Vërtetoni se vektorët janë linearisht të pavarur. Varësia lineare dhe pavarësia lineare e një sistemi vektorësh

Le L – hapësirë ​​lineare mbi fushë R . Le А1, а2, …, an (*) sistemi i fundëm i vektorëve nga L . Vektor NË = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Një (16) quhet Kombinimi linear i vektorëve ( *), ose thonë se është vektor NË e shprehur në mënyrë lineare nëpërmjet një sistemi vektorësh (*).

Përkufizimi 14. Sistemi i vektorëve (*) quhet Linearisht e varur , nëse dhe vetëm nëse ekziston një grup jozero koeficientësh a1, a2, … , i tillë që a1× A1 + a2× A2 + … + an× Një = 0. Nëse a1× A1 + a2× A2 + … + an× Një = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, atëherë thirret sistemi (*). Linearisht i pavarur.

Vetitë e varësisë dhe pavarësisë lineare.

10. Nëse një sistem vektorësh përmban një vektor zero, atëherë ai është i varur në mënyrë lineare.

Në të vërtetë, nëse në sistemin (*) vektori A1 = 0, Kjo është 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. Nëse një sistem vektorësh përmban dy vektorë proporcionalë, atëherë ai është i varur në mënyrë lineare.

Le A1 = L×a2. Pastaj 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Një sistem i fundëm vektorësh (*) për n ³ 2 është i varur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri prej vektorëve të tij është një kombinim linear i vektorëve të mbetur të këtij sistemi.

Þ Le të jetë (*) i varur në mënyrë lineare. Pastaj ka një grup jozero koeficientësh a1, a2, …, an, për të cilët a1× A1 + a2× A2 + … + an× Një = 0 . Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se a1 ¹ 0. Atëherë ekziston A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Pra, vektor A1 është një kombinim linear i vektorëve të mbetur.

Ü Le të jetë një nga vektorët (*) një kombinim linear i të tjerëve. Mund të supozojmë se ky është vektori i parë, d.m.th. A1 = B2 A2+ … + bn A N, Prandaj (–1)× A1 + b2 A2+ … + bn A N= 0 , pra (*) është i varur në mënyrë lineare.

Komentoni. Duke përdorur vetinë e fundit, ne mund të përcaktojmë varësinë dhe pavarësinë lineare të një sistemi të pafund vektorësh.

Përkufizimi 15. Sistemi vektorial А1, а2, …, an , … (**) quhet I varur në mënyrë lineare, Nëse të paktën njëri prej vektorëve të tij është një kombinim linear i një numri të kufizuar vektorësh të tjerë. Përndryshe thirret sistemi (**). Linearisht i pavarur.

40. Një sistem i kufizuar vektorësh është linearisht i pavarur nëse dhe vetëm nëse asnjë nga vektorët e tij nuk mund të shprehet në mënyrë lineare në termat e vektorëve të tij të mbetur.

50. Nëse një sistem vektorësh është linearisht i pavarur, atëherë çdo nënsistem i tij është gjithashtu linearisht i pavarur.

60. Nëse një nënsistem i një sistemi të caktuar vektorësh është i varur në mënyrë lineare, atëherë i gjithë sistemi është gjithashtu i varur linear.

Le të jepen dy sisteme vektorësh А1, а2, …, an , … (16) dhe В1, В2, …, Вs,… (17). Nëse çdo vektor i sistemit (16) mund të paraqitet si një kombinim linear i një numri të kufizuar vektorësh të sistemit (17), atëherë sistemi (17) thuhet se shprehet në mënyrë lineare përmes sistemit (16).

Përkufizimi 16. Quhen dy sistemet vektoriale Ekuivalente , nëse secila prej tyre shprehet në mënyrë lineare përmes tjetrës.

Teorema 9 (teorema bazë e varësisë lineare).

Lëre të jetë – dy sisteme të fundme vektorësh nga L . Nëse sistemi i parë është linearisht i pavarur dhe i shprehur në mënyrë lineare përmes të dytit, atëherë N£ s.

Dëshmi. Le të pretendojmë se N> S. Sipas kushteve të teoremës

të përbashkët Meqenëse numri i ekuacioneve është më i madh se numri i të panjohurave, sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje. Prandaj, ajo ka një jo-zero X10, x20, ..., xN0. Për këto vlera, barazia (18) do të jetë e vërtetë, gjë që bie ndesh me faktin se sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur. Pra, supozimi ynë është i gabuar. Prandaj, N£ s.

Pasoja. Nëse dy sisteme ekuivalente vektorësh janë të fundëm dhe linearisht të pavarur, atëherë ato përmbajnë të njëjtin numër vektorësh.

Përkufizimi 17. Sistemi vektorial quhet Sistemi maksimal linear i pavarur i vektorëve Hapësirë ​​lineare L , nëse është linearisht i pavarur, por kur i shtohet ndonjë vektor nga L , i pa përfshirë në këtë sistem, ai bëhet i varur në mënyrë lineare.

Teorema 10. Çdo dy sisteme të fundme maksimale lineare të pavarura të vektorëve nga L Përmbajnë të njëjtin numër vektorësh.

Dëshmi rrjedh nga fakti se çdo dy sisteme maksimale lineare të pavarura të vektorëve janë ekuivalente .

Është e lehtë të vërtetohet se çdo sistem linearisht i pavarur i vektorëve hapësinorë L mund të zgjerohet në një sistem maksimal linear të pavarur vektorësh në këtë hapësirë.

Shembuj:

1. Në bashkësinë e të gjithë vektorëve gjeometrikë kolinearë, çdo sistem i përbërë nga një vektor jozero është maksimalisht linearisht i pavarur.

2. Në bashkësinë e të gjithë vektorëve gjeometrikë koplanarë, çdo dy vektorë jokolinearë përbëjnë një sistem maksimal linear të pavarur.

3. Në bashkësinë e të gjithë vektorëve të mundshëm gjeometrikë të hapësirës Euklidiane tredimensionale, çdo sistem prej tre vektorësh jokoplanarë është maksimalisht linearisht i pavarur.

4. Në bashkësinë e të gjithë polinomeve, shkallët nuk janë më të larta se N Me koeficientë realë (kompleksë), një sistem polinomesh 1, x, x2, ... , xnËshtë maksimalisht linearisht i pavarur.

5. Në bashkësinë e të gjithë polinomeve me koeficientë realë (kompleksë), shembuj të një sistemi maksimal linear të pavarur janë

A) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. Bashkësia e matricave të dimensioneve M´ Nështë një hapësirë ​​lineare (kontrollojeni këtë). Një shembull i një sistemi maksimal linear të pavarur në këtë hapësirë ​​është sistemi i matricës E11= , E12 =, …, EMn = .

Le të jepet një sistem vektorësh C1, c2, …, krh (*). Quhet nënsistemi i vektorëve nga (*). Maksimumi linear i pavarur Nënsistemi Sistemet ( *) , nëse është linearisht i pavarur, por kur i shtohet ndonjë vektor tjetër i këtij sistemi, ai bëhet i varur në mënyrë lineare. Nëse sistemi (*) është i fundëm, atëherë çdo nënsistem i tij maksimal linear i pavarur përmban të njëjtin numër vektorësh. (Provojeni vetë). Numri i vektorëve në nënsistemin maksimal linear të pavarur të sistemit (*) quhet Rendit Ky sistem. Natyrisht, sistemet ekuivalente të vektorëve kanë të njëjtat radhë.

Përkufizimi. Kombinimi linear i vektorëve a 1 , ..., a n me koeficientë x 1 , ..., x n quhet vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n .

i parëndësishëm, nëse të gjithë koeficientët x 1 , ..., x n janë të barabartë me zero.

Përkufizimi. Kombinimi linear x 1 a 1 + ... + x n a n quhet jo i parëndësishëm, nëse të paktën njëri nga koeficientët x 1, ..., x n nuk është i barabartë me zero.

i pavarur në mënyrë lineare, nëse nuk ka kombinim jo të parëndësishëm të këtyre vektorëve të barabartë me vektorin zero.

Domethënë, vektorët a 1, ..., a n janë linearisht të pavarur nëse x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 nëse dhe vetëm nëse x 1 = 0, ..., x n = 0.

Përkufizimi. Quhen vektorët a 1, ..., a n varur në mënyrë lineare, nëse ekziston një kombinim jo i parëndësishëm i këtyre vektorëve të barabartë me vektorin zero.

Vetitë e vektorëve të varur linearisht:

Për vektorët 2 dhe 3 dimensional.

Dy vektorë të varur në mënyrë lineare janë kolinearë. (Vektorët kolinearë janë të varur në mënyrë lineare.)

Për vektorët 3-dimensionale.

Tre vektorë të varur në mënyrë lineare janë koplanarë. (Tre vektorë koplanarë janë të varur në mënyrë lineare.)

• Për vektorët n-dimensionale.

  n + 1 vektorët janë gjithmonë të varur në mënyrë lineare.

Shembuj të problemeve mbi varësinë lineare dhe pavarësinë lineare të vektorëve:

Shembulli 1. Kontrolloni nëse vektorët a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) janë linearisht të pavarur .

Zgjidhja:

Vektorët do të jenë të varur linearisht, pasi dimensioni i vektorëve është më i vogël se numri i vektorëve.

Shembulli 2. Kontrolloni nëse vektorët a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) janë linearisht të pavarur.

Zgjidhja:

zbrit të dytën nga rreshti i parë; shtoni një rresht të dytë në rreshtin e tretë:

Kjo zgjidhje tregon se sistemi ka shumë zgjidhje, domethënë ekziston një kombinim jo zero i vlerave të numrave x 1, x 2, x 3 i tillë që kombinimi linear i vektorëve a, b, c është i barabartë me vektori zero, për shembull:

A+b+c=0

që do të thotë se vektorët a, b, c janë të varur në mënyrë lineare.

Përgjigje: vektorët a, b, c janë të varur në mënyrë lineare.

Shembulli 3. Kontrolloni nëse vektorët a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) janë linearisht të pavarur.

Zgjidhja: Le të gjejmë vlerat e koeficientëve në të cilët kombinimi linear i këtyre vektorëve do të jetë i barabartë me vektorin zero.

Ky ekuacion vektorial mund të shkruhet si një sistem ekuacionesh lineare

Le ta zgjidhim këtë sistem duke përdorur metodën e Gausit

zbrit të parën nga rreshti i dytë; zbrit të parën nga rreshti i tretë:

zbrit të dytën nga rreshti i parë; shtoni një të dytë në rreshtin e tretë.

Me fjalë të tjera, varësia lineare e një grupi vektorësh do të thotë se ekziston një vektor midis tyre që mund të përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve të tjerë në këtë grup.

Le të themi. Pastaj

Prandaj vektori x varur në mënyrë lineare nga vektorët e këtij grupi.

Vektorët x, y, ..., z quhen lineare vektorë të pavarur, nëse nga barazia (0) rezulton se

α=β= ...= γ=0.

Kjo do të thotë, grupet e vektorëve janë linearisht të pavarur nëse asnjë vektor nuk mund të përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve të tjerë në këtë grup.

Përcaktimi i varësisë lineare të vektorëve

Le të jepen m vektorë të vargut të rendit n:

Pasi kemi bërë një përjashtim Gaussian, ne reduktojmë matricën (2) në formën e sipërme trekëndore. Elementet e kolonës së fundit ndryshojnë vetëm kur rreshtat riorganizohen. Pas hapave të eliminimit marrim:

Ku i 1 , i 2 , ..., i m - indekset e rreshtave të marra nga ndërrimi i mundshëm i rreshtave. Duke marrë parasysh rreshtat që rezultojnë nga indekset e rreshtave, ne përjashtojmë ato që korrespondojnë me vektorin e rreshtit zero. Vijat e mbetura formojnë vektorë linearisht të pavarur. Vini re se kur kompozoni matricën (2), duke ndryshuar sekuencën e vektorëve të rreshtave, mund të merrni një grup tjetër vektorësh të pavarur linearisht. Por nënhapësira që formojnë të dy këto grupe vektorësh përkon.

Prezantuar nga ne veprime lineare në vektorë bëjnë të mundur krijimin e shprehjeve të ndryshme për sasive vektoriale dhe transformojini ato duke përdorur vetitë e vendosura për këto operacione.

Bazuar në një grup të caktuar vektorësh a 1, ..., a n, mund të krijoni një shprehje të formës

ku a 1, ..., dhe n janë numra realë arbitrarë. Kjo shprehje quhet kombinim linear i vektorëve a 1, ..., a n. Numrat α i, i = 1, n, përfaqësojnë koeficientët e kombinimit linear. Një grup vektorësh quhet gjithashtu sistemi vektorial.

Në lidhje me konceptin e paraqitur të një kombinimi linear vektorësh, lind problemi i përshkrimit të një grupi vektorësh që mund të shkruhet si një kombinim linear i një sistemi të caktuar vektorësh a 1, ..., a n. Për më tepër, ekzistojnë pyetje të natyrshme në lidhje me kushtet në të cilat ekziston një paraqitje e një vektori në formën e një kombinimi linear dhe për veçantinë e një paraqitjeje të tillë.

Përkufizimi 2.1. Quhen vektorët a 1, ..., dhe n varur në mënyrë lineare, nëse ekziston një grup koeficientësh α 1 , ... , α n të tillë që

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

dhe të paktën njëri prej këtyre koeficientëve është jo zero. Nëse grupi i specifikuar i koeficientëve nuk ekziston, atëherë thirren vektorët i pavarur në mënyrë lineare.

Nëse α 1 = ... = α n = 0, atëherë, padyshim, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Duke pasur parasysh këtë, mund të themi këtë: vektorët a 1, ..., dhe n janë linearisht të pavarur nëse nga barazia (2.2) del se të gjithë koeficientët α 1 , ... , α n janë të barabartë me zero.

Teorema e mëposhtme shpjegon pse koncepti i ri quhet termi "varësi" (ose "pavarësi") dhe ofron një kriter të thjeshtë për varësinë lineare.

Teorema 2.1. Në mënyrë që vektorët a 1, ..., dhe n, n > 1, të jenë të varur linearisht, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që njëri prej tyre të jetë një kombinim linear i të tjerëve.

◄ Domosdoshmëri. Le të supozojmë se vektorët a 1, ..., dhe n janë të varur në mënyrë lineare. Sipas përkufizimit 2.1 të varësisë lineare, në barazinë (2.2) në të majtë ka të paktën një koeficient jozero, për shembull α 1. Duke e lënë termin e parë në anën e majtë të barazisë, ne zhvendosim pjesën tjetër në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjat e tyre, si zakonisht. Duke pjesëtuar barazinë që rezulton me α 1, marrim

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

ato. paraqitja e vektorit a 1 si një kombinim linear i vektorëve të mbetur a 2, ..., a n.

Përshtatshmëria. Le të, për shembull, vektori i parë a 1 mund të përfaqësohet si një kombinim linear i vektorëve të mbetur: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Duke transferuar të gjithë termat nga ana e djathtë në të majtë, marrim një 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, d.m.th. një kombinim linear i vektorëve a 1, ..., a n me koeficientë α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, e barabartë me vektor zero. Në këtë kombinim linear, jo të gjithë koeficientët janë zero. Sipas përkufizimit 2.1, vektorët a 1, ..., dhe n janë të varur në mënyrë lineare.

Përkufizimi dhe kriteri për varësinë lineare janë formuluar për të nënkuptuar praninë e dy ose më shumë vektorëve. Sidoqoftë, mund të flasim gjithashtu për një varësi lineare të një vektori. Për të realizuar këtë mundësi, në vend të "vektorët janë të varur në mënyrë lineare", duhet të thoni "sistemi i vektorëve është i varur në mënyrë lineare". Është e lehtë të shihet se shprehja "një sistem i një vektori është i varur në mënyrë lineare" do të thotë se ky vektor i vetëm është zero (në një kombinim linear ka vetëm një koeficient, dhe ai nuk duhet të jetë i barabartë me zero).

Koncepti i varësisë lineare ka një interpretim të thjeshtë gjeometrik. Tre deklaratat e mëposhtme sqarojnë këtë interpretim.

Teorema 2.2. Dy vektorë janë të varur linearisht nëse dhe vetëm nëse ata kolineare.

◄ Nëse vektorët a dhe b janë të varur në mënyrë lineare, atëherë njëri prej tyre, për shembull a, shprehet përmes tjetrit, d.m.th. a = λb për një numër real λ. Sipas përkufizimit 1.7 punon vektorët për numër, vektorët a dhe b janë kolinear.

Le të jenë tani vektorët a dhe b kolinear. Nëse të dyja janë zero, atëherë është e qartë se ato janë të varura në mënyrë lineare, pasi çdo kombinim linear i tyre është i barabartë me vektorin zero. Le të mos jetë një nga këta vektorë të barabartë me 0, për shembull vektori b. Le të shënojmë me λ raportin e gjatësive të vektorit: λ = |a|/|b|. Vektorët kolinear mund të jenë njëdrejtimëshe ose drejtuar në të kundërt. Në rastin e fundit, ne ndryshojmë shenjën e λ. Pastaj, duke kontrolluar përkufizimin 1.7, jemi të bindur se a = λb. Sipas teoremës 2.1, vektorët a dhe b janë të varur në mënyrë lineare.

Vërejtje 2.1. Në rastin e dy vektorëve, duke marrë parasysh kriterin e varësisë lineare, teorema e provuar mund të riformulohet si më poshtë: dy vektorë janë kolinear nëse dhe vetëm nëse njëri prej tyre përfaqësohet si prodhim i tjetrit me një numër. Ky është një kriter i përshtatshëm për kolinearitetin e dy vektorëve.

Teorema 2.3. Tre vektorë janë të varur linearisht nëse dhe vetëm nëse ata koplanare.

◄ Nëse tre vektorë a, b, c janë të varur linearisht, atëherë, sipas teoremës 2.1, njëri prej tyre, për shembull a, është një kombinim linear i të tjerëve: a = βb + γc. Le të kombinojmë origjinën e vektorëve b dhe c në pikën A. Atëherë vektorët βb, γс do të kenë një origjinë të përbashkët në pikën A dhe përgjatë sipas rregullit të paralelogramit, shuma e tyre është ato. vektori a do të jetë një vektor me origjinë A dhe fund, e cila është kulmi i një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorët përbërës. Kështu, të gjithë vektorët shtrihen në të njëjtin rrafsh, d.m.th., koplanar.

Le të jenë koplanarë vektorët a, b, c. Nëse njëri prej këtyre vektorëve është zero, atëherë është e qartë se do të jetë një kombinim linear i të tjerëve. Mjafton të marrim të gjithë koeficientët e një kombinimi linear të barabartë me zero. Prandaj, mund të supozojmë se të tre vektorët nuk janë zero. E përputhshme filloi të këtyre vektorëve në një pikë të përbashkët O. Fundet e tyre le të jenë përkatësisht pikat A, B, C (Fig. 2.1). Nëpër pikën C vizatojmë drejtëza paralele me drejtëza që kalojnë nëpër çifte pikash O, A dhe O, B. Duke përcaktuar pikat e kryqëzimit si A" dhe B", marrim një paralelogram OA"CB", pra, OC" = OA" + OB". Vektori OA" dhe vektori jozero a = OA janë kolinear, dhe për këtë arsye i pari prej tyre mund të merret duke shumëzuar të dytin me një numër real α:OA" = αOA. Në mënyrë të ngjashme, OB" = βOB, β ∈ R. Si rezultat, marrim se OC" = α OA. + βOB, pra vektori c është një kombinim linear i vektorëve a dhe b. Sipas teoremës 2.1, vektorët a, b, c janë të varur linearisht.

Teorema 2.4.Çdo katër vektorë janë të varur në mënyrë lineare.

◄ Ne e kryejmë vërtetimin sipas të njëjtës skemë si në teoremën 2.3. Konsideroni katër vektorë arbitrarë a, b, c dhe d. Nëse njëri nga katër vektorët është zero, ose midis tyre ka dy vektorë kolinearë, ose tre nga katër vektorët janë koplanarë, atëherë këta katër vektorë janë të varur në mënyrë lineare. Për shembull, nëse vektorët a dhe b janë kolinearë, atëherë ne mund të bëjmë kombinimin e tyre linear αa + βb = 0 me koeficientë jo zero, dhe pastaj të shtojmë dy vektorët e mbetur në këtë kombinim, duke marrë zero si koeficientë. Marrim një kombinim linear të katër vektorëve të barabartë me 0, në të cilin ka koeficientë jo zero.

Kështu, mund të supozojmë se midis katër vektorëve të zgjedhur, asnjë vektor nuk është zero, asnjë dy nuk është kolinear dhe asnjë tre nuk është koplanar. Le të zgjedhim pikën O si fillimin e tyre të përbashkët Pastaj skajet e vektorëve a, b, c, d do të jenë disa pika A, B, C, D (Fig. 2.2). Nëpër pikën D vizatojmë tre rrafshe paralel me rrafshet OBC, OCA, OAB dhe le të jenë A", B", C" pikat e kryqëzimit të këtyre rrafsheve përkatësisht me drejtëzat OA, OB, OS. Përftojmë një paralelipiped OA" C "B" C" B"DA", dhe vektorët a, b, c shtrihen në skajet e tij që dalin nga kulmi O. Meqenëse katërkëndëshi OC"DC" është një paralelogram, atëherë OD = OC" + OC "Nga ana tjetër, segmenti OC" është një paralelogram OA"C"B", pra OC" = OA" + OB" dhe OD = OA" + OB" + OC".

Mbetet të theksohet se çiftet e vektorëve OA ≠ 0 dhe OA" , OB ≠ 0 dhe OB" , OC ≠ 0 dhe OC" janë kolinearë dhe, për rrjedhojë, është e mundur të zgjidhen koeficientët α, β, γ në mënyrë që OA" = αOA , OB" = βOB dhe OC" = γOC. Më në fund marrim OD = αOA + βOB + γOC. Rrjedhimisht, vektori OD shprehet në terma të tre vektorëve të tjerë, dhe të katër vektorët, sipas Teoremës 2.1, janë të varur në mënyrë lineare.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Zgjidhje. Ne po kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme për sistemin e ekuacioneve

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Metoda e Gausit. Për ta bërë këtë, ne e shkruajmë këtë sistem homogjen në koordinata:

Matrica e Sistemit

Sistemi i lejuar ka formën: (r A = 2, n= 3). Sistemi është bashkëpunues dhe i pasigurt. Zgjidhja e saj e përgjithshme ( x 2 – ndryshore e lirë): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Prania e një zgjidhjeje të veçantë jo zero, për shembull, tregon se vektorët a 1 , a 2 , a 3 varur në mënyrë lineare.

Shembulli 2.

Zbuloni nëse një sistem i caktuar vektorësh është i varur ose linearisht i pavarur:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Zgjidhje. Konsideroni një sistem homogjen ekuacionesh a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

ose në formë të zgjeruar (sipas koordinatave)

Sistemi është homogjen. Nëse nuk është i degjeneruar, atëherë ka një zgjidhje unike. Në rastin e një sistemi homogjen, ka një zgjidhje zero (të parëndësishme). Kjo do të thotë se në këtë rast sistemi i vektorëve është i pavarur. Nëse sistemi është i degjeneruar, atëherë ai ka zgjidhje jo zero dhe, për rrjedhojë, është i varur.

Ne kontrollojmë sistemin për degjenerim:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistemi është jo i degjeneruar dhe, si rrjedhim, vektorët a 1 , a 2 , a 3 i pavarur në mënyrë lineare.

Detyrat. Zbuloni nëse një sistem i caktuar vektorësh është i varur ose linearisht i pavarur:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Vërtetoni se një sistem vektorësh do të jetë i varur në mënyrë lineare nëse përmban:

a) dy vektorë të barabartë;

b) dy vektorë proporcionalë.