Vetitë e një tangjente. Vija tangjente Rregulla tangjente

Përkufizimi. Një tangjente me një rreth është një vijë e drejtë në një plan që ka saktësisht një pikë të përbashkët me rrethin.

Këtu janë disa shembuj:

Rreth me qendër O prek një vijë të drejtë l në pikën A

Nga kudo M Saktësisht dy tangjente mund të vizatohen jashtë rrethit

Dallimi midis tangjentes l, sekant B.C. dhe drejt m, e cila nuk ka pika të përbashkëta me një rreth

Mund të përfundojmë këtu, por praktika tregon se nuk mjafton thjesht të mësoni përmendësh përkufizimin - duhet të mësoni të shihni tangjentet në vizatime, të njihni vetitë e tyre dhe, përveç kësaj, të praktikoni siç duhet zbatimin e këtyre vetive duke zgjidhur probleme reale. Të gjitha këto do t'i bëjmë sot.

Vetitë themelore të tangjentëve

Për të zgjidhur çdo problem, duhet të dini katër veti kryesore. Dy prej tyre përshkruhen në ndonjë libër referimi/teksti shkollor, por dy të fundit disi janë harruar, por më kot.

1. Segmentet tangjente të tërhequra nga një pikë janë të barabarta

Pak më lart ne folëm tashmë për dy tangjente të tërhequra nga një pikë M. Pra:

Segmentet tangjente në një rreth të tërhequr nga një pikë janë të barabarta.

Segmentet JAM. Dhe B.M. të barabartë

2. Tangjentja është pingul me rrezen e tërhequr në pikën e tangjences

Le të shohim sërish foton e mësipërme. Le të vizatojmë rrezet O.A. Dhe O.B., pas së cilës konstatojmë se këndet OAM Dhe O.B.M.- drejt.

Rrezja e tërhequr në pikën e kontaktit është pingul me tangjenten.

Ky fakt mund të përdoret pa prova në çdo problem:

Rrezet e tërhequra në pikën tangjente janë pingul me tangjentet

Nga rruga, vini re: nëse vizatoni një segment OM, atëherë marrim dy trekëndësha të barabartë: OAM Dhe O.B.M..

3. Lidhja midis tangjentes dhe sekantes

Por ky është një fakt më serioz dhe shumica e nxënësve të shkollës nuk e dinë atë. Konsideroni një tangjente dhe një sekant që kalojnë nëpër të njëjtën pikë të përbashkët M. Natyrisht, sekanti do të na japë dy segmente: brenda rrethit (segment B.C.- quhet edhe korda) dhe jashtë (quhet edhe pjesa e jashtme M.C.).

Prodhimi i të gjithë sekantit dhe pjesës së jashtme të tij është i barabartë me katrorin e segmentit tangjent

Marrëdhënia midis sekantës dhe tangjentes

4. Këndi ndërmjet tangjentes dhe kordës

Një fakt edhe më i avancuar që përdoret shpesh për të zgjidhur probleme komplekse. Unë rekomandoj shumë ta merrni në shërbim.

Këndi ndërmjet tangjentës dhe kordës është i barabartë me këndin e brendashkruar që nënshtrohet nga kjo kordë.

Nga vjen pika? B? Në problemet reale, zakonisht "shfaqet" diku në gjendje. Prandaj, është e rëndësishme të mësoni të njihni këtë konfigurim në vizatime.

Ndonjëherë ka rëndësi :)

\[(\Large(\tekst(Kënde qendrore dhe të gdhendura)))\]

Përkufizimet

Një kënd qendror është një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në qendër të rrethit.

Një kënd i brendashkruar është një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth.

Masa e shkallës së një harku të një rrethi është masa e shkallës së këndit qendror që e nënshtron atë.

Teorema

Masa e shkallës së një këndi të brendashkruar është e barabartë me gjysmën e masës së shkallës së harkut mbi të cilin ai mbështetet.

Dëshmi

Vërtetimin do ta kryejmë në dy faza: së pari do të vërtetojmë vlefshmërinë e pohimit për rastin kur njëra nga anët e këndit të brendashkruar përmban një diametër. Le të jetë pika $B$ kulmi i këndit të brendashkruar $ABC$ dhe $BC$ diametri i rrethit:

Trekëndëshi $AOB$ është dykëndësh, $AO = OB$ , $\këndi AOC$ është i jashtëm, atëherë $\këndi AOC = \këndi OAB + \këndi ABO = 2\këndi ABC$, ku $\këndi ABC = 0,5\cdot\këndi AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\mbi(AC)$.

Tani merrni parasysh një kënd të gdhendur arbitrar $ABC$ . Le të nxjerrim diametrin e rrethit $BD$ nga kulmi i këndit të brendashkruar. Ka dy raste të mundshme:

1) diametri e pret këndin në dy kënde $\këndi ABD, \këndi CBD$ (për secilën prej të cilave teorema është e vërtetë siç u vërtetua më lart, prandaj është e vërtetë edhe për këndin fillestar, që është shuma e këtyre dy dhe për rrjedhojë e barabartë me gjysmën e shumës së harqeve në të cilat mbështeten, pra e barabartë me gjysmën e harkut mbi të cilin mbështetet). Oriz. 1.

2) diametri nuk e preu këndin në dy kënde, atëherë kemi edhe dy kënde të reja të brendashkruara $\këndi ABD, \këndi CBD$, ana e të cilëve përmban diametrin, prandaj, teorema është e vërtetë për ta, atëherë ajo është e vërtetë edhe për këndin fillestar (që është i barabartë me diferencën e këtyre dy këndeve, që do të thotë se është i barabartë me gjysmëdiferencën e harqeve në të cilat ata mbështeten, domethënë e barabartë me gjysmën e harkut në të cilin mbështetet) . Oriz. 2.

Pasojat

1. Këndet e brendashkruara që nënshtrojnë të njëjtin hark janë të barabartë.

2. Një kënd i brendashkruar i nënshtruar nga një gjysmërreth është një kënd i drejtë.

3. Një kënd i brendashkruar është i barabartë me gjysmën e këndit qendror të nënshtruar nga i njëjti hark.

\[(\Large(\tekst(Tangjente me rrethin)))\]

Përkufizimet

Ekzistojnë tre lloje të pozicioneve relative të një rreshti dhe një rrethi:

1) drejtëza $a$ e pret rrethin në dy pika. Një vijë e tillë quhet vijë sekante. Në këtë rast, distanca $d$ nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është më e vogël se rrezja $R$ e rrethit (Fig. 3).

2) drejtëza $b$ e pret rrethin në një pikë. Një drejtëz e tillë quhet tangjente, dhe pika e tyre e përbashkët $B$ quhet pika e tangjences. Në këtë rast $d=R$ (Fig. 4).

Teorema

1. Një tangjente ndaj një rrethi është pingul me rrezen e tërhequr në pikën e tangjences.

2. Nëse një drejtëz kalon nga fundi i rrezes së një rrethi dhe është pingul me këtë rreze, atëherë ajo është tangjente me rrethin.

Pasoja

Segmentet tangjente të tërhequra nga një pikë në një rreth janë të barabartë.

Dëshmi

Le të vizatojmë dy tangjente $KA$ dhe $KB$ në rreth nga pika $K$:

Kjo do të thotë se $OA\perp KA, OB\perp KB$ janë si rrezet. Trekëndëshat kënddrejtë $\trekëndëshi KAO$ dhe $\trekëndëshi KBO$ janë të barabartë në këmbë dhe hipotenuzë, prandaj, $KA=KB$ .

Pasoja

Qendra e rrethit $O$ shtrihet në përgjysmuesin e këndit $AKB$ të formuar nga dy tangjente të tërhequra nga e njëjta pikë $K$ .

\[(\Large(\tekst(Teorema lidhur me këndet)))\]

Teorema mbi këndin ndërmjet sekanteve

Këndi midis dy sekanteve të tërhequr nga e njëjta pikë është i barabartë me gjysmë-diferencën në masat e shkallës së harqeve më të mëdhenj dhe më të vegjël që ata presin.

Dëshmi

Le të jetë $M$ pika nga e cila janë tërhequr dy sekante siç tregohet në figurë:

Le ta tregojmë atë $\këndi DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\këndi DAB$ është këndi i jashtëm i trekëndëshit $MAD$, atëherë $\këndi DAB = \këndi DMB + \këndi MDA$, ku $\këndi DMB = \këndi DAB - \këndi MDA$, por këndet $\këndi DAB$ dhe $\këndi MDA$ janë të gdhendura, atëherë $\këndi DMB = \këndi DAB - \këndi MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\buzeqeshje\mbi(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$, që ishte ajo që duhej vërtetuar.

Teorema mbi këndin ndërmjet kordave të kryqëzuara

Këndi midis dy kordave të kryqëzuara është i barabartë me gjysmën e shumës së masave të shkallës së harqeve që ata presin: \[\këndi CMD=\dfrac12\majtas(\buildrel\smile\mbi(AB)+\buildrel\smile\mbi(CD)\djathtas)\]

Dëshmi

$\këndi BMA = \këndi CMD$ si vertikal.

Nga trekëndëshi $AMD$ : $\këndi AMD = 180^\circ - \këndi BDA - \këndi CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\mbi(CD)$.

Por $\këndi AMD = 180^\circ - \këndi CMD$, nga ku konkludojmë se \[\këndi CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ buzëqeshje\mbi(CD)).\]

Teorema mbi këndin midis një korde dhe një tangjente

Këndi ndërmjet tangjentës dhe kordës që kalon nëpër pikën e tangjences është i barabartë me gjysmën e masës së shkallës së harkut të nënshtruar nga korda.

Dëshmi

Lëreni vijën e drejtë $a$ të prekë rrethin në pikën $A$, $AB$ është korda e këtij rrethi, $O$ është qendra e tij. Le të ndërpritet rreshti që përmban $OB$ $a$ në pikën $M$ . Le ta vërtetojmë këtë $\këndi BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\mbi(AB)$.

Le të shënojmë $\këndi OAB = \alfa$ . Meqenëse $OA$ dhe $OB$ janë rreze, atëherë $OA = OB$ dhe $\këndi OBA = \këndi OAB = \alfa$. Kështu, $\buildrel\smile\mbi(AB) = \këndi AOB = 180^\circ - 2\alfa = 2(90^\circ - \alfa)$.

Meqenëse $OA$ është rrezja e tërhequr në pikën tangjente, atëherë $OA\perp a$, domethënë $\këndi OAM = 90^\circ$, prandaj, $\këndi BAM = 90^\circ - \këndi OAB = 90^\circ - \alfa = \frac12\cdot\buildrel\smile\mbi(AB)$.

Teorema mbi harqet e nënshtruara nga korda të barabarta

Kordat e barabarta nënshtrojnë harqe të barabarta më të vogla se gjysmërrethët.

Dhe anasjelltas: harqet e barabarta nënshtrohen nga korda të barabarta.

Dëshmi

1) Le të $AB=CD$ . Le të provojmë se gjysmërrathët më të vegjël të harkut .

Në tre anët, pra, $\këndi AOB=\këndi COD$ . Por sepse $\këndi AOB, \këndi COD$ - kënde qendrore të mbështetura nga harqe $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$ në përputhje me rrethanat, atëherë $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) Nëse $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, Kjo $\trekëndësh AOB=\trekëndësh COD$ në dy anët $AO=BO=CO=DO$ dhe këndi ndërmjet tyre $\këndi AOB=\këndi COD$ . Prandaj, dhe $AB=CD$ .

Teorema

Nëse rrezja përgjysmon kordon, atëherë ajo është pingul me të.

E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse rrezja është pingul me kordën, atëherë në pikën e kryqëzimit ajo e përgjysmon atë.

Dëshmi

1) Le të $AN=NB$ . Le të vërtetojmë se $OQ\perp AB$ .

Konsideroni $\trekëndëshi AOB$ : është dykëndësh, sepse $OA=OB$ – rrezet e rrethit. Sepse $ON$ është mediana e tërhequr në bazë, pastaj është edhe lartësia, pra, $ON\perp AB$ .

2) Le të $OQ\perp AB$ . Le të vërtetojmë se $AN=NB$ .

Në mënyrë të ngjashme, $\trekëndëshi AOB$ është dykëndësh, $ON$ është lartësia, prandaj, $ON$ është mediana. Prandaj, $AN=NB$ .

\[(\Large(\tekst(Teorema që lidhen me gjatësitë e segmenteve)))\]

Teorema mbi prodhimin e segmenteve të kordës

Nëse dy korda të një rrethi kryqëzohen, atëherë prodhimi i segmenteve të një korde është i barabartë me produktin e segmenteve të kordës tjetër.

Dëshmi

Lërini kordat $AB$ dhe $CD$ të kryqëzohen në pikën $E$ .

Merrni parasysh trekëndëshat $ADE$ dhe $CBE$ . Në këta trekëndësha, këndet $1$ dhe $2$ janë të barabarta, pasi ato janë të gdhendura dhe qëndrojnë në të njëjtin hark $BD$, dhe këndet $3$ dhe $4$ janë të barabartë si vertikale. Trekëndëshat $ADE$ dhe $CBE$ janë të ngjashëm (bazuar në kriterin e parë të ngjashmërisë së trekëndëshave).

Pastaj $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, nga e cila $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Teorema tangjente dhe sekante

Katrori i një segmenti tangjent është i barabartë me prodhimin e një sekanti dhe pjesës së jashtme të tij.

Dëshmi

Lëreni tangjenten të kalojë nëpër pikën $M$ dhe prek rrethin në pikën $A$ . Lëreni sekantin të kalojë nëpër pikën $M$ dhe prerë rrethin në pikat $B$ dhe $C$ në mënyrë që $MB< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

Konsideroni trekëndëshat $MBA$ dhe $MCA$ : $\këndi M$ është i zakonshëm, $\këndi BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\mbi(AB)$. Sipas teoremës për këndin ndërmjet një tangjente dhe një sekante, $\këndi BAM = 0,5\cdot\buildrel\buzëqeshje\mbi(AB) = \këndi BCA$. Kështu, trekëndëshat $MBA$ dhe $MCA$ janë të ngjashëm në dy kënde.

Nga ngjashmëria e trekëndëshave $MBA$ dhe $MCA$ kemi: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$, që është ekuivalente me $MB\cdot MC = MA^2$ .

Pasoja

Prodhimi i një sekanti të tërhequr nga pika $O$ nga pjesa e jashtme e tij nuk varet nga zgjedhja e sekantit të tërhequr nga pika $O$ .

Pikat $x_0\in\mathbb(R)$ , dhe është i dallueshëm në të: $f \in \mathcal(D)(x_0)$ . Drejtëza tangjente me grafikun e një funksioni $f$ në pikën $x_0$ quhet grafiku i një funksioni linear të dhënë nga ekuacioni $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\katër x\në \mathbb(R)$ .

Nëse funksioni

f

ka në pikën

x_0

derivat i pafund

f"(x_0) = \pm \infty,

atëherë drejtëza tangjente në këtë pikë është drejtëza vertikale e dhënë nga ekuacioni

x = x_0.

Koment

Nga përkufizimi rrjedh drejtpërdrejt se grafiku i një drejtëze tangjente kalon nëpër pikë $(x_0,f(x_0))$ . Këndi $\alfa$ ndërmjet tangjentes së kurbës dhe boshtit Ox plotëson ekuacionin

$\emri i operatorit(tg)\,\alfa = f"(x_0)= k,$

Ku $\emri i operatorit(tg)$ tregon tangjente, dhe $\ emri i operatorit (k)$ - koeficienti i pjerrësisë tangjente. Derivat në një pikë $x_0$ e barabartë me pjerrësinë e tangjentes me grafikun e funksionit $y = f(x)$ në këtë pikë.

Tangjente si pozicioni kufitar i një sekante

Le $f\ dy pika U(x_0) \në \R$ Dhe $x_1 \në U(x_0).$ Pastaj një vijë e drejtë që kalon nëpër pika $(x_0,f(x_0))$ Dhe $(x_1,f(x_1))$ dhënë nga ekuacioni

$y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

Kjo linjë kalon nëpër pikë $(x_0,f(x_0))$ për këdo $x_1\në U(x_0),$ dhe këndi i saj i prirjes $\alfa(x_1)$ plotëson ekuacionin

$\emri i operatorit(tg)\,\alfa(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

Për shkak të ekzistimit të funksionit derivat $f$ në pikën $x_0,$ duke shkuar në kufirin në $x_1 \ deri në x_0,$ konstatojmë se ka një kufi

$\lim\limits_(x_1 \deri x_0) \operatorname(tg)\,\alfa(x_1) = f"(x_0),$

dhe për shkak të vazhdimësisë së arktangjentes dhe këndit kufizues

$\alfa = \emri i operatorit(arctg)\,f"(x_0).$

Vija që kalon nëpër një pikë $(x_0,f(x_0))$ dhe ka një kënd prirjeje maksimale që kënaq $\emri i operatorit(tg)\,\alfa = f"(x_0),$ jepet nga ekuacioni tangjent:

$y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0).$

Tangjent në një rreth

Drejtëza që ka një pikë të përbashkët me një rreth dhe shtrihet në të njëjtin rrafsh me të quhet tangjente me rrethin.

Vetitë

Një tangjente ndaj një rrethi është pingul me rrezen e tërhequr në pikën e tangjences.
Segmentet tangjente të një rrethi të tërhequr nga një pikë janë të barabarta dhe bëjnë kënde të barabarta me një vijë të drejtë që kalon nga kjo pikë dhe nga qendra e rrethit.
Gjatësia e një segmenti tangjente të tërhequr në një rreth me rreze njësi, e marrë midis pikës së tangjencës dhe pikës së kryqëzimit të tangjentës me një rreze të tërhequr nga qendra e rrethit, është tangjentja e këndit midis kësaj rreze dhe drejtim nga qendra e rrethit në pikën e tangjences. "Tangent" nga lat. tangjentet- "tangjente".

Variacione dhe përgjithësime

Gjysmë tangjentë të njëanshme

Nëse ka një derivat të drejtë $f"_+(x_0)< \infty,$ Se e djathta gjysmëtangjente në grafikun e funksionit $f$ në pikën $x_0$ quajtur një rreze

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x\geqslant x_0.

Nëse ka një derivat të majtë $f"_-(x_0)< \infty,$ Se lënë gjysmë tangjente në grafikun e funksionit $f$ në pikën $x_0$ quajtur një rreze

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x\leqslant x_0.

Nëse ka një derivat të drejtë të pafund $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $f$ në pikën $x_0$ quajtur një rreze

x = x_0,\;  y\geqslant f(x_0)\;  (y \leqslant f(x_0)).

Nëse ka një derivat të majtë të pafund $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ atëherë gjysmë-tangjentja e djathtë me grafikun e funksionit $f$ në pikën $x_0$ quajtur një rreze

x = x_0,\;  y \leqslant f(x_0)\;  (y \geqslant f(x_0)).

Shiko gjithashtu

Normale, binormale

Shkruani një koment për artikullin "Linja Tangential"

Letërsia

Toponogov V. A. Gjeometria diferenciale e kthesave dhe sipërfaqeve. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
// Fjalori Enciklopedik i Brockhaus dhe Efron: në 86 vëllime (82 vëllime dhe 4 shtesë). - Shën Petersburg. , 1890-1907.

Një fragment që karakterizon vijën tangjente

- Në vende të ndryshme! - u bërtiti oficeri i ri ushtarëve të mbledhur rreth Pierre. Ky oficer i ri, me sa duket, po e përmbushte detyrën e tij për herë të parë ose të dytë dhe prandaj i trajtoi me qartësi dhe formalitet të veçantë si ushtarët, ashtu edhe komandanti.
Zjarri rrotullues i topave dhe i pushkëve u intensifikua në të gjithë fushën, veçanërisht në të majtë, ku ishin ndezjet e Bagration, por për shkak të tymit të të shtënave, ishte e pamundur të shihej pothuajse asgjë nga vendi ku ndodhej Pierre. Për më tepër, vëzhgimi i rrethit në dukje familjar (të ndarë nga të gjithë të tjerët) të njerëzve që ishin në bateri përthith të gjithë vëmendjen e Pierre. Eksitimi i tij i parë i pavetëdijshëm i gëzueshëm, i prodhuar nga pamja dhe tingujt e fushëbetejës, u zëvendësua tani, veçanërisht pas pamjes së këtij ushtari të vetmuar të shtrirë në livadh, nga një ndjenjë tjetër. Tani i ulur në shpatin e hendekut, ai vëzhgoi fytyrat që e rrethonin.
Nga ora dhjetë, njëzet veta ishin marrë tashmë nga bateria; dy armë u thyen, predha goditnin baterinë gjithnjë e më shpesh dhe plumbat me rreze të gjatë fluturonin brenda, duke gumëzhitur dhe fishkëllyer. Por njerëzit që ishin në bateri nuk duket se e vunë re këtë; Nga të gjitha anët dëgjoheshin biseda gazmore dhe shaka.
- Çinenka! - i bërtiti ushtari granatës që po afrohej duke fluturuar me një bilbil. - Jo ketu! Tek këmbësoria! – shtoi një tjetër me të qeshur, duke vënë re se granata fluturoi sipër dhe goditi rradhët mbuluese.
- Cfare shoku? - një tjetër ushtar qeshi me njeriun që u përkul nën topin fluturues.
Disa ushtarë u mblodhën në mur, duke parë se çfarë po ndodhte përpara.
"Dhe ata hoqën zinxhirin, shihni, ata u kthyen," thanë ata, duke treguar matanë boshtit.
"Kujdes punën tuaj," u bërtiti nënoficeri i vjetër. "Ne jemi kthyer, kështu që është koha për t'u kthyer." - Dhe nënoficeri, duke e marrë nga supi një nga ushtarët, e shtyu me gju. Pati të qeshura.
- Rrokullisni drejt armës së pestë! - bërtitën nga njëra anë.
"Menjëherë, më miqësisht, në stilin burlatsky", u dëgjuan klithmat e gëzuara të atyre që ndërronin armën.
"Oh, për pak sa nuk e rrëzova kapelën e zotit tonë," qeshi shakaxhi me fytyrë të kuqe me Pierre, duke treguar dhëmbët e tij. "Eh, i ngathët," i shtoi ai me qortim topit që goditi timonin dhe këmbën e burrit.
- Hajde o dhelpra! - një tjetër qeshi me milicët e përkulur që hynin në bateri pas të plagosurit.
- A nuk është i shijshëm qulli? O sorra, ata therën! - i bërtisnin milicit, i cili hezitoi para ushtarit me këmbën e prerë.
"Diçka tjetër, fëmijë," imituan ata burrat. – Nuk e pëlqejnë pasionin.
Pierre vuri re se si pas çdo gjyleje që godiste, pas çdo humbjeje, ringjallja e përgjithshme u ndez gjithnjë e më shumë.
Sikur nga një re bubullima që po afrohej, gjithnjë e më shpesh, më e lehtë dhe më e ndritshme, rrufeja e një zjarri të fshehur, flakërues u ndez në fytyrat e të gjithë këtyre njerëzve (sikur në kundërshtim me atë që po ndodhte).
Pierre nuk e priste me padurim fushën e betejës dhe nuk ishte i interesuar të dinte se çfarë po ndodhte atje: ai ishte i zhytur plotësisht në soditjen e këtij zjarri gjithnjë e më të ndezur, i cili në të njëjtën mënyrë (ai ndjeu) po ndizej në shpirtin e tij.
Në orën dhjetë ushtarët e këmbësorisë që ishin para baterisë në shkurre dhe përgjatë lumit Kamenka u tërhoqën. Nga bateria shihej se si ata vrapuan pranë saj, duke mbajtur të plagosurit në armë. Një gjeneral me shoqërinë e tij hyri në tumë dhe, pasi foli me kolonelin, shikoi me zemërim Pierre, zbriti përsëri, duke urdhëruar mbulesën e këmbësorisë të vendosur pas baterisë të shtrihej në mënyrë që të ishte më pak e ekspozuar ndaj të shtënave. Pas kësaj, në radhët e këmbësorisë, në të djathtë të baterisë, u dëgjuan një daulle dhe britma komanduese dhe nga bateria shihej se si radhët e këmbësorisë lëviznin përpara.
Pierre shikoi përmes boshtit. Një fytyrë në veçanti i ra në sy. Ishte një oficer që, me një fytyrë të re të zbehtë, ecte mbrapa, duke mbajtur një shpatë të ulur dhe shikonte përreth i shqetësuar.
Rreshtat e ushtarëve të këmbësorisë u zhdukën në tym dhe dëgjoheshin britmat e tyre të gjata dhe të shtënat e shpeshta. Pak minuta më vonë, prej andej kaluan turma të plagosurish dhe barela. Predhat filluan të godasin baterinë edhe më shpesh. Disa njerëz shtriheshin të papastër. Ushtarët lëviznin më të zënë dhe më të gjallë rreth armëve. Askush nuk i kushtoi më vëmendje Pierre. Një ose dy herë i bërtitën me inat se ishte në rrugë. Oficeri i lartë, me një fytyrë të vrenjtur, lëvizte me hapa të mëdhenj e të shpejtë nga një armë në tjetrën. Oficeri i ri, i skuqur edhe më shumë, i urdhëroi ushtarët edhe më me zell. Ushtarët qëlluan, u kthyen, ngarkuan dhe e bënë punën e tyre me tension të tensionuar. Ata kërcenin duke ecur, si mbi burime.

Sekante, tangjente - e gjithë kjo mund të dëgjohej qindra herë në mësimet e gjeometrisë. Por diplomimi nga shkolla është pas nesh, vitet kalojnë dhe të gjitha këto njohuri harrohen. Çfarë duhet të mbani mend?

Thelbi

Termi "tangjente ndaj një rrethi" është ndoshta i njohur për të gjithë. Por nuk ka gjasa që të gjithë të jenë në gjendje të formulojnë shpejt përkufizimin e tij. Ndërkohë, një tangjente është një vijë e drejtë që shtrihet në të njëjtin rrafsh me një rreth që e pret atë vetëm në një pikë. Mund të ketë një numër të madh të tyre, por të gjithë kanë të njëjtat veti, të cilat do të diskutohen më poshtë. Siç mund ta merrni me mend, pika e tangjencës është vendi ku kryqëzohen rrethi dhe vija e drejtë. Në çdo rast specifik ka vetëm një, por nëse ka më shumë prej tyre, atëherë do të jetë një sekant.

Historia e zbulimit dhe studimit

Koncepti i një tangjente u shfaq në kohët e lashta. Ndërtimi i këtyre vijave të drejta, së pari në një rreth, dhe më pas në elips, parabola dhe hiperbola duke përdorur një vizore dhe busull, u krye në fazat fillestare të zhvillimit të gjeometrisë. Natyrisht, historia nuk e ka ruajtur emrin e zbuluesit, por është e qartë se edhe në atë kohë njerëzit ishin mjaft të njohur me vetitë e një tangjente me një rreth.

Në kohët moderne, interesi për këtë fenomen u ndez përsëri - filloi një raund i ri studimi i këtij koncepti, i kombinuar me zbulimin e kthesave të reja. Kështu, Galileo prezantoi konceptin e një cikloid, dhe Fermat dhe Descartes ndërtuan një tangjente me të. Për sa u përket rrathëve, duket se nuk ka mbetur asnjë sekret për të lashtët në këtë zonë.

Vetitë

Rrezja e tërhequr në pikën e kryqëzimit do të jetë Kjo

vetia kryesore, por jo e vetmja që ka një tangjente me një rreth. Një veçori tjetër e rëndësishme përfshin dy linja të drejta. Pra, përmes një pike që shtrihet jashtë rrethit, mund të vizatohen dy tangjente dhe segmentet e tyre do të jenë të barabarta. Ekziston një teoremë tjetër për këtë temë, por ajo rrallë mësohet si pjesë e një kursi standard shkollor, megjithëse është jashtëzakonisht i përshtatshëm për zgjidhjen e disa problemeve. Tingëllon si kjo. Nga një pikë e vendosur jashtë rrethit, një tangjente dhe një sekant tërhiqen në të. Formohen segmentet AB, AC dhe AD. A është kryqëzimi i drejtëzave, B është pika e tangjences, C dhe D janë kryqëzime. Në këtë rast, barazia e mëposhtme do të jetë e vlefshme: gjatësia e tangjentes me rrethin, në katror, do të jetë e barabartë me produktin e segmenteve AC dhe AD.

Ka një pasojë të rëndësishme për sa më sipër. Për çdo pikë në rreth mund të ndërtoni një tangjente, por vetëm një. Prova e kësaj është mjaft e thjeshtë: teorikisht duke hedhur një pingul nga rrezja mbi të, zbulojmë se trekëndëshi i formuar nuk mund të ekzistojë. Dhe kjo do të thotë se tangjentja është e vetmja.

Ndërtimi

Ndër problemet e tjera në gjeometri, ekziston një kategori e veçantë, si rregull, jo

të dashur nga nxënësit dhe studentët. Për të zgjidhur problemet në këtë kategori, ju duhet vetëm një busull dhe një vizore. Këto janë detyra ndërtimi. Ka edhe të tilla për ndërtimin e një tangjente.

Pra, jepet një rreth dhe një pikë që shtrihet jashtë kufijve të tij. Dhe është e nevojshme të vizatoni një tangjente përmes tyre. Si ta bëni këtë? Para së gjithash, duhet të vizatoni një segment midis qendrës së rrethit O dhe një pike të caktuar. Pastaj përdorni një busull për ta ndarë atë në gjysmë. Për ta bërë këtë, ju duhet të vendosni një rreze - pak më shumë se gjysma e distancës midis qendrës së rrethit origjinal dhe kësaj pike. Pas kësaj, ju duhet të ndërtoni dy harqe kryqëzuese. Për më tepër, rrezja e busullës nuk ka nevojë të ndryshohet, dhe qendra e secilës pjesë të rrethit do të jetë pika origjinale dhe O, përkatësisht. Duhet të lidhen kryqëzimet e harqeve, të cilat do ta ndajnë segmentin në gjysmë. Vendosni një rreze në busull të barabartë me këtë distancë. Më pas, ndërtoni një rreth tjetër me qendër në pikën e kryqëzimit. Në të do të shtrihen edhe pika origjinale edhe O. Në këtë rast do të ketë edhe dy kryqëzime të tjera me rrethin e dhënë në problem. Ato do të jenë pikat e kontaktit për pikën e specifikuar fillimisht.

Ishte ndërtimi i tangjentave me rrethin që çoi në lindje

llogaritja diferenciale. Puna e parë mbi këtë temë u botua nga matematikani i famshëm gjerman Leibniz. Ai parashikonte mundësinë e gjetjes së maksimave, minimaleve dhe tangjenteve pavarësisht nga madhësitë thyesore dhe irracionale. Epo, tani përdoret për shumë llogaritje të tjera.

Për më tepër, tangjentja në një rreth lidhet me kuptimin gjeometrik të tangjentes. Nga vjen emri i saj. Përkthyer nga latinishtja tangens do të thotë "tangjente". Kështu, ky koncept lidhet jo vetëm me gjeometrinë dhe llogaritjen diferenciale, por edhe me trigonometrinë.

Dy rrathë

Tangjentja nuk prek gjithmonë vetëm një figurë. Nëse një numër i madh vijash të drejta mund të vizatohen në një rreth, atëherë pse jo anasjelltas? Mund. Por detyra në këtë rast bëhet seriozisht e ndërlikuar, sepse tangjentja e dy rrathëve mund të mos kalojë nëpër asnjë pikë, dhe pozicioni relativ i të gjitha këtyre figurave mund të jetë shumë

të ndryshme.

Llojet dhe varietetet

Kur flasim për dy rrathë dhe një ose më shumë drejtëza, edhe nëse dihet se këto janë tangjente, nuk është menjëherë e qartë se si janë vendosur të gjitha këto figura në raport me njëra-tjetrën. Bazuar në këtë, dallohen disa varietete. Kështu, rrathët mund të kenë një ose dy pika të përbashkëta ose të mos i kenë fare. Në rastin e parë ata do të kryqëzohen, dhe në të dytën do të prekin. Dhe këtu dallohen dy lloje. Nëse një rreth është, si të thuash, i ngulitur në të dytin, atëherë tangjenca quhet e brendshme, nëse jo, atëherë e jashtme. Ju mund ta kuptoni pozicionin relativ të figurave jo vetëm duke u bazuar në vizatim, por edhe duke pasur informacion për shumën e rrezeve të tyre dhe distancën midis qendrave të tyre. Nëse këto dy sasi janë të barabarta, atëherë rrathët preken. Nëse e para është më e madhe, ato kryqëzohen, dhe nëse është më e vogël, atëherë nuk kanë pika të përbashkëta.

E njëjta gjë vlen edhe për linjat e drejta. Për çdo dy rrathë që nuk kanë pika të përbashkëta, mundeni

ndërtoni katër tangjente. Dy prej tyre do të kryqëzohen midis figurave, ato quhen të brendshme. Disa të tjerë janë të jashtëm.

Nëse po flasim për qarqe që kanë një pikë të përbashkët, atëherë problemi thjeshtohet shumë. Fakti është se, pavarësisht nga pozicioni i tyre relativ, në këtë rast ata do të kenë vetëm një tangjente. Dhe do të kalojë përmes pikës së kryqëzimit të tyre. Kështu që ndërtimi nuk do të jetë i vështirë.

Nëse figurat kanë dy pika kryqëzimi, atëherë për to mund të ndërtohet një vijë e drejtë, tangjente me rrethin e njërës dhe tjetrës, por vetëm e jashtme. Zgjidhja e këtij problemi është e ngjashme me atë që do të diskutohet më poshtë.

Zgjidhja e problemeve

Tangjentja e brendshme dhe e jashtme e dy rrathëve nuk janë aq të thjeshta për t'u ndërtuar, megjithëse ky problem mund të zgjidhet. Fakti është se një figurë ndihmëse përdoret për këtë, kështu që ju duhet të dilni me këtë metodë vetë

mjaft problematike. Pra, jepen dy rrathë me rreze dhe qendra të ndryshme O1 dhe O2. Për to ju duhet të ndërtoni dy palë tangjente.

Para së gjithash, ju duhet të ndërtoni një ndihmës afër qendrës së rrethit më të madh. Në këtë rast, ndryshimi midis rrezeve të dy figurave fillestare duhet të përcaktohet në busull. Tangjentet në rrethin ndihmës ndërtohen nga qendra e rrethit më të vogël. Pas kësaj, pingulet janë tërhequr nga O1 dhe O2 në këto vija derisa ato të kryqëzohen me figurat origjinale. Siç del nga vetia bazë e tangjentes, gjenden pikat e kërkuara në të dy rrathët. Problemi është zgjidhur, të paktën pjesa e parë.

Për të ndërtuar tangjente të brendshme, do t'ju duhet të zgjidhni praktikisht

detyrë e ngjashme. Përsëri do t'ju duhet një figurë ndihmëse, por këtë herë rrezja e saj do të jetë e barabartë me shumën e atyre origjinale. Tangjentet i ndërtohen asaj nga qendra e njërit prej këtyre rrathëve. Ecuria e mëtejshme e zgjidhjes mund të kuptohet nga shembulli i mëparshëm.

Tangjenti i një rrethi ose edhe dy ose më shumë nuk është një detyrë aq e vështirë. Sigurisht, matematikanët kanë ndaluar prej kohësh zgjidhjen e problemeve të tilla me dorë dhe ia besojnë llogaritjet programeve speciale. Por nuk duhet të mendoni se tani nuk duhet të jeni në gjendje ta bëni vetë, sepse për të formuluar saktë një detyrë për një kompjuter duhet të bëni dhe të kuptoni shumë. Fatkeqësisht, ka shqetësime se pas kalimit përfundimtar në një formë testimi të kontrollit të njohurive, detyrat e ndërtimit do t'u shkaktojnë nxënësve gjithnjë e më shumë vështirësi.

Sa i përket gjetjes së tangjentave të përbashkëta për një numër më të madh rrathësh, kjo nuk është gjithmonë e mundur, edhe nëse ato shtrihen në të njëjtin rrafsh. Por në disa raste mund të gjeni një vijë kaq të drejtë.

Shembuj nga jeta

Një tangjente e përbashkët me dy rrathë shpesh ndodh në praktikë, megjithëse kjo nuk është gjithmonë e dukshme. Transportuesit, sistemet e bllokut, rripat e transmetimit të rrotullave, tensioni i fillit në një makinë qepëse dhe madje vetëm një zinxhir biçikletash - të gjitha këto janë shembuj të jetës reale. Pra, nuk duhet të mendoni se problemet gjeometrike mbeten vetëm në teori: në inxhinieri, fizikë, ndërtim dhe shumë fusha të tjera ato gjejnë zbatim praktik.

Direkt ( MN), duke pasur vetëm një pikë të përbashkët me rrethin ( A), thirri tangjente te rrethi.

Pika e përbashkët quhet në këtë rast pikë kontakti.

Mundësia e ekzistencës tangjente, dhe, për më tepër, të tërhequr nëpër çdo pikë rrethi, si pikë tangjence, vërtetohet si më poshtë teorema.

Le të kërkohet të kryhet rrethi me qendër O tangjente përmes pikës A. Për ta bërë këtë nga pika A, si nga qendra, ne përshkruajmë hark rreze A.O., dhe nga pika O, si qendër, ne e kryqëzojmë këtë hark në pikat B Dhe ME një zgjidhje busull e barabartë me diametrin e rrethit të dhënë.

Pas shpenzimeve pastaj akorde O.B. Dhe OS, lidhni pikën A me pika D Dhe E, në të cilën këto korda kryqëzohen me një rreth të caktuar. Direkt pas Krishtit Dhe A.E. - tangjentet në një rreth O. Në të vërtetë, nga ndërtimi është e qartë se trekëndëshat AOB Dhe AOC izosceles(AO = AB = AC) me baza O.B. Dhe OS, e barabartë me diametrin e rrethit O.

Sepse O.D. Dhe O.E.- rreze, atëherë D - e mesme O.B., A E- mes OS, Do të thotë pas Krishtit Dhe A.E. - mesataret, të tërhequr në bazat e trekëndëshave dykëndësh, dhe për këtë arsye pingul me këto baza. Nëse drejt D.A. Dhe E.A. pingul me rrezet O.D. Dhe O.E., më pas ata - tangjentet.

Pasoja.

Dy tangjente të tërhequra nga një pikë në një rreth janë të barabarta dhe formojnë kënde të barabarta me vijën e drejtë që lidh këtë pikë me qendrën.

Kështu që AD=AE dhe ∠ OAD = ∠OAE sepse trekëndëshat kënddrejtë AOD Dhe AOE, duke pasur një të përbashkët hipotenuzë A.O. dhe të barabartë këmbët O.D. Dhe O.E.(si rreze), janë të barabarta. Vini re se këtu fjala "tangjente" në të vërtetë do të thotë " segment tangjent” nga një pikë e caktuar në pikën e kontaktit.