Teorema mbi ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik. Parimi i lëvizjeve të mundshme

Sistemi i diskutuar në teoremë mund të jetë çdo sistem mekanik i përbërë nga çdo trup.

Deklarata e teoremës

Sasia e lëvizjes (impulsit) të një sistemi mekanik është një sasi e barabartë me shumën e sasive të lëvizjes (impulseve) të të gjithë trupave të përfshirë në sistem. Impulsi i forcave të jashtme që veprojnë në trupat e sistemit është shuma e impulseve të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në trupat e sistemit.

( kg m/s)

Thuhet teorema mbi ndryshimin e momentit të një sistemi

Ndryshimi në momentin e sistemit gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me impulsin e forcave të jashtme që veprojnë në sistem për të njëjtën periudhë kohore.

Ligji i ruajtjes së momentit të një sistemi

Nëse shuma e të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem është zero, atëherë sasia e lëvizjes (momentumi) i sistemit është një sasi konstante.

, marrim shprehjen e teoremës mbi ndryshimin e momentit të sistemit në formë diferenciale:

Duke integruar të dyja anët e barazisë që rezulton gjatë një periudhe kohore të marrë në mënyrë arbitrare midis disa dhe , marrim shprehjen e teoremës për ndryshimin e momentit të sistemit në formë integrale:

Ligji i ruajtjes së momentit (Ligji i ruajtjes së momentit) thotë se shuma vektoriale e impulseve të të gjithë trupave të sistemit është një vlerë konstante nëse shuma vektoriale e forcave të jashtme që veprojnë në sistem është e barabartë me zero.

(momenti i momentit m 2 kg s −1)

Teorema mbi ndryshimin e momentit këndor në raport me qendrën

derivati ​​kohor i momentit të momentit (momenti kinetik) i një pike materiale në raport me çdo qendër fikse është i barabartë me momentin e forcës që vepron në pikën në lidhje me të njëjtën qendër.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Teorema mbi ndryshimin e momentit këndor në lidhje me një bosht

derivati ​​kohor i momentit të momentit (momenti kinetik) i një pike materiale në raport me çdo bosht fiks është i barabartë me momentin e forcës që vepron në këtë pikë në lidhje me të njëjtin bosht.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Konsideroni një pikë materiale M masë m , duke lëvizur nën ndikimin e forcës F (Figura 3.1). Le të shkruajmë dhe ndërtojmë vektorin e momentit këndor (momenti kinetik) M 0 pikë materiale në raport me qendrën O :

Le të dallojmë shprehjen për momentin këndor (momenti kinetik k 0) sipas kohës:

Sepse dr /dt = V , pastaj produkti vektorial V ⊗ m ⋅ V (vektorë kolinearë V Dhe m ⋅ V ) është e barabartë me zero. Ne te njejten kohe d(m ⋅ V) /dt = F sipas teoremës për momentin e një pike materiale. Prandaj ne e marrim atë

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Ku r ⊗F = M 0 (F ) – vektor-momenti i forcës F në lidhje me një qendër fikse O . Vektor k 0 ⊥ aeroplan ( r , m ⊗V ), dhe vektori M 0 (F ) ⊥ aeroplan ( r ,F ), më në fund kemi

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Ekuacioni (3.4) shpreh teoremën për ndryshimin në momentin këndor (momentin këndor) të një pike materiale në lidhje me qendrën: derivati ​​kohor i momentit të momentit (momenti kinetik) i një pike materiale në raport me çdo qendër fikse është i barabartë me momentin e forcës që vepron në pikën në lidhje me të njëjtën qendër.

Duke projektuar barazinë (3.4) në boshtet e koordinatave karteziane, marrim

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Barazimet (3.5) shprehin teoremën për ndryshimin e momentit këndor (momentit kinetik) të një pike materiale në lidhje me boshtin: derivati ​​kohor i momentit të momentit (momenti kinetik) i një pike materiale në raport me çdo bosht fiks është i barabartë me momentin e forcës që vepron në këtë pikë në lidhje me të njëjtin bosht.

Le të shqyrtojmë pasojat që vijojnë nga teorema (3.4) dhe (3.5).

Përfundimi 1. Konsideroni rastin kur forca F gjatë gjithë lëvizjes së pikës kalon nëpër qendrën e palëvizshme O (rasti i forcës qendrore), d.m.th. Kur M 0 (F ) = 0. Pastaj nga teorema (3.4) rrjedh se k 0 = konst ,

ato. në rastin e një force qendrore, momenti këndor (momenti kinetik) i një pike materiale në raport me qendrën e kësaj force mbetet konstant në madhësi dhe drejtim (Figura 3.2).

Figura 3.2

Nga gjendja k 0 = konst rrjedh se trajektorja e një pike lëvizëse është një kurbë e sheshtë, rrafshi i së cilës kalon nga qendra e kësaj force.

Përfundimi 2. Le M z (F ) = 0, d.m.th. forca kalon boshtin z ose paralel me të. Në këtë rast, siç mund të shihet nga e treta e ekuacioneve (3.5), k z = konst ,

ato. nëse momenti i forcës që vepron në një pikë në lidhje me ndonjë bosht fiks është gjithmonë zero, atëherë momenti këndor (momenti kinetik) i pikës në lidhje me këtë bosht mbetet konstant.

Vërtetimi i teoremës mbi ndryshimin e momentit

Lëreni sistemin të përbëhet nga pika materiale me masa dhe nxitime. Ne i ndajmë të gjitha forcat që veprojnë në trupat e sistemit në dy lloje:

Forcat e jashtme janë forca që veprojnë nga trupa që nuk përfshihen në sistemin në shqyrtim. Rezultantja e forcave të jashtme që veprojnë në një pikë materiale me numër i le të shënojmë

Forcat e brendshme janë forcat me të cilat trupat e vetë sistemit ndërveprojnë me njëri-tjetrin. Forca me të cilën në pikën me numrin i pika me numër është e vlefshme k, do të shënojmë , dhe forcën e ndikimit i pika th në k pika e - . Natyrisht, kur, atëherë

Duke përdorur shënimin e paraqitur, ne shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit për secilën nga pikat materiale në shqyrtim në formë

Duke marrë parasysh atë dhe duke përmbledhur të gjitha ekuacionet e ligjit të dytë të Njutonit, marrim:

Shprehja përfaqëson shumën e të gjitha forcave të brendshme që veprojnë në sistem. Sipas ligjit të tretë të Njutonit, në këtë shumë, çdo forcë korrespondon me një forcë të tillë që, për rrjedhojë, ajo qëndron Meqenëse e gjithë shuma përbëhet nga çifte të tilla, shuma në vetvete është zero. Kështu, ne mund të shkruajmë

Duke përdorur shënimin për momentin e sistemit, marrim

Duke futur në konsideratë ndryshimin e momentit të forcave të jashtme , marrim shprehjen e teoremës për ndryshimin e momentit të sistemit në formë diferenciale:

Kështu, secili nga ekuacionet e fundit të marra na lejon të themi: një ndryshim në momentin e sistemit ndodh vetëm si rezultat i veprimit të forcave të jashtme, dhe forcat e brendshme nuk mund të kenë ndonjë ndikim në këtë vlerë.

Pasi kemi integruar të dyja anët e barazisë që rezulton gjatë një intervali kohor të marrë në mënyrë arbitrare midis disa dhe , marrim shprehjen e teoremës mbi ndryshimin e momentit të sistemit në formë integrale:

ku dhe janë vlerat e sasisë së lëvizjes së sistemit në momente kohore dhe, përkatësisht, dhe është impulsi i forcave të jashtme gjatë një periudhe kohore. Në përputhje me atë që u tha më parë dhe shënimet e paraqitura,

Në të njëjtën mënyrë si për një pikë materiale, ne do të nxjerrim një teoremë mbi ndryshimin e momentit për sistemin në forma të ndryshme.

Le të transformojmë ekuacionin (teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës së një sistemi mekanik)

në mënyrën e mëposhtme:

;

;

Ekuacioni që rezulton shpreh teoremën për ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik në formë diferenciale: derivati ​​i momentit të një sistemi mekanik në lidhje me kohën është i barabartë me vektorin kryesor të forcave të jashtme që veprojnë në sistem. .

Në projeksionet në boshtet e koordinatave karteziane:

; ; .

Duke marrë integralet e të dy anëve të ekuacioneve të fundit me kalimin e kohës, marrim një teoremë për ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik në formë integrale: ndryshimi në momentin e një sistemi mekanik është i barabartë me momentin e vektorit kryesor të forcat e jashtme që veprojnë në sistem .

.

Ose në projeksione në boshtet e koordinatave karteziane:

; ; .

Pasojat nga teorema (ligjet e ruajtjes së momentit)

Ligji i ruajtjes së momentit merret si raste të veçanta të teoremës për ndryshimin e momentit për një sistem në varësi të karakteristikave të sistemit të forcave të jashtme. Forcat e brendshme mund të jenë çdo, pasi ato nuk ndikojnë në ndryshimet në moment.

Ka dy raste të mundshme:

1. Nëse shuma vektoriale e të gjitha forcave të jashtme të aplikuara në sistem është e barabartë me zero, atëherë sasia e lëvizjes së sistemit është konstante në madhësi dhe drejtim.

2. Nëse projeksioni i vektorit kryesor të forcave të jashtme në ndonjë bosht koordinativ dhe/ose dhe/ose është i barabartë me zero, atëherë projeksioni i momentit në të njëjtat boshte është një vlerë konstante, d.m.th. dhe/ose dhe/ose përkatësisht.

Regjistrime të ngjashme mund të bëhen për një pikë materiale dhe për një pikë materiale.

Detyrë. Nga një armë masa e së cilës M, një predhë me masë fluturon jashtë në një drejtim horizontal m me shpejtësi v. Gjeni shpejtësinë V armë pas gjuajtjes.

Zgjidhje. Të gjitha forcat e jashtme që veprojnë në sistemin mekanik të armëve-predhës janë vertikale. Kjo do të thotë, bazuar në rrjedhojën e teoremës për ndryshimin e momentit të sistemit, kemi: .

Sasia e lëvizjes së sistemit mekanik para shkrepjes:

Sasia e lëvizjes së sistemit mekanik pas goditjes:

.

Duke barazuar anët e djathta të shprehjeve, marrim atë

.

Shenja "-" në formulën që rezulton tregon se pas shkrepjes arma do të rrokulliset në drejtim të kundërt me boshtin kau.

SHEMBULL 2. Një rrjedhë lëngu me densitet rrjedh me një shpejtësi V nga një tub me sipërfaqe tërthore F dhe godet një mur vertikal në një kënd. Përcaktoni presionin e lëngut në mur.

ZGJIDHJE. Le të zbatojmë teoremën mbi ndryshimin e momentit në formë integrale në një vëllim lëngu me masë m goditja e një muri gjatë një periudhe kohore t.

EKUACIONI MESHCHERSKY

(ekuacioni bazë i dinamikës së një trupi me masë të ndryshueshme)

Në teknologjinë moderne lindin rastet kur masa e një pike dhe e një sistemi nuk qëndron konstante gjatë lëvizjes, por ndryshon. Kështu, për shembull, gjatë fluturimit të raketave hapësinore, për shkak të nxjerrjes së produkteve të djegies dhe pjesëve individuale të panevojshme të raketave, ndryshimi i masës arrin 90-95% të vlerës totale fillestare. Por jo vetëm teknologjia hapësinore mund të jetë një shembull i dinamikës së lëvizjes së masës së ndryshueshme. Në industrinë e tekstilit, ka ndryshime të rëndësishme në masën e boshteve, bobinave dhe rrotullave të ndryshme me shpejtësi moderne të funksionimit të makinerive dhe makinerive.

Le të shqyrtojmë tiparet kryesore që lidhen me ndryshimet në masë, duke përdorur shembullin e lëvizjes përkthimore të një trupi me masë të ndryshueshme. Ligji bazë i dinamikës nuk mund të zbatohet drejtpërdrejt në një trup me masë të ndryshueshme. Prandaj, marrim ekuacione diferenciale të lëvizjes së një pike me masë të ndryshueshme, duke zbatuar teoremën mbi ndryshimin e momentit të sistemit.

Lëreni pikën të ketë masë m+dm lëviz me shpejtësi. Pastaj një grimcë e caktuar me një masë ndahet nga pika dm duke lëvizur me shpejtësi.

Sasia e lëvizjes së trupit përpara se grimca të shkëputet:

Sasia e lëvizjes së një sistemi të përbërë nga një trup dhe një grimcë e shkëputur pas ndarjes së tij:

Pastaj ndryshimi i momentit:

Bazuar në teoremën për ndryshimin e momentit të sistemit:

Le të shënojmë sasinë - shpejtësinë relative të grimcës:

Le të shënojmë

Madhësia R quhet forca reaktive. Forca reaktive është shtytja e motorit e shkaktuar nga nxjerrja e gazit nga hunda.

Më në fund arrijmë

-

Kjo formulë shpreh ekuacionin bazë të dinamikës së një trupi me masë të ndryshueshme (formula Meshchersky). Nga formula e fundit rezulton se ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një pike me masë të ndryshueshme kanë të njëjtën formë si për një pikë me masë konstante, me përjashtim të forcës reaktive shtesë të aplikuar në pikë për shkak të ndryshimit të masës.

Ekuacioni bazë për dinamikën e një trupi me masë të ndryshueshme tregon se nxitimi i këtij trupi formohet jo vetëm për shkak të forcave të jashtme, por edhe për shkak të forcës reaktive.

Forca reaktive është një forcë e ngjashme me atë që ndjen personi që gjuan - kur gjuan nga një pistoletë, ndihet me dorë; Kur gjuan nga pushka, ai perceptohet nga supi.

Formula e parë e Tsiolkovsky (për një raketë me një fazë)

Lëreni një pikë me masë të ndryshueshme ose një raketë të lëvizë në vijë të drejtë nën ndikimin e vetëm një force reaktive. Meqenëse për shumë motorë reaktivë modernë, ku është forca maksimale reaktive (shtytja e motorit) e lejuar nga dizajni i motorit; - forca e gravitetit që vepron në motorin e vendosur në sipërfaqen e tokës. ato. sa më sipër na lejon të neglizhojmë komponentin në ekuacionin Meshchersky dhe ta pranojmë këtë ekuacion në formën për analizë të mëtejshme:

Le të shënojmë:

Rezerva e karburantit (për motorët e avionëve të lëngshëm - masa e thatë e raketës (masa e mbetur e saj pas djegies së të gjithë karburantit);

Masa e grimcave të ndara nga raketa; konsiderohet si një vlerë e ndryshueshme, që varion nga në .

Le të shkruajmë ekuacionin e lëvizjes drejtvizore të një pike me masë të ndryshueshme në formën e mëposhtme:

Meqenëse formula për përcaktimin e masës së ndryshueshme të një rakete është

Prandaj, ekuacionet e lëvizjes së një pike Duke marrë integralet e të dyja anëve marrim

ku - shpejtësi karakteristike- kjo është shpejtësia që një raketë fiton nën ndikimin e shtytjes pasi të gjitha grimcat janë shpërthyer nga raketa (për motorët me avion të lëngshëm - pasi të jetë djegur i gjithë karburanti).

E vendosur jashtë shenjës integrale (që mund të bëhet në bazë të teoremës së vlerës mesatare të njohur nga matematika e lartë) është shpejtësia mesatare e grimcave të nxjerra nga raketa.

Pamje: Ky artikull është lexuar 14066 herë

Pdf Zgjidh gjuhën... Rusisht Ukrainisht Anglisht

Shqyrtim i shkurtër

I gjithë materiali shkarkohet më sipër, pasi të keni zgjedhur gjuhën

Sasia e lëvizjes

Momenti i një pike materiale - një sasi vektoriale e barabartë me produktin e masës së një pike dhe vektorit të shpejtësisë së saj.

Njësia matëse për momentin është (kg m/s).

Momenti i sistemit mekanik - një sasi vektoriale e barabartë me shumën gjeometrike (vektorin kryesor) të momentit të një sistemi mekanik është e barabartë me produktin e masës së të gjithë sistemit dhe shpejtësinë e qendrës së masës së tij.

Kur një trup (ose sistem) lëviz në mënyrë që qendra e masës së tij të jetë e palëvizshme, atëherë sasia e lëvizjes së trupit është e barabartë me zero (për shembull, rrotullimi i trupit rreth një boshti fiks që kalon nga qendra e masës së trupit ).

Në rastin e lëvizjes komplekse, sasia e lëvizjes së sistemit nuk do të karakterizojë pjesën rrotulluese të lëvizjes kur rrotullohet rreth qendrës së masës. Kjo do të thotë, sasia e lëvizjes karakterizon vetëm lëvizjen përkthimore të sistemit (së bashku me qendrën e masës).

Forca e impulsit

Impulsi i një force karakterizon veprimin e një force gjatë një periudhe të caktuar kohore.

Forconi impulsin për një periudhë të caktuar kohe përkufizohet si shuma integrale e impulseve elementare përkatëse.

Teorema mbi ndryshimin e momentit të një pike materiale

(në forma diferenciale e ):

Derivati ​​kohor i momentit të një pike materiale është i barabartë me shumën gjeometrike të forcave që veprojnë në pika.

(V formë integrale ):

Ndryshimi në momentin e një pike materiale gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me shumën gjeometrike të impulseve të forcave të aplikuara në pikë gjatë kësaj periudhe kohore.

Teorema mbi ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik

(në formë diferenciale ):

Derivati ​​kohor i momentit të sistemit është i barabartë me shumën gjeometrike të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem.

(në formë integrale ):

Ndryshimi në momentin e një sistemi gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me shumën gjeometrike të impulseve të forcave të jashtme që veprojnë në sistem gjatë kësaj periudhe kohore.

Teorema lejon që dikush të përjashtojë forcat e brendshme dukshëm të panjohura nga shqyrtimi.

Teorema mbi ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik dhe teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës janë dy forma të ndryshme të së njëjtës teoremë.

Ligji i ruajtjes së momentit të një sistemi

1. Nëse shuma e të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem është e barabartë me zero, atëherë vektori i momentit të sistemit do të jetë konstant në drejtim dhe në madhësi.
2. Nëse shuma e projeksioneve të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në çdo bosht arbitrar është e barabartë me zero, atëherë projeksioni i momentit në këtë bosht është një vlerë konstante.

konkluzionet:

1. Ligjet e ruajtjes tregojnë se forcat e brendshme nuk mund të ndryshojnë sasinë totale të lëvizjes së sistemit.
2. Teorema mbi ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik nuk karakterizon lëvizjen rrotulluese të një sistemi mekanik, por vetëm atë përkthimor.

Jepet një shembull: Përcaktoni momentin e një disku me masë të caktuar nëse dihet shpejtësia këndore dhe madhësia e tij.

Shembull i llogaritjes së një ingranazhi nxitës
Një shembull i llogaritjes së një ingranazhi nxitës. Është bërë zgjedhja e materialit, llogaritja e sforcimeve të lejueshme, llogaritja e kontaktit dhe forca e përkuljes.

Një shembull i zgjidhjes së problemit të përkuljes së rrezes
Në shembull, u ndërtuan diagrame të forcave tërthore dhe momenteve të përkuljes, u gjet një seksion i rrezikshëm dhe u zgjodh një rreze I. Problemi analizoi ndërtimin e diagrameve duke përdorur varësi diferenciale dhe kreu një analizë krahasuese të seksioneve të ndryshme tërthore të rrezes.

Një shembull i zgjidhjes së problemit të rrotullimit të boshtit
Detyra është të testoni forcën e një boshti çeliku në një diametër të caktuar, material dhe stres të lejueshëm. Gjatë zgjidhjes ndërtohen diagramet e çift rrotullimeve, sforcimeve prerëse dhe këndeve të përdredhjes. Pesha e vetë boshtit nuk merret parasysh

Një shembull i zgjidhjes së problemit të tensionit-ngjeshjes së një shufre
Detyra është të testoni forcën e një shufre çeliku në streset e lejuara të specifikuara. Gjatë zgjidhjes ndërtohen diagrame të forcave gjatësore, sforcimeve normale dhe zhvendosjeve. Pesha e vetë shufrës nuk merret parasysh

Zbatimi i teoremës për ruajtjen e energjisë kinetike
Një shembull i zgjidhjes së një problemi duke përdorur teoremën mbi ruajtjen e energjisë kinetike të një sistemi mekanik

Përcaktimi i shpejtësisë dhe nxitimit të një pike duke përdorur ekuacionet e dhëna të lëvizjes
Një shembull i zgjidhjes së një problemi për të përcaktuar shpejtësinë dhe nxitimin e një pike duke përdorur ekuacionet e dhëna të lëvizjes

Përcaktimi i shpejtësive dhe nxitimeve të pikave të një trupi të ngurtë gjatë lëvizjes paralele në plan
Një shembull i zgjidhjes së një problemi për të përcaktuar shpejtësitë dhe nxitimet e pikave të një trupi të ngurtë gjatë lëvizjes paralele në plan

Përcaktimi i forcave në shufrat e një trungu të sheshtë
Një shembull i zgjidhjes së problemit të përcaktimit të forcave në shufrat e një trungu të sheshtë duke përdorur metodën Ritter dhe metodën e prerjes së nyjeve

Zbatimi i teoremës për ndryshimin e momentit këndor
Një shembull i zgjidhjes së një problemi duke përdorur teoremën mbi ndryshimin e momentit kinetik për të përcaktuar shpejtësinë këndore të një trupi që rrotullohet rreth një boshti fiks.

(Fragmente të një simfonie matematikore)

Lidhja midis impulsit të forcës dhe ekuacionit bazë të dinamikës së Njutonit shprehet me teoremën mbi ndryshimin e momentit të një pike materiale.

Teorema. Ndryshimi në momentin e një pike materiale gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me impulsin e forcës () që vepron në pikën materiale gjatë së njëjtës periudhë kohore. Vërtetimi matematikor i kësaj teoreme mund të quhet një fragment i një simfonie matematikore. Këtu është ai.

Momenti diferencial i një pike materiale është i barabartë me impulsin elementar të forcës që vepron në pikën materiale. Duke integruar shprehjen (128) për momentin diferencial të një pike materiale, kemi

(129)

Teorema është vërtetuar dhe matematikanët e konsiderojnë misionin e tyre të përfunduar, por inxhinierët, fati i të cilëve është të besojnë në mënyrë të shenjtë te matematikanët, kanë pyetje kur përdorin ekuacionin e provuar (129). Por ato janë të bllokuara fort nga sekuenca dhe bukuria e veprimeve matematikore (128 dhe 129), të cilat na magjepsin dhe na inkurajojnë t'i quajmë një fragment të një simfonie matematikore. Sa breza inxhinierësh ranë dakord me matematikanët dhe ishin të mahnitur nga misteret e simboleve të tyre matematikore! Por më pas ishte një inxhinier që nuk u pajtua me matematikanët dhe u bëri atyre pyetje.

Të dashur matematikanë! Pse asnjë nga tekstet tuaja shkollore mbi mekanikën teorike nuk diskuton procesin e zbatimit të rezultatit tuaj simfonik (129) në praktikë, për shembull, kur përshkruani procesin e përshpejtimit të një makine? Ana e majtë e ekuacionit (129) është shumë e qartë. Makina fillon përshpejtimin nga shpejtësia dhe e përfundon atë, për shembull, me shpejtësi. Është krejt e natyrshme që ekuacioni (129) të bëhet

Dhe menjëherë lind pyetja e parë: si mund të përcaktojmë nga ekuacioni (130) forcën nën ndikimin e së cilës makina përshpejtohet në një shpejtësi prej 10 m/s? Përgjigja për këtë pyetje nuk gjendet në asnjë nga tekstet e panumërta të mekanikës teorike. Le të shkojmë më tej. Pas përshpejtimit, makina fillon të lëvizë në mënyrë të njëtrajtshme me një shpejtësi prej 10 m/s. Çfarë force e lëviz makinën?????????? Nuk kam zgjidhje tjetër veçse të skuqem bashkë me matematikanët. Ligji i parë i dinamikës së Njutonit thotë se kur një makinë lëviz në mënyrë të njëtrajtshme, mbi të nuk veprojnë forca, dhe makina, në mënyrë figurative, teshtin nga ky ligj, konsumon benzinë ​​dhe punon, duke lëvizur, për shembull, një distancë prej 100 km. Ku është forca që ka bërë punën për të lëvizur makinën 100 km? Ekuacioni simfonik matematikor (130) është i heshtur, por jeta vazhdon dhe kërkon një përgjigje. Ne fillojmë ta kërkojmë atë.

Meqenëse makina lëviz në mënyrë drejtvizore dhe uniforme, forca që e lëviz atë është konstante në madhësi dhe drejtim dhe ekuacioni (130) bëhet

(131)

Pra, ekuacioni (131) në këtë rast përshkruan lëvizjen e përshpejtuar të trupit. Me çfarë është forca e barabartë? Si të shprehni ndryshimin e tij me kalimin e kohës? Matematikanët preferojnë ta anashkalojnë këtë pyetje dhe t'ua lënë inxhinierëve, duke besuar se duhet të kërkojnë përgjigjen e kësaj pyetjeje. Inxhinierëve u mbetet vetëm një mundësi - të marrin parasysh se nëse, pas përfundimit të lëvizjes së përshpejtuar të trupit, fillon një fazë e lëvizjes uniforme, e cila shoqërohet me veprimin e një force konstante, paraqitet ekuacioni (131) për momenti i kalimit nga lëvizja e përshpejtuar në atë uniforme në këtë formë

(132)

Shigjeta në këtë ekuacion nuk nënkupton rezultatin e integrimit të këtij ekuacioni, por procesin e kalimit nga forma e tij integrale në një formë të thjeshtuar. Forca në këtë ekuacion është ekuivalente me forcën mesatare që ndryshoi momentin e trupit nga zero në një vlerë përfundimtare. Pra, të dashur matematikanë dhe fizikanë teorikë, mungesa e metodës suaj për përcaktimin e madhësisë së impulsit tuaj na detyron të thjeshtojmë procedurën për përcaktimin e forcës dhe mungesa e një metode për përcaktimin e kohës së veprimit të kësaj force në përgjithësi na vë në një pozicion i pashpresë dhe ne jemi të detyruar të përdorim një shprehje për të analizuar procesin e ndryshimit të momentit të një trupi. Rezultati është se sa më gjatë të veprojë forca, aq më i madh është impulsi i saj. Kjo qartë bie ndesh me idenë e krijuar prej kohësh se sa më e shkurtër të jetë kohëzgjatja e veprimit të tij, aq më i madh është impulsi i forcës.

Le t'i kushtojmë vëmendje faktit se ndryshimi i momentit të një pike materiale (impulsi i forcës) gjatë lëvizjes së saj të përshpejtuar ndodh nën veprimin e forcës së Njutonit dhe forcave të rezistencës ndaj lëvizjes, në formën e forcave të krijuara nga rezistenca mekanike dhe forca e inercisë. Por dinamika e Njutonit në shumicën dërrmuese të problemeve injoron forcën e inercisë, dhe mekanodinamika thotë se një ndryshim në momentin e një trupi gjatë lëvizjes së tij të përshpejtuar ndodh për shkak të tepricës së forcës njutoniane mbi forcat e rezistencës ndaj lëvizjes, duke përfshirë forca e inercisë.

Kur një trup lëviz në lëvizje të ngadaltë, për shembull, një makinë me marshin e fikur, nuk ka forcë Njutoniane dhe ndryshimi në momentin e makinës ndodh për shkak të tepricës së forcave të rezistencës ndaj lëvizjes mbi forcën e inercia, e cila lëviz makinën kur ajo lëviz ngadalë.

Si mund t'i kthejmë tani rezultatet e veprimeve të shënuara matematikore "simfonike" (128) në rrjedhën kryesore të marrëdhënieve shkak-pasojë? Ekziston vetëm një rrugëdalje - të gjesh një përkufizim të ri të koncepteve "impuls i forcës" dhe "forca e ndikimit". Për ta bërë këtë, pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit (132) me kohën t. Si rezultat do të kemi

. (133)

Le të vërejmë se shprehja mV/t është shpejtësia e ndryshimit të momentit (mV/t) të një pike ose trupi material. Nëse marrim parasysh se V/t është nxitim, atëherë mV/t është forca që ndryshon momentin e trupit. I njëjti dimension në të majtë dhe në të djathtë të shenjës së barabartë na jep të drejtën ta quajmë forcën F një forcë goditëse dhe ta shënojmë me simbolin, dhe impulsin S - një impuls goditjeje dhe ta shënojmë me simbolin. Kjo çon në një përkufizim të ri të forcës së ndikimit. Forca e goditjes që vepron në një pikë ose trup material është e barabartë me raportin e ndryshimit të momentit të pikës ose trupit material me kohën e këtij ndryshimi.

Le t'i kushtojmë vëmendje të veçantë faktit se vetëm forca Njutoniane merr pjesë në formimin e impulsit të goditjes (134), i cili ndryshoi shpejtësinë e makinës nga zero në maksimum - , prandaj ekuacioni (134) i përket tërësisht dinamikës së Njutonit. Meqenëse është shumë më e lehtë të përcaktohet në mënyrë eksperimentale madhësia e shpejtësisë sesa të përcaktohet nxitimi, formula (134) është shumë e përshtatshme për llogaritjet.

Ky rezultat i pazakontë rrjedh nga ekuacioni (134).

Le t'i kushtojmë vëmendje faktit se sipas ligjeve të reja të mekanodinamikës, gjeneruesi i impulsit të forcës gjatë lëvizjes së përshpejtuar të një pike ose trupi material është forca Njutoniane. Formon nxitimin e lëvizjes së një pike ose trupi, në të cilin lind automatikisht një forcë inerciale, e drejtuar në kundërshtim me forcën e Njutonit dhe ndikimi forca e Njutonit duhet të kapërcejë veprimin e forcës inerciale, prandaj forca inerciale duhet të përfaqësohet në balanca e forcave në anën e majtë të ekuacionit (134). Meqenëse forca inerciale është e barabartë me masën e pikës ose trupit të shumëzuar me ngadalësimin që ajo formon, atëherë ekuacioni (134) bëhet

(136)

Të dashur matematikanë! Ju shikoni se çfarë forme ka marrë modeli matematik, duke përshkruar impulsin e goditjes, i cili përshpejton lëvizjen e trupit të goditur nga shpejtësia zero në maksimum V (11). Tani le të kontrollojmë punën e tij në përcaktimin e impulsit të goditjes, i cili është i barabartë me forcën e goditjes që ka ndezur njësinë e dytë të fuqisë së SShG (Fig. 120), dhe do t'ju lëmë me ekuacionin tuaj të padobishëm (132). Për të mos e komplikuar prezantimin, do ta lëmë të qetë formulën (134) tani për tani dhe do të përdorim formula që japin vlera mesatare të forcave. E shihni se në çfarë pozicioni vendosni një inxhinier që përpiqet të zgjidhë një problem specifik.

Le të fillojmë me dinamikën e Njutonit. Ekspertët zbuluan se njësia e dytë e energjisë u ngrit në një lartësi prej 14 m. Meqenëse u ngrit në fushën e gravitetit, në një lartësi prej h = 14 m energjia e saj potenciale doli të jetë e barabartë me

dhe energjia mesatare kinetike ishte e barabartë me

Oriz. 120. Foto e dhomës së turbinës para katastrofës

Nga barazia e energjive kinetike (138) dhe potenciale (137), rrjedh shkalla mesatare e rritjes së njësisë së fuqisë (Fig. 121, 122)

Oriz. 121. Foton i dhomës së turbinës pas katastrofës

Sipas ligjeve të reja të mekanodinamikës, ngritja e njësisë së fuqisë përbëhej nga dy faza (Fig. 123): faza e parë OA - ngritja e përshpejtuar dhe faza e dytë AB - ngritja e ngadaltë, , .

Koha dhe distanca e veprimit të tyre janë afërsisht të barabarta (). Pastaj ekuacioni kinematik i fazës së përshpejtuar të ngritjes së njësisë së fuqisë do të shkruhet si më poshtë:

. (140)

Oriz. 122. Pamje e pusit të njësisë së energjisë dhe vetë njësisë së energjisë pas fatkeqësisë

Ligji i ndryshimit të shkallës së ngritjes së njësisë së fuqisë në fazën e parë ka formën

. (141)

Oriz. 123. Rregullsia e ndryshimeve të shpejtësisë së fluturimit V të një njësie fuqie

Duke zëvendësuar kohën nga ekuacioni (140) në ekuacionin (141), kemi

. (142)

Koha e ngritjes së bllokut në fazën e parë përcaktohet nga formula (140)

. (143)

Atëherë koha totale për ngritjen e njësisë së fuqisë në një lartësi prej 14 m do të jetë e barabartë me . Masa e njësisë së energjisë dhe mbulesës është 2580 ton. Sipas dinamikës Njutoniane, forca që ngriti njësinë e fuqisë është e barabartë me

Të dashur matematikanë! Ne ndjekim rezultatet tuaja simfonike matematikore dhe shkruajmë formulën tuaj (129), sipas dinamikës së Njutonit, për të përcaktuar pulsin e goditjes që ndezi njësinë e dytë të fuqisë

dhe bëni një pyetje themelore: si të përcaktohet kohëzgjatja e pulsit të goditjes që ndezi njësinë e 2-të të fuqisë?????????????

I dashur!!! Mbani mend se sa shkumës ishte shkruar në dërrasat e zeza nga brezat e kolegëve tuaj, duke i mësuar studentët në mënyrë të çuditshme se si të përcaktojnë impulsin e goditjes dhe askush nuk shpjegoi se si të përcaktonte kohëzgjatjen e impulsit të goditjes në secilin rast specifik. Do të thoni se kohëzgjatja e pulsit të goditjes është e barabartë me intervalin kohor të ndryshimit të shpejtësisë së njësisë së fuqisë nga zero në, ne do të supozojmë, vlerën maksimale prej 16.75 m/s (139). Është në formulën (143) dhe është e barabartë me 0.84 s. Ne pajtohemi me ju tani për tani dhe përcaktojmë vlerën mesatare të impulsit të goditjes

Menjëherë lind pyetja: pse madhësia e impulsit të goditjes (146) është më e vogël se forca e Njutonit prej 50600 tonë? Ju, të dashur matematikanë, nuk keni përgjigje. Le të shkojmë më tej.

Sipas dinamikës Njutoniane, forca kryesore që i rezistoi rritjes së njësisë së fuqisë ishte graviteti. Meqenëse kjo forcë drejtohet kundër lëvizjes së njësisë së fuqisë, ajo gjeneron një ngadalësim që është i barabartë me përshpejtimin e rënies së lirë. Atëherë forca gravitacionale që vepron në njësinë e fuqisë që fluturon lart është e barabartë me

Dinamika e Njutonit nuk merr parasysh forcat e tjera që penguan veprimin e forcës njutoniane prej 50,600 tonësh (144), dhe mekanodinamika thotë se ngritja e njësisë së fuqisë u rezistua gjithashtu nga një forcë inerciale e barabartë me

Menjëherë lind pyetja: si të gjesh sasinë e ngadalësimit në lëvizjen e njësisë së energjisë? Dinamika e Njutonit është e heshtur, por mekanodinamika përgjigjet: në momentin e veprimit të forcës njutoniane, e cila ngriti njësinë e fuqisë, asaj iu rezistuan: forca e gravitetit dhe forca e inercisë, pra ekuacioni i forcave që veprojnë në fuqi. njësia në atë moment shkruhet si më poshtë.

Sasia e lëvizjes është një masë e lëvizjes mekanike, nëse lëvizja mekanike shndërrohet në mekanike. Për shembull, lëvizja mekanike e topit të bilardos (Fig. 22) para goditjes shndërrohet në lëvizje mekanike të topave pas goditjes. Për një pikë, momenti është i barabartë me produktin .

Masa e forcës në këtë rast është impulsi i forcës

. (9.1)

Momenti përcakton veprimin e forcës gjatë një periudhe kohore . Për një pikë materiale, teorema mbi ndryshimin e momentit mund të përdoret në formë diferenciale
(9.2) ose formë integrale (fundme).
. (9.3)

Ndryshimi në momentin e një pike materiale gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me impulsin e të gjitha forcave të aplikuara në atë pikë gjatë së njëjtës kohë.

Figura 22

Gjatë zgjidhjes së problemeve, teorema (9.3) përdoret më shpesh në projeksionet në boshtet koordinative
;

; (9.4)

.

Duke përdorur teoremën mbi ndryshimin e momentit të një pike, është e mundur të zgjidhen problemet në të cilat një pikë ose trup që lëviz në mënyrë përkthimore veprohet nga forca konstante ose të ndryshueshme që varen nga koha, dhe sasitë e dhëna dhe të kërkuara përfshijnë kohën e lëvizjes dhe shpejtësive në fillim dhe në fund të lëvizjes. Problemet duke përdorur teoremën zgjidhen në sekuencën vijuese:

1. zgjidhni një sistem koordinativ;

2. të përshkruajë të gjitha forcat dhe reagimet e dhëna (aktive) që veprojnë në një pikë;

3. shkruani një teoremë për ndryshimin e momentit të një pike në projeksione në boshtet e zgjedhura të koordinatave;

4. të përcaktojë sasitë e kërkuara.

SHEMBULL 12.

Një çekiç me peshë G=2t bie nga lartësia h=1m mbi pjesën e punës në kohën t=0.01s dhe stampon pjesën (Fig. 23). Përcaktoni forcën mesatare të presionit të çekiçit në pjesën e punës.

Ndryshimi në momentin e një sistemi mekanik gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me shumën e impulseve të forcave të jashtme që veprojnë në të njëjtën kohë. Ndonjëherë është më e përshtatshme të përdoret teorema për ndryshimin e momentit në projeksion në boshtet e koordinatave
; (9.8)
. (9.9)

Ligji i ruajtjes së momentit thotë se në mungesë të forcave të jashtme, momenti i një sistemi mekanik mbetet konstant. Veprimi i forcave të brendshme nuk mund të ndryshojë momentin e sistemit. Nga ekuacioni (9.6) shihet qartë se kur
,
.

Nëse
, Kjo
ose
.

D

helikë ose helikë, shtytje jet. Kallamarët lëvizin në lëvizje, duke hedhur ujë nga qesja muskulore si një top uji (Fig. 25). Uji i zmbrapsur ka një sasi të caktuar lëvizjeje të drejtuar prapa. Kallamari merr shpejtësinë përkatëse lëvizja përpara për shkak të forcës tërheqëse reaktive , që para se kallamari të kërcejë nga forca balancuar nga graviteti .

Zbatimi i teoremës mbi ndryshimin e momentit na lejon të përjashtojmë të gjitha forcat e brendshme nga shqyrtimi.

SHEMBULL 13.

Një çikrik A me një daulle me rreze r është instaluar në një platformë hekurudhore të lirë mbi shina (Fig. 26). Çikriku është projektuar për të lëvizur një ngarkesë B me një masë m 1 përgjatë platformës. Pesha e platformës me çikrik m 2. Tamburi i çikrikut rrotullohet sipas ligjit
. Në momentin fillestar të kohës sistemi ishte i lëvizshëm. Duke neglizhuar fërkimin, gjeni ligjin e ndryshimit në shpejtësinë e platformës pas ndezjes së çikrikut.

R ZGJIDHJE.

1. Konsideroni platformën, çikrikën dhe ngarkesën si një sistem të vetëm mekanik, mbi të cilin veprojnë forcat e jashtme: graviteti i ngarkesës dhe platformat dhe reagimet Dhe
.

2. Meqenëse të gjitha forcat e jashtme janë pingule me boshtin x, d.m.th.
, zbatojmë ligjin e ruajtjes së momentit të një sistemi mekanik në projeksion në boshtin x:
. Në momentin fillestar të kohës sistemi ishte i palëvizshëm, prandaj,

Le të shprehim sasinë e lëvizjes së sistemit në një moment arbitrar në kohë. Platforma ecën përpara me një shpejtësi , ngarkesa i nënshtrohet një lëvizjeje komplekse që përbëhet nga lëvizje relative përgjatë platformës me një shpejtësi dhe lëvizje portative së bashku me platformën me shpejtësi ., ku
. Platforma do të lëvizë në drejtim të kundërt me lëvizjen relative të ngarkesës.

SHEMBULL 14.

Ku ,
-- sasia e lëvizjes së pllakës dhe ngarkesës, përkatësisht.

;
, Ku -- shpejtësia absolute e ngarkesës D. Nga barazia (1) del se K 1x + K 2x =C 1 ose m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. (2) Për të përcaktuar V Dx, konsideroni lëvizjen e ngarkesës D si komplekse, duke marrë parasysh lëvizjen e saj në lidhje me pllakën relative, dhe lëvizjen e vetë pllakës të lëvizshme, atëherë
, (3)
;ose në projeksion në boshtin x: . (4) Le të zëvendësojmë (4) në (2):
. (5) Konstantën e integrimit C 1 e përcaktojmë nga kushtet fillestare: në t=0 u=u 0 ; (m 1 + m 2) u 0 = C 1. (6) Duke zëvendësuar vlerën e konstantës C 1 në ekuacionin (5), marrim

Znj.