Teorema mbi ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik. Numri i lëvizjes

§1. Sasia e lëvizjes së sistemit (momenti i sistemit)

Momenti (momenti i trupit) është një sasi fizike vektoriale e barabartë me produktin e masës trupore dhe shpejtësinë e saj:

Momenti (momenti) është një nga karakteristikat më themelore të lëvizjes së një trupi ose sistemi trupash.

Le të shkruajmë II Ligji i Njutonit në një formë tjetër, duke pasur parasysh se nxitimi Atëherë prandaj

Produkti i forcës dhe koha e veprimit të saj është e barabartë me rritjen e momentit të trupit:

Ku- impulsi i forcës, i cili tregon se rezultati i veprimit të një force varet jo vetëm nga vlera e saj, por edhe nga kohëzgjatja e veprimit të saj.

Sasia e lëvizjes së sistemit (momentumi) është sasia vektoriale , e barabartë me shumën gjeometrike (vektorin kryesor) të sasive të lëvizjes (impulseve) të të gjitha pikave të sistemit (fig. 2):

Nga vizatimi shihet se, pavarësisht nga shpejtësitë e pikave të sistemit (përveç nëse këto shpejtësi janë paralele), vektorimund të marrë çdo vlerë dhe madje të rezultojë të jetë e barabartë me zero kur shumëkëndëshi ndërtohet nga vektorë, do të mbyllet. Prandaj, në madhësinuk mund të gjykohet plotësisht natyra e lëvizjes së sistemit.

Fig.2. Sistemi i sasisë së lëvizjes

§2. Teorema mbi ndryshimin e momentit (momentum)

Le të veprojë një forcë në një trup me masë m për një interval të vogël kohor Δt Nën veprimin e kësaj force, shpejtësia e trupit ndryshoi me Prandaj, gjatë kohës Δt trupi lëvizte me nxitim:

Nga ligji bazë i dinamikës(Ligji i dytë i Njutonit) vijon:

§3. Ligji i ruajtjes së momentit (ligji i ruajtjes së momentit)

Nga teorema mbi ndryshimin e momentit të sistemit, mund të përftohen pasojat e mëposhtme të rëndësishme:

1) Le të jetë zero shuma e të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në një sistem të mbyllur:

Pastaj nga ekuacioni rrjedh se Q = = konst. Kështu, nëse shuma e të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në një sistem të mbyllur është e barabartë me zero, atëherë vektori i momentit (momenti) i sistemit do të jetë konstant në madhësi dhe drejtim.

2) Lërini forcat e jashtme që veprojnë në sistem të jenë të tilla që shuma e projeksioneve të tyre në një bosht (për shembull RRETH x ) është e barabartë me zero:

Pastaj nga ekuacionirrjedh se ndërsaQx= konst. Kështu, nëse shuma e projeksioneve të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në çdo bosht është e barabartë me zero, atëherë projeksioni i momentit (momentit) të sistemit në këtë bosht është një vlerë konstante.

Këto rezultate shprehin ligji i ruajtjes së momentit të sistemit: për çdo natyrë të bashkëveprimit të trupave që formojnë një sistem të mbyllur, vektori i momentit total të këtij sistemi mbetet konstant gjatë gjithë kohës.

Prej tyre rrjedh se forcat e brendshme nuk mund të ndryshojnë vrullin total të sistemit.

Ligji i ruajtjes së momentit total të një sistemi të izoluar është një ligj universal i natyrës. Në një rast më të përgjithshëm, kur sistemi nuk është i mbyllur, ngarrjedh se momenti total i një sistemi të hapur nuk mbetet konstant. Ndryshimi i tij për njësi të kohës është i barabartë me shumën gjeometrike të të gjitha forcave të jashtme.

Le të shohim disa shembuj:

a) Dukuria e dhënies ose e kthimit prapa. Nëse marrim një pushkë dhe një plumb si një sistem, atëherë presioni i gazrave pluhur kur shkrehet do të jetë një forcë e brendshme. Kjo forcë nuk mund të ndryshojë momentin total të sistemit. Por meqenëse gazrat shtytëse, duke vepruar në plumb, i japin atij një sasi të caktuar lëvizjeje të drejtuar përpara, ato duhet t'i japin pushkës njëkohësisht të njëjtën lëvizje në drejtim të kundërt. Kjo do të bëjë që pushka të lëvizë prapa, d.m.th. i ashtuquajturi kthim. Një fenomen i ngjashëm ndodh kur gjuan nga një armë (kthim prapa).

b) Funksionimi i helikës (helikës). Helika informon një masë të caktuar ajri (ose uji) të lëvizjes përgjatë boshtit të helikës, duke e hedhur këtë masë prapa. Nëse e konsiderojmë masën e hedhur dhe avionin (ose anijen) si një sistem, atëherë forcat e ndërveprimit midis helikës dhe mediumit si të brendshme nuk mund të ndryshojnë momentin total të këtij sistemi. Prandaj, kur një masë ajri (uji) hidhet mbrapa, avioni (ose anija) merr shpejtësinë përkatëse përpara, e tillë që momenti i përgjithshëm i sistemit në shqyrtim mbetet i barabartë me zero, pasi ishte zero para fillimit të lëvizjes. .

Një efekt i ngjashëm arrihet nga veprimi i rremave ose rrotave të vozitjes.

c) Propulsion reaktiv. Në një predhë rakete (raketë), produktet e gazta të djegies së karburantit nxirren me shpejtësi të lartë nga një vrimë në bishtin e raketës (nga hunda e një motori reaktiv). Forcat e presionit që veprojnë në këtë rast do të jenë forca të brendshme, dhe ato nuk mund të ndryshojnë momentin total të sistemit të raketave - produktet e djegies së karburantit. Por meqenëse gazrat që ikin kanë një sasi të caktuar lëvizjeje të drejtuar prapa, raketa merr një shpejtësi përkatëse përpara.

Pyetje për vetë-ekzaminim:

Si formulohet teorema mbi ndryshimin e momentit të një sistemi?

Shkruani shprehjen matematikore të teoremës për ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik në formë diferenciale dhe integrale.

Në cilin rast momenti i një sistemi mekanik nuk ndryshon?

Si përcaktohet impulsi i një force të ndryshueshme për një periudhë të kufizuar kohore? Çfarë e karakterizon momentin e një force?

Cilat janë projeksionet e momentit të forcave konstante dhe të ndryshueshme në boshtet koordinative?

Sa është momenti i rezultantit?

Si ndryshon vrulli i një pike që lëviz në mënyrë të njëtrajtshme në një rreth?

Cili është momenti i një sistemi mekanik?

Sa është momenti i një volant që rrotullohet rreth një boshti fiks që kalon nëpër qendrën e tij të gravitetit?

Në cilat kushte nuk ndryshon momenti i një sistemi mekanik? Në çfarë kushtesh nuk ndryshon projeksioni i tij në ndonjë bosht?

Pse arma tërhiqet kur gjuhet?

A mundet që forcat e brendshme të ndryshojnë momentin e sistemit apo momentin e pjesës së tij?

Nga cilët faktorë varet shpejtësia e lëvizjes së lirë të një rakete?

A varet shpejtësia përfundimtare e një rakete nga koha që duhet për të djegur karburantin?

Pamje: Ky artikull është lexuar 23264 herë

Pdf Zgjidh gjuhën... Rusisht Ukrainisht Anglisht

Shqyrtim i shkurtër

Materiali i plotë shkarkohet më sipër, pasi të keni zgjedhur gjuhën

Sistemi mekanik i pikave materiale ose trupa është një grup i tillë i tyre në të cilin pozicioni dhe lëvizja e secilës pikë (ose trupi) varet nga pozicioni dhe lëvizja e të tjerave.
Një trup material konsiderohet si një sistem pikash (grimcash) materiale që formojnë këtë trup.
Forcat e jashtme quhen forca të tilla që veprojnë në pika ose trupa të një sistemi mekanik nga pika ose trupa që nuk i përkasin këtij sistemi.
forcat e brendshme, quhen forca të tilla që veprojnë në pika ose trupa të një sistemi mekanik nga pika ose trupa të të njëjtit sistem, d.m.th. me të cilat pikat ose trupat e një sistemi të caktuar ndërveprojnë me njëra-tjetrën.
Forcat e jashtme dhe të brendshme të sistemit, nga ana tjetër, mund të jenë aktive dhe reaktive.
Pesha e sistemitështë e barabartë me shumën algjebrike të masave të të gjitha pikave ose trupave të sistemit në një fushë gravitacionale uniforme, për të cilën, pesha e çdo grimce të trupit është në përpjesëtim me masën e tij. Prandaj, shpërndarja e masave në trup mund të përcaktohet nga pozicioni i qendrës së tij të gravitetit - një pikë gjeometrike ME, koordinatat e së cilës quhen qendra e masës ose qendra e inercisë së sistemit mekanik
Teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës së një sistemi mekanik: qendra e masës së një sistemi mekanik lëviz si një pikë materiale, masa e së cilës është e barabartë me masën e sistemit dhe ndaj së cilës zbatohen të gjitha forcat e jashtme që veprojnë në sistem.
Konkluzione:

Një sistem mekanik ose një trup i ngurtë mund të konsiderohet si një pikë materiale, në varësi të natyrës së lëvizjes së tij, dhe jo nga madhësia e tij.
Forcat e brendshme nuk merren parasysh nga teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës.
Teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës nuk karakterizon lëvizjen rrotulluese të një sistemi mekanik, por vetëm përkthimore

Ligji i ruajtjes së lëvizjes së qendrës së masës së sistemit:
1. Nëse shuma e forcave të jashtme (vektori kryesor) është vazhdimisht e barabartë me zero, atëherë qendra e masës së sistemit mekanik është në qetësi ose lëviz në mënyrë të njëtrajtshme dhe drejtvizore.
2. Nëse shuma e projeksioneve të të gjitha forcave të jashtme në cilindo bosht është e barabartë me zero, atëherë projeksioni i shpejtësisë së qendrës së masës së sistemit në të njëjtin bosht është një vlerë konstante.

Teorema mbi ndryshimin e momentit.

Sasia e lëvizjes së një pike materiale dhe - një sasi vektoriale, e cila është e barabartë me produktin e masës së pikës dhe vektorit të shpejtësisë së saj.
Njësia matëse për momentin është (kg m/s).
Sasia e levizjes se sistemit mekanik- një sasi vektoriale e barabartë me shumën gjeometrike (vektorin kryesor) të momentit të të gjitha pikave të sistemit ose momenti i sistemit është i barabartë me produktin e masës së të gjithë sistemit dhe shpejtësinë e qendrës së masës së tij
Kur një trup (ose sistem) lëviz në atë mënyrë që qendra e masës së tij të jetë e palëvizshme, atëherë momenti i trupit është zero (për shembull, rrotullimi i trupit rreth një boshti fiks që kalon nëpër qendrën e masës së trup).
Nëse lëvizja e trupit është komplekse, atëherë ajo nuk do të karakterizojë pjesën rrotulluese të lëvizjes kur rrotullohet rreth qendrës së masës. Kjo do të thotë, sasia e lëvizjes karakterizon vetëm lëvizjen përkthimore të sistemit (së bashku me qendrën e masës).
Impulsi i forcës karakterizon veprimin e një force gjatë një periudhe të caktuar kohore.
Impulsi i forcës për një periudhë të kufizuar kohore përcaktohet si shuma integrale e impulseve elementare përkatëse
Teorema mbi ndryshimin e momentit të një pike materiale:
(në formë diferenciale): Derivati me kalimin e kohës i momentit të një pike materiale është i barabartë me shumën gjeometrike të forcave që veprojnë në pika
(në formë integrale): Ndryshimi i momentit gjatë një periudhe kohore është i barabartë me shumën gjeometrike të impulseve të forcave të aplikuara në një pikë gjatë së njëjtës periudhë kohore.

Teorema mbi ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik
(në formë diferenciale): Derivati kohor i momentit të sistemit është i barabartë me shumën gjeometrike të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem.
(në formë integrale): Ndryshimi në momentin e sistemit gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me shumën gjeometrike të impulseve që veprojnë në sistemin e forcave të jashtme për të njëjtën periudhë kohore.
Teorema bën të mundur përjashtimin e forcave të brendshme dukshëm të panjohura nga shqyrtimi.
Teorema mbi ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik dhe teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës janë dy forma të ndryshme të së njëjtës teoremë.
Ligji i ruajtjes së momentit të sistemit.

Nëse shuma e të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem është e barabartë me zero, atëherë vektori i momentit të sistemit do të jetë konstant në drejtim dhe modul.
Nëse shuma e projeksioneve të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në çdo bosht arbitrar është e barabartë me zero, atëherë projeksioni i momentit në këtë bosht është një vlerë konstante.

Ligjet e ruajtjes tregojnë se forcat e brendshme nuk mund të ndryshojnë momentin total të sistemit.

Klasifikimi i forcave që veprojnë në një sistem mekanik
Vetitë e forcave të brendshme
Masa e sistemit. Qendra e masës
Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një sistemi mekanik
Teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës së një sistemi mekanik
Ligji i ruajtjes së lëvizjes së qendrës së masës së sistemit
Teorema mbi ndryshimin e momentit
Ligji i ruajtjes së momentit të sistemit

Gjuha: Rusisht, Ukrainisht

Madhësia: 248K

Një shembull i llogaritjes së një ingranazhi nxitës
Një shembull i llogaritjes së një ingranazhi nxitës. Zgjedhja e materialit, llogaritja e sforcimeve të lejueshme, llogaritja e kontaktit dhe forca e përkuljes u krye.

Një shembull i zgjidhjes së problemit të lakimit të rrezes
Në shembull, vizatohen diagramet e forcave tërthore dhe momentet e përkuljes, gjendet një seksion i rrezikshëm dhe zgjidhet një rreze I. Në problem, analizohet ndërtimi i diagrameve duke përdorur varësi diferenciale, kryhet një analizë krahasuese e seksioneve të ndryshme të trarëve.

Një shembull i zgjidhjes së problemit të rrotullimit të boshtit
Detyra është të testoni forcën e një boshti çeliku për një diametër të caktuar, material dhe strese të lejueshme. Gjatë zgjidhjes ndërtohen diagramet e rrotullimeve, sforcimeve prerëse dhe këndeve të përdredhjes. Vetë pesha e boshtit nuk merret parasysh

Një shembull i zgjidhjes së problemit të tensionit-ngjeshjes së një shufre
Detyra është të testoni forcën e një shufre çeliku në sforcimet e lejuara të dhëna. Gjatë zgjidhjes ndërtohen parcela të forcave gjatësore, sforcimeve normale dhe zhvendosjeve. Vetë pesha e shiritit nuk merret parasysh

Zbatimi i teoremës së ruajtjes së energjisë kinetike
Një shembull i zgjidhjes së problemit të aplikimit të teoremës mbi ruajtjen e energjisë kinetike të një sistemi mekanik

Përcaktimi i shpejtësisë dhe nxitimit të një pike sipas ekuacioneve të dhëna të lëvizjes
Një shembull i zgjidhjes së problemit të përcaktimit të shpejtësisë dhe nxitimit të një pike sipas ekuacioneve të dhëna të lëvizjes

Përcaktimi i shpejtësive dhe nxitimeve të pikave të një trupi të ngurtë gjatë lëvizjes paralele në plan
Një shembull i zgjidhjes së problemit të përcaktimit të shpejtësive dhe nxitimeve të pikave të një trupi të ngurtë gjatë lëvizjes paralele në plan

Sasia e lëvizjes së sistemit quajmë shumën gjeometrike të sasive të lëvizjes së të gjitha pikave materiale të sistemit

Për të sqaruar kuptimin fizik të (70), ne llogarisim derivatin e (64)

. (71)

Duke zgjidhur (70) dhe (71) së bashku, marrim

. (72)

Kështu, vektori i momentit të një sistemi mekanik përcaktohet nga produkti i masës së sistemit dhe shpejtësia e qendrës së masës së tij.

Le të llogarisim derivatin e (72)

. (73)

Duke zgjidhur (73) dhe (67) së bashku, marrim

. (74)

Ekuacioni (74) shpreh teoremën e mëposhtme.

Teorema: Derivati kohor i vektorit të momentit të sistemit është i barabartë me shumën gjeometrike të të gjitha forcave të jashtme të sistemit.

Gjatë zgjidhjes së problemeve, ekuacioni (74) duhet të projektohet në boshtet koordinative:

. (75)

Analiza e (74) dhe (75) nënkupton sa vijon ligji i ruajtjes së momentit të sistemit: Nëse shuma e të gjitha forcave të sistemit është e barabartë me zero, atëherë vektori i momentit të tij ruan madhësinë dhe drejtimin e tij.

Nëse
, Kjo
,P = konst . (76)

Në një rast të veçantë, ky ligj mund të përmbushet përgjatë njërit prej akseve koordinative.

Nëse
, Se, P z = konst. (77)

Është e këshillueshme që të përdoret teorema e ndryshimit të momentit në rastet kur trupat e lëngët dhe të gaztë hyjnë në sistem.

Teorema mbi ndryshimin e momentit këndor të një sistemi mekanik

Sasia e lëvizjes karakterizon vetëm komponentin përkthimor të lëvizjes. Për të karakterizuar lëvizjen rrotulluese të një trupi, prezantohet koncepti i momentit kryesor të sasive të lëvizjes së sistemit në lidhje me një qendër të caktuar (momenti kinetik).

Momenti i sistemit në lidhje me një qendër të caktuar është shuma gjeometrike e momenteve të sasive të lëvizjes së të gjitha pikave të saj në lidhje me të njëjtën qendër

. (78)

Duke projektuar (22) në boshtet e koordinatave, mund të merret shprehja për momentin këndor në lidhje me boshtet e koordinatave

. (79)

Momenti këndor i trupit rreth boshteveështë e barabartë me produktin e momentit të inercisë së trupit rreth këtij boshti nga shpejtësia këndore e trupit

. (80)

Nga (80) rrjedh se momenti kinetik karakterizon vetëm komponentin rrotullues të lëvizjes.

Një karakteristikë e veprimit rrotullues të një force është momenti i saj në lidhje me boshtin e rrotullimit.

Teorema e ndryshimit të momentit vendos marrëdhënien midis karakteristikës së lëvizjes rrotulluese dhe forcës që shkakton këtë lëvizje.

Teorema: Derivati kohor i vektorit të momentit këndor të sistemit në lidhje me një qendër është i barabartë me shumën gjeometrike të momenteve të të gjitha forcave të jashtme të sistemit në lidhje metë njëjtën qendër

. (81)

Gjatë zgjidhjes së problemeve inxhinierike (81), është e nevojshme të projektohet në akset koordinative

Analiza e tyre (81) dhe (82) nënkupton ligji i ruajtjes së momentit: Nëse shuma e momenteve të të gjitha forcave të jashtme rreth qendrës (ose boshtit) është e barabartë me zero, atëherë momenti kinetik i sistemit rreth kësaj qendre (ose boshti) ruan madhësinë dhe drejtimin e tij.

ose

Momenti këndor nuk mund të ndryshohet nga veprimi i forcave të brendshme të sistemit, por për shkak të këtyre forcave është e mundur të ndryshohet momenti i inercisë dhe rrjedhimisht shpejtësia këndore.

Në mënyrë të ngjashme, si për një pikë materiale, ne nxjerrim një teoremë mbi ndryshimin e momentit për sistemin në forma të ndryshme.

Ne transformojmë ekuacionin (teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës së një sistemi mekanik)

në mënyrën e mëposhtme:

;

Ekuacioni që rezulton shpreh teoremën mbi ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik në formë diferenciale: derivati kohor i momentit të një sistemi mekanik është i barabartë me vektorin kryesor të forcave të jashtme që veprojnë në sistem. .

Në projeksionet në boshtet e koordinatave karteziane:

; ; .

Duke marrë në kohë integralet e të dy pjesëve të ekuacioneve të fundit, marrim një teoremë mbi ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik në formë integrale: ndryshimi në momentin e një sistemi mekanik është i barabartë me momentin e vektorit kryesor të forcat e jashtme që veprojnë në sistem .

Ose në projeksione në boshtet e koordinatave karteziane:

; ; .

Pasojat nga teorema (ligjet e ruajtjes së momentit)

Ligji i ruajtjes së momentit merret si raste të veçanta të teoremës për ndryshimin e momentit për një sistem në varësi të veçorive të sistemit të forcave të jashtme. Forcat e brendshme mund të jenë çdo gjë, pasi ato nuk ndikojnë në ndryshimet në moment.

Dy raste janë të mundshme:

1. Nëse shuma vektoriale e të gjitha forcave të jashtme të aplikuara në sistem është e barabartë me zero, atëherë momenti i sistemit është konstant në madhësi dhe drejtim.

2. Nëse projeksioni i vektorit kryesor të forcave të jashtme në ndonjë bosht koordinativ dhe/ose dhe/ose është i barabartë me zero, atëherë projeksioni i sasisë së lëvizjes në të njëjtat boshte është një vlerë konstante, d.m.th. dhe/ose dhe/ose përkatësisht.

Regjistrime të ngjashme mund të bëhen për një pikë materiale dhe për një pikë materiale.

Detyrë. Nga një armë masa e së cilës M, një predhë me masë fluturon jashtë në një drejtim horizontal m me shpejtësi v. Gjeni shpejtësinë V armë pas gjuajtjes.

Zgjidhje. Të gjitha forcat e jashtme që veprojnë në sistemin mekanik të armëve janë vertikale. Prandaj, bazuar në përfundimin e teoremës për ndryshimin e momentit të sistemit, kemi: .

Sasia e lëvizjes së sistemit mekanik para goditjes:

Sasia e lëvizjes së sistemit mekanik pas goditjes:

Duke barazuar pjesët e duhura të shprehjeve, marrim atë

Shenja "-" në formulën që rezulton tregon se pas goditjes, arma do të rrokulliset në drejtim të kundërt me boshtin kau.

SHEMBULL 2. Një rrymë lëngu me një densitet rrjedh me një shpejtësi V nga një tub me një sipërfaqe tërthore F dhe godet një mur vertikal në një kënd. Përcaktoni presionin e lëngut në mur.

ZGJIDHJE. Zbatojmë teoremën për ndryshimin e momentit në formë integrale në vëllimin e lëngut me masë m goditja e një muri gjatë një periudhe kohore t.

EKUACIONI MESHCHERSKY

(ekuacioni bazë i dinamikës së një trupi me masë të ndryshueshme)

Në teknologjinë moderne lindin rastet kur masa e një pike dhe e një sistemi nuk mbetet konstante në procesin e lëvizjes, por ndryshon. Kështu, për shembull, gjatë fluturimit të raketave hapësinore, për shkak të nxjerrjes së produkteve të djegies dhe pjesëve individuale të panevojshme të raketave, ndryshimi i masës arrin 90-95% të vlerës totale fillestare. Por jo vetëm teknologjia hapësinore mund të jetë një shembull i dinamikës së lëvizjes së një mase të ndryshueshme. Në industrinë e tekstilit, ka një ndryshim të rëndësishëm në masën e boshteve, bobinave, rrotullave të ndryshme me shpejtësi moderne të makinerive dhe makinerive.

Konsideroni tiparet kryesore që lidhen me një ndryshim në masë, duke përdorur shembullin e lëvizjes përkthimore të një trupi me masë të ndryshueshme. Ligji bazë i dinamikës nuk mund të zbatohet drejtpërdrejt në një trup me masë të ndryshueshme. Prandaj, marrim ekuacione diferenciale të lëvizjes së një pike me masë të ndryshueshme, duke zbatuar teoremën mbi ndryshimin e momentit të sistemit.

Lëreni një pikë të masës m+dm lëviz me shpejtësi. Pastaj ka një shkëputje nga pika e disa grimcave me një masë dm duke lëvizur me shpejtësi.

Sasia e lëvizjes së trupit përpara shkëputjes së grimcës:

Sasia e lëvizjes së një sistemi të përbërë nga një trup dhe një grimcë e shkëputur pas shkëputjes së tij:

Atëherë ndryshimi i momentit është:

Bazuar në teoremën mbi ndryshimin e momentit të sistemit:

Le të shënojmë vlerën - shpejtësinë relative të grimcës:

Shënoni

vlera R quhet forca reaktive. Forca e avionit është shtytja e motorit, për shkak të lëshimit të gazit nga hunda.

Më në fund arrijmë

Kjo formulë shpreh ekuacionin bazë të dinamikës së një trupi me masë të ndryshueshme (formula e Meshchersky). Nga formula e fundit rezulton se ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një pike me masë të ndryshueshme kanë të njëjtën formë si për një pikë me masë konstante, me përjashtim të forcës reaktive shtesë të aplikuar në pikë për shkak të ndryshimit të masës.

Ekuacioni bazë i dinamikës së një trupi me masë të ndryshueshme tregon se nxitimi i këtij trupi formohet jo vetëm për shkak të forcave të jashtme, por edhe për shkak të forcës reaktive.

Forca reaktive është një forcë e ngjashme me atë që ndjen një person që gjuan - kur gjuan një pistoletë, ajo ndihet me dorë; kur gjuan nga pushka, perceptohet nga supi.

Formula e parë e Tsiolkovsky (për një raketë me një fazë)

Lëreni një pikë me masë të ndryshueshme ose një raketë të lëvizë në vijë të drejtë nën veprimin e vetëm një force reaktive. Që për shumë motorë reaktivë modernë , ku është forca maksimale reaktive e lejuar nga dizajni i motorit (shtytja e motorit); - forca e gravitetit që vepron mbi motorin, i vendosur në sipërfaqen e tokës. ato. sa më sipër lejon që komponenti në ekuacionin Meshchersky të neglizhohet dhe për analiza të mëtejshme të pranohet ky ekuacion në formën:

Shënoni:

Rezerva e karburantit (për motorët e avionëve me motor të lëngshëm - masa e thatë e raketës (masa e saj e mbetur pas djegies së gjithë karburantit);

Masa e grimcave të ndara nga raketa; konsiderohet si një variabël që ndryshon nga në .

Le të shkruajmë ekuacionin e lëvizjes drejtvizore të një pike me masë të ndryshueshme në formën e mëposhtme:

Që nga formula për përcaktimin e masës së ndryshueshme të një rakete

Prandaj, ekuacionet e lëvizjes së një pike Duke marrë integralet e të dyja pjesëve, marrim

ku - shpejtësi karakteristike- kjo është shpejtësia që raketa fiton nën veprimin e shtytjes pas shpërthimit të të gjitha grimcave nga raketa (për motorët reaktivë me shtytje të lëngët - pasi të jetë djegur i gjithë karburanti).

E hequr nga shenja integrale (e cila mund të bëhet në bazë të teoremës së vlerës mesatare të njohur nga matematika e lartë) është shpejtësia mesatare e grimcave të nxjerra nga raketa.

dhe sistemi mekanik

Sasia e lëvizjes së një pike materiale është një masë vektoriale e lëvizjes mekanike, e barabartë me produktin e masës së pikës dhe shpejtësisë së saj, . Njësia matëse e sasisë së lëvizjes në sistemin SI është
. Sasia e lëvizjes së një sistemi mekanik është e barabartë me shumën e sasive të lëvizjeve të të gjitha pikave materiale që formojnë sistemin:

. (5.2)

Ne transformojmë formulën që rezulton

Sipas formulës (4.2)
, Kjo është arsyeja pse

Kështu, momenti i një sistemi mekanik është i barabartë me produktin e masës së tij dhe shpejtësinë e qendrës së masës:

. (5.3)

Meqenëse sasia e lëvizjes së sistemit përcaktohet nga lëvizja e vetëm një prej pikave të tij (qendra e masës), ajo nuk mund të jetë një karakteristikë e plotë e lëvizjes së sistemit. Në të vërtetë, për çdo lëvizje të sistemit, kur qendra e masës së tij mbetet e palëvizshme, momenti i sistemit është i barabartë me zero. Për shembull, kjo ndodh kur një trup i ngurtë rrotullohet rreth një boshti fiks që kalon përmes qendrës së tij të masës.

Ne prezantojmë një sistem referimi Cxyz, e cila buron në qendrën e masës së sistemit mekanik ME dhe duke ecur përpara në raport me sistemin inercial
(Fig. 5.1). Pastaj lëvizja e secilës pikë
mund të konsiderohet si komplekse: lëvizja përkthimore së bashku me sëpatat Cxyz dhe lëvizjen rreth këtyre boshteve. Për shkak të lëvizjes përkthimore të akseve Cxyz shpejtësia e lëvizshme e secilës pikë është e barabartë me shpejtësinë e qendrës së masës së sistemit, dhe momenti i sistemit, i përcaktuar me formulën (5.3), karakterizon vetëm lëvizjen e tij përkthimore.

5.3. Impulsi i forcës

Për të karakterizuar veprimin e një force gjatë një periudhe të caktuar kohe, quhet një sasi vrulli i forcës . Impulsi elementar i një force është një masë vektoriale e veprimit të një force, e barabartë me produktin e forcës dhe intervalin elementar kohor të veprimit të saj:

. (5.4)

Njësia matëse e impulsit të forcës në sistemin SI është
, d.m.th. dimensionet e momentit të forcës dhe momentit janë të njëjta.

Impuls i forcës për një periudhë të kufizuar kohore
është e barabartë me një integral të caktuar të momentit elementar:

. (5.5)

Impulsi i një force konstante është i barabartë me produktin e forcës dhe kohën e veprimit të saj:

. (5.6)

Në rastin e përgjithshëm, momenti i një force mund të përcaktohet nga projeksionet e saj në boshtet koordinative:

. (5.7)

5.4. Teorema mbi ndryshimin e momentit

pika materiale

Në ekuacionin kryesor të dinamikës (1.2), masa e një pike materiale është një vlerë konstante, nxitimi i saj
, e cila bën të mundur shkrimin e këtij ekuacioni në formën:

. (5.8)

Lidhja që rezulton na lejon të formulojmë teorema mbi ndryshimin e momentit të një pike materiale në formë diferenciale: Derivati kohor i momentit të një pike materiale është i barabartë me shumën gjeometrike (vektorin kryesor) të forcave që veprojnë në pikë.

Tani marrim formën integrale të kësaj teoreme. Nga relacioni (5.8) rezulton se

Le të integrojmë të dyja pjesët e barazisë brenda kufijve që korrespondojnë me momentet kohore Dhe ,

. (5.9)

Integralet në anën e djathtë janë impulse të forcave që veprojnë në pikë, kështu që pas integrimit të anës së majtë marrim

. (5.10)

Kështu, është vërtetuar teorema mbi ndryshimin e momentit të një pike materiale në formë integrale: Ndryshimi në momentin e një pike materiale gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me shumën gjeometrike të impulseve që veprojnë në pikën e forcave për të njëjtën periudhë kohore.

Ekuacioni vektorial (5.10) korrespondon me një sistem prej tre ekuacionesh në projeksione në boshtet koordinative:

;

; (5.11)

Shembulli 1 Trupi lëviz përpara përgjatë një rrafshi të pjerrët duke formuar një kënd α me horizontin. Në momentin fillestar, ajo kishte një shpejtësi , i drejtuar lart përgjatë rrafshit të pjerrët (Fig. 5.2).

Pas asaj kohe, shpejtësia e trupit do të bëhet e barabartë me zero nëse koeficienti i fërkimit është f ?

Le të marrim një trup në lëvizje progresive si një pikë materiale dhe të marrim parasysh forcat që veprojnë mbi të. Është graviteti
, reagimi normal i avionit dhe forcën e fërkimit . Le të drejtojmë boshtin x përgjatë rrafshit të pjerrët lart dhe shkruani ekuacionin e parë të sistemit (5.11)

ku janë projeksionet e sasive të lëvizjes dhe projeksionet e impulseve të forcave konstante
,Dhe janë të barabarta me produktet e projeksioneve të forcave dhe kohën e lëvizjes:

Meqenëse nxitimi i trupit drejtohet përgjatë planit të pjerrët, shuma e projeksioneve në bosht y e të gjitha forcave që veprojnë në trup është e barabartë me zero:
, prej nga rrjedh se
. Gjeni forcën e fërkimit

dhe nga ekuacioni (5.12) marrim

nga e cila përcaktojmë kohën e lëvizjes së trupit