Largësia nga një pikë në një formulë të vektorit të rrafshët. Largësia nga pika në aeroplan

Le të shqyrtojmë një plan të caktuar π dhe një pikë arbitrare M 0 në hapësirë. Le të zgjedhim për aeroplanin vektor normal njësi n me fillimi në një pikë M 1 ∈ π, dhe le të jetë p(M 0 ,π) distanca nga pika M 0 në rrafshin π. Pastaj (Fig. 5.5)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

që nga |n| = 1.

Nëse rrafshi π jepet në sistemi koordinativ drejtkëndor me ekuacionin e tij të përgjithshëm Ax + By + Cz + D = 0, atëherë vektori i tij normal është vektori me koordinata (A; B; C) dhe ne mund të zgjedhim

Le të jenë (x 0 ; y 0 ; z 0) dhe (x 1 ; y 1 ; z 1) koordinatat e pikave M 0 dhe M 1 . Atëherë vlen barazia Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, pasi pika M 1 i përket rrafshit, dhe koordinatat e vektorit M 1 M 0 mund të gjenden: M 1 M 0 = (x 0 - x 1 y 0 -y 1 ; Regjistrimi produkt skalar nM 1 M 0 në formë koordinative dhe duke transformuar (5.8), marrim


meqenëse Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Pra, për të llogaritur distancën nga një pikë në një plan, duhet të zëvendësoni koordinatat e pikës në ekuacionin e përgjithshëm të planit dhe më pas të ndani vlerën absolute të rezultati me një faktor normalizues të barabartë me gjatësinë e vektorit normal përkatës.

, Konkursi "Prezantimi për mësimin"

Klasa: 11

Prezantimi për mësimin
















Kthehu përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Qëllimet:

  • përgjithësimi dhe sistemimi i njohurive dhe aftësive të nxënësve;
  • zhvillimi i aftësive për të analizuar, krahasuar, nxjerrë përfundime.

Pajisjet:

  • projektor multimedial;
  • kompjuter;
  • fletë me tekste problemore

PËRPARIMI I KLASËS

I. Momenti organizativ

II. Faza e përditësimit të njohurive(rrëshqitje 2)

Ne përsërisim se si përcaktohet distanca nga një pikë në një plan

III. Ligjërata(rrëshqitje 3-15)

Në këtë mësim do të shikojmë mënyra të ndryshme për të gjetur distancën nga një pikë në një aeroplan.

Metoda e parë: llogaritëse hap pas hapi

Largësia nga pika M në rrafshin α:
– e barabartë me distancën nga rrafshi α nga një pikë arbitrare P e shtrirë në një drejtëz a, e cila kalon nëpër pikën M dhe është paralele me rrafshin α;
– është e barabartë me distancën nga rrafshi α nga një pikë arbitrare P e shtrirë në rrafshin β, e cila kalon nëpër pikën M dhe është paralele me rrafshin α.

Ne do të zgjidhim problemet e mëposhtme:

№1. Në kubin A...D 1, gjeni distancën nga pika C 1 në rrafshin AB 1 C.

Mbetet për të llogaritur vlerën e gjatësisë së segmentit O 1 N.

№2. Në një prizëm të rregullt gjashtëkëndor A...F 1, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta me 1, gjeni distancën nga pika A në rrafshin DEA 1.

Metoda tjetër: metoda e vëllimit.

Nëse vëllimi i piramidës ABCM është i barabartë me V, atëherë distanca nga pika M në rrafshin α që përmban ∆ABC llogaritet me formulën ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Kur zgjidhim probleme, përdorim barazinë e vëllimeve të një figure, të shprehur në dy mënyra të ndryshme.

Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm:

№3. Buza AD e piramidës DABC është pingul me rrafshin bazë ABC. Gjeni distancën nga A në rrafshin që kalon nga mesi i skajeve AB, AC dhe AD, nëse.

Gjatë zgjidhjes së problemeve metodë koordinative distanca nga pika M në rrafshin α mund të llogaritet duke përdorur formulën ρ(M; α) = , ku M(x 0; y 0; z 0), dhe rrafshi jepet nga ekuacioni ax + nga + cz + d = 0

Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm:

№4. Në një kub njësi A...D 1, gjeni distancën nga pika A 1 në rrafshin BDC 1.

Le të prezantojmë një sistem koordinatash me origjinën në pikën A, boshti y do të kalojë përgjatë skajit AB, boshti x përgjatë skajit AD dhe boshti z përgjatë skajit AA 1. Pastaj koordinatat e pikave B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Le të krijojmë një ekuacion për një plan që kalon nëpër pikat B, D, C 1.

Atëherë – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Prandaj, ρ =

Metoda e mëposhtme që mund të përdoret për zgjidhjen e problemeve të këtij lloji është metoda e problemeve të mbështetjes.

Zbatimi i kësaj metode konsiston në përdorimin e problemeve të njohura të referencës, të cilat formulohen si teorema.

Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm:

№5. Në një kub njësi A...D 1, gjeni distancën nga pika D 1 në rrafshin AB 1 C.

Le të shqyrtojmë aplikacionin metoda vektoriale.

№6. Në një kub njësi A...D 1, gjeni distancën nga pika A 1 në rrafshin BDC 1.

Pra, ne shikuam metoda të ndryshme që mund të përdoren për të zgjidhur këtë lloj problemi. Zgjedhja e një metode ose një tjetër varet nga detyra specifike dhe preferencat tuaja.

IV. Punë në grup

Mundohuni ta zgjidhni problemin në mënyra të ndryshme.

№1. Buza e kubit A...D 1 është e barabartë me . Gjeni distancën nga kulmi C në rrafshin BDC 1.

№2. Në një katërkëndor të rregullt ABCD me një skaj, gjeni distancën nga pika A në rrafshin BDC

№3. Në një prizëm të rregullt trekëndor ABCA 1 B 1 C 1, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta me 1, gjeni distancën nga A në rrafshin BCA 1.

№4. Në një piramidë të rregullt katërkëndëshe SABCD, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta me 1, gjeni distancën nga A në rrafshin SCD.

V. Përmbledhje e mësimit, detyra shtëpie, reflektim

Përcaktimi i distancës ndërmjet: 1 - pikës dhe planit; 2 - i drejtë dhe i sheshtë; 3 - aeroplanë; 4 - kalimi i drejtëzave konsiderohen së bashku, pasi algoritmi i zgjidhjes për të gjitha këto probleme është në thelb i njëjtë dhe përbëhet nga konstruksione gjeometrike që duhet të kryhen për të përcaktuar distancën midis një pike të caktuar A dhe planit α. Nëse ka ndonjë ndryshim, ai konsiston vetëm në faktin se në rastet 2 dhe 3, përpara se të filloni të zgjidhni problemin, duhet të shënoni një pikë arbitrare A në vijën e drejtë m (rasti 2) ose rrafshin β (rasti 3). distancat ndërmjet drejtëzave që ndërpriten, fillimisht i mbyllim në rrafshe paralele α dhe β dhe më pas përcaktojmë distancën ndërmjet këtyre rrafsheve.

Le të shqyrtojmë secilin nga rastet e përmendura të zgjidhjes së problemeve.

1. Përcaktimi i distancës ndërmjet një pike dhe një rrafshi.

Distanca nga një pikë në një plan përcaktohet nga gjatësia e një segmenti pingul të tërhequr nga një pikë në plan.

Prandaj, zgjidhja e këtij problemi konsiston në kryerjen e njëpasnjëshme të veprimeve grafike të mëposhtme:

1) nga pika A e ulim pingulen me rrafshin α (Fig. 269);

2) gjeni pikën M të prerjes së kësaj pingule me rrafshin M = a ∩ α;

3) përcaktoni gjatësinë e segmentit.

Nëse rrafshi α është në pozicionin e përgjithshëm, atëherë për të ulur një pingul në këtë rrafsh, është e nevojshme që së pari të përcaktohet drejtimi i projeksioneve horizontale dhe ballore të këtij rrafshi. Gjetja e pikës së takimit të kësaj pingule me rrafshin kërkon edhe ndërtime gjeometrike shtesë.


Zgjidhja e problemit thjeshtohet nëse rrafshi α zë një pozicion të veçantë në raport me rrafshet e projeksionit. Në këtë rast si projeksioni i pingules ashtu edhe gjetja e pikës së takimit të saj me rrafshin kryhen pa asnjë ndërtim ndihmës shtesë.

SHEMBULL 1. Përcaktoni distancën nga pika A në rrafshin e projektimit ballor α (Fig. 270).

ZGJIDHJE. Nëpërmjet A" vizatojmë projeksionin horizontal të l" ⊥ h 0α, dhe përmes A" - projeksionin e tij ballor l" ⊥ f 0α. Shënojmë pikën M" = l" ∩ f 0α . Që nga AM || π 2, pastaj [A" M"] == |AM| = d.

Nga shembulli i konsideruar, është e qartë se sa thjesht zgjidhet problemi kur avioni zë një pozicion projektues. Prandaj, nëse një plan i përgjithshëm i pozicionit është specifikuar në të dhënat e burimit, atëherë përpara se të vazhdohet me zgjidhjen, rrafshi duhet të zhvendoset në një pozicion pingul me çdo plan projeksioni.

SHEMBULL 2. Përcaktoni distancën nga pika K deri në rrafshin e specifikuar nga ΔАВС (Fig. 271).

1. Transferojmë rrafshin ΔАВС në pozicionin e projektimit *. Për ta bërë këtë, ne kalojmë nga sistemi xπ 2 /π 1 në x 1 π 3 /π 1: drejtimi i boshtit të ri x 1 zgjidhet pingul me projeksionin horizontal të planit horizontal të trekëndëshit.

2. Projektoni ΔABC në një plan të ri π 3 (aeroplani ΔABC është projektuar në π 3, në [ C " 1 B " 1 ]).

3. Projektoni pikën K në të njëjtin rrafsh (K" → K" 1).

4. Nëpër pikën K" 1 vizatojmë (K" 1 M" 1)⊥ segmentin [C" 1 B" 1]. Distanca e kërkuar d = |K" 1 M" 1 |

Zgjidhja e problemit thjeshtohet nëse rrafshi përcaktohet me gjurmë, pasi nuk ka nevojë të vizatohen projeksione të linjave të nivelit.

SHEMBULL 3. Përcaktoni distancën nga pika K në rrafshin α, të specifikuar nga gjurmët (Fig. 272).

* Mënyra më racionale për të transferuar rrafshin e trekëndëshit në pozicionin e projektimit është zëvendësimi i rrafsheve të projeksionit, pasi në këtë rast mjafton të ndërtohet vetëm një projeksion ndihmës.

ZGJIDHJE. Zëvendësojmë rrafshin π 1 me rrafshin π 3, për këtë vizatojmë një bosht të ri x 1 ⊥ f 0α. Në h 0α shënojmë një pikë arbitrare 1" dhe përcaktojmë projeksionin e saj të ri horizontal në rrafshin π 3 (1" 1). Nëpër pikat X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) dhe 1" 1 vizatojmë h 0α 1. Përcaktojmë projeksionin e ri horizontal të pikës K → K" 1. Nga pika K" 1 e ulim pingulen me h 0α 1 dhe shënojmë pikën e kryqëzimit të saj me h 0α 1 - M" 1. Gjatësia e segmentit K" 1 M" 1 do të tregojë distancën e kërkuar.

2. Përcaktimi i distancës ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit.

Distanca ndërmjet një vije dhe një rrafshi përcaktohet nga gjatësia e një segmenti pingul të rënë nga një pikë arbitrare në vijë në rrafsh (shih Fig. 248).

Prandaj, zgjidhja e problemit të përcaktimit të distancës ndërmjet drejtëzës m dhe planit α nuk ndryshon nga shembujt e diskutuar në paragrafin 1 për përcaktimin e distancës midis një pike dhe një rrafshi (shih Fig. 270 ... 272). Si pikë, mund të merrni çdo pikë që i përket rreshtit m.

3. Përcaktimi i distancës ndërmjet planeve.

Distanca midis planeve përcaktohet nga madhësia e segmentit pingul të rënë nga një pikë e marrë në një rrafsh në një plan tjetër.

Nga ky përkufizim del se algoritmi për zgjidhjen e problemit të gjetjes së distancës ndërmjet rrafsheve α dhe β ndryshon nga një algoritëm i ngjashëm për zgjidhjen e problemit të përcaktimit të distancës ndërmjet drejtëzës m dhe planit α vetëm në atë drejtëzë m duhet t'i përkasë rrafshit α. , d.m.th., për të përcaktuar distancën midis planeve α dhe β, vijon:

1) merr një vijë të drejtë m në rrafshin α;

2) zgjidhni një pikë arbitrare A në rreshtin m;

3) nga pika A, ulni pingulën l në rrafshin β;

4) caktoni pikën M - pikën e takimit të pingules l me rrafshin β;

5) përcaktoni madhësinë e segmentit.

Në praktikë, këshillohet përdorimi i një algoritmi të ndryshëm zgjidhjeje, i cili do të ndryshojë nga ai i dhënë vetëm në atë që, përpara se të vazhdohet me hapin e parë, aeroplanët duhet të transferohen në pozicionin e projeksionit.

Përfshirja e këtij operacioni shtesë në algoritëm thjeshton ekzekutimin e të gjitha pikave të tjera pa përjashtim, gjë që përfundimisht çon në një zgjidhje më të thjeshtë.

SHEMBULL 1. Përcaktoni distancën midis planeve α dhe β (Fig. 273).

ZGJIDHJE. Ne lëvizim nga sistemi xπ 2 /π 1 në x 1 π 1 / π 3. Në lidhje me rrafshin e ri π 3, rrafshet α dhe β zënë një pozicion të projektuar, prandaj distanca ndërmjet gjurmëve të reja ballore f 0α 1 dhe f 0β 1 është ajo e dëshiruara.

Në praktikën inxhinierike, shpesh është e nevojshme të zgjidhet problemi i ndërtimit të një rrafshi paralel me një plan të caktuar dhe largimit prej tij në një distancë të caktuar. Shembulli 2 më poshtë ilustron zgjidhjen e një problemi të tillë.

SHEMBULL 2. Kërkohet ndërtimi i projeksioneve të një rrafshi β paralel me një rrafsh të caktuar α (m || n), nëse dihet se distanca ndërmjet tyre është d (Fig. 274).

1. Në rrafshin α vizatojmë vija arbitrare horizontale h (1, 3) dhe vija ballore f (1,2).

2. Nga pika 1 rivendosim pingulën l në rrafshin α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Në l pingul shënojmë një pikë arbitrare A.

4. Përcaktoni gjatësinë e segmentit - (pozicioni tregon në diagram drejtimin metrikisht të pashtrembëruar të drejtëzës l).


5. Vendosni segmentin = d në vijën e drejtë (1"A 0) nga pika 1".

6. Shënoni në projeksionet l" dhe l" pikat B" dhe B", që korrespondojnë me pikën B 0.

7. Nëpër pikën B vizatojmë rrafshin β (h 1 ∩ f 1). Për β || α, është e nevojshme të respektohet kushti h 1 || h dhe f 1 || f.

4. Përcaktimi i distancës ndërmjet drejtëzave të kryqëzuara.

Distanca midis drejtëzave të kryqëzuara përcaktohet nga gjatësia e pingulit që përmbahet ndërmjet rrafsheve paralele të cilave u përkasin vijat e kryqëzuara.

Për të tërhequr rrafshet paralele të ndërsjellë α dhe β përmes drejtëzave të kryqëzuara m dhe f, mjafton të vizatoni përmes pikës A (A ∈ m) një drejtëz p paralele me drejtëzën f dhe përmes pikës B (B ∈ f) një drejtëz k paralele me të drejtën m . Drejtëzat ndërprerëse m dhe p, f dhe k përcaktojnë rrafshet paralele reciproke α dhe β (shih Fig. 248, e). Distanca ndërmjet rrafsheve α dhe β është e barabartë me distancën e kërkuar ndërmjet vijave të kryqëzimit m dhe f.

Një mënyrë tjetër mund të propozohet për përcaktimin e distancës midis vijave të kryqëzuara, e cila konsiston në faktin se, duke përdorur një metodë të transformimit të projeksioneve ortogonale, një nga linjat kryqëzuese transferohet në pozicionin e projektimit. Në këtë rast, një projeksion i vijës degjeneron në një pikë. Distanca ndërmjet projeksioneve të reja të vijave të kryqëzimit (pika A" 2 dhe segmenti C" 2 D" 2) është ajo e kërkuar.

Në Fig. 275 tregon një zgjidhje për problemin e përcaktimit të distancës midis vijave të kryqëzimit a dhe b, duke dhënë segmentet [AB] dhe [CD]. Zgjidhja kryhet në sekuencën e mëposhtme:

1. Transferoni një nga vijat e kryqëzimit (a) në një pozicion paralel me rrafshin π 3; Për ta bërë këtë, lëvizni nga sistemi i planeve të projeksionit xπ 2 / π 1 në x 1 π 1 / π 3 të ri, boshti x 1 është paralel me projeksionin horizontal të vijës së drejtë a. Përcaktoni a" 1 [A" 1 B" 1 ] dhe b" 1.

2. Duke zëvendësuar rrafshin π 1 me rrafshin π 4, përkthejmë vijën e drejtë.


dhe në pozicionin a" 2, pingul me rrafshin π 4 (boshti i ri x 2 është tërhequr pingul me a" 1).

3. Ndërtoni një projeksion të ri horizontal të drejtëzës b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Distanca nga pika A" 2 në vijën e drejtë C" 2 D" 2 (segmenti (A" 2 M" 2 ] (është ajo e kërkuara.

Duhet pasur parasysh se kalimi i njërës prej vijave të kryqëzimit në pozicionin e projektimit nuk është gjë tjetër veçse kalimi i rrafsheve të paralelizmit, në të cilin mund të mbyllen drejtëzat a dhe b, edhe në pozicionin e projektimit.

Në fakt, duke lëvizur drejtëzën a në një pozicion pingul me rrafshin π 4, ne sigurojmë që çdo rrafsh që përmban drejtëzën a është pingul me rrafshin π 4, duke përfshirë rrafshin α të përcaktuar nga drejtëzat a dhe m (a ∩ m, m | |. b). Nëse tani vizatojmë një drejtëz n, paralele me a dhe drejtëzën e prerë b, atëherë fitojmë rrafshin β, i cili është rrafshi i dytë i paralelizmit, i cili përmban drejtëzat e prera a dhe b. Që β || α, pastaj β ⊥ π 4 .

Le të ketë një aeroplan . Le të vizatojmë një normale
përmes origjinës së koordinatave O. Le të jepet
– këndet e formuara nga normalja me boshte koordinative.
. Le – gjatësia e segmentit normal
derisa të kryqëzohet me rrafshin. Duke supozuar se dihen kosinuset e drejtimit të normales , nxjerrim ekuacionin e rrafshit .

Le
) është një pikë arbitrare në rrafsh. Vektori normal i njësisë ka koordinata. Le të gjejmë projeksionin e vektorit
në normale.

Që nga pika M i takon aeroplanit, pra

.

Ky është ekuacioni i një rrafshi të caktuar, i quajtur normale .

Largësia nga pika në aeroplan

Le të jepet një aeroplan ,M*
- pika në hapësirë, d – largësia e tij nga avioni.

Përkufizimi. Devijimi pikë M* nga avioni quhet numri ( + d), Nëse M* shtrihet në anën tjetër të rrafshit ku tregon drejtimi pozitiv i normales , dhe numri (- d), nëse pika ndodhet në anën tjetër të aeroplanit:

.

Teorema. Lëreni aeroplanin me njësi normale dhënë nga ekuacioni normal:

Le M*
– pika në hapësirë ​​Devijimi t. M* nga rrafshi jepet me shprehjen

Dëshmi. Projeksion t.
* shënojmë me normale P. Devijimi i pikës M* nga avioni është i barabartë

.

Rregulli. Per te gjetur devijimi T. M* nga rrafshi, ju duhet të zëvendësoni koordinatat t në ekuacionin normal të planit. M* . Distanca nga një pikë në një aeroplan është .

Reduktimi i ekuacionit të planit të përgjithshëm në formë normale

Le të përkufizohet i njëjti rrafsh me dy ekuacione:

Ekuacioni i përgjithshëm

Ekuacioni normal.

Meqenëse të dy ekuacionet përcaktojnë të njëjtin plan, koeficientët e tyre janë proporcional:

Le të vendosim në katror tre barazitë e para dhe t'i mbledhim ato:

Nga këtu do të gjejmë - faktori normalizues:

. (10)

Duke shumëzuar ekuacionin e përgjithshëm të rrafshit me një faktor normalizues, marrim ekuacionin normal të rrafshit:

Shembuj të problemeve në temën "Aeroplan".

Shembulli 1. Krijo një ekuacion të aeroplanit duke kaluar nëpër një pikë të caktuar
(2,1,-1) dhe paralel me rrafshin.

Zgjidhje. Normal për aeroplan :
. Meqenëse aeroplanët janë paralelë, atëherë ato normale është gjithashtu normale me planin e dëshiruar . Duke përdorur ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar (3), marrim për rrafshin ekuacioni:

Përgjigje:

Shembulli 2. Baza e një pingule ka rënë nga origjina në një plan , është pika
. Gjeni ekuacionin e rrafshit .

Zgjidhje. Vektor
është normale për aeroplanin . Pika M 0 i përket aeroplanit. Ju mund të përdorni ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar (3):

Përgjigje:

Shembulli 3. Ndërtoni aeroplan , duke kaluar nëpër pika

dhe pingul me rrafshin :.

Prandaj, për një moment M (x, y, z) i përkiste aeroplanit , është e nevojshme që tre vektorë
ishin të përbashkëta:

=0.

Mbetet për të zbuluar përcaktorin dhe për ta sjellë shprehjen që rezulton në formën e ekuacionit të përgjithshëm (1).

Shembulli 4. Aeroplan dhënë nga ekuacioni i përgjithshëm:

Gjeni devijimin e pikës
nga një aeroplan i caktuar.

Zgjidhje. Le ta sjellim ekuacionin e rrafshit në formën normale.

,

.

Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës në ekuacionin normal që rezulton M*.

.

Përgjigje:
.

Shembulli 5. A e pret rrafshi segmentin?

Zgjidhje. Te presesh AB kaloi aeroplanin, devijimet Dhe nga avioni duhet të ketë shenja të ndryshme:

.

Shembulli 6. Kryqëzimi i tre planeve në një pikë.



.

Sistemi ka një zgjidhje unike, prandaj, të tre planet kanë një pikë të përbashkët.

Shembulli 7. Gjetja e përgjysmuesve të një këndi dykëndor të formuar nga dy rrafshe të dhëna.

Le Dhe - devijimi i një pike
nga rrafshi i parë dhe i dytë.

Në njërin nga rrafshet përgjysmuese (që korrespondon me këndin në të cilin shtrihet origjina e koordinatave) këto devijime janë të barabarta në madhësi dhe shenjë, dhe në anën tjetër ato janë të barabarta në madhësi dhe të kundërta në shenjë.

Ky është ekuacioni i rrafshit të parë përgjysmues.

Ky është ekuacioni i rrafshit të dytë përgjysmues.

Shembulli 8. Përcaktimi i vendndodhjes së dy pikave të dhëna Dhe në raport me këndet dihedrale të formuara nga këto rrafshe.

Le
. Përcaktoni: ka pika në një kënd, ngjitur ose vertikal Dhe .


A). Nëse Dhe shtrirë në njërën anë të dhe nga , pastaj shtrihen në të njëjtin kënd dihedral.

b). Nëse Dhe shtrirë në njërën anë të dhe të ndryshme nga , pastaj shtrihen në qoshet ngjitur.

V). Nëse Dhe shtrihen në anët e kundërta të Dhe , pastaj shtrihen në qoshe vertikale.

Sistemet e koordinatave 3

Linjat në një aeroplan 8

Linjat e rendit të parë. Drejtpërsëdrejti në një avion. 10

Këndi ndërmjet vijave të drejta 12

Ekuacioni i përgjithshëm i rreshtit 13

Ekuacioni 14 i paplotë i shkallës së parë

Ekuacioni i një drejtëze "në segmente" 14

Studim i përbashkët i ekuacioneve të dy drejtëzave 15

Normale në rreshtin 15

Këndi ndërmjet dy vijave të drejta 16

Ekuacioni kanonik i rreshtit 16

Ekuacionet parametrike të vijës 17

Ekuacioni normal (i normalizuar) i një rreshti 18

Distanca nga pika në rreshtin 19

Ekuacioni i një lapsi me rreshta 20

Shembuj të problemeve në temën "vija në aeroplan" 22

Prodhimi vektorial i vektorëve 24

Vetitë e produktit kryq 24

Vetitë gjeometrike 24

Vetitë algjebrike 25

Shprehja e prodhimit vektorial përmes koordinatave të faktorëve 26

Produkti i përzier i tre vektorëve 28

Kuptimi gjeometrik i produktit të përzier 28

Shprehja e një produkti të përzier përmes koordinatave vektoriale 29

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Gjetja e distancës nga një pikë në një rrafsh është një problem i zakonshëm që lind kur zgjidhen probleme të ndryshme të gjeometrisë analitike, për shembull, ky problem mund të reduktohet në gjetjen e distancës midis dy drejtëzave të kryqëzuara ose midis një drejteje dhe një rrafshi paralel me; atë.

Konsideroni rrafshin $β$ dhe një pikë $M_0$ me koordinata $(x_0;y_0; z_0)$ që nuk i përket rrafshit $β$.

Përkufizimi 1

Distanca më e shkurtër midis një pike dhe një rrafshi do të jetë pingulja e tërhequr nga pika $M_0$ në rrafshin $β$.

Figura 1. Distanca nga një pikë në një plan. Avtor24 - shkëmbim online i punimeve të studentëve

Më poshtë do të diskutojmë se si të gjejmë distancën nga një pikë në një plan duke përdorur metodën e koordinatave.

Nxjerrja e formulës për metodën e koordinatave për gjetjen e distancës nga një pikë në një plan në hapësirë

Një pingul nga pika $M_0$ që pret rrafshin $β$ në pikën $M_1$ me koordinatat $(x_1;y_1; z_1)$ shtrihet në një vijë të drejtë, vektori i drejtimit të së cilës është vektori normal i rrafshit $β$. Në këtë rast, gjatësia e vektorit njësi $n$ është e barabartë me një. Prandaj, distanca nga $β$ në pikën $M_0$ do të jetë:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\djathtas)$, ku $\vec(M_1M_0)$ është vektori normal i planit $β$ dhe $\vec( n)$ është vektori normal njësi i rrafshit në shqyrtim.

Në rastin kur ekuacioni i rrafshit jepet në formën e përgjithshme $Ax+ By + Cz + D=0$, koordinatat e vektorit normal të planit janë koeficientët e ekuacionit $\(A;B;C\ )$, dhe vektori normal i njësisë në këtë rast ka koordinatat , të llogaritura duke përdorur ekuacionin e mëposhtëm:

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\majtas(2\djathtas)$.

Tani mund të gjejmë koordinatat e vektorit normal $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\majtas(3\djathtas)$.

Ne shprehim gjithashtu koeficientin $D$ duke përdorur koordinatat e një pike që shtrihet në rrafshin $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Koordinatat e vektorit normal të njësisë nga barazia $(2)$ mund të zëvendësohen në ekuacionin e planit $β$, atëherë kemi:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\majtas(4\djathtas)$

Barazia $(4)$ është një formulë për gjetjen e distancës nga një pikë në një plan në hapësirë.

Algoritmi i përgjithshëm për gjetjen e distancës nga pika $M_0$ në një plan

  1. Nëse ekuacioni i aeroplanit nuk është dhënë në formë të përgjithshme, së pari duhet ta reduktoni në formën e përgjithshme.
  2. Pas kësaj, është e nevojshme të shprehim nga ekuacioni i përgjithshëm i planit vektorin normal të një rrafshi të caktuar përmes pikës $M_0$ dhe një pike që i përket një rrafshi të caktuar, për këtë duhet të përdorim barazinë $(3)$ .
  3. Faza tjetër është kërkimi i koordinatave të vektorit normal të njësisë së avionit duke përdorur formulën $(2)$.
  4. Më në fund, mund të filloni të gjeni distancën nga pika në rrafsh, kjo bëhet duke llogaritur produktin skalar të vektorëve $\vec(n)$ dhe $\vec(M_1M_0)$.