Matricat. Veprimet në matrica

Vini re se elementët e matricës mund të jenë jo vetëm numra. Le të imagjinojmë se po përshkruani librat që janë në raftin tuaj të librave. Lëreni raftin tuaj të jetë i rregullt dhe të gjithë librat të jenë në vende të përcaktuara rreptësisht. Tabela, e cila do të përmbajë një përshkrim të bibliotekës suaj (sipas rafteve dhe renditjes së librave në raft), do të jetë gjithashtu një matricë. Por një matricë e tillë nuk do të jetë numerike. Një shembull tjetër. Në vend të numrave ka funksione të ndryshme, të bashkuara nga njëfarë varësie. Tabela që rezulton do të quhet gjithashtu matricë. Me fjalë të tjera, një matricë është çdo tabelë drejtkëndëshe e përbërë nga homogjene elementet. Këtu dhe më tej do të flasim për matricat e përbëra nga numra.

Në vend të kllapave, kllapa katrore ose vija të drejta të dyfishta vertikale përdoren për të shkruar matricat

(2.1*)

Përkufizimi 2. Nëse në shprehje(1) m = n, pastaj flasin për matricë katrore, dhe nëse , pastaj oh drejtkëndëshe.

Në varësi të vlerave të m dhe n, dallohen disa lloje të veçanta të matricave:

Karakteristika më e rëndësishme katrore matrica është ajo përcaktues ose përcaktues, e cila përbëhet nga elementë matricë dhe shënohet

Natyrisht, D E =1; .

Përkufizimi 3. Nëse , pastaj matrica A thirrur jo i degjeneruar ose jo e veçantë.

Përkufizimi 4. Nëse detA = 0, pastaj matrica A thirrur i degjeneruar ose e veçantë.

Përkufizimi 5. Dy matrica A Dhe B quhen të barabartë dhe shkruani A = B nëse kanë përmasa të njëjta dhe elementët përkatës janë të barabartë, d.m.th..

Për shembull, matricat dhe janë të barabarta, sepse ato janë të barabarta në madhësi dhe secili element i njërës matricë është i barabartë me elementin përkatës të matricës tjetër. Por matricat nuk mund të quhen të barabarta, megjithëse përcaktuesit e të dy matricave janë të barabarta, dhe madhësitë e matricave janë të njëjta, por jo të gjithë elementët e vendosur në të njëjtat vende janë të barabarta. Matricat janë të ndryshme sepse kanë madhësi të ndryshme. Matrica e parë është 2x3 në madhësi, dhe e dyta është 3x2. Megjithëse numri i elementeve është i njëjtë - 6 dhe vetë elementët janë të njëjtë 1, 2, 3, 4, 5, 6, por ato janë në vende të ndryshme në secilën matricë. Por matricat janë të barabarta, sipas Përkufizimit 5.

Përkufizimi 6. Nëse rregulloni një numër të caktuar të kolonave të matricës A dhe të njëjtin numër rreshtash, atëherë elementët në kryqëzimin e kolonave dhe rreshtave të treguar formojnë një matricë katrore n- rend, përcaktor i të cilit thirrur e mitur k - matrica e rendit të th A.

Shembull. Shkruani tre minore të rendit të dytë të matricës

Probleme të algjebrës lineare. Koncepti i një matrice. Llojet e matricave. Veprimet me matrica. Zgjidhja e problemeve të transformimit të matricës.

Kur zgjidhni probleme të ndryshme në matematikë, shpesh duhet të merreni me tabela numrash të quajtura matrica. Duke përdorur matricat, është i përshtatshëm për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare, për të kryer shumë operacione me vektorë, për të zgjidhur probleme të ndryshme grafike kompjuterike dhe probleme të tjera inxhinierike.

Matrica quhet tabela drejtkëndore e numrave që përmban një sasi m linja dhe një numër i caktuar P kolonat. Numrat T Dhe P quhen urdhra matricë. Nëse T = P, matrica quhet katror, ​​dhe numri m = n - porosinë e saj.

Në të ardhmen, ose vizat e dyfishta ose kllapat do të përdoren për të shkruar matricat:

Ose

Për të treguar shkurtimisht një matricë, shpesh do të përdoret një shkronjë e vetme kapitale (për shembull, A) ose simboli || a ij ||, dhe ndonjëherë me një shpjegim: A = || a ij || = (a ij), Ku (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n).

Numrat aij, të përfshira në këtë matricë quhen elementet e saj. Në regjistrim një ij indeksi i parë і nënkupton numrin e linjës dhe indeksin e dytë j- numri i kolonës. Në rastin e një matrice katrore

(1.1)

Prezantohen konceptet e diagonaleve kryesore dhe dytësore. Diagonalja kryesore e matricës (1.1) quhet diagonale një 11 në 12 … ann duke shkuar nga këndi i sipërm i majtë i kësaj matrice në këndin e poshtëm të djathtë të saj. Një diagonale anësore e së njëjtës matricë quhet diagonale a n 1 a (n -1)2… a 1 n, duke shkuar nga këndi i poshtëm i majtë në këndin e sipërm të djathtë.

Veprimet bazë mbi matricat dhe vetitë e tyre.

Le të kalojmë në përcaktimin e operacioneve bazë në matrica.

Shtimi i matricës. Shuma e dy matricave A = || a ij || , Ku Dhe B = || b ij || , Ku (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n) të njëjtat urdhra T Dhe P quhet matrica C = || c ij || (i =1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) të njëjtat urdhra T Dhe P, elementet me ij të cilat përcaktohen nga formula

, Ku (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.2)

Për të treguar shumën e dy matricave, përdoret shënimi C = A + B. Veprimi i kompozimit të shumës së matricave quhet mbledhje e tyre. Pra, sipas përkufizimit:

+ =

Nga përkufizimi i shumës së matricave, ose më saktë nga formula (1.2), rrjedh menjëherë se veprimi i mbledhjes së matricave ka të njëjtat veti si veprimi i mbledhjes së numrave realë, përkatësisht:

1) veti komutative: A + B = B + A,

2) veti asociative: ( A + B) + C = A + (B + C).

Këto veti bëjnë të mundur që të mos shqetësoheni për renditjen e termave të matricës kur shtoni dy ose më shumë matrica.

Shumëzimi i një matrice me një numër. Prodhimi i matricës A = || a ij || , ku (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) me një numër real l, quhet matricë C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), elementet e të cilit përcaktohen me formulën:

, Ku (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.3)

Për të treguar prodhimin e një matrice dhe një numri, përdoret shënimi C = l A ose C = A l. Operacioni i kompozimit të prodhimit të një matrice me një numër quhet shumëzim i matricës me këtë numër.

Direkt nga formula (1.3) është e qartë se shumëzimi i një matrice me një numër ka vetitë e mëposhtme:

1) veti shoqëruese në lidhje me shumëzuesin numerik: (l m) A = l (m A);

2) vetinë e shpërndarjes në lidhje me shumën e matricave: l (A + B) = l A + l B;

3) vetia shpërndarëse në lidhje me shumën e numrave: (l + m) A = l A + m A

Komentoni. Dallimi i dy matricave A Dhe NË urdhra identike T Dhe Pështë e natyrshme të quhet një matricë e tillë ME të njëjtat urdhra T Dhe P, e cila mblidhet me matricën B jep matricën A. Për të treguar ndryshimin e dy matricave, përdoret shënimi natyror: C = A - B.

Është shumë e lehtë të verifikosh ndryshimin ME dy matrica A Dhe NË mund të merret sipas rregullit C = A + (–1) V.

Produkti i matricave ose shumëzimi i matricës.

Produkt matricë A = || a ij || , ku (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) duke pasur urdhra përkatësisht të barabartë T Dhe n, te matrica B = || b ij || , Ku (i = 1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., p), duke pasur urdhra përkatësisht të barabartë n Dhe R, quhet matricë C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), duke pasur urdhra përkatësisht të barabartë T Dhe R elementet e të cilave përcaktohen me formulën:

Ku (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Për të treguar produktin e një matrice A te matrica NË përdorni regjistrimin C = A × B. Operacioni i kompozimit të një produkti matricë A te matrica NË quhet shumëzim i këtyre matricave.

Nga përkufizimi i mësipërm rezulton se Matrica A nuk mund të shumëzohet me çdo matricë B,është e nevojshme që numri i kolonave të matricës A ishte e barabartë me numrin e rreshtave të matricës NË.

Formula (1.4) është një rregull për përbërjen e elementeve të matricës C, e cila është prodhimi i matricës A te matrica NË. Ky rregull mund të formulohet verbalisht: elementi c i j që qëndron në kryqëzimin e rreshtit të i-të dhe kolonës j-të të matricës C = A B është i barabartë me shumën e produkteve në çift të elementeve përkatës të rreshtit të i-të të matricës A dhe kolonës j-të. e matricës B.

Si shembull i zbatimit të këtij rregulli, ne paraqesim formulën e shumëzimit të matricave katrore të rendit të dytë.

× =

Nga formula (1.4) vijojnë vetitë e mëposhtme të produktit të matricës: A në matricë NË:

1) veti shoqëruese: (A B) C = A (B C);

2) vetia shpërndarëse në lidhje me shumën e matricave:

(A + B) C = A C + B C ose A (B + C) = A B + A C.

Pyetje për vetinë komutative të produktit të një matrice A te matrica NË ka kuptim ta vendosim vetëm për matricat katrore A dhe B të njëjtin rend.

Le të paraqesim raste të veçanta të rëndësishme të matricave për të cilat vetia e permutacionit është gjithashtu e vërtetë. Dy matrica produkti i të cilave ka veçorinë e komutimit zakonisht quhen komutim.

Ndër matricat katrore, veçojmë klasën e të ashtuquajturave matrica diagonale, secila prej të cilave ka elementë të vendosur jashtë diagonales kryesore të barabartë me zero. Çdo matricë diagonale e rendit P duket si

D= (1.5)

Ku d 1, d 2,… , dn- çdo numër. Është e lehtë të shihet se nëse të gjithë këta numra janë të barabartë me njëri-tjetrin, d.m.th. d 1 = d 2 =… = dn atëherë për çdo matricë katrore A urdhëroj P barazia është e vërtetë A D = D A.

Ndër të gjitha matricat diagonale (1.5) me elemente që përputhen d 1 = d 2 =… = dn= = d Dy matrica luajnë një rol veçanërisht të rëndësishëm. E para nga këto matrica fitohet nga d = 1, quhet matrica e identitetit n E. Matrica e dytë merret kur d = 0, quhet matrica zero n-të rendit dhe shënohet me simbolin O. Kështu,

E= O=

Për shkak të asaj që u vërtetua më lart A E = E A Dhe A O = O A. Për më tepër, është e lehtë ta tregosh këtë

A E = E A = A, A O = O A = 0. (1.6)

E para e formulave (1.6) karakterizon rolin e veçantë të matricës së identitetit E, i ngjashëm me rolin që luan numri 1 gjatë shumëzimit të numrave realë. Sa i përket rolit të veçantë të matricës zero RRETH, atëherë zbulohet jo vetëm nga e dyta e formulave (1.7), por edhe nga barazia elementare e verifikueshme

A + 0 = 0 + A = A.

Si përfundim, vërejmë se koncepti i një matrice zero mund të prezantohet edhe për matricat jo katrore (zero quhet ndonjë matricë, të gjithë elementët e së cilës janë të barabartë me zero).

Matricat e bllokut

Supozoni se një matricë A = || a ij || duke përdorur linja horizontale dhe vertikale, ajo ndahet në qeliza të veçanta drejtkëndore, secila prej të cilave është një matricë me madhësi më të vogla dhe quhet bllok i matricës origjinale. Në këtë rast, bëhet e mundur të merret parasysh matrica origjinale A si një matricë e re (e ashtuquajtur bllok). A = || A a b ||, elementet e të cilave janë blloqet e specifikuara. Ne i shënojmë këta elementë me një shkronjë të madhe për të theksuar se ato janë, në përgjithësi, matrica dhe jo numra dhe (si elementët numerikë të zakonshëm) ne ofrojmë dy indekse, nga të cilët i pari tregon numrin e vijës "blloku" dhe i dyti. - numri i kolonës "blloku" »

Për shembull, një matricë

mund të konsiderohet si një matricë bllok

elementet e të cilave janë blloqet e mëposhtme:

Një fakt i jashtëzakonshëm është se veprimet kryesore me matricat e bllokut kryhen sipas të njëjtave rregulla me të cilat kryhen me matricat e zakonshme numerike, vetëm blloqet veprojnë si elementë.

Koncepti i një përcaktori.

Konsideroni një matricë katrore arbitrare të çdo rendi P:

A= (1.7)

Me secilën matricë të tillë ne lidhim një karakteristikë numerike të mirëpërcaktuar, të quajtur përcaktues, që korrespondon me këtë matricë.

Nëse urdhri n matrica (1.7) është e barabartë me një, atëherë kjo matricë përbëhet nga një element edhe une j përcaktuesin e rendit të parë që korrespondon me një matricë të tillë, ne do ta quajmë vlerën e këtij elementi.

atëherë përcaktori i rendit të dytë që korrespondon me një matricë të tillë është numri i barabartë me a 11 a 22 - a 12 a 21 dhe shënohet me një nga simbolet:

Pra, sipas përkufizimit

(1.9)

Formula (1.9) është një rregull për ndërtimin e një përcaktori të rendit të dytë nga elementët e matricës përkatëse. Formulimi verbal i këtij rregulli është si vijon: përcaktori i rendit të dytë që i përgjigjet matricës (1.8) është i barabartë me diferencën midis prodhimit të elementeve në diagonalen kryesore të kësaj matrice dhe produktit të elementeve në diagonalen dytësore të saj. Përcaktuesit e rendit të dytë dhe të lartë përdoren gjerësisht në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare.

Le të shohim se si ato kryhen operacionet me matrica në sistemin MathCad . Veprimet më të thjeshta të algjebrës së matricës zbatohen në MathCad në formën e operatorëve. Shkrimi i operatorëve është sa më afër kuptimit të jetë e mundur me veprimin e tyre matematikor. Çdo operator shprehet me një simbol përkatës. Le të shqyrtojmë operacionet e matricës dhe vektorit në MathCad 2001. Vektorët janë një rast i veçantë i matricave të dimensionit n x 1, prandaj, të gjitha operacionet e njëjta si për matricat janë të vlefshme për ta, përveç nëse kufizimet janë përcaktuar në mënyrë specifike (për shembull, disa operacione janë të zbatueshme vetëm për matricat katrore n x n). Disa veprime janë të vlefshme vetëm për vektorët (për shembull, prodhimi skalar), ndërsa disa, pavarësisht nga drejtshkrimi i njëjtë, veprojnë ndryshe në vektorë dhe matrica.

q Pas shtypjes së butonit OK, hapet një fushë për futjen e elementeve të matricës. Për të futur një element matricë, vendoseni kursorin në pozicionin e shënuar dhe futni një numër ose shprehje nga tastiera.

Për të kryer ndonjë operacion duke përdorur shiritin e veglave, duhet:

q zgjidhni matricën dhe klikoni në butonin e funksionimit në panel,

q ose klikoni në butonin në panel dhe vendosni emrin e matricës në pozicionin e shënuar.

Menyja "Simbolet" përmban tre operacione - transpozoj, përmbysje, përcaktor.

Kjo do të thotë, për shembull, që ju mund të llogarisni përcaktuesin e një matrice duke ekzekutuar komandën Simbolet/Matricat/Përcaktorët.

MathCAD ruan numrin e rreshtit të parë (dhe kolonës së parë) të matricës në variablin ORIGIN. Si parazgjedhje, numërimi fillon nga zero. Në shënimin matematikor, është më e zakonshme të numërosh nga 1. Në mënyrë që MathCAD të numërojë numrat e rreshtave dhe kolonave nga 1, duhet të vendosni vlerën e ndryshores ORIGIN:=1.

Funksionet e krijuara për të punuar me problemet e algjebrës lineare mblidhen në seksionin "Vektorët dhe matricat" të dialogut "Fut Funksionin" (ju kujtojmë se thirret me butonin në panelin "Standard"). Ato kryesore nga këto funksione do të përshkruhen më vonë.

Transpozoni

Informacione të lidhura.

Një matricë është një tabelë drejtkëndëshe e mbushur me disa objekte matematikore. Në pjesën më të madhe, ne do të shqyrtojmë matricat me elementë nga një fushë, megjithëse shumë propozime mbeten të vlefshme nëse elementët e matricave konsiderohen të jenë elementë të një unaze asociative (jo domosdoshmërisht komutative).

Më shpesh, elementët e matricës shënohen me një shkronjë dhe dy indekse që tregojnë "adresën" e elementit - indeksi i parë jep numrin e rreshtit që përmban elementin, i dyti - numrin e kolonës. Kështu, matrica (e dimensioneve) shkruhet në formë

Matricat e futura nga numrat lindin natyrshëm kur merren parasysh sistemet e ekuacioneve lineare

Të dhënat hyrëse për këtë problem janë një grup koeficientësh, që formojnë natyrshëm një matricë

dhe një grup anëtarësh të lirë që formojnë një matricë me vetëm një kolonë. Ajo që ne po kërkojmë është një grup vlerash të panjohura, të cilat, siç rezulton, gjithashtu mund të përfaqësohen lehtësisht si një matricë e përbërë nga një kolonë.

Të ashtuquajturat matrica diagonale luajnë një rol të rëndësishëm. Ky emër i referohet matricave katrore që kanë të gjithë elementët të barabartë me zero, me përjashtim të elementeve të diagonales kryesore, d.m.th. elementeve në pozicione

Shënohet një matricë diagonale D me elemente diagonale

Një matricë e përbërë nga elementë të vendosur në kryqëzimet e disa rreshtave të përzgjedhur të matricës A dhe disa kolonave të zgjedhura quhet nënmatricë për matricën A. Nëse janë numrat e rreshtave të zgjedhur dhe janë numrat e kolonave të zgjedhura, atëherë nënmatrica përkatëse është

Në veçanti, rreshtat dhe kolonat e një matrice mund të konsiderohen si nënmatrica të saj.

Matricat shoqërohen në mënyrë të natyrshme me zëvendësimin linear (transformim linear) të ndryshoreve. Ky emër i referohet kalimit nga sistemi origjinal i variablave në një tjetër, të ri, të lidhur me formulat

Zëvendësimi linear i variablave specifikohet duke përdorur një matricë koeficienti

Ndër sistemet e ekuacioneve lineare, rëndësinë më të madhe kanë sistemet në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave. Ndër zëvendësimet lineare të variablave, rolin kryesor e luajnë zëvendësimet në të cilat numri i ndryshoreve origjinale dhe të reja është i njëjtë. Në këto situata, matrica e koeficientit rezulton të jetë katrore, domethënë ka të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash; ky numër quhet rendi i matricës katrore.

Në vend që të thonë "një matricë e përbërë nga një rresht" dhe "një matricë e përbërë nga një kolonë", ata thonë shkurt: rresht, kolonë.

Matricat. Veprimet në matrica. Vetitë e veprimeve në matrica. Llojet e matricave.

Matricat (dhe, në përputhje me rrethanat, seksioni matematik - algjebra matricë) janë të rëndësishme në matematikën e aplikuar, pasi ato lejojnë të shënohet një pjesë e konsiderueshme e modeleve matematikore të objekteve dhe proceseve në një formë mjaft të thjeshtë. Termi "matricë" u shfaq në 1850. Matricat u përmendën fillimisht në Kinën e lashtë, dhe më vonë nga matematikanët arabë.

Matricë A=Një min thirret rendi m*n tabela drejtkëndore e numrave që përmban m - rreshta dhe n - kolona.

Elementet e matricës aij, për të cilat i=j quhen diagonale dhe formë diagonale kryesore.

Për një matricë katrore (m=n), diagonalja kryesore formohet nga elementet a 11, a 22,..., a nn.

Barazia e matricës.

A=B, nëse matrica urdhëron A Dhe B janë të njëjta dhe a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Veprimet në matrica.

1. Shtimi i matricës - operacion sipas elementeve

2. Zbritja e matricave - veprim sipas elementeve

3. Prodhimi i një matrice dhe një numri është një veprim i elementeve

4. Shumëzimi A*B matricat sipas rregullit rresht në kolonë(numri i kolonave të matricës A duhet të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të matricës B)

A mk *B kn =C mn dhe çdo element me ij matricat Cmnështë e barabartë me shumën e produkteve të elementeve të rreshtit të i-të të matricës A nga elementët përkatës të kolonës j-të të matricës B, d.m.th.

Le të demonstrojmë veprimin e shumëzimit të matricës duke përdorur një shembull

5. Shprehja

m>1 është një numër i plotë pozitiv. A është një matricë katrore (m=n) d.m.th. relevante vetëm për matricat katrore

6. Transpozimi i matricës A. Matrica e transpozuar shënohet me A T ose A"

Rreshtat dhe kolonat u këmbyen

Shembull

Vetitë e veprimeve në matrica

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Llojet e matricave

1. Drejtkëndëshe: m Dhe n- numra të plotë pozitivë arbitrarë

2. Sheshi: m=n

3. Rreshti i matricës: m=1. Për shembull, (1 3 5 7) - në shumë probleme praktike një matricë e tillë quhet vektor

4. Kolona e matricës: n=1. Për shembull

5. Matrica diagonale: m=n Dhe a ij =0, Nëse i≠j. Për shembull

6. Matrica e identitetit: m=n Dhe

7. Matrica zero: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Matrica trekëndore: të gjithë elementët nën diagonalen kryesore janë 0.

9. Matrica simetrike: m=n Dhe a ij =a ji(d.m.th., elementët e barabartë janë të vendosur në vende simetrike në lidhje me diagonalen kryesore), dhe për këtë arsye A"=A

Për shembull,

10. Matrica anim-simetrike: m=n Dhe a ij =-a ji(d.m.th., elementët e kundërt ndodhen në vende simetrike në lidhje me diagonalen kryesore). Rrjedhimisht, ka zero në diagonalen kryesore (që kur i=j ne kemi a ii =-a ii)

Qartë, A"=-A

11. Matrica hermitiane: m=n Dhe a ii =-ã ii (ã ji- kompleks - konjuguar me një ji, d.m.th. Nëse A=3+2i, pastaj konjugati kompleks Ã=3-2i)

Udhëzimet. Për një zgjidhje në internet, duhet të specifikoni një shprehje matrice. Në fazën e dytë, do të jetë e nevojshme të sqarohet dimensioni i matricave. Veprime të vlefshme: shumëzim (*), mbledhje (+), zbritje (-), matricë e anasjelltë A^(-1), fuqizim (A^2, B^3), transpozim i matricës (A^T).

Veprime të vlefshme: shumëzim (*), mbledhje (+), zbritje (-), matricë e anasjelltë A^(-1), fuqizim (A^2, B^3), transpozim i matricës (A^T).
Për të kryer një listë operacionesh, përdorni një ndarës me pikëpresje (;). Për shembull, për të kryer tre operacione:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
do t'ju duhet ta shkruani kështu: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Një matricë është një tabelë numerike drejtkëndëshe me m rreshta dhe n kolona, ​​kështu që matrica mund të përfaqësohet skematikisht si një drejtkëndësh.
Matrica zero (matricë zero)është një matricë, elementët e së cilës janë të gjithë të barabartë me zero dhe shënohen me 0.
Matrica e identitetit quhet matricë katrore e formës

Le të përcaktojmë veprimet bazë në matrica.

Shtimi i matricës

Shembulli 6. .
Operacioni i mbledhjes së matricës shtrihet në rastin e çdo numri termash. Natyrisht A+0=A.
Le të theksojmë edhe një herë se mund të shtohen vetëm matrica me të njëjtën madhësi; Për matricat e madhësive të ndryshme, operacioni i mbledhjes nuk është i përcaktuar.

Zbritja e matricave

Shumëzimi i matricës

Përkufizimi . Le të lëmë dy matrica A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) dhe B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), dhe numri i kolonave të A është i barabartë me numrin e rreshtave të B. Prodhimi i A dhe B është matrica C=||c i k ||, elementët e së cilës gjenden me formulën .
Shënohet me C=A·B.
Skematikisht, funksionimi i shumëzimit të matricës mund të përshkruhet si më poshtë:

dhe rregulli për llogaritjen e një elementi në një produkt:

Le të theksojmë edhe një herë se prodhimi A·B ka kuptim nëse dhe vetëm nëse numri i kolonave të faktorit të parë është i barabartë me numrin e rreshtave të të dytit dhe produkti prodhon një matricë, numri i rreshtave të së cilës është i barabartë me numri i rreshtave të faktorit të parë, dhe numri i kolonave është i barabartë me numrin e kolonave të të dytit. Ju mund të kontrolloni rezultatin e shumëzimit duke përdorur një kalkulator të veçantë në internet.

Shembulli 7. Matricat e dhëna Dhe . Gjeni matricat C = A·B dhe D = B·A.
Zgjidhje. Para së gjithash, vini re se prodhimi A·B ekziston sepse numri i kolonave të A është i barabartë me numrin e rreshtave të B.

Shembulli 8. Jepet një matricë . Gjeni 3A 2 – 2A.
Zgjidhje.

.
; .
.
Le të vërejmë faktin interesant të mëposhtëm.
Siç e dini, prodhimi i dy numrave jozero nuk është i barabartë me zero. Për matricat, një rrethanë e ngjashme mund të mos ndodhë, domethënë, produkti i matricave jo zero mund të rezultojë i barabartë me matricën zero.