Teorema për ndryshimin e momentit të një pike materiale është një përfundim. Teorema mbi ndryshimin e momentit të një pike dhe të një sistemi

Lëreni një pikë materiale të lëvizë nën ndikimin e forcës F. Kërkohet të përcaktohet lëvizja e kësaj pike në raport me sistemin lëvizës Oxyz(shih lëvizjen komplekse të një pike materiale), e cila lëviz në një mënyrë të njohur në lidhje me një sistem të palëvizshëm O 1 x 1 y 1 z 1 .

Ekuacioni bazë i dinamikës në një sistem të palëvizshëm

Le të shkruajmë nxitimin absolut të një pike duke përdorur teoremën e Koriolisit

Ku a abs– nxitimi absolut;

a rel– nxitimi relativ;

a korsi– nxitim portativ;

a bërthamë– Nxitimi i Coriolis.

Le të rishkruajmë (25) duke marrë parasysh (26)

Le të prezantojmë shënimin
- forca e inercisë e lëvizshme,
- Forca inerciale Coriolis. Atëherë ekuacioni (27) merr formën

Ekuacioni bazë i dinamikës për studimin e lëvizjes relative (28) është shkruar në të njëjtën mënyrë si për lëvizjen absolute, vetëm forcat e inercisë së transferimit dhe Coriolis duhet t'u shtohen forcave që veprojnë në një pikë.

Teorema të përgjithshme mbi dinamikën e një pike materiale

Kur zgjidhni shumë probleme, mund të përdorni boshllëqe të bëra paraprakisht të marra në bazë të ligjit të dytë të Njutonit. Metoda të tilla të zgjidhjes së problemeve janë të kombinuara në këtë seksion.

Teorema mbi ndryshimin e momentit të një pike materiale

Le të prezantojmë karakteristikat dinamike të mëposhtme:

1. Momenti i një pike materiale– sasi vektoriale e barabartë me produktin e masës së një pike dhe vektorit të shpejtësisë së saj

. (29)

2. Forco impuls

Impuls elementar i forcës– sasi vektoriale e barabartë me produktin e vektorit të forcës dhe një interval kohor elementar

(30).

Pastaj impuls i plotë

. (31)

Në F=konst marrim S=Ft.

Impulsi total për një periudhë të kufizuar kohore mund të llogaritet vetëm në dy raste, kur forca që vepron në një pikë është konstante ose varet nga koha. Në raste të tjera, është e nevojshme të shprehet forca në funksion të kohës.

Barazia e dimensioneve të impulsit (29) dhe momentit (30) na lejon të vendosim një marrëdhënie sasiore midis tyre.

Le të shqyrtojmë lëvizjen e një pike materiale M nën veprimin e një force arbitrare F përgjatë një trajektore arbitrare.

RRETH UD:
. (32)

I ndajmë variablat në (32) dhe i integrojmë

. (33)

Si rezultat, duke marrë parasysh (31), marrim

. (34)

Ekuacioni (34) shpreh teoremën e mëposhtme.

Teorema: Ndryshimi në momentin e një pike materiale gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me impulsin e forcës që vepron në pikë gjatë të njëjtit interval kohor.

Gjatë zgjidhjes së problemeve, ekuacioni (34) duhet të projektohet në boshtet koordinative

Kjo teoremë është e përshtatshme për t'u përdorur kur midis sasive të dhëna dhe të panjohura ka masën e një pike, shpejtësinë fillestare dhe përfundimtare të saj, forcat dhe kohën e lëvizjes.

Teorema mbi ndryshimin e momentit këndor të një pike materiale

M
momenti i momentit të një pike materiale në raport me qendrën është i barabartë me produktin e modulit të momentit të pikës dhe shpatullës, d.m.th. distanca më e shkurtër (pingule) nga qendra në vijën që përkon me vektorin e shpejtësisë

, (36)

. (37)

Marrëdhënia midis momentit të forcës (shkakut) dhe momentit të momentit (efektit) përcaktohet nga teorema e mëposhtme.

Lëreni pikën M të një mase të caktuar m lëviz nën ndikimin e forcës F.

,
,

, (38)

. (39)

Le të llogarisim derivatin e (39)

. (40)

Duke kombinuar (40) dhe (38), më në fund marrim

. (41)

Ekuacioni (41) shpreh teoremën e mëposhtme.

Teorema: Derivati ​​kohor i vektorit të momentit këndor të një pike materiale në lidhje me një qendër është i barabartë me momentin e forcës që vepron në pikën në lidhje me të njëjtën qendër.

Gjatë zgjidhjes së problemeve, ekuacioni (41) duhet të projektohet në boshtet koordinative

Në ekuacionet (42), momentet e momentit dhe forcës llogariten në lidhje me boshtet koordinative.

Nga (41) vijon ligji i ruajtjes së momentit këndor (ligji i Keplerit).

Nëse momenti i forcës që vepron në një pikë materiale në lidhje me ndonjë qendër është zero, atëherë momenti këndor i pikës në lidhje me këtë qendër ruan madhësinë dhe drejtimin e tij.

Nëse
, Kjo
.

Teorema dhe ligji i ruajtjes përdoren në problemet që përfshijnë lëvizjen kurvilineare, veçanërisht nën veprimin e forcave qendrore.

Sistemi i diskutuar në teoremë mund të jetë çdo sistem mekanik i përbërë nga çdo trup.

Deklarata e teoremës

Sasia e lëvizjes (impulsit) të një sistemi mekanik është një sasi e barabartë me shumën e sasive të lëvizjes (impulseve) të të gjithë trupave të përfshirë në sistem. Impulsi i forcave të jashtme që veprojnë në trupat e sistemit është shuma e impulseve të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në trupat e sistemit.

( kg m/s)

Thuhet teorema mbi ndryshimin e momentit të një sistemi

Ndryshimi në momentin e sistemit gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me impulsin e forcave të jashtme që veprojnë në sistem për të njëjtën periudhë kohore.

Ligji i ruajtjes së momentit të një sistemi

Nëse shuma e të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem është zero, atëherë sasia e lëvizjes (momentumi) i sistemit është një sasi konstante.

, marrim shprehjen e teoremës mbi ndryshimin e momentit të sistemit në formë diferenciale:

Duke integruar të dyja anët e barazisë që rezulton gjatë një periudhe kohore të marrë në mënyrë arbitrare midis disa dhe , marrim shprehjen e teoremës për ndryshimin e momentit të sistemit në formë integrale:

Ligji i ruajtjes së momentit (Ligji i ruajtjes së momentit) thotë se shuma vektoriale e impulseve të të gjithë trupave të sistemit është një vlerë konstante nëse shuma vektoriale e forcave të jashtme që veprojnë në sistem është e barabartë me zero.

(momenti i momentit m 2 kg s −1)

Teorema mbi ndryshimin e momentit këndor në raport me qendrën

derivati ​​kohor i momentit të momentit (momenti kinetik) i një pike materiale në raport me çdo qendër fikse është i barabartë me momentin e forcës që vepron në pikën në lidhje me të njëjtën qendër.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Teorema mbi ndryshimin e momentit këndor në lidhje me një bosht

derivati ​​kohor i momentit të momentit (momenti kinetik) i një pike materiale në lidhje me çdo bosht fiks është i barabartë me momentin e forcës që vepron në këtë pikë në lidhje me të njëjtin bosht.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Konsideroni një pikë materiale M masë m , duke lëvizur nën ndikimin e forcës F (Figura 3.1). Le të shkruajmë dhe ndërtojmë vektorin e momentit këndor (momenti kinetik) M 0 pikë materiale në raport me qendrën O :

Le të dallojmë shprehjen për momentin këndor (momenti kinetik k 0) sipas kohës:

Sepse dr /dt = V , pastaj produkti i vektorit V ⊗ m ⋅ V (vektorë kolinearë V Dhe m ⋅ V ) është e barabartë me zero. Ne te njejten kohe d(m ⋅ V) /dt = F sipas teoremës për momentin e një pike materiale. Prandaj e marrim atë

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Ku r ⊗F = M 0 (F ) – vektor-momenti i forcës F në lidhje me një qendër fikse O . Vektor k 0 ⊥ aeroplan ( r , m ⊗V ), dhe vektori M 0 (F ) ⊥ aeroplan ( r ,F ), më në fund kemi

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Ekuacioni (3.4) shpreh teoremën për ndryshimin në momentin këndor (momentin këndor) të një pike materiale në lidhje me qendrën: derivati ​​kohor i momentit të momentit (momenti kinetik) i një pike materiale në raport me çdo qendër fikse është i barabartë me momentin e forcës që vepron në pikën në lidhje me të njëjtën qendër.

Duke projektuar barazinë (3.4) në boshtet e koordinatave karteziane, marrim

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Barazimet (3.5) shprehin teoremën rreth ndryshimit të momentit këndor (momentit kinetik) të një pike materiale në lidhje me boshtin: derivati ​​kohor i momentit të momentit (momenti kinetik) i një pike materiale në lidhje me çdo bosht fiks është i barabartë me momentin e forcës që vepron në këtë pikë në lidhje me të njëjtin bosht.

Le të shqyrtojmë pasojat që vijojnë nga teorema (3.4) dhe (3.5).

Përfundimi 1. Le të shqyrtojmë rastin kur forca F gjatë gjithë lëvizjes së pikës kalon nëpër qendrën e palëvizshme O (rasti i forcës qendrore), d.m.th. Kur M 0 (F ) = 0. Pastaj nga teorema (3.4) rrjedh se k 0 = konst ,

ato. në rastin e një force qendrore, momenti këndor (momenti kinetik) i një pike materiale në raport me qendrën e kësaj force mbetet konstant në madhësi dhe drejtim (Figura 3.2).

Figura 3.2

Nga gjendja k 0 = konst rrjedh se trajektorja e një pike lëvizëse është një kurbë e sheshtë, rrafshi i së cilës kalon nga qendra e kësaj force.

Përfundimi 2. Le M z (F ) = 0, d.m.th. forca kalon boshtin z ose paralel me të. Në këtë rast, siç mund të shihet nga e treta e ekuacioneve (3.5), k z = konst ,

ato. nëse momenti i forcës që vepron në një pikë në lidhje me ndonjë bosht fiks është gjithmonë zero, atëherë momenti këndor (momenti kinetik) i pikës në lidhje me këtë bosht mbetet konstant.

Vërtetimi i teoremës mbi ndryshimin e momentit

Lëreni sistemin të përbëhet nga pika materiale me masa dhe nxitime. Ne i ndajmë të gjitha forcat që veprojnë në trupat e sistemit në dy lloje:

Forcat e jashtme janë forca që veprojnë nga trupa që nuk përfshihen në sistemin në shqyrtim. Rezultantja e forcave të jashtme që veprojnë në një pikë materiale me numër i le të shënojmë

Forcat e brendshme janë forcat me të cilat trupat e vetë sistemit ndërveprojnë me njëri-tjetrin. Forca me të cilën në pikën me numrin i pika me numër është e vlefshme k, do të shënojmë , dhe forcën e ndikimit i pikën e th në k pika e - . Natyrisht, kur, atëherë

Duke përdorur shënimin e paraqitur, ne shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit për secilën nga pikat materiale në shqyrtim në formë

Duke pasur parasysh atë dhe duke përmbledhur të gjitha ekuacionet e ligjit të dytë të Njutonit, marrim:

Shprehja përfaqëson shumën e të gjitha forcave të brendshme që veprojnë në sistem. Sipas ligjit të tretë të Njutonit, në këtë shumë, çdo forcë korrespondon me një forcë të tillë që, për rrjedhojë, ajo qëndron Meqenëse e gjithë shuma përbëhet nga çifte të tilla, shuma në vetvete është zero. Kështu, ne mund të shkruajmë

Duke përdorur shënimin për momentin e sistemit, marrim

Duke marrë parasysh ndryshimin e momentit të forcave të jashtme , marrim shprehjen e teoremës për ndryshimin e momentit të sistemit në formë diferenciale:

Kështu, secili nga ekuacionet e fundit të marra na lejon të themi: një ndryshim në momentin e sistemit ndodh vetëm si rezultat i veprimit të forcave të jashtme, dhe forcat e brendshme nuk mund të kenë ndonjë ndikim në këtë vlerë.

Pasi kemi integruar të dyja anët e barazisë që rezulton gjatë një intervali kohor të marrë në mënyrë arbitrare midis disa dhe , marrim shprehjen e teoremës mbi ndryshimin e momentit të sistemit në formë integrale:

ku dhe janë vlerat e sasisë së lëvizjes së sistemit në momente kohore dhe, përkatësisht, dhe është impulsi i forcave të jashtme gjatë një periudhe kohore. Në përputhje me atë që u tha më parë dhe shënimet e paraqitura,

Për një pikë materiale, ligji bazë i dinamikës mund të paraqitet si

Duke shumëzuar të dyja anët e kësaj lidhjeje në të majtë në mënyrë vektoriale me vektorin e rrezes (Fig. 3.9), marrim

(3.32)

Në anën e djathtë të kësaj formule kemi momentin e forcës në lidhje me pikën O. Ne transformojmë anën e majtë duke zbatuar formulën për derivatin e një produkti vektori

Por si prodhim vektorial i vektorëve paralelë. Pas kësaj marrim

(3.33)

Derivati ​​i parë në lidhje me kohën e momentit të momentit të një pike në lidhje me çdo qendër është i barabartë me momentin e forcës në lidhje me të njëjtën qendër.

Figura 3.12

; ;

Për të dhënat hyrëse të dhëna, momenti këndor i sistemit

Teorema mbi ndryshimin e momentit këndor të një sistemi. Ne aplikojmë forcat e jashtme dhe të brendshme rezultante në secilën pikë të sistemit. Për secilën pikë të sistemit, mund të aplikoni teoremën mbi ndryshimin e momentit këndor, për shembull në formën (3.33)

Duke përmbledhur të gjitha pikat e sistemit dhe duke marrë parasysh që shuma e derivateve është e barabartë me derivatin e shumës, marrim

Duke përcaktuar momentin kinetik të sistemit dhe vetitë e forcave të jashtme dhe të brendshme

Prandaj, marrëdhënia që rezulton mund të përfaqësohet si

Derivati ​​i parë i momentit këndor të një sistemi në lidhje me çdo pikë është i barabartë me momentin kryesor të forcave të jashtme që veprojnë në sistem në lidhje me të njëjtën pikë.

3.3.5. Puna e forcës

1) Puna elementare e një force është e barabartë me produktin skalar të forcës dhe rrezen diferenciale të vektorit të pikës së aplikimit të forcës (Fig. 3.13)

Figura 3.13

Shprehja (3.36) mund të shkruhet edhe në format e mëposhtme ekuivalente

ku është projeksioni i forcës mbi drejtimin e shpejtësisë së pikës së aplikimit të forcës.

2) Puna e forcës në zhvendosjen përfundimtare

Duke integruar punën elementare të forcës, marrim shprehjet e mëposhtme për punën e forcës në zhvendosjen përfundimtare nga pika A në pikën B

3) Punë me forcë konstante

Nëse forca është konstante, atëherë nga (3.38) vijon

Puna e një force konstante nuk varet nga forma e trajektores, por varet vetëm nga vektori i zhvendosjes së pikës së aplikimit të forcës.

4) Puna e forcës së peshës

Për forcën e peshës (Fig. 3.14) dhe nga (3.39) marrim

Figura 3.14

Nëse lëvizja ndodh nga pika B në pikën A, atëherë

Në përgjithësi

Shenja "+" korrespondon me lëvizjen poshtë të pikës së aplikimit të forcës, shenja "-" - lart.

4) Puna e forcës elastike

Le të drejtohet boshti i sustës përgjatë boshtit x (Fig. 3.15), dhe fundi i sustës lëviz nga pika 1 në pikën 2, pastaj nga (3.38) marrim

Nëse ngurtësia e sustës është Me, kështu atëherë

A (3.41)

Nëse fundi i sustës lëviz nga pika 0 në pikën 1, atëherë në këtë shprehje zëvendësojmë , , atëherë puna e forcës elastike do të marrë formën

(3.42)

ku është zgjatja e sustës.

Figura 3.15

5) Puna e forcës që aplikohet në një trup rrotullues. Puna e momentit.

Në Fig. Figura 3.16 tregon një trup rrotullues ndaj të cilit zbatohet një forcë arbitrare. Gjatë rrotullimit, pika e aplikimit të kësaj force lëviz në një rreth.

Përbërë nga n pikat materiale. Le të zgjedhim një pikë të caktuar nga ky sistem Mj me masë m j. Siç dihet, në këtë pikë veprojnë forcat e jashtme dhe të brendshme.

Le ta zbatojmë atë në pikën Mj rezultat i të gjitha forcave të brendshme F j i dhe rezultante e të gjitha forcave të jashtme F j e(Figura 2.2). Për një pikë materiale të zgjedhur Mj(si për një pikë të lirë) shkruajmë teoremën mbi ndryshimin e momentit në formë diferenciale (2.3):

Le të shkruajmë ekuacione të ngjashme për të gjitha pikat e sistemit mekanik (j=1,2,3,…,n).

Figura 2.2

Le t'i shtojmë të gjitha pjesë-pjesë n ekuacionet:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Këtu ∑m j ×V j =Q– sasia e lëvizjes së sistemit mekanik;
∑F j e = R e– vektori kryesor i të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistemin mekanik;
∑F j i = R i =0– vektori kryesor i forcave të brendshme të sistemit (sipas vetive të forcave të brendshme është i barabartë me zero).

Së fundi, për sistemin mekanik marrim

dQ/dt = R e. (2.11)

Shprehja (2.11) është një teoremë rreth ndryshimit të momentit të një sistemi mekanik në formë diferenciale (në shprehjen vektoriale): derivati ​​kohor i vektorit të momentit të një sistemi mekanik është i barabartë me vektorin kryesor të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem.

Duke projektuar barazinë e vektorit (2.11) në boshtet e koordinatave karteziane, marrim shprehje për teoremën mbi ndryshimin në momentin e një sistemi mekanik në shprehjen koordinative (skalar):

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

ato. derivati ​​kohor i projeksionit të momentit të një sistemi mekanik në çdo bosht është i barabartë me projeksionin në këtë bosht të vektorit kryesor të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në këtë sistem mekanik.

Duke shumëzuar të dyja anët e barazisë (2.12) me dt, e marrim teoremën në një formë tjetër diferenciale:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

ato. momenti diferencial i një sistemi mekanik është i barabartë me impulsin elementar të vektorit kryesor (shuma e impulseve elementare) të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem.

Integrimi i barazisë (2.13) brenda ndryshimit kohor nga 0 në t, marrim një teoremë për ndryshimin e momentit të një sistemi mekanik në formën përfundimtare (integrale) (në shprehjen vektoriale):

Q - Q 0 = S e,

ato. ndryshimi në momentin e një sistemi mekanik gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me impulsin total të vektorit kryesor (shumën e impulseve totale) të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem gjatë së njëjtës periudhë kohore.

Duke projektuar barazinë e vektorit (2.14) në boshtet e koordinatave karteziane, marrim shprehje për teoremën në projeksione (në një shprehje skalare):

ato. ndryshimi në projeksionin e momentit të një sistemi mekanik në çdo bosht për një periudhë të kufizuar kohore është i barabartë me projeksionin në të njëjtin bosht të impulsit total të vektorit kryesor (shuma e impulseve totale) të të gjitha forcave të jashtme duke vepruar në sistemin mekanik gjatë të njëjtës periudhë kohore.

Pasojat e mëposhtme rrjedhin nga teorema e shqyrtuar (2.11) - (2.15):

1. Nëse R e = ∑F j e = 0, Kjo Q = konst– kemi ligjin e ruajtjes së vektorit të momentit të një sistemi mekanik: nëse vektori kryesor R e i të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në një sistem mekanik është i barabartë me zero, atëherë vektori i momentit të këtij sistemi mbetet konstant në madhësi dhe drejtim dhe i barabartë me vlerën e tij fillestare. Q 0, d.m.th. Q = Q 0.
2. Nëse R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Kjo Q x = konst– kemi ligjin e ruajtjes së projeksionit në boshtin e momentit të një sistemi mekanik: nëse projeksioni i vektorit kryesor të të gjitha forcave që veprojnë në një sistem mekanik mbi çdo bosht është zero, atëherë projeksioni në të njëjtin bosht të vektori i momentit të këtij sistemi do të jetë një vlerë konstante dhe e barabartë me projeksionin mbi këtë bosht vektor fillestar të momentit, d.m.th. Q x = Q 0x.

Forma diferenciale e teoremës mbi ndryshimin e momentit të një sistemi material ka aplikime të rëndësishme dhe interesante në mekanikën e vazhdimësisë. Nga (2.11) mund të marrim teoremën e Euler-it.

Ekuacioni diferencial i lëvizjes së një pike materiale nën ndikimin e forcës F mund të paraqitet në formën e mëposhtme vektoriale:

Që nga masa e një pike m pranohet si konstante, atëherë mund të futet nën shenjën derivatore. Pastaj

Formula (1) shpreh teoremën mbi ndryshimin e momentit të një pike në formë diferenciale: derivati ​​i parë në lidhje me kohën e momentit të një pike është i barabartë me forcën që vepron në pikë.

Në projeksionet mbi boshtet koordinative (1) mund të paraqitet si

Nëse të dyja anët (1) shumëzohen me dt, atëherë marrim një formë tjetër të së njëjtës teoremë - teorema e momentit në formë diferenciale:

ato. diferenciali i momentit të një pike është i barabartë me impulsin elementar të forcës që vepron në pikë.

Duke i projektuar të dyja pjesët e (2) në boshtet e koordinatave, marrim

Duke integruar të dyja pjesët e (2) nga zero në t (Fig. 1), kemi

ku është shpejtësia e pikës në këtë moment t; - shpejtësia në t = 0;

S- impuls i forcës me kalimin e kohës t.

Një shprehje në formën (3) shpesh quhet teorema e momentit në formë të fundme (ose integrale): ndryshimi në momentin e një pike gjatë çdo periudhe kohore është i barabartë me impulsin e forcës për të njëjtën periudhë kohore.

Në projeksionet në boshtet e koordinatave, kjo teoremë mund të përfaqësohet në formën e mëposhtme:

Për një pikë materiale, teorema mbi ndryshimin e momentit në cilindo nga format, në thelb nuk ndryshon nga ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një pike.

Teorema mbi ndryshimin e momentit të një sistemi

Sasia e levizjes se sistemit do te quhet sasi vektoriale P, e barabartë me shumën gjeometrike (vektorin kryesor) të sasive të lëvizjes së të gjitha pikave të sistemit.

Konsideroni një sistem të përbërë nga n pikat materiale. Le të hartojmë ekuacione diferenciale të lëvizjes për këtë sistem dhe t'i mbledhim ato term pas termi. Pastaj marrim:

Shuma e fundit, për shkak të vetive të forcave të brendshme, është e barabartë me zero. Përveç kësaj,

Më në fund gjejmë:

Ekuacioni (4) shpreh teoremën mbi ndryshimin e momentit të sistemit në formë diferenciale: derivati ​​kohor i momentit të sistemit është i barabartë me shumën gjeometrike të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem.

Le të gjejmë një shprehje tjetër për teoremën. Lëreni në këtë moment t= 0 sasia e lëvizjes së sistemit është Q 0, dhe në momentin e kohës t 1 bëhet e barabartë P 1. Pastaj, duke shumëzuar të dyja anët e barazisë (4) me dt dhe duke u integruar, marrim:

Ose ku:

(S- impuls i forcës)

meqenëse integralet në të djathtë japin impulse të forcave të jashtme,

ekuacioni (5) shpreh teoremën mbi ndryshimin e momentit të sistemit në formë integrale: ndryshimi në momentin e sistemit gjatë një periudhe të caktuar kohore është i barabartë me shumën e impulseve të forcave të jashtme që veprojnë në sistem gjatë të njëjtës periudhë kohore.

Në projeksionet në akset koordinative do të kemi:

Ligji i ruajtjes së momentit

Nga teorema mbi ndryshimin e momentit të një sistemi, mund të përftohen pasojat e mëposhtme të rëndësishme:

1. Le të jetë shuma e të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem e barabartë me zero:

Atëherë nga ekuacioni (4) del se në këtë rast Q = konst.

Kështu, nëse shuma e të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në sistem është e barabartë me zero, atëherë vektori i momentit të sistemit do të jetë konstant në madhësi dhe drejtim.

2. 01 Le të jenë forcat e jashtme që veprojnë në sistem që shuma e projeksioneve të tyre në ndonjë bosht (për shembull Ox) të jetë e barabartë me zero:

Atëherë nga ekuacionet (4`) rezulton se në këtë rast Q = konst.

Kështu, nëse shuma e projeksioneve të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në çdo bosht është e barabartë me zero, atëherë projeksioni i sasisë së lëvizjes së sistemit në këtë bosht është një vlerë konstante.

Këto rezultate shprehin ligji i ruajtjes së momentit të një sistemi. Prej tyre rrjedh se forcat e brendshme nuk mund të ndryshojnë sasinë totale të lëvizjes së sistemit.

Le të shohim disa shembuj:

· Fenomeni për kthimin e rrotullës. Nëse i konsiderojmë pushkën dhe plumbin si një sistem, atëherë presioni i gazrave pluhur gjatë një gjuajtjeje do të jetë një forcë e brendshme. Kjo forcë nuk mund të ndryshojë momentin total të sistemit. Por meqenëse gazrat pluhur, duke vepruar mbi plumb, i japin atij një sasi të caktuar lëvizjeje të drejtuar përpara, ata duhet t'i japin njëkohësisht pushkës të njëjtën sasi lëvizjeje në drejtim të kundërt. Kjo do të bëjë që pushka të lëvizë prapa, d.m.th. i ashtuquajturi kthim. Një fenomen i ngjashëm ndodh kur gjuan me armë (kthim prapa).

· Funksionimi i helikës (helikës). Helika i jep lëvizje një mase të caktuar ajri (ose uji) përgjatë boshtit të helikës, duke e hedhur këtë masë prapa. Nëse e konsiderojmë masën e hedhur dhe avionin (ose anijen) si një sistem, atëherë forcat e ndërveprimit ndërmjet helikës dhe mjedisit, si të brendshme, nuk mund të ndryshojnë masën totale të lëvizjes së këtij sistemi. Prandaj, kur një masë ajri (uji) hidhet mbrapa, avioni (ose anija) merr një shpejtësi përkatëse përpara të tillë që sasia totale e lëvizjes së sistemit në shqyrtim mbetet e barabartë me zero, pasi ishte zero para fillimit të lëvizjes. .

Një efekt i ngjashëm arrihet nga veprimi i rremave ose rrotave të vozitjes.

· R e c t i v e Propulsioni Në një raketë (raketë), produktet e gazta të djegies së karburantit nxirren me shpejtësi të madhe nga vrima në bishtin e raketës (nga gryka e motorit reaktiv). Forcat e presionit që veprojnë në këtë rast do të jenë forca të brendshme dhe ato nuk mund të ndryshojnë vrullin total të sistemit të gazrave raketë-pluhur. Por meqenëse gazrat që ikin kanë një sasi të caktuar lëvizjeje të drejtuar prapa, raketa merr një shpejtësi përkatëse përpara.

Teorema e momenteve rreth një boshti.

Merrni parasysh pikën materiale të masës m, duke lëvizur nën ndikimin e forcës F. Le të gjejmë për të marrëdhënien midis momentit të vektorëve mV Dhe F në lidhje me një bosht të caktuar Z.

m z (F) = xF - yF (7)

Në mënyrë të ngjashme për vlerën m(mV), nëse nxirret jashtë m do të jetë jashtë kllapave

m z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Duke marrë derivatet në lidhje me kohën nga të dyja anët e kësaj barazie, gjejmë

Në anën e djathtë të shprehjes që rezulton, kllapa e parë është e barabartë me 0, pasi dx/dt=V dhe dу/dt = V, kllapa e dytë sipas formulës (7) është e barabartë me

mz(F), pasi sipas ligjit bazë të dinamikës:

Më në fund do të kemi (8)

Ekuacioni që rezulton shpreh teoremën e momenteve rreth boshtit: derivati ​​kohor i momentit të momentit të një pike në lidhje me çdo bosht është i barabartë me momentin e forcës vepruese në lidhje me të njëjtin bosht. Një teoremë e ngjashme vlen për momentet për çdo qendër O.