Formula Ferrari dhe cardano. Formula Cardano për zgjidhjen e ekuacionit kub

Le të shohim përsëri formulën e kubit të shumës, por ta shkruajmë ndryshe:

Krahasoni këtë hyrje me ekuacionin (13) dhe përpiquni të krijoni një lidhje midis tyre. Edhe me një aluzion nuk është e lehtë. Ne duhet t'i bëjmë haraç matematikanëve të Rilindjes që zgjidhën ekuacionin kubik pa i ditur simbolet alfabetike. Le të zëvendësojmë në formulën tonë:

Tani është e qartë: për të gjetur rrënjën e ekuacionit (13), mjafton të zgjidhet sistemi i ekuacioneve

ose

dhe merrni si shumë dhe . Duke zëvendësuar , ky sistem reduktohet në një formë shumë të thjeshtë:

Atëherë mund të veproni në mënyra të ndryshme, por të gjitha "rrugët" do të çojnë në të njëjtin ekuacion kuadratik. Për shembull, sipas teoremës së Vietës, shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar është e barabartë me koeficientin me një shenjë minus, dhe produkti është i barabartë me termin e lirë. Nga kjo rrjedh se dhe janë rrënjët e ekuacionit

Le të shkruajmë këto rrënjë:

Variablat dhe janë të barabarta me rrënjët kubike të dhe , dhe zgjidhja e dëshiruar për ekuacionin kub (13) është shuma e këtyre rrënjëve:

Kjo formulë njihet si Formula Cardano.

Zgjidhje trigonometrike

me zëvendësim reduktohet në një formë “të paplotë”.

, , . (14)

Rrënjët , , të ekuacionit kub "të paplotë" (14) janë të barabarta

, ,

Le të jetë i vlefshëm ekuacioni kub "jo i plotë" (14).

a) Nëse (rasti i “pareduktueshëm”), atëherë

(b) Nëse , , atëherë

, .

, ,

, .

Në të gjitha rastet, merret vlera aktuale e rrënjës së kubit.

Ekuacioni bikuadratik

Ekuacioni algjebrik i shkallës së katërt.

ku a, b, c janë disa numra realë, të thirrur ekuacioni bikuadratik. Me zëvendësim ekuacioni reduktohet në një ekuacion kuadratik e ndjekur nga zgjidhja e dy ekuacioneve binomiale dhe ( dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik përkatës).

Nëse dhe , atëherë ekuacioni bikuadratik ka katër rrënjë reale:

Nëse, ), atëherë ekuacioni bikuadratik ka dy rrënjë reale dhe rrënjë të konjuguara imagjinare:

Nëse dhe , atëherë ekuacioni bikuadratik ka katër rrënjë thjesht imagjinare të konjuguara në çift:

, .

Ekuacionet e shkallës së katërt

Një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së katërt u gjet në shekullin e 16-të. Ludovico Ferrari, student i Gerolamo Cardano. Kështu quhet - metoda. Ferrari.

Ashtu si në zgjidhjen e ekuacioneve kubike dhe kuadratike, në një ekuacion të shkallës së katërt

ju mund të hiqni qafe termin me zëvendësim. Prandaj, do të supozojmë se koeficienti i kubit të së panjohurës është zero:

Ideja e Ferrarit ishte të përfaqësonte ekuacionin në formën , ku ana e majtë është katrori i shprehjes , dhe ana e djathtë është katrori i një ekuacioni linear të , koeficientët e të cilit varen nga . Pas kësaj, mbetet për të zgjidhur dy ekuacione kuadratike: dhe . Natyrisht, një paraqitje e tillë është e mundur vetëm me një zgjedhje të veçantë të parametrit. Është e përshtatshme për ta marrë atë në formën , atëherë ekuacioni do të rishkruhet si më poshtë:

Ana e djathtë e këtij ekuacioni është trinomi kuadratik i . Ai do të jetë një katror i plotë kur diskriminuesi i tij është i barabartë me zero, d.m.th.

, ose

Ky ekuacion quhet zgjidhëse (d.m.th. "lejuese"). Është relativisht kub dhe formula e Cardano-s na lejon të gjejmë disa nga rrënjët e saj. Kur ana e djathtë e ekuacionit (15) merr formën

dhe vetë ekuacioni reduktohet në dy kuadratikë:

Rrënjët e tyre japin të gjitha zgjidhjet e ekuacionit origjinal.

Për shembull, le të zgjidhim ekuacionin

Këtu do të jetë më i përshtatshëm të përdorni jo formula të gatshme, por vetë idenë e zgjidhjes. Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë

dhe shtoni shprehjen në të dy anët në mënyrë që të formohet një katror i plotë në anën e majtë:

Tani le të barazojmë diskriminuesin e anës së djathtë të ekuacionit me zero:

ose, pas thjeshtimit,

Një nga rrënjët e ekuacionit që rezulton mund të merret me mend duke renditur pjesëtuesit e termit të lirë: . Pas zëvendësimit të kësaj vlere marrim ekuacionin

ku . Rrënjët e ekuacioneve kuadratike që rezultojnë janë Dhe . Natyrisht, në rastin e përgjithshëm mund të merren edhe rrënjë komplekse.

Çdo ekuacion kub me koeficientë realë ka të paktën një rrënjë reale, dy të tjerat janë gjithashtu reale ose janë një çift kompleks i konjuguar.

Le ta fillojmë rishikimin me rastet më të thjeshta - binom Dhe e kthyeshme ekuacionet. Pastaj kalojmë në gjetjen e rrënjëve racionale (nëse ka). Le të përfundojmë me një shembull të gjetjes së rrënjëve të një ekuacioni kub duke përdorur Formula e Cardanos për rastin e përgjithshëm.

Navigimi i faqes.

Zgjidhja e një ekuacioni kub me dy terma.

Ekuacioni kub binomial ka formën .

Ky ekuacion reduktohet në formë duke pjesëtuar me një koeficient A që është i ndryshëm nga zero. Më pas, aplikoni formulën për shumën e shkurtuar të shumëzimit të kubeve:

Nga kllapa e parë gjejmë , Dhe trinomi katror ka vetëm rrënjë komplekse.

Shembull.

Gjeni rrënjët reale të ekuacionit kub.

Zgjidhje.

Zbatojmë formulën për shumëzimin e shkurtuar të diferencës së kubeve:

Nga kllapa e parë gjejmë se trinomi katror në kllapin e dytë nuk ka rrënjë reale, pasi diskriminuesi i tij është negativ.

Përgjigje:

Zgjidhja e ekuacionit kubik reciprok.

Ekuacioni reciprok kub ka formën , ku A dhe B janë koeficientë.

Le të grupojmë:

Natyrisht, x = -1 është rrënja e një ekuacioni të tillë, dhe rrënjët e trinomit kuadratik që rezulton gjenden lehtësisht përmes diskriminuesit.

Shembull.

Zgjidhja e ekuacionit kub .

Zgjidhje.

Ky është një ekuacion reciprok. Le të grupojmë:

Është e qartë se x = -1 është rrënja e ekuacionit.

Gjetja e rrënjëve të një trinomi kuadratik:

Përgjigje:

Zgjidhja e ekuacioneve kubike me rrënjë racionale.

Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë, kur x=0 është rrënja e ekuacionit kub.

Në këtë rast, termi i lirë D është i barabartë me zero, domethënë ekuacioni ka formën .

Nëse hiqni x nga kllapa, atëherë një trinom katror do të mbetet në kllapa, rrënjët e të cilit mund të gjenden lehtësisht ose përmes diskriminuesit ose nga teorema e Vieta-s. .

Shembull.

Gjeni rrënjët reale të ekuacionit .

Zgjidhje.

x=0 është rrënja e ekuacionit. Le të gjejmë rrënjët e trinomit kuadratik.

Meqenëse diskriminuesi i tij është më i vogël se zero, trinomi nuk ka rrënjë reale.

Përgjigje:

x=0.

Nëse koeficientët e një ekuacioni kub janë numra të plotë, atëherë ekuacioni mund të ketë rrënjë racionale.

Kur , shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me dhe ndryshoni variablat y = Ax:

Arritëm në ekuacionin e dhënë kub. Mund të ketë rrënjë të tëra, të cilat janë pjesëtues të termit të lirë. Pra, ne i shkruajmë të gjithë pjesëtuesit dhe fillojmë t'i zëvendësojmë në ekuacionin që rezulton derisa të marrim një barazi identike. Pjesëtuesi në të cilin fitohet identiteti është rrënja e ekuacionit. Prandaj, rrënja e ekuacionit origjinal është .

Shembull.

Gjeni rrënjët e ekuacionit kub.

Zgjidhje.

Le ta transformojmë ekuacionin në sa më sipër: shumëzohemi me të dyja anët dhe ndryshojmë ndryshoren y = 2x.

Afati falas është 36. Le të shkruajmë të gjithë pjesëtuesit e tij: .

Ne i zëvendësojmë ato një nga një në barazi derisa të merret identiteti:

Pra, y = -1 është rrënja. Ajo korrespondon me.

Le të ndajmë aktiv, duke përdorur:

ne marrim,

Mbetet vetëm të gjejmë rrënjët e trinomit kuadratik.

Është e qartë se , pra rrënja e shumëfishtë e saj është x=3.

Përgjigje:

Koment.

Ky algoritëm mund të përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve reciproke. Meqenëse -1 është rrënja e çdo ekuacioni kubik reciprok, ne mund ta ndajmë anën e majtë të ekuacionit origjinal me x+1 dhe të gjejmë rrënjët e trinomit kuadratik që rezulton.

Në rastin kur ekuacioni kub nuk ka rrënjë racionale, përdoren metoda të tjera zgjidhjeje, për shembull, metoda specifike.

Zgjidhja e ekuacioneve kubike duke përdorur formulën Cardano.

Në përgjithësi, rrënjët e një ekuacioni kub gjenden duke përdorur formulën Cardano.

Për ekuacionin kub gjenden vlerat . Më pas gjejmë Dhe .

Ne zëvendësojmë p dhe q që rezultojnë në formulën Cardano:

mosmarrëveshje

FormulaCardano

Mostovoy

Odessa

mosmarrëveshje

Mosmarrëveshjet në mesjetë shfaqnin gjithmonë një spektakël interesant, duke tërhequr qytetarë boshe, të rinj dhe të vjetër. Temat e debateve ishin të ndryshme, por gjithnjë shkencore. Në të njëjtën kohë, shkenca u kuptua se ishte ajo që përfshihej në listën e të ashtuquajturave shtatë arte liberale, që ishte, natyrisht, teologjia. Mosmarrëveshjet teologjike ishin më të shpeshta. Ata debatuan për gjithçka. Për shembull, nëse një mi duhet të shoqërohet me frymën e shenjtë nëse ha sakramentin, nëse Cumae Sibyl mund të kishte parashikuar lindjen e Jezu Krishtit, pse vëllezërit dhe motrat e Shpëtimtarit nuk janë shenjtëruar, etj.

Rreth mosmarrëveshjes që duhej të ndodhte midis matematikanit të famshëm dhe mjekut jo më pak të famshëm, u bënë vetëm supozimet më të përgjithshme, pasi askush nuk dinte asgjë. Ata thanë se njëri prej tyre e mashtroi tjetrin (nuk dihet se kush saktësisht dhe kujt). Pothuajse të gjithë ata që u mblodhën në shesh kishin idetë më të paqarta për matematikën, por të gjithë prisnin me padurim fillimin e debatit. Ishte gjithmonë interesante, mund të qeshje me humbësin, pavarësisht nëse ai kishte të drejtë apo gabim.

Kur ora e bashkisë shënoi pesë, portat u hapën gjerësisht dhe turma nxitoi brenda katedrales. Në të dy anët e vijës qendrore që lidh hyrjen në altar, pranë dy kolonave anësore u ngritën dy foltore të larta, të destinuara për debatuesit. Të pranishmit bënë një zhurmë të madhe, duke mos i kushtuar vëmendje faktit që ndodheshin në kishë. Më në fund, përballë grilës së hekurt që ndante ikonostasin nga pjesa tjetër e nefit qendror, u shfaq një klithmë e qytetit me një mantel të zi dhe të purpurt dhe shpalli: “Qytetarë të shquar të qytetit të Milanos! Tani do t'ju flasë matematikani i famshëm Niccolo Tartaglia nga Brenia. Kundërshtari i tij supozohej të ishte matematikani dhe mjeku Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia akuzon Cardanon se ishte i fundit që botoi në librin e tij "Ars magna" një metodë për zgjidhjen e një ekuacioni të shkallës së 3-të, që i përket atij, Tartaglia. Megjithatë, vetë Cardano nuk mundi të vinte në debat dhe për këtë arsye dërgoi studentin e tij Luige Ferrari. Pra, debati shpallet i hapur, pjesëmarrësit e tij ftohen në departamente.” Një burrë i ngathët me hundë të grepëzuar dhe mjekër kaçurrela u ngjit në foltore në të majtë të hyrjes dhe një i ri rreth të njëzetat me një fytyrë të pashme dhe të sigurt në vetvete u ngjit në foltoren përballë. E gjithë sjellja e tij pasqyronte besimin e plotë se çdo gjest dhe çdo fjalë e tij do të pritej me kënaqësi.

Filloi Tartaglia.

Te nderuar zoterinj! E dini që 13 vjet më parë arrita të gjeja një mënyrë për të zgjidhur një ekuacion të shkallës së 3-të dhe më pas, duke përdorur këtë metodë, fitova mosmarrëveshjen me Fiorin. Metoda ime tërhoqi vëmendjen e bashkëqytetarit tuaj Cardano dhe ai përdori të gjithë artin e tij dinakë për të zbuluar sekretin nga unë. Ai nuk u ndal as nga mashtrimi dhe as nga falsifikimi i drejtpërdrejtë. Ju e dini gjithashtu se 3 vjet më parë libri i Cardano-s mbi rregullat e algjebrës u botua në Nuremberg, ku metoda ime, e vjedhur kaq paturpësisht, u bë e disponueshme për të gjithë. Kam sfiduar Cardanon dhe studentin e tij në një konkurs. Unë propozova të zgjidhja 31 problema, të njëjtin numër më propozuan kundërshtarët e mi. U caktua një afat për zgjidhjen e problemeve - 15 ditë. Në 7 ditë arrita të zgjidh shumicën e problemeve që u përpiluan nga Cardano dhe Ferrari. I printova dhe i dërgova me korrier në Milano. Megjithatë, më duhej të prisja plot pesë muaj derisa të merrja përgjigje për detyrat e mia. Ato u zgjidhën gabimisht. Kjo më dha arsye për t'i sfiduar të dy në një debat publik.

Tartaglia heshti. I riu, duke parë Tartaglia fatkeqe, tha:

Te nderuar zoterinj! Kundërshtari im i denjë e lejoi veten që në fjalët e para të fjalës së tij të shprehte aq shumë shpifje kundër meje dhe ndaj mësuesit tim, saqë nuk do të më merrte ndonjë mundim për të hedhur poshtë të parën dhe për t'ju treguar mospërputhjen e tij; i dyti. Para së gjithash, për çfarë lloj mashtrimi mund të flasim nëse Niccolo Tartaglia ndau plotësisht vullnetarisht metodën e tij me ne të dy? Dhe kështu shkruan Geronimo Cardano për rolin e kundërshtarit tim në zbulimin e rregullit algjebrik. Ai thotë se nuk është ai, Cardano, “por miku im Tartaglia që ka nderin të zbulojë diçka kaq të bukur dhe të mahnitshme, që tejkalon zgjuarsinë njerëzore dhe të gjitha talentet e shpirtit njerëzor. Ky zbulim është me të vërtetë një dhuratë qiellore, një provë kaq e mrekullueshme e fuqisë së mendjes që e ka kuptuar atë, saqë asgjë nuk mund të konsiderohet e paarritshme për të.”

Kundërshtari im më akuzoi mua dhe mësuesin tim se gjoja i dhamë zgjidhje të gabuar problemeve të tij. Por si mund të jetë e pasaktë rrënja e një ekuacioni nëse duke e zëvendësuar atë në ekuacion dhe duke kryer të gjitha veprimet e përshkruara në këtë ekuacion, arrijmë në identitet? Dhe nëse Senor Tartaglia dëshiron të jetë konsistent, atëherë ai duhet t'i përgjigjej vërejtjes pse ne që vodhëm, por sipas fjalëve të tij, shpikja e tij dhe e përdorëm për të zgjidhur problemet e propozuara, morëm zgjidhjen e gabuar. Ne - mësuesi im dhe unë - nuk e konsiderojmë shpikjen e Signor Tartaglia si pak rëndësi. Kjo shpikje është e mrekullueshme. Për më tepër, duke u mbështetur kryesisht në të, gjeta një mënyrë për të zgjidhur një ekuacion të shkallës së 4-të, dhe në Ars Magna mësuesi im flet për këtë. Çfarë kërkon nga ne Senor Tartaglia? Çfarë po përpiqet të arrijë me mosmarrëveshjen?

Zotërinj, zotërinj, - bërtiti Tartaglia, - Unë ju kërkoj të më dëgjoni! Nuk e mohoj që kundërshtari im i ri është shumë i fortë në logjikë dhe elokuencë. Por kjo nuk mund të zëvendësojë një provë të vërtetë matematikore. Problemet që i dhashë Cardanos dhe Ferrarit nuk u zgjidhën si duhet, por do ta vërtetoj edhe këtë. Në të vërtetë, le të marrim, për shembull, një ekuacion nga ata të zgjidhur. Bëhet e ditur...

Një zhurmë e paimagjinueshme u ngrit në kishë, duke thithur plotësisht fundin e fjalisë së nisur nga matematikani fatkeq. Ai nuk u lejua të vazhdonte. Turma kërkoi që ai të mbyllte gojën dhe Ferrari të merrte kthesën. Tartaglia, duke parë se vazhdimi i debatit ishte krejtësisht i kotë, zbriti me nxitim nga foltorja dhe doli nëpër verandën veriore në shesh. Turma përshëndeti egërsisht "fituesin" e mosmarrëveshjes, Luigi Ferrari.

...Kështu përfundoi kjo mosmarrëveshje, e cila vazhdon të shkaktojë gjithnjë e më shumë mosmarrëveshje të reja. Kush e zotëron në të vërtetë metodën për zgjidhjen e një ekuacioni të shkallës së tretë? Ne po flasim tani - Niccolo Tartaglie. Ai e zbuloi atë dhe Cardano e mashtroi për të bërë zbulimin. Dhe nëse tani e quajmë formulën që përfaqëson rrënjët e një ekuacioni të shkallës së 3-të përmes koeficientëve të tij formula Cardano, atëherë kjo është një padrejtësi historike. Megjithatë, a është e padrejtë? Si të llogaritet shkalla e pjesëmarrjes së secilit matematikan në zbulim? Ndoshta me kalimin e kohës dikush do të jetë në gjendje t'i përgjigjet kësaj pyetjeje absolutisht të saktë, ose ndoshta do të mbetet një mister...

Formula Cardano

Duke përdorur gjuhën moderne matematikore dhe simbolikën moderne, derivimi i formulës së Cardanos mund të gjendet duke përdorur konsideratat e mëposhtme jashtëzakonisht elementare:

Le të na jepet një ekuacion i përgjithshëm i shkallës së tretë:

sëpatë 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Nëse vendosni

, atëherë japim ekuacionin (1) në mendje

Le të prezantojmë një të panjohur të re U duke përdorur barazinë

Duke e futur këtë shprehje në (2) , marrim

prandaj

Nëse numëruesi dhe emëruesi i termit të dytë shumëzohen me shprehjen dhe merren parasysh, shprehja që rezulton për u rezulton të jetë simetrik në lidhje me shenjat "+" dhe "-", atëherë më në fund marrim

(Produkti i radikalëve kub në barazinë e fundit duhet të jetë i barabartë fq).

Kjo është formula e famshme Cardano. Nëse shkoni nga y përsëri në x, atëherë marrim një formulë që përcakton rrënjën e një ekuacioni të përgjithshëm të shkallës së 3-të.

I riu që e trajtoi Tartaglian aq pa mëshirë e kuptoi matematikën po aq lehtë sa kuptoi të drejtat e fshehtësisë pa pretendime. Ferrari gjen një mënyrë për të zgjidhur një ekuacion të shkallës së 4-të. Cardano e përfshiu këtë metodë në librin e tij. Çfarë është kjo metodë?

Le (1)

- ekuacioni i përgjithshëm i shkallës së 4-të.

Nëse vendosni

pastaj ekuacioni (1) mund të sillen në mendje

Ku p,q,r- disa koeficientë në varësi të a,b,c,d,e. Është e lehtë të shihet se ky ekuacion mund të shkruhet si më poshtë:

Në fakt, mjafton të hapen kllapat, pastaj të gjitha termat që përmbajnë t, anulohet dhe kthehemi te ekuacioni (2) .

Le të zgjedhim një parametër t në mënyrë që ana e djathtë e ekuacionit (3) ishte një katror i përsosur në lidhje me y. Siç dihet, kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për këtë është zhdukja e diskriminuesit të koeficientëve të trinomit (në lidhje me y) duke qëndruar në të djathtë:

Ne kemi marrë një ekuacion të plotë kub, të cilin tani mund ta zgjidhim. Le të gjejmë ndonjë nga rrënjët e tij dhe ta shtojmë atë në ekuacion (3) , tani do të marrë formën

Ky është një ekuacion kuadratik. Duke e zgjidhur atë, mund të gjeni rrënjën e ekuacionit (2) , dhe për këtë arsye (1) .

4 muaj para vdekjes së tij, Cardano përfundoi autobiografinë e tij, të cilën e shkroi intensivisht gjatë gjithë vitit të kaluar dhe që supozohej të përmbledhte jetën e tij të vështirë. Ai ndjeu se vdekja po afrohej. Sipas disa raporteve, horoskopi i tij e lidhi vdekjen e tij me ditëlindjen e tij të 75-të. Ai vdiq më 21 shtator 1576. 2 ditë para përvjetorit. Ekziston një version që ai kreu vetëvrasje në pritje të vdekjes së afërt apo edhe për të konfirmuar horoskopin e tij. Në çdo rast, astrologu Cardano e mori seriozisht horoskopin.

Një shënim rreth formulës së Cardanos

Le të analizojmë formulën për zgjidhjen e ekuacionit në domenin real. Kështu që,

Gjatë llogaritjes x fillimisht duhet të marrim rrënjën katrore dhe më pas rrënjën kubike. Mund të marrim rrënjën katrore duke mbetur në rajonin real nëse . Dy vlera të rrënjës katrore që ndryshojnë në shenjë shfaqen në terma të ndryshëm për x. Vlerat e rrënjës së kubit në domenin real janë unike dhe rezultati është një rrënjë unike reale x në . Duke shqyrtuar grafikun e trinomit kub, është e lehtë të verifikohet se ai ka në të vërtetë një rrënjë të vetme reale në . Ka tre rrënjë të vërteta. Kur ka një rrënjë të dyfishtë reale dhe një rrënjë të vetme, dhe kur ka një rrënjë të trefishtë x=0.

Le të vazhdojmë të studiojmë formulën për . Rezulton. Po sikur një ekuacion me koeficientë të plotë të ketë një rrënjë numër të plotë, kur llogaritet duke përdorur formulën, mund të lindin irracionalitete të ndërmjetme. Për shembull, ekuacioni ka një rrënjë të vetme (reale) - x=1. Formula e Cardanos jep për këtë rrënjë të vetme reale shprehjen

Por praktikisht çdo provë përfshin përdorimin e faktit se kjo shprehje është rrënja e ekuacionit. Nëse nuk e merrni me mend këtë, radikalet kubike të pathyeshëm do të shfaqen gjatë transformimit.

Problemi Cardano-Tartaglia u harrua shpejt. Formula për zgjidhjen e ekuacionit kub u shoqërua me "Artin e Madh" dhe gradualisht filloi të quhet formulë Cardano.

Shumë kishin një dëshirë për të rivendosur pamjen e vërtetë të ngjarjeve në një situatë ku pjesëmarrësit e tyre padyshim që nuk e thanë të gjithë të vërtetën. Për shumë njerëz, ishte e rëndësishme të përcaktonin shkallën e fajit të Cardanos. Nga fundi i shekullit të 19-të, disa nga diskutimet filluan të merrnin karakterin e një kërkimi serioz historik dhe matematikor. Matematikanët e kuptuan se çfarë roli të madh luajti puna e Cardanos në fund të shekullit të 16-të. U bë e qartë ajo që Leibniz kishte vënë në dukje edhe më herët: “Cardano ishte një njeri i madh me të gjitha të metat e tij; pa to ai do të ishte i përsosur.”

KOMUNALE VII KONFERENCA SHKENCORE DHE PRAKTIKE STUDENTE “RINIA: KREATIVITET, KËRKIM, SUKSES”

Rrethi komunal Anninsky

Rajoni i Voronezh

Seksioni:MATEMATIKA

Tema:"Formula Cardano: Historia dhe Aplikimi"

Shkolla e mesme MKOU Anninskaya nr. 3, klasa 9 "B".

Niccolò Fontana Tartaglia (italisht: NiccolòFontanaTartaglia, 1499-1557) - matematikan italian.

Në përgjithësi, historia tregon se formula fillimisht u zbulua nga Tartaglia dhe iu dorëzua Cardano-s në formë të përfunduar, por vetë Cardano e mohoi këtë fakt, megjithëse ai nuk e mohoi përfshirjen e Tartaglia në krijimin e formulës.

Emri "Formula e Cardanos" është i rrënjosur fort pas formulës, për nder të shkencëtarit që në fakt e shpjegoi dhe ia prezantoi publikut.

Kur ora e bashkisë shënoi pesë, portat u hapën gjerësisht dhe turma nxitoi brenda katedrales. Në të dy anët e vijës qendrore që lidh hyrjen në altar, pranë dy kolonave anësore u ngritën dy foltore të larta, të destinuara për debatuesit. Të pranishmit bënë një zhurmë të madhe, duke mos i kushtuar vëmendje faktit që ndodheshin në kishë. Më në fund, përballë grilës së hekurt që ndante ikonostasin nga pjesa tjetër e nefit qendror, u shfaq një klithmë e qytetit me një mantel të zi dhe të purpurt dhe shpalli: “Qytetarë të shquar të qytetit të Milanos! Tani do t'ju flasë matematikani i famshëm Niccolo Tartaglia nga Brenia. Kundërshtari i tij supozohej të ishte matematikani dhe mjeku Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia akuzon Cardanon për faktin se ky i fundit në librin e tij "Arsmagna" botoi një metodë për zgjidhjen e një ekuacioni të shkallës së 3-të, që i përket atij, Tartaglia. Megjithatë, vetë Cardano nuk mundi të vinte në debat dhe për këtë arsye dërgoi studentin e tij Luige Ferrari. Pra, debati shpallet i hapur, pjesëmarrësit e tij ftohen në departamente.” Një burrë i ngathët me hundë të grepëzuar dhe mjekër kaçurrela u ngjit në foltore në të majtë të hyrjes dhe një i ri rreth të njëzetat me një fytyrë të pashme dhe të sigurt në vetvete u ngjit në foltoren përballë. E gjithë sjellja e tij pasqyronte besimin e plotë se çdo gjest dhe çdo fjalë e tij do të pritej me kënaqësi.

Filloi Tartaglia.

Tartaglia heshti. I riu, duke parë Tartaglia fatkeqe, tha:

Kundërshtari im më akuzoi mua dhe mësuesin tim se gjoja i dhamë zgjidhje të gabuar problemeve të tij. Por si mund të jetë e pasaktë rrënja e një ekuacioni nëse duke e zëvendësuar atë në ekuacion dhe duke kryer të gjitha veprimet e përshkruara në këtë ekuacion, arrijmë në identitet? Dhe nëse Senor Tartaglia dëshiron të jetë konsistent, atëherë ai duhet t'i përgjigjej vërejtjes pse ne që, sipas fjalëve të tij, vodhëm shpikjen e tij dhe e përdorëm për të zgjidhur problemet e propozuara, morëm zgjidhjen e gabuar. Ne - mësuesi im dhe unë - nuk e konsiderojmë shpikjen e Signor Tartaglia si pak rëndësi. Kjo shpikje është e mrekullueshme. Për më tepër, duke u mbështetur kryesisht në të, gjeta një mënyrë për të zgjidhur një ekuacion të shkallës së 4-të, dhe në Arsmagna mësuesi im flet për këtë. Çfarë kërkon nga ne Senor Tartaglia? Çfarë po përpiqet të arrijë me mosmarrëveshjen?

Zotërinj, zotërinj, - bërtiti Tartaglia, - Unë ju kërkoj të më dëgjoni! Nuk e mohoj që kundërshtari im i ri është shumë i fortë në logjikë dhe elokuencë. Por kjo nuk mund të zëvendësojë një provë të vërtetë matematikore. Problemet që i dhashë Cardanos dhe Ferrarit u zgjidhën gabim, por do ta vërtetoj edhe unë. Në të vërtetë, le të marrim, për shembull, një ekuacion nga ata të zgjidhur. Bëhet e ditur...

Kështu përfundoi kjo mosmarrëveshje, e cila vazhdon të shkaktojë gjithnjë e më shumë mosmarrëveshje të reja. Kush e zotëron në të vërtetë metodën për zgjidhjen e një ekuacioni të shkallës së tretë? Ne po flasim tani - Niccolo Tartaglie. Ai e zbuloi atë dhe Cardano e mashtroi për të bërë zbulimin. Dhe nëse tani e quajmë formulën që përfaqëson rrënjët e një ekuacioni të shkallës së 3-të përmes koeficientëve të tij formula Cardano, atëherë kjo është një padrejtësi historike. Megjithatë, a është e padrejtë? Si të llogaritet shkalla e pjesëmarrjes së secilit matematikan në zbulim? Ndoshta me kalimin e kohës dikush do të jetë në gjendje t'i përgjigjet kësaj pyetjeje absolutisht të saktë, ose ndoshta do të mbetet një mister...

Duke përdorur gjuhën moderne matematikore dhe simbolikën moderne, derivimi i formulës së Cardanos mund të gjendet duke përdorur konsideratat e mëposhtme jashtëzakonisht elementare:

Le të na jepet një ekuacion i përgjithshëm i shkallës së tretë:

x 3 + sëpatë 2 + bx + c = 0,

(1)

Kua, b, c – numra realë arbitrarë.

Le të zëvendësojmë variablin në ekuacionin (1)X në një ndryshore të re ysipas formulës:

x 3 +sëpatë 2 +bx+c = (y ) 3 + a(y ) 2 + b(y ) + c = y 3 3 vjet 2 + 3 vjet+ a(y 2 2 vjet+nga = y 3 y 3 + (b

atëherë ekuacioni (1) do të marrë formëny 3 + ( b

Nëse futim shëniminfq = b, q = ,

atëherë ekuacioni do të marrë formëny 3 + py + q = 0.

Kjo është formula e famshme Cardano.

Rrënjët e një ekuacioni kuby 3 + py + q = 0 varen nga diskriminuesi

NëseD> 0, atëherënjë polinom kub ka tre rrënjë reale të ndryshme.

NëseD< 0, то një polinom kub ka një rrënjë reale dhe dy rrënjë komplekse (të cilat janë të konjuguara komplekse).

NëseD = 0, ajo ka një rrënjë të shumëfishtë (ose një rrënjë e shumëfishimit 2 dhe një rrënjë e shumëzimit 1, të dyja janë reale; ose një rrënjë e vetme reale e shumëzisë 3).

2.4. Shembuj të metodave universale për zgjidhjen e ekuacioneve kubike

Le të përpiqemi të zbatojmë formulën e Cardan-it për zgjidhjen e ekuacioneve specifike.

Shembulli 1: x 3 +15 x+124 = 0

Këtufq = 15; q = 124.

Përgjigje:X