Funksioni empirik i shpërndarjes. Funksioni empirik i shpërndarjes, vetitë Funksioni empirik i shpërndarjes është funksioni f x
Leksioni 13. Koncepti i vlerësimeve statistikore të variablave të rastit
Le të dihet shpërndarja statistikore e frekuencës së një karakteristike sasiore X Le të shënojmë me numrin e vëzhgimeve në të cilat vlera e karakteristikës është vërejtur të jetë më e vogël se x dhe me n numrin e përgjithshëm të vëzhgimeve. Natyrisht, frekuenca relative e ngjarjes X< x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.
Funksioni empirik i shpërndarjes(funksioni i shpërndarjes së mostrës) është një funksion që përcakton për secilën vlerë x frekuencën relative të ngjarjes X< x. Таким образом, по определению ,где - число вариант, меньших x, n – объем выборки.
Në ndryshim nga funksioni empirik i shpërndarjes së një kampioni, quhet funksioni i shpërndarjes së popullsisë funksioni teorik i shpërndarjes. Dallimi midis këtyre funksioneve është se funksioni teorik përcakton probabiliteti Ngjarjet X< x, тогда как эмпирическая – frekuencë relative të njëjtën ngjarje.
Ndërsa n rritet, frekuenca relative e ngjarjes X< x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами
Vetitë e funksionit të shpërndarjes empirike:
1) Vlerat e funksionit empirik i përkasin segmentit
2) - funksion jo-zvogëlues
3) Nëse është opsioni më i vogël, atëherë = 0 për , nëse është opsioni më i madh, atëherë = 1 për .
Funksioni empirik i shpërndarjes së kampionit shërben për të vlerësuar funksionin teorik të shpërndarjes së popullatës.
Shembull. Le të ndërtojmë një funksion empirik bazuar në shpërndarjen e mostrës:
| Opsione | |||
| Frekuencat |
Le të gjejmë madhësinë e mostrës: 12+18+30=60. Opsioni më i vogël është 2, pra =0 për x £ 2. Vlera e x<6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2< x £6. Аналогично, значения X < 10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6< x £10. Так как x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. Kështu, funksioni i dëshiruar empirik ka formën:
Vetitë më të rëndësishme të vlerësimeve statistikore
Le të jetë e nevojshme të studiojmë disa karakteristika sasiore të popullsisë së përgjithshme. Le të supozojmë se nga konsideratat teorike ka qenë e mundur të vërtetohet kjo cila saktësisht shpërndarja ka një shenjë dhe është e nevojshme të vlerësohen parametrat me të cilët përcaktohet. Për shembull, nëse karakteristika që studiohet shpërndahet normalisht në popullatë, atëherë është e nevojshme të vlerësohet pritshmëria matematikore dhe devijimi standard; nëse karakteristika ka një shpërndarje Poisson, atëherë është e nevojshme të vlerësohet parametri l.
Në mënyrë tipike, vetëm të dhënat e mostrës janë të disponueshme, për shembull, vlerat e një karakteristike sasiore të marra si rezultat i n vëzhgimeve të pavarura. Duke i konsideruar si variabla të rastësishëm të pavarur mund të themi se të gjesh një vlerësim statistikor të një parametri të panjohur të një shpërndarjeje teorike do të thotë të gjesh një funksion të ndryshoreve të rastësishme të vëzhguara që jep një vlerë të përafërt të parametrit të vlerësuar. Për shembull, për të vlerësuar pritshmërinë matematikore të një shpërndarjeje normale, roli i funksionit luhet nga mesatarja aritmetike
Në mënyrë që vlerësimet statistikore të ofrojnë përafrime të sakta të parametrave të vlerësuar, ato duhet të plotësojnë disa kërkesa, ndër të cilat më të rëndësishmet janë kërkesat i pazhvendosur Dhe aftësia paguese vlerësimet.
Le të jetë një vlerësim statistikor i parametrit të panjohur të shpërndarjes teorike. Le të gjendet vlerësimi nga një kampion i madhësisë n. Le të përsërisim eksperimentin, d.m.th. le të nxjerrim një kampion tjetër me të njëjtën madhësi nga popullata e përgjithshme dhe, bazuar në të dhënat e tij, të marrim një vlerësim të ndryshëm. Duke e përsëritur eksperimentin shumë herë, marrim numra të ndryshëm. Rezultati mund të konsiderohet si një ndryshore e rastësishme, dhe numrat si vlerat e tij të mundshme.
Nëse vlerësimi jep një vlerë të përafërt me bollëk, d.m.th. çdo numër është më i madh se vlera e vërtetë, dhe si pasojë, pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e ndryshores së rastit është më e madhe se:. Po kështu, nëse jep një vlerësim me një disavantazh, Kjo .
Kështu, përdorimi i një vlerësimi statistikor, pritshmëria matematikore e të cilit nuk është e barabartë me parametrin e vlerësuar, do të çonte në gabime sistematike (të së njëjtës shenjë). Nëse, përkundrazi, atëherë kjo garanton kundër gabimeve sistematike.
I paanshëm quhet një vlerësim statistikor, pritshmëria matematikore e të cilit është e barabartë me parametrin e vlerësuar për çdo madhësi kampioni.
I zhvendosur quhet një vlerësim që nuk e plotëson këtë kusht.
Paanshmëria e vlerësimit nuk garanton ende një përafrim të mirë për parametrin e vlerësuar, pasi vlerat e mundshme mund të jenë shumë të shpërndara rreth vlerës mesatare të saj, d.m.th. varianca mund të jetë domethënëse. Në këtë rast, vlerësimi i gjetur nga të dhënat e një kampioni, për shembull, mund të rezultojë të jetë dukshëm i largët nga vlera mesatare, dhe për rrjedhojë nga parametri që vlerësohet.
Efektive është një vlerësim statistikor që, për një madhësi të caktuar kampioni n, ka varianca më e vogël e mundshme .
Kur merren parasysh mostra të mëdha, kërkohen vlerësime statistikore aftësia paguese .
I pasur quhet një vlerësim statistikor, i cili, pasi n®¥ tenton në probabilitet te parametri i vlerësuar. Për shembull, nëse varianca e një vlerësimi të paanshëm tenton në zero si n®¥, atëherë një vlerësim i tillë rezulton të jetë konsistent.
Le të studiojmë disa tipare sasiore? popullatën e përgjithshme, dhe supozojmë se për çdo madhësi kampioni dihet shpërndarja e frekuencës së kësaj karakteristike. Duke fiksuar madhësinë e kampionit në P, shënoj me p x numri i opsioneve më pak se x. Atëherë nuk është e vështirë të shihet se marrëdhënia njn shpreh shpeshtësinë relative të një ngjarjeje (?
Ky raport varet nga një numër fiks x dhe, për rrjedhojë, është një funksion i kësaj sasie x. Le ta shënojmë me F*(x).
Përkufizimi 1.10. Funksioni F*(x) = -, duke shprehur lidhjen
frekuenca e ngjarjeve (? funksion empirik
shpërndarja (funksioni i shpërndarjes së kampionit ose funksioni i shpërndarjes statistikore).
Kështu, sipas përkufizimit
Kujtojmë se funksioni i shpërndarjes së veçorisë ?, popullsia përcaktohet si probabiliteti i një ngjarjeje (?
dhe në ndryshim nga funksioni i shpërndarjes empirike quhet funksioni teorik i shpërndarjes. Meqenëse funksioni empirik i shpërndarjes është probabiliteti i së njëjtës ngjarje, atëherë sipas teoremës së Bernoulli (shih seksionin 5.4), me një madhësi të madhe kampioni ato ndryshojnë pak nga njëri-tjetri në kuptimin që
ku e është çdo numër pozitiv arbitrarisht i vogël.
Lidhja (1.2) tregon se nëse funksioni teorik i shpërndarjes është i panjohur, atëherë funksioni i shpërndarjes empirike i gjetur nga kampioni mund të përdoret si vlerësimi i mostrës së tij. Nga formula (1.2) në të njëjtën kohë rrjedh se ky vlerësim është i qëndrueshëm (shih Përkufizimin 2.4).
Komentoni 1.6. Qëndrimi nJn mund të interpretohet edhe si ndajnë ata anëtarë të kampionit që shtrihen në të majtë të një numri fiks x. Le ta shënojmë me co^.
Tani le të shohim një shembull të ndërtimit të një funksioni shpërndarjeje empirike për një mostër diskrete.
Shembulli 1.2. Dihet shpërndarja e kampionit (Tabela 1.7).
Tabela 1.7
|
Opsioni x. |
|||||
|
Frekuenca I. |
Ndërtoni funksionin e tij empirik të shpërndarjes.
Së pari, le të gjejmë madhësinë e mostrës:
Opsioni x x- më i vogli. Kjo është arsyeja pse n x = 0 dhe F*(x)= 0 në X% 3, atëherë P z = 6, d.m.th. në të majtë të pikës X= 3 ka gjashtë vlera të mostrës. Prandaj, F*(3) = - = 0,12. Në të majtë x = 5 e vendosur
bashkëshortet n x=5 = 6 + 9= Opsioni 15 mostër. Kjo është arsyeja pse Fn(5) = - = 0,3. Kështu që
Si n x=1 = 6 + 9 + 18 = 33, atëherë Fn(7) = - = 0,66. Në mënyrë të ngjashme ne gjejmë
33 + 12 = 45. Prandaj F* (9) = ^ = 0,9.
Opsioni x 5 = 9 është më i madhi. Prandaj, për x > 9, i gjithë kampioni shtrihet në të majtë të kësaj pike x. Kjo është arsyeja pse n x>9= 50 dhe F*(x) = -= 1 për x > 9. 50
Kështu, nga llogaritjet e kryera më sipër, rezulton se funksioni i dëshiruar empirik është i përcaktuar në mënyrë unike në të gjithë boshtin real, pjesërisht konstant dhe ka formën
Grafiku i këtij funksioni paraqet një figurë hapi dhe është paraqitur në Fig. 1.6. ?
Sa i përket çështjes së ndërtimit të një funksioni empirik për mostrat e vazhdueshme, ky problem zgjidhet, në përgjithësi, jo në mënyrë të qartë. Kjo për faktin se vlerat e funksionit empirik mund të gjenden në mënyrë unike vetëm në pikat fundore të intervaleve të pjesshme në të cilat ndahet intervali kryesor që përmban popullatën e mostrës. Por në pikat e brendshme të intervaleve të pjesshme nuk është përcaktuar. Në këto pika përcaktohet më tej ose nga një funksion konstant pjesë-pjesë (shih shembullin e mëparshëm) ose nga ndonjë funksion i vazhdueshëm në rritje, për shembull një funksion linear, d.m.th. Për të ndërtuar funksionin empirik të shpërndarjes, përdoret një përafrim linear.
Shembulli 1.3. Sipas tabelës 1.3, gjeni funksionin empirik të shpërndarjes së punonjësve të ndërmarrjes sipas kohëzgjatjes së shërbimit.
Për definicion, supozojmë se intervalet e pjesshme në shqyrtim janë të mbyllura në të majtë dhe të hapura në të djathtë, d.m.th. ato përmbajnë vetëm skajet e tyre të majta. Le të jetë x = 2. Pastaj ngjarja n 2 = 0 dhe F*(2)= 0. Nëse x e (2; 6), atëherë në këtë pikë vlera p x nuk është më i përcaktuar dhe bashkë me të nuk përcaktohet vlera e funksionit empirik. Për shembull, nëse x = 3, atëherë nga kushtet e problemit është e pamundur të përcaktohet numri i punëtorëve me më pak se tre vjet përvojë pune, d.m.th. nuk mund ta gjej frekuencën p x dhe për këtë arsye F*(x).
Më tej, duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, jemi të bindur se funksioni i kërkuar F*(x) merr vlera specifike në skajet e majta të intervaleve të pjesshme, për shembull: "6) = 4/100 = 0.04; "10) = 0.12; "14) = 0.24; "18) = 0,59; F*(22) = 0,78; "26) = 0.90"; "30) = 1, por nuk përcaktohet në pikat e brendshme të intervaleve të pjesshme. Për të zgjidhur përfundimisht problemin, funksioni i dëshiruar në pikat e brendshme të intervaleve të pjesshme përcaktohet më tej ose nga një funksion konstant pjesë-pjesë (Fig. 1.7) ose nga ndonjë funksion në rritje të vazhdueshme (Fig. 1.8, ku funksioni i dëshiruar empirik përcaktohet më tej nga një funksion linear). ?
Përcaktimi i funksionit të shpërndarjes empirike
Le të jetë $X$ një ndryshore e rastësishme. $F(x)$ është funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të caktuar të rastësishme. Ne do të kryejmë $n$ eksperimente në një ndryshore të rastësishme të caktuar në të njëjtat kushte, të pavarura nga njëra-tjetra. Në këtë rast, marrim një sekuencë vlerash $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$, e cila quhet mostër.
Përkufizimi 1
Çdo vlerë $x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) quhet variant.
Një vlerësim i funksionit të shpërndarjes teorike është funksioni i shpërndarjes empirike.
Përkufizimi 3
Një funksion empirik i shpërndarjes $F_n(x)$ është një funksion që përcakton për secilën vlerë $x$ frekuencën relative të ngjarjes $X \
ku $n_x$ është numri i opsioneve më pak se $x$, $n$ është madhësia e mostrës.
Dallimi midis funksionit empirik dhe atij teorik është se funksioni teorik përcakton probabilitetin e ngjarjes $X
Vetitë e funksionit të shpërndarjes empirike
Le të shqyrtojmë tani disa veti themelore të funksionit të shpërndarjes.
Gama e funksionit $F_n\left(x\right)$ është segmenti $$.
$F_n\left(x\right)$ është një funksion që nuk zvogëlohet.
$F_n\left(x\right)$ është një funksion majtas i vazhdueshëm.
$F_n\left(x\right)$ është një funksion konstant pjesë-pjesë dhe rritet vetëm në pikat e vlerave të ndryshores së rastësishme $X$
Le të jetë $X_1$ varianti më i vogël dhe $X_n$ varianti më i madh. Pastaj $F_n\left(x\right)=0$ për $(x\le X)_1$ dhe $F_n\left(x\right)=1$ për $x\ge X_n$.
Le të prezantojmë një teoremë që lidh funksionet teorike dhe empirike.
Teorema 1
Le të jetë $F_n\left(x\right)$ funksioni empirik i shpërndarjes dhe $F\left(x\right)$ funksioni teorik i shpërndarjes së kampionit të përgjithshëm. Atëherë barazia vlen:
\[(\mathop(lim)_(n\në \infty ) (|F)_n\left(x\djathtas)-F\left(x\djathtas)|=0\ )\]
Shembuj të problemeve për gjetjen e funksionit empirik të shpërndarjes
Shembulli 1
Lëreni që shpërndarja e kampionimit të ketë të dhënat e mëposhtme të regjistruara duke përdorur një tabelë:
Foto 1.
Gjeni madhësinë e kampionit, krijoni një funksion shpërndarjeje empirike dhe vizatoni atë.
Madhësia e mostrës: $n=5+10+15+20=50$.
Nga vetia 5, kemi atë për $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$, dhe për $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$.
vlerë x $
vlerë x $
vlerë x $
Kështu marrim:
Figura 2.
Figura 3.
Shembulli 2
20 qytete u zgjodhën rastësisht nga qytetet e pjesës qendrore të Rusisë, për të cilat u morën të dhënat e mëposhtme për tarifat e transportit publik: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15, 14 , 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.
Krijoni një funksion shpërndarjeje empirike për këtë mostër dhe vizatoni atë.
Le të shkruajmë vlerat e mostrës në rend rritës dhe të llogarisim frekuencën e secilës vlerë. Ne marrim tabelën e mëposhtme:
Figura 4.
Madhësia e mostrës: $n=20$.
Nga vetia 5, kemi atë për $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$, dhe për $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$.
vlerë x $
vlerë x $
vlerë x $
Kështu marrim:
Figura 5.
Le të përshkruajmë shpërndarjen empirike:
Figura 6.
Origjinaliteti: $92,12\%$.
Siç dihet, ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme mund të specifikohet në mënyra të ndryshme. Një ndryshore e rastësishme diskrete mund të specifikohet duke përdorur një seri shpërndarjeje ose një funksion integral, dhe një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme mund të specifikohet duke përdorur një funksion integral ose diferencial. Le të shqyrtojmë analoge selektive të këtyre dy funksioneve.
Le të ketë një grup mostër vlerash të disa ndryshoreve të rastësishme të vëllimit 
dhe çdo opsion nga ky grup lidhet me frekuencën e tij. Le të më tej 
është një numër real, dhe 
– numri i vlerave të mostrës së ndryshores së rastësishme 
, më i vogël 
.Pastaj numri 
është frekuenca e vlerave sasiore të vëzhguara në mostër X, më i vogël 
,
ato. shpeshtësia e shfaqjes së ngjarjes 
. Kur ndryshon x në rastin e përgjithshëm, vlera gjithashtu do të ndryshojë 
. Kjo do të thotë se frekuenca relative 
është funksion i argumentit 
. Dhe meqenëse ky funksion gjendet nga të dhënat e mostrës të marra si rezultat i eksperimenteve, ai quhet selektiv ose empirike.
Përkufizimi 10.15. Funksioni empirik i shpërndarjes(funksioni i shpërndarjes së mostrës) është funksioni 
, duke përcaktuar për secilën vlerë x Frekuenca relative e ngjarjes 
.
(10.19)
Në ndryshim nga funksioni empirik i shpërndarjes së mostrave, funksioni i shpërndarjes F(x) të popullatës së përgjithshme quhet funksioni teorik i shpërndarjes. Dallimi midis tyre është se funksioni teorik F(x)
përcakton probabilitetin e një ngjarjeje 
, dhe ajo empirike është frekuenca relative e së njëjtës ngjarje. Nga teorema e Bernulit rrjedh
,
(10.20)
ato. në liri 
probabiliteti 
dhe shpeshtësinë relative të ngjarjes 
, d.m.th. 
ndryshojnë pak nga njëra-tjetra. Nga kjo rezulton se është e këshillueshme që të përdoret funksioni empirik i shpërndarjes së kampionit për të përafruar funksionin teorik (integral) të shpërndarjes së popullatës së përgjithshme.
Funksioni 
Dhe 
kanë të njëjtat veti. Kjo rrjedh nga përkufizimi i funksionit. 
Vetitë 
:
Shembulli 10.4. Ndërtoni një funksion empirik bazuar në shpërndarjen e mostrës së dhënë:
|
Opsione | |||
|
Frekuencat |
Zgjidhja: Le të gjejmë madhësinë e mostrës n=
12+18+30=60. Opsioni më i vogël 
, prandaj, 
në 
. Kuptimi 
, domethënë 
vëzhguar 12 herë, pra:
=
në 
.
Kuptimi x<
10, domethënë 
Dhe 
janë vërejtur 12+18=30 herë, pra, 
=
në 
. Në 
.
Funksioni i kërkuar i shpërndarjes empirike:
=
Orari 
treguar në Fig. 10.2
R 
është. 10.2
Pyetje kontrolli
1. Cilat probleme kryesore zgjidh statistika matematikore? 2. Popullata e përgjithshme dhe e mostrës? 3. Përcaktoni madhësinë e mostrës. 4. Cilat mostra quhen përfaqësuese? 5. Gabimet e përfaqësimit. 6. Metodat bazë të kampionimit. 7. Konceptet e frekuencës, frekuencës relative. 8. Koncepti i serive statistikore. 9. Shkruani formulën e Sturges. 10. Formuloni konceptet e diapazonit të mostrës, medianës dhe modalitetit. 11. Shumëkëndëshi i frekuencës, histogrami. 12. Koncepti i një vlerësimi pikësor të një popullate të mostrës. 13. Vlerësimi i pikëve i njëanshëm dhe i paanshëm. 14. Formuloni konceptin e mesatares së mostrës. 15. Formuloni konceptin e variancës së mostrës. 16. Formuloni konceptin e devijimit standard të mostrës. 17. Formuloni konceptin e koeficientit të variacionit të mostrës. 18. Formuloni konceptin e mesatares gjeometrike të mostrës.
Përcaktimi i funksionit të shpërndarjes empirike
Le të jetë $X$ një ndryshore e rastësishme. $F(x)$ është funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të caktuar të rastësishme. Ne do të kryejmë $n$ eksperimente në një ndryshore të rastësishme të caktuar në të njëjtat kushte, të pavarura nga njëra-tjetra. Në këtë rast, marrim një sekuencë vlerash $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$, e cila quhet mostër.
Përkufizimi 1
Çdo vlerë $x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) quhet variant.
Një vlerësim i funksionit të shpërndarjes teorike është funksioni i shpërndarjes empirike.
Përkufizimi 3
Një funksion empirik i shpërndarjes $F_n(x)$ është një funksion që përcakton për secilën vlerë $x$ frekuencën relative të ngjarjes $X \
ku $n_x$ është numri i opsioneve më pak se $x$, $n$ është madhësia e mostrës.
Dallimi midis funksionit empirik dhe atij teorik është se funksioni teorik përcakton probabilitetin e ngjarjes $X
Vetitë e funksionit të shpërndarjes empirike
Le të shqyrtojmë tani disa veti themelore të funksionit të shpërndarjes.
Gama e funksionit $F_n\left(x\right)$ është segmenti $$.
$F_n\left(x\right)$ është një funksion që nuk zvogëlohet.
$F_n\left(x\right)$ është një funksion majtas i vazhdueshëm.
$F_n\left(x\right)$ është një funksion konstant pjesë-pjesë dhe rritet vetëm në pikat e vlerave të ndryshores së rastësishme $X$
Le të jetë $X_1$ varianti më i vogël dhe $X_n$ varianti më i madh. Pastaj $F_n\left(x\right)=0$ për $(x\le X)_1$ dhe $F_n\left(x\right)=1$ për $x\ge X_n$.
Le të prezantojmë një teoremë që lidh funksionet teorike dhe empirike.
Teorema 1
Le të jetë $F_n\left(x\right)$ funksioni empirik i shpërndarjes dhe $F\left(x\right)$ funksioni teorik i shpërndarjes së kampionit të përgjithshëm. Atëherë barazia vlen:
\[(\mathop(lim)_(n\në \infty ) (|F)_n\left(x\djathtas)-F\left(x\djathtas)|=0\ )\]
Shembuj të problemeve për gjetjen e funksionit empirik të shpërndarjes
Shembulli 1
Lëreni që shpërndarja e kampionimit të ketë të dhënat e mëposhtme të regjistruara duke përdorur një tabelë:
Foto 1.
Gjeni madhësinë e kampionit, krijoni një funksion shpërndarjeje empirike dhe vizatoni atë.
Madhësia e mostrës: $n=5+10+15+20=50$.
Nga vetia 5, kemi atë për $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$, dhe për $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$.
vlerë x $
vlerë x $
vlerë x $
Kështu marrim:
Figura 2.
Figura 3.
Shembulli 2
20 qytete u zgjodhën rastësisht nga qytetet e pjesës qendrore të Rusisë, për të cilat u morën të dhënat e mëposhtme për tarifat e transportit publik: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15, 14 , 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.
Krijoni një funksion shpërndarjeje empirike për këtë mostër dhe vizatoni atë.
Le të shkruajmë vlerat e mostrës në rend rritës dhe të llogarisim frekuencën e secilës vlerë. Ne marrim tabelën e mëposhtme:
Figura 4.
Madhësia e mostrës: $n=20$.
Nga vetia 5, kemi atë për $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$, dhe për $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$.
vlerë x $
vlerë x $
vlerë x $
Kështu marrim:
Figura 5.
Le të përshkruajmë shpërndarjen empirike:
Figura 6.
Origjinaliteti: $92,12\%$.