Si të gjeni probabilitetin e një ngjarje shembuj. Përkufizimi klasik dhe statistikor i probabilitetit

Në ekonomi, si në fusha të tjera të veprimtarisë njerëzore ose në natyrë, ne vazhdimisht duhet të përballemi me ngjarje që nuk mund të parashikohen me saktësi. Kështu, vëllimi i shitjeve të një produkti varet nga kërkesa, e cila mund të ndryshojë ndjeshëm, dhe nga një sërë faktorësh të tjerë që janë pothuajse të pamundur të merren parasysh. Prandaj, kur organizoni prodhimin dhe kryeni shitjet, duhet të parashikoni rezultatin e aktiviteteve të tilla në bazë të përvojës suaj të mëparshme, ose përvojës së ngjashme të njerëzve të tjerë, ose intuitës, e cila në një masë të madhe mbështetet edhe në të dhënat eksperimentale.

Për të vlerësuar disi ngjarjen në fjalë, është e nevojshme të merren parasysh ose të organizohen posaçërisht kushtet në të cilat është regjistruar kjo ngjarje.

Zbatimi i kushteve ose veprimeve të caktuara për të identifikuar ngjarjen në fjalë quhet përvojë ose eksperiment.

Ngjarja quhet e rastit, nëse si rezultat i përvojës mund të ndodhë ose jo.

Ngjarja quhet të besueshme, nëse domosdoshmërisht shfaqet si rezultat i një përvoje të caktuar, dhe e pamundur, nëse nuk mund të shfaqet në këtë përvojë.

Për shembull, reshjet e borës në Moskë më 30 nëntor janë një ngjarje e rastësishme. Lindja e përditshme e diellit mund të konsiderohet një ngjarje e besueshme. Reshjet e borës në ekuator mund të konsiderohen një ngjarje e pamundur.

Një nga detyrat kryesore në teorinë e probabilitetit është detyra e përcaktimit të një mase sasiore të mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje.

Algjebra e ngjarjeve

Ngjarjet quhen të papajtueshme nëse nuk mund të vëzhgohen së bashku në të njëjtën përvojë. Pra, prania e dy dhe tre makinave në një dyqan në të njëjtën kohë janë dy ngjarje të papajtueshme.

Shuma ngjarje është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e të paktën një prej këtyre ngjarjeve

Një shembull i shumës së ngjarjeve është prania e të paktën një prej dy produkteve në dyqan.

Puna ngjarjet është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e njëkohshme e të gjitha këtyre ngjarjeve

Ngjarja që përbëhet nga paraqitja e dy mallrave në një dyqan në të njëjtën kohë është produkt i ngjarjeve: - shfaqja e një produkti, - shfaqja e një produkti tjetër.

Ngjarjet formojnë një grup të plotë ngjarjesh nëse të paktën njëra prej tyre është e sigurt se do të ndodhë në përvojë.

Shembull. Porti ka dy shtretër për pranimin e anijeve. Mund të konsiderohen tre ngjarje: - mungesa e anijeve në shtrat, - prania e një anijeje në një nga shtratet, - prania e dy anijeve në dy shtretër. Këto tre ngjarje formojnë një grup të plotë ngjarjesh.

E kundërt quhen dy ngjarje unike të mundshme që formojnë një grup të plotë.

Nëse një nga ngjarjet që është e kundërt shënohet me , atëherë ngjarja e kundërt zakonisht shënohet me .

Përkufizime klasike dhe statistikore të probabilitetit të ngjarjes

Secili prej rezultateve po aq të mundshme të testeve (eksperimenteve) quhet rezultat elementar. Zakonisht ato përcaktohen me shkronja. Për shembull, hidhet një pjatë. Mund të ketë gjithsej gjashtë rezultate elementare bazuar në numrin e pikëve në anët.

Nga rezultatet elementare mund të krijoni një ngjarje më komplekse. Kështu, ngjarja e një numri çift pikash përcaktohet nga tre rezultate: 2, 4, 6.

Një masë sasiore e mundësisë së ndodhjes së ngjarjes në fjalë është probabiliteti.

Përkufizimet më të përdorura të probabilitetit të një ngjarjeje janë: klasike Dhe statistikore.

Përkufizimi klasik i probabilitetit shoqërohet me konceptin e një rezultati të favorshëm.

Rezultati quhet i favorshëm ndaj një ngjarjeje të caktuar nëse ndodhja e saj nënkupton edhe ndodhjen e kësaj ngjarjeje.

Në shembullin e mësipërm, ngjarja në fjalë - një numër çift pikash në anën e rrotulluar - ka tre rezultate të favorshme. Në këtë rast, gjenerali
numri i rezultateve të mundshme. Kjo do të thotë që këtu mund të përdoret përkufizimi klasik i probabilitetit të një ngjarjeje.

Përkufizimi klasikështë e barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme me numrin total të rezultateve të mundshme

ku është probabiliteti i ngjarjes, është numri i rezultateve të favorshme për ngjarjen, është numri total i rezultateve të mundshme.

Në shembullin e konsideruar

Përkufizimi statistikor i probabilitetit shoqërohet me konceptin e shpeshtësisë relative të shfaqjes së një ngjarjeje në eksperimente.

Frekuenca relative e shfaqjes së një ngjarjeje llogaritet duke përdorur formulën

ku është numri i ndodhive të një ngjarjeje në një seri eksperimentesh (provash).

Përkufizimi statistikor. Probabiliteti i një ngjarjeje është numri rreth të cilit frekuenca relative stabilizohet (vendos) me një rritje të pakufizuar të numrit të eksperimenteve.

Në problemet praktike, probabiliteti i një ngjarjeje merret si frekuenca relative për një numër mjaft të madh provash.

Nga këto përkufizime të probabilitetit të një ngjarjeje është e qartë se pabarazia është gjithmonë e kënaqur

Për të përcaktuar probabilitetin e një ngjarjeje bazuar në formulën (1.1), shpesh përdoren formulat e kombinatorikës, të cilat përdoren për të gjetur numrin e rezultateve të favorshme dhe numrin total të rezultateve të mundshme.

Kur një monedhë hidhet, mund të themi se ajo do të bjerë kokën lart, ose probabiliteti kjo është 1/2. Natyrisht, kjo nuk do të thotë që nëse një monedhë hidhet 10 herë, ajo do të bie domosdoshmërisht mbi kokat 5 herë. Nëse monedha është "e drejtë" dhe nëse hidhet shumë herë, atëherë kokat do të ulen shumë afër gjysmës së kohës. Pra, ekzistojnë dy lloje të probabiliteteve: eksperimentale Dhe teorike .

Probabiliteti eksperimental dhe teorik

Nëse e kthejmë një monedhë një numër të madh herë - le të themi 1000 - dhe numërojmë sa herë bie mbi kokat, mund të përcaktojmë probabilitetin që ajo të bjerë mbi koka. Nëse kokat hidhen 503 herë, ne mund të llogarisim probabilitetin e uljes së saj:
503/1000, ose 0,503.

Kjo eksperimentale përcaktimi i probabilitetit. Ky përkufizim i probabilitetit vjen nga vëzhgimi dhe studimi i të dhënave dhe është mjaft i zakonshëm dhe shumë i dobishëm. Këtu, për shembull, janë disa probabilitete që u përcaktuan eksperimentalisht:

1. Probabiliteti që një grua të zhvillojë kancer gjiri është 1/11.

2. Nëse puthni dikë që ka të ftohtë, atëherë probabiliteti që edhe ju të ftoheni është 0.07.

3. Një person që sapo ka dalë nga burgu ka 80% mundësi për t'u rikthyer në burg.

Nëse marrim parasysh hedhjen e një monedhe dhe duke marrë parasysh se ka po aq gjasa që ajo të dalë lart ose bisht, mund të llogarisim probabilitetin për të marrë koka: 1/2 Ky është një përkufizim teorik i probabilitetit. Këtu janë disa probabilitete të tjera që janë përcaktuar teorikisht duke përdorur matematikën:

1. Nëse në një dhomë ka 30 persona, probabiliteti që dy prej tyre të kenë të njëjtën ditëlindje (pa përfshirë vitin) është 0,706.

2. Gjatë një udhëtimi takoni dikë dhe gjatë bisedës zbuloni se keni një mik të përbashkët. Reagimi tipik: "Kjo nuk mund të jetë!" Në fakt, kjo frazë nuk është e përshtatshme, sepse probabiliteti i një ngjarje të tillë është mjaft i lartë - pak më shumë se 22%.

Kështu, probabilitetet eksperimentale përcaktohen përmes vëzhgimit dhe mbledhjes së të dhënave. Probabilitetet teorike përcaktohen përmes arsyetimit matematik. Shembuj të probabiliteteve eksperimentale dhe teorike, të tilla si ato të diskutuara më sipër, dhe veçanërisht ato që ne nuk i presim, na çojnë në rëndësinë e studimit të probabilitetit. Ju mund të pyesni, "Cila është probabiliteti i vërtetë?" Në fakt, nuk ekziston një gjë e tillë. Probabilitetet brenda kufijve të caktuar mund të përcaktohen në mënyrë eksperimentale. Ato mund të përkojnë ose jo me probabilitetet që ne marrim teorikisht. Ka situata në të cilat është shumë më e lehtë të përcaktohet një lloj probabiliteti sesa një tjetër. Për shembull, do të ishte e mjaftueshme për të gjetur probabilitetin për të ftohur duke përdorur probabilitetin teorik.

Llogaritja e probabiliteteve eksperimentale

Le të shqyrtojmë së pari përkufizimin eksperimental të probabilitetit. Parimi bazë që përdorim për të llogaritur probabilitete të tilla është si më poshtë.

Parimi P (eksperimental)

Nëse në një eksperiment në të cilin janë bërë n vëzhgime, një situatë ose ngjarje E ndodh m herë në n vëzhgime, atëherë probabiliteti eksperimental i ngjarjes thuhet se është P (E) = m/n.

Shembulli 1 Anketa sociologjike. Një studim eksperimental u krye për të përcaktuar numrin e njerëzve mëngjarashë, të djathtë dhe të njerëzve, të dy duart e të cilëve janë të zhvilluara njësoj. Rezultatet janë paraqitur në grafik.

a) Përcaktoni probabilitetin që personi të jetë i djathtë.

b) Përcaktoni probabilitetin që personi të jetë mëngjarash.

c) Përcaktoni probabilitetin që një person të flasë njësoj rrjedhshëm në të dyja duart.

d) Shumica e turneve të Shoqatës së Bowlingut Profesionist janë të kufizuar në 120 lojtarë. Bazuar në të dhënat nga ky eksperiment, sa lojtarë mund të jenë mëngjarash?

Zgjidhje

a) Numri i njerëzve që janë djathtas është 82, numri i mëngjarashëve është 17 dhe numri i atyre që flasin rrjedhshëm në të dyja duart është 1. Numri i përgjithshëm i vëzhgimeve është 100. Kështu, probabiliteti që një person është me dorën e djathtë është P
P = 82/100, ose 0,82, ose 82%.

b) Probabiliteti që një person të jetë mëngjarash është P, ku
P = 17/100, ose 0,17, ose 17%.

c) Probabiliteti që një person të flasë njësoj rrjedhshëm në të dyja duart është P, ku
P = 1/100, ose 0,01, ose 1%.

d) 120 bowlers, dhe nga (b) mund të presim që 17% janë mëngjarashë. Nga këtu
17% e 120 = 0.17.120 = 20.4,
domethënë mund të presim që rreth 20 lojtarë të jenë mëngjarashë.

Shembulli 2 Kontrolli i cilësisë . Është shumë e rëndësishme që një prodhues të mbajë cilësinë e produkteve të tij në një nivel të lartë. Në fakt, kompanitë punësojnë inspektorë të kontrollit të cilësisë për të siguruar këtë proces. Qëllimi është të prodhohet numri minimal i mundshëm i produkteve me defekt. Por duke qenë se kompania prodhon mijëra produkte çdo ditë, ajo nuk mund të përballojë të testojë çdo produkt për të përcaktuar nëse ai është me defekt apo jo. Për të zbuluar se sa përqind e produkteve janë me defekt, kompania teston shumë më pak produkte.
USDA kërkon që 80% e farave të shitura nga kultivuesit duhet të mbijnë. Për të përcaktuar cilësinë e farave që prodhon një kompani bujqësore, mbillen 500 farëra nga ato që janë prodhuar. Pas kësaj u llogarit se mbinë 417 fara.

a) Sa është probabiliteti që fara të mbijë?

b) A i përmbushin farat standardet e qeverisë?

Zgjidhje a) Dimë se nga 500 fara që u mbollën, 417 mbinë. Probabiliteti i mbirjes së farës P, dhe
P = 417/500 = 0,834, ose 83,4%.

b) Meqenëse përqindja e farërave të mbirë ka kaluar 80% sipas nevojës, farat plotësojnë standardet e qeverisë.

Shembulli 3 Vlerësimet televizive. Sipas statistikave, në Shtetet e Bashkuara ka 105,500,000 familje me televizor. Çdo javë, informacioni rreth shikimit të programeve mblidhet dhe përpunohet. Brenda një jave, 7,815,000 familje u akorduan në serialin komedi hit "Everybody Loves Raymond" në CBS dhe 8,302,000 familje u akorduan në serialin hit "Law & Order" në NBC (Burimi: Nielsen Media Research). Sa është probabiliteti që televizori i një familjeje të jetë i sintonizuar në "Everybody Loves Raymond" gjatë një jave të caktuar në "Law & Order"?

Zgjidhje Probabiliteti që televizori në një familje të jetë i sintonizuar në "Everybody Loves Raymond" është P, dhe
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Mundësia që televizori i familjes të jetë akorduar në Law & Order është P, dhe
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Këto përqindje quhen vlerësime.

Probabiliteti teorik

Supozoni se po kryejmë një eksperiment, të tillë si hedhja e një monedhe ose shigjetash, nxjerrja e një karte nga një kuvertë ose testimi i produkteve për cilësinë në një linjë montimi. Çdo rezultat i mundshëm i një eksperimenti të tillë quhet Eksodi . Bashkësia e të gjitha rezultateve të mundshme quhet hapësira e rezultatit . Ngjarje është një grup rezultatesh, domethënë një nëngrup i hapësirës së rezultateve.

Shembulli 4 Hedhja e shigjetave. Supozoni se në një eksperiment të hedhjes së shigjetave, një shigjetë godet një objektiv. Gjeni secilën nga sa vijon:

b) Hapësira e rezultateve

Zgjidhje
a) Rezultatet janë: goditja e zezë (B), goditja e kuqe (R) dhe goditja e bardhë (B).

b) Hapësira e rezultateve është (goditja e zezë, goditja e kuqe, goditja e bardhë), e cila mund të shkruhet thjesht si (H, K, B).

Shembulli 5 Hedhja e zarave. Një kub është një kub me gjashtë anë, secila me një deri në gjashtë pika të vizatuara në të.

Supozoni se po hedhim një kërpudhë. Gjej
a) Rezultatet
b) Hapësira e rezultateve

Zgjidhje
a) Rezultatet: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Hapësira e rezultateve (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Probabilitetin që një ngjarje E të ndodhë e shënojmë si P(E). Për shembull, "monedha do të bjerë mbi koka" mund të shënohet me H. Atëherë P(H) përfaqëson probabilitetin që monedha të bjerë mbi koka. Kur të gjitha rezultatet e një eksperimenti kanë të njëjtin probabilitet të ndodhin, thuhet se ato janë po aq të mundshme. Për të parë ndryshimet midis ngjarjeve që janë njësoj të mundshme dhe ngjarjeve që nuk janë, merrni parasysh objektivin e treguar më poshtë.

Për objektivin A, ngjarjet e goditjes së zezë, të kuqe dhe të bardhë janë po aq të mundshme, pasi sektori i zi, i kuq dhe i bardhë janë të njëjtë. Sidoqoftë, për objektivin B, zonat me këto ngjyra nuk janë të njëjta, domethënë, goditja e tyre nuk është po aq e mundshme.

Parimi P (Teorik)

Nëse një ngjarje E mund të ndodhë në m mënyra nga n rezultate të mundshme po aq të mundshme nga hapësira e rezultateve S, atëherë probabiliteti teorik ngjarjet, P(E) është
P(E) = m/n.

Shembulli 6 Sa është probabiliteti i rrotullimit të një kërmale për të marrë një 3?

Zgjidhje Ka 6 rezultate po aq të mundshme në një zare dhe ekziston vetëm një mundësi për të hedhur numrin 3. Atëherë probabiliteti P do të jetë P(3) = 1/6.

Shembulli 7 Cila është probabiliteti i rrotullimit të një numri çift në një peshore?

Zgjidhje Ngjarja është hedhja e një numri çift. Kjo mund të ndodhë në 3 mënyra (nëse rrotulloni një 2, 4 ose 6). Numri i rezultateve njësoj të mundshme është 6. Atëherë probabiliteti P(çift) = 3/6, ose 1/2.

Ne do të përdorim një numër shembujsh që përfshijnë një kuvertë standarde me 52 karta. Kjo kuvertë përbëhet nga kartat e paraqitura në figurën më poshtë.

Shembulli 8 Cila është probabiliteti për të nxjerrë një Ace nga një kuvertë letrash e përzier mirë?

Zgjidhje Ka 52 rezultate (numri i letrave në kuvertë), ato janë po aq të mundshme (nëse kuverta është e përzier mirë), dhe ka 4 mënyra për të nxjerrë një Ace, kështu që sipas parimit P, probabiliteti
P (vizatoni një ACE) = 4/52, ose 1/13.

Shembulli 9 Supozoni se zgjedhim, pa parë, një top nga një qese me 3 topa të kuq dhe 4 topa të gjelbër. Sa është probabiliteti për të zgjedhur një top të kuq?

Zgjidhje Ka 7 rezultate po aq të mundshme të tërheqjes së një topi, dhe meqenëse numri i mënyrave për të vizatuar një top të kuq është 3, marrim
P (përzgjedhja e topit të kuq) = 3/7.

Deklaratat e mëposhtme janë rezultate nga Parimi P.

Vetitë e probabilitetit

a) Nëse ngjarja E nuk mund të ndodhë, atëherë P(E) = 0.
b) Nëse ngjarja E është e sigurt se do të ndodhë, atëherë P(E) = 1.
c) Probabiliteti që ngjarja E të ndodhë është një numër nga 0 në 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Për shembull, në një hedhje monedhë, ngjarja që monedha bie në buzën e saj ka probabilitet zero. Probabiliteti që një monedhë të jetë ose koka ose bisht ka një probabilitet prej 1.

Shembulli 10 Le të supozojmë se 2 letra janë tërhequr nga një kuvertë me 52 letra. Sa është probabiliteti që të dyja të jenë maja?

Zgjidhje Numri n i mënyrave për të nxjerrë 2 letra nga një kuvertë me 52 letra të përziera mirë është 52 C 2 . Meqenëse 13 nga 52 letrat janë me lopata, numri i mënyrave m për të tërhequr 2 lopata është 13 C 2 . Pastaj,
P (tërheqja e 2 majave)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Shembulli 11 Supozoni se 3 persona janë zgjedhur në mënyrë të rastësishme nga një grup prej 6 burrash dhe 4 grave. Sa është probabiliteti që të zgjidhen 1 burrë dhe 2 gra?

Zgjidhje Numri i mënyrave për të zgjedhur tre persona nga një grup prej 10 personash është 10 C 3. Një burrë mund të zgjidhet në 6 mënyra C 1 dhe 2 gra mund të zgjidhen në 4 C 2 mënyra. Sipas parimit themelor të numërimit, numri i mënyrave për të zgjedhur 1 burrë dhe 2 gra është 6 C 1. 4 C 2 . Pastaj, probabiliteti që të zgjidhen 1 burrë dhe 2 gra është
P = 6 C 1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Shembulli 12 Hedhja e zareve. Sa është probabiliteti për të hedhur gjithsej 8 në dy zare?

ZgjidhjeÇdo zare ka 6 rezultate të mundshme. Rezultatet dyfishohen, që do të thotë se ka 6.6 ose 36 mënyra të mundshme në të cilat numrat në dy zare mund të shfaqen. (Është më mirë nëse kubet janë të ndryshëm, le të themi se njëri është i kuq dhe tjetri është blu - kjo do të ndihmojë në vizualizimin e rezultatit.)

Çiftet e numrave që mblidhen deri në 8 janë paraqitur në figurën më poshtë. Ka 5 mënyra të mundshme për të marrë një shumë të barabartë me 8, prandaj probabiliteti është 5/36.

Në detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë, ka edhe probleme më komplekse të probabilitetit (seç kemi konsideruar në Pjesën 1), ku duhet të zbatojmë rregullin e mbledhjes, shumëzimit të probabiliteteve dhe të bëjmë dallimin midis ngjarjeve të përputhshme dhe të papajtueshme.

Pra, teoria.

Ngjarje të përbashkëta dhe jo të përbashkëta

Ngjarjet quhen të papajtueshme nëse ndodhja e njërës prej tyre përjashton ndodhjen e të tjerave. Kjo është, vetëm një ngjarje specifike ose një tjetër mund të ndodhë.

Për shembull, kur hidhni një peshore, mund të bëni dallimin midis ngjarjeve të tilla si marrja e një numri çift pikësh dhe marrja e një numri tek pikët. Këto ngjarje janë të papajtueshme.

Ngjarjet quhen të përbashkëta nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk e përjashton ndodhjen e tjetrës.

Për shembull, kur hidhni një kësulë, mund të dalloni ngjarje të tilla si rrotullimi i një numri tek pikash dhe rrotullimi i një numri pikash që janë shumëfish i tre. Kur rrotullohet një tre, ndodhin të dyja ngjarjet.

Shuma e ngjarjeve

Shuma (ose kombinimi) i disa ngjarjeve është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e të paktën një prej këtyre ngjarjeve.

Ku shuma e dy ngjarjeve të papajtueshme është shuma e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

Për shembull, probabiliteti për të marrë 5 ose 6 pikë në një mjet me një gjuajtje do të jetë , sepse të dyja ngjarjet (rrokullisje 5, rrotullim 6) janë të paqëndrueshme dhe probabiliteti që njëra ose tjetra ngjarje të ndodhë llogaritet si më poshtë:

Probabiliteti shuma e dy ngjarjeve të përbashkëta e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve pa marrë parasysh ndodhjen e tyre të përbashkët:

Për shembull, në një qendër tregtare, dy makina identike shesin kafe. Probabiliteti që aparatit t'i mbarojë kafeja deri në fund të ditës është 0.3. Probabiliteti që të dy makinave të mbarojnë kafe është 0.12. Le të gjejmë probabilitetin që deri në fund të ditës kafeja të mbarojë të paktën në njërën nga makineritë (d.m.th., ose në njërën, ose tjetrën, ose të dyja menjëherë).

Probabiliteti i ngjarjes së parë “kafeja do të mbarojë në makinën e parë” si dhe probabiliteti i ngjarjes së dytë “kafeja do të mbarojë në makinën e dytë” sipas kushtit është e barabartë me 0.3. Ngjarjet janë bashkëpunuese.

Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të dy ngjarjeve të para sipas kushtit është 0,12.

Kjo do të thotë se probabiliteti që deri në fund të ditës kafeja të mbarojë në të paktën një nga makinat është

Ngjarjet e varura dhe të pavarura

Dy ngjarje të rastësishme A dhe B quhen të pavarura nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk ndryshon probabilitetin e shfaqjes së tjetrës. Përndryshe, ngjarjet A dhe B quhen të varura.

Për shembull, kur dy zare hidhen njëkohësisht, njëri prej tyre, le të themi 1, dhe tjetri, 5, janë ngjarje të pavarura.

Produkt i probabiliteteve

Produkti (ose kryqëzimi) i disa ngjarjeve është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e përbashkët e të gjitha këtyre ngjarjeve.

Nëse ndodhin dy ngjarje të pavarura A dhe B me probabilitete përkatësisht P(A) dhe P(B), atëherë probabiliteti i ndodhjes së ngjarjeve A dhe B në të njëjtën kohë është i barabartë me produktin e probabiliteteve:

Për shembull, ne jemi të interesuar të shohim një gjashtë që shfaqet në një die dy herë radhazi. Të dyja ngjarjet janë të pavarura dhe probabiliteti që secila prej tyre të ndodhë veçmas është . Probabiliteti që të dyja këto ngjarje të ndodhin do të llogaritet duke përdorur formulën e mësipërme: .

Shihni një përzgjedhje detyrash për të praktikuar temën.

Probabiliteti është shkalla (masa relative, vlerësimi sasior) i mundësisë së ndodhjes së ndonjë ngjarjeje. Kur arsyet për një ngjarje të mundshme që të ndodhë në fakt tejkalojnë arsyet e kundërta, atëherë kjo ngjarje quhet e mundshme, përndryshe - e pamundur ose e pamundur. Mbizotërimi i arsyeve pozitive ndaj atyre negative, dhe anasjelltas, mund të jetë në shkallë të ndryshme, si rezultat i të cilave probabiliteti (dhe pamundësia) mund të jetë më i madh ose më i vogël. Prandaj, probabiliteti shpesh vlerësohet në nivel cilësor, veçanërisht në rastet kur një vlerësim sasior pak a shumë i saktë është i pamundur ose jashtëzakonisht i vështirë. Gradime të ndryshme të "niveleve" të probabilitetit janë të mundshme.
Studimi i probabilitetit nga pikëpamja matematikore përbën një disiplinë të veçantë - teorinë e probabilitetit. Në teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore, koncepti i probabilitetit zyrtarizohet si një karakteristikë numerike e një ngjarjeje - një masë probabiliteti (ose vlera e saj) - një masë në një grup ngjarjesh (nëngrupe të një grupi ngjarjesh elementare), duke marrë vlera nga
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Kuptimi
(\displaystyle 1)
Korrespondon me një ngjarje të besueshme. Një ngjarje e pamundur ka një probabilitet prej 0 (e kundërta në përgjithësi nuk është gjithmonë e vërtetë). Nëse probabiliteti për të ndodhur një ngjarje është i barabartë me
(\displaystyle p)
Atëherë probabiliteti i mosndodhjes së tij është i barabartë me
(\displaystyle 1-p)
Në veçanti, probabiliteti
(\displaystyle 1/2)
Do të thotë probabilitet i barabartë i ndodhjes dhe mosndodhjes së një ngjarjeje.
Përkufizimi klasik i probabilitetit bazohet në konceptin e probabilitetit të barabartë të rezultateve. Probabiliteti është raporti i numrit të rezultateve të favorshme për një ngjarje të caktuar me numrin total të rezultateve po aq të mundshme. Për shembull, probabiliteti për të marrë kokat ose bishtat në një hedhje të rastësishme të monedhës është 1/2 nëse supozohet se ndodhin vetëm këto dy mundësi dhe se ato janë njësoj të mundshme. Ky "përkufizim" klasik i probabilitetit mund të përgjithësohet në rastin e një numri të pafund vlerash të mundshme - për shembull, nëse një ngjarje mund të ndodhë me probabilitet të barabartë në çdo pikë (numri i pikave është i pafund) i një rajoni të kufizuar të hapësirë (rrafsh), atëherë probabiliteti që do të ndodhë në ndonjë pjesë të këtij rajoni të realizueshëm është i barabartë me raportin e vëllimit (sipërfaqes) të kësaj pjese me vëllimin (sipërfaqen) e rajonit të të gjitha pikave të mundshme.
“Përkufizimi” empirik i probabilitetit lidhet me shpeshtësinë e një ngjarjeje, bazuar në faktin se me një numër mjaft të madh provash, frekuenca duhet të priret në shkallën objektive të mundësisë së kësaj ngjarjeje. Në paraqitjen moderne të teorisë së probabilitetit, probabiliteti përkufizohet në mënyrë aksiomatike, si një rast i veçantë i teorisë abstrakte të masës së grupeve. Megjithatë, lidhja lidhëse ndërmjet masës abstrakte dhe probabilitetit, që shpreh shkallën e mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje, është pikërisht frekuenca e vëzhgimit të saj.
Përshkrimi probabilistik i disa fenomeneve është bërë i përhapur në shkencën moderne, veçanërisht në ekonometrinë, fizikën statistikore të sistemeve makroskopike (termodinamike), ku edhe në rastin e një përshkrimi klasik determinist të lëvizjes së grimcave, një përshkrim determinist i të gjithë sistemit. e grimcave nuk duket praktikisht e mundur apo e përshtatshme. Në fizikën kuantike, proceset e përshkruara janë në vetvete probabiliste në natyrë.

Çfarë është probabiliteti?

Herën e parë që ndesha këtë term, nuk do ta kisha kuptuar se çfarë ishte. Prandaj, do të përpiqem të shpjegoj qartë.

Probabiliteti është mundësia që ngjarja që duam të ndodhë.

Për shembull, keni vendosur të shkoni në shtëpinë e një miku, ju kujtohet hyrja dhe madje edhe dyshemeja në të cilën ai jeton. Por harrova numrin dhe vendndodhjen e banesës. Dhe tani ju jeni duke qëndruar në shkallë, dhe para jush ka dyer për të zgjedhur.

Sa është mundësia (probabiliteti) që nëse i bini ziles së parë, shoku juaj do t'i përgjigjet derës për ju? Ka vetëm apartamente dhe një mik jeton vetëm pas njërit prej tyre. Me një shans të barabartë ne mund të zgjedhim çdo derë.

Por cili është ky shans?

Dera, dera e duhur. Mundësia për të marrë me mend duke rënë ziles së parë: . Kjo do të thotë, një herë në tre do të merrni me mend me saktësi.

Ne duam të dimë, pasi kemi telefonuar një herë, sa shpesh do ta marrim me mend derën? Le të shohim të gjitha opsionet:

Ju thirrët 1 dera
Ju thirrët 2 dera
Ju thirrët 3 dera

Tani le të shohim të gjitha opsionet ku mund të jetë një mik:

A. Mbrapa 1 dera
b. Mbrapa 2 dera
V. Mbrapa 3 dera

Le të krahasojmë të gjitha opsionet në formë tabele. Një shenjë tregon opsionet kur zgjedhja juaj përkon me vendndodhjen e një miku, një kryq - kur nuk përputhet.

Si i sheh të gjitha Ndoshta opsione vendndodhjen e mikut tuaj dhe zgjedhjen tuaj se cilës derë duhet t'i bini ziles.

A rezultate të favorshme për të gjithë . Domethënë, do të merrni me mend një herë duke i rënë ziles një herë, d.m.th. .

Ky është probabiliteti - raporti i një rezultati të favorshëm (kur zgjedhja juaj përkon me vendndodhjen e mikut tuaj) me numrin e ngjarjeve të mundshme.

Përkufizimi është formula. Probabiliteti zakonisht shënohet me p, prandaj:

Nuk është shumë i përshtatshëm për të shkruar një formulë të tillë, kështu që ne do të marrim - numrin e rezultateve të favorshme, dhe për - numrin e përgjithshëm të rezultateve.

Probabiliteti mund të shkruhet si përqindje për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni rezultatin që rezulton me:

Fjala "rezultate" ndoshta ju tërhoqi vëmendjen. Meqenëse matematikanët i quajnë eksperimente veprime të ndryshme (në rastin tonë, një veprim i tillë është një zile dere), rezultati i eksperimenteve të tilla zakonisht quhet rezultat.

Epo, ka rezultate të favorshme dhe të pafavorshme.

Le të kthehemi te shembulli ynë. Le të themi se kemi thirrur njërën nga dyert, por një i huaj na e hapi atë. Nuk e morëm me mend mirë. Sa është probabiliteti që nëse i biem njërës prej dyerve të mbetura, shoku ynë do ta hapë atë për ne?

Nëse keni menduar kështu, atëherë ky është një gabim. Le ta kuptojmë.

Kemi dy dyer të mbetura. Pra, ne kemi hapat e mundshëm:

1) Thirrni 1 dera
2) Thirrni 2 dera

Miku, përkundër gjithë kësaj, është padyshim pas njërit prej tyre (në fund të fundit, ai nuk ishte pas atij që ne thirrëm):

a) Mik për 1 dera
b) Mik për 2 dera

Le të vizatojmë përsëri tabelën:

Siç mund ta shihni, ka vetëm opsione, nga të cilat janë të favorshme. Kjo do të thotë, probabiliteti është i barabartë.

Pse jo?

Situata që kemi konsideruar është shembull i ngjarjeve të varura. Ngjarja e parë është zilja e parë, ngjarja e dytë është zilja e dytë.

Dhe quhen të varur sepse ndikojnë në veprimet e mëposhtme. Në fund të fundit, nëse pas ziles së parë ziles i përgjigjej një mik, sa do të ishte probabiliteti që ai të ishte pas njërit nga dy të tjerët? E drejta,.

Por nëse ka ngjarje të varura, atëherë duhet të ketë gjithashtu i pavarur? Kjo është e drejtë, ato ndodhin.

Një shembull i tekstit shkollor është hedhja e një monedhe.

Hidhe një monedhë një herë. Sa është probabiliteti për të marrë koka, për shembull? Kjo është e drejtë - sepse ka të gjitha opsionet (ose kokat ose bishtat, le të neglizhojmë mundësinë e uljes së monedhës në buzë), por kjo na përshtatet vetëm neve.
Por doli kokat. Mirë, le ta hedhim përsëri. Sa është probabiliteti për të marrë koka tani? Asgjë nuk ka ndryshuar, gjithçka është njësoj. Sa opsione? Dy. Me sa jemi të kënaqur? Një.

Dhe le të ngrihet lart të paktën një mijë herë radhazi. Probabiliteti për të marrë kokat menjëherë do të jetë i njëjtë. Gjithmonë ka opsione, dhe ato të favorshme.

Është e lehtë të dallosh ngjarjet e varura nga ato të pavarura:

Nëse eksperimenti kryhet një herë (ata hedhin një monedhë një herë, i bien ziles një herë, etj.), atëherë ngjarjet janë gjithmonë të pavarura.
Nëse një eksperiment kryhet disa herë (një monedhë hidhet një herë, zilja e derës i bihet disa herë), atëherë ngjarja e parë është gjithmonë e pavarur. Dhe pastaj, nëse numri i atyre të favorshme ose numri i të gjitha rezultateve ndryshon, atëherë ngjarjet janë të varura, dhe nëse jo, ato janë të pavarura.

Le të praktikojmë pak përcaktimin e probabilitetit.

Shembulli 1.

Monedha hidhet dy herë. Sa është probabiliteti për të marrë koka dy herë radhazi?

Zgjidhja:

Le të shqyrtojmë të gjitha opsionet e mundshme:

Shqiponjë-shqiponjë
Koka-bisht
Bishtat-Kokat
Bishta-bisht

Siç mund ta shihni, ka vetëm opsione. Nga këto ne jemi vetëm të kënaqur. Kjo është, probabiliteti:

Nëse kushti thjesht ju kërkon të gjeni probabilitetin, atëherë përgjigja duhet të jepet në formën e një thyese dhjetore. Nëse do të specifikohej se përgjigja duhet të jepej në përqindje, atëherë do të shumëzoheshim me.

Përgjigje:

Shembulli 2.

Në një kuti me çokollata, të gjitha çokollatat janë të paketuara në të njëjtin mbështjellës. Megjithatë, nga ëmbëlsirat - me arra, me konjak, me qershi, me karamel dhe me nuga.

Sa është probabiliteti për të marrë një karamele dhe për të marrë një karamele me arra? Jepni përgjigjen tuaj në përqindje.

Zgjidhja:

Sa rezultate të mundshme ka? .

Kjo do të thotë, nëse merrni një karamele, ajo do të jetë një nga ato të disponueshme në kuti.

Sa rezultate të favorshme?

Sepse kutia përmban vetëm çokollata me arra.

Përgjigje:

Shembulli 3.

Në një kuti me balona. prej të cilave janë të bardha dhe të zeza.

Sa është probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë?
Shtuam më shumë topa të zinj në kuti. Sa është tani probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë?

Zgjidhja:

a) Në kuti ka vetëm topa. Prej tyre janë të bardhë.

Probabiliteti është:

b) Tani ka më shumë topa në kuti. Dhe po aq të bardhë kanë mbetur - .

Përgjigje:

Probabiliteti total

Probabiliteti i të gjitha ngjarjeve të mundshme është i barabartë me ().

Le të themi se ka topa të kuq dhe jeshilë në një kuti. Sa është probabiliteti për të vizatuar një top të kuq? Top i gjelbër? Top i kuq apo jeshil?

Probabiliteti për të vizatuar një top të kuq

Topi jeshil:

Top i kuq ose jeshil:

Siç mund ta shihni, shuma e të gjitha ngjarjeve të mundshme është e barabartë me (). Kuptimi i kësaj pike do t'ju ndihmojë të zgjidhni shumë probleme.

Shembulli 4.

Ka shënues në kuti: jeshile, e kuqe, blu, e verdhë, e zezë.

Sa është probabiliteti për të nxjerrë NUK një shënues të kuq?

Zgjidhja:

Le të numërojmë numrin rezultate të favorshme.

JO një shënues i kuq, që do të thotë jeshile, blu, e verdhë ose e zezë.

Probabiliteti i të gjitha ngjarjeve. Dhe probabiliteti i ngjarjeve që ne i konsiderojmë të pafavorshme (kur nxjerrim një shënues të kuq) është .

Kështu, probabiliteti i nxjerrjes së një stilolapsi JO të kuq me majë të ndjerë është .

Përgjigje:

Probabiliteti që një ngjarje të mos ndodhë është e barabartë me minus probabilitetin që ngjarja të ndodhë.

Rregulla për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura

Ju tashmë e dini se çfarë janë ngjarjet e pavarura.

Po sikur të duhet të gjesh probabilitetin që dy (ose më shumë) ngjarje të pavarura të ndodhin me radhë?

Le të themi se duam të dimë se cila është probabiliteti që nëse hedhim një monedhë një herë, do të shohim koka dy herë?

Ne kemi konsideruar tashmë - .

Po sikur të hedhim një monedhë një herë? Sa është probabiliteti për të parë një shqiponjë dy herë radhazi?

Opsionet totale të mundshme:

Shqiponja-shqiponja-shqiponja
Koka-kokë-bisht
Koka-bisht-koka
Kokë-bisht-bisht
Bisht-kokë-kokë
Bisht-kokë-bisht
Bisht-bisht-kokë
Bisht-bisht-bisht

Nuk e di për ju, por kam bërë gabime disa herë kur përpilova këtë listë. Uau! Dhe i vetmi opsion (i pari) na përshtatet.

Për 5 gjuajtje, mund të bëni vetë një listë të rezultateve të mundshme. Por matematikanët nuk janë aq punëtorë sa ju.

Prandaj, ata së pari vunë re dhe më pas vërtetuan se probabiliteti i një sekuence të caktuar ngjarjesh të pavarura çdo herë zvogëlohet me probabilitetin e një ngjarjeje.

Me fjale te tjera,

Le të shohim shembullin e së njëjtës monedhë fatkeqe.

Probabilitet për të marrë kokat në një sfidë? . Tani e kthejmë monedhën një herë.

Sa është probabiliteti për të marrë kokat me radhë?

Ky rregull nuk funksionon vetëm nëse na kërkohet të gjejmë probabilitetin që e njëjta ngjarje të ndodhë disa herë radhazi.

Nëse do të dëshironim të gjenim sekuencën TAILS-HEADS-TAILS për hedhje të njëpasnjëshme, do të bënim të njëjtën gjë.

Probabiliteti i uljes së kokave është - , koka - .

Probabiliteti për të marrë sekuencën TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Mund ta kontrolloni vetë duke bërë një tabelë.

Rregulli për shtimin e probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme.

Ndaj ndalo! Përkufizim i ri.

Le ta kuptojmë. Le të marrim monedhën tonë të konsumuar dhe ta hedhim një herë.
Opsionet e mundshme:

Shqiponja-shqiponja-shqiponja
Koka-kokë-bisht
Koka-bisht-koka
Kokë-bisht-bisht
Bisht-kokë-kokë
Bisht-kokë-bisht
Bisht-bisht-kokë
Bisht-bisht-bisht

Pra, ngjarjet e papajtueshme janë një sekuencë e caktuar ngjarjesh. - këto janë ngjarje të papajtueshme.

Nëse duam të përcaktojmë se cila është probabiliteti i dy (ose më shumë) ngjarjeve të papajtueshme, atëherë shtojmë probabilitetet e këtyre ngjarjeve.

Ju duhet të kuptoni se kokat ose bishtat janë dy ngjarje të pavarura.

Nëse duam të përcaktojmë probabilitetin e ndodhjes së një sekuence (ose ndonjë tjetër), atëherë përdorim rregullin e shumëzimit të probabiliteteve.
Sa është probabiliteti për të marrë kokat në hedhjen e parë dhe bishtin në hedhjen e dytë dhe të tretë?

Por nëse duam të dimë se cila është probabiliteti për të marrë një nga disa sekuenca, për shembull, kur kokat ngrihen saktësisht një herë, d.m.th. opsionet dhe, atëherë ne duhet të mbledhim probabilitetet e këtyre sekuencave.

Opsionet totale na përshtaten.

Ne mund të marrim të njëjtën gjë duke mbledhur probabilitetet e shfaqjes së çdo sekuence:

Kështu, ne shtojmë probabilitete kur duam të përcaktojmë probabilitetin e sekuencave të caktuara, jokonsistente, të ngjarjeve.

Ekziston një rregull i shkëlqyeshëm për t'ju ndihmuar të mos hutoheni kur të shumëzoni dhe kur të shtoni:

Le të kthehemi te shembulli ku hodhëm një monedhë një herë dhe donim të dinim probabilitetin për të parë një herë kokat.
Cfare do te ndodhe?

Duhet të bjerë jashtë:
(koka AND tails AND tails) OSE (tails AND heads AND tails) OSE (bishtave AND tails AND heads).
Kështu rezulton:

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 5.

Ka lapsa në kuti. e kuqe, jeshile, portokalli dhe e verdhë dhe e zezë. Sa është probabiliteti për të vizatuar lapsa të kuq ose jeshil?

Zgjidhja:

Cfare do te ndodhe? Duhet të tërheqim (e kuqe OSE jeshile).

Tani është e qartë, le të shtojmë probabilitetet e këtyre ngjarjeve:

Përgjigje:

Shembulli 6.

Nëse një kupë hidhet dy herë, sa është probabiliteti për të marrë gjithsej 8?

Zgjidhje.

Si mund të marrim pikë?

(dhe) ose (dhe) ose (dhe) ose (dhe) ose (dhe).

Probabiliteti për të marrë një (ndonjë) fytyrë është .

Ne llogarisim probabilitetin:

Përgjigje:

Trajnimi.

Unë mendoj se tani e kuptoni se kur duhet të llogaritni probabilitetet, kur t'i shtoni ato dhe kur t'i shumëzoni ato. A nuk është ajo? Le të praktikojmë pak.

Detyrat:

Le të marrim një kuvertë letrash që përmban letra duke përfshirë lopata, zemra, 13 shkopinj dhe 13 diamante. Nga tek Asi i çdo kostumi.

Sa është probabiliteti i tërheqjes së shkopinjve me radhë (e vendosim kartën e parë të nxjerrë përsëri në kuvertë dhe e përziejmë)?
Sa është probabiliteti për të nxjerrë një karton të zi (lopata ose shkopinj)?
Sa është probabiliteti për të vizatuar një pikturë (jack, mbretëresha, mbret ose asi)?
Sa është probabiliteti i vizatimit të dy figurave me radhë (ne heqim kartën e parë të tërhequr nga kuverta)?
Cila është probabiliteti, duke marrë dy letra, për të mbledhur një kombinim - (jack, mbretëreshë ose mbret) dhe një ACE Sekuenca në të cilën janë tërhequr letrat nuk ka rëndësi?

Përgjigjet:

Në një kuvertë letrash të çdo vlere, do të thotë:
Ngjarjet janë të varura, pasi pas tërheqjes së kartës së parë, numri i letrave në kuvertë u ul (ashtu si numri i "fotografive"). Fillimisht, në kuvertë ka kripa, mbretëresha, mbretër dhe ace, që do të thotë probabilitet për të nxjerrë një "foto" me kartën e parë:
Meqenëse e heqim kartën e parë nga kuverta, kjo do të thotë që tashmë ka mbetur letra në kuvertë, duke përfshirë fotografitë. Probabiliteti i vizatimit të një fotografie me kartën e dytë:
Meqenëse ne jemi të interesuar për situatën kur nxjerrim një "foto" DHE një "foto" nga kuverta, duhet të shumëzojmë probabilitetet:
Përgjigje:
Pas tërheqjes së kartës së parë, numri i letrave në kuvertë do të ulet, kështu që na përshtaten dy opsione:
1) Karta e parë është Ace, e dyta është Jack, Queen ose King
2) Ne nxjerrim një fole, mbretëreshë ose mbret me kartën e parë dhe një as me të dytën. (ace dhe (krik ose mbretëreshë ose mbret)) ose ((krik ose mbretëreshë ose mbret) dhe ACE). Mos harroni për zvogëlimin e numrit të kartave në kuvertë!

Nëse keni mundur t'i zgjidhni të gjitha problemet vetë, atëherë jeni të shkëlqyer! Tani do t'i thyeni problemet e teorisë së probabilitetit në Provimin e Bashkuar të Shtetit si arra!

TEORIA E PROBABILITETIT. NIVELI MESATAR

Le të shohim një shembull. Le të themi se hedhim një kërpudhë. Çfarë lloj kocke është kjo, a e dini? Kjo është ajo që ata e quajnë një kub me numra në faqet e tij. Sa fytyra, kaq shumë numra: nga në sa? Përpara.

Pra, hedhim zarin dhe duam që ai të dalë ose. Dhe ne e marrim atë.

Në teorinë e probabilitetit ata thonë se çfarë ka ndodhur ngjarje e mbarë(të mos ngatërrohet me të begatë).

Nëse do të ndodhte, edhe ngjarja do të ishte e favorshme. Në total, mund të ndodhin vetëm dy ngjarje të favorshme.

Sa janë të pafavorshëm? Meqenëse ka ngjarje totale të mundshme, do të thotë se ato të pafavorshmet janë ngjarje (kjo është nëse ose bie jashtë).

Përkufizimi:

Probabiliteti është raporti i numrit të ngjarjeve të favorshme me numrin e të gjitha ngjarjeve të mundshme. Kjo do të thotë, probabiliteti tregon se cila pjesë e të gjitha ngjarjeve të mundshme janë të favorshme.

Ata tregojnë probabilitetin me një shkronjë latine (me sa duket nga fjala angleze probability - probability).

Është zakon të matet probabiliteti si përqindje (shih temat dhe). Për ta bërë këtë, vlera e probabilitetit duhet të shumëzohet me. Në shembullin e zarit, probabiliteti.

Dhe në përqindje: .

Shembuj (vendosni vetë):

Sa është probabiliteti për të marrë koka kur hedh një monedhë? Sa është probabiliteti i uljes së kokave?
Sa është probabiliteti për të marrë një numër çift kur hedh një kërpudhë? Dhe cila është e çuditshme?
Në një kuti me lapsa të thjeshtë, blu dhe të kuq. Ne vizatojmë një laps rastësisht. Sa është probabiliteti për të marrë një të thjeshtë?

Zgjidhjet:

Sa opsione ka? Kokat dhe bishtat - vetëm dy. Sa prej tyre janë të favorshëm? Vetëm njëra është shqiponjë. Pra probabiliteti
Është e njëjta gjë me bishtat: .
Opsionet totale: (sa anë ka kubi, kaq shumë opsione të ndryshme). Të favorshmet: (këto janë të gjithë numra çift :).
Probabiliteti. Sigurisht, është e njëjta gjë me numrat tek.
Total: . I favorshëm: . Probabiliteti: .

Probabiliteti total

Të gjithë lapsat në kuti janë jeshile. Sa është probabiliteti për të vizatuar një laps të kuq? Nuk ka shanse: probabilitet (në fund të fundit, ngjarje të favorshme -).

Një ngjarje e tillë quhet e pamundur.

Sa është probabiliteti për të vizatuar një laps jeshil? Ka saktësisht të njëjtin numër ngjarjesh të favorshme sa ka totali i ngjarjeve (të gjitha ngjarjet janë të favorshme). Pra, probabiliteti është i barabartë me ose.

Një ngjarje e tillë quhet e besueshme.

Nëse një kuti përmban lapsa të gjelbër dhe të kuq, sa është probabiliteti për të vizatuar jeshile ose të kuqe? Akoma perseri. Le të theksojmë këtë: probabiliteti i nxjerrjes së gjelbër është i barabartë, dhe i kuqja është e barabartë.

Me pak fjalë, këto probabilitete janë saktësisht të barabarta. Kjo eshte, shuma e probabiliteteve të të gjitha ngjarjeve të mundshme është e barabartë me ose.

Shembull:

Në një kuti me lapsa, midis tyre janë blu, e kuqe, jeshile, e thjeshtë, e verdhë dhe pjesa tjetër janë portokalli. Sa është probabiliteti për të mos vizatuar jeshile?

Zgjidhja:

Ne kujtojmë se të gjitha gjasat mblidhen. Dhe probabiliteti për të marrë jeshile është i barabartë. Kjo do të thotë që probabiliteti për të mos vizatuar jeshile është i barabartë.

Mbani mend këtë truk: probabiliteti që një ngjarje të mos ndodhë është e barabartë me minus probabilitetin që ngjarja të ndodhë.

Ngjarjet e pavarura dhe rregulli i shumëzimit

Ju rrokullisni një monedhë një herë dhe dëshironi që ajo të dalë në krye të dyja herët. Sa janë gjasat për këtë?

Le të kalojmë nëpër të gjitha opsionet e mundshme dhe të përcaktojmë se sa janë:

Koka-kokë, bisht-kokë, koka-bisht, bisht-bisht. Çfarë tjetër?

Opsionet totale. Nga këto na shkon vetëm një: Shqiponja-Shqiponja. Në total, probabiliteti është i barabartë.

Mirë. Tani le të hedhim një monedhë një herë. Bëni vetë llogaritjen. Ka ndodhur? (përgjigje).

Ju mund të keni vënë re se me shtimin e çdo gjuajtjeje pasuese, probabiliteti zvogëlohet përgjysmë. Rregulli i përgjithshëm quhet rregulli i shumëzimit:

Probabilitetet e ngjarjeve të pavarura ndryshojnë.

Cilat janë ngjarjet e pavarura? Gjithçka është logjike: këto janë ato që nuk varen nga njëri-tjetri. Për shembull, kur hedhim një monedhë disa herë, çdo herë bëhet një hedhje e re, rezultati i së cilës nuk varet nga të gjitha hedhjet e mëparshme. Po aq lehtë mund të hedhim dy monedha të ndryshme në të njëjtën kohë.

Më shumë shembuj:

Zari hidhet dy herë. Sa është probabiliteti që të shfaqet të dyja herët?
Monedha hidhet një herë. Sa është probabiliteti që herën e parë të ngrihet lart dhe më pas të bjerë dy herë?
Lojtari hedh dy zare. Sa është probabiliteti që shuma e numrave në to të jetë e barabartë?

Përgjigjet:

Ngjarjet janë të pavarura, që do të thotë se rregulli i shumëzimit funksionon: .
Probabiliteti i kokave është i barabartë. Probabiliteti i bishtave është i njëjtë. Shumëzo:
12 mund të merret vetëm nëse rrotullohen dy -ki: .

Ngjarjet e papajtueshme dhe rregulli i shtimit

Ngjarjet që plotësojnë njëra-tjetrën deri në një probabilitet të plotë quhen të papajtueshme. Siç sugjeron emri, ato nuk mund të ndodhin njëkohësisht. Për shembull, nëse hedhim një monedhë, ajo mund të dalë ose nga koka ose nga bishtat.

Shembull.

Në një kuti me lapsa, midis tyre janë blu, e kuqe, jeshile, e thjeshtë, e verdhë dhe pjesa tjetër janë portokalli. Sa është probabiliteti për të vizatuar jeshile ose të kuqe?

Zgjidhje .

Probabiliteti për të vizatuar një laps jeshil është i barabartë. E kuqe -.

Ngjarje të favorshme në të gjitha: jeshile + e kuqe. Kjo do të thotë që probabiliteti i vizatimit të gjelbër ose të kuq është i barabartë.

I njëjti probabilitet mund të paraqitet në këtë formë: .

Ky është rregulli i shtimit: shtohen gjasat e ngjarjeve të papajtueshme.

Probleme të tipit të përzier

Shembull.

Monedha hidhet dy herë. Sa është probabiliteti që rezultatet e rrotullave të jenë të ndryshme?

Zgjidhje .

Kjo do të thotë që nëse rezultati i parë është koka, i dyti duhet të jetë bisht, dhe anasjelltas. Rezulton se ka dy palë ngjarje të pavarura, dhe këto palë janë të papajtueshme me njëra-tjetrën. Si të mos ngatërroheni se ku të shumëzoni dhe ku të shtoni.

Ekziston një rregull i thjeshtë për situata të tilla. Mundohuni të përshkruani se çfarë do të ndodhë duke përdorur lidhëzat "DHE" ose "OR". Për shembull, në këtë rast:

Duhet të dalin lart (kokat dhe bishtat) ose (bishtet dhe kokat).

Aty ku ka një lidhje "dhe" do të ketë shumëzim, dhe ku ka "ose" do të ketë mbledhje:

Provojeni vetë:

Sa është probabiliteti që nëse një monedhë hidhet dy herë, monedha të bjerë në të njëjtën anë të dyja herët?
Zari hidhet dy herë. Sa është probabiliteti për të marrë një total pikësh?

Zgjidhjet:

(Ranë kokat dhe ranë bishtat) ose (ranë bishtat e bishtin): .
Cilat janë opsionet? Dhe. Pastaj:
Ka rënë (dhe) ose (dhe) ose (dhe): .

Një shembull tjetër:

Hidhe një monedhë një herë. Sa është probabiliteti që kokat të shfaqen të paktën një herë?

Zgjidhja:

Ah, sa nuk dua t'i kaloj opsionet... Kokë-bisht-bisht, koka-bisht shqiponje,... Por nuk ka nevojë! Le të kujtojmë për probabilitetin total. Të kujtohet? Sa është probabiliteti që shqiponja nuk do të bjerë kurrë jashtë? Është e thjeshtë: kokat fluturojnë gjatë gjithë kohës, kjo është arsyeja pse.

TEORIA E PROBABILITETIT. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Probabiliteti është raporti i numrit të ngjarjeve të favorshme me numrin e të gjitha ngjarjeve të mundshme.

Ngjarjet e pavarura

Dy ngjarje janë të pavarura nëse ndodhja e njërës nuk ndryshon probabilitetin që të ndodhë tjetra.

Probabiliteti total

Probabiliteti i të gjitha ngjarjeve të mundshme është i barabartë me ().

Probabiliteti që një ngjarje të mos ndodhë është e barabartë me minus probabilitetin që ngjarja të ndodhë.

Rregulla për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura

Probabiliteti i një sekuence të caktuar ngjarjesh të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të secilës ngjarje

Ngjarje të papajtueshme

Ngjarjet e papajtueshme janë ato që nuk mund të ndodhin njëkohësisht si rezultat i një eksperimenti. Një numër ngjarjesh të papajtueshme formojnë një grup të plotë ngjarjesh.

Mundësitë e ngjarjeve të papajtueshme shtohen.

Pasi kemi përshkruar se çfarë duhet të ndodhë duke përdorur lidhëzat "DHE" ose "OR", në vend të "DHE" vendosim një shenjë shumëzimi dhe në vend të "OR" vendosim një shenjë shtesë.

Bëhuni një student i YouClever,

Përgatituni për Provimin e Unifikuar të Shtetit ose Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë,

Dhe gjithashtu merrni akses në librin shkollor YouClever pa kufizime...