Varësia dhe pavarësia lineare. Varësia dhe pavarësia lineare, vetitë, studimi i një sistemi vektorësh për varësinë lineare, shembuj dhe zgjidhje Teorema e pavarësisë lineare

Lema 1 : Nëse në një matricë me madhësi n n të paktën një rresht (kolona) është zero, atëherë rreshtat (kolonat) e matricës varen në mënyrë lineare.

Dëshmi: Le të jetë rreshti i parë zero, atëherë

Ku a 10. Kjo është ajo që kërkohej.

Përkufizimi: Quhet një matricë, elementët e së cilës ndodhen nën diagonalen kryesore janë të barabartë me zero trekëndësh:

dhe ij = 0, i>j.

Lema 2: Përcaktori i një matrice trekëndore është i barabartë me produktin e elementeve të diagonales kryesore.

Prova është e lehtë për t'u kryer me induksion në dimensionin e matricës.

Teorema mbi pavarësinë lineare të vektorëve.

A)Domosdoshmëri: varur në mënyrë lineare D=0 .

Dëshmi: Le të jenë të varur në mënyrë lineare, j=,

domethënë, ka një j, jo të gjithë të barabartë me zero, j= ,Çfarë a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n = , A j – kolonat e matricës A. Le të, për shembull, një n¹0.

Ne kemi a j * = a j / a n , j£ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .

Le të zëvendësojmë kolonën e fundit të matricës A në

A n * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n = .

Sipas vetive të provuara më sipër të përcaktorit (nuk do të ndryshojë nëse një kolonë tjetër në një matricë i shtohet ndonjë kolone, e shumëzuar me një numër), përcaktori i matricës së re është i barabartë me përcaktuesin e një origjinal. Por në matricën e re një kolonë është zero, që do të thotë se, duke zgjeruar përcaktorin mbi këtë kolonë, marrim D=0, Q.E.D.

b)Përshtatshmëria: Matrica e madhësisë n nme rreshta linearisht të pavarur Mund të reduktohet gjithmonë në një formë trekëndore duke përdorur transformime që nuk ndryshojnë vlerën absolute të përcaktorit. Për më tepër, nga pavarësia e rreshtave të matricës origjinale, rrjedh se përcaktori i saj është i barabartë me zero.

1. Nëse në matricën e madhësisë n n me element rreshtash të pavarur linearisht një 11është e barabartë me zero, atëherë kolona elementi i së cilës a 1 j ¹ 0. Sipas Lemës 1, një element i tillë ekziston. Përcaktori i matricës së transformuar mund të ndryshojë nga përcaktori i matricës origjinale vetëm në shenjë.

2. Nga rreshtat me numra i>1 zbres rreshtin e parë të shumëzuar me thyesën a i 1 /a 11. Për më tepër, në kolonën e parë të rreshtave me numra i>1 do të merrni zero elementë.

3. Le të fillojmë llogaritjen e përcaktorit të matricës që rezulton duke u zbërthyer mbi kolonën e parë. Meqenëse të gjithë elementët në të përveç të parit janë të barabartë me zero,

D e re = a 11 e re (-1) 1+1 D 11 e re,

Ku d 11 e reështë përcaktues i një matrice me madhësi më të vogël.

Më pas, për të llogaritur përcaktorin D 11 përsëritni hapat 1, 2, 3 derisa përcaktori i fundit të rezultojë të jetë përcaktuesi i matricës së madhësisë 1 1. Meqenëse hapi 1 ndryshon vetëm shenjën e përcaktorit të matricës që transformohet, dhe hapi 2 nuk e ndryshon fare vlerën e përcaktorit, atëherë, deri në shenjën, përfundimisht do të marrim përcaktuesin e matricës origjinale. Në këtë rast, meqenëse për shkak të pavarësisë lineare të rreshtave të matricës origjinale, hapi 1 është gjithmonë i kënaqur, të gjithë elementët e diagonales kryesore do të rezultojnë të pabarabarta me zero. Kështu, përcaktori përfundimtar, sipas algoritmit të përshkruar, është i barabartë me produktin e elementeve jozero në diagonalen kryesore. Prandaj, përcaktori i matricës origjinale nuk është i barabartë me zero. Q.E.D.

Shtojca 2

Më poshtë jepen disa kritere për varësinë lineare dhe, në përputhje me rrethanat, pavarësinë lineare të sistemeve vektoriale.

Teorema. (Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për varësinë lineare të vektorëve.)

Një sistem vektorësh është i varur nëse dhe vetëm nëse njëri nga vektorët e sistemit shprehet në mënyrë lineare përmes të tjerëve të këtij sistemi.

Dëshmi. Domosdoshmëri. Le të jetë sistemi i varur në mënyrë lineare. Pastaj, sipas përkufizimit, ai paraqet vektorin zero në mënyrë jo të parëndësishme, d.m.th. ekziston një kombinim jo i parëndësishëm i këtij sistemi vektorësh të barabartë me vektorin zero:

ku të paktën njëri nga koeficientët e këtij kombinimi linear nuk është i barabartë me zero. Le , .

Le të pjesëtojmë të dyja anët e barazisë së mëparshme me këtë koeficient jozero (d.m.th. të shumëzojmë me:

Le të shënojmë: , ku .

ato. njëri nga vektorët e sistemit shprehet në mënyrë lineare nëpërmjet të tjerëve të këtij sistemi etj.

Përshtatshmëria. Le të shprehet një nga vektorët e sistemit në mënyrë lineare përmes vektorëve të tjerë të këtij sistemi:

Le ta zhvendosim vektorin në të djathtë të kësaj barazie:

Meqenëse koeficienti i vektorit është i barabartë me , atëherë kemi një paraqitje jo të parëndësishme të zeros nga një sistem vektorësh, që do të thotë se ky sistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare, etj.

Teorema është vërtetuar.

Pasoja.

1. Një sistem vektorësh në një hapësirë ​​vektoriale është linearisht i pavarur nëse dhe vetëm nëse asnjë nga vektorët e sistemit nuk shprehet në mënyrë lineare në terma të vektorëve të tjerë të këtij sistemi.

2. Një sistem vektorësh që përmban një vektor zero ose dy vektorë të barabartë është i varur në mënyrë lineare.

Dëshmi.

1) Domosdoshmëri. Le të jetë sistemi i pavarur në mënyrë lineare. Le të supozojmë të kundërtën dhe ekziston një vektor i sistemit që shprehet në mënyrë lineare përmes vektorëve të tjerë të këtij sistemi. Pastaj, sipas teoremës, sistemi është i varur në mënyrë lineare dhe arrijmë në një kontradiktë.

Përshtatshmëria. Asnjë nga vektorët e sistemit të mos shprehet në terma të të tjerëve. Le të supozojmë të kundërtën. Le të jetë sistemi i varur linearisht, por më pas nga teorema del se ekziston një vektor i sistemit që shprehet në mënyrë lineare përmes vektorëve të tjerë të këtij sistemi dhe përsëri vijmë në një kontradiktë.

2a) Le të përmbajë sistemi një vektor zero. Le të supozojmë për definicion se vektori :. Atëherë barazia është e qartë

ato. njëri nga vektorët e sistemit shprehet në mënyrë lineare përmes vektorëve të tjerë të këtij sistemi. Nga teorema del se një sistem i tillë vektorësh është i varur në mënyrë lineare, etj.

Vini re se ky fakt mund të vërtetohet drejtpërdrejt nga një sistem i varur linear i vektorëve.

Meqenëse , barazia e mëposhtme është e qartë

Ky është një paraqitje jo e parëndësishme e vektorit zero, që do të thotë se sistemi është i varur në mënyrë lineare.

2b) Le të ketë sistemi dy vektorë të barabartë. Lëreni për. Atëherë barazia është e qartë

Ato. vektori i parë shprehet në mënyrë lineare përmes vektorëve të mbetur të të njëjtit sistem. Nga teorema del se ky sistem është i varur në mënyrë lineare, etj.

Ngjashëm me atë të mëparshmin, ky pohim mund të vërtetohet drejtpërdrejt me përcaktimin e një sistemi të varur linear, atëherë ky sistem përfaqëson vektorin zero në mënyrë jo të parëndësishme

prej nga vijon varësia lineare e sistemit.

Teorema është vërtetuar.

Pasoja. Një sistem i përbërë nga një vektor është linearisht i pavarur nëse dhe vetëm nëse ky vektor është jozero.

Le L – hapësirë ​​lineare mbi fushë R . Le А1, а2, …, an (*) sistemi i fundëm i vektorëve nga L . Vektor NË = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Një (16) quhet Kombinimi linear i vektorëve ( *), ose thonë se është vektor NË e shprehur në mënyrë lineare nëpërmjet një sistemi vektorësh (*).

Përkufizimi 14. Sistemi i vektorëve (*) quhet Linearisht e varur , nëse dhe vetëm nëse ekziston një grup jozero koeficientësh a1, a2, … , i tillë që a1× A1 + a2× A2 + … + an× Një = 0. Nëse a1× A1 + a2× A2 + … + an× Një = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, atëherë thirret sistemi (*). Linearisht i pavarur.

Vetitë e varësisë dhe pavarësisë lineare.

10. Nëse një sistem vektorësh përmban një vektor zero, atëherë ai është i varur në mënyrë lineare.

Në të vërtetë, nëse në sistemin (*) vektori A1 = 0, Kjo është 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. Nëse një sistem vektorësh përmban dy vektorë proporcionalë, atëherë ai është i varur në mënyrë lineare.

Le A1 = L×a2. Pastaj 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Një sistem i fundëm vektorësh (*) për n ³ 2 është i varur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri prej vektorëve të tij është një kombinim linear i vektorëve të mbetur të këtij sistemi.

Þ Le të jetë (*) i varur në mënyrë lineare. Pastaj ekziston një grup koeficientësh jozero a1, a2, …, an, për të cilin a1× A1 + a2× A2 + … + an× Një = 0 . Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se a1 ¹ 0. Atëherë ekziston A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Pra, vektor A1 është një kombinim linear i vektorëve të mbetur.

Ü Le të jetë një nga vektorët (*) një kombinim linear i të tjerëve. Mund të supozojmë se ky është vektori i parë, d.m.th. A1 = B2 A2+ … + bn A N, Prandaj (–1)× A1 + b2 A2+ … + bn A N= 0 , pra (*) është i varur në mënyrë lineare.

Koment. Duke përdorur vetinë e fundit, ne mund të përcaktojmë varësinë dhe pavarësinë lineare të një sistemi të pafund vektorësh.

Përkufizimi 15. Sistemi vektorial А1, а2, …, an , … (**) quhet I varur në mënyrë lineare, Nëse të paktën njëri prej vektorëve të tij është një kombinim linear i një numri të kufizuar vektorësh të tjerë. Përndryshe thirret sistemi (**). Linearisht i pavarur.

40. Një sistem i fundëm vektorësh është linearisht i pavarur nëse dhe vetëm nëse asnjë nga vektorët e tij nuk mund të shprehet në mënyrë lineare në termat e vektorëve të tij të mbetur.

50. Nëse një sistem vektorësh është linearisht i pavarur, atëherë çdo nënsistem i tij është gjithashtu linearisht i pavarur.

60. Nëse një nënsistem i një sistemi të caktuar vektorësh është i varur në mënyrë lineare, atëherë i gjithë sistemi është gjithashtu i varur linear.

Le të jepen dy sisteme vektorësh А1, а2, …, an , … (16) dhe В1, В2, …, Вs,… (17). Nëse çdo vektor i sistemit (16) mund të paraqitet si një kombinim linear i një numri të kufizuar vektorësh të sistemit (17), atëherë sistemi (17) thuhet se shprehet në mënyrë lineare përmes sistemit (16).

Përkufizimi 16. Quhen dy sistemet vektoriale Ekuivalente , nëse secila prej tyre shprehet në mënyrë lineare përmes tjetrës.

Teorema 9 (teorema bazë e varësisë lineare).

Lëre të jetë – dy sisteme të fundme vektorësh nga L . Nëse sistemi i parë është linearisht i pavarur dhe i shprehur në mënyrë lineare përmes të dytit, atëherë N£ s.

Dëshmi. Le të pretendojmë se N> S. Sipas kushteve të teoremës

të përbashkët Meqenëse numri i ekuacioneve është më i madh se numri i të panjohurave, sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje. Prandaj, ajo ka një jo-zero X10, x20, ..., xN0. Për këto vlera, barazia (18) do të jetë e vërtetë, gjë që bie ndesh me faktin se sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur. Pra, supozimi ynë është i gabuar. Prandaj, N£ s.

Pasoja. Nëse dy sisteme ekuivalente vektorësh janë të fundëm dhe linearisht të pavarur, atëherë ato përmbajnë të njëjtin numër vektorësh.

Përkufizimi 17. Sistemi vektorial quhet Sistemi maksimal linear i pavarur i vektorëve Hapësirë ​​lineare L , nëse është linearisht i pavarur, por kur i shtohet ndonjë vektor nga L , i pa përfshirë në këtë sistem, ai bëhet i varur në mënyrë lineare.

Teorema 10. Çdo dy sisteme të fundme maksimale lineare të pavarura të vektorëve nga L Përmbajnë të njëjtin numër vektorësh.

Dëshmi rrjedh nga fakti se çdo dy sisteme maksimale lineare të pavarura vektorësh janë ekuivalente .

Është e lehtë të vërtetohet se çdo sistem i pavarur linear i vektorëve hapësinorë L mund të zgjerohet në një sistem maksimal linear të pavarur vektorësh në këtë hapësirë.

Shembuj:

1. Në bashkësinë e të gjithë vektorëve gjeometrikë kolinearë, çdo sistem i përbërë nga një vektor jozero është maksimalisht linearisht i pavarur.

2. Në bashkësinë e të gjithë vektorëve gjeometrikë koplanarë, çdo dy vektorë jokolinearë përbëjnë një sistem maksimal linear të pavarur.

3. Në bashkësinë e të gjithë vektorëve të mundshëm gjeometrikë të hapësirës Euklidiane tredimensionale, çdo sistem prej tre vektorësh jokoplanarë është maksimalisht linearisht i pavarur.

4. Në bashkësinë e të gjithë polinomeve, shkallët nuk janë më të larta se N Me koeficientë realë (kompleksë), një sistem polinomesh 1, x, x2, ... , xnËshtë maksimalisht linearisht i pavarur.

5. Në bashkësinë e të gjithë polinomeve me koeficientë realë (kompleksë), shembuj të një sistemi maksimal linear të pavarur janë

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. Bashkësia e matricave të dimensioneve M´ Nështë një hapësirë ​​lineare (kontrollojeni këtë). Një shembull i një sistemi maksimal linear të pavarur në këtë hapësirë ​​është sistemi i matricës E11= , E12 =, …, EMn = .

Le të jepet një sistem vektorësh C1, c2, …, krh (*). Quhet nënsistemi i vektorëve nga (*). Maksimumi linearisht i pavarur Nënsistemi Sistemet ( *) , nëse është linearisht i pavarur, por kur i shtohet ndonjë vektor tjetër i këtij sistemi, ai bëhet i varur në mënyrë lineare. Nëse sistemi (*) është i fundëm, atëherë çdo nënsistem i tij maksimal linear i pavarur përmban të njëjtin numër vektorësh. (Provojeni vetë). Numri i vektorëve në nënsistemin maksimal linear të pavarur të sistemit (*) quhet Rendit Ky sistem. Natyrisht, sistemet ekuivalente të vektorëve kanë të njëjtat radhë.

Teorema 1. (Për pavarësinë lineare të vektorëve ortogonalë). Le të Atëherë sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur.

Le të bëjmë një kombinim linear ∑λ i x i =0 dhe të shqyrtojmë produktin skalar (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, por ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

Përkufizimi 1. Sistemi vektorialose (e i ,e j)=δ ij - simboli Kronecker, i quajtur ortonormal (ONS).

Përkufizimi 2. Për një element arbitrar x të një hapësire arbitrare euklidiane me dimensione të pafundme dhe një sistem arbitrar ortonormal elementësh, seria Fourier e një elementi x mbi sistem quhet një shumë (seri) e pafundme e përbërë zyrtarisht e formës , në të cilin numrat realë λ i quhen koeficientët Furier të elementit x në sistem, ku λ i =(x,e i).

Një koment. (Natyrisht lind pyetja për konvergjencën e kësaj serie. Për të studiuar këtë çështje, ne rregullojmë një numër arbitrar n dhe zbulojmë se çfarë e dallon shumën e pjesshme n të serisë Fourier nga çdo kombinim tjetër linear i n elementëve të parë të sistemit ortonormal.)

Teorema 2. Për çdo numër fiks n, midis të gjitha shumave të formës, shuma e n-të e pjesshme e serisë Furier të elementit ka devijimin më të vogël nga elementi x sipas normës së një hapësire të caktuar Euklidiane.

Duke marrë parasysh ortonormalitetin e sistemit dhe përcaktimin e koeficientit Furier, mund të shkruajmë

Minimumi i kësaj shprehje arrihet në c i =λ i, pasi në këtë rast shuma e parë jo negative në anën e djathtë gjithmonë zhduket dhe termat e mbetur nuk varen nga c i.

Shembull. Konsideroni sistemin trigonometrik

në hapësirën e të gjithë funksioneve të integrueshme të Rimanit f(x) në segmentin [-π,π]. Është e lehtë të kontrollohet që ky është një ONS, dhe më pas Seria Fourier e funksionit f(x) ka formën ku .

Një koment. (Seria trigonometrike e Furierit zakonisht shkruhet në formë Pastaj )

Një ONS arbitrare në një hapësirë ​​Euklidiane me dimensione të pafundme pa supozime shtesë, në përgjithësi, nuk është baza e kësaj hapësire. Në një nivel intuitiv, pa dhënë përkufizime strikte, ne do të përshkruajmë thelbin e çështjes. Në një hapësirë ​​arbitrare Euklidiane me dimensione të pafundme E, merrni parasysh ONS, ku (e i ,e j)=δ ij është simboli Kronecker. Le të jetë M një nënhapësirë ​​e hapësirës Euklidiane dhe k=M ⊥ një nënhapësirë ​​ortogonale ndaj M e tillë që hapësira Euklidiane E=M+M ⊥ . Projeksioni i vektorit x∈E në nënhapësirën M është vektori ∈M, ku

Do të kërkojmë ato vlera të koeficientëve të zgjerimit α k për të cilat mbetja (mbetja në katror) h 2 =||x-|| 2 do të jetë minimumi:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Është e qartë se kjo shprehje do të marrë një vlerë minimale në α k =0, e cila është e parëndësishme, dhe në α k =(x,e k). Atëherë ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Nga këtu marrim pabarazinë e Besselit ∑α k 2 ||x|| 2. Në ρ=0 një sistem ortonormal vektorësh (ONS) quhet sistem i plotë ortonormal në kuptimin Steklov (PONS). Nga këtu mund të marrim barazinë Steklov-Parseval ∑α k 2 =||x|| 2 - "teorema e Pitagorës" për hapësirat Euklidiane me dimensione të pafundme që janë të plota në kuptimin e Steklov. Tani do të ishte e nevojshme të vërtetohej se në mënyrë që çdo vektor në hapësirë ​​të përfaqësohet në mënyrë unike në formën e një serie Furier që konvergohet me të, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që barazia Steklov-Parseval të mbahet. Sistemi i vektorëve pic=""> ONB formon sistemin e vektorëve. Merrni parasysh shumën e pjesshme të serisë Pastaj si bishti i një serie konvergjente. Kështu, sistemi i vektorëve është një PONS dhe formon një ONB.

Shembull. Sistemi trigonometrik

në hapësirën e të gjitha funksioneve të integrueshme nga Riemann, f(x) në segmentin [-π,π] është një PONS dhe formon një ONB.

Funksionet thirren i pavarur në mënyrë lineare, Nëse

(lejohet vetëm një kombinim linear i parëndësishëm i funksioneve që është identikisht i barabartë me zero). Në ndryshim nga pavarësia lineare e vektorëve, këtu kombinimi linear është identik me zero, dhe jo barazi. Kjo është e kuptueshme, pasi barazia e një kombinimi linear me zero duhet të plotësohet për çdo vlerë të argumentit.

Funksionet thirren varur në mënyrë lineare, nëse ekziston një grup konstantesh jo zero (jo të gjitha konstantet janë të barabarta me zero) të tilla që (ekziston një kombinim linear jo i parëndësishëm i funksioneve identikisht i barabartë me zero).

Teorema.Në mënyrë që funksionet të jenë të varura në mënyrë lineare, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ndonjëri prej tyre të shprehet në mënyrë lineare përmes të tjerëve (të paraqitur si kombinim linear i tyre).

Vërtetoni vetë këtë teoremë, ajo vërtetohet në të njëjtën mënyrë si një teoremë e ngjashme për varësinë lineare të vektorëve.

Përcaktori i Vronskit.

Përcaktori Wronski për funksionet prezantohet si një përcaktor, kolonat e së cilës janë derivatet e këtyre funksioneve nga zero (vetë funksionet) në rendin n-1.

.

Teorema. Nëse funksionet janë të varura në mënyrë lineare, pra

Dëshmi. Që nga funksionet janë të varura në mënyrë lineare, atëherë ndonjëra prej tyre shprehet në mënyrë lineare përmes të tjerave, për shembull,

Identiteti mund të diferencohet, pra

Pastaj kolona e parë e përcaktorit Wronski shprehet në mënyrë lineare përmes kolonave të mbetura, kështu që përcaktorja Wronski është identike e barabartë me zero.

Teorema.Në mënyrë që zgjidhjet e një ekuacioni diferencial homogjen linear të rendit të n-të të jenë të varura linearisht, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që.

Dëshmi. Domosdoshmëria rrjedh nga teorema e mëparshme.

Përshtatshmëria. Le të rregullojmë një pikë. Meqenëse , kolonat e përcaktorit të llogaritur në këtë pikë janë vektorë të varur në mënyrë lineare.

, se marrëdhëniet janë të kënaqura

Meqenëse një kombinim linear i zgjidhjeve për një ekuacion linear homogjen është zgjidhja e tij, ne mund të prezantojmë një zgjidhje të formës

Një kombinim linear i zgjidhjeve me koeficientë të njëjtë.

Vini re se kjo zgjidhje plotëson kushtet fillestare zero, kjo rrjedh nga sistemi i ekuacioneve të shkruara më sipër. Por zgjidhja e parëndësishme e një ekuacioni linear homogjen plotëson gjithashtu të njëjtat kushte fillestare zero. Prandaj, nga teorema e Cauchy-t rrjedh se zgjidhja e paraqitur është identike e barabartë me atë të parëndësishme, prandaj,

prandaj zgjidhjet janë të varura në mënyrë lineare.

Pasoja.Nëse përcaktorja Wronski, e ndërtuar mbi zgjidhjet e një ekuacioni homogjen linear, zhduket të paktën në një pikë, atëherë ajo është identike e barabartë me zero.

Dëshmi. Nëse , atëherë zgjidhjet janë të varura linearisht, pra, .

Teorema.1. Për varësinë lineare të zgjidhjeve është e nevojshme dhe e mjaftueshme(ose ).

2. Për pavarësinë lineare të zgjidhjeve është e nevojshme dhe e mjaftueshme.

Dëshmi. Deklarata e parë rrjedh nga teorema dhe përfundimi i provuar më sipër. Deklarata e dytë mund të vërtetohet lehtësisht me kontradiktë.

Lërini zgjidhjet të jenë linearisht të pavarura. Nëse , atëherë zgjidhjet janë të varura në mënyrë lineare. Kontradikta. Prandaj, .

Le . Nëse zgjidhjet janë të varura në mënyrë lineare, atëherë , pra, një kontradiktë. Prandaj, zgjidhjet janë linearisht të pavarura.

Pasoja.Zhdukja e përcaktorit Wronski në të paktën një pikë është një kriter për varësinë lineare të zgjidhjeve ndaj një ekuacioni linear homogjen.

Dallimi midis përcaktorit Wronski dhe zeros është një kriter për pavarësinë lineare të zgjidhjeve të një ekuacioni linear homogjen.

Teorema.Dimensioni i hapësirës së zgjidhjeve për një ekuacion linear homogjen të rendit të n-të është i barabartë me n.

Dëshmi.

a) Le të tregojmë se ekzistojnë n zgjidhje lineare të pavarura për një ekuacion diferencial linear homogjen të rendit të n-të. Le të shqyrtojmë zgjidhjet , duke plotësuar kushtet fillestare të mëposhtme:

...........................................................

Zgjidhje të tilla ekzistojnë. Në të vërtetë, sipas teoremës së Cauchy, përmes pikës kalon nëpër një kurbë të vetme integrale-zgjidhja. Përmes pikës zgjidhja kalon nëpër pikë

- zgjidhje, përmes një pike - zgjidhje.

Këto zgjidhje janë linearisht të pavarura, pasi .

b) Le të tregojmë se çdo zgjidhje e një ekuacioni linear homogjen shprehet në mënyrë lineare përmes këtyre zgjidhjeve (është kombinimi linear i tyre).

Le të shqyrtojmë dy zgjidhje. Një - një zgjidhje arbitrare me kushte fillestare . Raport i drejtë