Elementet e teorisë së përcaktorëve dhe matricave. Abstrakt: Teoria e matricave dhe përcaktuesve

Dërgoni punën tuaj të mirë në bazën e njohurive është e thjeshtë. Përdorni formularin e mëposhtëm

Studentët, studentët e diplomuar, shkencëtarët e rinj që përdorin bazën e njohurive në studimet dhe punën e tyre do t'ju jenë shumë mirënjohës.

Elementet e teorisë përcaktuese

Një përcaktues është një numër i shkruar në formën e një tabele katrore të numrave, të llogaritur sipas rregullave të caktuara.

Për shembull, secila nga tabelat (1.1) përbëhet nga një numër i barabartë rreshtash dhe kolonash dhe përfaqëson një numër, rregullat e llogaritjes për të cilin do të diskutohen më poshtë.

Numri i rreshtave dhe kolonave përcakton rendin e përcaktorit. Kështu, përcaktorja 1.1a) është e rendit të tretë, përcaktorja 1.1b) është e rendit të dytë, 1.1c) është e rendit të parë. Siç mund ta shihni, përcaktori i rendit të parë është vetë numri.

Kllapat e drejta vertikale në skajet e tabelës janë shenja dhe simboli i përcaktorit. A tregohet përcaktori me një shkronjë të madhe të alfabetit grek? (delta).

Në formën e përgjithshme, përcaktori i rendit të n-të shkruhet si më poshtë:

Çdo element A ij përcaktori ka dy indekse: indeksin e parë i tregon numrin e linjës, e dyta j- numri i kolonës në kryqëzimin e së cilës ndodhet elementi. Pra për përcaktorin 1.1a) elementet A 11 , A 22 , A 23 , A 32 janë përkatësisht të barabarta me 2, 5, 4, 3.

Përcaktori i rendit të dytë llogaritet duke përdorur formulën

Përcaktori i rendit të dytë është i barabartë me prodhimin e elementeve në diagonalen kryesore minus prodhimin e elementeve në diagonalen dytësore.

Për të llogaritur përcaktorin e rendit të tretë, përdoret "metoda e trekëndëshit" dhe metoda Sarrus. Por zakonisht në praktikë, për të llogaritur përcaktuesin e rendit të tretë, përdoret e ashtuquajtura metoda e reduktimit efektiv të rendit, e cila do të diskutohet më poshtë.

Metoda e trekëndëshit

Kur llogaritni përcaktuesin duke përdorur këtë metodë, është e përshtatshme të përdorni paraqitjen e saj grafike. Në Fig. 1.1 dhe 1.2, elementet e përcaktorit të rendit të tretë paraqiten skematikisht me pika.

Oriz. 1.1 Fig. 1.2

Gjatë llogaritjes së përcaktorit, prodhimi i elementeve të lidhur me vija të drejta ndjek diagramin në Fig. 1.1, merrni me një shenjë plus, dhe produktin e elementeve të lidhur sipas diagramit në Fig. 1.2, merrni me një shenjë minus. Si rezultat i këtyre veprimeve, formula e përdorur për llogaritjen merr formën:

Llogaritni përcaktorin e rendit të tretë.

Metoda Sarrus

Për ta zbatuar atë, duhet të caktoni dy kolonat e para në të djathtë të përcaktorit, të kompozoni produktet e elementeve të vendosura në diagonalen kryesore dhe në linjat paralele me të dhe t'i merrni ato me një shenjë plus. Pastaj kompozoni produktet e elementeve të vendosura në anën diagonale dhe paralele me të me një shenjë minus.

Skema e llogaritjes së përcaktorit duke përdorur metodën Sarrus.

Llogaritni përcaktorin e dhënë në shembullin 1.2 duke përdorur metodën Sarrus.

Komplement i vogël dhe algjebrik i elementit përcaktor

Të mitur M ij element A ij quhet përcaktor ( n-1) -rendi i përftuar nga përcaktorja n-rendi duke gërryer i-linja e th dhe j kolona e th (d.m.th. duke kryqëzuar rreshtin dhe kolonën në kryqëzimin e të cilave ndodhet elementi A ij).

Gjeni minorin e elementeve A 23 Dhe A 34 përcaktor i rendit të 4-të.

Elementi A 23 është në rreshtin e dytë dhe në kolonën e tretë. Në këtë shembull A 23 =4. Duke kryqëzuar rreshtin e 2-të dhe kolonën e 3-të në kryqëzimin e këtij elementi (treguar për qëllime metodologjike me vija me pika vertikale dhe horizontale), marrim minorin M 23 të këtij elementi. Ky do të jetë tashmë një përcaktues i rendit të tretë.

Gjatë llogaritjes së të miturve, operacioni i kryqëzimit të një rreshti dhe kolone kryhet mendërisht. Pasi e kemi bërë këtë, marrim

Komplement algjebrik A ij element A ij përcaktues n Rendi i th është minor i këtij elementi, i marrë me shenjën (-1) i + j, Ku i+ j- shuma e numrave të rreshtave dhe kolonave të cilave i përket elementi A ij. Ato. a-paror A ij=(-1) i + jM ij

Është e qartë se nëse shuma i+ j- atëherë numri është çift A ij=M ij, Nëse i+ j- numri është tek, atëherë A ij= - M ij.

Për përcaktorin gjeni plotësimet algjebrike të elementeve A 23 Dhe A 31 .

Për element A 23 i=2, j=3 dhe i+ j=5 është një numër tek, pra

Për element A 31 i=3, j=1 dhe i+ j=4 është numër çift, që do të thotë

Vetitë e përcaktorëve

1. Nëse çdo dy rreshta paralelë (dy rreshta ose dy kolona) ndërrohen në përcaktor, shenja e përcaktorit ndryshon në të kundërtën

Ndërroni 2 kolona paralele (1 dhe 2).

Ndërroni 2 vija paralele (1 dhe 3).

2. Faktori i përbashkët i elementeve të çdo rreshti (rreshti ose kolone) mund të nxirret nga shenja përcaktuese.

Vetitë e një përcaktori janë të barabarta me zero

3. Nëse të gjithë elementët e një serie të caktuar në një përcaktor janë të barabartë me zero, një përcaktor i tillë është i barabartë me zero.

4. Nëse në një përcaktor elementet e ndonjë serie janë në përpjesëtim me elementet e një serie paralele, përcaktorja është e barabartë me zero.

Vetitë e pandryshueshmërisë (pandryshueshmërisë) të përcaktorit.

5. Nëse rreshtat dhe kolonat në përcaktor ndërrohen, përcaktori nuk do të ndryshojë.

6. Përcaktorja nuk do të ndryshojë nëse elementeve të ndonjë serie paralele u shtohen elementeve të cilësdo serie, duke shumëzuar fillimisht me një numër të caktuar.

Vetia 6 përdoret gjerësisht në llogaritjen e përcaktuesve duke përdorur të ashtuquajturën metodë efektive të reduktimit të rendit. Kur aplikoni këtë metodë, është e nevojshme të sillni të gjithë elementët përveç njërit në zero në një rresht (një rresht ose kolonë). Një element jozero i përcaktorit do të jetë i barabartë me zero nëse i shtohet një numri me madhësi të barabartë, por me shenjë të kundërt.

Le të tregojmë me një shembull se si bëhet kjo.

Duke përdorur vetitë 2 dhe 6, zvogëlojeni përcaktorin në një përcaktor që ka dy zero në çdo rresht.

Duke përdorur vetinë 2, thjeshtojmë përcaktorin duke hequr 2 nga rreshti i parë, 4 nga rreshti i dytë dhe 2 nga rreshti i 3-të si faktorë të zakonshëm.

Sepse element A 22 është e barabartë me zero, atëherë për të zgjidhur problemin mjafton që çdo element në rreshtin e dytë ose në kolonën e dytë të zvogëlohet në zero. Ka disa mënyra për ta bërë këtë.

Për shembull, le të marrim elementin A 21 = 2 deri në zero. Për ta bërë këtë, bazuar në vetinë 6, shumëzoni të gjithë kolonën e tretë me (-2) dhe shtoni atë në të parën. Pasi kemi kryer këtë operacion, marrim

Është e mundur të anulohet një element A 12 =2, atëherë do të marrim dy elementë të barabartë me zero në kolonën e dytë. Për ta bërë këtë, duhet të shumëzoni rreshtin e tretë me (-2) dhe të shtoni vlerat që rezultojnë në rreshtin e parë.

Llogaritja e përcaktorit të çdo rendi

Rregulli për llogaritjen e përcaktorit të çdo rendi bazohet në teoremën e Laplasit.

Teorema e Laplasit

Përcaktori është i barabartë me shumën e produkteve në çift të elementeve të çdo rreshti (rreshti ose kolone) nga plotësimet e tyre algjebrike.

Sipas kësaj teoreme, përcaktori mund të llogaritet duke e zbërthyer atë ose mbi elementët e çdo rreshti ose çdo kolone.

Në përgjithësi, përcaktori i rendit të n-të mund të zgjerohet dhe llogaritet në mënyrat e mëposhtme:

Llogaritni përcaktorin duke përdorur teoremën e Laplasit duke e zbërthyer në elementet e rreshtit të tretë dhe në elementët e kolonës së parë.

Ne llogarisim përcaktorin duke e zgjeruar përgjatë vijës së 3-të

Le të llogarisim përcaktorin duke e zgjeruar mbi kolonën e parë

Metoda efektive e reduktimit të porosive

Kompleksiteti i llogaritjes së përcaktorit duke përdorur teoremën e Laplace do të jetë dukshëm më i vogël nëse ka vetëm një term në zgjerimin e tij qoftë në një rresht ose në një kolonë. Një zgjerim i tillë do të merret nëse në rreshtin (ose kolonën) përgjatë së cilës zgjerohet përcaktori, të gjithë elementët përveç njërit janë të barabartë me zero. Metoda e "zeroizimit" të elementeve të përcaktorit u diskutua më herët.

Llogaritni përcaktorin duke përdorur metodën efektive të reduktimit të rendit.

Sepse përcaktor i rendit të tretë, atëherë “zero” çdo 2 element të përcaktorit. Është i përshtatshëm për këtë qëllim për të marrë kolonën e 2-të, elementi i së cilës A 22 = - 1. Me qëllim për elementin A 21 ishte e barabartë me zero, kolona e parë duhet t'i shtohet kolonës së dytë. Në mënyrë që elementi A 23 ishte e barabartë me zero, ju duhet të shumëzoni kolonën e dytë me 2 dhe ta shtoni atë në të 3-tën. Pas kryerjes së këtyre veprimeve, përcaktori i dhënë shndërrohet në përcaktor

Tani e zgjerojmë këtë përcaktor përgjatë vijës së 2-të

Llogaritja e përcaktoritduke e prerë në formë trekëndore

Një përcaktor për të cilin të gjithë elementët mbi ose nën diagonalen kryesore janë të barabartë me zero quhet përcaktor trekëndor. Në këtë rast, përcaktori është i barabartë me produktin e elementeve të tij të diagonales kryesore.

Reduktimi i përcaktorit në formë trekëndore është gjithmonë i mundur bazuar në vetitë e tij.

Jepet një përcaktues. Reduktojeni në formë trekëndore dhe llogarisni.

Le të "zero jashtë", për shembull, të gjithë elementët e vendosur mbi diagonalen kryesore. Për ta bërë këtë, ju duhet të kryeni tre operacione: Operacioni i parë - shtoni rreshtin e parë me të fundit, ne marrim A 13 = 0. Operacioni i dytë - duke shumëzuar rreshtin e fundit me (-2) dhe duke mbledhur me të dytin, marrim A 23 = 0. Ekzekutimi sekuencial i këtyre operacioneve është paraqitur më poshtë.

Për të rivendosur një element A 12 shtoni rreshtat 1 dhe 2

Elementet e teorisë së matricës

Një matricë është një tabelë me numra ose çdo element tjetër që përmban m linjat dhe n kolonat.

Pamje e përgjithshme e matricës

Matrica, si përcaktori, ka elementë të pajisur me një indeks të dyfishtë. Kuptimi i indekseve është i njëjtë me atë të përcaktorëve.

Nëse përcaktori është i barabartë me një numër, atëherë matrica nuk barazohet me ndonjë objekt tjetër më të thjeshtë.

Kllapat në anët e matricës janë shenja ose simboli i saj (por jo kllapat e drejta që tregojnë përcaktorin). Për shkurtësi, matrica shënohet me shkronja të mëdha A, B, C etj.

Një matricë ka një madhësi që përcaktohet nga numri i rreshtave dhe kolonave të saj, e cila shkruhet si - A m n.

Për shembull, një matricë numerike e madhësisë 23 ka formën, madhësia 31 ka formën, madhësia 14 ka formën, etj.

Një matricë në të cilën numri i rreshtave është i barabartë me numrin e kolonave quhet katror. Në këtë rast, sa i përket përcaktorëve, flasim për rendin e matricës.

Për shembull, një matricë numerike e rendit të tretë ka formën

Llojet e matricave

Një matricë e përbërë nga një rresht quhet matricë rreshti

Një matricë e përbërë nga një kolonë quhet matricë kolone

Matrica quhet katror n- renditja e saj nëse numri i rreshtave të tij është i barabartë me numrin e kolonave dhe është i barabartë me n.

Për shembull, një matricë katrore e rendit të tretë.

Një matricë diagonale është një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët janë zero, përveç atyre në diagonalen kryesore. Diagonalja kryesore është diagonalja që shkon nga këndi i sipërm i majtë në këndin e poshtëm të djathtë.

Për shembull, një matricë diagonale e rendit të tretë.

Një matricë diagonale, të gjithë elementët e së cilës janë të barabartë me një, quhet identitet dhe shënohet me shkronjën. E ose numri 1

Një matricë null është një matricë në të cilën të gjithë elementët janë të barabartë me zero.

Një matricë e sipërme trekëndore është një matricë në të cilën të gjithë elementët e vendosur nën diagonalen kryesore janë të barabartë me zero.

Një matricë trekëndore më e ulët është një matricë në të cilën të gjithë elementët e vendosur mbi diagonalen kryesore janë të barabartë me zero.

Për shembull

Matrica e sipërme trekëndore

Matrica trekëndore e poshtme

Nëse në matricë A ndërrojmë rreshtat me kolona, marrim një matricë të transpozuar, e cila shënohet me simbolin A*.

Për shembull, duke pasur parasysh një matricë,

matrica e transpozuar në lidhje me të A*

Matrica katrore A ka një përcaktor, i cili shënohet me det A(det është një fjalë e shkurtuar franceze për "përcaktues").

Për shembull, për matricën A

shkruajmë përcaktorin e saj

Të gjitha veprimet me përcaktuesin e një matrice janë të njëjta me ato të diskutuara më parë.

Një matricë përcaktorja e së cilës është e barabartë me zero quhet e veçantë, ose e degjeneruar ose njëjës. Një matricë për të cilën përcaktorja e saj nuk është e barabartë me zero quhet jo njëjës ose jo njëjës.

Bashkim ose matricë e aneksuar.

Nëse për një matricë të caktuar katrore A të përcaktojë plotësimet algjebrike të të gjithë elementëve të tij dhe më pas t'i transpozojë ato, atëherë matrica e fituar në këtë mënyrë do të quhet aleate ose e bashkuar me matricën A dhe tregohet me simbolin A

Për gjetjen e matricës A.

Përpilimi i përcaktorit të matricës A

Përcaktojmë plotësimet algjebrike të të gjithë elementëve të përcaktorit duke përdorur formulën

Duke transpozuar shtesat algjebrike që rezultojnë, marrim matricën aleate ose të bashkuar A në lidhje me një matricë të caktuar A.

Veprimet në matrica

Barazia e matricës

Dy matrica A Dhe NË konsiderohen të barabartë nëse:

a) të dy kanë të njëjtën madhësi;

b) elementet përkatëse të këtyre matricave janë të barabartë me njëri-tjetrin. Elementet përkatëse janë elemente me të njëjtat indekse.

Mbledhja dhe zbritja e matricave

Mund të shtoni dhe zbritni vetëm matrica të të njëjtit dimension. Shuma (diferenca) e dy matricave A Dhe NË do të ketë një matricë të tretë ME, elementet e të cilit ME ij e barabartë me shumën (diferencën) e elementeve përkatëse të matricës A Dhe NË. Sipas përkufizimit, elementet e matricës ME janë sipas rregullit.

Për shembull, nëse

Koncepti i një shume (diferencë) të matricave shtrihet në çdo numër të kufizuar matricash. Në këtë rast, shuma e matricave u bindet ligjeve të mëposhtme:

a) komutative A + B = B + A;

b) asociative ME + (A + B) = (B + C)+ A.

Shumëzimi i një matrice me një numër.

Për të shumëzuar një matricë me një numër, duhet të shumëzoni çdo element të matricës me atë numër.

Pasoja. Faktori i përbashkët i të gjithë elementëve të matricës mund të hiqet nga shenja e matricës.

Për shembull, .

Siç mund ta shihni, veprimet e mbledhjes, zbritjes së matricave dhe shumëzimit të një matrice me një numër janë të ngjashme me veprimet në numra. Shumëzimi i matricës është një operacion specifik.

Produkti i dy matricave.

Jo të gjitha matricat mund të shumëzohen. Produkti i dy matricave A Dhe NË sipas renditjes së renditur A NË e mundur vetëm kur numri i kolonave të faktorit të parë A e barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë NË.

Për shembull, .

Madhësia e matricës A 33, madhësia e matricës NË 23. Puna A NË e pamundur, punë NË A Ndoshta.

Prodhimi i dy matricave A dhe B është matrica e tretë C, elementi C ij i së cilës është i barabartë me shumën e produkteve në çift të elementeve të rreshtit i-të të faktorit të parë dhe kolonës j-të të faktorit të parë. faktor.

U tregua se në këtë rast prodhimi i matricave është i mundur NË A

Nga rregulli i ekzistencës së prodhimit të dy matricave del se prodhimi i dy matricave në rastin e përgjithshëm nuk i bindet ligjit komutativ, d.m.th. A NË? NË A. Nëse në një rast të caktuar rezulton se A B = B A, atëherë matricat e tilla quhen të permutueshme ose komutative.

Në algjebrën e matricës, produkti i dy matricave mund të jetë një matricë zero edhe kur asnjë nga matricat e faktorëve nuk është zero, në kundërshtim me algjebrën e zakonshme.

Për shembull, le të gjejmë produktin e matricave A NË, Nëse

Ju mund të shumëzoni matrica të shumta. Nëse mund të shumëzoni matricat A, NË dhe prodhimi i këtyre matricave mund të shumëzohet me matricën ME, atëherë është e mundur të kompozoni produktin ( A NË) ME Dhe A(NË ME). Në këtë rast, ligji i kombinimit në lidhje me shumëzimin zbatohet ( A NË) ME = A(NË ME).

matricë e anasjelltë

Nëse dy matrica A Dhe NË të njëjtën madhësi dhe produktin e tyre A NËështë matrica e identitetit E, atëherë matrica B quhet inversi i A dhe shënohet A -1 , d.m.th. A A -1 = E.

matricë e anasjelltë A -1 e barabartë me raportin e matricës së bashkimit A te përcaktorja e matricës A

Nga kjo është e qartë se në mënyrë që të ekzistojë matrica e kundërt A -1 është e nevojshme dhe e mjaftueshme që matrica det A? 0, d.m.th., në mënyrë që matrica A ishte jo i degjeneruar.

Për gjetjen e matricës A -1 .

Përcaktimi i vlerës së përcaktorit të matricës A

Sepse det A? 0, ekziston matrica e kundërt. Në shembullin 2.1. për një përcaktor të caktuar u gjet matrica aleate

A-parësore

Rangu i matricës

Për zgjidhjen dhe studimin e një numri problemesh matematikore dhe të aplikuara, koncepti i renditjes së matricës është i rëndësishëm.

Merrni parasysh matricën A madhësia m n

Zgjidhni rastësisht në matricë Ak linjat dhe k kolonat. Elementet e vendosura në kryqëzimin e rreshtave dhe kolonave të zgjedhura formojnë një matricë katrore k- të atij rendi. Përcaktori i kësaj matrice quhet minor k-rendi i matricës A. Zgjidh k linjat dhe k kolonat mund të përdoren në mënyra të ndryshme, duke rezultuar në minore të ndryshme k- të atij rendi. Të miturit e rendit të parë janë vetë elementët. Natyrisht, rendi më i madh i mundshëm i të miturve është i barabartë me numrin më të vogël m Dhe n. Ndër të miturit e formuar të rendit të ndryshëm do të ketë nga ata që janë të barabartë me zero dhe jo të barabartë me zero.

Rendi më i lartë i minorave të matricës jozero A quhet rangu i matricës.

Rangu i matricës A shënohet me gradë A ose r( A).

Nëse renditja e matricës A barazohet r, atëherë kjo do të thotë se matrica ka një rendi minor jo zero r, por çdo i vogël është i rendit më të madh se r e barabartë me zero.

Nga përkufizimi i renditjes së matricës rrjedh se:

a) renditja e matricës A m n nuk e kalon madhësinë më të vogël të saj, d.m.th. r(A) ? min(m, n);

b) r(A) = 0 nëse dhe vetëm nëse të gjithë elementët e matricës janë të barabartë me zero, d.m.th. A = 0;

c) për një matricë katrore n- urdhri r(A) = n, nëse matrica është jo njëjës.

Le të shohim një shembull të përcaktimit të renditjes së një matrice duke përdorur metodën e kufirit të të miturve. Thelbi i tij qëndron në numërimin sekuencial të minoreve të matricës dhe gjetjen e minorit të rendit më të lartë jo zero.

Llogaritni gradën e matricës.

Për matricën A 3 4 r(A) ? min (3,4) = 3. Le të kontrollojmë nëse rangu i matricës është i barabartë me 3 për ta bërë këtë, ne llogarisim të gjitha minoret e rendit të tretë (janë vetëm 4 prej tyre, ato fitohen duke fshirë një; të kolonave të matricës).

Meqenëse të gjitha të miturit e rendit të tretë janë zero, r(A) ? 2. Meqenëse ekziston një minor zero i rendit të dytë, p.sh

Se r(A) = 2.

Çdo minor jo zero i një matrice rendi i të cilit është i barabartë me gradën e saj quhet minor bazë i kësaj matrice.

Një matricë mund të ketë më shumë se një bazë të vogël, por disa. Megjithatë, urdhrat e të gjithë të miturve bazë janë të njëjta dhe të barabarta me gradën e matricës.

Rreshtat dhe kolonat që formojnë një bazë të vogël quhen bazë.

Çdo rresht (kolona) i një matrice është një kombinim linear i rreshtave bazë (kolonave).

Dokumente të ngjashme

Koncepti dhe thelbi i përcaktorëve të rendit të dytë. Shqyrtimi i bazave të një sistemi me dy ekuacione lineare në dy të panjohura. Studimi i përcaktorëve të rendit të n-të dhe metodat e llogaritjes së tyre. Veçoritë e një sistemi n ekuacionesh lineare me n të panjohura.

prezantim, shtuar 14.11.2014

Përcaktuesit e rendit të dytë dhe të tretë. Permutacionet dhe zëvendësimet. Minoret dhe plotësuesit algjebrikë. Zbatimi i metodave për reduktimin e përcaktorit në formë trekëndore, duke e paraqitur përcaktorin si një shumë e përcaktorëve dhe izolimin e faktorëve linearë.

puna e kursit, shtuar 19.07.2013

Koncepti i një matrice dhe veprimet lineare mbi to. Vetitë e veprimit të mbledhjes së matricës. Përcaktuesit e rendit të dytë dhe të tretë. Zbatimi i rregullit të Sarrus. Metodat bazë për zgjidhjen e përcaktorëve. Transformimet elementare të matricës. Vetitë e një matrice të anasjelltë.

tutorial, shtuar 03/04/2010

Problemet dhe metodat e algjebrës lineare. Vetitë e përcaktorëve dhe radha e llogaritjes së tyre. Gjetja e matricës së kundërt duke përdorur metodën Gaussian. Zhvillimi i një algoritmi llogaritës në programin Pascal ABC për llogaritjen e përcaktorëve dhe gjetjen e matricës së kundërt.

puna e kursit, shtuar 02/01/2013

Koncepti dhe qëllimi i përcaktuesve, karakteristikat e tyre të përgjithshme, metodat dhe vetitë e llogaritjes. Algjebër matricore. Sistemet e ekuacioneve lineare dhe zgjidhja e tyre. Algjebra vektoriale, ligjet dhe parimet e saj. Vetitë dhe aplikimet e një produkti kryq.

test, shtuar 01/04/2012

Elementet e algjebrës lineare. Llojet e matricave dhe veprimet mbi to. Vetitë e përcaktorëve të matricës dhe llogaritja e tyre. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare në formë matrice duke përdorur formulat e Cramer-it dhe metodën e Gausit. Elementet e njehsimit diferencial dhe integral.

tutorial, shtuar më 11/06/2011

Një numër që karakterizon një matricë katrore. Llogaritja e përcaktorit të rendit të parë dhe të dytë të një matrice. Duke përdorur rregullin e trekëndëshit. Komplement algjebrik i disa elementeve të përcaktorit. Riorganizimi i dy rreshtave ose kolonave të një përcaktori.

prezantim, shtuar 21/09/2013

Koncepti i renditjes së matricës. Modeli Leontief i një ekonomie të larmishme. Vetitë e produktit skalar. Zbërthimi i një vektori përgjatë boshteve koordinative. Komplement minor dhe algjebrik. Përcaktorët e rendit të dytë dhe të tretë. Rrafsh dhe vijë e drejtë në hapësirë.

kurs leksionesh, shtuar 30.10.2013

Teoria e përcaktorëve në veprat e P. Laplace, O. Cauchy dhe C. Jacobi. Përcaktuesit e rendit të dytë dhe sistemet e dy ekuacioneve lineare në dy të panjohura. Përcaktorët e rendit të tretë dhe vetitë e përcaktorëve. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh duke përdorur rregullën e Cramer-it.

prezantim, shtuar më 31.10.2016

Përcaktorët e rendit të dytë dhe të tretë, vetitë e përcaktorëve. Dy mënyra për të llogaritur përcaktorin e rendit të tretë. Teorema e zbërthimit. Teorema e Cramer-it, e cila ofron një mënyrë praktike për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare duke përdorur përcaktorë.

Përcaktuesit e rendit të dytë dhe të tretë.

Quhen numrat m dhe n dimensionet matricat.

Matrica quhet katrore, nëse m = n. Numri n në këtë rast quhet në rregull matricë katrore.

Çdo matricë katrore mund të shoqërohet me një numër që përcaktohet në mënyrë unike duke përdorur të gjithë elementët e matricës. Ky numër quhet përcaktor.

Përcaktues i rendit të dytëështë një numër i marrë duke përdorur elementet e një matrice katrore të rendit të dytë si më poshtë: .

Në këtë rast, nga produkti i elementeve të vendosur në të ashtuquajturën diagonale kryesore të matricës (duke shkuar nga e majta e sipërme në këndin e poshtëm të djathtë), zbritet produkti i elementeve të vendosur në diagonalen e dytë ose dytësore. .

Përcaktori i rendit të tretëështë një numër i përcaktuar duke përdorur elementët e një matrice katrore të rendit të tretë si më poshtë:

Koment. Për ta bërë më të lehtë të mbani mend këtë formulë, mund të përdorni të ashtuquajturin rregull Cramer (të trekëndëshave). Është si më poshtë: elementët produktet e të cilëve përfshihen në përcaktorin me shenjën "+" janë renditur si më poshtë:

Formimi i dy trekëndëshave, simetrik në lidhje me diagonalen kryesore. Elementet produktet e të cilëve përfshihen në përcaktuesin me shenjën "-" janë të vendosura në mënyrë të ngjashme në lidhje me diagonalen dytësore:

14. Përcaktorët e rendit të th. (përcaktuesit e rendit më të lartë)

Përcaktor n rendi i th që korrespondon me matricën jo, numri quhet:

Metodat themelore për llogaritjen e përcaktuesve:

1) Metoda e Reduktimit të Rendit Përcaktori bazohet në marrëdhënien: (1)

Ku quhet komplement algjebrik i elementit th. Të mitur elementi i th quhet përcaktor n-1 rendi, i marrë nga përcaktorja origjinale duke fshirë i-atë linjë dhe j kolona e th.

Lidhja (1) quhet zgjerimi i përcaktorit në i- atë linjë. Në mënyrë të ngjashme, ne mund të shkruajmë zgjerimin e përcaktorit përgjatë një kolone:

Teorema: Për çdo matricë katrore barazia vlen ,

ku dhe është simboli Kronecker

2) Mënyra e reduktimit në formë trekëndore bazuar në vetinë e shtatë të përcaktorëve.

Shembull: Llogaritni përcaktorin: Zbrisni rreshtin e parë nga të gjithë të tjerët.

3) Metoda e lidhjes së përsëritjes lejon që dikush të shprehë një përcaktor të dhënë përmes një përcaktori të të njëjtit lloj, por të një radhe më të ulët.

Permutacione, inversione.

Çdo renditje e numrave 1, 2, ..., n në një rend specifik, të quajtur rirregullim nga n karaktere (numra).

Pamje e përgjithshme e ndërrimit: .

Asnjë prej tyre nuk ndodh dy herë në një ndryshim.

Permutacioni quhet madje , nëse elementet e tij përbëjnë një numër çift inversionesh, dhe i çuditshëm ndryshe.

Numrat k dhe p në ndërrim janë përmbysje (çrregullim), nëse k > p, por k vjen para p në këtë ndërrim.

Tre veti të permutacioneve.

Prona 1: Numri i permutacioneve të ndryshme është i barabartë me ( , lexon: " n faktorial").

Dëshmi. Numri i permutacioneve përkon me numrin e mënyrave në të cilat mund të kompozohen permutacione të ndryshme. Gjatë kompozimit të permutacioneve si j 1 mund të merrni cilindo nga numrat 1, 2, ..., n, çfarë jep n mundësitë. Nëse j 1 është zgjedhur tashmë, pastaj si j 2 ju mund të merrni një nga ato të mbetura n– 1 numra dhe numri i mënyrave që mund të zgjidhni j 1 dhe j 2 do të jetë e barabartë, etj. Numri i fundit në ndërrim mund të zgjidhet vetëm në një mënyrë, e cila jep mënyrat, dhe për këtë arsye ndërrimet.

Prona 2:Çdo transpozim ndryshon barazinë e ndërrimit.

Dëshmi.Rasti 1. Numrat që transpozohen vendosen krah për krah në një permutacion, d.m.th. ajo duket si (..., k,fq, ...), këtu elipsi (...) shënon numrat që mbeten në vendet e tyre gjatë transpozimit. Transpozimi e kthen atë në një ndërrim të formës (..., fq, k,...). Në këto ndërrime, secili nga numrat k,R bën të njëjtat përmbysje me numrat që mbeten në vend. Nëse numrat k Dhe fq nuk kanë përpiluar më parë përmbysje (d.m.th. k < R), atëherë një përmbysje tjetër do të shfaqet në ndërrimin e ri dhe numri i përmbysjeve do të rritet me një; nëse k Dhe R përbënte një inversion, atëherë pas transpozimit numri i përmbysjeve do të ulet me një. Në çdo rast, barazia e ndërrimit ndryshon.

Prona 3: Kur riorganizohet, përcaktori ndryshon shenjën.

17. Vetitë e përcaktorëve: përcaktor i një matrice të transpozuar, ndërrimi i rreshtave në përcaktor, përcaktor i një matrice me rreshta identikë.

Prona 1. Përcaktori nuk ndryshon gjatë transpozimit, d.m.th.

Dëshmi.

Koment. Vetitë e mëposhtme të përcaktorëve do të formulohen vetëm për vargjet. Për më tepër, nga vetia 1 rezulton se kolonat do të kenë të njëjtat veti.

Prona 6. Kur riorganizoni dy rreshta të një përcaktori, ai shumëzohet me –1.

Dëshmi.

Prona 4. Përcaktori që ka dy vargje të barabarta është 0:

Dëshmi:

18. Vetitë e përcaktorëve: zbërthimi i një përcaktori në varg.

Të mitur elementi i një përcaktori është një përcaktues i marrë nga një element i caktuar duke kryqëzuar rreshtin dhe kolonën në të cilën shfaqet elementi i zgjedhur.

Përcaktimi: elementi i zgjedhur i përcaktorit, minorja e tij.

Shembull. Për

Komplement algjebrik elementi i përcaktorit quhet minor i tij nëse shuma e indekseve të këtij elementi i+j është numër çift, ose numri i kundërt i minorit nëse i+j është tek, d.m.th.

Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të llogaritur përcaktuesit e rendit të tretë - të ashtuquajturin zgjerim të rreshtit ose kolonës. Për ta bërë këtë, ne vërtetojmë teoremën e mëposhtme:

Teorema: Përcaktori është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve të cilësdo prej rreshtave ose kolonave të tij dhe plotësimeve algjebrike të tyre, d.m.th. ku i=1,2,3.

Dëshmi.

Le të vërtetojmë teoremën për rreshtin e parë të përcaktorit, pasi për çdo rresht ose kolonë tjetër mund të bëjmë arsyetim të ngjashëm dhe të marrim të njëjtin rezultat.

Le të gjejmë plotësimet algjebrike të elementeve të rreshtit të parë:

Këtë veti mund ta vërtetoni vetë duke krahasuar vlerat e anës së majtë dhe të djathtë të barazisë së gjetur duke përdorur Përkufizimin 1.5.

Shkolla e mesme nr.45.

Qyteti i Moskës.

Nxënës i klasës së 10-të "B" Gorokhov Evgeniy

Puna e kursit (draft).

Hyrje në teorinë e matricave dhe përcaktuesve .

1996

1. Matricat.

1.1 Koncepti i një matrice.

Matricë është një tabelë numrash drejtkëndëshe që përmban një sasi të caktuar m linja dhe një numër i caktuar n kolonat. Numrat m Dhe n quhen urdhërat matricat. Nëse m = n , matrica quhet katror, dhe numri m = n - ajo në rregull .

1.2 Veprimet bazë në matrica.

Veprimet themelore aritmetike mbi matricat janë shumëzimi i një matrice me një numër, shtimi dhe shumëzimi i matricave.

Le të kalojmë në përcaktimin e operacioneve bazë në matrica.

Shtimi i matricës : Shuma e dy matricave, për shembull: A Dhe B , duke pasur të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash, me fjalë të tjera, të njëjtat renditje m Dhe n e quajtur matrica C = ( ME ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) të njëjtat urdhra m Dhe n , elementet Cij të cilat janë të barabarta.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) ( 1.2 )

Për të treguar shumën e dy matricave, përdoret shënimi C = A + B. Veprimi i përmbledhjes së matricave quhet i tyre shtesë

Pra sipas definicionit kemi:

+ =

Nga përkufizimi i shumës së matricave, ose më saktë nga formula ( 1.2 ) menjëherë rrjedh se operacioni i mbledhjes së matricave ka të njëjtat veti si operacioni i mbledhjes së numrave realë, përkatësisht:

veti komutative: A + B = B + A

duke kombinuar pronën: (A + B) + C = A + (B + C)

Këto veti bëjnë të mundur që të mos shqetësoheni për renditjen e termave të matricës kur shtoni dy ose më shumë matrica.

Shumëzimi i një matrice me një numër :

Produkt matricë në një numër real quhet matricë C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , elementet e të cilit janë të barabartë

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Për të treguar prodhimin e një matrice dhe një numri, përdoret shënimi C= A ose C=A . Operacioni i kompozimit të prodhimit të një matrice me një numër quhet shumëzim i matricës me këtë numër.

Direkt nga formula ( 1.3 ) është e qartë se shumëzimi i një matrice me një numër ka këto veti:

Vetia shpërndarëse në lidhje me shumën e matricave:

( A + B) = A+ B

Vetia shoqëruese në lidhje me një faktor numerik:

( ) A= ( A)

Vetia shpërndarëse në lidhje me shumën e numrave:

( + ) A= A + A .

Koment : Dallimi i dy matricave A Dhe B të renditjes identike është e natyrshme të quhet një matricë e tillë C të rendit të njëjtë, të cilat në shumë me matricën B jep matricën A . Për të treguar ndryshimin midis dy matricave, përdoret një shënim natyror: C = A - B.

Shumëzimi i matricës :

Produkt matricë A = (Aij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) , duke pasur urdhra përkatësisht të barabartë m Dhe n , për matricë B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, ..., p) , duke pasur urdhra përkatësisht të barabartë n Dhe fq , quhet matricë C= (ME ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , duke pasur urdhra përkatësisht të barabartë m Dhe fq , dhe elementet Cij , të përcaktuara nga formula

Cij = (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., p) ( 1.4 )

Për të treguar produktin e një matrice A te matrica B përdorni regjistrimin

C=AB . Operacioni i kompozimit të një produkti matricë A te matrica B thirrur shumëzimi këto matrica. Nga përkufizimi i formuluar më sipër rezulton se matricë A nuk mund të shumëzohet me asnjë matricë B : është e nevojshme që numri i kolonave të matricës A ishte barazohet numri i rreshtave të matricës B . Me qëllim për të dyja veprat AB Dhe B.A. jo vetëm ishin të përcaktuara, por edhe kishin të njëjtin rend, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të dyja matricat A Dhe B ishin matrica katrore të të njëjtit rend.

Formula ( 1.4 ) paraqet rregullin për kompozimin e elementeve të matricës C ,

e cila është prodhim i matricës A te matrica B . Ky rregull mund të formulohet verbalisht: Elementi Cij , duke qëndruar në kryqëzim i rreshti i th dhe j- kolona e matricës C=AB , është e barabartë shuma e produkteve në çift të elementeve përkatëse i rreshti i th matricat A Dhe j- kolona e matricës B . Si shembull i zbatimit të këtij rregulli, ne paraqesim formulën e shumëzimit të matricave katrore të rendit të dytë

Nga formula ( 1.4 ) vijojnë vetitë e mëposhtme të produktit të matricës: A te matrica B :

veti asociative: ( AB) C = A(BC);

Vetia shpërndarëse në lidhje me shumën e matricave:

(A + B) C = AC + BC ose A (B + C) = AB + AC.

Ka kuptim të ngrihet pyetja e vetive të ndërrimit të një produkti të matricave vetëm për matricat katrore të të njëjtit rend. Shembujt elementar tregojnë se prodhimet e dy matricave katrore të të njëjtit rend, në përgjithësi, nuk kanë vetinë e komutimit. Në fakt, nëse vendosim

A= , B = , Se AB = , A BA =

Zakonisht thirren të njëjtat matrica për të cilat produkti ka vetinë e komutimit udhëtimi në punë.

Ndër matricat katrore, ne veçojmë klasën e të ashtuquajturave diagonale matricat, secila prej të cilave ka elementë të vendosur jashtë diagonales kryesore të barabartë me zero. Ndër të gjitha matricat diagonale me elementë që përputhen në diagonalen kryesore, dy matrica luajnë një rol veçanërisht të rëndësishëm. E para nga këto matrica fitohet kur të gjithë elementët e diagonales kryesore janë të barabarta me një dhe quhet matrica e identitetit. n- E . Matrica e dytë fitohet me të gjithë elementët të barabartë me zero dhe quhet matrica zero n- rendit dhe shënohet me simbolin O . Le të supozojmë se ekziston një matricë arbitrare A , Pastaj

AE=EA=A , AO=OA=O .

E para nga formulat karakterizon rolin e veçantë të matricës së identitetit E , i ngjashëm me rolin që luan numri 1 gjatë shumëzimit të numrave realë. Sa i përket rolit të veçantë të matricës zero RRETH , atëherë zbulohet jo vetëm nga e dyta e formulave, por edhe nga një barazi elementare e verifikueshme: A+O=O+A=A . Koncepti i një matrice zero mund të prezantohet jo për matricat katrore.

2. Përcaktuesit.

2.1 Koncepti i një përcaktori.

Para së gjithash, duhet të mbani mend se përcaktuesit ekzistojnë vetëm për matricat e tipit katror, sepse nuk ka përcaktues për matricat e llojeve të tjera. Në teorinë e sistemeve të ekuacioneve lineare dhe në disa çështje të tjera, është e përshtatshme të përdoret koncepti përcaktues , ose përcaktues .

2.2 Llogaritja e përcaktorëve.

Konsideroni çdo katër numra të shkruar në formën e një matrice dy në rreshta dhe secili dy kolona , Përcaktues ose përcaktues , i përbërë nga numrat në këtë tabelë, është numri ad-p.e.s , shënohet si më poshtë: . Një përcaktor i tillë quhet përcaktor i rendit të dytë , pasi për përpilimin e saj është marrë një tabelë me dy rreshta dhe dy kolona. Numrat që përbëjnë përcaktorin quhen të saj elementet ; në të njëjtën kohë thonë se elementet a Dhe d make up diagonale kryesore përcaktuesi dhe elementet b Dhe c e tij diagonale anësore . Mund të shihet se përcaktori është i barabartë me diferencën e produkteve të çifteve të elementeve të vendosura në diagonalet e tij kryesore dhe dytësore. Përcaktori i rendit të tretë dhe çdo tjetër është afërsisht i njëjtë, domethënë: Le të themi se kemi një matricë katrore . Përcaktori i matricës së mëposhtme është shprehja e mëposhtme: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Siç mund ta shihni, llogaritet mjaft lehtë nëse mbani mend një sekuencë të caktuar. Me shenjë pozitive janë diagonalja kryesore dhe trekëndëshat e formuar nga elementët, të cilët kanë një anë paralele me diagonalen kryesore, në këtë rast këto janë trekëndësha. a12a23a31 , a13a21a32 .

Diagonalja anësore dhe trekëndëshat paralel me të kanë shenjë negative, d.m.th. a11a23a32, a12a21a33 . Në këtë mënyrë mund të gjenden përcaktorë të çdo rendi. Por ka raste kur kjo metodë bëhet mjaft e ndërlikuar, për shembull, kur ka shumë elementë në matricë, dhe për të llogaritur përcaktuesin duhet të shpenzoni shumë kohë dhe vëmendje.

Ekziston një mënyrë më e lehtë për të llogaritur përcaktorin n- o urdhër, ku n 2 . Le të biem dakord që çdo element të quhet minor Aij matricat n- përcaktor i rendit të parë që korrespondon me matricën që merret nga matrica si rezultat i fshirjes i rreshti i th dhe j- kolona e-të (ajo rresht dhe ajo kolonë në kryqëzimin e së cilës ka një element Aij ). Element i vogël Aij do të shënojmë me simbolin . Në këtë shënim, indeksi i sipërm tregon numrin e rreshtit, indeksi i poshtëm numrin e kolonës dhe shiritin sipër M do të thotë që rreshti dhe kolona e specifikuar janë të kryqëzuara. Përcaktues i rendit n , që korrespondon me matricën, ne e quajmë numrin të barabartë me dhe shënohet me simbolin .

Teorema 1.1 Cilido qoftë numri i linjës i ( i =1, 2…, n) , për përcaktorin n- formula e rendit të parë të madhësisë është e vlefshme

= det A =

thirrur i- rreshti i th . Theksojmë se në këtë formulë eksponenti në të cilin është ngritur numri (-1) është i barabartë me shumën e numrave të rreshtave dhe kolonave në kryqëzimin e të cilave ndodhet elementi. Aij .

Teorema 1.2 Cilido qoftë numri i kolonës j ( j = 1, 2…, n) , për përcaktorin n formula e rendit të th është e vlefshme

= det A =

thirrur zgjerimi i këtij përcaktori në j- kolona e th .

2.3 Vetitë themelore të përcaktorëve.

Përcaktuesit gjithashtu kanë veti që e bëjnë më të lehtë detyrën e llogaritjes së tyre. Pra, më poshtë vendosim një sërë vetive që ka një përcaktues arbitrar n - urdhri.

1 . Vetia e barazisë rresht-kolona . Transpozimi i çdo matrice ose përcaktori është një operacion si rezultat i të cilit rreshtat dhe kolonat ndërrohen duke ruajtur renditjen e tyre. Si rezultat i transpozimit të matricës A matrica që rezulton quhet matricë, e quajtur e transpozuar në lidhje me matricën A dhe tregohet me simbolin A .

Vetia e parë e përcaktorit formulohet si më poshtë: gjatë transpozimit ruhet vlera e përcaktorit, d.m.th. = .

2 . Vetia e antisimetrisë kur riorganizoni dy rreshta (ose dy kolona) . Kur dy rreshta (ose dy kolona) ndërrohen, përcaktorja ruan vlerën e saj absolute, por ndryshon shenjën në të kundërtën. Për një përcaktor të rendit të dytë, kjo veti mund të verifikohet në mënyrë elementare (nga formula e llogaritjes së përcaktorit të rendit të dytë rrjedh menjëherë se përcaktorët ndryshojnë vetëm në shenjë).

3 . Vetia lineare e përcaktorit. Ne do të themi se një varg ( a) është një kombinim linear i dy vargjeve të tjera ( b Dhe c ) me koeficientë Dhe . Vetia lineare mund të formulohet si më poshtë: nëse në përcaktor n - urdhri disa i Rreshti --të është një kombinim linear i dy rreshtave me koeficientë Dhe , Kjo = + , Ku

– përcaktor që ka i Rreshti i -të është i barabartë me një nga dy rreshtat e kombinimit linear, dhe të gjitha rreshtat e tjerë janë të njëjtë si , A - një përcaktor që ka i- vargu i është i barabartë me të dytin nga dy vargjet, dhe të gjitha vargjet e tjera janë të njëjta si .

Këto tre veti janë vetitë kryesore të përcaktorit, duke zbuluar natyrën e tij. Pesë pronat e mëposhtme janë pasojat logjike tre prona kryesore.

Përfundimi 1. Një përcaktues me dy rreshta (ose kolona) identike është i barabartë me zero.

Përfundimi 2. Shumëzimi i të gjithë elementeve të një rreshti (ose të ndonjë kolone) të një përcaktori me një numër a është ekuivalente me shumëzimin e përcaktorit me këtë numër a . Me fjalë të tjera, faktori i përbashkët i të gjithë elementëve të një rreshti të caktuar (ose të ndonjë kolone) të një përcaktori mund të hiqet nga shenja e këtij përcaktori.

Përfundimi 3. Nëse të gjithë elementët e një rreshti të caktuar (ose një kolone) janë të barabartë me zero, atëherë vetë përcaktori është i barabartë me zero.

Përfundimi 4. Nëse elementet e dy rreshtave (ose dy kolonave) të një përcaktori janë proporcionale, atëherë përcaktori është i barabartë me zero.

Përfundimi 5. Nëse elementeve të një rreshti të caktuar (ose ndonjë kolone) të përcaktorit shtojmë elementët përkatës të një rreshti tjetër (një kolonë tjetër), shumëzim me një faktor arbitrar , atëherë vlera e përcaktorit nuk ndryshon. Përfundimi 5, si vetia lineare, lejon një formulim më të përgjithshëm, të cilin do ta jap për vargjet: nëse elementeve të një rreshti të caktuar të një përcaktori shtojmë elementët përkatës të një vargu që është një kombinim linear i disa rreshtave të tjerë. të këtij përcaktori (me ndonjë koeficient), atëherë vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë. Përfundimi 5 përdoret gjerësisht në llogaritjen konkrete të përcaktuesve.

3. Sistemet e ekuacioneve lineare.

3.1 Përkufizimet bazë.

…….

3.2 Kushti për përputhshmërinë e sistemeve të ekuacioneve lineare.

…….

3.3 Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Cramer.

Dihet se duke përdorur matricat mund të zgjidhim sisteme të ndryshme ekuacionesh, dhe këto sisteme mund të jenë të çdo madhësie dhe të kenë çdo numër ndryshoresh. Me disa derivacione dhe formula, zgjidhja e sistemeve të mëdha të ekuacioneve bëhet mjaft e shpejtë dhe më e lehtë.

Në veçanti, unë do të përshkruaj metodat Cramer dhe Gauss. Mënyra më e lehtë është metoda Cramer (për mua), ose siç quhet ndryshe, formula Cramer. Pra, le të themi se kemi një sistem ekuacionesh . Përcaktori kryesor, siç e keni vënë re tashmë, është një matricë e përbërë nga koeficientët e variablave. Ato gjithashtu shfaqen sipas renditjes së kolonave, d.m.th. kolona e parë përmban koeficientët që gjenden në x , në kolonën e dytë në y , dhe kështu me radhë. Kjo është shumë e rëndësishme, sepse në hapat e mëposhtëm do të zëvendësojmë secilën kolonë koeficientësh për një variabël me një kolonë përgjigjesh ekuacionesh. Pra, siç thashë, ne zëvendësojmë kolonën në variablin e parë me kolonën e përgjigjes, pastaj në të dytën, natyrisht gjithçka varet nga sa variabla duhet të gjejmë.

1 = , 2 = , 3 = .

Atëherë ju duhet të gjeni përcaktues përcaktues i sistemit .

3.4 Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit.

…….

4. Matrica e anasjelltë.

4.1 Koncepti i një matrice inverse.

4.2 Llogaritja e matricës së kundërt.

Bibliografi.

V. A. Ilyin, E. G. Poznyak "Algjebra lineare"

2. G. D. Kim, E. V. Shikin "Transformimet elementare në algjebër lineare"

Tema 1. Matricat dhe përcaktuesit e matricës

Çfarë mësojmë:

Konceptet bazë të algjebrës lineare: matricë, përcaktor.

Çfarë do të mësojmë:

Kryen operacione në matrica;

Njehsoni me përcaktorë të rendit të dytë dhe të tretë.

Tema 1.1. Koncepti i një matrice. Veprimet në matrica

∆ Matricë është një tabelë drejtkëndëshe e përbërë nga rreshta dhe kolona, e mbushur me disa objekte matematikore.

Matricat shënohen me shkronja të mëdha latine, vetë tabela është e mbyllur në kllapa (më rrallë në katror ose forma të tjera).

Elementet A ij thirrur elementet e matricës . Indeksi i parë i– numri i linjës, i dytij- numri i kolonës. Më shpesh, elementët janë numra.

Hyrja "matricë" A ka përmasat m× n» do të thotë se po flasim për një matricë të përbërë ngam linjat dhe n kolonat.

Nëse m = 1, a n > 1, atëherë matrica ështëmatricë - rresht . Nëse m > 1, a n = 1, atëherë matrica ështëmatricë - kolonë .

Një matricë në të cilën numri i rreshtave përkon me numrin e kolonave (m= n), thirri katrore .

Elementet a 11 , a 22 ,…, a nn matricë katroreA (madhësia n× n) formë diagonale kryesore , elementet a 1 n , a 2 n -1 ,…, a n 1 - diagonale anësore .

Në matricë
elementet 5; 7 formojnë diagonalen kryesore, elementet –5; 8 - diagonale anësore.

Matricat A Dhe B quhen të barabartë (A= B), nëse kanë të njëjtën madhësi dhe elementet e tyre në të njëjtat pozicione përkojnë, d.m.th.A ij = b ij .

Matrica e identitetit quhet matricë katrore në të cilën elementet e diagonales kryesore janë të barabarta me një, kurse elementët e mbetur janë të barabartë me zero. Matrica e identitetit zakonisht shënohet E.

Matricë transpozuar në matricën A të madhësisëm× n, quhet matrica A Madhësia T n× m, përftohet nga matrica A, nëse rreshtat e saj shkruhen në kolona dhe kolonat e saj në rreshta.

Veprimet aritmetike në matrica.

Per te gjetur shuma e matricave A Dhe B të të njëjtit dimension, është e nevojshme të shtoni elementë me të njëjtat indekse (duke qëndruar në të njëjtat vende):

Shtimi i matricës është komutativ, domethënë A + B = B + A.

Per te gjetur dallimi i matricës A Dhe B të të njëjtit dimension, është e nevojshme të gjendet ndryshimi i elementeve me të njëjtat indekse:

te matrica e shumëzimit Apër numër k, Është e nevojshme të shumëzohet çdo element i matricës me këtë numër:

Puna matricat AB mund të përcaktohet vetëm për matricatA madhësia m× n Dhe B madhësia n× fq, d.m.th. numri i kolonave të matricësA duhet të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të matricësNË. Ku A· B= C, matricë C ka përmasat m× fq, dhe elementin e tij c ij gjendet si produkt skalarith rreshtat e matricës A në jth kolona e matricësB: ( i=1,2,…, m; j=1,2,…, fq).

!! Në fakt, çdo linjë është e nevojshme matricat A (duke qëndruar në të majtë) shumëzoni skalar me çdo kolonë matrice B (duke qëndruar në të djathtë).

Prodhimi i matricave nuk është komutativ, d.m.th.А·В ≠ В·А . ▲

☺ Është e nevojshme të analizohen shembuj për të konsoliduar materialin teorik.

Shembulli 1. Përcaktimi i madhësisë së matricave.

Shembulli 2. Përkufizimi i elementeve të matricës.

Në elementin e matricës A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

Në elementin e matricës A 21 = 2, A 13 = 0.

Shembulli 3: Kryerja e transpozimit të matricës.

Shembulli 4. Kryerja e veprimeve në matrica.

Gjej 2 A- B, Nëse , .

Zgjidhje. .

Shembulli 5. Gjeni prodhimin e matricave Dhe .

Zgjidhje. Madhësia e matricësA – 3 × 2 , matricat NË – 2 × 2 . Prandaj produktiA·B mund ta gjeni. Ne marrim:

Puna VA nuk mund të gjendet.

Shembulli 6. Gjeni A 3 nëse A =
.

Zgjidhje. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

Shembulli 6. Gjeni 2 A 2 + 3 A + 5 E në
,
.

Zgjidhje. ,

,
,

,
.

Detyrat për të përfunduar

1. Plotësoni tabelën.

Matricë	Madhësia	Lloji i matricës	Elementet e matricës
Matricë	Madhësia	Lloji i matricës		një 12	një 23	a 32	a 33

2. Kryen veprime në matrica
Dhe
:

3. Kryeni shumëzimin e matricës:

4. Transpozoni matricat:

? 1. Çfarë është një matricë?

2. Si të dallojmë një matricë nga elementët e tjerë të algjebrës lineare?

3. Si të përcaktohet madhësia e matricës? Pse është e nevojshme kjo?

4. Çfarë do të thotë hyrja? A ij ?

5. Jepni një shpjegim të koncepteve të mëposhtme: diagonalja kryesore, diagonalja dytësore e matricës.

6. Cilat veprime mund të kryhen në matrica?

7. Shpjegoni thelbin e veprimit të shumëzimit të matricës?

8. A mund të shumëzohet ndonjë matricë? Pse?

Tema 1.2. Përcaktuesit e rendit të dytë dhe të tretë : m metodat e llogaritjes së tyre

∆ Nëse A është një matricë katrore n-rendit, atëherë ne mund të lidhim me të një numër të quajtur përcaktues rendi i n-të dhe shënohet me |A|. Domethënë, përcaktorja shkruhet si matricë, por në vend të kllapave është mbyllur në kllapa të drejta.

!! Ndonjëherë përcaktuesit quhen përcaktorë në mënyrën angleze, domethënë = det A.

Përcaktori i rendit të parë (përcaktues i matricës A të madhësisë1 × 1 ) është vetë elementi që përmban matrica A, domethënë.

Përcaktori i rendit të dytë (përcaktor i matricës Një madhësi 2 × 2 ) është një numër që mund të gjendet duke përdorur rregullin:

(produkti i elementeve në diagonalen kryesore të matricës minus prodhimin e elementeve në diagonalen dytësore).

Përcaktori i rendit të tretë (përcaktor i matricës Një madhësi 3 × 3 ) është një numër që mund të gjendet duke përdorur rregullin "trekëndëshat":

Për të llogaritur përcaktuesit e rendit të tretë, mund të përdorni një rregull më të thjeshtë - rregullin e drejtimeve (vijat paralele).

Rregulli i udhëzimeve : Me në dy kolonat e para u shtohet e drejta e përcaktorit, prodhimet e elementeve në diagonalen kryesore dhe në diagonalet paralele me të merren me shenjë plus; dhe prodhimet e elementeve të diagonales dytësore dhe diagonaleve paralele me të janë me shenjë minus.

!! Për të llogaritur përcaktorët, mund të përdorni vetitë e tyre, të cilat janë të vlefshme për përcaktorët e çdo rendi.

Vetitë e përcaktorëve:

1° . Përcaktori i matricës A nuk ndryshon gjatë transpozimit, d.m.th. |A| = |A T |. Kjo veti karakterizon barazinë e rreshtave dhe kolonave.

2° . Kur riorganizoni dy rreshta (dy kolona), përcaktori ruan vlerën e mëparshme, por shenja është e kundërt.

4° . Nëse ndonjë rresht ose kolonë përmban një faktor të përbashkët, atëherë ai mund të hiqet nga shenja përcaktuese.

Përfundimi 4.1. Nëse të gjithë elementët e çdo serie të një përcaktori janë të barabartë me zero, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero.

Përfundimi 4.2. Nëse elementet e çdo serie të një përcaktori janë proporcionale me elementët përkatës të një serie paralele me të, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero.▲

☺ Është e nevojshme të analizohen rregullat për llogaritjen e përcaktorëve.

Shembulli 1: Llogaritjapërcaktorët e rendit të dytë,
.

Zgjidhje.

Shkolla e mesme nr.45.

Qyteti i Moskës.

Nxënës i klasës së 10-të "B" Gorokhov Evgeniy

Puna e kursit (draft).

Hyrje në teorinë e matricave dhe përcaktuesve .

1. Matricat ..................................................... ...................................................... ...................................................... ......................................

1.1 Koncepti i matricës................................................ .......................................................... ..........................................................

1.2 Veprimet bazë në matrica................................................ .......................................................... ............. .

2. Përcaktuesit................................................. ...................................................... ...................................................... .........

2.1 Koncepti i një përcaktori................................................ .......................................................... ......................................

2.2 Llogaritja e përcaktorëve................................................ .......................................................... ............................

2.3 Vetitë themelore të përcaktorëve................................................ .......................................................... .............

3. Sistemet e ekuacioneve lineare................................................ .......................................................... .............. .

3.1 Përkufizimet bazë................................................ .................................................... ..........................................

3.2 Kushti i konsistencës për sistemet e ekuacioneve lineare.......................................... ..........................

3.3 Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Cramer. ........... ..........

3.4 Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Gaussian................................. ...........................

4. Matrica e anasjelltë................................................ .......................................................... ..........................................................

4.1 Koncepti i matricës së kundërt................................................ .......................................................... ................................

4.2 Llogaritja e matricës së kundërt................................................ .......................................................... ............................

Bibliografi................................................ . ................................................ ..........................................

Matricë është një tabelë numrash drejtkëndëshe që përmban një sasi të caktuar m linja dhe një numër i caktuar n kolonat. Numrat m Dhe n quhen urdhërat matricat. Nëse m = n , matrica quhet katror, dhe numri m = n -- ajo në rregull .

Veprimet themelore aritmetike mbi matricat janë shumëzimi i një matrice me një numër, shtimi dhe shumëzimi i matricave.

Le të kalojmë në përcaktimin e operacioneve bazë në matrica.

Shtimi i matricës: Shuma e dy matricave, për shembull: A Dhe B , duke pasur të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash, me fjalë të tjera, të njëjtat renditje m Dhe n e quajtur matrica C = ( ME ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) të njëjtat urdhra m Dhe n , elementet Cij të cilat janë të barabarta.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) (1.2 )

Për të treguar shumën e dy matricave, përdoret shënimi C = A + B. Veprimi i përmbledhjes së matricave quhet i tyre shtesë

Pra sipas definicionit kemi:

+ =

Nga përkufizimi i shumës së matricave, ose më saktë nga formula ( 1.2 ) menjëherë rrjedh se operacioni i mbledhjes së matricave ka të njëjtat veti si operacioni i mbledhjes së numrave realë, përkatësisht:

1) veti komutative: A + B = B + A

2) duke kombinuar pronën: (A + B) + C = A + (B + C)

Këto veti bëjnë të mundur që të mos shqetësoheni për renditjen e termave të matricës kur shtoni dy ose më shumë matrica.

Shumëzimi i një matrice me një numër :

Produkt matricë për një numër real quhet matricë C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , elementet e të cilit janë të barabartë

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Direkt nga formula ( 1.3 ) është e qartë se shumëzimi i një matrice me një numër ka këto veti:

1) Vetia shpërndarëse në lidhje me shumën e matricave:

( A + B) = A+ B

2) Vetia shoqëruese në lidhje me një faktor numerik:

() A= ( A)

3) Vetia shpërndarëse në lidhje me shumën e numrave:

( + ) A= A + A .

Koment :Dallimi i dy matricave A Dhe B të renditjes identike është e natyrshme të quhet një matricë e tillë C të rendit të njëjtë, të cilat në shumë me matricën B jep matricën A . Për të treguar ndryshimin midis dy matricave, përdoret një shënim natyror: C = A - B.

Shumëzimi i matricës :

Produkt matricë A = (Aij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) , duke pasur urdhra përkatësisht të barabartë m Dhe n , për matricë B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Për të treguar produktin e një matrice A te matrica B përdorni regjistrimin

C=AB . Operacioni i kompozimit të një produkti matricë A te matrica B thirrur shumëzimi këto matrica. Nga përkufizimi i formuluar më sipër rezulton se matricë A nuk mund të shumëzohet me asnjë matricë B : është e nevojshme që numri i kolonave të matricës A ishte barazohet numri i rreshtave të matricës B . Me qëllim për të dyja veprat AB Dhe B.A. jo vetëm ishin të përcaktuara, por edhe kishin të njëjtin rend, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të dyja matricat A Dhe B ishin matrica katrore të të njëjtit rend.

Formula ( 1.4 ) paraqet rregullin për kompozimin e elementeve të matricës C ,

e cila është prodhim i matricës A te matrica B . Ky rregull mund të formulohet verbalisht: Elementi Cij , duke qëndruar në kryqëzim i rreshti i th dhe j- kolona e matricës C=AB , është e barabartë shuma e produkteve në çift të elementeve përkatëse i rreshti i th matricat A Dhe j- kolona e matricës B . Si shembull i zbatimit të këtij rregulli, ne paraqesim formulën e shumëzimit të matricave katrore të rendit të dytë

Nga formula ( 1.4 ) vijojnë vetitë e mëposhtme të produktit të matricës: A te matrica B :

1) veti asociative: ( AB) C = A(BC);

2) Vetia shpërndarëse në lidhje me shumën e matricave:

(A + B) C = AC + BC ose A (B + C) = AB + AC.

Ka kuptim të ngrihet pyetja e vetive të ndërrimit të një produkti të matricave vetëm për matricat katrore të të njëjtit rend. Shembujt elementarë tregojnë se prodhimi i dy matricave katrore të të njëjtit rend, në përgjithësi, nuk ka vetinë e komutimit. Në fakt, nëse vendosim

A = , B = , Se AB = , A BA =

Zakonisht thirren të njëjtat matrica për të cilat produkti ka vetinë e komutimit udhëtimi në punë.

Ndër matricat katrore, ne veçojmë klasën e të ashtuquajturave diagonale matricat, secila prej të cilave ka elementë të vendosur jashtë diagonales kryesore të barabartë me zero. Ndër të gjitha matricat diagonale me elementë që përputhen në diagonalen kryesore, dy matrica luajnë një rol veçanërisht të rëndësishëm. E para nga këto matrica fitohet kur të gjithë elementët e diagonales kryesore janë të barabarta me një dhe quhet matrica e identitetit. n- E . Matrica e dytë fitohet me të gjithë elementët të barabartë me zero dhe quhet matrica zero n- rendit dhe shënohet me simbolin O . Le të supozojmë se ekziston një matricë arbitrare A , Pastaj

AE=EA=A , AO=OA=O .

E para nga formulat karakterizon rolin e veçantë të matricës së identitetit E, i ngjashëm me rolin që luan numri 1 gjatë shumëzimit të numrave realë. Sa i përket rolit të veçantë të matricës zero RRETH, atëherë zbulohet jo vetëm nga e dyta e formulave, por edhe nga një barazi elementare e verifikueshme: A+O=O+A=A . Koncepti i një matrice zero mund të prezantohet jo për matricat katrore.

Le të shqyrtojmë çdo katër numra të shkruar në formën e një matrice me dy rreshta dhe dy kolona , Përcaktues ose përcaktues, i përbërë nga numrat në këtë tabelë, është numri ad-p.e.s , shënohet si më poshtë: .Përcaktor i tillë quhet përcaktor i rendit të dytë, pasi për përpilimin e saj është marrë një tabelë me dy rreshta dhe dy kolona. Numrat që përbëjnë përcaktorin quhen të saj elementet; në të njëjtën kohë thonë se elementet a Dhe d make up diagonale kryesore përcaktuesi dhe elementet b Dhe c e tij diagonale anësore. Mund të shihet se përcaktori është i barabartë me diferencën e produkteve të çifteve të elementeve të vendosura në diagonalet e tij kryesore dhe dytësore. Përcaktori i rendit të tretë dhe çdo tjetër është afërsisht i njëjtë, domethënë: Le të themi se kemi një matricë katrore . Përcaktori i matricës së mëposhtme është shprehja e mëposhtme: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Siç mund ta shihni, llogaritet mjaft lehtë nëse mbani mend një sekuencë të caktuar. Me shenjë pozitive janë diagonalja kryesore dhe trekëndëshat e formuar nga elementët, të cilët kanë një anë paralele me diagonalen kryesore, në këtë rast këto janë trekëndësha. a12a23a31, a13a21a32 .

Ekziston një mënyrë më e lehtë për të llogaritur përcaktorin n- o urdhër, ku n2 . Le të biem dakord që çdo element të quhet minor Aij matricat n- përcaktor i rendit të parë që korrespondon me matricën që merret nga matrica si rezultat i fshirjes i rreshti i th dhe j- kolona e-të (ajo rresht dhe ajo kolonë në kryqëzimin e së cilës ka një element Aij ). Element i vogël Aij do të shënohet me simbolin . Në këtë shënim, indeksi i sipërm tregon numrin e rreshtit, indeksi i poshtëm numrin e kolonës dhe shiritin sipër M do të thotë që rreshti dhe kolona e specifikuar janë të kryqëzuara. Përcaktues i rendit n , që korrespondon me matricën, ne e quajmë numrin të barabartë me dhe shënohet me simbolin .

Teorema 1.1 Cilido qoftë numri i linjës i ( i =1, 2…, n) , për përcaktorin n- formula e rendit të parë të madhësisë është e vlefshme

= det A =

thirrur i- rreshti i th . Theksojmë se në këtë formulë eksponenti në të cilin është ngritur numri (-1) është i barabartë me shumën e numrave të rreshtave dhe kolonave në kryqëzimin e të cilave ndodhet elementi. Aij .

Teorema 1.2 Cilido qoftë numri i kolonës j ( j = 1, 2…, n) , për përcaktorin n formula e rendit të th është e vlefshme

= det A =

thirrur zgjerimi i këtij përcaktori në j- kolona e th .

Përcaktuesit gjithashtu kanë veti që e bëjnë më të lehtë detyrën e llogaritjes së tyre. Pra, më poshtë vendosim një sërë vetive që ka një përcaktues arbitrar n - urdhri.

1. Vetia e barazisë rresht-kolona . Transpozimi i çdo matrice ose përcaktori është një operacion si rezultat i të cilit rreshtat dhe kolonat ndërrohen duke ruajtur renditjen e tyre. Si rezultat i transpozimit të matricës A matrica që rezulton quhet matricë, e quajtur e transpozuar në lidhje me matricën A dhe tregohet me simbolin A .

Vetia e parë e përcaktorit formulohet si më poshtë: gjatë transpozimit ruhet vlera e përcaktorit, d.m.th. = .

2. Vetia e antisimetrisë kur riorganizoni dy rreshta (ose dy kolona). Kur dy rreshta (ose dy kolona) ndërrohen, përcaktorja ruan vlerën e saj absolute, por ndryshon shenjën në të kundërtën. Për një përcaktor të rendit të dytë, kjo veti mund të verifikohet në mënyrë elementare (nga formula e llogaritjes së përcaktorit të rendit të dytë rrjedh menjëherë se përcaktorët ndryshojnë vetëm në shenjë).

3. Vetia lineare e përcaktorit. Ne do të themi se një varg ( a) është një kombinim linear i dy vargjeve të tjera ( b Dhe c ) me koeficientë dhe . Vetia lineare mund të formulohet si më poshtë: nëse në përcaktor n ndonjë urdhër i Rreshti i th është një kombinim linear i dy rreshtave me koeficientë dhe , pastaj = + , ku

- një përcaktor që ka i Rreshti i -të është i barabartë me një nga dy rreshtat e kombinimit linear, dhe të gjitha rreshtat e tjerë janë të njëjtë si , a është përcaktor për të cilin i- vargu i është i barabartë me vargun e dytë të dy vargjeve, dhe të gjitha vargjet e tjera janë të njëjta si .

Këto tre veti janë vetitë kryesore të përcaktorit, duke zbuluar natyrën e tij. Pesë pronat e mëposhtme janë pasojat logjike tre prona kryesore.

Përfundimi 1. Një përcaktues me dy rreshta (ose kolona) identike është i barabartë me zero.

Përfundimi 2. Shumëzimi i të gjithë elementeve të një rreshti (ose të ndonjë kolone) të një përcaktori me një numër a është ekuivalente me shumëzimin e përcaktorit me këtë numër a . Me fjalë të tjera, faktori i përbashkët i të gjithë elementëve të një rreshti të caktuar (ose të ndonjë kolone) të një përcaktori mund të hiqet nga shenja e këtij përcaktori.

Përfundimi 3. Nëse të gjithë elementët e një rreshti të caktuar (ose një kolone) janë të barabartë me zero, atëherë vetë përcaktori është i barabartë me zero.

Përfundimi 4. Nëse elementet e dy rreshtave (ose dy kolonave) të një përcaktori janë proporcionale, atëherë përcaktori është i barabartë me zero.

Përfundimi 5. Nëse elementeve të një rreshti të caktuar (ose ndonjë kolone) të një përcaktori shtojmë elementet përkatëse të një rreshti tjetër (një kolonë tjetër), duke shumëzuar me një faktor arbitrar, atëherë vlera e përcaktorit nuk ndryshon. Përfundimi 5, si vetia lineare, lejon një formulim më të përgjithshëm, të cilin do ta jap për vargjet: nëse elementeve të një rreshti të caktuar të një përcaktori shtojmë elementët përkatës të një vargu që është një kombinim linear i disa rreshtave të tjerë. të këtij përcaktori (me ndonjë koeficient), atëherë vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë. Përfundimi 5 përdoret gjerësisht në llogaritjen konkrete të përcaktuesve.

, Në formën e matricës, ky sistem mund të shkruhet si më poshtë: A= , ku përgjigjet e ekuacioneve do të jenë në kolonën e fundit. Tani do të prezantojmë konceptin e një përcaktori themelor; në këtë rast do të duket kështu:

= . Përcaktori kryesor, siç e keni vënë re tashmë, është një matricë e përbërë nga koeficientët e variablave. Ato gjithashtu shfaqen sipas renditjes së kolonave, d.m.th. kolona e parë përmban koeficientët që gjenden në x , në kolonën e dytë në y , dhe kështu me radhë. Kjo është shumë e rëndësishme, sepse në hapat e mëposhtëm do të zëvendësojmë secilën kolonë koeficientësh për një variabël me një kolonë përgjigjesh ekuacionesh. Pra, siç thashë, ne zëvendësojmë kolonën në variablin e parë me kolonën e përgjigjes, pastaj në të dytën, natyrisht gjithçka varet nga sa variabla duhet të gjejmë.

1 = , 2 = , 3 = .

Pastaj ju duhet të gjeni përcaktuesit 1, 2, 3. Ju tashmë e dini se si të gjeni përcaktuesin e rendit të tretë. A Këtu zbatojmë rregullin e Cramer-it. Duket kështu:

x1 = , x2 = , x3 = – për këtë rast, por në përgjithësi duket kështu: x i = . Një përcaktues i përbërë nga koeficientë për të panjohurat quhet përcaktues i sistemit .

1. V. A. Ilyin, E. G. Poznyak "Algjebra lineare"

2. G. D. Kim, E. V. Shikin "Transformimet elementare në algjebër lineare"