§7. Exemple de spații liniare

Înveliș liniar este, de asemenea, numit subspațiul generat X. De obicei notat . Se mai spune că învelișul liniar întins peste o multime de X .

Proprietăți

Vezi si

Legături

Fundația Wikimedia. 2010.

• Jangar
• Sold de plată

Vedeți ce este „cochilia liniară” în alte dicționare:

COCASA LINEARĂ- intersecția M a tuturor subspațiilor care conțin mulțimea spațiului vectorial E. Mai mult, Mnaz. de asemenea un subspațiu generat de A. M. I. Voitsekhovsky... Enciclopedie matematică

Vectori de înveliș liniari

Vectori de înveliș liniari- un set de combinații liniare ale acestor vectori ∑αiаi cu toți coeficienții posibili (α1, …, αn) … Dicționar economic și matematic

vectori liniari de înveliș- Un set de combinatii liniare ale acestor vectori??iai cu toti coeficientii posibili (?1, …, ?n). Subiecte economie EN carenă liniară...

algebră liniară- Disciplina matematică, o secțiune de algebră, care conține, în special, teoria ecuațiilor liniare, matricelor și determinanților, precum și teoria spațiilor vectoriale (liniare). Relație liniară „relație de forma: a1x1 + a2x2 + … +… … Ghidul tehnic al traducătorului

Dependență liniară- „relație de forma: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, unde a1, a2, …, an sunt numere, dintre care cel puțin unul este diferit de zero; x1, x2, ..., xn sunt anumite obiecte matematice pentru care sunt definite operații de adunare... Dicționar economic și matematic

Coajă- vezi înveliș liniar... Dicționar economic și matematic

Dependență liniară

Combinație liniară- Spațiul liniar, sau spațiul vectorial, este principalul obiect de studiu al algebrei liniare. Cuprins 1 Definiție 2 Proprietăți cele mai simple 3 Definiții și proprietăți înrudite... Wikipedia

GRUP LINEAR este un grup de transformări liniare ale unui spațiu vectorial V de dimensiune finită n peste un anumit corp K. Alegerea unei baze în spațiul V realizează grupul liniar ca un grup de matrici pătrate nedegenerate de grad n peste corpul K. Se stabilește astfel un izomorfism... Enciclopedie matematică

Cărți

• Algebră liniară. Manual și atelier pentru educație open source Cumpărați pentru 1471 UAH (numai Ucraina)
• Algebră liniară. Manual și atelier pentru diplomă academică de licență, Kremer N.Sh.. Acest manual include o serie de concepte noi și întrebări suplimentare, cum ar fi norma unei matrice, metoda de completare a unei baze, izomorfismul spațiilor liniare, subspații liniare, liniare. ...

Fie un sistem de vectori din spațiul vectorial V peste câmp P.

Definiția 2:Înveliș liniar L sisteme A este mulțimea tuturor combinațiilor liniare de vectori ai sistemului A. Desemnare LA).

Se poate demonstra că pentru oricare două sisteme AȘi B,

A exprimată liniar prin B dacă și numai dacă . (1)

A echivalent B atunci și numai când L(A)=L(B). (2)

Dovada rezultă din proprietatea anterioară

3 Spațiul liniar al oricărui sistem de vectori este un subspațiu al spațiului V.

Dovada

Luați oricare doi vectori și din LA), având următoarele expansiuni în vectori din A: . Să verificăm fezabilitatea condițiilor 1) și 2) ale criteriului:

Deoarece este o combinație liniară de vectori de sistem A.

Deoarece este și o combinație liniară de vectori de sistem A.

Să luăm acum în considerare matricea. Intervalul liniar al rândurilor matricei A se numește spațiul rând al matricei și se notează Lr(A). Intervalul liniar al coloanelor matriceale A se numește spațiu coloană și se notează Lc(A). Vă rugăm să rețineți că atunci când spațiul rând și coloană al matricei A sunt subspații ale diferitelor spații aritmetice P nȘi P m respectiv. Folosind afirmația (2), putem ajunge la următoarea concluzie:

Teorema 3: Dacă o matrice este obținută de la alta printr-un lanț de transformări elementare, atunci spațiile rând ale unor astfel de matrici coincid.

Suma și intersecția subspațiilor

Lăsa LȘi M- două subspații ale spațiului R.

Cantitate L+M se numeste multime de vectori x+y , Unde X ∈LȘi y ∈M. Evident, orice combinație liniară de vectori din L+M aparține L+M, prin urmare L+M este un subspațiu al spațiului R(poate coincide cu spațiul R).

Prin traversare L∩M subspații LȘi M este mulţimea vectorilor care aparţin simultan subspaţiilor LȘi M(poate consta doar dintr-un vector zero).

Teorema 6.1. Suma dimensiunilor subspațiilor arbitrare LȘi M spațiu liniar finit-dimensional R egală cu dimensiunea sumei acestor subspații și dimensiunea intersecției acestor subspații:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Dovada. Să notăm F=L+MȘi G=L∩M. Lăsa G g-subspațiu dimensional. Să alegem o bază în ea. Deoarece G⊂LȘi G⊂M, deci baza G poate fi adăugat la bază L iar la bază M. Fie baza subspațiului Lși lasă baza subspațiului M. Să arătăm că vectorii

(6.1) constituie baza F=L+M. Pentru ca vectorii (6.1) să formeze baza spațiului F ele trebuie să fie liniar independente și orice vector de spațiu F poate fi reprezentat printr-o combinație liniară de vectori (6.1).

Să demonstrăm independența liniară a vectorilor (6.1). Fie vectorul zero al spațiului F este reprezentată printr-o combinație liniară de vectori (6.1) cu niște coeficienți:

Partea stângă a (6.3) este vectorul subspațial L, iar partea dreaptă este vectorul subspațial M. Prin urmare vectorul

(6.4) aparține subspațiului G=L∩M. Pe de altă parte, vectorul v poate fi reprezentat printr-o combinație liniară de vectori de bază ai subspațiului G:

(6.5) Din ecuațiile (6.4) și (6.5) avem:

Dar vectorii sunt baza subspațiului M, prin urmare sunt liniar independente și . Atunci (6.2) va lua forma:

Datorită independenței liniare a bazei subspațiului L avem:

Deoarece toți coeficienții din ecuația (6.2) s-au dovedit a fi zero, atunci vectorii

liniar independent. Dar orice vector z din F(prin definiția sumei subspațiilor) poate fi reprezentată prin suma x+y , Unde X ∈ L,y ∈ M. La randul lui X este reprezentată printr-o combinație liniară de vectori a y - combinație liniară de vectori. Prin urmare, vectorii (6.10) dau originea subspațiului F. Am constatat că vectorii (6.10) formează o bază F=L+M.

Studierea bazelor subspațiale LȘi Mși baza subspațială F=L+M(6.10), avem: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Prin urmare:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Suma directă a subspațiilor

Definiție 6.2. Spaţiu F reprezintă suma directă a subspațiilor LȘi M, dacă fiecare vector X spaţiu F poate fi reprezentat doar ca o sumă x=y+z , Unde y ∈L și z ∈M.

Se indică suma directă L⊕M. Ei spun că dacă F=L⊕M, Acea F se descompune în suma directă a subspațiilor sale LȘi M.

Teorema 6.2. Pentru a n-spațiul dimensional R a fost suma directă a subspațiilor LȘi M, este suficient pentru intersectie LȘi M conținea doar elementul zero și că dimensiunea R era egală cu suma dimensiunilor subspațiilor LȘi M.

Dovada. Să alegem o bază în subspațiul L și o bază în subspațiul M. Să demonstrăm că

(6.11) este baza spațiului R. Conform condițiilor teoremei, dimensiunea spațiului Rn egală cu suma subspațiilor LȘi M (n=l+m). Este suficient să se demonstreze independența liniară a elementelor (6.11). Fie vectorul zero al spațiului R este reprezentată printr-o combinație liniară de vectori (6.11) cu niște coeficienți:

(6.13) Deoarece partea stângă a lui (6.13) este un vector al subspațiului L, iar partea dreaptă este vectorul subspațial MȘi L∩M=0 , Acea

(6.14) Dar vectorii sunt bazele subspațiilor LȘi M respectiv. Prin urmare, ele sunt liniar independente. Apoi

(6.15) S-a stabilit că (6.12) este valabilă numai în condiția (6.15), iar aceasta demonstrează independența liniară a vectorilor (6.11). Prin urmare, ele formează o bază în R.

Fie x∈R. Să-l extindem conform bazei (6.11):

(6.16) Din (6.16) avem:

(6.18) Din (6.17) și (6.18) rezultă că orice vector din R poate fi reprezentat ca o sumă de vectori X 1 ∈LȘi X 2 ∈M. Rămâne de demonstrat că această reprezentare este unică. Fie, pe lângă reprezentarea (6.17), să existe următoarea reprezentare:

(6.19) Scăzând (6.19) din (6.17), obținem

(6.20) Deoarece , și L∩M=0 , apoi și . Prin urmare și. ■

Teorema 8.4 asupra dimensiunii sumei subspațiilor. Dacă și sunt subspații ale unui spațiu liniar cu dimensiuni finite, atunci dimensiunea sumei subspațiilor este egală cu suma dimensiunilor lor fără dimensiunea intersecției lor ( Formula lui Grassmann):

De fapt, să fie baza intersecției. Să-l suplimentăm cu un set ordonat de vectori până la baza subspațiului și un set ordonat de vectori până la baza subspațiului. O astfel de adăugare este posibilă prin Teorema 8.2. Din aceste trei seturi de vectori, să creăm un set ordonat de vectori. Să arătăm că acești vectori sunt generatori ai spațiului. Într-adevăr, orice vector al acestui spațiu este reprezentat ca o combinație liniară de vectori dintr-o mulțime ordonată

Prin urmare, . Să demonstrăm că generatoarele sunt liniar independente și, prin urmare, ele stau la baza spațiului. Într-adevăr, să facem o combinație liniară a acestor vectori și să o echivalăm cu vectorul zero: . Toți coeficienții acestei expansiuni sunt zero: subspațiile unui spațiu vectorial cu formă biliniară sunt mulțimea tuturor vectorilor ortogonali fiecărui vector din . Această mulțime este un subspațiu vectorial, care este de obicei notat cu .

Articolul descrie elementele de bază ale algebrei liniare: spațiul liniar, proprietățile acestuia, conceptul de bază, dimensiunile spațiului, corpul liniar, legătura dintre spațiile liniare și rangul matricelor.

Spațiu liniar

O multime de L numit spațiu liniar, dacă pentru toate elementele sale operaţiile de adunare a două elemente şi de înmulţire a unui element cu un număr satisfăcător eu grup Axiomele lui Weyl. Elementele spațiului liniar se numesc vectori. Aceasta este o definiție completă; mai pe scurt, putem spune că un spațiu liniar este un set de elemente pentru care sunt definite operațiile de adunare a două elemente și de înmulțire a unui element cu un număr.

Axiomele lui Weyl.

Hermann Weil a sugerat că în geometrie avem două tipuri de obiecte ( vectori și puncte), ale căror proprietăți sunt descrise de următoarele axiome, care au stat la baza secțiunii algebră liniară. Este convenabil să împărțiți axiomele în 3 grupuri.

Grupa I

1. pentru orice vector x și y egalitatea x+y=y+x este satisfăcută;
2. pentru orice vector x, y și z egalitatea x+(y+z)=(x+y)+z este satisfăcută;
3. există un vector o astfel încât pentru orice vector x egalitatea x+o=x este valabilă;
4. pentru orice vector X există un vector (-x) astfel încât x+(-x)=o;
5. pentru orice vector X egalitatea 1x=x este valabilă;
6. pentru orice vector XȘi lași orice număr λ egalitatea λ( X+la)=λ X+λ la;
7. pentru orice vector Xși orice numere λ și μ, egalitatea este valabilă (λ+μ) X=λ X+μ X;
8. pentru orice vector X iar orice numere λ și μ egalitatea λ(μ X)=(λμ) X;

Grupa II

Grupa I definește conceptul combinație liniară de vectori, dependență liniară și independență liniară. Acest lucru ne permite să formulăm încă două axiome:

1. există n vectori liniar independenți;
2. orice vector (n+1) este dependent liniar.

Pentru planimetrie n=2, pentru stereometrie n=3.

Grupa III

Acest grup presupune că există o operație de multiplicare scalară care atribuie o pereche de vectori XȘi la număr ( X y). în care:

1. pentru orice vector XȘi la egalitatea este valabilă ( X y)=(y, x);
2. pentru orice vector X , laȘi z egalitatea este valabilă ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. pentru orice vector XȘi lași orice număr λ egalitatea (λ X y)=λ( X y);
4. pentru orice vector x inegalitatea este valabilă ( x, x)≥0 și ( x, x)=0 dacă și numai dacă X=0.

Proprietățile spațiului liniar

Cele mai multe proprietăți ale spațiului liniar se bazează pe axiomele lui Weyl:

1. Vector O, a cărui existență este garantată de Axioma 3, este determinată într-un mod unic;
2. Vector (- X), a cărei existență este garantată de Axioma 4, este determinată într-un mod unic;
3. Pentru oricare doi vectori AȘi b aparținând spațiului L, există un singur vector X, aparținând tot spațiului L, care este o soluție a ecuației a+x=bși numită diferența vectorială b-a.

Definiție. Subset L' spațiu liniar L numit subspațiu liniar spaţiu L, dacă el însuși este un spațiu liniar în care suma vectorilor și produsul unui vector și al unui număr sunt definite în același mod ca în L.

Definiție. Înveliș liniar L(x1, x2, x3, …, xk) vectori x1, x2, x3,Și xk se numește mulțimea tuturor combinațiilor liniare ale acestor vectori. Despre învelișul liniar putem spune că

-carcasa liniară este un subspațiu liniar;

– carcasa liniară este subspațiul liniar minim care conține vectorii x1, x2, x3,Și xk.

Definiție. Un spațiu liniar se numește n-dimensional dacă satisface Grupul II al sistemului de axiome Weyl. Se numește numărul n dimensiune spațiu liniar și scrieți dimL=n.

Bază– orice sistem ordonat de n vectori liniar independenți ai spațiului. Semnificația bazei este că vectorii care alcătuiesc baza pot fi utilizați pentru a descrie orice vector din spațiu.

Teorema. Orice n vectori liniar independenți din spațiul L formează o bază.

Izomorfism.

Definiție. Spații liniare LȘi L' se numesc izomorfe dacă se poate stabili o astfel de corespondență unu-la-unu între elementele lor x↔x’, Ce:

1. Dacă x↔x’, y↔y’, Acea x+y↔x’+y’;
2. Dacă x↔x’, apoi λ x↔λ X'.

Această corespondență în sine se numește izomorfism. Izomorfismul ne permite să facem următoarele afirmații:

• dacă două spații sunt izomorfe, atunci dimensiunile lor sunt egale;
• oricare două spații liniare peste același câmp și de aceeași dimensiune sunt izomorfe.

1. Set de polinoame P n (X) grade nu mai mari n.

2. O multime de n-secvente de termeni (cu adunare termen cu termen si inmultire cu un scalar).

3 . O mulțime de caracteristici C [ A , b ] continuu pe [ A, b] și cu adunare punctual și înmulțire cu un scalar.

4. Multe funcții specificate pe [ A, b] și dispare într-un punct interior fix c: f (c) = 0 și cu operații punctual de adunare și înmulțire cu un scalar.

5. Setați R+, dacă X ⊕ y  X  y, ⊙X X  .

§8. Definiţia subspace

Lasă decorul W este o submulțime a spațiului liniar V (W  V) și așa încât

a)  X, yW  X ⊕ yW;

b)  XW,    ⊙ XW.

Operațiile de adunare și înmulțire aici sunt aceleași ca în spațiu V(se numesc induse spațiale V).

Asa de mult W numit subspațiu al spațiului V.

7  . Subspațiu Wîn sine este spațiu.

◀ Pentru a o demonstra, este suficient să dovediți existența unui element neutru și contrariul acestuia. Egalități 0⊙ X=  și (–1)⊙ X = –X dovedesc ceea ce este necesar.

Un subspațiu format doar dintr-un element neutru () și un subspațiu care coincide cu spațiul însuși V, sunt numite subspații triviale ale spațiului V.

§9. Combinație liniară de vectori. Intervalul liniar al sistemului vectorial

Lasă vectorii e 1 ,e 2 , …e n Vși  1,  2 , …  n .

Vector x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = numit liniar combinație de vectori e 1 , e 2 , … , e n cu coeficienți  1,  2 , …  n .

Dacă toți coeficienții dintr-o combinație liniară sunt egali cu zero, atunci combinația liniară numit banal.

Set de toate combinațiile liniare posibile de vectori
numită carenă liniară acest sistem de vectori și se notează:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Corectitudinea operațiilor de adunare și înmulțire cu un scalar rezultă din faptul că ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) este o mulțime de toate combinațiile liniare posibile. Elementul neutru este o combinație liniară trivială. Pentru element X=
opusul este elementul - X =
. Sunt satisfăcute și axiomele pe care operațiile trebuie să le îndeplinească. Astfel,ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) este un spațiu liniar.

Orice spațiu liniar conține, în cazul general, un număr infinit de alte spații liniare (subspații) - învelișuri liniare

Pe viitor vom încerca să răspundem la următoarele întrebări:

Când învelișurile liniare ale diferitelor sisteme vectoriale constau din aceiași vectori (adică coincid)?

2) Care este numărul minim de vectori care definesc aceeași distanță liniară?

3) Este spațiul original un interval liniar al unui sistem de vectori?

§10. Sisteme vectoriale complete

Dacă în spațiu V există o mulțime finită de vectori
deci ce,ℒ
 V, apoi sistemul de vectori
se numește sistem complet în V, iar spațiul se numește dimensional finit. Astfel, sistemul de vectori e 1 , e 2 , …, e n V numit complet in V sistem, adică Dacă

XV   1 ,  2 , …  n astfel încât x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Dacă în spațiu V nu există un sistem complet finit (și întotdeauna există unul complet - de exemplu, mulțimea tuturor vectorilor spațiului V), apoi spațiul V se numește infinit-dimensional.

9  . Dacă
plin in V sistem de vectori și y V, Acea ( e 1 , e 2 , …, e n , y) este, de asemenea, un sistem complet.

◀ În combinațiile liniare coeficientul înainte y ia egal cu 0.

Fie un sistem de vectori din . Înveliș liniar sisteme vectoriale este mulțimea tuturor combinațiilor liniare de vectori ai unui sistem dat, adică

Proprietățile unei învelișuri liniare: Dacă , atunci pentru și .

Învelișul liniar are proprietatea de a fi închis în raport cu operațiile liniare (operațiile de adunare și înmulțire cu un număr).

O submulțime a unui spațiu care are proprietatea de a fi închis în raport cu operațiile de adunare și înmulțire cu numere se numeștesubspațiu liniar al spațiului .

Învelișul liniar al unui sistem de vectori este un subspațiu liniar al spațiului.

Sistemul de vectori din se numește bază ,Dacă

Orice vector poate fi exprimat ca o combinație liniară de vectori de bază:

2. Sistemul de vectori este liniar independent.

Lema Coeficienți de expansiune vectorială în funcție de bază sunt determinate în mod unic.

Vector , compus din coeficienți de expansiune vectorială după bază se numește vectorul de coordonate al vectorului în bază .

Desemnare . Această intrare subliniază faptul că coordonatele vectorului depind de bază.

Spații liniare

Definiții

Să fie dat un set de elemente de natură arbitrară. Să fie definite două operații pentru elementele acestei mulțimi: adunarea și înmulțirea cu oricare real număr: , și setați închis cu privire la aceste operaţiuni: . Lasă aceste operații să se supună axiomelor:

3. Există un vector zero cu proprietatea pentru ;

4. pentru fiecare există un vector invers cu proprietatea ;

6. pentru , ;

7. pentru , ;

Atunci se numește un astfel de set spațiu liniar (vector)., elementele sale se numesc vectori, și - pentru a sublinia diferența lor față de numerele de la - acestea din urmă sunt numite scalari 1) . Se numește un spațiu format dintr-un singur vector zero banal .

Dacă în axiomele 6 - 8 permitem înmulțirea cu scalari complecși, atunci un astfel de spațiu liniar se numește cuprinzător. Pentru a ne simplifica raționamentul, în cele ce urmează vom lua în considerare doar spațiile reale.

Un spațiu liniar este un grup în raport cu operația de adunare și un grup abelian.

Unicitatea vectorului zero și unicitatea vectorului invers față de vector sunt ușor de demonstrat: , este de obicei desemnat .

Un subset al unui spațiu liniar care este el însuși un spațiu liniar (adică închis prin adăugarea vectorilor și înmulțirea cu un scalar arbitrar) se numește subspațiu liniar spaţiu. Subspații triviale Un spațiu liniar se numește el însuși și spațiul constând dintr-un vector zero.

Exemplu. Spațiul triplelor ordonate ale numerelor reale

operații definite de egalități:

Interpretarea geometrică este evidentă: un vector în spațiu, „legat” de origine, poate fi specificat în coordonatele capătului său. Figura arată și un subspațiu tipic al spațiului: un plan care trece prin origine. Mai exact, elementele sunt vectori care își au originea la origine și se termină în puncte din plan. Închiderea unei astfel de mulțimi în ceea ce privește adăugarea vectorilor și dilatarea lor 2) este evidentă.

Pe baza acestei interpretări geometrice, se vorbește adesea despre un vector al unui spațiu liniar arbitrar ca punct în spațiu. Uneori, acest punct este numit „sfârșitul vectorului”. În afară de comoditatea percepției asociative, acestor cuvinte nu li se dă nici un sens formal: conceptul de „sfârșit al unui vector” este absent în axiomatica spațiului liniar.

Exemplu. Pe baza aceluiași exemplu, putem da o interpretare diferită a spațiului vectorial (încorporat, de altfel, în însăși originea cuvântului „vector” 3)) - definește un set de „deplasări” de puncte în spațiu. Aceste deplasări - sau translații paralele ale oricărei figuri spațiale - sunt alese să fie paralele cu planul.

În general, cu astfel de interpretări ale conceptului de vector, totul nu este atât de simplu. Încearcă să apeleze la sensul său fizic - ca obiect care are mărimeaȘi direcţie- provocați o mustrare corectă din partea matematicienilor stricți. Definiția unui vector ca element al spațiului vectorial amintește foarte mult de episodul cu sepulchami din celebra poveste science-fiction a lui Stanislaw Lem (vezi ☞AICI). Să nu ne agățăm de formalism, ci să explorăm acest obiect neclar în manifestările sale particulare.

Exemplu. O generalizare firească este spațiul: spațiu vectorial rând sau coloană . O modalitate de a specifica un subspațiu este de a specifica un set de constrângeri.

Exemplu. Mulțimea soluțiilor unui sistem de ecuații liniare omogene:

formează un subspațiu liniar al spațiului. De fapt, dacă

Soluția sistemului, atunci

Aceeași soluție pentru orice. Dacă

O altă soluție pentru sistem, atunci

Va fi și decizia ei.

De ce există multe soluții pentru sistem? eterogen ecuațiile nu formează un subspațiu liniar?

Exemplu. Generalizând în continuare, putem considera spațiul șirurilor „infinite” sau secvente , de obicei obiectul analizei matematice - atunci când se consideră secvențe și serii. Puteți considera linii (secvențe) „infinite în ambele direcții” - sunt folosite în TEORIA SEMNULUI.

Exemplu. Mulțimea de -matrici cu elemente reale cu operațiile de adunare și înmulțire a matricelor cu numere reale formează un spațiu liniar.

În spațiul matricelor de ordin pătrat se pot distinge două subspații: subspațiul matricelor simetrice și subspațiul matricelor simetrice. În plus, subspații formează fiecare dintre mulțimile: matrice triunghiulară superioară, matrice idiagonală triunghiulară inferioară.

Exemplu. O mulțime de polinoame de un grad variabil exact egal cu coeficienții lui (unde este oricare dintre mulțimi sau ) cu operațiile obișnuite de adunare a polinoamelor și înmulțire cu un număr din nu se formează spațiu liniar. De ce? - Pentru că nu este închis sub adunare: suma polinoamelor nu va fi un polinom de gradul al-lea. Dar aici sunt o mulțime de polinoame de grad nu mai sus

forme spațiale liniare; numai la aceasta multime trebuie sa adaugam si un polinom identic nul 4). Subspațiile evidente sunt . În plus, subspațiile vor fi mulțimea de polinoame pare și mulțimea de polinoame impare de grad cel mult . Mulțimea tuturor polinoamelor posibile (fără restricții de grade) formează, de asemenea, un spațiu liniar.

Exemplu. O generalizare a cazului anterior va fi spațiul de polinoame de mai multe variabile de grad cel mult cu coeficienți din . De exemplu, mulțimea de polinoame liniare

formează un spațiu liniar. Mulțimea de polinoame (forme) omogene de grad (cu adăugarea unui polinom identic zero la această mulțime) este, de asemenea, un spațiu liniar.

În ceea ce privește definiția de mai sus, setul de șiruri de caractere cu componente întregi

luate în considerare cu privire la operaţiile de adunare şi înmulţire pe componente prin numere întregi scalari nu este un spațiu liniar. Cu toate acestea, toate axiomele 1 - 8 vor fi satisfăcute dacă permitem înmulțirea numai cu scalari întregi. În această secțiune nu ne vom concentra asupra acestui obiect, dar este destul de util în matematică discretă, de exemplu în ☞ TEORIA CODIFICARII. Spațiile liniare peste câmpuri finite sunt considerate ☞ AICI.

Variabilele sunt izomorfe cu spațiul matricelor simetrice de ordinul al-lea. Izomorfismul este stabilit printr-o corespondență, pe care o vom ilustra pentru cazul:

Conceptul de izomorfism este introdus pentru a realiza studiul obiectelor care apar în diferite zone ale algebrei, dar cu proprietăți „similare” ale operațiilor, folosind exemplul unui eșantion, elaborând rezultate pe acesta care pot fi apoi replicate ieftin. Ce spațiu liniar ar trebui să luăm „ca probă”? - Vezi sfârșitul următorului paragraf