Vetia e konsideruar e shpërndarjeve diskrete krijon vështirësi të konsiderueshme gjatë tabelimit dhe përdorimit të shpërndarjeve të tilla, pasi është e pamundur të ruhen me saktësi vlerat numerike tipike të karakteristikave të shpërndarjes. Në veçanti, kjo është e vërtetë për vlerat kritike dhe nivelet e rëndësisë së testeve statistikore joparametrike (shih më poshtë), pasi shpërndarjet e statistikave të këtyre testeve janë diskrete.

Rendi kuantile ka një rëndësi të madhe në statistika R= ½. Ajo quhet mediane (ndryshore e rastësishme X ose funksionet e tij të shpërndarjes F(x)) dhe është caktuar Unë (X). Në gjeometri ekziston koncepti i "mediane" - një vijë e drejtë që kalon nëpër kulmin e një trekëndëshi dhe ndan anën e kundërt të saj në gjysmë. Në statistikat matematikore, mediana ndan në gjysmë jo anën e trekëndëshit, por shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme: barazi F (x 0,5)= 0.5 do të thotë se probabiliteti për të shkuar në të majtë x 0,5 dhe probabiliteti për të shkuar në të djathtë x 0,5(ose direkt tek x 0,5) janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe të barabarta me ½, d.m.th.

P(X < x 0,5) = P(X > x 0,5) = ½.

Mediana tregon "qendrën" e shpërndarjes. Nga këndvështrimi i një prej koncepteve moderne - teorisë së procedurave të qëndrueshme statistikore - mediana është një karakteristikë më e mirë e një ndryshoreje të rastësishme sesa pritshmëria matematikore. Kur përpunohen rezultatet e matjes në një shkallë rendore (shih kapitullin mbi teorinë e matjes), mund të përdoret mesatarja, por pritshmëria matematikore jo.

Një karakteristikë e një ndryshoreje të rastësishme siç është modaliteti ka një kuptim të qartë - vlera (ose vlerat) e një ndryshoreje të rastësishme që korrespondon me maksimumin lokal të densitetit të probabilitetit për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme ose maksimumin lokal të probabilitetit për një ndryshore të rastësishme diskrete. .

Nëse x 0– mënyra e një ndryshoreje të rastësishme me densitet f (x), atëherë, siç dihet nga llogaritja diferenciale, .

Një ndryshore e rastësishme mund të ketë shumë mënyra. Pra, për shpërndarje uniforme (1) çdo pikë X sikurse a< x < b , është modë. Megjithatë, ky është një përjashtim. Shumica e variablave të rastësishëm të përdorura në metodat statistikore probabiliste të vendimmarrjes dhe kërkime të tjera të aplikuara kanë një mënyrë. Variablat e rastësishëm, dendësia, shpërndarjet që kanë një mënyrë quhen unimodale.

Pritshmëria matematikore për variabla të rastësishme diskrete me një numër të kufizuar vlerash diskutohet në kapitullin "Ngjarjet dhe probabilitetet". Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme X vlera e pritur M(X) plotëson barazinë

i cili është një analog i formulës (5) nga pohimi 2 i kapitullit “Ngjarjet dhe probabilitetet”.

Shembulli 5. Pritshmëria për një ndryshore të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme X barazohet

Për variablat e rastësishme të shqyrtuara në këtë kapitull, janë të vërteta të gjitha ato veti të pritjeve dhe variancave matematikore që janë konsideruar më herët për variablat e rastësishme diskrete me një numër të kufizuar vlerash. Megjithatë, ne nuk japim prova të këtyre vetive, pasi ato kërkojnë thellim në hollësitë matematikore, gjë që nuk është e nevojshme për të kuptuar dhe zbatuar kualifikuar të metodave probabilistiko-statistikore të vendimmarrjes.

Komentoni. Ky tekst shkollor shmang qëllimisht hollësitë matematikore që lidhen, veçanërisht, me konceptet e grupeve të matshme dhe funksioneve të matshme, algjebrës së ngjarjeve, etj. Ata që dëshirojnë t'i zotërojnë këto koncepte duhet t'i drejtohen literaturës së specializuar, në veçanti, enciklopedisë.

Secila nga tre karakteristikat - pritshmëria matematikore, mediana, mënyra - përshkruan "qendrën" e shpërndarjes së probabilitetit. Koncepti i "qendrës" mund të përkufizohet në mënyra të ndryshme - pra tre karakteristika të ndryshme. Megjithatë, për një klasë të rëndësishme shpërndarjesh - simetrike unimodale - të tre karakteristikat përkojnë.

Dendësia e shpërndarjes f(x)– dendësia e shpërndarjes simetrike, nëse ka një numër x 0 sikurse

. (3)

Barazia (3) do të thotë se grafiku i funksionit y = f(x) simetrike për një vijë vertikale që kalon nga qendra e simetrisë X = X 0 . Nga (3) del se funksioni i shpërndarjes simetrike plotëson relacionin

(4)

Për një shpërndarje simetrike me një modalitet, pritshmëria matematikore, mediana dhe mënyra përputhen dhe janë të barabarta x 0.

Rasti më i rëndësishëm është simetria rreth 0, d.m.th. x 0= 0. Pastaj (3) dhe (4) bëhen barazi

(6)

përkatësisht. Marrëdhëniet e mësipërme tregojnë se nuk ka nevojë të renditen shpërndarjet simetrike për të gjithë X, mjafton të kesh tavolina në x > x 0.

Le të vërejmë edhe një veti të shpërndarjeve simetrike, e cila përdoret vazhdimisht në metodat probabilistiko-statistikore të vendimmarrjes dhe kërkime të tjera të aplikuara. Për një funksion të shpërndarjes së vazhdueshme

P(|X| < a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

Ku F– funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X. Nëse funksioni i shpërndarjes Fështë simetrik rreth 0, d.m.th. Atëherë formula (6) është e vlefshme për të

P(|X| < a) = 2F(a) - 1.

Shpesh përdoret një formulim tjetër i pohimit në fjalë: nëse

.

Nëse dhe janë kuantile të rendit dhe, përkatësisht (shih (2)) të një funksioni shpërndarjeje simetrik rreth 0, atëherë nga (6) rrjedh se

Nga karakteristikat e pozicionit - pritshmëria matematikore, mediana, mënyra - le të kalojmë në karakteristikat e përhapjes së ndryshores së rastit. X: varianca, devijimi standard dhe koeficienti i variacionit v. Përkufizimi dhe vetitë e dispersionit për variablat e rastësishme diskrete u diskutuan në kapitullin e mëparshëm. Për variabla të rastësishme të vazhdueshme

Devijimi standard është vlera jo negative e rrënjës katrore të variancës:

Koeficienti i variacionit është raporti i devijimit standard me pritshmërinë matematikore:

Koeficienti i variacionit zbatohet kur M(X)> 0. Ai mat përhapjen në njësi relative, ndërsa devijimi standard është në njësi absolute.

Shembulli 6. Për një ndryshore të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme X Le të gjejmë dispersionin, devijimin standard dhe koeficientin e variacionit. Varianca është:

Ndryshimi i variablës bën të mundur shkrimin:

Ku c = (b – a)/ 2. Prandaj, devijimi standard është i barabartë me dhe koeficienti i variacionit është:

Për çdo ndryshore të rastësishme X përcaktoni edhe tre sasi të tjera - në qendër Y, i normalizuar V dhe dhënë U. Ndryshore e rastësishme e përqendruar Yështë diferenca midis një ndryshoreje të caktuar të rastësishme X dhe pritshmërinë e saj matematikore M(X), ato. Y = X – M(X). Pritja e një ndryshoreje të rastësishme të përqendruar Yështë e barabartë me 0, dhe varianca është varianca e një ndryshoreje të caktuar të rastësishme: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). Funksioni i shpërndarjes F Y(x) ndryshore e rastësishme e përqendruar Y lidhur me funksionin e shpërndarjes F(x) variabël origjinale e rastësishme X raport:

F Y(x) = F(x + M(X)).

Dendësia e këtyre ndryshoreve të rastësishme plotësojnë barazinë

f Y(x) = f(x + M(X)).

Ndryshore e rastësishme e normalizuar Vështë raporti i një ndryshoreje të caktuar të rastësishme X në devijimin e tij standard, d.m.th. . Pritshmëria dhe varianca e një ndryshoreje të rastësishme të normalizuar V të shprehura përmes karakteristikave X Kështu që:

,

Ku v– koeficienti i variacionit të ndryshores së rastit origjinal X. Për funksionin e shpërndarjes F V(x) dhe dendësia f V(x) ndryshore e rastësishme e normalizuar V ne kemi:

Ku F(x) – funksioni i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme origjinale X, A f(x) – dendësia e probabilitetit të tij.

Ndryshore e reduktuar e rastësishme Uështë një ndryshore e rastësishme e përqendruar dhe e normalizuar:

.

Për variablin e dhënë rastësor

Ndryshoret e rastësishme të normalizuara, të përqendruara dhe të reduktuara përdoren vazhdimisht si në studimet teorike ashtu edhe në algoritme, produkte softuerike, dokumentacionin rregullator, teknik dhe udhëzues. Në veçanti, për shkak të barazive bëjnë të mundur thjeshtimin e justifikimit të metodave, formulimin e teoremave dhe formulat e llogaritjes.

Përdoren transformimet e variablave të rastësishëm dhe ato më të përgjithshme. Keshtu nese Y = aX + b, Ku a Dhe b- disa numra, pra

Shembulli 7. Nese atehere Yështë ndryshorja e rastësishme e reduktuar, dhe formulat (8) shndërrohen në formula (7).

Me çdo ndryshore të rastësishme X ju mund të lidhni shumë variabla të rastit Y, dhënë nga formula Y = aX + b në të ndryshme a> 0 dhe b. Ky grup quhet familja e ndërrimit të shkallës, i krijuar nga ndryshorja e rastësishme X. Funksionet e shpërndarjes F Y(x) përbëjnë një familje shpërndarjesh të zhvendosjes së shkallës të gjeneruara nga funksioni i shpërndarjes F(x). Në vend të Y = aX + b shpesh përdorin regjistrimin

Numri Me quhet parametri i zhvendosjes, dhe numri d- parametri i shkallës. Formula (9) tregon se X– rezultati i matjes së një sasie të caktuar – hyn U– rezultati i matjes së së njëjtës sasi nëse fillimi i matjes zhvendoset në pikë Me, dhe më pas përdorni njësinë e re të matjes, në d herë më i madh se ai i vjetër.

Për familjen e zhvendosjes së shkallës (9), shpërndarja e X quhet standarde. Në metodat probabilistike statistikore të vendimmarrjes dhe kërkime të tjera të aplikuara, përdoren shpërndarja standarde normale, shpërndarja standarde Weibull-Gnedenko, shpërndarja standarde e gama, etj. (shih më poshtë).

Përdoren gjithashtu transformime të tjera të ndryshoreve të rastësishme. Për shembull, për një ndryshore pozitive të rastit X janë duke konsideruar Y= log X, ku lg X– logaritmi dhjetor i një numri X. Zinxhiri i barazive

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

lidh funksionet e shpërndarjes X Dhe Y.

Gjatë përpunimit të të dhënave, përdoren karakteristikat e mëposhtme të një ndryshoreje të rastësishme X si momente të rendit q, d.m.th. pritjet matematikore të një ndryshoreje të rastësishme Xq, q= 1, 2, ... Kështu, vetë pritshmëria matematikore është një moment i rendit 1. Për një ndryshore të rastësishme diskrete, momenti i rendit q mund të llogaritet si

Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme

Momentet e rendit q quhen edhe momentet fillestare të rendit q, në ndryshim nga karakteristikat e lidhura - momentet qendrore të rendit q, dhënë nga formula

Pra, dispersioni është një moment qendror i rendit 2.

Shpërndarja normale dhe teorema e kufirit qendror. Në metodat probabilistiko-statistikore të vendimmarrjes shpesh flasim për shpërndarje normale. Ndonjëherë ata përpiqen ta përdorin atë për të modeluar shpërndarjen e të dhënave fillestare (këto përpjekje nuk janë gjithmonë të justifikuara - shih më poshtë). Më e rëndësishmja, shumë metoda të përpunimit të të dhënave bazohen në faktin se vlerat e llogaritura kanë shpërndarje afër normales.

Le X 1 , X 2 ,…, Xn M(X i) = m dhe variancat D(X i) = , i = 1, 2,…, n,... Siç vijon nga rezultatet e kapitullit të mëparshëm,

Merrni parasysh variablin e rastësishëm të reduktuar U n për shumën , domethënë,

Siç vijon nga formula (7), M(U n) = 0, D(U n) = 1.

(për terma të shpërndarë në mënyrë identike). Le X 1 , X 2 ,…, Xn, … – variabla të rastësishme të pavarura të shpërndara identike me pritshmëri matematikore M(X i) = m dhe variancat D(X i) = , i = 1, 2,…, n,... Atëherë për çdo x ka një kufi

Ku F(x)– funksioni i shpërndarjes normale standarde.

Më shumë rreth veçorisë F(x) - më poshtë (lexoni "fi nga x", sepse F- Shkronja e madhe greke "phi").

Teorema e kufirit qendror (CLT) e ka marrë emrin e saj sepse është rezultati matematikor qendror, më i përdorur i teorisë së probabilitetit dhe statistikave matematikore. Historia e CLT zgjat rreth 200 vjet - nga viti 1730, kur matematikani anglez A. Moivre (1667-1754) publikoi rezultatin e parë në lidhje me CLT (shih më poshtë për teoremën Moivre-Laplace), deri në vitet njëzetë dhe tridhjetë të shek. shekulli i njëzetë, kur Finn J.W. Lindeberg, francezi Paul Levy (1886-1971), jugosllav V. Feller (1906-1970), rus A.Ya. Khinchin (1894-1959) dhe shkencëtarë të tjerë morën kushte të nevojshme dhe të mjaftueshme për vlefshmërinë e teoremës klasike të kufirit qendror.

Zhvillimi i temës në shqyrtim nuk u ndal me kaq - ata studiuan variabla të rastësishme që nuk kanë dispersion, d.m.th. ata për të cilët

(akademik B.V. Gnedenko dhe të tjerë), një situatë kur përmblidhen variabla të rastësishëm (më saktë, elementë të rastësishëm) të një natyre më komplekse sesa numrat (akademikët Yu.V. Prokhorov, A.A. Borovkov dhe bashkëpunëtorët e tyre), etj. .d.

Funksioni i shpërndarjes F(x) jepet nga barazia

,

ku është dendësia e shpërndarjes normale standarde, e cila ka një shprehje mjaft komplekse:

.

Këtu =3.1415925… është një numër i njohur në gjeometri, i barabartë me raportin e perimetrit me diametrin, e = 2,718281828... - baza e logaritmeve natyrore (për të kujtuar këtë numër, ju lutemi vini re se viti 1828 është viti i lindjes së shkrimtarit L.N. Tolstoy). Siç dihet nga analiza matematikore,

Gjatë përpunimit të rezultateve të vëzhgimit, funksioni i shpërndarjes normale nuk llogaritet duke përdorur formulat e dhëna, por gjendet duke përdorur tabela të veçanta ose programe kompjuterike. "Tabelat më të mira të statistikave matematikore" në Rusisht u përpiluan nga anëtarët korrespondues të Akademisë së Shkencave të BRSS L.N. Bolshev dhe N.V. Smirnov.

Forma e densitetit të shpërndarjes normale standarde rrjedh nga teoria matematikore, të cilën nuk mund ta konsiderojmë këtu, si dhe nga vërtetimi i CLT.

Për ilustrim, ne ofrojmë tabela të vogla të funksionit të shpërndarjes F(x)(Tabela 2) dhe sasitë e saj (Tabela 3). Funksioni F(x) simetrike rreth 0, e cila pasqyrohet në tabelën 2-3.

Tabela 2.

Funksioni standard i shpërndarjes normale.

Nëse ndryshorja e rastit X ka një funksion shpërndarjeje F(x), Se M(X) = 0, D(X) = 1. Ky pohim vërtetohet në teorinë e probabilitetit bazuar në formën e densitetit të probabilitetit. Është në përputhje me një deklaratë të ngjashme për karakteristikat e ndryshores së rastësishme të reduktuar U n, e cila është krejt e natyrshme, pasi CLT thotë se me një rritje të pakufizuar të numrit të termave, funksioni i shpërndarjes U n priret në funksionin standard të shpërndarjes normale F(x), dhe për çdo X.

Tabela 3.

Kuantilet e shpërndarjes normale standarde.

Le të prezantojmë konceptin e një familje të shpërndarjeve normale. Sipas përkufizimit, një shpërndarje normale është shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme X, për të cilën shpërndarja e ndryshores së rastësishme të reduktuar është F(x). Siç vijon nga vetitë e përgjithshme të familjeve të shpërndarjeve me zhvendosje të shkallës (shih më lart), një shpërndarje normale është një shpërndarje e një ndryshoreje të rastësishme

Ku X– ndryshore e rastësishme me shpërndarje F(X), dhe m = M(Y), = D(Y). Shpërndarja normale me parametra ndërrimi m dhe zakonisht tregohet shkalla N(m, ) (ndonjëherë përdoret shënimi N(m, ) ).

Siç vijon nga (8), densiteti i probabilitetit të shpërndarjes normale N(m, ) ka

Shpërndarjet normale formojnë një familje të zhvendosjes së shkallës. Në këtë rast, parametri i shkallës është d= 1/, dhe parametri i zhvendosjes c = - m/ .

Për momentet qendrore të rendit të tretë dhe të katërt të shpërndarjes normale vlejnë barazitë e mëposhtme:

Këto barazi përbëjnë bazën e metodave klasike për të verifikuar që vëzhgimet ndjekin një shpërndarje normale. Në ditët e sotme zakonisht rekomandohet të testohet normaliteti duke përdorur kriterin W Shapiro - Wilka. Problemi i testimit të normalitetit diskutohet më poshtë.

Nëse variablat e rastësishëm X 1 Dhe X 2 kanë funksione të shpërndarjes N(m 1 , 1) Dhe N(m 2 , 2) në përputhje me rrethanat, atëherë X 1+ X 2 ka një shpërndarje Prandaj, nëse variablat e rastësishëm X 1 , X 2 ,…, Xn N(m, ) , pastaj mesatarja e tyre aritmetike

ka një shpërndarje N(m, ) . Këto veti të shpërndarjes normale përdoren vazhdimisht në metoda të ndryshme probabilistike dhe statistikore të vendimmarrjes, veçanërisht në rregullimin statistikor të proceseve teknologjike dhe në kontrollin e pranimit statistikor bazuar në kritere sasiore.

Duke përdorur shpërndarjen normale, përcaktohen tre shpërndarje që tani përdoren shpesh në përpunimin e të dhënave statistikore.

Shpërndarja (chi - katror) – shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme

ku janë variablat e rastësishëm X 1 , X 2 ,…, Xn të pavarura dhe kanë të njëjtën shpërndarje N(0,1). Në këtë rast, numri i termave, d.m.th. n, quhet "numri i shkallëve të lirisë" të shpërndarjes chi-katrore.

Shpërndarja t T-ja e studentit është shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme

ku janë variablat e rastësishëm U Dhe X i pavarur, U ka një shpërndarje normale standarde N(0.1), dhe X– shpërndarja chi – katror c n shkallët e lirisë. ku n quhet “numri i shkallëve të lirisë” i shpërndarjes së Studentit. Kjo shpërndarje u prezantua në vitin 1908 nga statisticieni anglez W. Gosset, i cili punonte në një fabrikë birre. Për marrjen e vendimeve ekonomike dhe teknike në këtë fabrikë u përdorën metoda probabiliste dhe statistikore, ndaj drejtuesit e saj e ndaluan V. Gosset të botonte artikuj shkencorë me emrin e tij. Në këtë mënyrë mbroheshin sekretet tregtare dhe “know-how” në formën e metodave probabiliste dhe statistikore të zhvilluara nga V. Gosset. Megjithatë, ai pati mundësinë të botonte me pseudonimin “Studenti”. Historia e Gosset-Student tregon se për njëqind vjet të tjera, menaxherët në Britaninë e Madhe ishin të vetëdijshëm për efikasitetin më të madh ekonomik të metodave probabilistiko-statistikore të vendimmarrjes.

Shpërndarja Fisher është shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme

ku janë variablat e rastësishëm X 1 Dhe X 2 janë të pavarura dhe kanë shpërndarje chi-katrore me numrin e shkallëve të lirisë k 1 Dhe k 2 përkatësisht. Në të njëjtën kohë, çifti (k 1 , k 2 ) - një palë "shkallë lirie" të shpërndarjes së Fisher, përkatësisht, k 1 është numri i shkallëve të lirisë së numëruesit, dhe k 2 – numri i shkallëve të lirisë së emëruesit. Shpërndarja e ndryshores së rastësishme F është emëruar sipas statisticienit të madh anglez R. Fisher (1890-1962), i cili e përdori atë në mënyrë aktive në veprat e tij.

Shprehjet për funksionet chi-square, Student dhe Fisher, dendësia dhe karakteristikat e tyre, si dhe tabelat mund të gjenden në literaturën e specializuar (shih, për shembull,).

Siç u përmend tashmë, shpërndarjet normale tani përdoren shpesh në modelet probabilistike në fusha të ndryshme të aplikuara. Cila është arsyeja që kjo familje shpërndarjesh me dy parametra është kaq e përhapur? Ajo sqarohet nga teorema e mëposhtme.

Teorema e kufirit qendror(për terma të shpërndara ndryshe). Le X 1 , X 2 ,…, Xn,… - variabla të rastësishme të pavarura me pritshmëri matematikore M(X 1 ), M (X 2 ),…, M(X n), ... dhe variancat D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), ... respektivisht. Le

Pastaj, nëse disa kushte janë të vërteta që sigurojnë kontributin e vogël të ndonjë prej kushteve në U n,

për këdo X.

Këtu nuk do të formulojmë kushtet në fjalë. Ato mund të gjenden në literaturë të specializuar (shih, për shembull,). “Sqarimi i kushteve në të cilat funksionon KPT-ja është meritë e shkencëtarëve të shquar rusë A.A. Markov (1857-1922) dhe, në veçanti, A.M. Lyapunov (1857-1918).

Teorema e kufirit qendror tregon se në rastin kur rezultati i një matje (vëzhgimi) formohet nën ndikimin e shumë shkaqeve, secili prej tyre jep vetëm një kontribut të vogël, dhe rezultati i përgjithshëm përcaktohet. në mënyrë shtuese, d.m.th. duke shtuar, atëherë shpërndarja e rezultatit të matjes (vëzhgimit) është afër normales.

Ndonjëherë besohet se që shpërndarja të jetë normale, mjafton që rezultati i matjes (vëzhgimit) Xështë formuar nën ndikimin e shumë arsyeve, secila prej të cilave ka një ndikim të vogël. Kjo eshte e gabuar. Ajo që ka rëndësi është se si funksionojnë këto shkaqe. Nëse aditiv, atëherë X ka një shpërndarje afërsisht normale. Nëse në mënyrë shumëzuese(d.m.th. shumëzohen dhe nuk shtohen veprimet e shkaqeve individuale), pastaj shpërndarja X afër jo me normalen, por me të ashtuquajturin. normalisht logaritmikisht, d.m.th. Jo X, dhe log X ka një shpërndarje afërsisht normale. Nëse nuk ka arsye për të besuar se një nga këta dy mekanizma për formimin e rezultatit përfundimtar është në punë (ose ndonjë mekanizëm tjetër i përcaktuar mirë), atëherë në lidhje me shpërndarjen X nuk mund të thuhet asgjë e qartë.

Nga sa më sipër rezulton se në një problem specifik të aplikuar, normaliteti i rezultateve të matjes (vëzhgimeve), si rregull, nuk mund të përcaktohet nga konsideratat e përgjithshme; ai duhet të kontrollohet duke përdorur kritere statistikore. Ose përdorni metoda statistikore joparametrike që nuk bazohen në supozime në lidhje me anëtarësimin e funksioneve të shpërndarjes së rezultateve të matjes (vëzhgimeve) në një ose një familje tjetër parametrike.

Shpërndarjet e vazhdueshme të përdorura në metodat probabilistike dhe statistikore të vendimmarrjes. Përveç familjes së zhvendosjes së shkallës së shpërndarjeve normale, përdoren gjerësisht një numër i familjeve të tjera të shpërndarjeve - shpërndarjet lognormale, eksponenciale, Weibull-Gnedenko, gama. Le të shohim këto familje.

Vlera e rastësishme X ka një shpërndarje lognormale nëse ndryshorja e rastësishme Y= log X ka një shpërndarje normale. Pastaj Z= log X = 2,3026…Y gjithashtu ka një shpërndarje normale N(a 1 ,σ 1), ku ln X- logaritmi natyror X. Dendësia e shpërndarjes lognormale është:

Nga teorema e kufirit qendror del se prodhimi X = X 1 X 2 … Xn variabla të rastësishme pozitive të pavarura X i, i = 1, 2,…, n, në gjendje të lirë n mund të përafrohet me një shpërndarje lognormale. Në veçanti, modeli shumëzues i formimit të pagave ose të ardhurave çon në rekomandimin për të përafruar shpërndarjet e pagave dhe të ardhurave me ligje logaritmikisht normale. Për Rusinë, ky rekomandim doli të ishte i justifikuar - të dhënat statistikore e konfirmojnë atë.

Ka modele të tjera probabiliste që çojnë në ligjin lognormal. Një shembull klasik i një modeli të tillë u dha nga A.N. Kolmogorov, i cili, nga një sistem i bazuar fizikisht i postulateve, arriti në përfundimin se përmasat e grimcave gjatë shtypjes së copave të xehes, qymyrit, etj. në mullinjtë me top kanë një shpërndarje lognormale.

Le të kalojmë në një familje tjetër shpërndarjesh, e përdorur gjerësisht në metoda të ndryshme probabilistiko-statistikore të vendimmarrjes dhe kërkime të tjera të aplikuara - familja e shpërndarjeve eksponenciale. Le të fillojmë me një model probabilistik që çon në shpërndarje të tilla. Për ta bërë këtë, merrni parasysh "rrjedhën e ngjarjeve", d.m.th. një sekuencë ngjarjesh që ndodhin njëra pas tjetrës në momente të caktuara kohore. Shembujt përfshijnë: rrjedhën e thirrjeve në një central telefonik; rrjedha e dështimeve të pajisjeve në zinxhirin teknologjik; rrjedha e dështimeve të produktit gjatë testimit të produktit; rrjedha e kërkesave të klientëve në degën e bankës; fluksin e blerësve që aplikojnë për mallra dhe shërbime, etj. Në teorinë e rrjedhave të ngjarjeve vlen një teoremë e ngjashme me teoremën e kufirit qendror, por nuk ka të bëjë me mbledhjen e variablave të rastësishëm, por me përmbledhjen e rrjedhave të ngjarjeve. Ne konsiderojmë një rrjedhë totale të përbërë nga një numër i madh fluksesh të pavarura, asnjëra prej të cilave nuk ka një ndikim mbizotërues në rrjedhën totale. Për shembull, një fluks thirrjesh që hyn në një central telefonik përbëhet nga një numër i madh fluksesh thirrjesh të pavarura që vijnë nga pajtimtarë individualë. Është vërtetuar se në rastin kur karakteristikat e rrjedhave nuk varen nga koha, rrjedha totale përshkruhet plotësisht nga një numër - intensiteti i rrjedhës. Për rrjedhën totale, merrni parasysh variablin e rastësishëm X- gjatësia e intervalit kohor ndërmjet ngjarjeve të njëpasnjëshme. Funksioni i tij i shpërndarjes ka formën

(10)

Kjo shpërndarje quhet shpërndarje eksponenciale sepse formula (10) përfshin funksionin eksponencial e -λ x. Vlera 1/λ është një parametër i shkallës. Ndonjëherë futet edhe një parametër i zhvendosjes Me, shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme quhet eksponenciale X + s, ku shpërndarja X jepet me formulën (10).

Shpërndarjet eksponenciale janë një rast i veçantë i të ashtuquajturit. Shpërndarjet Weibull - Gnedenko. Ata janë emëruar sipas emrave të inxhinierit V. Weibull, i cili i futi këto shpërndarje në praktikën e analizimit të rezultateve të testeve të lodhjes, dhe matematikanit B.V. Gnedenko (1912-1995), i cili mori shpërndarje të tilla si kufij kur studionte maksimumin e rezultatet e testit. Le X- një variabël i rastësishëm që karakterizon kohëzgjatjen e funksionimit të një produkti, sistemi kompleks, elementi (d.m.th. burimi, koha e funksionimit në një gjendje kufizuese, etj.), Kohëzgjatja e funksionimit të një ndërmarrje ose jetën e një qenieje të gjallë, etj. Intensiteti i dështimit luan një rol të rëndësishëm

(11)

Ku F(x) Dhe f(x) - funksioni i shpërndarjes dhe dendësia e një ndryshoreje të rastësishme X.

Le të përshkruajmë sjelljen tipike të shkallës së dështimit. I gjithë intervali kohor mund të ndahet në tre periudha. Në të parën prej tyre funksioni λ(x) ka vlera të larta dhe një tendencë të qartë për t'u ulur (më shpesh zvogëlohet në mënyrë monotonike). Kjo mund të shpjegohet me praninë në grupin e njësive të produktit në fjalë me defekte të dukshme dhe të fshehura, të cilat çojnë në një dështim relativisht të shpejtë të këtyre njësive të produktit. Periudha e parë quhet "periudha e thyerjes" (ose "break-in"). Kjo është ajo që zakonisht mbulon periudha e garancisë.

Pastaj vjen një periudhë e funksionimit normal, e karakterizuar nga një shkallë përafërsisht konstante dhe relativisht e ulët e dështimit. Natyra e dështimeve gjatë kësaj periudhe është e papritur (aksidente, gabime të personelit operativ, etj.) dhe nuk varet nga kohëzgjatja e funksionimit të njësisë së produktit.

Së fundi, periudha e fundit e funksionimit është periudha e plakjes dhe konsumimit. Natyra e dështimeve gjatë kësaj periudhe është në ndryshime të pakthyeshme fizike, mekanike dhe kimike të materialeve, duke çuar në një përkeqësim progresiv të cilësisë së një njësie produkti dhe në dështimin përfundimtar të tij.

Çdo periudhë ka llojin e vet të funksionit λ(x). Le të shqyrtojmë klasën e varësive të pushtetit

λ(x) = λ 0bx b -1 , (12)

Ku λ 0 > 0 dhe b> 0 - disa parametra numerikë. vlerat b < 1, b= 0 dhe b> 1 korrespondon me llojin e shkallës së dështimit gjatë periudhave të funksionimit, funksionimit normal dhe plakjes, përkatësisht.

Marrëdhënia (11) me një shkallë të caktuar dështimi λ(x)- ekuacioni diferencial për një funksion F(x). Nga teoria e ekuacioneve diferenciale del se

(13)

Duke zëvendësuar (12) në (13), marrim atë

(14)

Shpërndarja e dhënë nga formula (14) quhet shpërndarja Weibull - Gnedenko. Sepse

atëherë nga formula (14) del se sasia A, i dhënë nga formula (15), është një parametër i shkallës. Ndonjëherë futet edhe një parametër i zhvendosjes, d.m.th. Funksionet e shpërndarjes Weibull-Gnedenko thirren F(x - c), Ku F(x) jepet me formulën (14) për disa λ 0 dhe b.

Dendësia e shpërndarjes Weibull-Gnedenko ka formën

(16)

Ku a> 0 - parametri i shkallës, b> 0 - parametri i formës, Me- parametri i zhvendosjes. Në këtë rast, parametri A nga formula (16) lidhet me parametrin λ 0 nga formula (14) nga marrëdhënia e specifikuar në formulën (15).

Shpërndarja eksponenciale është një rast shumë i veçantë i shpërndarjes Weibull-Gnedenko, që korrespondon me vlerën e parametrit të formës b = 1.

Shpërndarja Weibull-Gnedenko përdoret gjithashtu në ndërtimin e modeleve probabiliste të situatave në të cilat sjellja e një objekti përcaktohet nga "lidhja më e dobët". Ekziston një analogji me një zinxhir, siguria e të cilit përcaktohet nga lidhja që ka forcën më të vogël. Me fjalë të tjera, le X 1 , X 2 ,…, Xn- variabla të rastësishme të pavarura të shpërndara identike,

X(1)=min( X 1, X 2,…, X n), X(n)= max( X 1, X 2,…, X n).

Në një sërë problemesh të aplikuara, ato luajnë një rol të rëndësishëm X(1) Dhe X(n) , në veçanti, kur studioni vlerat maksimale të mundshme ("regjistrat") të vlerave të caktuara, për shembull, pagesat e sigurimit ose humbjet për shkak të rreziqeve tregtare, kur studioni kufijtë e elasticitetit dhe qëndrueshmërisë së çelikut, një sërë karakteristikash besueshmërie, etj. . Tregohet se për n të mëdha shpërndarjet X(1) Dhe X(n) , si rregull, përshkruhen mirë nga shpërndarjet Weibull-Gnedenko. Kontributi themelor në studimin e shpërndarjeve X(1) Dhe X(n) kontribuar nga matematikani sovjetik B.V. Gnedenko. Punimet e V. Weibull, E. Gumbel, V.B. i kushtohen përdorimit të rezultateve të marra në ekonomi, menaxhim, teknologji dhe fusha të tjera. Nevzorova, E.M. Kudlaev dhe shumë specialistë të tjerë.

Le të kalojmë në familjen e shpërndarjeve të gama. Ato përdoren gjerësisht në ekonomi dhe menaxhim, teori dhe praktikë të besueshmërisë dhe testimit, në fusha të ndryshme të teknologjisë, meteorologjisë, etj. Në veçanti, në shumë situata, shpërndarja gama i nënshtrohet sasive të tilla si jeta totale e shërbimit të produktit, gjatësia e zinxhirit të grimcave përçuese të pluhurit, koha kur produkti arrin gjendjen kufizuese gjatë korrozionit, koha e funksionimit të k- refuzimi, k= 1, 2, ..., etj. Jetëgjatësia e pacientëve me sëmundje kronike dhe koha për të arritur një efekt të caktuar gjatë trajtimit në disa raste kanë një shpërndarje gama. Kjo shpërndarje është më e përshtatshme për të përshkruar kërkesën në modelet ekonomike dhe matematikore të menaxhimit të inventarit (logjistikë).

Dendësia e shpërndarjes së gama ka formën

(17)

Dendësia e probabilitetit në formulën (17) përcaktohet nga tre parametra a, b, c, Ku a>0, b>0. ku aështë një parametër i formës, b- parametri i shkallës dhe Me- parametri i zhvendosjes. Faktori 1/Γ(a) po normalizohet, u prezantua

Këtu Γ(a)- një nga funksionet e veçanta të përdorura në matematikë, i ashtuquajturi "funksion gama", pas së cilës emërtohet shpërndarja e dhënë nga formula (17),

Në fikse A formula (17) specifikon një familje të zhvendosjes së shkallës së shpërndarjeve të krijuara nga një shpërndarje me densitet

(18)

Një shpërndarje e formës (18) quhet shpërndarje standarde gama. Përftohet nga formula (17) në b= 1 dhe Me= 0.

Një rast i veçantë i shpërndarjeve gama për A= 1 janë shpërndarje eksponenciale (me λ = 1/b). Me natyrale A Dhe Me=0 shpërndarjet gama quhen shpërndarje Erlang. Nga veprat e shkencëtarit danez K.A. Erlang (1878-1929), punonjës i Kompanisë Telefonike të Kopenhagës, i cili studioi në vitet 1908-1922. funksionimi i rrjeteve telefonike, filloi zhvillimi i teorisë së radhëve. Kjo teori merret me modelimin probabilistik dhe statistikor të sistemeve në të cilat një rrjedhë kërkesash shërbehet për të marrë vendime optimale. Shpërndarjet Erlang përdoren në të njëjtat zona aplikimi në të cilat përdoren shpërndarjet eksponenciale. Kjo bazohet në faktin e mëposhtëm matematik: shuma e k variablave të rastësishme të pavarura të shpërndara në mënyrë eksponenciale me të njëjtat parametra λ dhe Me, ka një shpërndarje gama me një parametër të formës a =k, parametri i shkallës b= 1/λ dhe parametri i zhvendosjes kc. Në Me= 0 marrim shpërndarjen Erlang.

Nëse ndryshorja e rastit X ka një shpërndarje gama me një parametër të formës A sikurse d = 2 a- numër i plotë, b= 1 dhe Me= 0, pastaj 2 X ka një shpërndarje chi-katrore me d shkallët e lirisë.

Vlera e rastësishme X me shpërndarjen gvmma ka karakteristikat e mëposhtme:

Vlera e pritshme M(X) =ab + c,

Varianca D(X) = σ 2 = ab 2 ,

Koeficienti i variacionit

Asimetria

Teprica

Shpërndarja normale është një rast ekstrem i shpërndarjes gama. Më saktësisht, le të jetë Z një ndryshore e rastësishme që ka një shpërndarje standarde gama të dhënë nga formula (18). Pastaj

për çdo numër real X, Ku F(x)- funksioni standard i shpërndarjes normale N(0,1).

Në kërkimin e aplikuar përdoren edhe familje të tjera parametrike të shpërndarjeve, nga të cilat më të famshmit janë sistemi i kurbave Pearson, seritë Edgeworth dhe Charlier. Ato nuk merren parasysh këtu.

Diskret shpërndarjet e përdorura në metodat probabilistike dhe statistikore të vendimmarrjes. Më të përdorurat janë tre familje të shpërndarjeve diskrete - binomiale, hipergjeometrike dhe Poisson, si dhe disa familje të tjera - gjeometrike, binomi negativ, multinomial, hipergjeometrik negativ, etj.

Siç është përmendur tashmë, shpërndarja binomiale ndodh në prova të pavarura, në secilën prej të cilave me probabilitet R shfaqet ngjarja A. Nëse numri i përgjithshëm i provave n dhënë, pastaj numrin e testeve Y, në të cilën u shfaq ngjarja A, ka një shpërndarje binomiale. Për një shpërndarje binomiale, probabiliteti për t'u pranuar si një ndryshore e rastësishme është Y vlerat y përcaktohet nga formula

Numri i kombinimeve të n elementet nga y, i njohur nga kombinatorika. Per te gjithe y, përveç 0, 1, 2, ..., n, ne kemi P(Y= y)= 0. Shpërndarja binomiale me madhësi fikse të kampionit n specifikohet nga parametri fq, d.m.th. Shpërndarjet binomiale formojnë një familje me një parametra. Ato përdoren në analizën e të dhënave nga studimet e mostrës, në veçanti, në studimin e preferencave të konsumatorëve, kontrollin selektiv të cilësisë së produktit sipas planeve të kontrollit me një fazë, kur testohen popullatat e individëve në demografi, sociologji, mjekësi, biologji, etj. .

Nëse Y 1 Dhe Y 2 - variabla të rastësishëm binom të pavarur me të njëjtin parametër fq 0 , i përcaktuar nga mostrat me vëllime n 1 Dhe n 2 në përputhje me rrethanat, atëherë Y 1 + Y 2 - variabël binom i rastësishëm që ka shpërndarje (19) me R = fq 0 Dhe n = n 1 + n 2 . Kjo vërejtje zgjeron zbatueshmërinë e shpërndarjes binomiale duke lejuar që rezultatet e disa grupeve të testeve të kombinohen kur ka arsye të besohet se i njëjti parametër korrespondon me të gjitha këto grupe.

Karakteristikat e shpërndarjes binomiale janë llogaritur më herët:

M(Y) = n.p., D(Y) = n.p.( 1- fq).

Në seksionin "Ngjarjet dhe probabilitetet" ligji i numrave të mëdhenj vërtetohet për një ndryshore të rastësishme binomiale:

për këdo. Duke përdorur teoremën e kufirit qendror, ligji i numrave të mëdhenj mund të rafinohet duke treguar se sa Y/ n ndryshon nga R.

Teorema De Moivre-Laplace. Për çdo numër a dhe b, a< b, ne kemi

Ku F(X) është një funksion i shpërndarjes normale standarde me pritshmëri matematikore 0 dhe variancë 1.

Për ta vërtetuar atë, mjafton të përdoret përfaqësimi Y në formën e një shume të variablave të rastësishëm të pavarur që korrespondojnë me rezultatet e testeve individuale, formulat për M(Y) Dhe D(Y) dhe teorema e kufirit qendror.

Kjo teoremë është për rastin R= ½ u vërtetua nga matematikani anglez A. Moivre (1667-1754) në 1730. Në formulimin e mësipërm, u vërtetua në 1810 nga matematikani francez Pierre Simon Laplace (1749 - 1827).

Shpërndarja hipergjeometrike ndodh gjatë kontrollit selektiv të një grupi të fundëm objektesh me vëllim N sipas një kriteri alternativ. Çdo objekt i kontrolluar klasifikohet ose se ka atributin A, ose sikur nuk e ka këtë karakteristikë. Shpërndarja hipergjeometrike ka një ndryshore të rastësishme Y, e barabartë me numrin e objekteve që kanë atributin A në një mostër të rastësishme të vëllimit n, Ku n< N. Për shembull, numri Y njësitë e dëmtuara të produktit në një mostër të rastësishme të vëllimit n nga vëllimi i grupit N ka një shpërndarje hipergjeometrike nëse n< N. Një shembull tjetër është lotaria. Lëreni shenjën A bileta është një shenjë e "të qenit fitues". Lëreni numrin total të biletave N, dhe disa persona të fituar n prej tyre. Atëherë numri i biletave fituese për këtë person ka një shpërndarje hipergjeometrike.

Për një shpërndarje hipergjeometrike, probabiliteti që një ndryshore e rastësishme Y të pranojë vlerën y ka formën

(20)

Ku D– numri i objekteve që kanë atributin A, në grupin e konsideruar të vëllimit N. ku y merr vlera nga max(0, n - (N - D)) në min ( n, D), gjëra të tjera y probabiliteti në formulën (20) është i barabartë me 0. Kështu, shpërndarja hipergjeometrike përcaktohet nga tre parametra - vëllimi i popullatës N, numri i objekteve D në të, duke zotëruar karakteristikën në fjalë A, dhe madhësia e mostrës n.

Kampionimi i thjeshtë i rastësishëm i vëllimit n nga vëllimi i përgjithshëm Nështë një mostër e marrë si rezultat i përzgjedhjes së rastësishme në të cilën ndonjë nga grupet e n objektet kanë të njëjtën probabilitet për t'u përzgjedhur. Metodat për zgjedhjen e rastësishme të mostrave të të anketuarve (të intervistuarve) ose njësive të mallrave të pjesëve diskutohen në dokumentet udhëzuese, metodologjike dhe rregullatore. Një nga metodat e përzgjedhjes është kjo: objektet zgjidhen njëri nga tjetri dhe në çdo hap, secili prej objekteve të mbetur në grup ka të njëjtën mundësi për t'u përzgjedhur. Në literaturë, termat “kampion i rastësishëm” dhe “kampion i rastësishëm pa kthim” përdoren gjithashtu për llojin e mostrave në shqyrtim.

Meqenëse vëllimet e popullsisë (batch) N dhe mostrat n zakonisht njihen, atëherë parametri i shpërndarjes hipergjeometrike që do të vlerësohet është D. Në metodat statistikore të menaxhimit të cilësisë së produktit D– zakonisht numri i njësive me defekt në një grumbull. Karakteristika e shpërndarjes është gjithashtu me interes D/ N– niveli i defekteve.

Për shpërndarje hipergjeometrike

Faktori i fundit në shprehjen për variancë është afër 1 nëse N>10 n. Nëse bëni një zëvendësim fq = D/ N, atëherë shprehjet për pritjen matematikore dhe variancën e shpërndarjes hipergjeometrike do të kthehen në shprehje për pritjen matematikore dhe variancën e shpërndarjes binomiale. Kjo nuk është rastësi. Mund të tregohet se

në N>10 n, Ku fq = D/ N. Raporti kufizues është i vlefshëm

dhe kjo lidhje kufizuese mund të përdoret kur N>10 n.

Shpërndarja e tretë diskrete e përdorur gjerësisht është shpërndarja Poisson. Ndryshorja e rastësishme Y ka një shpërndarje Poisson nëse

,

ku λ është parametri i shpërndarjes Poisson, dhe P(Y= y)= 0 për të gjithë të tjerët y(për y=0 caktohet 0! =1). Për shpërndarjen e Poisson

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Kjo shpërndarje është emërtuar sipas matematikanit francez S. D. Poisson (1781-1840), i cili e mori për herë të parë në 1837. Shpërndarja Poisson është rasti kufizues i shpërndarjes binomiale, kur probabiliteti R zbatimi i ngjarjes është i vogël, por numri i testeve n e madhe, dhe n.p.= λ. Më saktësisht, lidhja kufitare është e vlefshme

Prandaj, shpërndarja Poisson (në terminologjinë e vjetër "ligji i shpërndarjes") shpesh quhet edhe "ligji i ngjarjeve të rralla".

Shpërndarja Poisson e ka origjinën në teorinë e rrjedhës së ngjarjeve (shih më lart). Është vërtetuar se për rrjedhën më të thjeshtë me intensitet konstant Λ, numri i ngjarjeve (thirrjeve) që kanë ndodhur gjatë kohës t, ka një shpërndarje Poisson me parametër λ = Λ t. Prandaj, probabiliteti që gjatë kohës t asnjë ngjarje nuk do të ndodhë, e barabartë me e - Λ t, d.m.th. funksioni i shpërndarjes së gjatësisë së intervalit ndërmjet ngjarjeve është eksponencial.

Shpërndarja Poisson përdoret në analizimin e rezultateve të mostrave të anketave të marketingut të konsumatorëve, duke llogaritur karakteristikat operacionale të planeve të kontrollit statistikor të pranimit në rastin e vlerave të vogla të nivelit të pranimit të defekteve, për të përshkruar numrin e prishjeve të një kontrolli statistikisht. procesi teknologjik për njësi kohore, numri i “kërkesave të shërbimit” të marra për njësi të kohës në sistemin e radhës, modelet statistikore të aksidenteve dhe sëmundjeve të rralla, etj.

Përshkrimet e familjeve të tjera parametrike të shpërndarjeve diskrete dhe mundësitë e përdorimit të tyre praktik janë konsideruar në literaturë.

Në disa raste, për shembull, kur studiohen çmimet, vëllimet e prodhimit ose koha totale midis dështimeve në problemet e besueshmërisë, funksionet e shpërndarjes janë konstante në intervale të caktuara në të cilat vlerat e variablave të rastit të studiuar nuk mund të bien.

Në numrin e mëparshëm ne prezantuam serinë e shpërndarjes si një karakteristikë shteruese (ligji i shpërndarjes) të një ndryshoreje të rastësishme të ndërprerë. Megjithatë, kjo karakteristikë nuk është universale; ekziston vetëm për variabla të rastësishme të ndërprera. Është e lehtë të shihet se një karakteristikë e tillë nuk mund të ndërtohet për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme. Në të vërtetë, një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme ka një numër të pafund vlerash të mundshme, duke plotësuar plotësisht një interval të caktuar (i ashtuquajturi "bashkësi e numërueshme"). Është e pamundur të krijohet një tabelë që rendit të gjitha vlerat e mundshme të një ndryshoreje të tillë të rastësishme. Për më tepër, siç do të shohim më vonë, çdo vlerë individuale e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme zakonisht nuk ka ndonjë probabilitet jozero. Rrjedhimisht, për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme nuk ka seri shpërndarjeje në kuptimin në të cilin ekziston për një ndryshore të ndërprerë. Sidoqoftë, zona të ndryshme të vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme nuk janë ende njësoj të mundshme, dhe për një ndryshore të vazhdueshme ekziston një "shpërndarje probabiliteti", megjithëse jo në të njëjtin kuptim si për një të ndërprerë.

Për të karakterizuar në mënyrë sasiore këtë shpërndarje probabiliteti, është e përshtatshme të përdoret jo probabiliteti i ngjarjes, por probabiliteti i ngjarjes, ku është një variabël aktual. Probabiliteti i kësaj ngjarje padyshim varet nga , ka një funksion të . Ky funksion quhet funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dhe shënohet me:

. (5.2.1)

Funksioni i shpërndarjes nganjëherë quhet edhe funksioni i shpërndarjes kumulative ose ligji i shpërndarjes kumulative.

Funksioni i shpërndarjes është karakteristika më universale e një ndryshoreje të rastësishme. Ai ekziston për të gjitha variablat e rastësishëm: të ndërprerë dhe të vazhdueshëm. Funksioni i shpërndarjes karakterizon plotësisht një ndryshore të rastësishme nga një këndvështrim probabilistik, d.m.th. është një nga format e ligjit të shpërndarjes.

Le të formulojmë disa veti të përgjithshme të funksionit të shpërndarjes.

1. Funksioni i shpërndarjes është funksion jozvogëlues i argumentit të tij, d.m.th. në .

2. Në minus pafundësi, funksioni i shpërndarjes është i barabartë me zero:.

3. Në plus pafundësi, funksioni i shpërndarjes është i barabartë me një: .

Pa dhënë një provë rigoroze të këtyre vetive, ne do t'i ilustrojmë ato duke përdorur një interpretim vizual gjeometrik. Për ta bërë këtë, ne do të konsiderojmë një ndryshore të rastësishme si një pikë të rastësishme në boshtin Ox (Fig. 5.2.1), e cila si rezultat i eksperimentit mund të marrë një pozicion ose një tjetër. Atëherë funksioni i shpërndarjes është probabiliteti që një pikë e rastësishme si rezultat i eksperimentit të bjerë në të majtë të pikës.

Ne do të rrisim , domethënë, do ta zhvendosim pikën në të djathtë përgjatë boshtit të abshisë. Natyrisht, në këtë rast, probabiliteti që një pikë e rastësishme të bjerë në të majtë nuk mund të ulet; prandaj, funksioni i shpërndarjes nuk mund të ulet me rritjen.

Për t'u siguruar që , ne do ta zhvendosim pikën në të majtë përgjatë abshisës për një kohë të pacaktuar. Në këtë rast, goditja e një pike të rastësishme në të majtë në kufi bëhet një ngjarje e pamundur; Është e natyrshme të besohet se probabiliteti i kësaj ngjarje tenton në zero, d.m.th. .

Në mënyrë të ngjashme, duke lëvizur pikën në të djathtë pa kufi, ne sigurohemi që , pasi ngjarja bëhet e besueshme në kufi.

Grafiku i funksionit të shpërndarjes në rastin e përgjithshëm është një grafik i një funksioni që nuk zvogëlohet (Fig. 5.2.2), vlerat e të cilit fillojnë nga 0 dhe arrijnë në 1, dhe në pika të caktuara funksioni mund të ketë kërcime (Fig. 5.2.2). ndërprerjet).

Duke ditur serinë e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të ndërprerë, mund të ndërtohet lehtësisht funksioni i shpërndarjes së kësaj ndryshoreje. Vërtet,

,

ku pabarazia nën shenjën e shumës tregon se shuma vlen për të gjitha ato vlera që janë më të vogla se .

Kur ndryshorja aktuale kalon nëpër ndonjë nga vlerat e mundshme të vlerës së ndërprerë, funksioni i shpërndarjes ndryshon befas, dhe madhësia e kërcimit është e barabartë me probabilitetin e kësaj vlere.

Shembulli 1. Është kryer një eksperiment në të cilin ngjarja mund të shfaqet ose jo. Probabiliteti i ngjarjes është 0.3. Variabla e rastësishme – numri i ndodhive të një ngjarjeje në një eksperiment (ndryshore karakteristike e rastësishme e një ngjarjeje). Ndërtoni funksionin e tij të shpërndarjes.

Zgjidhje. Seria e shpërndarjes së vlerës ka formën:

Le të ndërtojmë funksionin e shpërndarjes së vlerës:

Grafiku i funksionit të shpërndarjes është paraqitur në Fig. 5.2.3. Në pikat e ndërprerjes, funksioni merr vlerat e shënuara me pika në vizatim (funksioni është i vazhdueshëm në të majtë).

Shembulli 2. Në kushtet e shembullit të mëparshëm kryhen 4 eksperimente të pavarura. Ndërtoni një funksion shpërndarjeje për numrin e dukurive të një ngjarjeje.

Zgjidhje. Le të shënojmë numrin e ndodhive të ngjarjes në katër eksperimente. Kjo sasi ka një seri shpërndarjeje

Le të ndërtojmë funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme:

3) në ;

Në praktikë, zakonisht funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është një funksion që është i vazhdueshëm në të gjitha pikat, siç tregohet në Fig. 5.2.6. Megjithatë, është e mundur të ndërtohen shembuj të ndryshoreve të rastësishme, vlerat e mundshme të të cilave plotësojnë vazhdimisht një interval të caktuar, por për të cilët funksioni i shpërndarjes nuk është i vazhdueshëm kudo, por pëson një ndërprerje në pika të caktuara (Fig. 5.2.7). .

Variabla të tilla të rastësishme quhen të përziera. Një shembull i një vlere të përzier është zona e shkatërrimit të shkaktuar në një objektiv nga një bombë, rrezja e veprimit shkatërrues të së cilës është e barabartë me R (Fig. 5.2.8).

Vlerat e kësaj ndryshoreje të rastësishme plotësojnë vazhdimisht intervalin nga 0 në , që ndodhin në pozicionet e bombave të tipit I dhe II, kanë një probabilitet të caktuar të fundëm dhe këto vlera korrespondojnë me kërcimet në funksionin e shpërndarjes, ndërsa në vlerat e ndërmjetme. (pozicioni i tipit III) funksioni i shpërndarjes është i vazhdueshëm. Një shembull tjetër i një ndryshoreje të rastësishme të përzier është koha e funksionimit pa dështim T të një pajisjeje të testuar për kohën t. Funksioni i shpërndarjes së kësaj ndryshoreje të rastësishme është i vazhdueshëm kudo përveç pikës t.