Përkufizimi i një funksioni pafundësisht të madh. Përkufizimi i një sekuence pafundësisht të madhe dhe vetitë e tyre.

Përkufizimet dhe vetitë e funksioneve infinitimale dhe pafundësisht të mëdha në një pikë. Vërtetimet e vetive dhe teoremave. Marrëdhënia midis funksioneve infinitimale dhe pafundësisht të mëdha.

përmbajtja

Shiko gjithashtu: Sekuenca pafundësisht të vogla - përkufizimi dhe vetitë
Vetitë e sekuencave pafundësisht të mëdha

Përkufizimi i funksioneve infinitimale dhe infinitimale

Le të jetë x 0 është një pikë e fundme ose e pafundme: ∞, -∞ ose +∞.

Përkufizimi i një funksioni pafundësisht të vogël
Funksioni α (x) thirrur pafundësisht i vogël pasi x tenton në x 0 0 , dhe është e barabartë me zero:
.

Përkufizimi i një funksioni pafundësisht të madh
Funksioni f (x) thirrur pafundësisht i madh pasi x tenton në x 0 , nëse funksioni ka një kufi si x → x 0 , dhe është e barabartë me pafundësinë:
.

Vetitë e funksioneve infiniteminale

Vetia e shumës, diferencës dhe prodhimit të funksioneve infiniteminale

Shuma, diferenca dhe produkti numër i fundëm i funksioneve infiniteminale si x → x 0 është një funksion pafundësisht i vogël si x → x 0 .

Kjo veti është pasojë e drejtpërdrejtë e vetive aritmetike të kufijve të një funksioni.

Teorema mbi produktin e një funksioni të kufizuar dhe të një infinite vogël

Produkti i një funksioni të kufizuar në ndonjë lagje të shpuar të pikës x 0 , deri në infiniteminale, si x → x 0 , është një funksion pafundësisht i vogël si x → x 0 .

Vetia e paraqitjes së një funksioni si një shumë e një funksioni konstante dhe një funksioni infiniteminal

Në mënyrë që funksioni f (x) kishte një kufi të fundëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që
,
ku është një funksion pafundësisht i vogël si x → x 0 .

Vetitë e funksioneve pafundësisht të mëdha

Teorema mbi shumën e një funksioni të kufizuar dhe një funksioni pafundësisht të madh

Shuma ose diferenca e një funksioni të kufizuar në një lagje të shpuar të pikës x 0 , dhe një funksion pafundësisht i madh, si x → x 0 , është një funksion pafundësisht i madh si x → x 0 .

Teorema mbi koeficientin e pjesëtimit të një funksioni të kufizuar me një funksion pafundësisht të madh

Nëse funksioni f (x)është pafundësisht i madh sa x → x 0 , dhe funksioni g (x)- kufizohet në ndonjë lagje të shpuar të pikës x 0 , Kjo
.

Teorema mbi ndarjen e një funksioni të kufizuar më poshtë me një infinite vogël

Nëse funksioni , në një lagje të shpuar të pikës , kufizohet nga poshtë me një numër pozitiv në vlerë absolute:
,
dhe funksioni është pafundësisht i vogël si x → x 0 :
,
dhe ka një lagje të shpuar të pikës në të cilën , atëherë
.

Vetia e pabarazive të funksioneve pafundësisht të mëdha

Nëse funksioni është pafundësisht i madh në:
,
dhe funksionet dhe , në disa lagje të shpuara të pikës plotësojnë pabarazinë:
,
atëherë funksioni është gjithashtu pafundësisht i madh në:
.

Kjo pronë ka dy raste të veçanta.

Lërini, në një lagje të shpuar të pikës, funksionet dhe plotësoni pabarazinë:
.
Atëherë nëse , atëherë dhe .
Nëse, atëherë dhe.

Marrëdhënia ndërmjet funksioneve pafundësisht të mëdha dhe infiniteminale

Nga dy vetitë e mëparshme vijon lidhja midis funksioneve pafundësisht të mëdha dhe infiniteminale.

Nëse një funksion është pafundësisht i madh në , atëherë funksioni është infinitimal në .

Nëse një funksion është pafundësisht i vogël për , dhe , atëherë funksioni është pafundësisht i madh për .

Marrëdhënia midis një funksioni pafundësisht të vogël dhe një funksioni pafundësisht të madh mund të shprehet në mënyrë simbolike:
, .

Nëse një funksion pafundësisht i vogël ka një shenjë të caktuar në , domethënë është pozitiv (ose negativ) në një lagje të shpuar të pikës , atëherë mund ta shkruajmë kështu:
.
Në të njëjtën mënyrë, nëse një funksion pafundësisht i madh ka një shenjë të caktuar në , atëherë ata shkruajnë:
, ose .

Pastaj lidhja simbolike midis funksioneve pafundësisht të vogla dhe pafundësisht të mëdha mund të plotësohet me marrëdhëniet e mëposhtme:
, ,
, .

Formulat shtesë që lidhen me simbolet e pafundësisë mund të gjenden në faqe
"Pikat në pafundësi dhe vetitë e tyre."

Vërtetimi i vetive dhe teoremave

Vërtetimi i teoremës mbi produktin e një funksioni të kufizuar dhe të një funksioni infinite vogël

Për të vërtetuar këtë teoremë, ne do të përdorim . Ne përdorim edhe vetinë e sekuencave infiniteminale, sipas të cilave

Le të jetë funksioni infinitimal në , dhe le të jetë i kufizuar në një lagje të shpuar të pikës:
në .

Meqenëse ka një kufi, ekziston një lagje e shpuar e pikës në të cilën është përcaktuar funksioni. Le të ketë një kryqëzim të lagjeve dhe . Pastaj funksionet dhe janë përcaktuar në të.


.
,
një sekuencë është pafundësisht e vogël:
.

Le të përfitojmë nga fakti se prodhimi i një sekuence të kufizuar dhe një sekuence infinite vogël është një sekuencë infinite vogël:
.
.

Teorema është vërtetuar.

Vërtetimi i vetive të përfaqësimit të një funksioni si shumë e një funksioni konstante dhe një funksioni infinite vogël

Domosdoshmëri. Lëreni funksionin të ketë një kufi të fundëm në një pikë
.
Konsideroni funksionin:
.
Duke përdorur vetinë e kufirit të diferencës së funksioneve, kemi:
.
Kjo do të thotë, ekziston një funksion infinitimal në .

Përshtatshmëria. Lëre të jetë. Le të zbatojmë vetinë e kufirit të shumës së funksioneve:
.

Prona eshte e vertetuar.

Vërtetimi i teoremës mbi shumën e një funksioni të kufizuar dhe të një pafundësisht të madh

Për të vërtetuar teoremën, ne do të përdorim përkufizimin e Heine për kufirin e një funksioni


në .

Meqenëse ka një kufi, ekziston një lagje e shpuar e pikës në të cilën është përcaktuar funksioni. Le të ketë një kryqëzim të lagjeve dhe . Pastaj funksionet dhe janë përcaktuar në të.

Le të ketë një sekuencë arbitrare që konvergohet në , elementët e së cilës i përkasin lagjes:
.
Pastaj sekuencat dhe janë përcaktuar. Për më tepër, sekuenca është e kufizuar:
,
një sekuencë është pafundësisht e madhe:
.

Meqenëse shuma ose ndryshimi i një sekuence të kufizuar dhe një pafundësisht të madhe
.
Pastaj, sipas përcaktimit të kufirit të një sekuence sipas Heine,
.

Teorema është vërtetuar.

Vërtetimi i teoremës mbi herësin e pjesëtimit të një funksioni të kufizuar me një funksion pafundësisht të madh

Për ta vërtetuar këtë, ne do të përdorim përkufizimin e Heine për kufirin e një funksioni. Ne përdorim gjithashtu vetinë e sekuencave pafundësisht të mëdha, sipas të cilave është një sekuencë infinite vogël.

Le të jetë funksioni pafundësisht i madh në , dhe le të jetë i kufizuar në një lagje të shpuar të pikës:
në .

Meqenëse funksioni është pafundësisht i madh, ekziston një lagje e shpuar e pikës ku është përcaktuar dhe nuk zhduket:
në .
Le të ketë një kryqëzim të lagjeve dhe . Pastaj funksionet dhe janë përcaktuar në të.

Le të ketë një sekuencë arbitrare që konvergohet në , elementët e së cilës i përkasin lagjes:
.
Pastaj sekuencat dhe janë përcaktuar. Për më tepër, sekuenca është e kufizuar:
,
një sekuencë është pafundësisht e madhe me terma jozero:
, .

Meqenëse herësi i pjesëtimit të një sekuence të kufizuar me një sekuencë pafundësisht të madhe është një sekuencë pafundësisht e vogël, atëherë
.
Pastaj, sipas përcaktimit të kufirit të një sekuence sipas Heine,
.

Teorema është vërtetuar.

Vërtetimi i teoremës së koeficientit për pjesëtimin e një funksioni të kufizuar më poshtë me një infinite vogël

Për të vërtetuar këtë veti, ne do të përdorim përkufizimin e Heine për kufirin e një funksioni. Ne përdorim gjithashtu vetinë e sekuencave pafundësisht të mëdha, sipas së cilës është një sekuencë pafundësisht e madhe.

Le të jetë funksioni pafundësisht i vogël për , dhe le të kufizohet funksioni në vlerë absolute nga poshtë me një numër pozitiv, në një lagje të shpuar të pikës:
në .

Sipas kushtit, ekziston një lagje e shpuar e pikës në të cilën është përcaktuar funksioni dhe nuk zhduket:
në .
Le të ketë një kryqëzim të lagjeve dhe . Pastaj funksionet dhe janë përcaktuar në të. Për më tepër.

Le të ketë një sekuencë arbitrare që konvergohet në , elementët e së cilës i përkasin lagjes:
.
Pastaj sekuencat dhe janë përcaktuar. Për më tepër, sekuenca është e kufizuar më poshtë:
,
dhe sekuenca është infinite e vogël me terma jo zero:
, .

Meqenëse herësi i pjesëtimit të një sekuence të kufizuar më poshtë nga një infinite vogël është një sekuencë pafundësisht e madhe, atëherë
.
Dhe le të ketë një lagje të shpuar të pikës në të cilën
në .

Le të marrim një sekuencë arbitrare që konvergohet në . Pastaj, duke u nisur nga një numër N, elementët e sekuencës do t'i përkasin kësaj lagjeje:
në .
Pastaj
në .

Sipas përcaktimit të kufirit të një funksioni sipas Heine,
.
Pastaj, nga vetia e pabarazive të sekuencave pafundësisht të mëdha,
.
Meqenëse sekuenca është arbitrare, duke konverguar në, atëherë, me përcaktimin e kufirit të një funksioni sipas Heine,
.

Prona eshte e vertetuar.

Referencat:
L.D. Kudryavtsev. Kursi i analizës matematikore. Vëllimi 1. Moskë, 2003.

Shiko gjithashtu:

Funksionet infiniteminale

Funksioni %%f(x)%% thirret pafundësisht i vogël(b.m.) me %%x \në një \in \overline(\mathbb(R))%%, nëse me këtë tendencë të argumentit kufiri i funksionit është i barabartë me zero.

Koncepti i b.m. funksioni është i lidhur pazgjidhshmërisht me udhëzimet për të ndryshuar argumentin e tij. Mund të flasim për b.m. funksionon në %%a \në a + 0%% dhe në %%a \në a - 0%%. Zakonisht b.m. funksionet shënohen me shkronjat e para të alfabetit grek %%\alpha, \beta, \gama, \ldots%%

Shembuj

  1. Funksioni %%f(x) = x%% është b.m. në %%x \në 0%%, pasi kufiri i tij në pikën %%a = 0%% është zero. Sipas teoremës për lidhjen ndërmjet kufirit dy anësor dhe kufirit të njëanshëm, ky funksion është b.m. si me %%x \në +0%% dhe me %%x \në -0%%.
  2. Funksioni %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. në %%x \në \infty%% (si dhe në %%x \në +\infty%% dhe në %%x \në -\infty%%).

Një numër konstant jo zero, sado i vogël në vlerë absolute, nuk është një b.m. funksionin. Për numrat konstante, përjashtimi i vetëm është zero, pasi funksioni %%f(x) \equiv 0%% ka një kufi zero.

Teorema

Funksioni %%f(x)%% ka në pikën %%a \in \overline(\mathbb(R))%% të vijës numerike të zgjeruar një kufi përfundimtar të barabartë me numrin %%b%% nëse dhe vetëm nëse ky funksion është i barabartë me shumën e këtij numri %%b%% dhe b.m. funksionet %%\alpha(x)%% me %%x \në a%%, ose $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Shigjeta majtas \majtë(f(x) = b + \alfa(x)\djathtas) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alfa(x) = 0)\djathtas). $$

Vetitë e funksioneve infiniteminale

Sipas rregullave të kalimit në kufirin me %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, vijojnë pohimet e mëposhtme:

  1. Shuma e numrit përfundimtar të b.m. funksionet për %%x \në a%% është b.m. në %%x \në një%%.
  2. Prodhimi i çdo numri b.m. funksionet për %%x \në a%% është b.m. në %%x \në një%%.

    3. Produkti b.m. funksionon në %%x \në a%% dhe një funksion i kufizuar në ndonjë lagje të shpuar %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% e pikës a, ka b.m. në funksionin %%x \në a%%.

    Është e qartë se prodhimi i një funksioni konstant dhe b.m. në %%x \në a%% ka b.m. funksion në %%x \në një%%.

Funksionet ekuivalente infiniteminale

Funksionet pafundësisht të vogla %%\alfa(x), \beta(x)%% për %%x \në a%% quhen ekuivalente dhe shkruani %%\alfa(x) \sim \beta(x)%%, nëse

$$ \lim\limits_(x \në a)(\frac(\alfa(x))(\beta(x)) = \lim\limits_(x \në a)(\frac(\beta(x) )(\alfa(x))) = 1. $$

Teorema mbi zëvendësimin e b.m. funksionet ekuivalente

Le të jetë %%\alfa(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. funksionet për %%x \në a%%, me %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, pastaj $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x)) = \lim\ limitet_(x \në a)(\frac(\alfa_1(x))(\beta_1(x))). $$

Ekuivalente b.m. funksione.

Le të jetë %%\alfa(x)%% b.m. funksion në %%x \në a%%, atëherë

  1. %%\sin(\alfa(x)) \sim \alpha(x)%%
  2. %%\stil ekrani 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
  3. %%\tan \alfa(x) \sim \alpha(x)%%
  4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
  5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
  6. %%\ln(1 + \alfa(x)) \sim \alfa(x)%%
  7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
  8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Shembull

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \në 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4)) = \\ & = \lim\ limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\ limits_(x \deri 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \fund (array) $$

Funksione pafundësisht të mëdha

Funksioni %%f(x)%% thirret pafundësisht i madh(b.b.) me %%x \në një \in \overline(\mathbb(R))%%, nëse me këtë tendencë të argumentit funksioni ka një kufi të pafund.

Ngjashëm me b.m. koncepti i funksioneve b.b. funksioni është i lidhur pazgjidhshmërisht me udhëzimet për të ndryshuar argumentin e tij. Mund të flasim për b.b. funksionon me %%x \në a + 0%% dhe %%x \në a - 0%%. Termi "pafundësisht i madh" nuk flet për vlerën absolute të funksionit, por për natyrën e ndryshimit të tij në afërsi të pikës në fjalë. Asnjë numër konstant, sado i madh në vlerë absolute, nuk është pafundësisht i madh.

Shembuj

  1. Funksioni %%f(x) = 1/x%% - b.b. në %%x \në 0%%.
  2. Funksioni %%f(x) = x%% - b.b. në %%x \në \infty%%.

Nëse përkufizimi kushtëzon $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(array) $$

pastaj flasin për pozitive ose negativ b.b. në funksionin %%a%%.

Shembull

Funksioni %%1/(x^2)%% - pozitiv b.b. në %%x \në 0%%.

Lidhja ndërmjet b.b. dhe b.m. funksione

Nëse %%f(x)%% është b.b. me funksionin %%x \në a%%, pastaj %%1/f(x)%% - b.m.

në %%x \në një%%. Nëse %%\alfa(x)%% - b.m. sepse %%x \në a%% është një funksion jo zero në disa lagje të shpuara të pikës %%a%%, atëherë %%1/\alfa(x)%% është b.b. në %%x \në një%%.

Vetitë e funksioneve pafundësisht të mëdha

Le të paraqesim disa veti të b.b. funksione. Këto veti rrjedhin drejtpërdrejt nga përkufizimi i b.b. funksionet dhe vetitë e funksioneve që kanë kufij të fundëm, si dhe nga teorema mbi lidhjen ndërmjet b.b. dhe b.m. funksione.

  1. Prodhimi i një numri të fundëm të b.b. funksionet për %%x \në a%% është b.b. funksion në %%x \në një%%. Në të vërtetë, nëse %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. funksionon në %%x \në a%%, pastaj në një lagje të shpuar të pikës %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, dhe nga teorema e lidhjes b.b. dhe b.m. funksionet %%1/f_k(x)%% - b.m. funksion në %%x \në një%%. Rezulton %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - b.m funksion për %%x \në a%%, dhe %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - b.b. funksion në %%x \në një%%.
  2. Produkti b.b. funksionet për %%x \në a%% dhe një funksion i cili në një lagje të shpuar të pikës %%a%% në vlerë absolute është më i madh se një konstante pozitive është b.b. funksion në %%x \në një%%. Në veçanti, produkti b.b. një funksion me %%x \në a%% dhe një funksion që ka një kufi të fundëm jozero në pikën %%a%% do të jetë b.b. funksion në %%x \në një%%.

    3. Shuma e një funksioni të kufizuar në një lagje të shpuar të pikës %%a%% dhe b.b. funksionet me %%x \në a%% është b.b. funksion në %%x \në një%%.

    Për shembull, funksionet %%x - \sin x%% dhe %%x + \cos x%% janë b.b. në %%x \në \infty%%.

  3. Shuma e dy b.b. funksionon në %%x \në a%% ka pasiguri. Në varësi të shenjës së termave, natyra e ndryshimit në një shumë të tillë mund të jetë shumë e ndryshme.

    Shembull

    Le të jepen funksionet %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%%. funksionon në %%x \në \infty%%. Pastaj:

    • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. funksion në %%x \në \infty%%;
    • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. funksion në %%x \në \infty%%;
    • %%h(x) + v(x) = \sin x%% nuk ​​ka kufi në %%x \në \infty%%.

Përkufizimi i një funksioni numerik. Metodat për specifikimin e funksioneve.

Le të jetë D një bashkësi në rreshtin numerik R. Nëse çdo x që i përket D shoqërohet me një numër të vetëm y=f(x), atëherë themi se është dhënë një funksion f.

Metodat për përcaktimin e funksioneve:

1) tabelare - për funksionet e përcaktuara në një grup të fundëm.

2) analitike

3) grafik

2 dhe 3 - për funksionet e përcaktuara në një grup të pafund.

Koncepti i një funksioni të anasjelltë.

Nëse funksioni y=f(x) është i tillë që vlera të ndryshme të argumentit x korrespondojnë me vlera të ndryshme të funksionit, atëherë ndryshorja x mund të shprehet si funksion i ndryshores y: x=g(y ). Funksioni g quhet invers i f dhe shënohet me f^(-1).

Koncepti i një funksioni kompleks.

Një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është çdo funksion tjetër.

Le të jepen funksionet f(x) dhe g(x). Le të bëjmë dy funksione komplekse prej tyre. Duke e konsideruar funksionin f si të jashtëm (kryesor), dhe funksionin g të brendshëm, marrim një funksion kompleks u(x)=f(g(x)).

Përcaktimi i kufirit të sekuencës.

Një numër a quhet kufiri i një sekuence (xn) nëse për çdo pozitiv ka një numër n0, duke filluar nga i cili të gjitha termat e sekuencës ndryshojnë nga a në modul me më pak se ε (d.m.th., ato bien në lagjen ε të pikës a):

Rregullat për llogaritjen e kufijve të sekuencave konvergjente.

1. Çdo sekuencë konvergjente ka vetëm një kufi. 2. Nëse të gjithë elementët e sekuencës (x n) janë të barabartë me C (konstante), atëherë kufiri i sekuencës (x n) është gjithashtu i barabartë me C. 3. ; 4. ; 5. .

Përkufizimi i një sekuence të kufizuar.

Sekuenca (x n) quhet e kufizuar nëse bashkësia e numrave X=(x n) është e kufizuar: .

Përkufizimi i një sekuence pafundësisht të vogël.

Sekuenca (x n) quhet pafundësisht e vogël nëse për çdo (pa marrë parasysh sa i vogël) >0 ka një numër n 0 të tillë që për çdo n>n 0 pabarazia |x n |< .

Përkufizimi i një sekuence pafundësisht të madhe.

Një sekuencë quhet pafundësisht e madhe nëse për çdo numër (pa marrë parasysh sa i madh) A>0 ekziston një numër n 0 i tillë që për çdo numër n>n 0 vlen pabarazia |x n |>A.

Përkufizimi i sekuencave monotonike.

Sekuenca monotone: 1) në rritje ifx n x n +1 për të gjitha n, 4) jo në rritje nëse x n x n +1 për të gjitha n.

Përcaktimi i kufirit të një funksioni në një pikë.

Kufiri i funksionit y=f(x) në pikën x 0 (ose në x x 0) është numri a nëse për çdo sekuencë (x n) vlerat e argumentit që konvergojnë në x 0 (të gjitha x n x 0), sekuenca e (f(x n)) vlerave të funksionit konvergon në kufirin a.

Përkufizimi i një funksioni pafundësisht të vogël.

F-iya f(x) thuhet se është infinite vogël si x→A nëse .

Përkufizimi i një funksioni pafundësisht të madh.

F-iya f(x) thuhet se është pafundësisht i madh për x→A nëse .

Llogaritja e infinitezimaleve dhe të mëdhave

Njehsimi infinitimal- llogaritjet e kryera me madhësi infiniteminale, në të cilat rezultati i prejardhur konsiderohet si një shumë e pafundme infinitezimalesh. Llogaritja e infinitezimaleve është një koncept i përgjithshëm për llogaritjet diferenciale dhe integrale, i cili përbën bazën e matematikës së lartë moderne. Koncepti i një sasie infiniteminale është i lidhur ngushtë me konceptin e kufirit.

Pafundësisht i vogël

Pasoja a n thirrur pafundësisht i vogël, Nëse . Për shembull, një sekuencë numrash është pafundësisht e vogël.

Funksioni thirret pafundësisht i vogël në afërsi të një pike x 0 nëse .

Funksioni thirret pafundësisht i vogël në pafundësi, Nëse ose .

Gjithashtu infinitezimal është një funksion që është ndryshimi midis një funksioni dhe kufirit të tij, domethënë nëse , Kjo f(x) − a = α( x) , .

Sasi pafundësisht e madhe

Pasoja a n thirrur pafundësisht i madh, Nëse .

Funksioni thirret pafundësisht i madh në afërsi të një pike x 0 nëse .

Funksioni thirret pafundësisht i madh në pafundësi, Nëse ose .

Në të gjitha rastet, pafundësia në të drejtën e barazisë nënkuptohet të ketë një shenjë të caktuar (ose "plus" ose "minus"). Ky është, për shembull, funksioni x mëkat x nuk është pafundësisht i madh në .

Vetitë e pafundësisht të vogla dhe pafundësisht të mëdha

Krahasimi i madhësive infiniteminale

Si të krahasoni sasitë infinite të vogla?
Raporti i sasive infiniteminale formon të ashtuquajturën pasiguri.

Përkufizimet

Supozoni se kemi vlera infiniteminale α( x) dhe β( x) (ose, që nuk është e rëndësishme për përkufizimin, sekuenca pafundësisht të vogla).

Për të llogaritur kufij të tillë është e përshtatshme të përdoret rregulli i L'Hopital.

Shembuj krahasues

Duke përdorur RRETH-simbolizmi, rezultatet e fituara mund të shkruhen në formën e mëposhtme x 5 = o(x 3). Në këtë rast, shënimet e mëposhtme janë të vërteta: 2x 2 + 6x = O(x) Dhe x = O(2x 2 + 6x).

Vlerat ekuivalente

Përkufizimi

Nëse , atëherë quhen madhësitë infiniteminale α dhe β ekuivalente ().
Është e qartë se sasitë ekuivalente janë një rast i veçantë i sasive infiniteminale të rendit të njëjtë të vogëlsisë.

Kur relacionet e mëposhtme të ekuivalencës janë të vlefshme: , , .

Teorema

Kufiri i herësit (raportit) të dy sasive infiniteminale nuk do të ndryshojë nëse njëra prej tyre (ose të dyja) zëvendësohet nga një sasi ekuivalente..

Kjo teoremë ka rëndësi praktike gjatë gjetjes së kufijve (shih shembullin).

Shembull përdorimi

Duke zëvendësuar sin 2x vlerë ekuivalente 2 x, marrim

Skicë historike

Koncepti i "pafundësishëm" u diskutua në kohët e lashta në lidhje me konceptin e atomeve të pandarë, por nuk u përfshi në matematikën klasike. Ajo u ringjall përsëri me ardhjen e "metodës së të pandarëve" në shekullin e 16-të - duke e ndarë figurën në studim në seksione pafundësisht të vogla.

Në shekullin e 17-të, u bë algjebrizimi i llogaritjes infinitimale. Ato filluan të përkufizohen si madhësi numerike që janë më të vogla se çdo sasi e fundme (jo zero) dhe megjithatë nuk janë të barabarta me zero. Arti i analizës konsistonte në hartimin e një relacioni që përmban infinitezimale (diferenciale) dhe më pas integrimin e tij.

Matematikanët e shkollës së vjetër e vënë në provë konceptin pafundësisht i vogël kritika të ashpra. Michel Rolle shkroi se llogaritja e re është " grup gabimesh gjeniale"; Volteri vërejti në mënyrë kaustike se llogaritja është arti i llogaritjes dhe matjes së saktë të gjërave, ekzistenca e të cilave nuk mund të vërtetohet. Edhe Huygens pranoi se ai nuk e kuptonte kuptimin e diferencialeve të rendit më të lartë.

Si një ironi e fatit, mund të konsiderohet shfaqja në mesin e shekullit të analizave jo standarde, e cila vërtetoi se këndvështrimi origjinal - infinitezimalet aktuale - ishte gjithashtu konsistent dhe mund të përdorej si bazë për analizë.

Shiko gjithashtu

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Shihni se çfarë është "Pafundësisht e madhe" në fjalorë të tjerë:

    Madhësia e ndryshueshme Y është e anasjellta e madhësisë infiniteminale X, pra Y = 1/X... Fjalori i madh enciklopedik

    Ndryshorja y është e anasjellta e x infinite vogël, pra y = 1/x. * * * INFINITELY LARGE INFINITELY LARGE, sasia e ndryshueshme Y, e anasjelltë me sasinë infiniteminale X, domethënë Y = 1/X ... fjalor enciklopedik

    Në matematikë, një sasi e ndryshueshme që, në një proces të caktuar ndryshimi, bëhet dhe mbetet në vlerë absolute më e madhe se çdo numër i paracaktuar. Studimi i B. b. sasitë mund të reduktohen në studimin e infinitezimaleve (Shih... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Funksioni y=f(x) thirrur pafundësisht i vogël në x→a ose kur x→∞, nëse ose , d.m.th. një funksion pafundësisht i vogël është një funksion kufiri i të cilit në një pikë të caktuar është zero.

Shembuj.

1. Funksioni f(x)=(x-1) 2 është infinite vogël në x→1, pasi (shih figurën).

2. Funksioni f(x)= tg x– pafundësisht i vogël në x→0.

3. f(x)= log (1+ x) – pafundësisht i vogël në x→0.

4. f(x) = 1/x– pafundësisht i vogël në x→∞.

Le të vendosim marrëdhënien e mëposhtme të rëndësishme:

Teorema. Nëse funksioni y=f(x) e perfaqesueshme me x→a si shumë e një numri konstant b dhe magnitudë pafundësisht të vogël α(x): f (x)=b+ α(x) Se .

Në të kundërt, nëse , atëherë f (x)=b+α(x), Ku a(x)– pafundësisht i vogël në x→a.

Dëshmi.

1. Le të vërtetojmë pjesën e parë të pohimit. Nga barazia f(x)=b+α(x) duhet |f(x) – b|=| α|. Por që kur a(x)është pafundësisht i vogël, atëherë për ε arbitrare ka δ – një lagje e pikës a, para të gjithëve x nga të cilat, vlerat a(x) kënaq relacionin |α(x)|< ε. Pastaj |f(x) – b|< ε. Dhe kjo do të thotë se.

2. Nëse , atëherë për çdo ε >0 per te gjithe X nga disa δ – lagje e një pike a do |f(x) – b|< ε. Por nëse shënojmë f(x) – b= α, Kjo |α(x)|< ε, që do të thotë se a– pafundësisht i vogël.

Le të shqyrtojmë vetitë themelore të funksioneve infiniteminale.

Teorema 1. Shuma algjebrike e dy, tre, dhe në përgjithësi çdo numër i kufizuar i infinitezimaleve është një funksion infinitesimal.

Dëshmi. Le të japim një provë për dy terma. Le f(x)=α(x)+β(x), ku dhe . Duhet të vërtetojmë se për çdo ε të vogël arbitrare > 0 u gjet δ> 0, e tillë që për x, duke kënaqur pabarazinë |x – a|<δ , kryer |f(x)|< ε.

Pra, le të rregullojmë një numër arbitrar ε > 0. Meqenëse sipas kushteve të teoremës α(x)është një funksion pafundësisht i vogël, atëherë ekziston δ 1 i tillë > 0, që është |x – a|< δ 1 kemi |α(x)|< ε / 2. Po kështu, që nga β(x)është pafundësisht i vogël, atëherë ekziston δ 2 > 0, që është |x – a|< δ 2 kemi | β(x)|< ε / 2.

Le ta marrim δ=min(δ 1 , δ2 } .Pastaj në lagjen e pikës a rreze δ secila nga pabarazitë do të plotësohet |α(x)|< ε / 2 dhe | β(x)|< ε / 2. Prandaj, në këtë lagje do të ketë

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

ato. |f(x)|< ε, që është ajo që duhej vërtetuar.

Teorema 2. Produkt i një funksioni pafundësisht të vogël a(x) për një funksion të kufizuar f(x) në x→a(ose kur x→∞) është një funksion pafundësisht i vogël.


Dëshmi. Që nga funksioni f(x)është i kufizuar, atëherë ka një numër M të tillë që për të gjitha vlerat x nga ndonjë lagje e një pike a|f(x)|≤M. Për më tepër, që nga a(x)është një funksion pafundësisht i vogël në x→a, pastaj për një ε arbitrare > 0 ka një lagje të pikës a, në të cilën do të mbahet pabarazia |α(x)|< ε /M. Pastaj në më të vogël nga këto lagje kemi | αf|< ε /M= ε. Dhe kjo do të thotë se af– pafundësisht i vogël. Për rastin x→∞ vërtetimi kryhet në mënyrë të ngjashme.

Nga teorema e provuar rezulton:

Përfundimi 1. Nëse dhe, atëherë.

Përfundimi 2. Nëse c= konst, atëherë .

Teorema 3. Raporti i një funksioni pafundësisht të vogël α(x) për funksion f(x), kufiri i të cilit është i ndryshëm nga zero, është një funksion pafundësisht i vogël.

Dëshmi. Le . Pastaj 1 /f(x) ka një funksion të kufizuar. Prandaj, një fraksion është produkt i një funksioni infinitimal dhe një funksioni të kufizuar, d.m.th. funksioni është infinit i vogël.