinant cu două rânduri (sau coloane) identice este egal cu zero.

Corolarul 2. Înmulțirea tuturor elementelor unui rând (sau unei coloane) a unui determinant cu un număr A este echivalent cu înmulțirea determinantului cu acest număr A . Cu alte cuvinte, factorul comun al tuturor elementelor unui anumit rând (sau a unei coloane) a unui determinant poate fi scos din semnul acestui determinant.

Corolarul 3. Dacă toate elementele unui anumit rând (sau a unei coloane) sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

Corolarul 4. Dacă elementele a două rânduri (sau două coloane) ale unui determinant sunt proporționale, atunci determinantul este egal cu zero.

Corolarul 5. Dacă la elementele unui anumit rând (sau a unei coloane) a determinantului adăugăm elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (o altă coloană), înmulțirea cu un factor arbitrar , atunci valoarea determinantului nu se modifică. Corolarul 5, ca și proprietatea liniară, permite o formulare mai generală, pe care o voi da pentru șiruri: dacă la elementele unui anumit rând al unui determinant adăugăm elementele corespunzătoare ale unui șir care este o combinație liniară a mai multor rânduri. a acestui determinant (cu orice coeficienți), atunci valoarea determinantului nu se va modifica . Corolarul 5 este utilizat pe scară largă în calculul concret al determinanților.

3. Sisteme de ecuații liniare.

3.1 Definiții de bază.

…….

3.2 Condiția de compatibilitate a sistemelor de ecuații liniare.

…….

3.3 Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Cramer.

Se știe că folosind matrice putem rezolva diverse sisteme de ecuații, iar aceste sisteme pot fi de orice dimensiune și au orice număr de variabile. Cu câteva derivări și formule, rezolvarea unor sisteme uriașe de ecuații devine destul de rapidă și mai ușoară.

În special, voi descrie metodele Cramer și Gauss. Cea mai ușoară cale este metoda Cramer (pentru mine), sau așa cum se mai numește, formula Cramer. Deci, să presupunem că avem un sistem de ecuații . Principalul determinant, după cum ați observat deja, este o matrice alcătuită din coeficienții variabilelor. Ele apar și în ordinea coloanelor, adică prima coloană conține coeficienții care se găsesc la X , în a doua coloană la y , și așa mai departe. Acest lucru este foarte important, deoarece în următorii pași vom înlocui fiecare coloană de coeficienți pentru o variabilă cu o coloană de răspunsuri de ecuație. Deci, așa cum am spus, înlocuim coloana de la prima variabilă cu coloana de răspuns, apoi la a doua, bineînțeles că totul depinde de câte variabile trebuie să găsim.

1 = , 2 = , 3 = .

Atunci trebuie să găsiți determinanți determinant al sistemului .

3.4 Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss.

…….

4. Matrice inversă.

4.1 Conceptul de matrice inversă.

4.2 Calculul matricei inverse.

Bibliografie.

V. A. Ilyin, E. G. Poznyak „Algebră liniară”

2. G. D. Kim, E. V. Shikin „Transformări elementare în algebra liniară”

Subiectul 1. Matrici și determinanți matrici

Ce învățăm:

Concepte de bază ale algebrei liniare: matrice, determinant.

Ce vom învăța:

Efectuează operații pe matrice;

Calculați cu determinanți de ordinul doi și trei.

Subiectul 1.1. Conceptul de matrice. Acțiuni asupra matricelor

∆ Matrice este un tabel dreptunghiular format din rânduri și coloane, umplut cu câteva obiecte matematice.

Matricele sunt notate cu litere mari latine, tabelul în sine este închis între paranteze (mai rar în pătrate sau alte forme).

Elemente A ij numit elemente de matrice . Primul index i– numărul rândului, secundaj– numărul coloanei. Cel mai adesea elementele sunt numere.

Intrarea „matrice” A are dimensiunea m× n» înseamnă că vorbim despre o matrice formată dinm linii şi n coloane.

Dacă m = 1, a n > 1, atunci matricea estematrice - rând . Dacă m > 1, a n = 1, atunci matricea estematrice - coloană .

O matrice în care numărul de rânduri coincide cu numărul de coloane (m= n), numit pătrat .

.

Elemente A 11 , A 22 ,…, A nn matrice pătratăA (mărimea n× n) formă diagonala principală , elemente A 1 n , A 2 n -1 ,…, A n 1 - diagonală laterală .

În matrice
elementele 5; 7 formează diagonala principală, elementele –5; 8 – diagonala laterală.

Matrici A Și B sunt numite egal (A= B), dacă au aceeași dimensiune și elementele lor în aceleași poziții coincid, i.e.A ij = b ij .

Matrice de identitate se numește matrice pătrată în care elementele diagonalei principale sunt egale cu unu, iar elementele rămase sunt egale cu zero. Matricea de identitate este de obicei notată E.

Matrice transpus la matricea A de dimensiunem× n, se numește matricea A Mărimea T n× m, obţinut din matricea A, dacă rândurile sale sunt scrise în coloane, iar coloanele sale în rânduri.

Operații aritmetice pe matrici.

A găsi suma de matrici A Și B de aceeași dimensiune, este necesar să adăugați elemente cu aceiași indici (stați în aceleași locuri):

.

Adunarea matricei este comutativă, adică A + B = B + A.

A găsi diferenta de matrice A Și B de aceeași dimensiune, este necesar să se găsească diferența elementelor cu aceiași indici:

.

La matrice de multiplicare Ape număr k, Este necesar să înmulțiți fiecare element al matricei cu acest număr:

.

Muncă matrici AB poate fi definit doar pentru matriceA mărimea m× n Și B mărimea n× p, adică numărul de coloane ale matriceiA trebuie să fie egal cu numărul de rânduri ale matriceiÎN. în care A· B= C, matrice C are dimensiunea m× p, și elementul său c ij se găsește ca produs scalarith rânduri de matrice A pe jth coloana matriceiB: ( i=1,2,…, m; j=1,2,…, p).

!! De fapt, fiecare linie este necesară matrici A (in picioare in stanga) înmulțiți scalar cu fiecare coloană a matricei B (in picioare in dreapta).

Produsul matricelor nu este comutativ, adicăА·В ≠ В·А . ▲

☺ Este necesar să se analizeze exemple pentru a consolida materialul teoretic.

Exemplul 1. Determinarea dimensiunii matricelor.

Exemplul 2. Definirea elementelor matriceale.

În elementul de matrice A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

În elementul de matrice A 21 = 2, A 13 = 0.

Exemplul 3: Efectuarea transpunerii matricei.

,

Exemplul 4. Efectuarea de operații pe matrice.

Găsi 2 A- B, Dacă , .

Soluţie. .

Exemplul 5. Aflați produsul matricelor Și .

Soluţie. Dimensiunea matriceiA – 3 × 2 , matrice ÎN – 2 × 2 . Prin urmare produsulA·B îl poți găsi. Primim:

Muncă VA nu poate fi găsit.

Exemplul 6. Găsiți A 3 dacă A =
.

Soluţie. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

Exemplul 6. Găsiți 2 A 2 + 3 A + 5 E la
,
.

Soluţie. ,

,
,

,
.

Sarcini de finalizat

1. Completați tabelul.

2. Efectuați operații pe matrice
Și
:

3. Efectuați înmulțirea matricei:

4. Transpune matrice:

? 1. Ce este o matrice?

2. Cum să distingem o matrice de alte elemente ale algebrei liniare?

3. Cum se determină dimensiunea matricei? De ce este necesar acest lucru?

4. Ce înseamnă intrarea? A ij ?

5. Dați o explicație a următoarelor concepte: diagonală principală, diagonală secundară a matricei.

6. Ce operații pot fi efectuate pe matrice?

7. Explicați esența operației de înmulțire a matricei?

8. Se pot înmulți orice matrice? De ce?

Subiectul 1.2. Determinanți de ordinul doi și trei : m metode de calcul al acestora

∆ Dacă A este o matrice pătrată n-a ordinul, atunci îi putem asocia un număr numit determinant ordinea a n-ași notat cu |A|. Adică, determinantul este scris ca o matrice, dar în loc de paranteze este cuprins între paranteze drepte.

!! Uneori, determinanții sunt numiți determinanți în limba engleză, adică = det A.

determinant de ordinul 1 (determinant al matricei A de dimensiune1 × 1 ) este elementul însuși pe care matricea A îl conține, adică.

determinant de ordinul 2 (determinant de matrice O dimensiune 2 × 2 ) este un număr care poate fi găsit folosind regula:

(produsul elementelor de pe diagonala principală a matricei minus produsul elementelor de pe diagonala secundară).

determinant de ordinul 3 (determinant de matrice O dimensiune 3 × 3 ) este un număr care poate fi găsit folosind regula „triunghiurilor”:

Pentru a calcula determinanții de ordinul 3, puteți utiliza o regulă mai simplă - regula direcțiilor (linii paralele).

Regulă direcțiile : Cu dreapta determinantului se adaugă la primele două coloane, produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe diagonalele paralele cu acesta se iau cu semnul plus; iar produsele elementelor diagonalei secundare și diagonalele paralele cu aceasta sunt cu semn minus.

!! Pentru a calcula determinanții, puteți utiliza proprietățile acestora, care sunt valabile pentru determinanții de orice ordine.

Proprietățile determinanților:

1° . Determinantul matricei A nu se modifică în timpul transpunerii, adică. |A| = |A T |. Această proprietate caracterizează egalitatea rândurilor și coloanelor.

2° . La rearanjarea a două rânduri (două coloane), determinantul își păstrează valoarea anterioară, dar semnul este inversat.

4° . Dacă orice rând sau coloană conține un factor comun, atunci acesta poate fi scos din semnul determinant.

Corolarul 4.1. Dacă toate elementele oricărei serii ale unui determinant sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu zero.

Corolarul 4.2. Dacă elementele oricărei serii ale unui determinant sunt proporționale cu elementele corespunzătoare ale unei serii paralele cu acesta, atunci determinantul este egal cu zero.▲

☺ Este necesar să se analizeze regulile de calcul al determinanților.

Exemplul 1: Calculdeterminanți de ordinul doi,
.

Soluţie.

Scoala Gimnaziala nr 45.

Orașul Moscova.

Elev din clasa a X-a „B” Gorokhov Evgeniy

Lucrări de curs (schiță).

Introducere în teoria matricelor și determinanților .

1. Matrice.................................................................. ........................................................ ............................................................... ..................... ......

1.1 Conceptul de matrice.................................................. ...................................................... ...........................................................

1.2 Operații de bază pe matrice............................................. ....... ................................................. ............. .

2. Determinanți.................................................. ........................................................ ............................................................... ........

2.1 Conceptul de determinant.................................................. ........................................................ .............................................

2.2 Calculul determinanților.................................................. ...................................................... ............................

2.3 Proprietățile de bază ale determinanților............................................. ....... ................................................. .............

3. Sisteme de ecuații liniare.................................................. ........................................................ .............. .

3.1 Definiții de bază.................................................. .... ................................................. .......... ........................

3.2 Condiția de consistență pentru sistemele de ecuații liniare........................................... ..........................

3.3 Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer.................................................. ........... ..........

3.4 Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare utilizând metoda Gaussiană........................................ ............ .............

4. Matricea inversă.................................................. ...................................................... ...........................................................

4.1 Conceptul de matrice inversă............................................. ....... ................................................. ............. ................

4.2 Calculul matricei inverse.................................................. ........................................................ .............. ........

Bibliografie................................................ . .................................................. .............................................

Matrice este un tabel dreptunghiular de numere care conține o anumită cantitate m linii și un anumit număr n coloane. Numerele m Și n sunt numite Comenzi matrici. Dacă m = n , matricea se numește pătrat, iar numărul m = n -- a ei în ordine .

Operațiile aritmetice de bază pe matrice sunt înmulțirea unei matrice cu un număr, adăugarea și înmulțirea matricelor.

Să trecem la definirea operațiilor de bază pe matrice.

Adăugarea matricei: Suma a două matrici, de exemplu: A Și B , având același număr de rânduri și coloane, cu alte cuvinte, aceleași ordine m Și n numită matrice C = ( CU ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, … n) aceleași ordine m Și n , elemente Cij care sunt egale.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Pentru a desemna suma a două matrice, se folosește notația C = A + B. Operația de însumare a matricelor se numește lor plus

Deci prin definiție avem:

+ =

=

Din definiția sumei matricelor, sau mai precis din formula ( 1.2 ) rezultă imediat că operația de adunare a matricelor are aceleași proprietăți ca și operația de adunare a numerelor reale și anume:

1) comutativitate: A + B = B + A

2) proprietăți combinate: (A + B) + C = A + (B + C)

Aceste proprietăți fac posibil să nu vă faceți griji cu privire la ordinea termenilor matricei atunci când adăugați două sau mai multe matrice.

Înmulțirea unei matrice cu un număr :

Produs Matrix căci un număr real se numește matrice C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , ale căror elemente sunt egale

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Pentru a desemna produsul dintre o matrice și un număr, se folosește notația C= A sau C=A . Operația de alcătuire a produsului unei matrice cu un număr se numește înmulțirea matricei cu acest număr.

Direct din formula ( 1.3 ) este clar că înmulțirea unei matrice cu un număr are următoarele proprietăți:

1) proprietate distributivă privind suma matricelor:

( A + B) = A+ B

2) proprietate asociativă privind un factor numeric:

() A= ( A)

3) proprietatea distributivă a sumei numerelor:

( + ) A= A + A .

cometariu :Diferența a două matrice A Și B de ordine identice este firesc să numim o astfel de matrice C de aceleasi ordine, care in suma cu matricea B dă matricea A . Pentru a indica diferența dintre două matrici, se folosește o notație naturală: C = A – B.

Înmulțirea matricei :

Produs Matrix A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , având ordinele respectiv egale m Și n , pe matrice B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , având ordinele respectiv egale n Și p , se numește matrice C= (CU ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , având ordine egale în mod corespunzător m Și p , și elemente Cij , definit prin formula

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Pentru a desemna produsul unei matrice A la matrice B utilizați înregistrarea

C=AB . Operația de alcătuire a unui produs matrice A la matrice B numit multiplicare aceste matrici. Din definiţia formulată mai sus rezultă că matrice A nu poate fi înmulțit cu nicio matrice B : este necesar ca numărul coloanelor matricei A a fost egală numărul de rânduri ale matricei B . Pentru ambele lucrări AB Și B.A. nu numai că au fost definite, dar au și avut aceeași ordine, este necesar și suficient ca ambele matrice A Și B au fost matrici pătrate de același ordin.

Formulă ( 1.4 ) reprezintă regula pentru alcătuirea elementelor matriceale C ,

care este produsul matricei A la matrice B . Această regulă poate fi formulată verbal: Element Cij , stând la intersecție i a linia și j- coloana a matricei C=AB , este egal suma produselor perechi ale elementelor corespondente i a linia matrici A Și j- coloana a matricei B . Ca exemplu de aplicare a acestei reguli, prezentăm formula de înmulțire a matricelor pătrate de ordinul doi

Din formula ( 1.4 ) urmează următoarele proprietăți ale produsului matrice: A la matrice B :

1) Proprietate asociativă: ( AB) C = A(BC);

2) proprietate distributivă în raport cu suma matricelor:

(A + B) C = AC + BC sau A (B + C) = AB + AC.

Este logic să ridicăm problema proprietății de permutare a unui produs de matrici numai pentru matrici pătrate de același ordin. Exemplele elementare arată că produsul a două matrice pătrate de același ordin nu are, în general, proprietatea de comutație. De fapt, dacă punem

A = , B = , Acea AB = , A BA =

Sunt de obicei numite aceleași matrice pentru care produsul are proprietatea de comutație naveta.

Dintre matricele pătrate, evidențiem clasa așa-numitelor diagonală matrici, fiecare dintre acestea având elemente situate în afara diagonalei principale egale cu zero. Dintre toate matricele diagonale cu elemente care coincid pe diagonala principală, două matrice joacă un rol deosebit de important. Prima dintre aceste matrice se obține atunci când toate elementele diagonalei principale sunt egale cu unul și se numește matrice de identitate n- E . A doua matrice se obține cu toate elementele egale cu zero și se numește matrice zero n- ordine și este notat cu simbolul O . Să presupunem că există o matrice arbitrară A , Apoi

AE=EA=A , AO=OA=O .

Prima dintre formule caracterizează rolul deosebit al matricei identitare E, asemănător cu rolul jucat de număr 1 la înmulțirea numerelor reale. Cât despre rolul special al matricei zero DESPRE, atunci este relevat nu numai de a doua dintre formule, ci și de o egalitate elementară verificabilă: A+O=O+A=A . Conceptul de matrice zero poate fi introdus nu pentru matrice pătrată.

În primul rând, trebuie să rețineți că determinanții există doar pentru matrice de tip pătrat, deoarece nu există determinanți pentru matrice de alte tipuri. În teoria sistemelor de ecuații liniare și în alte probleme, este convenabil să se utilizeze conceptul determinant, sau determinant .

Să luăm în considerare orice patru numere scrise sub forma unei matrice de două pe rânduri și două coloane , Determinant sau determinant, alcătuit din numerele din acest tabel, este numărul ad-bc , notată după cum urmează: .Un astfel de determinant se numeste determinant de ordinul doi, deoarece a fost luat un tabel de două rânduri și două coloane pentru al compila. Numerele care alcătuiesc determinantul se numesc al său elemente; în acelaşi timp ei spun că elementele A Și d inventa diagonala principală determinant și elemente b Și c a lui diagonală laterală. Se poate observa că determinantul este egal cu diferența produselor perechilor de elemente situate pe diagonalele sale principale și secundare. Determinantul celui de-al treilea și al oricărei alte ordini este aproximativ același, și anume: Să presupunem că avem o matrice pătrată . Determinantul următoarei matrice este următoarea expresie: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . După cum puteți vedea, se calculează destul de ușor dacă vă amintiți o anumită secvență. Cu semn pozitiv sunt diagonala principală și triunghiurile formate din elemente, care au o latură paralelă cu diagonala principală, în acest caz acestea sunt triunghiuri a12a23a31, a13a21a32 .

Diagonala laterală și triunghiurile paralele cu aceasta au semn negativ, adică. a11a23a32, a12a21a33 . În acest fel se pot găsi determinanți ai oricărei ordine. Dar există cazuri când această metodă devine destul de complicată, de exemplu, când există o mulțime de elemente în matrice, iar pentru a calcula determinantul trebuie să petreceți mult timp și atenție.

Există o modalitate mai simplă de a calcula determinantul n- o, ordine, unde n2 . Să fim de acord să numim orice element minor Aij matrici n- determinant de ordinul întâi corespunzător matricei care se obține din matrice ca urmare a ștergerii i a linia și j- a-a coloană (acel rând și acea coloană la intersecția căreia se află un element Aij ). Element minor Aij va fi notat cu simbolul . În această notație, indexul superior indică numărul rândului, indexul inferior numărul coloanei și bara de deasupra M înseamnă că rândul și coloana specificate sunt tăiate. Determinant al ordinii n , corespunzător matricei, numim numărul egal cu și notat cu simbolul .

Teorema 1.1 Oricare ar fi numărul liniei i ( i =1, 2…, n) , pentru determinant n- formula primului ordin de mărime este valabilă

= det A =

numit eu- a linia . Subliniem că în această formulă exponentul la care se ridică numărul (-1) este egal cu suma numerelor de rând și coloane la intersecția cărora se află elementul Aij .

Teorema 1.2 Oricare ar fi numărul coloanei j ( j =1, 2…, n) , pentru determinant n formula de ordinul a treia este valabilă

= det A =

numit extinderea acestui determinant în j- a coloana .

Determinanții au și proprietăți care ușurează sarcina de a le calcula. Deci, mai jos stabilim o serie de proprietăți pe care le are un determinant arbitrar n -a comanda.

1. Proprietate de egalitate rând-coloană . Transpunerea a oricărei matrice sau determinant este o operație în urma căreia rândurile și coloanele sunt schimbate, menținându-și ordinea. Ca urmare a transpunerii matricei A matricea rezultată se numește matrice, numită transpusă față de matrice A și este indicată prin simbol A .

Prima proprietate a determinantului se formulează astfel: în timpul transpunerii se păstrează valoarea determinantului, adică = .

2. Proprietate de antisimetrie la rearanjarea a două rânduri (sau două coloane). Când două rânduri (sau două coloane) sunt schimbate, determinantul își păstrează valoarea absolută, dar își schimbă semnul în sens opus. Pentru un determinant de ordinul doi, această proprietate poate fi verificată în mod elementar (din formula de calcul a determinantului de ordinul doi rezultă imediat că determinanții diferă doar în semn).

3. Proprietatea liniară a determinantului. Vom spune că niște șir ( A) este o combinație liniară a celorlalte două șiruri ( b Și c ) cu coeficienţi şi . Proprietatea liniară poate fi formulată astfel: dacă în determinant n ceva ordine i Al treilea rând este o combinație liniară a două rânduri cu coeficienți și , apoi = + , unde

- un determinant care are i Al-lea rând este egal cu unul dintre cele două rânduri ale combinației liniare și toate celelalte rânduri sunt la fel ca , a este determinantul pentru care eu- i șir este egal cu al doilea dintre cele două șiruri și toate celelalte șiruri sunt la fel ca .

Aceste trei proprietăți sunt principalele proprietăți ale determinantului, dezvăluind natura acestuia. Următoarele cinci proprietăți sunt consecințe logice trei proprietăți principale.

Corolarul 1. Un determinant cu două rânduri (sau coloane) identice este egal cu zero.

Corolarul 2. Înmulțirea tuturor elementelor unui rând (sau unei coloane) a unui determinant cu un număr A este echivalent cu înmulțirea determinantului cu acest număr A . Cu alte cuvinte, factorul comun al tuturor elementelor unui anumit rând (sau a unei coloane) a unui determinant poate fi scos din semnul acestui determinant.

Corolarul 3. Dacă toate elementele unui anumit rând (sau a unei coloane) sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

Corolarul 4. Dacă elementele a două rânduri (sau două coloane) ale unui determinant sunt proporționale, atunci determinantul este egal cu zero.

Corolarul 5. Dacă la elementele unui anumit rând (sau a unei coloane) a unui determinant adăugăm elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (o altă coloană), înmulțind cu un factor arbitrar, atunci valoarea determinantului nu se modifică. Corolarul 5, ca și proprietatea liniară, permite o formulare mai generală, pe care o voi da pentru șiruri: dacă la elementele unui anumit rând al unui determinant adăugăm elementele corespunzătoare ale unui șir care este o combinație liniară a mai multor rânduri. a acestui determinant (cu orice coeficienți), atunci valoarea determinantului nu se va modifica . Corolarul 5 este utilizat pe scară largă în calculul concret al determinanților.

Se știe că folosind matrice putem rezolva diverse sisteme de ecuații, iar aceste sisteme pot fi de orice dimensiune și au orice număr de variabile. Cu câteva derivări și formule, rezolvarea unor sisteme uriașe de ecuații devine destul de rapidă și mai ușoară.

În special, voi descrie metodele Cramer și Gauss. Cea mai ușoară cale este metoda Cramer (pentru mine), sau așa cum se mai numește, formula Cramer. Deci, să presupunem că avem un sistem de ecuații

, Sub formă de matrice, acest sistem poate fi scris după cum urmează: A= , unde răspunsurile la ecuații vor fi în ultima coloană. Vom introduce acum conceptul de determinant fundamental; in acest caz va arata asa:

= . Principalul determinant, după cum ați observat deja, este o matrice alcătuită din coeficienții variabilelor. Ele apar și în ordinea coloanelor, adică prima coloană conține coeficienții care se găsesc la X , în a doua coloană la y , și așa mai departe. Acest lucru este foarte important, deoarece în următorii pași vom înlocui fiecare coloană de coeficienți pentru o variabilă cu o coloană de răspunsuri de ecuație. Deci, așa cum am spus, înlocuim coloana de la prima variabilă cu coloana de răspuns, apoi la a doua, bineînțeles că totul depinde de câte variabile trebuie să găsim.

1 = , 2 = , 3 = .

Apoi trebuie să găsiți determinanții 1, 2, 3. Știți deja cum să găsiți determinantul de ordinul trei. A Aici aplicăm regula lui Cramer. Arata cam asa:

x1 = , x2 = , x3 = – pentru acest caz, dar în general arată astfel: X i = . Un determinant format din coeficienți pentru necunoscute se numește determinant al sistemului .

1. V. A. Ilyin, E. G. Poznyak „Algebră liniară”

2. G. D. Kim, E. V. Shikin „Transformări elementare în algebra liniară”