Tabela e të gjithë integraleve. Metodat bazë të integrimit

Tabela e antiderivativëve ("integrale"). Tabela e integraleve. Integrale të pacaktuara tabelare. (Integralet dhe integralet më të thjeshta me një parametër). Formulat për integrimin sipas pjesëve. Formula Njuton-Leibniz.

Formulat për integrimin sipas pjesëve. Rregullat e integrimit.

Tabela e derivateve. Derivatet tabelare. Derivat i produktit. Derivati ​​i herësit. Derivat i një funksioni kompleks.

Nëse x është një ndryshore e pavarur, atëherë:

Vetitë e logaritmeve. Formulat bazë për logaritmet. Logaritmet dhjetore (lg) dhe natyrore (ln).

Logaritmi natyror ln (logaritmi në bazën e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Seriali Taylor. Zgjerimi i serisë Taylor të një funksioni.

Rezulton se shumica hasur praktikisht funksionet matematikore mund të paraqiten me çdo saktësi në afërsi të një pike të caktuar në formën e serive të fuqisë që përmbajnë fuqitë e një ndryshoreje në rend rritës. Për shembull, në afërsi të pikës x=1:

Kur përdorni seritë e quajtura Rreshtat e Taylor-it, funksionet e përziera që përmbajnë, le të themi, funksione algjebrike, trigonometrike dhe eksponenciale mund të shprehen si funksione thjesht algjebrike. Duke përdorur seritë, shpesh mund të kryeni shpejt diferencimin dhe integrimin.

Seria Taylor në afërsi të pikës a ka formën:

1) , ku f(x) është një funksion që ka derivate të të gjitha rendeve në x = a. R n - termi i mbetur në serinë Taylor përcaktohet nga shprehja

2)

Koeficienti k-të (në x k) i serisë përcaktohet nga formula

3) Një rast i veçantë i serisë Taylor është seria Maclaurin (=McLaren). (zgjerimi ndodh rreth pikës a=0)

në a=0

anëtarët e serisë përcaktohen nga formula

Kushtet për përdorimin e serisë Taylor.

1. Në mënyrë që funksioni f(x) të zgjerohet në një seri Taylor në intervalin (-R;R), është e nevojshme dhe e mjaftueshme që termi i mbetur në formulën Taylor (Maclaurin (=McLaren)) për këtë funksioni tenton në zero si k →∞ në intervalin e specifikuar (-R;R).

2. Është e nevojshme që të ekzistojnë derivate për një funksion të caktuar në pikën në afërsi të së cilës do të ndërtojmë serinë Taylor.

Karakteristikat e serisë Taylor.

Nëse f është një funksion analitik, atëherë seria e tij Taylor në çdo pikë a në domenin e përkufizimit të f konvergon në f në një lagje të a.

Ka funksione pafundësisht të diferencueshëm, seria Taylor e të cilëve konvergjon, por në të njëjtën kohë ndryshon nga funksioni në çdo lagje të a. Për shembull:

Seritë Taylor përdoren në përafrim (përafrimi është një metodë shkencore që konsiston në zëvendësimin e disa objekteve me të tjerë, në një kuptim ose në një tjetër të afërt me ato origjinale, por më të thjeshta) të një funksioni me polinome. Në veçanti, linearizimi ((nga linearis - linear), një nga metodat e paraqitjes së përafërt të sistemeve të mbyllura jolineare, në të cilën studimi i një sistemi jolinear zëvendësohet nga analiza e një sistemi linear, në një farë kuptimi ekuivalent me atë origjinal. .) ekuacionet ndodhin duke u zgjeruar në një seri Taylor dhe duke ndërprerë të gjithë termat e rendit të parë.

Kështu, pothuajse çdo funksion mund të përfaqësohet si një polinom me një saktësi të caktuar.

Shembuj të disa zgjerimeve të zakonshme të funksioneve të fuqisë në seritë Maclaurin (=McLaren, Taylor në afërsi të pikës 0) dhe Taylor në afërsi të pikës 1. Termat e parë të zgjerimeve të funksioneve kryesore në seritë Taylor dhe McLaren.

Shembuj të disa zgjerimeve të zakonshme të funksioneve të fuqisë në serinë Maclaurin (=McLaren, Taylor në afërsi të pikës 0)

Shembuj të disa zgjerimeve të zakonshme të serive Taylor në afërsi të pikës 1

Funksioni antiderivativ dhe integrali i pacaktuar

Fakti 1. Integrimi është veprimi i kundërt i diferencimit, përkatësisht, rikthimi i një funksioni nga derivati ​​i njohur i këtij funksioni. Funksioni u rivendos kështu F(x) quhet antiderivativ për funksionin f(x).

Përkufizimi 1. Funksioni F(x f(x) në një interval X, nëse për të gjitha vlerat x nga ky interval vlen barazia F "(x)=f(x), pra ky funksion f(x) është derivat i funksionit antiderivativ F(x). .

Për shembull, funksioni F(x) = mëkat x është një antiderivativ i funksionit f(x) = cos x në të gjithë vijën numerike, pasi për çdo vlerë të x (mëkat x)" = (ko x) .

Përkufizim 2. Integrali i pacaktuar i një funksioni f(x) është bashkësia e të gjithë antiderivave të saj. Në këtë rast, përdoret shënimi

∫

f(x)dx

ku është shenja ∫ quhet shenja integrale, funksioni f(x) – funksioni integrand, dhe f(x)dx – shprehje integrale.

Kështu, nëse F(x) – disa antiderivat për f(x), Kjo

∫

f(x)dx = F(x) +C

Ku C - konstante (konstante) arbitrare.

Për të kuptuar kuptimin e grupit të antiderivativëve të një funksioni si një integral i pacaktuar, është e përshtatshme analogjia e mëposhtme. Le të ketë një derë (derë tradicionale prej druri). Funksioni i tij është të jetë "një derë". Nga se është bërë dera? E bërë prej druri. Kjo do të thotë se bashkësia e antiderivave të integrandit të funksionit “të jesh një derë”, pra integrali i pacaktuar i tij, është funksioni “të jesh pemë + C”, ku C është një konstante, e cila në këtë kontekst mund të tregojnë, për shembull, llojin e pemës. Ashtu si një derë është bërë nga druri duke përdorur disa vegla, një derivat i një funksioni "bëhet" nga një funksion antiderivativ duke përdorur formula që mësuam gjatë studimit të derivatit .

Pastaj tabela e funksioneve të objekteve të zakonshme dhe antiderivave të tyre përkatës ("të jesh një derë" - "të jesh një pemë", "të jesh një lugë" - "të jesh metal", etj.) është e ngjashme me tabelën e bazës integrale të pacaktuara, të cilat do të jepen më poshtë. Tabela e integraleve të pacaktuar rendit funksionet e zakonshme me një tregues të antiderivativëve nga të cilët janë "bërë" këto funksione. Në një pjesë të problemave për gjetjen e integralit të pacaktuar, jepen integrandë që mund të integrohen drejtpërdrejt pa shumë përpjekje, pra duke përdorur tabelën e integraleve të pacaktuar. Në problemet më komplekse, integrandi duhet së pari të transformohet në mënyrë që të mund të përdoren integralet e tabelës.

Fakti 2. Kur rivendosim një funksion si një antiderivativ, duhet të marrim parasysh një konstante arbitrare (konstante) C, dhe për të mos shkruar një listë të antiderivativëve me konstante të ndryshme nga 1 në pafundësi, duhet të shkruani një grup antiderivativësh me një konstante arbitrare. C, për shembull, si kjo: 5 x³+C. Pra, një konstante arbitrare (konstante) përfshihet në shprehjen e antiderivativit, pasi antiderivati ​​mund të jetë një funksion, për shembull, 5 x³+4 ose 5 x³+3 dhe kur diferencohet, 4 ose 3, ose ndonjë konstante tjetër shkon në zero.

Le të parashtrojmë problemin e integrimit: për këtë funksion f(x) gjeni një funksion të tillë F(x), derivati ​​i të cilit e barabartë me f(x).

Shembulli 1. Gjeni bashkësinë e antiderivativëve të një funksioni

Zgjidhje. Për këtë funksion, antiderivati ​​është funksioni

Funksioni F(x) quhet antiderivativ për funksionin f(x), nëse derivati F(x) është e barabartë me f(x), ose, që është e njëjta gjë, diferenciale F(x) është e barabartë f(x) dx, d.m.th.

(2)

Prandaj, funksioni është një antiderivativ i funksionit. Megjithatë, nuk është i vetmi antiderivativ për . Ato shërbejnë gjithashtu si funksione

Ku ME– konstante arbitrare. Kjo mund të verifikohet me diferencim.

Kështu, nëse ka një antiderivativ për një funksion, atëherë për të ka një numër të pafund antiderivativësh që ndryshojnë me një term konstant. Të gjithë antiderivativët për një funksion shkruhen në formën e mësipërme. Kjo rrjedh nga teorema e mëposhtme.

Teorema (deklarata formale e faktit 2). Nëse F(x) – antiderivativ për funksionin f(x) në një interval X, pastaj çdo antiderivativ tjetër për f(x) në të njëjtin interval mund të paraqitet në formë F(x) + C, Ku ME– konstante arbitrare.

Në shembullin tjetër i drejtohemi tabelës së integraleve, e cila do të jepet në paragrafin 3, pas vetive të integralit të pacaktuar. Ne e bëjmë këtë përpara se të lexojmë të gjithë tabelën, në mënyrë që thelbi i sa më sipër të jetë i qartë. Dhe pas tabelës dhe vetive, ne do t'i përdorim ato në tërësinë e tyre gjatë integrimit.

Shembulli 2. Gjeni grupe funksionesh antiderivative:

Zgjidhje. Ne gjejmë grupe funksionesh antiderivative nga të cilat "bëhen" këto funksione. Kur përmendni formula nga tabela e integraleve, tani për tani vetëm pranoni se ka formula të tilla dhe ne do ta studiojmë vetë tabelën e integraleve të pacaktuar pak më tej.

1) Zbatimi i formulës (7) nga tabela e integraleve për n= 3, marrim

2) Duke përdorur formulën (10) nga tabela e integraleve për n= 1/3, kemi

3) Që nga viti

atëherë sipas formulës (7) me n= -1/4 gjejmë

Nuk është vetë funksioni që shkruhet nën shenjën integrale. f, dhe produktin e tij nga diferenciali dx. Kjo bëhet kryesisht për të treguar se me cilën variabël kërkohet antiderivativi. Për shembull,

, ;

këtu në të dyja rastet integrani është i barabartë me , por integralet e tij të pacaktuara në rastet e konsideruara rezultojnë të jenë të ndryshëm. Në rastin e parë, ky funksion konsiderohet si funksion i ndryshores x, dhe në të dytën - në funksion të z .

Procesi i gjetjes së integralit të pacaktuar të një funksioni quhet integrim i atij funksioni.

Kuptimi gjeometrik i integralit të pacaktuar

Supozoni se duhet të gjejmë një kurbë y=F(x) dhe ne tashmë e dimë se tangjentja e këndit tangjente në secilën nga pikat e tij është një funksion i caktuar f(x) abshisa e kësaj pike.

Sipas kuptimit gjeometrik të derivatit, tangjentja e këndit të prirjes së tangjentes në një pikë të caktuar të lakores y=F(x) e barabartë me vlerën e derivatit F"(x). Pra, ne duhet të gjejmë një funksion të tillë F(x), per cilin F"(x)=f(x). Funksioni i kërkuar në detyrë F(x)është një antideriv i f(x). Kushtet e problemit nuk plotësohen nga një kurbë, por nga një familje kurbash. y=F(x)- një nga këto kthesa dhe çdo kurbë tjetër mund të merret prej saj me përkthim paralel përgjatë boshtit Oy.

Le ta quajmë grafikun e funksionit antiderivativ të f(x) kurba integrale. Nëse F"(x)=f(x), pastaj grafiku i funksionit y=F(x) ka një kurbë integrale.

Fakti 3. Integrali i pacaktuar gjeometrikisht përfaqësohet nga familja e të gjitha kurbave integrale , si në foton më poshtë. Distanca e secilës kurbë nga origjina e koordinatave përcaktohet nga një konstante integruese arbitrare C.

Vetitë e integralit të pacaktuar

Fakti 4. Teorema 1. Derivati ​​i një integrali të pacaktuar është i barabartë me integrandin dhe diferenciali i tij është i barabartë me integrandin.

Fakti 5. Teorema 2. Integrali i pacaktuar i diferencialit të një funksioni f(x) është e barabartë me funksionin f(x) deri në një afat konstant , d.m.th.

(3)

Teoremat 1 dhe 2 tregojnë se diferencimi dhe integrimi janë operacione reciproke të anasjellta.

Fakti 6. Teorema 3. Faktori konstant në integrand mund të nxirret nga shenja e integralit të pacaktuar. , d.m.th.

Integrimi është një nga operacionet kryesore në analizën matematikore. Tabelat e antiderivativëve të njohur mund të jenë të dobishme, por tani, pas ardhjes së sistemeve kompjuterike algjebër, ato po humbasin rëndësinë e tyre. Më poshtë është një listë e primitivëve më të zakonshëm.

Tabela e integraleve bazë

Një tjetër opsion kompakt

Tabela e integraleve të funksioneve trigonometrike

Nga funksionet racionale

Nga funksionet irracionale

Integrale të funksioneve transcendentale

"C" është një konstante integruese arbitrare, e cila përcaktohet nëse dihet vlera e integralit në çdo pikë. Çdo funksion ka një numër të pafund të antiderivativëve.

Shumica e nxënësve dhe studentëve kanë probleme me llogaritjen e integraleve. Kjo faqe përmban tabela integrale nga funksionet trigonometrike, racionale, irracionale dhe transcendentale që do të ndihmojnë në zgjidhje. Një tabelë e derivateve do t'ju ndihmojë gjithashtu.

Video - si të gjeni integrale

>>Metodat e integrimit

Metodat bazë të integrimit

Përkufizimi i integralit integral, i caktuar dhe i pacaktuar, tabela e integraleve, formula Njuton-Leibniz, integrimi sipas pjesëve, shembuj të llogaritjes së integraleve.

Integrali i pacaktuar

Një funksion F(x) i diferencueshëm në një interval të caktuar X quhet antiderivativ i funksionit f(x), ose integrali i f(x), nëse për çdo x ∈X vlen barazia e mëposhtme:

F "(x) = f(x). (8.1)

Gjetja e të gjithë antiderivativëve për një funksion të caktuar quhet e saj integrimin. Funksion integral i pacaktuar f(x) në një interval të caktuar X është bashkësia e të gjithë funksioneve antiderivative për funksionin f(x); emërtimi -

Nëse F(x) është një antiderivativ i funksionit f(x), atëherë ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

ku C është një konstante arbitrare.

Tabela e integraleve

Direkt nga përkufizimi marrim vetitë kryesore të integralit të pacaktuar dhe një listë të integraleve tabelare:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=konst)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lista e integraleve tabelare

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = harksin x + C

10. = - ctg x + C

Zëvendësimi i ndryshueshëm

Për të integruar shumë funksione, përdorni metodën e zëvendësimit të ndryshoreve ose zëvendësimet, duke ju lejuar të reduktoni integralet në formë tabelare.

Nëse funksioni f(z) është i vazhdueshëm në [α,β], funksioni z =g(x) ka një derivat të vazhdueshëm dhe α ≤ g(x) ≤ β, atëherë

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Për më tepër, pas integrimit në anën e djathtë, duhet të bëhet zëvendësimi z=g(x).

Për ta vërtetuar atë, mjafton të shkruani integralin origjinal në formën:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Për shembull:

1)

2) .

Mënyra e integrimit sipas pjesëve

Le të jenë u = f(x) dhe v = g(x) funksione që kanë të vazhdueshme . Më pas, sipas punës,

d(uv))= udv + vdu ose udv = d(uv) - vdu.

Për shprehjen d(uv), antiderivati ​​do të jetë padyshim uv, kështu që formula vlen:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Kjo formulë shpreh rregullin integrimi sipas pjesëve. E çon integrimin e shprehjes udv=uv"dx në integrimin e shprehjes vdu=vu"dx.

Le të, për shembull, dëshironi të gjeni ∫xcosx dx. Le të vendosim u = x, dv = cosxdx, pra du=dx, v=sinx. Pastaj

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Rregulli i integrimit sipas pjesëve ka një shtrirje më të kufizuar sesa zëvendësimi i variablave. Por ka klasa të tëra integralesh, për shembull,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax dhe të tjera, të cilat llogariten saktësisht duke përdorur integrimin sipas pjesëve.

Integral i caktuar

Koncepti i një integrali të caktuar paraqitet si më poshtë. Le të përcaktohet një funksion f(x) në një interval. Le ta ndajmë segmentin [a,b] në n pjesë nga pika a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Quhet një shumë e trajtës f(ξ i)Δ x i shuma integrale, dhe kufiri i tij në λ = maxΔx i → 0, nëse ekziston dhe është i fundëm, quhet integral i caktuar funksionet f(x) të a përpara b dhe caktohet:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funksioni f(x) në këtë rast thirret i integrueshëm në interval, quhen numrat a dhe b kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të integralit.

Karakteristikat e mëposhtme janë të vërteta për një integral të caktuar:

4), (k = konst, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Vetia e fundit quhet teorema e vlerës mesatare.

Le të jetë f(x) e vazhdueshme në . Pastaj në këtë segment ka një integral të pacaktuar

∫f(x)dx = F(x) + C

dhe zhvillohet Formula Njuton-Leibniz, duke lidhur integralin e caktuar me integralin e pacaktuar:

F(b) - F(a). (8.6)

Interpretimi gjeometrik: integrali i caktuar është zona e një trapezi lakor të kufizuar nga lart nga kurba y=f(x), drejtëza x = a dhe x = b dhe një segment i boshtit kau.

Integrale të pahijshme

Integralet me kufij të pafundëm dhe integrale të funksioneve të ndërprera (të pakufizuara) quhen jo e juaja. Integrale të pahijshme të llojit të parë - Këto janë integrale në një interval të pafund, të përcaktuar si më poshtë:

(8.7)

Nëse ky kufi ekziston dhe është i fundëm, atëherë quhet integrali i parregullt konvergjent i f(x) në intervalin [a,+ ∞), dhe thirret funksioni f(x). i integrueshëm në një interval të pafund[a,+ ∞). Përndryshe, integrali thuhet se është nuk ekziston ose ndryshon.

Integralet e pahijshme në intervalet (-∞,b] dhe (-∞, + ∞) përcaktohen në mënyrë të ngjashme:

Le të përcaktojmë konceptin e një integrali të një funksioni të pakufizuar. Nëse f(x) është e vazhdueshme për të gjitha vlerat x segment , me përjashtim të pikës c, në të cilën f(x) ka një ndërprerje të pafundme, atëherë integral i pahijshëm i llojit të dytë të f(x) duke filluar nga a në b shuma quhet:

nëse këto kufij ekzistojnë dhe janë të fundme. Përcaktimi:

Shembuj të llogaritjeve integrale

Shembulli 3.30. Njehsoni ∫dx/(x+2).

Zgjidhje. Le të shënojmë t = x+2, pastaj dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Shembulli 3.31. Gjeni ∫ tgxdx.

Zgjidhje.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Le të jetë t=cosx, atëherë ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Zgjidhje.

Shembull3.33. Gjej .

Zgjidhje. =

.

Shembull3.34 . Gjeni ∫arctgxdx.

Zgjidhje. Le të integrohemi sipas pjesëve. Le të shënojmë u=arctgx, dv=dx. Atëherë du = dx/(x 2 +1), v=x, prej nga ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; sepse
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Shembull3.35 . Llogarit ∫lnxdx.

Zgjidhje. Duke aplikuar formulën e integrimit sipas pjesëve, marrim:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atëherë ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Shembull3.36 . Njehsoni ∫e x sinxdx.

Zgjidhje. Le të shënojmë u = e x, dv = sinxdx, pastaj du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integralin ∫e x cosxdx e integrojmë edhe me pjesë: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ne kemi:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Përftuam relacionin ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, nga e cila 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Shembull 3.37. Llogaritni J = ∫cos(lnx)dx/x.

Zgjidhje. Meqenëse dx/x = dlnx, atëherë J= ∫cos(lnx)d(lnx). Duke zëvendësuar lnx përmes t, arrijmë në tabelën integrale J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Shembull 3.38 . Llogaritni J = .

Zgjidhje. Duke marrë parasysh se = d(lnx), ne zëvendësojmë lnx = t. Atëherë J = .