Si të gjeni koordinatat e një produkti vektorial. Ndërprodukt - përkufizime, veti, formula, shembuj dhe zgjidhje

Në këtë mësim do të shikojmë dy operacione të tjera me vektorë: prodhim vektorial i vektorëve Dhe produkt i përzier i vektorëve (lidhje e menjëhershme për ata që kanë nevojë). Është në rregull, ndonjëherë ndodh që për lumturi të plotë, përveç prodhim skalar i vektorëve, kërkohen gjithnjë e më shumë. Kjo është varësia ndaj vektorit. Mund të duket se po futemi në xhunglën e gjeometrisë analitike. Kjo eshte e gabuar. Në këtë pjesë të matematikës së lartë, përgjithësisht ka pak dru, përveç ndoshta mjaftueshëm për Pinokun. Në fakt, materiali është shumë i zakonshëm dhe i thjeshtë - vështirë se më i komplikuar se i njëjti produkt skalar, do të ketë edhe më pak detyra tipike. Gjëja kryesore në gjeometrinë analitike, siç do të jenë të bindur shumë ose tashmë janë bindur, është TË MOS BËNI GABIME NË LLOGARITJE. Përsëriteni si një magji dhe do të jeni të lumtur =)

Nëse vektorët shkëlqejnë diku larg, si rrufeja në horizont, nuk ka rëndësi, filloni me mësimin Vektorë për dummies për të rivendosur ose rifituar njohuritë bazë për vektorët. Lexuesit më të përgatitur mund të njihen me informacionin në mënyrë selektive

Çfarë do t'ju bëjë të lumtur menjëherë? Kur isha i vogël, mund të mashtroja me dy apo edhe tre topa. Doli mirë. Tani nuk do t'ju duhet të mashtroni fare, pasi ne do ta shqyrtojmë vetëm vektorët hapësinorë, dhe vektorët e sheshtë me dy koordinata do të lihen jashtë. Pse? Kështu kanë lindur këto veprime - vektori dhe produkti i përzier i vektorëve janë përcaktuar dhe punojnë në hapësirën tredimensionale. Tashmë është më e lehtë!

Ky operacion, ashtu si produkti skalar, përfshin dy vektorë. Le të jenë këto letra të padurueshme.

Vetë veprimi shënohet me në mënyrën e mëposhtme: . Ka opsione të tjera, por unë jam mësuar të shënoj produktin vektorial të vektorëve në këtë mënyrë, në kllapa katrore me një kryq.

Dhe menjëherë pyetje: nëse në prodhim skalar i vektorëve dy vektorë janë të përfshirë, dhe këtu dy vektorë gjithashtu shumëzohen, atëherë Qfare eshte dallimi? Dallimi i dukshëm është, para së gjithash, në REZULTATE:

Rezultati i produktit skalar të vektorëve është NUMRI:

Rezultati i prodhimit kryq të vektorëve është VEKTOR: dmth shumëzojmë vektorët dhe marrim përsëri një vektor. Klubi i mbyllur. Në fakt, nga këtu vjen emri i operacionit. Në literaturë të ndryshme arsimore, emërtimet mund të ndryshojnë gjithashtu.

Përkufizimi i produktit kryq

Së pari do të ketë një përkufizim me një foto, pastaj komente.

Përkufizimi: Produkt vektorial jokolineare vektorë, marrë në këtë mënyrë, i quajtur VEKTOR, gjatësia që është numerikisht e barabartë me sipërfaqen e paralelogramit, i ndërtuar mbi këta vektorë; vektoriale ortogonale me vektorët, dhe drejtohet në mënyrë që baza të ketë një orientim të drejtë:

Le të zbërthejmë përkufizimin, ka shumë gjëra interesante këtu!

Pra, mund të theksohen pikat e mëposhtme të rëndësishme:

1) Vektorët origjinalë, të treguar me shigjeta të kuqe, sipas përkufizimit jo kolinear. Do të jetë e përshtatshme të shqyrtojmë rastin e vektorëve kolinearë pak më vonë.

2) Janë marrë vektorët në një rend të përcaktuar rreptësisht: – "a" shumëzohet me "be", dhe jo "be" me "a". Rezultati i shumëzimit të vektorëveështë VEKTOR, i cili tregohet me ngjyrë blu. Nëse vektorët shumëzohen në mënyrë të kundërt, marrim një vektor të barabartë në gjatësi dhe të kundërt në drejtim (ngjyrë mjedër). Kjo është, barazia është e vërtetë .

3) Tani le të njihemi me kuptimin gjeometrik të produktit vektor. Kjo është një pikë shumë e rëndësishme! GJATËSIA e vektorit blu (dhe, rrjedhimisht, vektori i kuq) është numerikisht i barabartë me SIPËRMARRËN e paralelogramit të ndërtuar mbi vektorët. Në figurë, ky paralelogram është me hije të zezë.

shënim : vizatimi është skematik dhe, natyrisht, gjatësia nominale e produktit të vektorit nuk është e barabartë me sipërfaqen e paralelogramit.

Le të kujtojmë një nga formulat gjeometrike: Sipërfaqja e një paralelogrami është e barabartë me produktin e brinjëve ngjitur dhe me sinusin e këndit ndërmjet tyre. Prandaj, bazuar në sa më sipër, formula për llogaritjen e GJATËSISË së një produkti vektori është e vlefshme:

Theksoj se formula ka të bëjë me GJATËSINË e vektorit, dhe jo për vetë vektorin. Cili është kuptimi praktik? Dhe kuptimi është se në problemet e gjeometrisë analitike, zona e një paralelogrami shpesh gjendet përmes konceptit të një produkti vektori:

Le të marrim formulën e dytë të rëndësishme. Diagonalja e një paralelogrami (vijë e kuqe me pika) e ndan atë në dy trekëndësha të barabartë. Prandaj, zona e një trekëndëshi të ndërtuar mbi vektorë (hijezim i kuq) mund të gjendet duke përdorur formulën:

4) Një fakt po aq i rëndësishëm është se vektori është ortogonal me vektorët, domethënë . Natyrisht, vektori me drejtim të kundërt (shigjeta e mjedrës) është gjithashtu ortogonal me vektorët origjinal.

5) Vektori është i drejtuar ashtu që bazë Ajo ka drejtë orientim. Në mësimin rreth kalimi në një bazë të re Unë fola në detaje të mjaftueshme për orientimi në plan, dhe tani do të kuptojmë se çfarë është orientimi në hapësirë. Unë do të shpjegoj në gishtat tuaj dora e djathtë. Kombinoje mendërisht gisht tregues me vektor dhe Gishti i mesem me vektor. Gishti i unazës dhe gishti i vogël shtypeni në pëllëmbën tuaj. Si rezultat gishtin e madh– produkti vektor do të shikojë lart. Kjo është një bazë e orientuar drejt së drejtës (është kjo në figurë). Tani ndryshoni vektorët ( gishtat tregues dhe të mesëm) në disa vende, si rezultat gishti i madh do të rrotullohet dhe produkti vektor do të shikojë tashmë poshtë. Kjo është gjithashtu një bazë e orientuar drejt së drejtës. Ju mund të keni një pyetje: cila bazë ka orientimin e majtë? "Cakto" në të njëjtat gishta dora e majtë vektorët, dhe merrni bazën e majtë dhe orientimin majtas të hapësirës (në këtë rast, gishti i madh do të vendoset në drejtim të vektorit të poshtëm). Në mënyrë figurative, këto baza "përdredhin" ose orientojnë hapësirën në drejtime të ndryshme. Dhe ky koncept nuk duhet të konsiderohet diçka e largët ose abstrakte - për shembull, orientimi i hapësirës ndryshohet nga pasqyra më e zakonshme, dhe nëse "tërheqni objektin e reflektuar nga xhami i shikimit", atëherë në rastin e përgjithshëm ai nuk do të jetë e mundur të kombinohet me "origjinalin". Nga rruga, mbajini tre gishtat lart në pasqyrë dhe analizoni reflektimin ;-)

...sa mirë është që tani e dini me orientim djathtas dhe majtas bazat, sepse deklaratat e disa pedagogëve për një ndryshim në orientim janë të frikshme =)

Prodhimi kryq i vektorëve kolinearë

Përkufizimi është diskutuar në detaje, mbetet për të gjetur se çfarë ndodh kur vektorët janë kolinear. Nëse vektorët janë kolinearë, atëherë ata mund të vendosen në një vijë të drejtë dhe paralelogrami ynë gjithashtu "paloset" në një vijë të drejtë. Zona e tillë, siç thonë matematikanët, i degjeneruar paralelogrami është i barabartë me zero. E njëjta gjë rrjedh nga formula - sinusi zero ose 180 gradë është i barabartë me zero, që do të thotë se sipërfaqja është zero

Kështu, nëse , atëherë Dhe . Ju lutemi vini re se vetë produkti vektorial është i barabartë me vektorin zero, por në praktikë kjo shpesh neglizhohet dhe shkruhet se është gjithashtu i barabartë me zero.

Një rast i veçantë është prodhimi vektorial i një vektori me vetveten:

Duke përdorur produktin e vektorit, mund të kontrolloni kolinearitetin e vektorëve tre-dimensionale, dhe ne gjithashtu do të analizojmë këtë problem, ndër të tjera.

Për të zgjidhur shembuj praktikë mund t'ju nevojiten tabelë trigonometrike për të gjetur vlerat e sinuseve prej tij.

Epo, le të ndezim zjarrin:

Shembulli 1

a) Gjeni gjatësinë e prodhimit vektorial të vektorëve nëse

b) Gjeni sipërfaqen e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë nëse

Zgjidhje: Jo, kjo nuk është një gabim shtypi, qëllimisht i kam bërë të njëjtat të dhënat fillestare në klauzola. Sepse dizajni i zgjidhjeve do të jetë i ndryshëm!

a) Sipas kushtit, ju duhet të gjeni gjatësia vektor (produkt i kryqëzuar). Sipas formulës përkatëse:

Përgjigju:

Nëse jeni pyetur për gjatësinë, atëherë në përgjigje ne tregojmë dimensionin - njësitë.

b) Sipas kushtit, duhet të gjesh katrore paralelogrami i ndërtuar mbi vektorë. Sipërfaqja e këtij paralelogrami është numerikisht e barabartë me gjatësinë e produktit vektor:

Përgjigju:

Ju lutemi vini re se përgjigjja nuk flet fare për produktin vektorial për të cilin u pyetëm zona e figurës, në përputhje me rrethanat, dimensioni është njësi katrore.

Ne gjithmonë shikojmë ÇFARË duhet të gjejmë sipas kushtit dhe, bazuar në këtë, ne formulojmë qartë përgjigje. Mund të duket si literalizëm, por ka shumë literalistë mes mësuesve dhe detyra ka një shans të mirë që të kthehet për rishikim. Edhe pse kjo nuk është një frazë veçanërisht e largët - nëse përgjigja është e pasaktë, atëherë të krijohet përshtypja se personi nuk kupton gjëra të thjeshta dhe/ose nuk e ka kuptuar thelbin e detyrës. Kjo pikë duhet mbajtur gjithmonë nën kontroll kur zgjidhet ndonjë problem në matematikën e lartë, si dhe në lëndë të tjera.

Ku shkoi shkronja e madhe “en”? Në parim, mund të ishte bashkangjitur shtesë në zgjidhje, por për të shkurtuar hyrjen, nuk e bëra këtë. Shpresoj që të gjithë ta kuptojnë këtë dhe të jetë një emërtim për të njëjtën gjë.

Një shembull popullor për një zgjidhje DIY:

Shembulli 2

Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi të ndërtuar mbi vektorë nëse

Formula për gjetjen e zonës së një trekëndëshi përmes produktit vektor është dhënë në komentet e përkufizimit. Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit.

Në praktikë, detyra është me të vërtetë shumë e zakonshme;

Për të zgjidhur probleme të tjera do të na duhen:

Vetitë e prodhimit vektorial të vektorëve

Ne kemi shqyrtuar tashmë disa veti të produktit vektor, megjithatë, unë do t'i përfshij ato në këtë listë.

Për vektorët arbitrarë dhe një numër arbitrar, vetitë e mëposhtme janë të vërteta:

1) Në burime të tjera informacioni, ky artikull zakonisht nuk theksohet në vetitë, por është shumë i rëndësishëm në aspektin praktik. Pra le të jetë.

2) – prona është diskutuar edhe më lart, ndonjëherë quhet antikomutativiteti. Me fjalë të tjera, renditja e vektorëve ka rëndësi.

3) – asociative ose asociative ligjet e produkteve vektoriale. Konstantet mund të zhvendosen lehtësisht jashtë produktit vektorial. Vërtet, çfarë duhet të bëjnë atje?

4) – shpërndarja ose shpërndarës ligjet e produkteve vektoriale. Nuk ka probleme as me hapjen e kllapave.

Për të demonstruar, le të shohim një shembull të shkurtër:

Shembulli 3

Gjeni nëse

Zgjidhja: Kushti përsëri kërkon gjetjen e gjatësisë së produktit të vektorit. Le të pikturojmë miniaturën tonë:

(1) Sipas ligjeve asociative, ne i marrim konstantet jashtë fushëveprimit të produktit vektorial.

(2) Ne e zhvendosim konstanten jashtë modulit dhe moduli "ha" shenjën minus. Gjatësia nuk mund të jetë negative.

(3) Pjesa tjetër është e qartë.

Përgjigju:

Është koha për të shtuar më shumë dru në zjarr:

Shembulli 4

Llogaritni sipërfaqen e një trekëndëshi të ndërtuar mbi vektorë nëse

Zgjidhje: Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit duke përdorur formulën . Kapja është se vektorët "tse" dhe "de" paraqiten në vetvete si shuma të vektorëve. Algoritmi këtu është standard dhe disi të kujton shembujt nr. 3 dhe 4 të mësimit Prodhimi pikash i vektorëve. Për qartësi, ne do ta ndajmë zgjidhjen në tre faza:

1) Në hapin e parë, ne shprehim produktin vektor përmes produktit vektorial, në fakt, le të shprehim një vektor në terma të një vektori. Asnjë fjalë ende për gjatësinë!

(1) Zëvendësoni shprehjet e vektorëve.

(2) Duke përdorur ligjet shpërndarëse, hapim kllapat sipas rregullit të shumëzimit të polinomeve.

(3) Duke përdorur ligjet asociative, ne i lëvizim të gjitha konstantet përtej prodhimeve vektoriale. Me pak përvojë, hapat 2 dhe 3 mund të kryhen njëkohësisht.

(4) Termat e parë dhe të fundit janë të barabartë me zero (vektor zero) për shkak të vetive të këndshme. Në termin e dytë ne përdorim vetinë e antikomutativitetit të një produkti vektori:

(5) Ne paraqesim terma të ngjashëm.

Si rezultat, vektori doli të shprehej përmes një vektori, i cili është ajo që kërkohej të arrihej:

2) Në hapin e dytë, gjejmë gjatësinë e produktit të vektorit që na nevojitet. Ky veprim është i ngjashëm me shembullin 3:

3) Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit të kërkuar:

Fazat 2-3 të zgjidhjes mund të ishin shkruar në një rresht.

Përgjigju:

Problemi i konsideruar është mjaft i zakonshëm në teste, këtu është një shembull për ta zgjidhur vetë:

Shembulli 5

Gjeni nëse

Një zgjidhje dhe përgjigje e shkurtër në fund të mësimit. Le të shohim se sa të vëmendshëm keni qenë kur keni studiuar shembujt e mëparshëm ;-)

Prodhimi kryq i vektorëve në koordinata

, të specifikuara në një bazë ortonorale, shprehur me formulë:

Formula është vërtet e thjeshtë: në rreshtin e sipërm të përcaktorit shkruajmë vektorët e koordinatave, në rreshtin e dytë dhe të tretë "vendosim" koordinatat e vektorëve dhe vendosim në mënyrë strikte– fillimisht koordinatat e vektorit “ve”, pastaj koordinatat e vektorit “double-ve”. Nëse vektorët duhet të shumëzohen në një rend të ndryshëm, atëherë rreshtat duhet të ndërrohen:

Shembulli 10

Kontrolloni nëse vektorët hapësinorë të mëposhtëm janë kolinear:
A)
b)

Zgjidhje: Kontrolli bazohet në një nga pohimet në këtë mësim: nëse vektorët janë kolinear, atëherë produkti i tyre vektor është i barabartë me zero (zero vektor): .

a) Gjeni produktin e vektorit:

Kështu, vektorët nuk janë kolinearë.

b) Gjeni produktin e vektorit:

Përgjigju: a) jo kolinear, b)

Këtu, ndoshta, është i gjithë informacioni bazë për produktin vektorial të vektorëve.

Ky seksion nuk do të jetë shumë i madh, pasi ka pak probleme ku përdoret produkti i përzier i vektorëve. Në fakt, gjithçka do të varet nga përkufizimi, kuptimi gjeometrik dhe disa formula pune.

Një produkt i përzier vektorësh është prodhimi i tre vektorëve:

Kështu ata u rreshtuan si tren dhe mezi presin të identifikohen.

Së pari, përsëri, një përkufizim dhe një fotografi:

Përkufizimi: Punë e përzier jokomplanare vektorë, marrë në këtë mënyrë, thirri vëllim paralelipiped, i ndërtuar mbi këta vektorë, i pajisur me një shenjë “+” nëse baza është e drejtë dhe një shenjë “–” nëse baza është e majtë.

Le të bëjmë vizatimin. Vijat e padukshme për ne vizatohen me vija me pika:

Le të zhytemi në përkufizimin:

2) Janë marrë vektorët në një rend të caktuar, domethënë, rirregullimi i vektorëve në produkt, siç mund ta merrni me mend, nuk ndodh pa pasoja.

3) Para se të komentoj kuptimin gjeometrik, do të vërej një fakt të qartë: prodhimi i përzier i vektorëve është një NUMËR: . Në literaturën edukative, dizajni mund të jetë paksa i ndryshëm. Unë jam mësuar të shënoj një produkt të përzier me , dhe rezultatin e llogaritjeve me shkronjën "pe".

A-parësore produkti i përzier është vëllimi i paralelopipedit, i ndërtuar mbi vektorë (figura vizatohet me vektorë të kuq dhe vija të zeza). Kjo do të thotë, numri është i barabartë me vëllimin e një paralelepipedi të caktuar.

shënim : Vizatimi është skematik.

4) Të mos shqetësohemi përsëri për konceptin e orientimit të bazës dhe hapësirës. Kuptimi i pjesës së fundit është se vëllimit mund t'i shtohet një shenjë minus. Me fjalë të thjeshta, një produkt i përzier mund të jetë negativ: .

Direkt nga përkufizimi rrjedh formula për llogaritjen e vëllimit të një paralelipipedi të ndërtuar mbi vektorë.

Vepra arti vektorialeështë një pseudovektor pingul me një plan të ndërtuar nga dy faktorë, i cili është rezultat i operacionit binar "shumëzimi i vektorit" mbi vektorët në hapësirën Euklidiane tredimensionale. Produkti vektorial nuk ka vetitë e komutativitetit dhe asociativitetit (është antikomutativ) dhe, ndryshe nga produkti skalar i vektorëve, është vektor. Përdoret gjerësisht në shumë aplikacione inxhinierike dhe fizike. Për shembull, momenti këndor dhe forca e Lorencit shkruhen matematikisht si produkt vektorial. Produkti kryq është i dobishëm për "matjen" e pingulitetit të vektorëve - moduli i prodhimit kryq të dy vektorëve është i barabartë me produktin e moduleve të tyre nëse janë pingul, dhe zvogëlohet në zero nëse vektorët janë paralelë ose antiparalelë.

Produkti i vektorit mund të përcaktohet në mënyra të ndryshme, dhe teorikisht, në një hapësirë të çdo dimensioni n, mund të llogaritet produkti i n-1 vektorëve, duke marrë kështu një vektor të vetëm pingul me të gjithë. Por nëse produkti kufizohet në produkte binare jo të parëndësishme me rezultate vektoriale, atëherë produkti tradicional vektorial përcaktohet vetëm në hapësira tre-dimensionale dhe shtatë-dimensionale. Rezultati i një produkti vektorial, si një produkt skalar, varet nga metrika e hapësirës Euklidiane.

Ndryshe nga formula për llogaritjen e vektorëve të produktit skalar nga koordinatat në një sistem koordinativ tre-dimensional drejtkëndor, formula për produktin kryq varet nga orientimi i sistemit të koordinatave drejtkëndore, ose, me fjalë të tjera, "kiraliteti" i tij.

Përkufizimi:
Produkti vektorial i vektorit a dhe vektorit b në hapësirën R3 është një vektor c që plotëson kërkesat e mëposhtme:
gjatësia e vektorit c është e barabartë me prodhimin e gjatësisë së vektorëve a dhe b dhe sinusit të këndit φ ndërmjet tyre:
|c|=|a||b|sin φ;
vektori c është ortogonal me secilin nga vektorët a dhe b;
vektori c është i drejtuar ashtu që trefishi i vektorëve abc është i djathtë;
në rastin e hapësirës R7 kërkohet asociativiteti i trefishit të vektorëve a, b, c.
Përcaktimi:
c===a × b

Oriz. 1. Sipërfaqja e një paralelogrami është e barabartë me modulin e produktit të vektorit

Vetitë gjeometrike të një produkti kryq:
Një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për kolinearitetin e dy vektorëve jozero është që produkti vektorial i tyre të jetë i barabartë me zero.

Moduli i Ndërproduktit është e barabartë me sipërfaqen S paralelogrami i ndërtuar mbi vektorë të reduktuar në një origjinë të përbashkët a Dhe b(shih Fig. 1).

Nëse e- vektori njësi ortogonal me vektorët a Dhe b dhe të zgjedhur në mënyrë që tre a,b,e- drejtë, dhe Sështë sipërfaqja e paralelogramit të ndërtuar mbi to (reduktuar në një origjinë të përbashkët), atëherë formula për produktin vektor është e vlefshme:
=S e

Fig.2. Vëllimi i një paralelepipedi duke përdorur vektorin dhe produktin skalar të vektorëve; vijat me pika tregojnë projeksionet e vektorit c në a × b dhe vektorit a në b × c, hapi i parë është gjetja e produkteve skalare

Nëse c- disa vektorë, π - çdo plan që përmban këtë vektor, e- vektori njësi i shtrirë në aeroplan π dhe ortogonale me c,g- vektori njësi ortogonal me rrafshin π dhe drejtuar ashtu që trefishi i vektorëve ekg ka të drejtë, atëherë për çdo shtrirje në aeroplan π vektoriale a formula eshte e sakte:
=Pr e a |c|g
ku Pr e a është projeksioni i vektorit e në a
|c|-moduli i vektorit c

Kur përdorni produkte vektoriale dhe skalare, mund të llogarisni vëllimin e një paralelipipedi të ndërtuar mbi vektorë të reduktuar në një origjinë të përbashkët a, b Dhe c. Një produkt i tillë i tre vektorëve quhet i përzier.
V=|a (b×c)|
Figura tregon se ky vëllim mund të gjendet në dy mënyra: rezultati gjeometrik ruhet edhe kur produktet "skalare" dhe "vektoriale" ndërrohen:
V=a×b c=a b×c

Madhësia e prodhimit kryq varet nga sinusi i këndit midis vektorëve origjinalë, kështu që prodhimi kryq mund të perceptohet si shkalla e "perpendikularitetit" të vektorëve, ashtu si prodhimi skalar mund të shihet si shkalla e "paralelizmit". “. Produkti vektorial i dy vektorëve njësi është i barabartë me 1 (vektor njësi) nëse vektorët origjinalë janë pingul, dhe i barabartë me 0 (vektori zero) nëse vektorët janë paralelë ose antiparalelë.

Shprehje për prodhimin e kryqëzuar në koordinatat karteziane
Nëse dy vektorë a Dhe b të përcaktuara nga koordinatat e tyre drejtkëndore karteziane, ose më saktë, të përfaqësuara në një bazë ortonormale
a=(a x,a y,a z)
b=(b x,b y,b z)
dhe sistemi i koordinatave është i djathtë, atëherë produkti i tyre vektor ka formën
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Për të kujtuar këtë formulë:
i =∑ε ijk a j b k
Ku ε ijk- simbol i Levi-Civita.

7.1. Përkufizimi i produktit kryq

Tre vektorë jokoplanarë a, b dhe c, të marrë në rendin e treguar, formojnë një treshe me dorën e djathtë nëse, nga fundi i vektorit të tretë c, kthesa më e shkurtër nga vektori i parë a në vektorin e dytë b shihet në të jetë në drejtim të kundërt të akrepave të orës dhe një treshe me dorën e majtë nëse është në drejtim të akrepave të orës (shih Fig. 16).

Prodhimi vektorial i vektorit a dhe vektorit b quhet vektor c, i cili:

1. pingul me vektorët a dhe b, pra c ^ a dhe c ^ b ;

2. Ka një gjatësi numerikisht të barabartë me sipërfaqen e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorët a dheb si në anët (shih Fig. 17), d.m.th.

3. Vektorët a, b dhe c formojnë një treshe të djathtë.

Prodhimi kryq shënohet x b ose [a,b]. Marrëdhëniet e mëposhtme midis vektorëve njësi i rrjedhin drejtpërdrejt nga përkufizimi i produktit vektor, j Dhe k(shih Fig. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Le ta vërtetojmë, për shembull, këtë i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, por | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektorët i, j dhe k formoni një treshe djathtas (shih Fig. 16).

7.2. Vetitë e një produkti kryq

1. Gjatë rirregullimit të faktorëve, produkti vektorial ndryshon shenjën, d.m.th. dhe xb =(b xa) (shih Fig. 19).

Vektorët a xb dhe b xa janë kolinear, kanë të njëjtat module (zona e paralelogramit mbetet e pandryshuar), por janë të drejtuar në të kundërt (trefishat a, b, a xb dhe a, b, b x a me orientim të kundërt). Kjo eshte axb = -(b xa).

2. Produkti vektor ka një veti të kombinuar në lidhje me faktorin skalar, d.m.th. l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Le të jetë >0. Vektori l (a xb) është pingul me vektorët a dhe b. Vektori ( l a) x bështë gjithashtu pingul me vektorët a dhe b(vektorët a, l por shtrihuni në të njëjtin plan). Kjo do të thotë se vektorët l(a xb) dhe ( l a) x b kolineare. Është e qartë se drejtimet e tyre përkojnë. Ata kanë të njëjtën gjatësi:

Kjo është arsyeja pse l(a xb)= l një xb. Është vërtetuar në mënyrë të ngjashme për l<0.

3. Dy vektorë jozero a dhe b janë kolinear nëse dhe vetëm nëse produkti i tyre vektor është i barabartë me vektorin zero, d.m.th a ||b<=>dhe xb =0.

Në veçanti, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Produkti vektor ka vetinë e shpërndarjes:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Ne do të pranojmë pa prova.

7.3. Shprehja e prodhimit kryq me koordinata

Ne do të përdorim tabelën e prodhimit të kryqëzuar të vektorëve i, j dhe k:

nëse drejtimi i shtegut më të shkurtër nga vektori i parë në të dytin përkon me drejtimin e shigjetës, atëherë prodhimi është i barabartë me vektorin e tretë nëse nuk përkon, vektori i tretë merret me shenjën minus;

Formula që rezulton mund të shkruhet edhe më shkurt:

meqenëse ana e djathtë e barazisë (7.1) korrespondon me zgjerimin e përcaktorit të rendit të tretë për sa i përket elementeve të rreshtit të parë Barazia (7.2) është e lehtë për t'u mbajtur mend.

7.4. Disa aplikime të produktit kryq

Vendosja e kolinearitetit të vektorëve

Gjetja e sipërfaqes së një paralelogrami dhe një trekëndëshi

Sipas përcaktimit të prodhimit vektorial të vektorëve A dhe b |a xb | =|a | * |b |sin g, pra S çifte = |a x b |. Dhe, prandaj, D S =1/2|a x b |.

Përcaktimi i momentit të forcës rreth një pike

Le të zbatohet një forcë në pikën A F =AB le të shkojë RRETH- një pikë në hapësirë (shih Fig. 20).

Nga fizika dihet se momenti i forcës F në lidhje me pikën RRETH quhet vektor M, që kalon nëpër pikë RRETH Dhe:

1) pingul me rrafshin që kalon nëpër pika O, A, B;

2) numerikisht i barabartë me produktin e forcës për krah

3) formon një treshe të drejtë me vektorët OA dhe A B.

Prandaj, M = OA x F.

Gjetja e shpejtësisë lineare të rrotullimit

Shpejtësia v pika M e një trupi të ngurtë që rrotullohet me shpejtësi këndore w rreth një boshti fiks, përcaktohet nga formula e Euler-it v =w xr, ku r =OM, ku O është një pikë fikse e boshtit (shih Fig. 21).

Anglisht: Wikipedia po e bën faqen më të sigurt. Po përdorni një shfletues të vjetër uebi që nuk do të jetë në gjendje të lidhet me Wikipedia në të ardhmen. Përditëso pajisjen tënde ose kontakto me administratorin e TI-së.

中文: The以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）.

Spanjisht: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está shfrytëzuar dhe lundruar web viejo që nuk mund të përdoret për të krijuar një Wikipedia në të ardhmen. Actualice su dispositivo o kontakto me një informático su administrator. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt shton sigurinë e faqes së djalit. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de kontakter votre administrateur informatique à cette fin. Informacione suplementare plus teknika dhe në gjuhën angleze të disponueshme ci-dessous.

日本語: ???するか情報は以下に英語で提供しています。

gjermanisht: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der në Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia është rendendo il sito più sicuro. Qëndroni në shfletuesin e ueb-it në një shkallë të lidhjes në Wikipedia në të ardhmen. Për favore, aggiorna il tuo dispositivo ose contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico në anglisht.

Magyar: Biztonságosabb më pak një Wikipedia. Një böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problem a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia dhe framtiden. Uppdatera din enhet ose kontakta me IT-administrator. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Ne po heqim mbështetjen për versionet e pasigurta të protokollit TLS, veçanërisht TLSv1.0 dhe TLSv1.1, në të cilat mbështetet softueri i shfletuesit tuaj për t'u lidhur me sajtet tona. Kjo zakonisht shkaktohet nga shfletuesit e vjetëruar, ose telefonat inteligjentë të vjetër Android. Ose mund të jetë ndërhyrje nga softueri "Web Security" i korporatës ose personal, i cili në fakt ul sigurinë e lidhjes.

Duhet të përditësoni shfletuesin tuaj të internetit ose ta rregulloni ndryshe këtë problem për të hyrë në faqet tona. Ky mesazh do të qëndrojë deri më 1 janar 2020. Pas kësaj date, shfletuesi juaj nuk do të jetë në gjendje të krijojë një lidhje me serverët tanë.

Ne do të përdorim tabelën e prodhimit të kryqëzuar të vektorëve i, j dhe k:

Le të jepen dy vektorë a=axi +ayj +azk dhe b =bxi +byj +bzk. Le të gjejmë produktin vektorial të këtyre vektorëve duke i shumëzuar si polinome (sipas vetive të produktit vektorial):
Formula që rezulton mund të shkruhet edhe më shkurt: meqenëse ana e djathtë e barazisë (7.1) korrespondon me zgjerimin e përcaktorit të rendit të tretë për sa i përket elementeve të rreshtit të parë Barazia (7.2) është e lehtë për t'u mbajtur mend.

7.4. Disa aplikime të produktit kryq

Vendosja e kolinearitetit të vektorëve.
Gjetja e sipërfaqes së një paralelogrami dhe një trekëndëshi

Sipas përcaktimit të prodhimit vektorial të vektorëve a dhe b |a xb | = |a| * |b |këndoj, pra S çifte = |a x b |. Dhe, prandaj, DS =1/2|a x b |.

Përcaktimi i momentit të forcës rreth një pike

Le të zbatohet një forcë F =AB në pikën A dhe le të jetë O një pikë në hapësirë Nga fizika dihet se momenti i forcës F në lidhje me pikën O është vektori M që kalon nëpër pikën O dhe:

1) pingul me rrafshin që kalon nëpër pikat O, A, B;

2) është numerikisht i barabartë me produktin e forcës nga shpatulla 3) formon një treshe të djathtë me vektorët OA dhe A B.

Prandaj, M = OA x F. Gjetja e shpejtësisë lineare të rrotullimit

Shpejtësia v e një pike M të një trupi të ngurtë që rrotullohet me një shpejtësi këndore w rreth një boshti fiks përcaktohet nga formula e Euler-it v =w xr, ku r =OM, ku O është një pikë fikse e boshtit (shih Fig. 21).

Këndi ndërmjet vektorëve

Nga përkufizimi i prodhimit skalar të dy vektorëve rezulton se nëse vektorët dhe janë specifikuar nga koordinatat dhe , atëherë formula (1.6.3.1) do të shkruhet si:

Zona e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë

Problemet e matjes së gjatësive të segmenteve, distancave ndërmjet pikave, sipërfaqeve dhe vëllimeve të trupave i përkasin një klase të rëndësishme problemesh që zakonisht quhen metrikë. Në seksionin e mëparshëm, mësuam se si të përdorim algjebrën vektoriale për të llogaritur gjatësinë e segmentit të vijës dhe distancat midis pikave. Tani do të gjejmë mënyra për të llogaritur sipërfaqet dhe vëllimet. Algjebra vektoriale ju lejon të parashtroni dhe zgjidhni probleme të tilla vetëm për raste mjaft të thjeshta. Për të llogaritur sipërfaqet e sipërfaqeve arbitrare dhe vëllimet e trupave arbitrare, kërkohen metoda analize. Por metodat e analizës, nga ana tjetër, mbështeten ndjeshëm në rezultatet që jep algjebra vektoriale.

Për të zgjidhur problemin, ne zgjodhëm një rrugë mjaft të gjatë dhe të vështirë, të sugjeruar nga Hilbert Strang, e lidhur me transformime të shumta gjeometrike dhe llogaritje të mundimshme algjebrike. Ne zgjodhëm këtë rrugë pavarësisht se ka qasje të tjera që të çojnë drejt qëllimit më shpejt sepse na është dukur e drejtpërdrejtë dhe e natyrshme. Rruga e drejtpërdrejtë në shkencë nuk është gjithmonë më e lehta. Njerëzit me përvojë e dinë për këtë dhe preferojnë shtigjet rrethrrotulluese, por nëse nuk përpiqeni të ecni drejt, mund të mbeteni injorantë për disa nga hollësitë e teorisë.

Në rrugën që kemi zgjedhur, natyrshëm shfaqen koncepte të tilla si orientimi hapësinor, përcaktuesi, vektori dhe produktet e përziera. Kuptimi gjeometrik i përcaktorit dhe vetitë e tij duket veçanërisht qartë, sikur nën një mikroskop. Tradicionalisht, koncepti i një përcaktori futet në teorinë e sistemeve të ekuacioneve lineare, por është pikërisht për zgjidhjen e sistemeve të tilla që përcaktori është pothuajse i padobishëm. Kuptimi gjeometrik i përcaktorit është thelbësor për algjebrën vektoriale dhe tensore.

Tani le të jemi të durueshëm dhe të fillojmë me rastet më të thjeshta dhe më të kuptueshme.

1. Vektorët janë të orientuar përgjatë boshteve koordinative të sistemit të koordinatave karteziane.

Le të drejtohet vektori a përgjatë boshtit x dhe vektori b përgjatë boshtit y. Në Fig. Figura 21 tregon katër opsione të ndryshme për vendndodhjen e vektorëve në lidhje me boshtet e koordinatave.

Vektorët a dhe b në formë koordinative: Ku a dhe b tregojnë madhësinë e vektorit përkatës, dhe a është shenja e koordinatës vektoriale.

Meqenëse vektorët janë ortogonalë, paralelogramet e ndërtuar mbi to janë drejtkëndësha. Zonat e tyre janë thjesht produkt i anëve të tyre. Le t'i shprehim këto prodhime në terma të koordinatave vektoriale për të katër rastet.

Të katër formulat për llogaritjen e sipërfaqes janë të njëjta përveç shenjës. Mund të mbyllësh sytë dhe të shkruash, që në të gjitha rastet. Megjithatë, një mundësi tjetër rezulton të jetë më produktive: t'i japësh shenjës njëfarë kuptimi. Le të shohim me kujdes Fig. 21. Në rastet kur rrotullimi i vektorit në vektor kryhet në drejtim të akrepave të orës. Në ato raste kur detyrohemi të përdorim një shenjë minus në formulë, rrotullimi i vektorit në vektor kryhet në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Ky vëzhgim na lejon të lidhim shenjën në shprehjet për zonën me orientimin e planit.

Zona e një drejtkëndëshi të ndërtuar mbi vektorët a dhe b me një shenjë plus ose minus do të konsiderohet një zonë e orientuar dhe shenja do të shoqërohet me orientimin e specifikuar nga vektorët. Për një zonë të orientuar, ne mund të shkruajmë një formulë të vetme për të katër rastet e konsideruara: . Shenja e shiritit “vektor” mbi shkronjën S futet për të dalluar zonën e zakonshme, e cila është gjithmonë pozitive, nga ajo e orientuar.

Për më tepër, është e qartë se të njëjtët vektorë, të marrë në një renditje të ndryshme, përcaktojnë orientimin e kundërt, prandaj, . Ne thjesht do të vazhdojmë të shënojmë zonën me shkronjën S dhe, për rrjedhojë, .

Tani që duket se me koston e zgjerimit të konceptit të zonës, kemi marrë një shprehje të përgjithshme, lexuesi i vëmendshëm do të thotë se nuk i kemi marrë parasysh të gjitha mundësitë. Në të vërtetë, përveç katër opsioneve për vendndodhjen e vektorëve të paraqitur në Fig. 21, ka edhe katër të tjera (Fig. 22) Le t'i shkruajmë vektorët përsëri në formë koordinative: T'i shprehim zonat përmes koordinatave të vektorëve. 4. . Shenjat në shprehjet e reja nuk kanë ndryshuar, por, për fat të keq, ka ndryshuar orientimi në raport me katër rastet e mëparshme. Prandaj, për zonën e orientuar jemi të detyruar të shkruajmë: . Megjithëse shpresa për thjeshtësi gjeniale nuk ishte e justifikuar, megjithatë ne mund të shkruajmë një shprehje të përgjithshme për të katër rastet.

Kjo do të thotë, zona e orientuar e një drejtkëndëshi të ndërtuar në vektorë, si në anët, është e barabartë me përcaktuesin, i përbërë nga koordinatat e vektorëve, si në kolona.

Besojmë se lexuesi është i njohur me teorinë e përcaktorëve, prandaj nuk ndalemi në këtë koncept në detaje. Megjithatë, ne japim përkufizimet e duhura në mënyrë që të ndryshojmë theksin dhe të tregojmë se ky koncept mund të arrihet nga konsiderata thjesht gjeometrike. , , janë forma të ndryshme shënimi për të njëjtin koncept - një përcaktues, i përbërë nga koordinata vektoriale, si kolona. Barazia mund të merret si përkufizim i tij për rastin dydimensional.

2. Vektori b nuk është paralel me boshtin x; vektori a/ është një vektor arbitrar.

Për ta reduktuar këtë rast në ato të njohura tashmë, le të shqyrtojmë disa transformime gjeometrike të një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë dhe (Fig. produktet e përziera të vektorëve dhe vetitë e tij