Matricat, veprimet mbi matricat. matricë e anasjelltë

Viti i 1-re, matematika e larte, studion matricat dhe veprimet themelore mbi to. Këtu sistematizojmë operacionet bazë që mund të kryhen me matrica. Ku të filloni të njiheni me matricat? Sigurisht, nga gjërat më të thjeshta - përkufizimet, konceptet themelore dhe operacionet e thjeshta. Ju sigurojmë se matricat do të kuptohen nga të gjithë ata që i kushtojnë të paktën pak kohë!

Përkufizimi i matricës

Matricëështë një tabelë elementësh drejtkëndëshe. Epo, me fjalë të thjeshta - një tabelë me numra.

Në mënyrë tipike, matricat shënohen me shkronja të mëdha latine. Për shembull, matricë A , matricë B e kështu me radhë. Matricat mund të jenë të madhësive të ndryshme: drejtkëndëshe, katrore, dhe ka edhe matrica rreshtash dhe kolonash të quajtura vektorë. Madhësia e matricës përcaktohet nga numri i rreshtave dhe kolonave. Për shembull, le të shkruajmë një matricë drejtkëndore të madhësisë m në n , Ku m – numri i rreshtave dhe n - numri i kolonave.

Artikujt për të cilët i=j (a11, a22, .. ) formojnë diagonalen kryesore të matricës dhe quhen diagonale.

Çfarë mund të bëni me matricat? Shto/Zbris, shumëzohen me një numër, shumohen mes tyre, transpozoj. Tani për të gjitha këto operacione bazë në matrica në rend.

Veprimet e mbledhjes dhe zbritjes së matricës

Le t'ju paralajmërojmë menjëherë se mund të shtoni vetëm matrica me të njëjtën madhësi. Rezultati do të jetë një matricë me të njëjtën madhësi. Shtimi (ose zbritja) e matricave është e thjeshtë - ju vetëm duhet të shtoni elementet e tyre përkatëse . Le të japim një shembull. Le të kryejmë mbledhjen e dy matricave A dhe B të madhësisë dy nga dy.

Zbritja kryhet me analogji, vetëm me shenjën e kundërt.

Çdo matricë mund të shumëzohet me një numër arbitrar. Për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni çdo element të tij me këtë numër. Për shembull, le të shumëzojmë matricën A nga shembulli i parë me numrin 5:

Operacioni i shumëzimit të matricës

Jo të gjitha matricat mund të shumëzohen së bashku. Për shembull, ne kemi dy matrica - A dhe B. Ato mund të shumëzohen me njëra-tjetrën vetëm nëse numri i kolonave të matricës A është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës B. Në këtë rast çdo element i matricës rezultuese, i vendosur në rreshtin i-të dhe kolonën j-të, do të jetë i barabartë me shumën e produkteve të elementeve përkatës në rreshtin i-të të faktorit të parë dhe kolonës j-të të i dyti. Për të kuptuar këtë algoritëm, le të shkruajmë se si shumëzohen dy matrica katrore:

Dhe një shembull me numra realë. Le të shumëzojmë matricat:

Operacioni i transpozimit të matricës

Transpozimi i matricës është një operacion ku ndërrohen rreshtat dhe kolonat përkatëse. Për shembull, le të transpozojmë matricën A nga shembulli i parë:

Përcaktues matricë

Përcaktor, ose përcaktor, është një nga konceptet bazë të algjebrës lineare. Njëherë e një kohë, njerëzit vinin me ekuacione lineare dhe pas tyre duhej të dilnin me një përcaktues. Në fund, ju takon juve të merreni me gjithë këtë, pra, shtytja e fundit!

Përcaktori është një karakteristikë numerike e një matrice katrore, e cila nevojitet për të zgjidhur shumë probleme.
Për të llogaritur përcaktuesin e matricës më të thjeshtë katrore, duhet të llogaritni ndryshimin midis produkteve të elementeve të diagonaleve kryesore dhe dytësore.

Përcaktori i një matrice të rendit të parë, domethënë i përbërë nga një element, është i barabartë me këtë element.

Po sikur matrica të jetë tre me tre? Kjo është më e vështirë, por ju mund ta menaxhoni atë.

Për një matricë të tillë, vlera e përcaktorit është e barabartë me shumën e produkteve të elementeve të diagonales kryesore dhe produkteve të elementeve që shtrihen në trekëndëshat me faqe paralele me diagonalen kryesore, nga e cila prodhohet produkti i zbriten elementet e diagonales dytësore dhe produkti i elementeve që shtrihen në trekëndëshat me faqen e diagonales dytësore paralele.

Për fat të mirë, në praktikë është e rrallë e nevojshme të llogariten përcaktuesit e matricave të madhësive të mëdha.

Këtu shikuam operacionet bazë mbi matricat. Natyrisht, në jetën reale nuk mund të hasni asnjëherë as edhe një aluzion të një sistemi matricë ekuacionesh, ose, përkundrazi, mund të hasni në raste shumë më komplekse kur vërtet duhet të grumbulloni trurin tuaj. Pikërisht për raste të tilla ekzistojnë shërbime profesionale studentore. Kërkoni ndihmë, merrni një zgjidhje cilësore dhe të detajuar, shijoni suksesin akademik dhe kohën e lirë.

Leksioni 1. “Matricat dhe operacionet bazë mbi to. Përcaktuesit

Përkufizimi. Matricë madhësia m n, Ku m- numri i rreshtave, n- numri i kolonave, i quajtur një tabelë numrash të rregulluar në një rend të caktuar. Këta numra quhen elementë matricë. Vendndodhja e secilit element përcaktohet në mënyrë unike nga numri i rreshtit dhe kolonës në kryqëzimin e së cilës ndodhet. Përcaktohen elementët e matricësa ij, Ku i- numri i linjës dhe j- numri i kolonës.

A =

Veprimet bazë në matrica.

Një matricë mund të përbëhet nga një rresht ose një kolonë. Në përgjithësi, një matricë mund të përbëhet edhe nga një element.

Përkufizimi. Nëse numri i kolonave të matricës është i barabartë me numrin e rreshtave (m=n), atëherë matrica quhet katrore.

Përkufizimi. Shiko matricën:

= E ,

thirrur matrica e identitetit.

Përkufizimi. Nëse a mn = a nm , atëherë quhet matrica simetrike.

Shembull.
- matricë simetrike

Përkufizimi. Matrica katrore e formës
thirrur diagonale matricë.

Mbledhja dhe zbritja matricat reduktohen në veprimet përkatëse në elementet e tyre. Vetia më e rëndësishme e këtyre operacioneve është se ato të përcaktuara vetëm për matricat me të njëjtën madhësi. Kështu, është e mundur të përcaktohen operacionet e mbledhjes dhe zbritjes së matricës:

Përkufizimi. Shuma (ndryshimi) matricat është një matricë, elementët e së cilës janë, respektivisht, shuma (diferenca) e elementeve të matricave origjinale.

c ij = a ij  b ij

C = A + B = B + A.

Operacioni shumëzim (pjestim) matrica e çdo madhësie me një numër arbitrar reduktohet në shumëzimin (pjestimin) e secilit element të matricës me këtë numër.

 (A+B) =  A   B A( ) =  A   A

Shembull. Matricat e dhëna A =
; B=
, gjeni 2A + B.

2A =
, 2A + B =
.

Operacioni i shumëzimit të matricës.

Përkufizimi: Puna matricat është një matricë, elementët e së cilës mund të llogariten duke përdorur formulat e mëposhtme:

A B = C;
.

Nga përkufizimi i mësipërm është e qartë se operacioni i shumëzimit të matricës është përcaktuar vetëm për matricat numri i kolonave të së parës është i barabartë me numrin e rreshtave të së dytës.

Vetitë e veprimit të shumëzimit të matricës.

1) Shumëzimi i matricësjo komutative , d.m.th. AB  VA edhe nëse të dy produktet janë të përcaktuara. Megjithatë, nëse për ndonjë matricë relacioni AB = BA është i kënaqur, atëherë matrica të tilla quhene perndryshueshme.

Shembulli më tipik është një matricë që lëviz me çdo matricë tjetër të së njëjtës madhësi.

Vetëm matricat katrore të të njëjtit rend mund të jenë të pandryshueshme.

A E = E A = A

Natyrisht, për çdo matricë vlen vetia e mëposhtme:

A O = O; O A = O,

ku O - zero matricë.

2) Operacioni i shumëzimit të matricës asociative, ato. nëse përcaktohen prodhimet AB dhe (AB)C, atëherë përcaktohen BC dhe A(BC) dhe barazia vlen:

(AB)C=A(BC).

3) Operacioni i shumëzimit të matricës shpërndarës në lidhje me shtimin, d.m.th. nëse shprehjet A(B+C) dhe (A+B)C kanë kuptim, atëherë në përputhje me rrethanat:

A(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC.

4) Nëse produkti AB është i përcaktuar, atëherë për çdo numër raporti i mëposhtëm është i saktë:

(AB) = ( A) B = A( B).

5) Nëse produkti AB është i përcaktuar, atëherë produkti B T A T përcaktohet dhe barazia vlen:

(AB) T = B T A T, ku

indeksi T tregon transpozuar matricë.

6) Vini re gjithashtu se për çdo matricë katrore det (AB) = detA detB.

Cfare ndodhi det do të diskutohet më poshtë.

Përkufizimi . Matrica B quhet transpozuar matrica A dhe kalimi nga A në B transpozim, nëse elementet e çdo rreshti të matricës A janë shkruar në të njëjtin rend në kolonat e matricës B.

A =
; B = A T =
;

me fjalë të tjera, b ji = a ij .

Si pasojë e vetive të mëparshme (5), mund të shkruajmë se:

(ABC) T = C T B T A T,

me kusht që produkti i matricave ABC të përcaktohet.

Shembull. Matricat e dhëna A =
, B = , C =
dhe numri = 2. Gjeni A T B+  C.

A T =
; A T B =
 =
=
;

C =
; A T B+  C =
+
=
.

Shembull. Gjeni prodhimin e matricave A = dhe B =
.

AB = 
=
.

VA =
 = 2  1 + 4  4 + 1  3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Shembull. Gjeni prodhimin e matricave A=
, B =

AB =

=
=
.

Përcaktuesit(përcaktorë).

Përkufizimi. Përcaktues matrica katrore A=
është një numër që mund të llogaritet nga elementët e një matrice duke përdorur formulën:

det A =
, ku (1)

M 1 deri në– përcaktor i matricës i marrë nga ajo origjinale duke fshirë rreshtin e parë dhe kolonën k-të. Duhet theksuar se përcaktorët kanë vetëm matrica katrore, d.m.th. matricat në të cilat numri i rreshtave është i barabartë me numrin e kolonave.

F Formula (1) ju lejon të llogaritni përcaktuesin e një matrice nga rreshti i parë; formula për llogaritjen e përcaktorit nga kolona e parë është gjithashtu e vlefshme:

det A =
(2)

Në përgjithësi, përcaktori mund të llogaritet nga çdo rresht ose kolonë e një matrice, d.m.th. formula eshte e sakte:

detA =
, i = 1,2,…,n. (3)

Natyrisht, matrica të ndryshme mund të kenë të njëjtët përcaktues.

Përcaktori i matricës së identitetit është 1.

Për matricën e specifikuar A, thirret numri M 1k të mitur shtesë elementi i matricës a 1 k . Kështu, mund të konkludojmë se çdo element i matricës ka minorin e vet shtesë. Minoret shtesë ekzistojnë vetëm në matricat katrore.

Përkufizimi. E mitura shtesë i një elementi arbitrar të një matrice katrore një ij është e barabartë me përcaktuesin e matricës së marrë nga ajo origjinale duke fshirë rreshtin i-të dhe kolonën j-të.

Prona 1. Një veti e rëndësishme e përcaktuesve është marrëdhënia e mëposhtme:

det A = det A T;

Prona 2. det (A B) = det A det B.

Prona 3. det (AB) = detA detB

Prona 4. Nëse ndërroni çdo dy rreshta (ose kolona) në një matricë katrore, përcaktori i matricës do të ndryshojë shenjën pa ndryshuar në vlerë absolute.

Prona 5. Kur shumëzoni një kolonë (ose rresht) të një matrice me një numër, përcaktori i saj shumëzohet me atë numër.

Prona 6. Nëse në matricën A rreshtat ose kolonat janë të varura linearisht, atëherë përcaktorja e saj është e barabartë me zero.

Përkufizimi: Kolonat (rreshtat) e një matrice quhen varur në mënyrë lineare, nëse ka një kombinim linear të tyre të barabartë me zero që ka zgjidhje jo triviale (jo zero).

Prona 7. Nëse një matricë përmban një kolonë zero ose një rresht zero, atëherë përcaktori i saj është zero. (Kjo deklaratë është e qartë, pasi përcaktori mund të llogaritet saktësisht nga rreshti ose kolona zero.)

Prona 8. Përcaktori i një matrice nuk do të ndryshojë nëse elementet e një rreshti (kolona) tjetër shtohen (zbriten) elementeve të një prej rreshtave (kolonave) të saj, shumëzuar me çdo numër që nuk është i barabartë me zero.

Prona 9. Nëse relacioni i mëposhtëm është i vërtetë për elementët e çdo rreshti ose kolone të matricës:d = d 1  d 2 , e = e 1  e 2 , f = det (AB).

Metoda 1: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

Metoda e 2-të: AB =
, det (AB) = 7  18 - 8  19 = 126 –

– 152 = -26.

Ky manual do t'ju ndihmojë të mësoni se si të veproni veprimet me matrica: mbledhja (zbritja) e matricave, transpozimi i një matrice, shumëzimi i matricave, gjetja e matricës së kundërt. I gjithë materiali paraqitet në një formë të thjeshtë dhe të arritshme, jepen shembuj përkatës, kështu që edhe një person i papërgatitur mund të mësojë se si të kryejë veprime me matrica. Për vetë-monitorim dhe vetë-testim, mund të shkarkoni falas një kalkulator matricë >>>.

Do të përpiqem të minimizoj llogaritjet teorike; në disa vende janë të mundshme shpjegimet "në gishta" dhe përdorimi i termave joshkencor. Dashamirët e teorisë solide, ju lutemi mos u përfshini në kritika, detyra jonë është Mësoni të kryeni veprime me matrica.

Për përgatitjen SUPER FAST për temën (kush është "në zjarr") ekziston një kurs intensiv pdf Matricë, përcaktues dhe test!

Një matricë është një tabelë drejtkëndore e disa elementet. Si elementet do të shqyrtojmë numrat, pra matricat numerike. ELEMENTështë një term. Këshillohet të mbani mend termin, do të shfaqet shpesh, nuk është rastësi që kam përdorur font të theksuar për ta theksuar.

Përcaktimi: matricat zakonisht shënohen me shkronja të mëdha latine

Shembull: Konsideroni një matricë dy nga tre:

Kjo matricë përbëhet nga gjashtë elementet:

Të gjithë numrat (elementet) brenda matricës ekzistojnë më vete, domethënë nuk bëhet fjalë për ndonjë zbritje:

Është vetëm një tabelë (grumbull) numrash!

Ne gjithashtu do të pajtohemi mos e riorganizoni numrat, përveç nëse përcaktohet ndryshe në shpjegime. Çdo numër ka vendndodhjen e vet dhe nuk mund të ngatërrohet!

Matrica në fjalë ka dy rreshta:

dhe tre kolona:

STANDARD: kur flasim për madhësitë e matricës, atëherë ne fillim tregoni numrin e rreshtave, dhe vetëm atëherë numrin e kolonave. Sapo kemi zbërthyer matricën dy nga tre.

Nëse numri i rreshtave dhe kolonave të një matrice është i njëjtë, atëherë matrica quhet katrore, Për shembull: - një matricë tre-nga-tre.

Nëse një matricë ka një kolonë ose një rresht, atëherë matrica të tilla quhen gjithashtu vektorët.

Në fakt, konceptin e një matrice e kemi njohur që në shkollë; merrni parasysh, për shembull, një pikë me koordinatat "x" dhe "y": . Në thelb, koordinatat e një pike shkruhen në një matricë një nga dy. Nga rruga, këtu është një shembull se pse renditja e numrave ka rëndësi: dhe janë dy pika krejtësisht të ndryshme në aeroplan.

Tani le të kalojmë te studimi veprimet me matrica:

1) Vepro një. Heqja e një minus nga matrica (futja e një minus në matricë).

Le të kthehemi në matricën tonë . Siç e keni vënë re ndoshta, ka shumë numra negativë në këtë matricë. Kjo është shumë e papërshtatshme nga pikëpamja e kryerjes së veprimeve të ndryshme me matricën, është e papërshtatshme të shkruash kaq shumë minuse, dhe thjesht duket e shëmtuar në dizajn.

Le ta zhvendosim minusin jashtë matricës duke ndryshuar shenjën e CDO elementi të matricës:

Në zero, siç e kuptoni, shenja nuk ndryshon; zero është gjithashtu zero në Afrikë.

Shembull i kundërt: . Duket e shëmtuar.

Le të futim një minus në matricë duke ndryshuar shenjën e CDO elementi të matricës:

Epo, doli shumë më bukur. Dhe, më e rëndësishmja, do të jetë më e lehtë për të kryer çdo veprim me matricën. Sepse ekziston një shenjë e tillë popullore matematikore: sa më shumë minuse, aq më shumë konfuzion dhe gabime.

2) Akti i dytë. Shumëzimi i një matrice me një numër.

Shembull:

Është e thjeshtë, për të shumëzuar një matricë me një numër, ju duhet çdo elementi i matricës i shumëzuar me një numër të caktuar. Në këtë rast - një tre.

Një shembull tjetër i dobishëm:

- shumëzimi i një matrice me një thyesë

Së pari le të shohim se çfarë të bëjmë NUK KA NEVOJË:

NUK ka nevojë të futet një fraksion në matricë; së pari, kjo vetëm ndërlikon veprimet e mëtejshme me matricën, dhe së dyti, e bën të vështirë për mësuesin të kontrollojë zgjidhjen (veçanërisht nëse – përgjigja përfundimtare e detyrës).

Dhe veçanërisht, NUK KA NEVOJË ndani çdo element të matricës me minus shtatë:

Nga artikulli Matematikë për dummies ose ku të filloni, kujtojmë se në matematikën e lartë përpiqen të shmangin në çdo mënyrë thyesat dhjetore me presje.

E vetmja gjë është mundësishtÇfarë duhet bërë në këtë shembull është të shtoni një minus në matricë:

Por nëse vetëm TE GJITHA Elementet e matricës u ndanë me 7 pa lënë gjurmë, atëherë do të ishte e mundur (dhe e nevojshme!) të ndahej.

Shembull:

Në këtë rast, ju mund DUHET shumëzojini të gjithë elementët e matricës me , pasi të gjithë numrat e matricës janë të pjesëtueshëm me 2 pa lënë gjurmë.

Shënim: në teorinë e matematikës së shkollës së lartë nuk ekziston koncepti i "ndarjes". Në vend që të thoni "kjo pjesëtuar me atë", mund të thoni gjithmonë "kjo shumëzuar me një thyesë". Kjo do të thotë, pjesëtimi është një rast i veçantë i shumëzimit.

3) Akti i tretë. Transpozimi i matricës.

Për të transpozuar një matricë, duhet të shkruani rreshtat e saj në kolonat e matricës së transpozuar.

Shembull:

Transpozoni matricën

Këtu ka vetëm një rresht dhe, sipas rregullit, duhet të shkruhet në një kolonë:

– matrica e transpozuar.

Një matricë e transpozuar zakonisht tregohet nga një mbishkrim ose një kryetar në krye të djathtë.

Shembull hap pas hapi:

Transpozoni matricën

Së pari ne rishkruajmë rreshtin e parë në kolonën e parë:

Pastaj ne rishkruajmë rreshtin e dytë në kolonën e dytë:

Dhe së fundi, ne rishkruajmë rreshtin e tretë në kolonën e tretë:

Gati. Përafërsisht, transpozimi do të thotë të kthesh matricën në anën e saj.

4) Akti i katërt. Shuma (ndryshimi) i matricave.

Shuma e matricave është një veprim i thjeshtë.
JO TË GJITHA MATRICAT MUND TË PALOSEN. Për të kryer mbledhje (zbritje) të matricave, është e nevojshme që ato të jenë TË NJËJTË MADESISË.

Për shembull, nëse jepet një matricë dy-nga-dy, atëherë ajo mund të shtohet vetëm me një matricë dy-nga-dy dhe asnjë tjetër!

Shembull:

Shtoni matricat Dhe

Për të shtuar matricat, duhet të shtoni elementet e tyre përkatëse:

Për diferencën e matricave rregulli është i ngjashëm, është e nevojshme të gjendet dallimi i elementeve përkatëse.

Shembull:

Gjeni ndryshimin e matricës ,

Si mund ta zgjidhni më lehtë këtë shembull, për të mos u ngatërruar? Këshillohet që të hiqni qafe minuset e panevojshme; për ta bërë këtë, shtoni një minus në matricë:

Shënim: në teorinë e matematikës së shkollave të larta nuk ekziston koncepti i "zbritjes". Në vend që të thoni "zbrisni këtë nga kjo", gjithmonë mund të thoni "shtoni një numër negativ në këtë". Domethënë, zbritja është një rast i veçantë i mbledhjes.

5) Akti i pestë. Shumëzimi i matricës.

Cilat matrica mund të shumëzohen?

Në mënyrë që një matricë të shumëzohet me një matricë, është e nevojshme në mënyrë që numri i kolonave të matricës të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të matricës.

Shembull:
A është e mundur të shumëzohet një matricë me një matricë?

Kjo do të thotë që të dhënat e matricës mund të shumëzohen.

Por nëse matricat riorganizohen, atëherë, në këtë rast, shumëzimi nuk është më i mundur!

Prandaj, shumëzimi nuk është i mundur:

Nuk është aq e rrallë të hasësh detyra me truk, kur nxënësit i kërkohet të shumëzojë matrica, shumëzimi i të cilave është padyshim i pamundur.

Duhet të theksohet se në disa raste është e mundur të shumëzohen matricat në të dyja mënyrat.
Për shembull, për matricat, dhe shumëzimi dhe shumëzimi janë të mundshëm

PËRKUFIZIMI I MATRIKSËS. LLOJET E MATRICES

Matrica e madhësisë m× n quhet një grup m·n numrat e renditur në një tabelë drejtkëndëshe prej m linjat dhe n kolonat. Kjo tabelë zakonisht mbyllet në kllapa. Për shembull, matrica mund të duket si kjo:

Për shkurtësi, një matricë mund të shënohet me një shkronjë të madhe të vetme, për shembull, A ose NË.

Në përgjithësi, një matricë e madhësisë m× n shkruaje keshtu

.

Numrat që përbëjnë matricën quhen elementet e matricës. Është i përshtatshëm për të siguruar elementë matricë me dy indekse një ij: E para tregon numrin e rreshtit dhe e dyta tregon numrin e kolonës. Për shembull, a 23- elementi është në rreshtin e dytë, kolonën e tretë.

Nëse një matricë ka të njëjtin numër rreshtash si numri i kolonave, atëherë matrica quhet katrore, dhe thirret numri i rreshtave ose kolonave të tij në rregull matricat. Në shembujt e mësipërm, matrica e dytë është katrore - rendi i saj është 3, dhe matrica e katërt është rendi 1.

Quhet një matricë në të cilën numri i rreshtave nuk është i barabartë me numrin e kolonave drejtkëndëshe. Në shembujt kjo është matrica e parë dhe e treta.

Ka edhe matrica që kanë vetëm një rresht ose një kolonë.

Një matricë me vetëm një rresht quhet matricë - rresht(ose varg), dhe një matricë me vetëm një kolonë matricë - kolonë.

Quhet një matricë, elementët e së cilës janë të gjithë zero i pavlefshëm dhe shënohet me (0), ose thjesht 0. Për shembull,

.

Diagonalja kryesore të një matrice katrore e quajmë diagonale që shkon nga e majta e sipërme në këndin e poshtëm djathtas.

Quhet një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët nën diagonalen kryesore janë të barabartë me zero trekëndëshi matricë.

.

Një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët, përveç ndoshta atyre në diagonalen kryesore, janë të barabartë me zero, quhet diagonale matricë. Për shembull, ose.

Quhet një matricë diagonale në të cilën të gjithë elementët diagonale janë të barabartë me një beqare matricë dhe shënohet me shkronjën E. Për shembull, matrica e identitetit të rendit të tretë ka formën .

VEPRIMET MBI MATRICAT

Barazia e matricës. Dy matrica A Dhe B thuhet se janë të barabartë nëse kanë të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash dhe elementet përkatëse të tyre janë të barabarta një ij = b ij. Keshtu nese Dhe , Kjo A=B, Nëse a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Dhe a 22 = b 22.

Transpozoni. Konsideroni një matricë arbitrare A nga m linjat dhe n kolonat. Mund të shoqërohet me matricën e mëposhtme B nga n linjat dhe m kolona, ​​në të cilat çdo rresht është një kolonë matrice A me të njëjtin numër (prandaj çdo kolonë është një rresht i matricës A me të njëjtin numër). Keshtu nese , Kjo .

Kjo matricë B thirrur transpozuar matricë A, dhe kalimi nga A te B transpozim.

Kështu, transpozimi është një përmbysje e roleve të rreshtave dhe kolonave të një matrice. Matrica e transpozuar në matricë A, zakonisht shënohet Një T.

Komunikimi ndërmjet matricës A dhe transpozimi i tij mund të shkruhet në formën .

Për shembull. Gjeni matricën e transpozuar të asaj të dhënë.

Shtimi i matricës. Lërini matricat A Dhe B përbëhet nga i njëjti numër rreshtash dhe i njëjti numër kolonash, d.m.th. kanë të njëjtat madhësi. Pastaj për të shtuar matricat A Dhe B të nevojshme për elementët e matricës A shtoni elementë të matricës B duke qëndruar në të njëjtat vende. Kështu, shuma e dy matricave A Dhe B quhet matricë C, e cila përcaktohet nga rregulli, për shembull,

Shembuj. Gjeni shumën e matricave:

Është e lehtë të verifikohet se mbledhja e matricës u bindet ligjeve të mëposhtme: komutative A+B=B+A dhe asociative ( A+B)+C=A+(B+C).

Shumëzimi i një matrice me një numër. Për të shumëzuar një matricë A për numër kçdo element i matricës është i nevojshëm A shumëzojeni me këtë numër. Kështu, produkti i matricës A për numër k ka një matricë të re, e cila përcaktohet nga rregulli ose .

Për çdo numër a Dhe b dhe matricat A Dhe B vlejnë barazitë e mëposhtme:

Shembuj.

Shumëzimi i matricës. Ky operacion kryhet sipas një ligji të veçantë. Para së gjithash, vërejmë se madhësitë e matricave të faktorëve duhet të jenë të qëndrueshme. Ju mund të shumëzoni vetëm ato matrica në të cilat numri i kolonave të matricës së parë përkon me numrin e rreshtave të matricës së dytë (d.m.th., gjatësia e rreshtit të parë është e barabartë me lartësinë e kolonës së dytë). Puna matricat A jo një matricë B quhet matrica e re C=AB, elementet e të cilit përbëhen si më poshtë:

Kështu, për shembull, për të marrë produktin (d.m.th. në matricë C) element i vendosur në rreshtin e parë dhe në kolonën e tretë nga 13, duhet të merrni rreshtin e parë në matricën e parë, kolonën e 3-të në të dytin dhe më pas të shumëzoni elementët e rreshtit me elementët e kolonës përkatëse dhe të shtoni produktet që rezultojnë. Dhe elementë të tjerë të matricës së produktit merren duke përdorur një produkt të ngjashëm të rreshtave të matricës së parë dhe kolonave të matricës së dytë.

Në përgjithësi, nëse shumëzojmë një matricë A = (a ij) madhësia m× n te matrica B = (b ij) madhësia n× fq, atëherë marrim matricën C madhësia m× fq, elementet e të cilit llogariten si më poshtë: element c ij përftohet si rezultat i prodhimit të elementeve i rreshti i matricës A tek elementët përkatës j kolona e matricës B dhe shtesat e tyre.

Nga ky rregull rrjedh se gjithmonë mund të shumëzoni dy matrica katrore të të njëjtit rend, dhe si rezultat marrim një matricë katrore të rendit të njëjtë. Në veçanti, një matricë katrore gjithmonë mund të shumëzohet në vetvete, d.m.th. katrore atë.

Një rast tjetër i rëndësishëm është shumëzimi i një matrice rreshti me një matricë kolone, dhe gjerësia e së parës duhet të jetë e barabartë me lartësinë e së dytës, duke rezultuar në një matricë të rendit të parë (d.m.th. një element). Vërtet,

.

Shembuj.

Kështu, këta shembuj të thjeshtë tregojnë se matricat, në përgjithësi, nuk lëvizin me njëra-tjetrën, d.m.th. A∙B ≠ B∙A . Prandaj, kur shumëzoni matricat, duhet të monitoroni me kujdes renditjen e faktorëve.

Mund të vërtetohet se shumëzimi i matricës u bindet ligjeve asociative dhe distributive, d.m.th. (AB)C=A(BC) Dhe (A+B)C=AC+BC.

Është gjithashtu e lehtë të kontrollohet kur shumëzohet një matricë katrore A në matricën e identitetit E me të njëjtin rend fitojmë përsëri një matricë A, dhe AE=EA=A.

Mund të vërehet fakti i mëposhtëm interesant. Siç e dini, prodhimi i 2 numrave jozero nuk është i barabartë me 0. Për matricat mund të mos jetë kështu, d.m.th. prodhimi i 2 matricave jozero mund të rezultojë i barabartë me matricën zero.

Për shembull, Nëse , Kjo

.

KONCEPTI I PËRCAKTORËVE

Le të jepet një matricë e rendit të dytë - një matricë katrore e përbërë nga dy rreshta dhe dy kolona .

Përcaktues i rendit të dytë që korrespondon me një matricë të caktuar është numri i marrë si më poshtë: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Përcaktori tregohet me simbolin .

Pra, për të gjetur përcaktuesin e rendit të dytë, duhet të zbritni produktin e elementeve përgjatë diagonales së dytë nga produkti i elementeve të diagonales kryesore.

Shembuj. Llogaritni përcaktorët e rendit të dytë.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të konsiderojmë një matricë të rendit të tretë dhe përcaktuesin përkatës të saj.

Përcaktori i rendit të tretë, që i korrespondon një matrice të caktuar katrore të rendit të tretë, është numri i shënuar dhe i marrë si më poshtë:

.

Kështu, kjo formulë jep zgjerimin e përcaktorit të rendit të tretë për sa i përket elementeve të rreshtit të parë një 11, një 12, një 13 dhe zvogëlon llogaritjen e përcaktorit të rendit të tretë në llogaritjen e përcaktorit të rendit të dytë.

Shembuj. Llogaritni përcaktorin e rendit të tretë.

Në mënyrë të ngjashme, mund të prezantohen konceptet e përcaktorëve të katërt, të pestës, etj. urdhrat, duke ulur renditjen e tyre duke u zgjeruar në elementët e rreshtit të parë, me shenjat "+" dhe "-" të termave të alternuara.

Pra, ndryshe nga një matricë, e cila është një tabelë numrash, një përcaktues është një numër që i caktohet matricës në një mënyrë të caktuar.

Matricë dimensioni është një tabelë drejtkëndëshe e përbërë nga elementë të vendosur në m linjat dhe n kolonat.

Elementet e matricës (indeksi i parë i− numri i rreshtit, indeksi i dytë j− numri i kolonës) mund të jenë numra, funksione etj. Matricat shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin.

Matrica quhet katrore, nëse ka të njëjtin numër rreshtash si numri i kolonave ( m = n). Në këtë rast numri n quhet rendi i matricës dhe vetë matrica quhet matricë n- urdhri.

Elemente me të njëjtat indekse formë diagonale kryesore matricën katrore dhe elementet (d.m.th. që kanë një shumë indeksesh të barabartë me n+1) − diagonale anësore.

Beqare matricëështë një matricë katrore, të gjithë elementët e diagonales kryesore të së cilës janë të barabartë me 1, kurse elementët e mbetur janë të barabartë me 0. Shënohet me shkronjën E.

Zero matricë− është një matricë, të gjithë elementët e së cilës janë të barabartë me 0. Një matricë zero mund të jetë e çdo madhësie.

Tek numri veprime lineare në matrica lidhen:

1) shtimi i matricës;

2) shumëzimi i matricave me numër.

Operacioni i mbledhjes së matricës përcaktohet vetëm për matricat me të njëjtin dimension.

Shuma e dy matricave A Dhe NË quhet matricë ME, të gjithë elementët e të cilit janë të barabartë me shumat e elementeve përkatëse të matricës A Dhe NË:

.

Produkt matricë A për numër k quhet matricë NË, të gjithë elementët e të cilit janë të barabartë me elementët përkatës të kësaj matrice A, shumëzuar me numrin k:

Operacioni shumëzimi i matricësështë futur për matricat që plotësojnë kushtin: numri i kolonave të matricës së parë është i barabartë me numrin e rreshtave të së dytës.

Produkt matricë A dimensionet te matrica NË dimensioni quhet matricë ME dimensionet, elementi i-linja e th dhe j kolona e së cilës është e barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve i rreshti i matricës A tek elementët përkatës j kolona e matricës NË:

Prodhimi i matricave (ndryshe nga prodhimi i numrave real) nuk i bindet ligjit komutativ, d.m.th. në përgjithësi A NË NË A.

1.2. Përcaktuesit. Vetitë e përcaktorëve

Koncepti i një përcaktoriështë futur vetëm për matricat katrore.

Përcaktori i një matrice të rendit të dytë është një numër i llogaritur sipas rregullit të mëposhtëm

.

Përcaktuesi i një matrice të rendit të tretë është një numër i llogaritur sipas rregullit të mëposhtëm:

E para nga termat me shenjën "+" është prodhimi i elementeve të vendosura në diagonalen kryesore të matricës (). Dy të tjerat përmbajnë elementë të vendosur në kulmet e trekëndëshave me bazën paralele me diagonalen kryesore (i). Shenja "-" përfshin produktet e elementeve të diagonales dytësore () dhe elementët që formojnë trekëndësha me baza paralele me këtë diagonale (dhe).

Ky rregull për llogaritjen e përcaktorit të rendit të tretë quhet rregulla e trekëndëshit (ose rregulla e Sarrusit).

Vetitë e përcaktorëve Le të shohim shembullin e përcaktorëve të rendit të tretë.

1. Kur zëvendësohen të gjitha rreshtat e përcaktorit me kolona me numra të njëjtë si rreshtat, përcaktori nuk e ndryshon vlerën e tij, d.m.th. rreshtat dhe kolonat e përcaktorit janë të barabarta

.

2. Kur dy rreshta (kolona) riorganizohen, përcaktorja ndryshon shenjën e saj.

3. Nëse të gjithë elementët e një rreshti (kolone) të caktuar janë zero, atëherë përcaktori është 0.

4. Faktori i përbashkët i të gjithë elementëve të një rreshti (kolone) mund të merret përtej shenjës së përcaktorit.

5. Përcaktori që përmban dy rreshta (kolona) identike është i barabartë me 0.

6. Një përcaktues që përmban dy rreshta (kolona) proporcionale është i barabartë me zero.

7. Nëse çdo element i një kolone (rreshti) të caktuar të një përcaktori përfaqëson shumën e dy termave, atëherë përcaktor është i barabartë me shumën e dy përcaktorëve, njëri prej të cilëve përmban termat e parë në të njëjtën kolonë (rresht), dhe tjetri përmban të dytën. Elementet e mbetur të të dy përcaktorëve janë të njëjtë. Kështu që,

.

8. Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse elementet përkatëse të një kolone tjetër (rreshti) i shtohen elementeve të ndonjë prej kolonave (rreshtave) të saj, shumëzuar me të njëjtin numër.

Vetia tjetër e përcaktorit lidhet me konceptet e komplementit minor dhe algjebrik.

Të mitur elementi i një përcaktori është një përcaktues i marrë nga një i dhënë duke kryqëzuar rreshtin dhe kolonën në kryqëzimin e të cilave ndodhet ky element.

Për shembull, elementi minor i përcaktorit quhet përcaktor.

Komplement algjebrik një element përcaktor quhet minor i tij shumëzuar me, ku i− numri i rreshtit, j− numri i kolonës në kryqëzimin e së cilës ndodhet elementi. Komplementi algjebrik zakonisht shënohet. Për një element përcaktues të rendit të tretë, komplementi algjebrik

9. Përcaktori është i barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të çdo rreshti (kolone) nga plotësimet e tyre algjebrike përkatëse.

Për shembull, përcaktori mund të zgjerohet në elementët e rreshtit të parë

,

ose kolona e dytë

Për llogaritjen e tyre përdoren vetitë e përcaktorëve.