§7. Shembuj të hapësirave lineare

L- kryqëzim M të gjitha nënhapësirat L që përmban X .

Guaska lineare quhet gjithashtu nënhapësirë e krijuar X. Zakonisht shënohet. Thuhet gjithashtu se guaska lineare i shtrirë një tufë me X .

Vetitë

Shiko gjithashtu

Lidhjet

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Jangar
Bilanci i pagesës

Shihni se çfarë është "Gaca lineare" në fjalorë të tjerë:

SHELL LINEAR- kryqëzimi M i të gjitha nënhapësirave që përmbajnë bashkësinë e hapësirës vektoriale E. Për më tepër, Mnaz. gjithashtu një nënhapësirë e krijuar nga A. M. I. Voitsekhovsky... Enciklopedia matematikore

Vektorë linearë të guaskës

Vektorë linearë të guaskës- një grup kombinimesh lineare të këtyre vektorëve ∑αiаi me të gjithë koeficientët e mundshëm (α1, …, αn) … Fjalor ekonomik dhe matematikor

vektorë të guaskës lineare- Një grup kombinimesh lineare të këtyre vektorëve??iai me të gjithë koeficientët e mundshëm (?1, ..., ?n). Temat ekonomia EN byk linear…

algjebër lineare- Disiplinë matematikore, një pjesë e algjebrës, që përmban, në veçanti, teorinë e ekuacioneve lineare, matricat dhe përcaktuesit, si dhe teorinë e hapësirave vektoriale (lineare). Marrëdhënia lineare “lidhja e formës: a1x1 + a2x2 + … +… … Udhëzues teknik i përkthyesit

Varësia lineare- “lidhja e formës: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, ku a1, a2, …, an janë numra, të paktën njëri prej të cilëve është jo zero; x1, x2, ..., xn janë objekte të caktuara matematikore për të cilat janë përcaktuar veprimet e mbledhjes ... Fjalor ekonomik dhe matematikor

Guaskë- shih guaskën lineare... Fjalor ekonomik dhe matematikor

Varësia lineare

Kombinim linear- Hapësira lineare, ose hapësira vektoriale, është objekti kryesor i studimit të algjebrës lineare. Përmbajtja 1 Përkufizim 2 Vetitë më të thjeshta 3 Përkufizime dhe veçori të ngjashme ... Wikipedia

GRUP LINEARështë një grup transformimesh lineare të një hapësire vektoriale V me dimension të fundëm n mbi një trup të caktuar K. Zgjedhja e një baze në hapësirën V realizon grupin linear si një grup matricash katrore jo të degjeneruara të shkallës n mbi trupin K. Kështu, krijohet një izomorfizëm... Enciklopedia matematikore

libra

Algjebër lineare. Libër shkollor dhe seminar për arsimin me burim të hapur Blej për 1471 UAH (vetëm në Ukrainë)
Algjebër lineare. Libër mësuesi dhe workshop për diplomën akademike, Kremer N.Sh.. Ky tekst përfshin një sërë konceptesh të reja dhe pyetje shtesë, si norma e një matrice, mënyra e plotësimit të një baze, izomorfizmi i hapësirave lineare, nënhapësirat lineare, lineare. ...

Le të jetë një sistem vektorësh nga hapësira vektoriale V mbi fushë P.

Përkufizimi 2: Predha lineare L sistemeve Aështë bashkësia e të gjitha kombinimeve lineare të vektorëve të sistemit A. Emërtimi L(A).

Mund të tregohet se për çdo dy sisteme A Dhe B,

A shprehur në mënyrë lineare nëpërmjet B nese dhe vetem nese . (1)

A ekuivalente B atëherë dhe vetëm kur L(A)=L(B). (2)

Prova rrjedh nga prona e mëparshme

3 Hapësira lineare e çdo sistemi vektorësh është një nënhapësirë e hapësirës V.

Dëshmi

Merrni çdo dy vektorë dhe nga L(A), duke pasur zgjerimet e mëposhtme në vektorë nga A: . Le të kontrollojmë realizueshmërinë e kushteve 1) dhe 2) të kriterit:

Meqenëse është një kombinim linear i vektorëve të sistemit A.

Meqenëse është gjithashtu një kombinim linear i vektorëve të sistemit A.

Le të shqyrtojmë tani matricën. Hapësira lineare e rreshtave të matricës A quhet hapësira e rreshtave të matricës dhe shënohet Lr(A). Hapësira lineare e kolonave të matricës A quhet hapësirë kolone dhe shënohet Lc(A). Ju lutemi vini re se kur hapësira e rreshtit dhe kolonës së matricës A janë nënhapësira të hapësirave të ndryshme aritmetike P n Dhe pm përkatësisht. Duke përdorur deklaratën (2), mund të arrijmë në përfundimin e mëposhtëm:

Teorema 3: Nëse një matricë merret nga një tjetër nga një zinxhir transformimesh elementare, atëherë hapësirat e rreshtave të matricave të tilla përkojnë.

Shuma dhe kryqëzimi i nënhapësirave

Le L Dhe M- dy nënhapësira të hapësirës R.

Shuma L+M quhet bashkësi vektorësh x+y , Ku x ∈L Dhe y ∈M. Natyrisht, çdo kombinim linear i vektorëve nga L+M i takon L+M, prandaj L+Mështë një nënhapësirë e hapësirës R(mund të përkojë me hapësirën R).

Duke kaluar L∩M nënhapësira L Dhe Mështë bashkësia e vektorëve që njëkohësisht u përkasin nënhapësirave L Dhe M(mund të përbëhet vetëm nga një vektor zero).

Teorema 6.1. Shuma e dimensioneve të nënhapësirave arbitrare L Dhe M hapësirë lineare me dimensione të fundme R e barabartë me dimensionin e shumës së këtyre nënhapësirave dhe dimensionin e kryqëzimit të këtyre nënhapësirave:

zbehtë L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Dëshmi. Le të shënojmë F=L+M Dhe G=L∩M. Le G g-nënhapësirë dimensionale. Le të zgjedhim një bazë në të. Sepse G⊂L Dhe G⊂M, pra bazë G mund të shtohet në bazë L dhe në bazë M. Le të bazën e nënhapësirës L dhe le bazën e nënhapësirës M. Le të tregojmë se vektorët

(6.1) përbëjnë bazën F=L+M. Në mënyrë që vektorët (6.1) të formojnë bazën e hapësirës F ato duhet të jenë linearisht të pavarura dhe çdo vektor i hapësirës F mund të përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve (6.1).

Le të vërtetojmë pavarësinë lineare të vektorëve (6.1). Lëreni vektorin zero të hapësirës F përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve (6.1) me disa koeficientë:

Ana e majtë e (6.3) është vektori i nënhapësirës L, dhe ana e djathtë është vektori i nënhapësirës M. Prandaj vektori

(6.4) i përket nënhapësirës G=L∩M. Nga ana tjetër, vektori v mund të përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve bazë të nënhapësirës G:

(6.5) Nga ekuacionet (6.4) dhe (6.5) kemi:

Por vektorët janë baza e nënhapësirës M, prandaj janë linearisht të pavarur dhe . Pastaj (6.2) do të marrë formën:

Për shkak të pavarësisë lineare të bazës së nënhapësirës L ne kemi:

Meqenëse të gjithë koeficientët në ekuacionin (6.2) rezultuan të jenë zero, atëherë vektorët

i pavarur në mënyrë lineare. Por çdo vektor z nga F(sipas përkufizimit të shumës së nënhapësirave) mund të përfaqësohet nga shuma x+y , Ku x ∈ L,y ∈ M. Nga ana e saj x përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve a y - kombinim linear i vektorëve. Prandaj, vektorët (6.10) e krijojnë nënhapësirën F. Ne zbuluam se vektorët (6.10) përbëjnë një bazë F=L+M.

Studimi i bazave nënhapësirë L Dhe M dhe baza nënhapësirë F=L+M(6.10), kemi: zbehtë L=g+l, zbehtë M=g+m, zbehtë (L+M)=g+l+m. Prandaj:

zbehtë L+dim M−dim(L∩M)=e zbehtë(L+M). ■

Shuma e drejtpërdrejtë e nënhapësirave

Përkufizimi 6.2. Hapësirë F paraqet shumën e drejtpërdrejtë të nënhapësirave L Dhe M, nëse çdo vektor x hapësirë F mund të përfaqësohet vetëm si një shumë x=y+z , Ku y ∈L dhe z ∈M.

Tregohet shuma direkte L⊕M. Ata thonë se nëse F=L⊕M, Kjo F zbërthehet në shumën e drejtpërdrejtë të nënhapësirave të tij L Dhe M.

Teorema 6.2. Në mënyrë që n-hapësirë dimensionale R ishte shuma e drejtpërdrejtë e nënhapësirave L Dhe M, mjafton për kryqëzimin L Dhe M përmbante vetëm elementin zero dhe se dimensioni R ishte i barabartë me shumën e dimensioneve të nënhapësirave L Dhe M.

Dëshmi. Le të zgjedhim një bazë në nënhapësirën L dhe një bazë në nënhapësirën M. Le ta vërtetojmë këtë

(6.11) është baza e hapësirës R. Sipas kushteve të teoremës, dimensioni i hapësirës Rn e barabartë me shumën e nënhapësirave L Dhe M (n=l+m). Mjafton të vërtetohet pavarësia lineare e elementeve (6.11). Lëreni vektorin zero të hapësirës R përfaqësohet nga një kombinim linear i vektorëve (6.11) me disa koeficientë:

(6.13) Meqenëse ana e majtë e (6.13) është një vektor i nënhapësirës L, dhe ana e djathtë është vektori i nënhapësirës M Dhe L∩M=0 , Kjo

(6.14) Por vektorët janë bazat e nënhapësirave L Dhe M përkatësisht. Prandaj ato janë linearisht të pavarura. Pastaj

(6.15) Është vërtetuar se (6.12) është e vlefshme vetëm nën kushtin (6.15), dhe kjo dëshmon pavarësinë lineare të vektorëve (6.11). Prandaj ato formojnë bazën në R.

Le të jetë x∈R. Le ta zgjerojmë sipas bazës (6.11):

(6.16) Nga (6.16) kemi:

(6.18) Nga (6.17) dhe (6.18) rrjedh se çdo vektor nga R mund të paraqitet si një shumë vektorësh x 1 ∈L Dhe x 2 ∈M. Mbetet për të vërtetuar se ky përfaqësim është unik. Le të ketë, përveç përfaqësimit (6.17), përfaqësimin e mëposhtëm:

(6.19) Duke zbritur (6.19) nga (6.17), marrim

(6.20) Që nga , dhe L∩M=0 , pastaj dhe . Prandaj dhe. ■

Teorema 8.4 mbi dimensionin e shumës së nënhapësirave. Nëse dhe janë nënhapësira të një hapësire lineare me dimensione të fundme, atëherë dimensioni i shumës së nënhapësirave është i barabartë me shumën e dimensioneve të tyre pa dimensionin e kryqëzimit të tyre ( Formula e Grassmann-it):

(8.13)

Në fakt, le të jetë baza e kryqëzimit . Le ta plotësojmë atë me një grup të renditur vektorësh deri në bazën e nënhapësirës dhe një grup të renditur vektorësh deri në bazën e nënhapësirës. Një shtesë e tillë është e mundur nga teorema 8.2. Nga këto tre grupe vektorësh, le të krijojmë një grup të renditur vektorësh. Le të tregojmë se këta vektorë janë gjenerues të hapësirës. Në të vërtetë, çdo vektor i kësaj hapësire paraqitet si një kombinim linear i vektorëve nga një grup i renditur

Prandaj, . Le të vërtetojmë se gjeneratorët janë linearisht të pavarur dhe për këtë arsye ata janë baza e hapësirës. Në të vërtetë, le të bëjmë një kombinim linear të këtyre vektorëve dhe ta barazojmë me vektorin zero: . Të gjithë koeficientët e këtij zgjerimi janë zero: nënhapësirat e një hapësire vektoriale me formë bilineare janë bashkësia e të gjithë vektorëve ortogonalë ndaj secilit vektor nga . Ky grup është një nënhapësirë vektoriale, e cila zakonisht shënohet me .

Artikulli përshkruan bazat e algjebrës lineare: hapësira lineare, vetitë e saj, koncepti i bazës, dimensionet e hapësirës, trupi linear, lidhja midis hapësirave lineare dhe rangu i matricave.

Hapësirë lineare

Një tufë me L thirrur hapësirë lineare, nëse për të gjithë elementët e tij veprimet e mbledhjes së dy elementeve dhe shumëzimit të një elementi me një numër të kënaqshëm I grupi Aksiomat e Weyl-it. Elementet e hapësirës lineare quhen vektorët. Ky është një përkufizim i plotë; më shkurt, mund të themi se një hapësirë lineare është një grup elementësh për të cilët përcaktohen veprimet e mbledhjes së dy elementeve dhe shumëzimit të një elementi me një numër.

Aksiomat e Weyl-it.

Hermann Weil sugjeroi që në gjeometri të kemi dy lloje objektesh ( vektorët dhe pikat), vetitë e të cilave përshkruhen nga aksiomat e mëposhtme, të cilat formuan bazën e seksionit algjebër lineare. Është i përshtatshëm për të ndarë aksiomat në 3 grupe.

Grupi I

për çdo vektor x dhe y plotësohet barazia x+y=y+x;
për çdo vektor x, y dhe z plotësohet barazia x+(y+z)=(x+y)+z;
ekziston një vektor o i tillë që për çdo vektor x vlen barazia x+o=x;
për çdo vektor X ekziston një vektor (-x) i tillë që x+(-x)=o;
për çdo vektor X vlen barazia 1x=x;
për çdo vektor X Dhe në dhe çdo numër λ barazia λ( X+në)=λ X+λ në;
për çdo vektor X dhe çdo numër λ dhe μ vlen barazia (λ+μ) X=λ X+μ X;
për çdo vektor X dhe çdo numër λ dhe μ barazia λ(μ X)=(λμ) X;

Grupi II

Grupi I përcakton konceptin kombinim linear i vektorëve, varësi lineare dhe pavarësi lineare. Kjo na lejon të formulojmë dy aksioma të tjera:

ka n vektorë të pavarur linearisht;
çdo vektor (n+1) është i varur në mënyrë lineare.

Për planimetrinë n=2, për stereometrinë n=3.

Grupi III

Ky grup supozon se ekziston një operacion shumëzimi skalar që cakton një palë vektorësh X Dhe në numri ( x, y). ku:

për çdo vektor X Dhe në barazia vlen ( x, y)=(y, x);
për çdo vektor X , në Dhe z barazia vlen ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
për çdo vektor X Dhe në dhe çdo numër λ barazia (λ x, y)=λ( x, y);
për çdo vektor x vlen pabarazia ( x, x)≥0, dhe ( x, x)=0 nëse dhe vetëm nëse X=0.

Vetitë e hapësirës lineare

Shumica e vetive të hapësirës lineare bazohen në aksiomat e Weyl-it:

Vektor O, ekzistenca e së cilës garantohet nga Aksioma 3, përcaktohet në mënyrë unike;
Vektori (- X), ekzistenca e të cilit garantohet nga Aksioma 4, përcaktohet në një mënyrë unike;
Për çdo dy vektorë A Dhe b që i përkasin hapësirës L, ka vetëm një vektor X, gjithashtu i përket hapësirës L, e cila është një zgjidhje e ekuacionit a+x=b dhe quhet diferenca vektoriale b-a.

Përkufizimi. Nëngrupi L' hapësirë lineare L thirrur nënhapësirë lineare hapësirë L, nëse ajo vetë është një hapësirë lineare në të cilën shuma e vektorëve dhe prodhimi i një vektori dhe një numri përcaktohen në të njëjtën mënyrë si në L.

Përkufizimi. Predha lineare L(x1, x2, x3, ..., xk) vektorë x1, x2, x3, Dhe xk quhet bashkësia e të gjitha kombinimeve lineare të këtyre vektorëve. Për guaskën lineare mund të themi se

-trupi linear është një nënhapësirë lineare;

– trupi linear është nënhapësira lineare minimale që përmban vektorët x1, x2, x3, Dhe xk.

Përkufizimi. Një hapësirë lineare quhet n-dimensionale nëse plotëson Grupin II të sistemit të aksiomës Weyl. Numri n quhet dimension hapësirë lineare dhe shkruani dimL=n.

Baza– çdo sistem i porositur i n vektorë linearisht të pavarur të hapësirës. Kuptimi i bazës është se vektorët që përbëjnë bazën mund të përdoren për të përshkruar çdo vektor në hapësirë.

Teorema.Çdo n vektorë të pavarur linearisht në hapësirën L formojnë një bazë.

Izomorfizmi.

Përkufizimi. Hapësirat lineare L Dhe L' quhen izomorfe nëse mund të vendoset një korrespodencë e tillë një me një ndërmjet elementeve të tyre x↔x', Çfarë:

Nëse x↔x', y↔y', Kjo x+y↔x’+y’;
Nëse x↔x', pastaj λ x↔λ X'.

Vetë kjo korrespondencë quhet izomorfizëm. Izomorfizmi na lejon të bëjmë pohimet e mëposhtme:

nëse dy hapësira janë izomorfe, atëherë dimensionet e tyre janë të barabarta;
çdo dy hapësira lineare mbi të njëjtën fushë dhe me të njëjtin dimension janë izomorfe.

1. Bashkësia e polinomeve P n (x) gradë jo më të larta n.

2. Një tufë me n-sekuenca termash (me mbledhje term-pas-term dhe shumëzim me një skalar).

3 . Shumë veçori C [ A , b ] e vazhdueshme në [ A, b] dhe me mbledhje pikësore dhe shumëzim me një skalar.

4. Shumë funksione të specifikuara në [ A, b] dhe zhduket në një pikë të brendshme fikse c: f (c) = 0 dhe me veprime pikash të mbledhjes dhe shumëzimit me një skalar.

5. Vendosni R+, nëse x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§8. Përkufizimi i nënhapësirës

Lëreni grupin Wështë një nëngrup i hapësirës lineare V (W  V) dhe të tilla që

a)  x, yW  x ⊕ yW;

b)  xW,    ⊙ xW.

Veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit këtu janë të njëjta si në hapësirë V(ato quhen të induktuara në hapësirë V).

Shume W quhet nënhapësirë e hapësirës V.

7  . Nënhapësirë W vetë është hapësirë.

◀ Për ta vërtetuar mjafton të vërtetohet ekzistenca e një elementi asnjanës dhe e kundërta e tij. Barazimet 0⊙ x=  dhe (–1)⊙ X = –X provoni atë që është e nevojshme.

Një nënhapësirë e përbërë vetëm nga një element neutral () dhe një nënhapësirë që përkon me vetë hapësirën V, quhen nënhapësira triviale të hapësirës V.

§9. Kombinimi linear i vektorëve. Hapësira lineare e sistemit vektorial

Lërini vektorët e 1 ,e 2 , …e n V dhe  1,  2 , …  n .

Vektor x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = quajtur lineare kombinimi i vektorëve e 1 , e 2 , … , e n me koeficientët  1,  2 , …  n .

Nëse të gjithë koeficientët në një kombinim linear janë të barabartë me zero, atëherë kombinimi linear thirrur i parëndësishëm.

Një grup i të gjitha kombinimeve të mundshme lineare të vektorëve
quhet byk linear ky sistem vektorësh dhe shënohet:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Korrektësia e veprimeve të mbledhjes dhe shumëzimit me një skalar rrjedh nga fakti se ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) është një grup i të gjitha kombinimeve të mundshme lineare. Elementi neutral është një kombinim linear i parëndësishëm. Për element X=
e kundërta është elementi - x =
. Përmbushen edhe aksiomat që duhet të plotësojnë operacionet. Kështu, ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) është një hapësirë lineare.

Çdo hapësirë lineare përmban, në rastin e përgjithshëm, një numër të pafund hapësirash të tjera lineare (nënhapësira) - predha lineare

Në të ardhmen, ne do të përpiqemi t'u përgjigjemi pyetjeve të mëposhtme:

Kur predhat lineare të sistemeve të ndryshme vektoriale përbëhen nga të njëjtët vektorë (d.m.th., përkojnë)?

2) Cili është numri minimal i vektorëve që përcakton të njëjtën hapësirë lineare?

3) A është hapësira origjinale një hapësirë lineare e një sistemi vektorësh?

§10. Sisteme të plota vektoriale

Nëse në hapësirë V ekziston një grup i kufizuar vektorësh
pra çfarë, ℒ
 V, pastaj sistemi i vektorëve
quhet sistem i plotë në V, dhe hapësira quhet dimensionale e fundme. Kështu, sistemi i vektorëve e 1 , e 2 , …, e n V thirrur i plotë në V sistemi, d.m.th. Nëse

XV   1 ,  2 , …  n tillë që x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Nëse në hapësirë V nuk ka asnjë sistem të plotë të fundëm (dhe një i plotë ekziston gjithmonë - për shembull, grupi i të gjithë vektorëve të hapësirës V), pastaj hapësira V quhet infinite-dimensionale.

9  . Nëse
e plotë brenda V sistemi i vektorëve dhe y V, atë ( e 1 , e 2 , …, e n , y) është gjithashtu një sistem i plotë.

◀ Në kombinimet lineare koeficienti para y marrë të barabartë me 0.

Lë të jetë një sistem vektorësh nga . Predha lineare sistemet vektorialeështë bashkësia e të gjitha kombinimeve lineare të vektorëve të një sistemi të caktuar, d.m.th.

Vetitë e një predhe lineare: Nëse , atëherë për dhe .

Predha lineare ka vetinë e mbylljes në lidhje me operacionet lineare (veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit me një numër).

Një nëngrup i një hapësire që ka vetinë e mbylljes në lidhje me veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit me numra quhetnënhapësirë lineare e hapësirës .

Predha lineare e një sistemi vektorësh është një nënhapësirë lineare e hapësirës.

Sistemi i vektorëve nga quhet bazë , Nëse

Çdo vektor mund të shprehet si një kombinim linear i vektorëve bazë:

2. Sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur.

Lema Koeficientët e zgjerimit të Vektorit sipas bazës përcaktohen në mënyrë unike.

Vektor , i përbërë nga koeficientët e zgjerimit të vektorit sipas bazës quhet vektor koordinativ i vektorit në bazë .

Emërtimi . Kjo hyrje thekson se koordinatat e vektorit varen nga baza.

Hapësirat lineare

Përkufizimet

Le të jepet një grup elementësh të natyrës arbitrare. Le të përcaktohen dy operacione për elementet e këtij grupi: mbledhja dhe shumëzimi me cilindo reale numri: , dhe vendos mbyllur në lidhje me këto operacione: . Lërini këto operacione t'i binden aksiomave:

3. Ekziston një vektor zero me vetinë për ;

4. për secilin ka një vektor të anasjelltë me vetinë ;

6. për , ;

7. për , ;

Atëherë një grup i tillë quhet hapësirë lineare (vektoriale)., quhen elementet e tij vektorët, dhe - për të theksuar ndryshimin e tyre nga numrat nga - quhen këta të fundit skalarët 1) . Një hapësirë e përbërë nga vetëm një vektor zero quhet i parëndësishëm .

Nëse në aksiomat 6 - 8 lejojmë shumëzimin me skalorë komplekse, atëherë një hapësirë e tillë lineare quhet gjithëpërfshirëse. Për të thjeshtuar arsyetimin tonë, në vijim do të shqyrtojmë vetëm hapësira reale.

Një hapësirë lineare është një grup në lidhje me veprimin e mbledhjes, dhe një grup abelian.

Veçantia e vektorit zero dhe veçantia e vektorit të kundërt me vektorin vërtetohen lehtësisht: , zakonisht caktohet .

Një nëngrup i një hapësire lineare që është në vetvete një hapësirë lineare (d.m.th., e mbyllur me mbledhjen e vektorëve dhe shumëzimin me një skalar arbitrar) quhet nënhapësirë lineare hapësirë. Nënhapësira të parëndësishme Një hapësirë lineare quhet vetvetja dhe hapësira e përbërë nga një vektor zero.

Shembull. Hapësira e trefishave të renditura të numrave realë

operacionet e përcaktuara nga barazitë:

Interpretimi gjeometrik është i qartë: një vektor në hapësirë, "i lidhur" me origjinën, mund të specifikohet në koordinatat e fundit të tij. Figura tregon gjithashtu një nënhapësirë tipike të hapësirës: një aeroplan që kalon përmes origjinës. Më saktë, elementët janë vektorë që e kanë origjinën në origjinë dhe mbarojnë në pika të rrafshit. Mbyllja e një grupi të tillë në lidhje me shtimin e vektorëve dhe zgjerimin e tyre 2) është e dukshme.

Bazuar në këtë interpretim gjeometrik, një vektor i një hapësire lineare arbitrare shpesh përmendet si pikë në hapësirë. Ndonjëherë kjo pikë quhet "fundi i vektorit". Përveç komoditetit të perceptimit asociativ, këtyre fjalëve nuk u jepet ndonjë kuptim formal: koncepti i "fundit të një vektori" mungon në aksiomatikën e hapësirës lineare.

Shembull. Bazuar në të njëjtin shembull, ne mund të japim një interpretim të ndryshëm të hapësirës vektoriale (të ngulitur, nga rruga, në vetë origjinën e fjalës "vektor" 3)) - ai përcakton një grup "zhvendosjesh" pikash në hapësirë. Këto zhvendosje - ose përkthime paralele të çdo figure hapësinore - janë zgjedhur të jenë paralele me rrafshin.

Në përgjithësi, me interpretime të tilla të konceptit të një vektori, gjithçka nuk është aq e thjeshtë. Përpjekjet për të apeluar në kuptimin e saj fizik - si një objekt që ka madhësia Dhe drejtimin- të shkaktojë një qortim të drejtë nga matematikanët e rreptë. Përkufizimi i një vektori si një element i hapësirës vektoriale të kujton shumë episodin me varr nga tregimi i famshëm fantashkencë nga Stanislaw Lem (shih ☞KETU). Le të mos varemi pas formalizmit, por të eksplorojmë këtë objekt të paqartë në manifestimet e tij të veçanta.

Shembull. Një përgjithësim natyror është hapësira: hapësira vektoriale e rreshtit ose kolonës . Një mënyrë për të specifikuar një nënhapësirë në është të specifikoni një grup kufizimesh.

Shembull. Bashkësia e zgjidhjeve të një sistemi ekuacionesh homogjene lineare:

formon një nënhapësirë lineare të hapësirës. Në fakt, nëse

Zgjidhja e sistemit, pra

E njëjta zgjidhje për çdo. Nëse

Një zgjidhje tjetër për sistemin, atëherë

Do të jetë edhe vendimi i saj.

Pse ka shumë zgjidhje për sistemin? heterogjene ekuacionet nuk formojnë një nënhapësirë lineare?

Shembull. Duke përgjithësuar më tej, ne mund të konsiderojmë hapësirën e vargjeve "të pafundme" ose sekuencat , zakonisht objekt i analizës matematikore - kur merren parasysh sekuencat dhe seritë. Ju mund t'i konsideroni linjat (sekuencat) "të pafundme në të dy drejtimet" - ato përdoren në TEORINË E SINJALIT.

Shembull. Bashkësia e -matricave me elemente reale me veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit të matricës me numra realë formon një hapësirë lineare.

Në hapësirën e matricave të rendit katror dallohen dy nënhapësira: nënhapësira e matricave simetrike dhe nënhapësira e matricave anore-simetrike. Përveç kësaj, nënhapësirat formojnë secilën nga grupet: matricat idiagonale trekëndore të sipërme, trekëndore të poshtme.

Shembull. Një grup polinomesh të një shkalle të ndryshueshme saktësisht të barabartë me koeficientët e (ku është ndonjë nga grupet ose ) me operacionet e zakonshme të mbledhjes së polinomeve dhe shumëzimit me një numër nga nuk formohet hapësirë lineare. Pse? - Për shkak se nuk mbyllet me mbledhje: shuma e polinomeve nuk do të jetë një polinom i shkallës së th. Por këtu ka shumë polinome të shkallës jo me lart

format lineare të hapësirës; vetëm kësaj bashkësie duhet t'i shtojmë edhe një polinom identik zero 4). Nënhapësirat e dukshme janë . Përveç kësaj, nënhapësirat do të jenë bashkësia e çifteve dhe bashkësia e polinomeve tek të shkallës më së shumti . Bashkësia e të gjithë polinomeve të mundshëm (pa kufizime në shkallë) gjithashtu formon një hapësirë lineare.

Shembull. Një përgjithësim i rastit të mëparshëm do të jetë hapësira e polinomeve të disa variablave të shkallës më së shumti me koeficientë nga . Për shembull, bashkësia e polinomeve lineare

formon një hapësirë lineare. Bashkësia e polinomeve (formave) homogjene të shkallës (me shtimin e një polinomi identikisht zero në këtë bashkësi) është gjithashtu një hapësirë lineare.

Për sa i përket përkufizimit të mësipërm, grupi i vargjeve me përbërës të plotë

konsiderohen në lidhje me operacionet e mbledhjes dhe shumëzimit në drejtim të komponentëve me numra të plotë skalarët nuk është një hapësirë lineare. Megjithatë, të gjitha aksiomat 1 - 8 do të plotësohen nëse lejojmë shumëzimin vetëm me skalorë me numra të plotë. Në këtë seksion nuk do të fokusohemi në këtë objekt, por është mjaft i dobishëm në matematikën diskrete, për shembull në TEORINË E KODIMIT. Hapësirat lineare mbi fusha të fundme konsiderohen ☞ KETU.

Variablat janë izomorfe në hapësirën e matricave simetrike të rendit të th. Izomorfizmi përcaktohet nga një korrespondencë, të cilën do ta ilustrojmë për rastin:

Koncepti i izomorfizmit është paraqitur për të kryer studimin e objekteve që lindin në zona të ndryshme të algjebrës, por me veti "të ngjashme" të operacioneve, duke përdorur shembullin e një kampioni, duke përpunuar rezultate mbi të që më pas mund të përsëriten me çmim të ulët. Cilën hapësirë lineare duhet të marrim “si mostër”? - Shihni fundin e paragrafit tjetër