Si të përcaktohet nëse vektorët janë të varur apo të pavarur në mënyrë lineare. Varësia lineare e vektorëve
Varësia lineare dhe pavarësia lineare e vektorëve.
Baza e vektorëve. Sistemi i koordinatave afine
Në auditor ka një karrocë me çokollata dhe çdo vizitor sot do të marrë një çift të ëmbël - gjeometri analitike me algjebër lineare. Ky artikull do të prekë dy seksione të matematikës së lartë njëherësh dhe do të shohim se si ato bashkëjetojnë në një mbështjellës. Bëni një pushim, hani një Twix! ...dreq, çfarë marrëzish. Edhe pse, në rregull, nuk do të shënoj, në fund të fundit, duhet të keni një qëndrim pozitiv ndaj studimit.
Varësia lineare e vektorëve, pavarësia lineare e vektorit, bazë vektoriale dhe termat e tjerë nuk kanë vetëm një interpretim gjeometrik, por, mbi të gjitha, një kuptim algjebrik. Vetë koncepti i "vektorit" nga pikëpamja e algjebrës lineare nuk është gjithmonë vektori "i zakonshëm" që mund të përshkruajmë në një plan ose në hapësirë. Nuk keni nevojë të kërkoni larg për prova, provoni të vizatoni një vektor të hapësirës pesë-dimensionale 
. Ose vektori i motit, për të cilin sapo shkova në Gismeteo: temperaturën dhe presionin atmosferik, përkatësisht. Shembulli, natyrisht, është i pasaktë nga pikëpamja e vetive të hapësirës vektoriale, por, megjithatë, askush nuk e ndalon formalizimin e këtyre parametrave si vektor. Fryma e vjeshtës...
Jo, nuk do t'ju mërzit me teorinë, hapësirat vektoriale lineare, detyra është që kuptojnë përkufizime dhe teorema. Termat e rinj (varësia lineare, pavarësia, kombinimi linear, baza etj.) vlejnë për të gjithë vektorët nga pikëpamja algjebrike, por do të jepen shembuj gjeometrikë. Kështu, gjithçka është e thjeshtë, e arritshme dhe e qartë. Përveç problemeve të gjeometrisë analitike, do të shqyrtojmë edhe disa probleme tipike algjebër. Për të zotëruar materialin, këshillohet që të njiheni me mësimet Vektorë për dummies Dhe Si të llogarisim përcaktorin?
Varësia lineare dhe pavarësia e vektorëve të rrafshët.
Baza e planit dhe sistemi i koordinatave afine
Le të shqyrtojmë rrafshin e tavolinës së kompjuterit tuaj (vetëm një tavolinë, komodinë, dysheme, tavan, çfarëdo që ju pëlqen). Detyra do të përbëhet nga veprimet e mëposhtme:
1) Zgjidhni bazën e aeroplanit. Përafërsisht, një tavolinë ka një gjatësi dhe një gjerësi, kështu që është intuitive që do të kërkohen dy vektorë për të ndërtuar bazën. Një vektor nuk mjafton qartë, tre vektorë janë shumë.
2) Bazuar në bazën e përzgjedhur vendos sistemin e koordinatave(rrjeti i koordinatave) për të caktuar koordinatat për të gjitha objektet në tabelë.
Mos u çuditni, fillimisht shpjegimet do të jenë në gishta. Për më tepër, në tuajën. Ju lutem vendosni gishtin tregues të majtë në buzë të tavolinës në mënyrë që ai të shikojë në monitor. Ky do të jetë një vektor. Tani vendoseni gishti i vogël i djathtë në buzë të tabelës në të njëjtën mënyrë - në mënyrë që të drejtohet në ekranin e monitorit. Ky do të jetë një vektor. Buzëqeshni, dukeni shkëlqyeshëm! Çfarë mund të themi për vektorët? Vektorët e të dhënave kolineare, që do të thotë lineare të shprehura përmes njëri-tjetrit:
, mirë, ose anasjelltas: , ku është një numër i ndryshëm nga zero.
Ju mund të shihni një foto të këtij veprimi në klasë. Vektorë për dummies, ku shpjegova rregullin e shumëzimit të një vektori me një numër.
A do të vendosin gishtat tuaj bazën në rrafshin e tavolinës së kompjuterit? Është e qartë se jo. Vektorët kolinearë udhëtojnë mbrapa dhe me radhë vetëm drejtim, dhe një aeroplan ka gjatësi dhe gjerësi.
Vektorë të tillë quhen varur në mënyrë lineare.
Referenca: Fjalët "lineare", "lineare" tregojnë faktin se në ekuacionet dhe shprehjet matematikore nuk ka katrorë, kube, fuqi të tjera, logaritme, sinus, etj. Ekzistojnë vetëm shprehje dhe varësi lineare (shkalla e parë).
Dy vektorë të rrafshët varur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse janë kolineare.
Kryqëzoni gishtat mbi tavolinë në mënyrë që të ketë ndonjë kënd midis tyre përveç 0 ose 180 gradë. Dy vektorë të rrafshëtlineare Jo të varura nëse dhe vetëm nëse nuk janë kolineare. Pra, merret baza. Nuk ka nevojë të turpërohemi që baza doli të jetë "e shtrembëruar" me vektorë jo pingulë me gjatësi të ndryshme. Shumë shpejt do të shohim se jo vetëm një kënd prej 90 gradë është i përshtatshëm për ndërtimin e tij, dhe jo vetëm vektorë njësi me gjatësi të barabartë
Çdo vektor i rrafshët e vetmja mënyrë zgjerohet sipas bazës: 
, ku janë numrat realë. Numrat thirren koordinatat vektoriale në këtë bazë.
Thuhet gjithashtu se vektorparaqitur si kombinim linear vektorët bazë. Dmth quhet shprehja zbërthimi i vektoritsipas bazës ose kombinim linear vektorët bazë.
Për shembull, mund të themi se vektori zbërthehet përgjatë një baze ortonormale të rrafshit, ose mund të themi se ai përfaqësohet si një kombinim linear vektorësh.
Le të formulojmë përcaktimi i bazës zyrtarisht: Baza e aeroplanit quhet një çift vektorësh linearisht të pavarur (jokolinearë), , ku ndonjë një vektor i rrafshët është një kombinim linear i vektorëve bazë.
Një pikë thelbësore e përkufizimit është fakti që vektorët janë marrë në një rend të caktuar. Bazat 
– këto janë dy baza krejtësisht të ndryshme! Siç thonë ata, nuk mund të zëvendësoni gishtin e vogël të dorës së majtë në vend të gishtit të vogël të dorës së djathtë.
Ne kemi kuptuar bazën, por nuk mjafton të vendosni një rrjet koordinativ dhe t'i caktoni koordinatat për çdo artikull në tavolinën e kompjuterit tuaj. Pse nuk mjafton? Vektorët janë të lirë dhe enden në të gjithë rrafshin. Pra, si t'i caktoni koordinatat për ato pika të vogla të pista në tryezë që kanë mbetur pas një fundjave të egër? Nevojitet një pikënisje. Dhe një pikë referimi e tillë është një pikë e njohur për të gjithë - origjina e koordinatave. Le të kuptojmë sistemin e koordinatave:
Do të filloj me sistemin “shkollë”. Tashmë në mësimin hyrës Vektorë për dummies Unë theksova disa ndryshime midis sistemit të koordinatave drejtkëndore dhe bazës ortonormale. Këtu është fotografia standarde:
Kur flasin për sistemi i koordinatave drejtkëndëshe, atëherë më së shpeshti nënkuptojnë origjinën, akset koordinative dhe shkallën përgjatë akseve. Provoni të shkruani "sistemi koordinativ drejtkëndor" në një motor kërkimi dhe do të shihni se shumë burime do t'ju tregojnë për boshtet e koordinatave të njohura nga klasa 5-6 dhe si të vizatoni pikat në një aeroplan.
Nga ana tjetër, duket se një sistem koordinativ drejtkëndor mund të përcaktohet plotësisht në terma të një baze ortonormale. Dhe kjo është pothuajse e vërtetë. Formulimi është si më poshtë:
origjinën, Dhe ortonormaleështë vendosur baza Sistemi koordinativ i planit drejtkëndor kartezian . Kjo është, sistemi i koordinatave drejtkëndëshe patjetër përcaktohet nga një pikë e vetme dhe dy vektorë ortogonalë njësi. Kjo është arsyeja pse ju shihni vizatimin që dhashë më lart - në problemet gjeometrike, të dy vektorët dhe boshtet e koordinatave vizatohen shpesh (por jo gjithmonë).
Unë mendoj se të gjithë e kuptojnë se përdorimi i një pike (origjine) dhe një bazë ortonorale ÇDO PIKË në aeroplan dhe NDONJË VEKTOR në aeroplan mund të caktohen koordinatat. Në mënyrë figurative, "çdo gjë në një avion mund të numërohet".
A kërkohet që vektorët e koordinatave të jenë njësi? Jo, ato mund të kenë një gjatësi arbitrare jo zero. Konsideroni një pikë dhe dy vektorë ortogonalë me gjatësi arbitrare jo zero:
Një bazë e tillë quhet ortogonale. Origjina e koordinatave me vektorë përcaktohet nga një rrjet koordinativ, dhe çdo pikë në rrafsh, çdo vektor ka koordinatat e tij në një bazë të caktuar. Për shembull, ose. Shqetësimi i dukshëm është se vektorët e koordinatave në përgjithësi kanë gjatësi të ndryshme përveç unitetit. Nëse gjatësitë janë të barabarta me njësinë, atëherë fitohet baza e zakonshme ortonormale.
! shënim : në bazën ortogonale, si dhe më poshtë në bazat afinale të planit dhe hapësirës, konsiderohen njësitë përgjatë boshteve. KUSHTEZUESHME. Për shembull, një njësi përgjatë boshtit x përmban 4 cm, një njësi përgjatë boshtit të ordinatave përmban 2 cm Ky informacion është i mjaftueshëm për të kthyer, nëse është e nevojshme, koordinatat "jo standarde" në "centimetrat tanë të zakonshëm".
Dhe pyetja e dytë, e cila në fakt tashmë është përgjigjur, është nëse këndi midis vektorëve bazë duhet të jetë i barabartë me 90 gradë? Jo! Siç thotë përkufizimi, vektorët bazë duhet të jenë vetëm jo-kolineare. Prandaj, këndi mund të jetë çdo gjë përveç 0 dhe 180 gradë.
Një pikë në aeroplan thirrur origjinën, Dhe jokolineare vektorë, , vendosur sistemi koordinativ i rrafshit afin :
Ndonjëherë një sistem i tillë koordinativ quhet i zhdrejtë sistemi. Si shembuj, vizatimi tregon pikat dhe vektorët: 
Siç e kuptoni, sistemi i koordinatave afinale është edhe më pak i përshtatshëm, formulat për gjatësitë e vektorëve dhe segmenteve, të cilat diskutuam në pjesën e dytë të mësimit, nuk funksionojnë në të; Vektorë për dummies, shumë formula të shijshme që lidhen me prodhim skalar i vektorëve. Por rregullat për mbledhjen e vektorëve dhe shumëzimin e një vektori me një numër, formulat për pjesëtimin e një segmenti në këtë relacion, si dhe disa lloje të tjera problemash që do t'i shqyrtojmë së shpejti janë të vlefshme.
Dhe përfundimi është se rasti më i përshtatshëm i veçantë i një sistemi koordinativ afine është sistemi drejtkëndor Kartezian. Kjo është arsyeja pse ju duhet ta shihni më shpesh, i dashuri im. ...Megjithatë, gjithçka në këtë jetë është relative - ka shumë situata në të cilat një kënd i zhdrejtë (ose ndonjë tjetër, për shembull, polare) sistemi i koordinatave. Dhe humanoidëve mund t'u pëlqejnë sisteme të tilla =)
Le të kalojmë në pjesën praktike. Të gjitha problemet në këtë mësim janë të vlefshme si për sistemin e koordinatave drejtkëndëshe ashtu edhe për rastin e përgjithshëm të afinës. Nuk ka asgjë të komplikuar këtu;
Si të përcaktohet kolineariteti i vektorëve të rrafshët?
Gjë tipike. Në mënyrë që dy vektorë të rrafshët 
ishin kolineare, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që koordinatat e tyre përkatëse të jenë proporcionale Në thelb, ky është një detaj koordinativ për koordinatë i marrëdhënies së dukshme.
Shembulli 1
a) Kontrolloni nëse vektorët janë kolinear 
.
b) A formojnë vektorët një bazë? 
?
Zgjidhja:
a) Le të zbulojmë nëse ka për vektorë 
koeficienti i proporcionalitetit, i tillë që të plotësohen barazitë: 
Unë patjetër do t'ju tregoj për versionin "foppish" të zbatimit të këtij rregulli, i cili funksionon mjaft mirë në praktikë. Ideja është që menjëherë të bëni proporcionin dhe të shihni nëse është e saktë:
Le të bëjmë një proporcion nga raportet e koordinatave përkatëse të vektorëve:
Le të shkurtojmë:
, kështu që koordinatat përkatëse janë proporcionale, prandaj,
Marrëdhënia mund të bëhet anasjelltas, ky është një opsion ekuivalent:
Për vetë-test, mund të përdorni faktin që vektorët kolinearë shprehen në mënyrë lineare përmes njëri-tjetrit. Në këtë rast, barazitë ndodhin 
. Vlefshmëria e tyre mund të verifikohet lehtësisht përmes operacioneve elementare me vektorë: 
b) Dy vektorë të rrafshët formojnë bazën nëse nuk janë kolinearë (linearisht të pavarur). Ne shqyrtojmë vektorët për kolinearitet 
. Le të krijojmë një sistem: 
Nga ekuacioni i parë rrjedh se , nga ekuacioni i dytë rrjedh se , që do të thotë sistemi është i paqëndrueshëm(pa zgjidhje). Kështu, koordinatat përkatëse të vektorëve nuk janë proporcionale.
konkluzioni: vektorët janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë një bazë.
Një version i thjeshtuar i zgjidhjes duket si ky:
Le të bëjmë një proporcion nga koordinatat përkatëse të vektorëve 
:
, që do të thotë se këta vektorë janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë një bazë.
Zakonisht ky opsion nuk refuzohet nga recensentët, por problem lind në rastet kur disa koordinata janë të barabarta me zero. Si kjo: 
. Ose si kjo: 
. Ose si kjo: 
. Si të punoni përmes proporcionit këtu? (në të vërtetë, ju nuk mund të pjesëtoni me zero). Është për këtë arsye që unë e quajta zgjidhjen e thjeshtuar "foppish".
Përgjigje: a) , b) forma.
Një shembull i vogël krijues për zgjidhjen tuaj:
Shembulli 2
Në çfarë vlere të parametrit janë vektorët 
a do të jenë ato kolineare?
Në zgjidhjen e mostrës, parametri gjendet përmes proporcionit.
Ekziston një mënyrë elegante algjebrike për të kontrolluar vektorët për kolinearitet, le të sistemojmë njohuritë tona dhe ta shtojmë atë si pikën e pestë.
Për dy vektorë të rrafshët pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:
2) vektorët përbëjnë një bazë;
3) vektorët nuk janë kolinear;
+ 5) përcaktorja e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve është jozero.
Përkatësisht, pohimet e mëposhtme të kundërta janë ekuivalente:
1) vektorët janë të varur në mënyrë lineare;
2) vektorët nuk përbëjnë bazë;
3) vektorët janë kolinearë;
4) vektorët mund të shprehen në mënyrë lineare përmes njëri-tjetrit;
+ 5) përcaktorja e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve është e barabartë me zero.
Unë me të vërtetë, me të vërtetë shpresoj që tashmë i keni kuptuar të gjitha termat dhe deklaratat që keni hasur.
Le të hedhim një vështrim më të afërt në pikën e re, të pestë: dy vektorë të rrafshët 
janë kolineare nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e përbërë nga koordinatat e vektorëve të dhënë është e barabartë me zero:. Për të aplikuar këtë veçori, sigurisht, duhet të jeni në gjendje gjeni përcaktorë.
Le të vendosim Shembulli 1 në mënyrën e dytë:
a) Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat e vektorëve 
:
, që do të thotë se këta vektorë janë kolinearë.
b) Dy vektorë të rrafshët formojnë bazën nëse nuk janë kolinearë (linearisht të pavarur). Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale 
:
, që do të thotë se vektorët janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë një bazë.
Përgjigje: a) , b) forma.
Duket shumë më kompakte dhe më e bukur se një zgjidhje me përmasa.
Me ndihmën e materialit të shqyrtuar, është e mundur të përcaktohet jo vetëm kolineariteti i vektorëve, por edhe të vërtetohet paralelizmi i segmenteve dhe vijave të drejta. Le të shqyrtojmë disa probleme me forma specifike gjeometrike.
Shembulli 3
Janë dhënë kulmet e një katërkëndëshi. Vërtetoni se një katërkëndësh është një paralelogram.
Dëshmi: Nuk ka nevojë të krijoni një vizatim në problem, pasi zgjidhja do të jetë thjesht analitike. Le të kujtojmë përkufizimin e një paralelogrami:
Paralelogrami
Një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çift quhet.
Pra, është e nevojshme të vërtetohet:
1) paralelizmi i anëve të kundërta dhe;
2) paralelizmi i anëve të kundërta dhe.
Ne vërtetojmë:
1) Gjeni vektorët: 
2) Gjeni vektorët: 
Rezultati është i njëjti vektor ("sipas shkollës" - vektorë të barabartë). Kolineariteti është mjaft i dukshëm, por është më mirë që vendimi të zyrtarizohet qartë, me rregullim. Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale: 
, që do të thotë se këta vektorë janë kolinearë, dhe .
konkluzioni: Brinjët e kundërta të një katërkëndëshi janë paralele në çifte, që do të thotë se është paralelogram sipas përkufizimit. Q.E.D.
Më shumë figura të mira dhe të ndryshme:
Shembulli 4
Janë dhënë kulmet e një katërkëndëshi. Vërtetoni se një katërkëndësh është një trapez.
Për një formulim më rigoroz të provës, është më mirë, natyrisht, të merret përkufizimi i një trapezi, por mjafton thjesht të mbani mend se si duket.
Kjo është një detyrë që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë në fund të mësimit.
Dhe tani është koha për të lëvizur ngadalë nga avioni në hapësirë:
Si të përcaktohet kolineariteti i vektorëve të hapësirës?
Rregulli është shumë i ngjashëm. Në mënyrë që dy vektorë hapësinorë të jenë kolinear, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që koordinatat e tyre përkatëse të jenë proporcionale..
Shembulli 5
Zbuloni nëse vektorët hapësinorë të mëposhtëm janë kolinear:
A) ;
b)
V) 
Zgjidhja:
a) Le të kontrollojmë nëse ka një koeficient proporcionaliteti për koordinatat përkatëse të vektorëve:
Sistemi nuk ka zgjidhje, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinearë.
"Thjeshtuar" zyrtarizohet duke kontrolluar proporcionin. Në këtë rast:
– koordinatat përkatëse nuk janë proporcionale, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinear.
Përgjigje: vektorët nuk janë kolinearë.
b-c) Këto janë pika për vendimmarrje të pavarur. Provojeni në dy mënyra.
Ekziston një metodë për kontrollimin e kolinearitetit të vektorëve hapësinorë përmes një përcaktori të rendit të tretë, kjo metodë është e mbuluar në artikull Prodhimi vektorial i vektorëve.
Ngjashëm me rastin e planit, mjetet e konsideruara mund të përdoren për të studiuar paralelizmin e segmenteve hapësinore dhe vijave të drejta.
Mirësevini në seksionin e dytë:
Varësia lineare dhe pavarësia e vektorëve në hapësirën tredimensionale.
Baza hapësinore dhe sistemi i koordinatave afine
Shumë nga modelet që kemi ekzaminuar në aeroplan do të jenë të vlefshme për hapësirën. U përpoqa të minimizoja notat e teorisë, pasi pjesa më e madhe e informacionit tashmë është përtypur. Megjithatë, ju rekomandoj që të lexoni me kujdes pjesën hyrëse, pasi do të shfaqen terma dhe koncepte të reja.
Tani, në vend të planit të tavolinës së kompjuterit, ne eksplorojmë hapësirën tredimensionale. Së pari, le të krijojmë bazën e saj. Dikush është tani brenda, dikush është jashtë, por gjithsesi nuk mund t'i shpëtojmë tre dimensioneve: gjerësia, gjatësia dhe lartësia. Prandaj, për të ndërtuar një bazë, do të kërkohen tre vektorë hapësinorë. Një ose dy vektorë nuk mjaftojnë, i katërti është i tepërt.
Dhe përsëri ne ngrohemi në gishta. Ju lutemi ngrini dorën lart dhe përhapeni në drejtime të ndryshme gishtin e madh, treguesin dhe gishtin e mesit. Këta do të jenë vektorë, duken në drejtime të ndryshme, kanë gjatësi të ndryshme dhe kanë kënde të ndryshme ndërmjet tyre. Urime, baza e hapësirës tre-dimensionale është gati! Meqë ra fjala, nuk ka nevojë t'ua demonstroni këtë mësuesve, sado që t'i ktheni gishtat, por nuk u shpëtoni përkufizimeve =)
Më pas, le të bëjmë një pyetje të rëndësishme: a formojnë çdo tre vektorë bazën e hapësirës tredimensionale? Ju lutemi, shtypni fort tre gishtat në pjesën e sipërme të tavolinës së kompjuterit. Cfare ndodhi? Tre vektorë janë të vendosur në të njëjtin rrafsh, dhe, përafërsisht, ne kemi humbur një nga dimensionet - lartësinë. Vektorë të tillë janë koplanare dhe, është mjaft e qartë se baza e hapësirës tredimensionale nuk është krijuar.
Duhet të theksohet se vektorët koplanarë nuk duhet të shtrihen në të njëjtin rrafsh, ata mund të jenë në plane paralele (thjesht mos e bëni këtë me gishtat, vetëm Salvador Dali e bëri këtë =)).
Përkufizimi: quhen vektorë koplanare, nëse ka një rrafsh me të cilin ato janë paralele. Është logjike të shtohet këtu se nëse një plan i tillë nuk ekziston, atëherë vektorët nuk do të jenë koplanarë.
Tre vektorë koplanarë janë gjithmonë të varur në mënyrë lineare, pra shprehen në mënyrë lineare nëpërmjet njëra-tjetrës. Për thjeshtësi, le të imagjinojmë përsëri se ata shtrihen në të njëjtin plan. Së pari, vektorët nuk janë vetëm koplanarë, por mund të jenë edhe kolinearë, pastaj çdo vektor mund të shprehet përmes çdo vektori. Në rastin e dytë, nëse, për shembull, vektorët nuk janë kolinear, atëherë vektori i tretë shprehet përmes tyre në një mënyrë unike: 
(dhe pse është e lehtë të merret me mend nga materialet në pjesën e mëparshme).
E kundërta është gjithashtu e vërtetë: tre vektorë jokoplanarë janë gjithmonë të pavarur në mënyrë lineare dmth nuk shprehen në asnjë mënyrë nëpërmjet njëra-tjetrës. Dhe, padyshim, vetëm vektorë të tillë mund të formojnë bazën e hapësirës tre-dimensionale.
Përkufizimi: Baza e hapësirës tre-dimensionale quhet trefishi i vektorëve linearisht të pavarur (jokoplanarë), marrë në një rend të caktuar, dhe çdo vektor të hapësirës e vetmja mënyrë zbërthehet mbi një bazë të caktuar, ku janë koordinatat e vektorit në këtë bazë
Më lejoni t'ju kujtoj se mund të themi se vektori paraqitet në formë kombinim linear vektorët bazë.
Koncepti i një sistemi koordinativ është prezantuar saktësisht në të njëjtën mënyrë si për rastin e rrafshët, mjafton një pikë dhe çdo tre vektorë linearisht të pavarur;
origjinën, Dhe jokomplanare vektorë, marrë në një rend të caktuar, vendosur sistemi koordinativ afin i hapësirës tredimensionale
:
Sigurisht, rrjeti i koordinatave është "i zhdrejtë" dhe i papërshtatshëm, por, megjithatë, sistemi koordinativ i ndërtuar na lejon patjetër të përcaktojë koordinatat e çdo vektori dhe koordinatat e çdo pike në hapësirë. Ngjashëm me një plan, disa formula që kam përmendur tashmë nuk do të funksionojnë në sistemin e koordinatave afinale të hapësirës.
Rasti i veçantë më i njohur dhe më i përshtatshëm i një sistemi koordinativ afine, siç e mendojnë të gjithë, është sistem koordinativ hapësinor drejtkëndor:
Një pikë në hapësirë e quajtur origjinën, Dhe ortonormaleështë vendosur baza Sistemi i koordinatave hapësinore drejtkëndore karteziane
. Foto e njohur: 
Para se të kalojmë në detyra praktike, le të sistemojmë përsëri informacionin:
Për tre vektorë hapësinorë pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:
1) vektorët janë linearisht të pavarur;
2) vektorët përbëjnë një bazë;
3) vektorët nuk janë koplanarë;
4) vektorët nuk mund të shprehen në mënyrë lineare me njëri-tjetrin;
5) përcaktori, i përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve, është i ndryshëm nga zero.
Mendoj se pohimet e kundërta janë të kuptueshme.
Varësia/pavarësia lineare e vektorëve të hapësirës tradicionalisht kontrollohet duke përdorur një përcaktues (pika 5). Detyrat praktike të mbetura do të jenë të një natyre të theksuar algjebrike. Është koha për të varur shkopin e gjeometrisë dhe për të përdorur shkopin e bejsbollit të algjebrës lineare:
Tre vektorë të hapësirës janë koplanare nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e përbërë nga koordinatat e vektorëve të dhënë është e barabartë me zero: 
.
Unë do të doja të tërhiqja vëmendjen tuaj në një nuancë të vogël teknike: koordinatat e vektorëve mund të shkruhen jo vetëm në kolona, por edhe në rreshta (vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë për shkak të kësaj - shikoni vetitë e përcaktuesve). Por është shumë më mirë në kolona, pasi është më e dobishme për zgjidhjen e disa problemeve praktike.
Për ata lexues që i kanë harruar pak metodat e llogaritjes së përcaktorëve, ose ndoshta nuk i kuptojnë fare ato, unë rekomandoj një nga mësimet e mia më të vjetra: Si të llogarisim përcaktorin?
Shembulli 6
Kontrolloni nëse vektorët e mëposhtëm formojnë bazën e hapësirës tre-dimensionale:
Zgjidhje: Në fakt, e gjithë zgjidhja zbret në llogaritjen e përcaktorit.
a) Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale (përcaktori zbulohet në rreshtin e parë): 
, që do të thotë se vektorët janë linearisht të pavarur (jo koplanarë) dhe përbëjnë bazën e hapësirës tredimensionale.
Përgjigju: këta vektorë përbëjnë një bazë
b) Kjo është një pikë për një vendim të pavarur. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.
Ekzistojnë gjithashtu detyra krijuese:
Shembulli 7
Në cilën vlerë të parametrit vektorët do të jenë koplanarë?
Zgjidhje: Vektorët janë koplanarë nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve është e barabartë me zero: 
Në thelb, ju duhet të zgjidhni një ekuacion me një përcaktor. Ne zbresim në zero si qiftet në jerboa - është më mirë të hapni përcaktuesin në rreshtin e dytë dhe menjëherë të hiqni qafe minuset: 
Ne kryejmë thjeshtime të mëtejshme dhe e reduktojmë çështjen në ekuacionin linear më të thjeshtë: 
Përgjigju: në
Është e lehtë të kontrollosh këtu për ta bërë këtë, duhet të zëvendësosh vlerën që rezulton në përcaktuesin origjinal dhe të sigurohesh që 
, duke e hapur përsëri.
Si përfundim, do të shqyrtojmë një problem tjetër tipik, i cili është më i natyrës algjebrike dhe tradicionalisht përfshihet në një kurs algjebër linear. Është aq e zakonshme sa meriton temën e vet:
Vërtetoni se 3 vektorë përbëjnë bazën e hapësirës tredimensionale
dhe gjeni koordinatat e vektorit të 4-të në këtë bazë
Shembulli 8
Janë dhënë vektorët. Tregoni se vektorët formojnë një bazë në hapësirën tredimensionale dhe gjeni koordinatat e vektorit në këtë bazë.
Zgjidhje: Së pari, le të merremi me gjendjen. Sipas kushteve, jepen katër vektorë dhe, siç mund ta shihni, ata tashmë kanë koordinata në një farë mase. Se çfarë është kjo bazë nuk na intereson. Dhe gjëja e mëposhtme është me interes: tre vektorë mund të formojnë një bazë të re. Dhe faza e parë përkon plotësisht me zgjidhjen e Shembullit 6, është e nevojshme të kontrollohet nëse vektorët janë vërtet të pavarur;
Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale: 
, që do të thotë se vektorët janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë bazën e hapësirës tredimensionale.
! E rëndësishme : koordinatat vektoriale Domosdoshmërisht shkruani në kolona përcaktor, jo në vargje. Përndryshe, do të ketë konfuzion në algoritmin e mëtejshëm të zgjidhjes.
Sistemi vektorial quhet varur në mënyrë lineare, nëse ka numra midis të cilëve të paktën njëri është i ndryshëm nga zero, të tillë që barazia https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ">.
Nëse kjo barazi plotësohet vetëm në rastin kur të gjithë , atëherë quhet sistemi i vektorëve i pavarur në mënyrë lineare.
Teorema. Sistemi vektorial do të varur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri prej vektorëve të tij është një kombinim linear i të tjerëve.
Shembulli 1. Polinom 
është një kombinim linear i polinomeve https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomet përbëjnë një sistem linear të pavarur, pasi polinomi https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
Shembulli 2. Sistemi i matricës, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> është linearisht i pavarur, pasi një kombinim linear është i barabartë me matrica zero vetëm në rastin kur https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> varur në mënyrë lineare.
Zgjidhje.
Le të bëjmë një kombinim linear të këtyre vektorëve https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" lartësi=" 22">.
Duke barazuar të njëjtat koordinata të vektorëve të barabartë, marrim https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">
Më në fund arrijmë
Dhe
Sistemi ka një zgjidhje unike të parëndësishme, kështu që një kombinim linear i këtyre vektorëve është i barabartë me zero vetëm në rastin kur të gjithë koeficientët janë të barabartë me zero. Prandaj, ky sistem vektorësh është linearisht i pavarur.
Shembulli 4. Vektorët janë linearisht të pavarur. Si do të jenë sistemet vektoriale?
a).
;
b).
?
Zgjidhje.
a). Le të bëjmë një kombinim linear dhe ta barazojmë me zero
Duke përdorur vetitë e veprimeve me vektorë në hapësirën lineare, ne rishkruajmë barazinë e fundit në formën
Meqenëse vektorët janë linearisht të pavarur, koeficientët për duhet të jenë të barabartë me zero, d.m.th.gif" width="12" height="23 src=">
Sistemi i ekuacioneve që rezulton ka një zgjidhje unike të parëndësishme 
.
Që nga barazia (*) ekzekutohet vetëm kur https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - linearisht i pavarur;
b). Le të bëjmë një barazi https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)
Duke aplikuar arsyetime të ngjashme, marrim
Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve me metodën e Gausit, marrim
ose
Sistemi i fundit ka një numër të pafund zgjidhjesh https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Kështu, ekziston një jo- grup zero koeficientësh për të cilët qëndron barazia (**)
. Prandaj, sistemi i vektorëve – varur në mënyrë lineare.
Shembulli 5 Një sistem vektorësh është linearisht i pavarur, dhe një sistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)
Në barazi (***) . Në të vërtetë, në , sistemi do të ishte i varur në mënyrë lineare.
Nga marrëdhënia (***)
marrim 
ose 
Le të shënojmë 
.
marrim 
Probleme për zgjidhje të pavarur (në klasë)
1. Një sistem që përmban një vektor zero është i varur në mënyrë lineare.
2. Sistemi i përbërë nga një vektor A, është i varur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse, a=0.
3. Një sistem i përbërë nga dy vektorë është i varur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse vektorët janë proporcional (d.m.th., njëri prej tyre fitohet nga tjetri duke shumëzuar me një numër).
4. Nëse shtoni një vektor në një sistem të varur linear, ju merrni një sistem të varur linear.
5. Nëse një vektor hiqet nga një sistem linear i pavarur, atëherë sistemi i vektorëve që rezulton është linearisht i pavarur.
6. Nëse sistemi Sështë linearisht i pavarur, por bëhet i varur në mënyrë lineare kur shtohet një vektor b, pastaj vektori b të shprehura në mënyrë lineare nëpërmjet vektorëve të sistemit S.
c). Sistemi i matricave , , në hapësirën e matricave të rendit të dytë.
10. Le të sistemit të vektorëve a,b,c hapësira vektoriale është linearisht e pavarur. Vërtetoni pavarësinë lineare të sistemeve vektoriale të mëposhtme:
a).a+b, b, c.
b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– numër arbitrar
c).a+b, a+c, b+c.
11. Le a,b,c– tre vektorë në rrafshin nga të cilët mund të formohet një trekëndësh. A do të jenë këta vektorë të varur në mënyrë lineare?
12. Janë dhënë dy vektorë a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Gjeni dy vektorë të tjerë katërdimensionale a3 dhea4 në mënyrë që sistemi a1,a2,a3,a4 ishte linearisht i pavarur .
Në këtë artikull do të trajtojmë:
- çfarë janë vektorët kolinearë;
- cilat janë kushtet për kolinearitetin e vektorëve;
- cilat veti ekzistojnë të vektorëve kolinearë;
- sa është varësia lineare e vektorëve kolinearë.
Vektorët kolinearë janë vektorë që janë paralel me një drejtëz ose shtrihen në një vijë.
Shembulli 1
Kushtet për kolinearitetin e vektorëve
Dy vektorë janë kolinear nëse ndonjë nga kushtet e mëposhtme është i vërtetë:
- kushti 1 . Vektorët a dhe b janë kolinear nëse ka një numër λ i tillë që a = λ b;
- kushti 2 . Vektorët a dhe b janë kolinear me raporte koordinative të barabarta:
a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2
- kushti 3 . Vektorët a dhe b janë kolinearë me kusht që prodhimi kryq dhe vektori zero të jenë të barabartë:
a ∥ b ⇔ a, b = 0
Shënim 1
Kushti 2 nuk zbatohet nëse njëra nga koordinatat vektoriale është zero.
Shënim 2
Kushti 3 vlen vetëm për ata vektorë që janë të specifikuar në hapësirë.
Shembuj të problemeve për të studiuar kolinearitetin e vektorëve
Shembulli 1Ne shqyrtojmë vektorët a = (1; 3) dhe b = (2; 1) për kolinearitet.
Si të zgjidhet?
Në këtë rast, është e nevojshme të përdoret kushti i dytë i kolinearitetit. Për vektorët e dhënë duket kështu:
Barazia është e rreme. Nga kjo mund të konkludojmë se vektorët a dhe b janë jokolinearë.
Përgjigju : a | | b
Shembulli 2
Cila vlerë m e vektorit a = (1; 2) dhe b = (- 1; m) është e nevojshme që vektorët të jenë kolinear?
Si të zgjidhet?
Duke përdorur kushtin e dytë të kolinearitetit, vektorët do të jenë kolinear nëse koordinatat e tyre janë proporcionale:
Kjo tregon se m = - 2.
Përgjigje: m = - 2 .
Kriteret për varësinë lineare dhe pavarësinë lineare të sistemeve vektoriale
TeoremaNjë sistem vektorësh në një hapësirë vektoriale është linearisht i varur vetëm nëse njëri nga vektorët e sistemit mund të shprehet në termat e vektorëve të mbetur të këtij sistemi.
Dëshmi
Le të sistemit e 1 , e 2 , . . . , e n është e varur në mënyrë lineare. Le të shkruajmë një kombinim linear të këtij sistemi të barabartë me vektorin zero:
a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0
në të cilin të paktën njëri nga koeficientët e kombinimit nuk është i barabartë me zero.
Le të jetë një k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.
Ne i ndajmë të dyja anët e barazisë me një koeficient jo zero:
a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0
Le të shënojmë:
A k - 1 a m , ku m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n
Në këtë rast:
β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0
ose e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n
Nga kjo rezulton se njëri nga vektorët e sistemit shprehet përmes të gjithë vektorëve të tjerë të sistemit. Që është ajo që duhej vërtetuar (etj.).
Përshtatshmëria
Le të shprehet një nga vektorët në mënyrë lineare përmes të gjithë vektorëve të tjerë të sistemit:
e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
E zhvendosim vektorin e k në anën e djathtë të kësaj barazie:
0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
Meqenëse koeficienti i vektorit e k është i barabartë me - 1 ≠ 0, marrim një paraqitje jo të parëndësishme të zeros nga një sistem vektorësh e 1, e 2, . . . , e n , dhe kjo, nga ana tjetër, do të thotë se ky sistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare. Që është ajo që duhej vërtetuar (etj).
Pasoja:
- Një sistem vektorësh është linearisht i pavarur kur asnjë nga vektorët e tij nuk mund të shprehet në terma të të gjithë vektorëve të tjerë të sistemit.
- Një sistem vektorësh që përmban një vektor zero ose dy vektorë të barabartë është i varur në mënyrë lineare.
Vetitë e vektorëve të varur linearisht
- Për vektorët 2- dhe 3-dimensionale, plotësohet kushti i mëposhtëm: dy vektorë të varur linearisht janë kolinearë. Dy vektorë kolinearë janë të varur në mënyrë lineare.
- Për vektorët 3-dimensionale, plotësohet kushti i mëposhtëm: tre vektorë të varur linearisht janë koplanarë. (3 vektorë koplanarë janë të varur në mënyrë lineare).
- Për vektorët n-dimensionale, plotësohet kushti i mëposhtëm: n + 1 vektorë janë gjithmonë të varur në mënyrë lineare.
Shembuj të zgjidhjes së problemeve që përfshijnë varësinë lineare ose pavarësinë lineare të vektorëve
Shembulli 3Le të kontrollojmë vektorët a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 për pavarësi lineare.
Zgjidhje. Vektorët janë të varur në mënyrë lineare sepse dimensioni i vektorëve është më i vogël se numri i vektorëve.
Shembulli 4
Le të kontrollojmë vektorët a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 për pavarësi lineare.
Zgjidhje. Ne gjejmë vlerat e koeficientëve në të cilët kombinimi linear do të jetë i barabartë me vektorin zero:
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0
E shkruajmë ekuacionin e vektorit në formë lineare:
x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0
Ne e zgjidhim këtë sistem duke përdorur metodën Gaussian:
1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~
Nga rreshti i 2-të ne zbresim të parin, nga i 3-ti - i pari:
~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~
Nga rreshti i parë zbresim të dytin, tek i treti shtojmë të dytin:
~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0
Nga zgjidhja del se sistemi ka shumë zgjidhje. Kjo do të thotë se ekziston një kombinim jo zero i vlerave të numrave të tillë x 1, x 2, x 3 për të cilët kombinimi linear i a, b, c është i barabartë me vektorin zero. Prandaj, vektorët a, b, c janë varur në mënyrë lineare.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Le Lështë një hapësirë lineare arbitrare, a i Î L,- elementet (vektorët) e tij.
Përkufizimi 3.3.1. Shprehje , Ku, - numra realë arbitrarë, të quajtur kombinim linear vektorët a 1, a 2,…, a n.
Nëse vektori R = , atëherë ata thonë atë R zbërthehet në vektorë a 1, a 2,…, a n.
Përkufizimi 3.3.2. Një kombinim linear i vektorëve quhet jo i parëndësishëm, nëse midis numrave ka të paktën një jozero. Përndryshe, quhet kombinimi linear i parëndësishëm.
Përkufizimi 3.3.3 . Vektorët a 1 , a 2 ,…, a n quhen të varura linearisht nëse ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i tyre i tillë që
= 0 .
Përkufizimi 3.3.4. Vektorët a 1 ,a 2 ,…, a n quhen linearisht të pavarur nëse barazia = 0 është e mundur vetëm në rastin kur të gjithë numrat l 1, l 2,…, l n janë njëkohësisht të barabarta me zero.
Vini re se çdo element jo zero a 1 mund të konsiderohet si një sistem linearisht i pavarur, pasi barazia l a 1 = 0 e mundur vetëm nëse l= 0.
Teorema 3.3.1. Një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për varësinë lineare a 1 , a 2 ,…, a nështë mundësia e zbërthimit të të paktën njërit prej këtyre elementeve në pjesën tjetër.
Dëshmi. Domosdoshmëri. Lërini elementet a 1 , a 2 ,…, a n varur në mënyrë lineare. Do të thotë se = 0 , dhe të paktën një nga numrat l 1, l 2,…, l n të ndryshme nga zero. Le për siguri l 1 ¹ 0. Pastaj
dmth elementi a 1 zbërthehet në elementë a 2 , a 3 , ..., a n.
Përshtatshmëria. Le të zbërthehet elementi a 1 në elementet a 2 , a 3 , …, a n, pra a 1 = . Pastaj = 0 , pra, ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i vektorëve a 1 , a 2 ,…, a n, të barabartë 0 , pra janë të varura në mënyrë lineare .
Teorema 3.3.2. Nëse të paktën një nga elementët a 1 , a 2 ,…, a n zero, atëherë këta vektorë janë të varur në mënyrë lineare.
Dëshmi . Le a n= 0 , pastaj = 0 , që nënkupton varësinë lineare të këtyre elementeve.
Teorema 3.3.3. Nëse midis n vektorëve ndonjë p (f< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.
Dëshmi. Le të përcaktohen elementet a 1 , a 2 ,…, a fq varur në mënyrë lineare. Kjo do të thotë se ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i tillë që = 0 . Barazia e specifikuar do të ruhet nëse shtojmë elementin në të dy pjesët e tij. Pastaj + = 0 , dhe të paktën një nga numrat l 1, l 2,…, lp të ndryshme nga zero. Prandaj, vektorët a 1, a 2,…, a n janë të varura në mënyrë lineare.
Përfundimi 3.3.1. Nëse n elementë janë linearisht të pavarur, atëherë çdo k prej tyre është linearisht i pavarur (k< n).
Teorema 3.3.4. Nëse vektorët a 1, a 2,…, a n- 1 janë linearisht të pavarur, dhe elementet a 1, a 2,…, a n- 1, a n janë të varura në mënyrë lineare, pastaj vektori a n mund të zgjerohet në vektorë a 1, a 2,…, a n- 1 .
Dëshmi. Meqenëse nga kushti a 1, a 2 ,…, a n- 1, a n janë të varura në mënyrë lineare, atëherë ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i tyre = 0 , dhe (përndryshe, vektorët a 1 , a 2 ,…, a n- 1). Por pastaj vektori
Q.E.D.
Me fjalë të tjera, varësia lineare e një grupi vektorësh do të thotë se ekziston një vektor midis tyre që mund të përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve të tjerë në këtë grup.
Le të themi. Pastaj
Prandaj vektori x varur në mënyrë lineare nga vektorët e këtij grupi.
Vektorët x, y, ..., z quhen lineare vektorë të pavarur, nëse nga barazia (0) rezulton se
α=β= ...= γ=0.
Kjo do të thotë, grupet e vektorëve janë linearisht të pavarur nëse asnjë vektor nuk mund të përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve të tjerë në këtë grup.
Përcaktimi i varësisë lineare të vektorëve
Le të jepen m vektorë të vargut të rendit n:
Pasi kemi bërë një përjashtim Gaussian, ne reduktojmë matricën (2) në formën e sipërme trekëndore. Elementet e kolonës së fundit ndryshojnë vetëm kur rreshtat riorganizohen. Pas hapave të eliminimit marrim:
Ku i 1 , i 2 , ..., i m - indekset e rreshtave të marra nga ndërrimi i mundshëm i rreshtave. Duke marrë parasysh rreshtat që rezultojnë nga indekset e rreshtave, ne përjashtojmë ato që korrespondojnë me vektorin e rreshtit zero. Vijat e mbetura formojnë vektorë linearisht të pavarur. Vini re se kur kompozoni matricën (2), duke ndryshuar sekuencën e vektorëve të rreshtave, mund të merrni një grup tjetër vektorësh të pavarur linearisht. Por nënhapësira që formojnë të dy këto grupe vektorësh përkon.