Teorema pentru modificarea impulsului unui punct material este un corolar. Teoreme privind modificarea impulsului unui punct și a unui sistem

Lasă un punct material să se miște sub influența forței F. Este necesar să se determine mișcarea acestui punct în raport cu sistemul de mișcare Oxyz(vezi mișcarea complexă a unui punct material), care se mișcă într-un mod cunoscut în raport cu un sistem staționar O 1 X 1 y 1 z 1 .

Ecuația de bază a dinamicii într-un sistem staționar

Să notăm accelerația absolută a unui punct folosind teorema Coriolis

Unde A abs– accelerație absolută;

A rel– accelerație relativă;

A BANDĂ– accelerație portabilă;

A miez– Accelerația Coriolis.

Să rescriem (25) ținând cont de (26)

Să introducem notația
- forță de inerție portabilă,
- Forța de inerție Coriolis. Atunci ecuația (27) ia forma

Ecuația de bază a dinamicii pentru studierea mișcării relative (28) este scrisă în același mod ca și pentru mișcarea absolută, la forțele care acționează asupra unui punct trebuie adăugate doar forțele de transfer și Coriolis de inerție.

Teoreme generale asupra dinamicii unui punct material

Când rezolvați multe probleme, puteți utiliza spații prefabricate obținute pe baza celei de-a doua legi a lui Newton. Astfel de metode de rezolvare a problemelor sunt combinate în această secțiune.

Teorema privind modificarea impulsului unui punct material

Să introducem următoarele caracteristici dinamice:

1. Momentul unui punct material– mărime vectorială egală cu produsul dintre masa unui punct și vectorul său viteză

. (29)

2. Impulsul de forță

Impulsul elementar de forță– mărime vectorială egală cu produsul vectorului forță și un interval de timp elementar

(30).

Apoi impuls deplin

. (31)

La F=const obținem S=Ft.

Impulsul total pe o perioadă finită de timp poate fi calculat doar în două cazuri, când forța care acționează asupra unui punct este constantă sau depinde de timp. În alte cazuri, este necesar să se exprime forța în funcție de timp.

Egalitatea dimensiunilor impulsului (29) și impulsului (30) ne permite să stabilim o relație cantitativă între ele.

Să considerăm mișcarea unui punct material M sub acțiunea unei forțe arbitrare F de-a lungul unei traiectorii arbitrare.

DESPRE UD:
. (32)

Separăm variabilele din (32) și integrăm

. (33)

Ca urmare, luând în considerare (31), obținem

. (34)

Ecuația (34) exprimă următoarea teoremă.

Teorema: Modificarea impulsului unui punct material într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul forței care acționează asupra punctului în același interval de timp.

La rezolvarea problemelor, ecuația (34) trebuie proiectată pe axele de coordonate

Această teoremă este convenabilă de utilizat atunci când printre mărimile date și necunoscute se numără masa unui punct, viteza sa inițială și finală, forțele și timpul de mișcare.

Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui punct material

M
momentul impulsului unui punct material relativ la centru este egal cu produsul dintre modulul impulsului punctului și umărului, i.e. cea mai scurtă distanță (perpendiculară) de la centru la linia care coincide cu vectorul viteză

, (36)

. (37)

Relația dintre momentul forței (cauză) și momentul impulsului (efectul) se stabilește prin următoarea teoremă.

Fie punctul M al unei mase date m se deplasează sub influența forței F.

,
,

, (38)

. (39)

Să calculăm derivata lui (39)

. (40)

Combinând (40) și (38), obținem în final

. (41)

Ecuația (41) exprimă următoarea teoremă.

Teorema: Derivata în timp a vectorului moment unghiular al unui punct material relativ la un centru este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru.

La rezolvarea problemelor, ecuația (41) trebuie proiectată pe axele de coordonate

În ecuațiile (42), momentele momentului și forței sunt calculate în raport cu axele de coordonate.

Din (41) rezultă legea conservării momentului unghiular (legea lui Kepler).

Dacă momentul forței care acționează asupra unui punct material în raport cu orice centru este zero, atunci momentul unghiular al punctului față de acest centru își păstrează mărimea și direcția.

Dacă
, Acea
.

Teorema și legea conservării sunt utilizate în problemele care implică mișcare curbilinie, în special sub acțiunea forțelor centrale.

Sistemul discutat în teoremă poate fi orice sistem mecanic format din orice corp.

Enunțul teoremei

Cantitatea de mișcare (impuls) a unui sistem mecanic este o cantitate egală cu suma cantităților de mișcare (impulsuri) ale tuturor corpurilor incluse în sistem. Impulsul forțelor externe care acționează asupra corpurilor sistemului este suma impulsurilor tuturor forțelor externe care acționează asupra corpurilor sistemului.

( kg m/s)

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem spune

Modificarea impulsului sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul forțelor externe care acționează asupra sistemului în aceeași perioadă de timp.

Legea conservării impulsului unui sistem

Dacă suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este zero, atunci cantitatea de mișcare (impulsul) sistemului este o cantitate constantă.

, obţinem expresia teoremei asupra modificării impulsului sistemului sub formă diferenţială:

După ce am integrat ambele părți ale egalității rezultate într-o perioadă de timp luată în mod arbitrar între unele și , obținem expresia teoremei asupra modificării impulsului sistemului în formă integrală:

Legea conservării impulsului (Legea conservării impulsului) afirmă că suma vectorială a impulsurilor tuturor corpurilor sistemului este o valoare constantă dacă suma vectorială a forțelor externe care acționează asupra sistemului este egală cu zero.

(momentul impulsului m 2 kg s −1)

Teorema privind modificarea momentului unghiular relativ la centru

derivata temporală a momentului de impuls (moment cinetic) al unui punct material relativ la orice centru fix este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Teoremă privind modificarea momentului unghiular în raport cu o axă

derivata temporală a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material față de orice axă fixă ​​este egală cu momentul forței care acționează asupra acestui punct față de aceeași axă.

dk X /dt = M X (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Luați în considerare un punct material M masa m , deplasându-se sub influența forței F (Figura 3.1). Să scriem și să construim vectorul momentului unghiular (momentul cinetic) M 0 punct material relativ la centru O :

Să diferențiem expresia pentru momentul unghiular (momentul cinetic k 0) după timp:

Deoarece dr /dt = V , apoi produsul vectorial V ⊗ m ⋅ V (vectori coliniari V Și m ⋅ V ) este egal cu zero. În același timp d(m ⋅ V) /dt = F conform teoremei asupra impulsului unui punct material. Prin urmare, obținem asta

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Unde r ⊗F = M 0 (F ) – vector-moment de forță F raportat la un centru fix O . Vector k 0 ⊥ plan ( r , m ⊗V ), și vectorul M 0 (F ) ⊥ avion ( r ,F ), avem în sfârșit

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Ecuația (3.4) exprimă teorema despre modificarea momentului unghiular (momentul unghiular) a unui punct material față de centru: derivata temporală a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material relativ la orice centru fix este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același centru.

Proiectând egalitatea (3.4) pe axele coordonatelor carteziene, obținem

dk X /dt = M X (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Egalitățile (3.5) exprimă teorema despre modificarea momentului unghiular (momentul cinetic) a unui punct material în raport cu axa: derivata temporală a momentului de impuls (momentul cinetic) al unui punct material față de orice axă fixă ​​este egală cu momentul forței care acționează asupra acestui punct față de aceeași axă.

Să luăm în considerare consecințele care decurg din teoremele (3.4) și (3.5).

Corolarul 1. Să luăm în considerare cazul când forța F pe parcursul întregii mișcări a punctului trece prin centrul staționar O (cazul forței centrale), adică Când M 0 (F ) = 0. Atunci din teorema (3.4) rezultă că k 0 = const ,

acestea. în cazul unei forțe centrale, momentul unghiular (momentul cinetic) al unui punct material față de centrul acestei forțe rămâne constant în mărime și direcție (Figura 3.2).

Figura 3.2

Din condiție k 0 = const rezultă că traiectoria unui punct în mișcare este o curbă plană, al cărei plan trece prin centrul acestei forțe.

Corolarul 2. Lăsa M z (F ) = 0, adică forța traversează axa z sau paralel cu acesta. În acest caz, după cum se poate observa din a treia ecuație (3.5), k z = const ,

acestea. dacă momentul forței care acționează asupra unui punct relativ la orice axă fixă ​​este întotdeauna zero, atunci momentul unghiular (momentul cinetic) al punctului relativ la această axă rămâne constant.

Demonstrarea teoremei privind modificarea impulsului

Fie că sistemul este format din puncte materiale cu mase și accelerații. Împărțim toate forțele care acționează asupra corpurilor sistemului în două tipuri:

Forțele externe sunt forțe care acționează din corpuri care nu sunt incluse în sistemul în cauză. Rezultanta forțelor externe care acționează asupra unui punct material cu număr i să notăm

Forțele interne sunt forțele cu care corpurile sistemului însuși interacționează între ele. Forța cu care asupra punctului cu numărul i punctul cu numărul este valabil k, vom desemna , și forța de influență i punctul de mai departe k al-lea punct -. Evident, atunci când , atunci

Folosind notația introdusă, scriem a doua lege a lui Newton pentru fiecare dintre punctele materiale luate în considerare sub forma

Având în vedere că și însumând toate ecuațiile celei de-a doua legi a lui Newton, obținem:

Expresia reprezintă suma tuturor forțelor interne care acționează în sistem. Conform celei de-a treia legi a lui Newton, în această sumă, fiecărei forțe îi corespunde o forță astfel încât, prin urmare, este valabilă. Deoarece întreaga sumă este formată din astfel de perechi, suma în sine este zero. Astfel, putem scrie

Folosind notația pentru impulsul sistemului, obținem

Având în vedere modificarea impulsului forțelor externe , obținem expresia teoremei asupra modificării impulsului sistemului în formă diferențială:

Astfel, fiecare dintre ultimele ecuații obținute ne permite să afirmăm: o modificare a impulsului sistemului are loc doar ca urmare a acțiunii forțelor externe, iar forțele interne nu pot avea nicio influență asupra acestei valori.

După ce am integrat ambele părți ale egalității rezultate într-un interval de timp luat în mod arbitrar între unele și , obținem expresia teoremei privind modificarea impulsului sistemului în formă integrală:

unde și sunt valorile cantității de mișcare a sistemului în momente de timp și, respectiv, și este impulsul forțelor externe pe o perioadă de timp. În conformitate cu cele spuse mai devreme și cu notațiile introduse,

Pentru un punct material, legea de bază a dinamicii poate fi reprezentată ca

Înmulțind ambele părți ale acestei relații din stânga vectorial cu vectorul rază (Fig. 3.9), obținem

(3.32)

În partea dreaptă a acestei formule avem momentul de forță relativ la punctul O. Transformăm partea stângă aplicând formula pentru derivata unui produs vectorial

Dar ca produs vectorial al vectorilor paraleli. După asta primim

(3.33)

Prima derivată în raport cu timpul a momentului de impuls al unui punct relativ la orice centru este egală cu momentul de forță relativ la același centru.

Figura 3.12

; ;

Pentru datele de intrare date, momentul unghiular al sistemului

Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui sistem. Aplicăm forțele interne și externe rezultate în fiecare punct al sistemului. Pentru fiecare punct al sistemului, puteți aplica teorema privind modificarea momentului unghiular, de exemplu în forma (3.33)

Însumând toate punctele sistemului și ținând cont de faptul că suma derivatelor este egală cu derivata sumei, obținem

Prin determinarea momentului cinetic al sistemului și a proprietăților forțelor externe și interne

Prin urmare, relația rezultată poate fi reprezentată ca

Prima derivată temporală a momentului unghiular al unui sistem în raport cu orice punct este egală cu momentul principal al forțelor externe care acționează asupra sistemului în raport cu același punct.

3.3.5. Munca de forta

1) Lucrul elementar al unei forțe este egal cu produsul scalar al forței și raza diferențială a vectorului punctului de aplicare a forței (Fig. 3.13)

Figura 3.13

Expresia (3.36) poate fi scrisă și în următoarele forme echivalente

unde este proiecția forței pe direcția vitezei punctului de aplicare a forței.

2) Munca de forta la deplasarea finala

Integrând munca elementară a forței, obținem următoarele expresii pentru munca forței la deplasarea finală din punctul A în punctul B

3) Munca de forta constanta

Dacă forța este constantă, atunci din (3.38) rezultă

Munca unei forțe constante nu depinde de forma traiectoriei, ci depinde doar de vectorul deplasării punctului de aplicare al forței.

4) Munca de forta de greutate

Pentru forța de greutate (Fig. 3.14) și din (3.39) obținem

Figura 3.14

Dacă mișcarea are loc din punctul B în punctul A, atunci

În general

Semnul „+” corespunde mișcării în jos a punctului de aplicare a forței, semnul „-” – în sus.

4) Lucru de forță elastică

Fie ca axa arcului să fie îndreptată de-a lungul axei x (Fig. 3.15), iar capătul arcului se deplasează din punctul 1 în punctul 2, apoi din (3.38) obținem

Dacă rigiditatea arcului este Cu, deci

A (3.41)

Dacă capătul arcului se deplasează din punctul 0 în punctul 1, atunci în această expresie înlocuim , , atunci lucrul forței elastice va lua forma

(3.42)

unde este alungirea arcului.

Figura 3.15

5) Lucrul de forță aplicat unui corp în rotație. Lucrarea momentului.

În fig. Figura 3.16 prezintă un corp în rotație căruia i se aplică o forță arbitrară. În timpul rotației, punctul de aplicare al acestei forțe se mișcă într-un cerc.

Constând din n puncte materiale. Să selectăm un anumit punct din acest sistem Mj cu masa m j. După cum se știe, forțele externe și interne acționează în acest punct.

Să o aplicăm la obiect Mj rezultanta tuturor fortelor interne F j iși rezultanta tuturor forțelor externe F j e(Figura 2.2). Pentru un punct material selectat Mj(ca și pentru un punct liber) scriem teorema privind modificarea impulsului în formă diferențială (2.3):

Să scriem ecuații similare pentru toate punctele sistemului mecanic (j=1,2,3,…,n).

Figura 2.2

Să adunăm totul bucată cu bucată n ecuatii:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Aici ∑m j ×V j =Q– cantitatea de mișcare a sistemului mecanic;
∑F j e = R e– vectorul principal al tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului mecanic;
∑F j i = R i =0– vectorul principal al forțelor interne ale sistemului (după proprietatea forțelor interne, este egal cu zero).

În sfârșit, pentru sistemul mecanic obținem

dQ/dt = R e. (2.11)

Expresia (2.11) este o teoremă despre modificarea impulsului unui sistem mecanic sub formă diferențială (în expresie vectorială): derivata în timp a vectorului de impuls al unui sistem mecanic este egală cu vectorul principal al tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

Proiectând egalitatea vectorială (2.11) pe axele de coordonate carteziene, obținem expresii pentru teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic în expresie de coordonate (scalare):

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

acestea. derivata în timp a proiecției impulsului unui sistem mecanic pe orice axă este egală cu proiecția pe această axă a vectorului principal al tuturor forțelor externe care acționează asupra acestui sistem mecanic.

Înmulțirea ambelor părți ale egalității (2.12) cu dt, obținem teorema într-o altă formă diferențială:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

acestea. impulsul diferențial al unui sistem mecanic este egal cu impulsul elementar al vectorului principal (suma impulsurilor elementare) al tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

Integrarea egalității (2.13) în intervalul de timp de la 0 la t, obținem o teoremă despre modificarea impulsului unui sistem mecanic în formă finală (integrală) (în expresie vectorială):

Q - Q 0 = S e,

acestea. modificarea impulsului unui sistem mecanic pe o perioadă finită de timp este egală cu impulsul total al vectorului principal (suma impulsurilor totale) a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului în aceeași perioadă de timp..

Proiectând egalitatea vectorială (2.14) pe axele de coordonate carteziene, obținem expresii pentru teorema în proiecții (într-o expresie scalară):

acestea. modificarea proiecției impulsului unui sistem mecanic pe orice axă pe o perioadă finită de timp este egală cu proiecția pe aceeași axă a impulsului total al vectorului principal (suma impulsurilor totale) a tuturor forțelor externe. acţionând asupra sistemului mecanic în aceeaşi perioadă de timp.

Din teorema considerată (2.11) – (2.15) rezultă următoarele corolare:

1. Dacă R e = ∑F j e = 0, Acea Q = const– avem legea conservării vectorului de impuls al unui sistem mecanic: dacă vectorul principal R e dintre toate forțele externe care acționează asupra unui sistem mecanic este egal cu zero, atunci vectorul de impuls al acestui sistem rămâne constant în mărime și direcție și egal cu valoarea sa inițială Q 0, adică Q = Q 0.
2. Dacă R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Acea Q x = const– avem legea conservării proiecției pe axa impulsului unui sistem mecanic: dacă proiecția vectorului principal al tuturor forțelor care acționează asupra unui sistem mecanic pe orice axă este nulă, atunci proiecția pe aceeași axă a vectorul impulsului acestui sistem va fi o valoare constantă și egală cu proiecția pe această axă vectorul inițial al impulsului, i.e. Q x = Q 0x.

Forma diferențială a teoremei privind schimbarea impulsului unui sistem de materiale are aplicații importante și interesante în mecanica continuumului. Din (2.11) putem obține teorema lui Euler.

Ecuația diferențială a mișcării unui punct material sub influența forței F poate fi reprezentat sub următoarea formă vectorială:

Deoarece masa unui punct m este acceptată ca constantă, apoi poate fi introdusă sub semnul derivatului. Apoi

Formula (1) exprimă teorema privind modificarea impulsului unui punct sub formă diferențială: prima derivată în raport cu timpul a impulsului unui punct este egală cu forța care acționează asupra punctului.

În proiecțiile pe axele de coordonate (1) poate fi reprezentat ca

Dacă ambele părți (1) sunt înmulțite cu dt, atunci obținem o altă formă a aceleiași teoreme - teorema momentului în formă diferențială:

acestea. diferența de impuls al unui punct este egală cu impulsul elementar al forței care acționează asupra punctului.

Proiectând ambele părți ale lui (2) pe axele de coordonate, obținem

Integrând ambele părți ale lui (2) de la zero la t (Fig. 1), avem

unde este viteza punctului în acest moment t; - viteza la t = 0;

S- impuls de forță în timp t.

O expresie în forma (3) este adesea numită teorema momentului în formă finită (sau integrală): modificarea impulsului unui punct în orice perioadă de timp este egală cu impulsul forței în aceeași perioadă de timp.

În proiecțiile pe axe de coordonate, această teoremă poate fi reprezentată în următoarea formă:

Pentru un punct material, teorema privind modificarea momentului în oricare dintre forme nu este în esență diferită de ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct.

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem

Mărimea mișcării sistemului va fi numită mărime vectorială Q, egal cu suma geometrică (vectorul principal) a cantităților de mișcare a tuturor punctelor sistemului.

Luați în considerare un sistem format din n puncte materiale. Să compunem ecuații diferențiale de mișcare pentru acest sistem și să le adăugăm termen cu termen. Atunci obținem:

Ultima sumă, datorită proprietății forțelor interne, este egală cu zero. In afara de asta,

In sfarsit gasim:

Ecuația (4) exprimă teorema privind modificarea impulsului sistemului sub formă diferențială: derivata în timp a impulsului sistemului este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

Să găsim o altă expresie pentru teoremă. Lasă să intre momentul t= 0 cantitatea de mișcare a sistemului este Q 0, iar la momentul de timp t 1 devine egal Î 1. Apoi, înmulțind ambele părți ale egalității (4) cu dtși integrând, obținem:

Sau unde:

(S-impuls de forță)

întrucât integralele din dreapta dau impulsuri ale forțelor externe,

ecuația (5) exprimă teorema privind modificarea impulsului sistemului în formă integrală: modificarea impulsului sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor forțelor externe care acționează asupra sistemului în aceeași perioadă de timp.

În proiecțiile pe axele de coordonate vom avea:

Legea conservării impulsului

Din teorema privind modificarea impulsului unui sistem se pot obține următoarele corolare importante:

1. Fie suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului să fie egală cu zero:

Apoi din ecuația (4) rezultă că în acest caz Q = const.

Prin urmare, dacă suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este egală cu zero, atunci vectorul impulsului sistemului va fi constant în mărime și direcție.

2. 01 Fie ca forțele externe care acționează asupra sistemului să fie astfel încât suma proiecțiilor lor pe o anumită axă (de exemplu Ox) să fie egală cu zero:

Apoi din ecuațiile (4`) rezultă că în acest caz Q = const.

Prin urmare, dacă suma proiecțiilor tuturor forțelor externe care acționează asupra oricărei axe este egală cu zero, atunci proiecția cantității de mișcare a sistemului pe această axă este o valoare constantă.

Aceste rezultate exprimă legea conservării impulsului unui sistem. Din ele rezultă că forțele interne nu pot modifica cantitatea totală de mișcare a sistemului.

Să ne uităm la câteva exemple:

· Fenomen despre întoarcerea rolului. Dacă luăm în considerare pușca și glonțul ca un singur sistem, atunci presiunea gazelor pulbere în timpul unei împușcături va fi o forță internă. Această forță nu poate schimba impulsul total al sistemului. Dar, deoarece gazele pulbere, care acționează asupra glonțului, îi conferă acestuia o anumită mișcare îndreptată înainte, ele trebuie să transmită simultan puștii aceeași cantitate de mișcare în direcția opusă. Acest lucru va face ca pușca să se miște înapoi, de exemplu. așa-numita întoarcere. Un fenomen similar are loc la tragerea cu o armă (rollback).

· Funcționarea elicei (elicei). Elicea conferă mișcare unei anumite mase de aer (sau apă) de-a lungul axei elicei, aruncând această masă înapoi. Dacă considerăm masa aruncată și aeronava (sau nava) ca un singur sistem, atunci forțele de interacțiune dintre elice și mediu, ca fiind interne, nu pot modifica cantitatea totală de mișcare a acestui sistem. Prin urmare, atunci când o masă de aer (apă) este aruncată înapoi, aeronava (sau nava) primește o viteză înainte corespunzătoare, astfel încât cantitatea totală de mișcare a sistemului în cauză rămâne egală cu zero, deoarece era zero înainte de a începe mișcarea. .

Un efect similar se obține prin acțiunea vâslelor sau a roților cu zbaturi.

· Propulsie R e c t i v e Într-o rachetă (rachetă), produșii gazoși de ardere a combustibilului sunt ejectați cu viteză mare din orificiul din coada rachetei (din duza motorului cu reacție). Forțele de presiune care acționează în acest caz vor fi forțe interne și nu pot modifica impulsul total al sistemului rachetă-gaze pulbere. Dar, deoarece gazele care scapă au o anumită mișcare îndreptată înapoi, racheta primește o viteză de înainte corespunzătoare.

Teorema momentelor despre o axă.

Luați în considerare punctul de masă material m, deplasându-se sub influența forței F. Să găsim pentru aceasta relația dintre momentul vectorilor mVȘi F relativ la o axă Z fixă.

mz (F) = xF - yF (7)

La fel și pentru valoare m(mV), dacă este scos m va fi din paranteze

m z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Luând derivatele cu privire la timp din ambele părți ale acestei egalități, găsim

În partea dreaptă a expresiei rezultate, prima paranteză este egală cu 0, deoarece dx/dt=V și dу/dt = V, a doua paranteză conform formulei (7) este egală cu

mz(F), deoarece conform legii de bază a dinamicii:

În sfârșit vom avea (8)

Ecuația rezultată exprimă teorema momentelor în jurul axei: derivata în timp a momentului de impuls al unui punct în raport cu orice axă este egală cu momentul forței care acționează față de aceeași axă. O teoremă similară este valabilă pentru momente despre orice centru O.