Funksioni diferencial është pandryshueshmëria e formës së diferencialit të parë. Vetitë e diferencialit të parë të një funksioni

Sipas përkufizimit, diferenciali (diferenciali i parë) i një funksioni llogaritet me formulë
Nëse – ndryshore e pavarur.

SHEMBULL.

Le të tregojmë se forma e diferencialit të parë mbetet e pandryshuar (është e pandryshueshme) edhe në rastin kur argumenti i funksionit në vetvete është një funksion, domethënë për një funksion kompleks
.

Le
janë të diferencueshme, atëherë sipas përkufizimit

Për më tepër, kjo është ajo që duhej vërtetuar.

SHEMBUJ.

Pandryshueshmëria e provuar e formës së diferencialit të parë na lejon të supozojmë se
kjo eshte derivati ​​është i barabartë me raportin e diferencialit të funksionit me diferenciali i argumentit të saj, pavarësisht nëse argumenti është një variabël i pavarur apo një funksion.

Diferencimi i një funksioni të specifikuar në mënyrë parametrike

Le të funksionojë If
ka në set e kundërta, atëherë
Pastaj barazitë
të përcaktuara në set funksioni i specifikuar parametrikisht, – parametri (ndryshorja e ndërmjetme).

SHEMBULL. Grafikoni funksionin
.

Kurba e ndërtuar quhet cikloide(Fig. 25) dhe është trajektorja e një pike në një rreth me rreze 1, e cila rrotullohet pa rrëshqitur përgjatë boshtit OX.

KOMENT. Ndonjëherë, por jo gjithmonë, një parametër mund të eliminohet nga ekuacionet e kurbës parametrike.

SHEMBUJ.
janë ekuacione parametrike të një rrethi, pasi, padyshim,

–ekuacionet parametrike të elipsës, pasi

-ekuacionet parametrike të një parabole

Le të gjejmë derivatin e një funksioni të përcaktuar parametrikisht:

Derivati ​​i një funksioni të specifikuar parametrikisht është gjithashtu një funksion i specifikuar parametrikisht: .

PËRKUFIZIM. Derivati ​​i dytë i një funksioni është derivati ​​i derivatit të tij të parë.

Derivat rendi th është derivati ​​i derivatit të tij të rendit
.

Shënoni derivatet e të dytës dhe - rendi si ky:

Nga përkufizimi i derivatit të dytë dhe rregulli i diferencimit të një funksioni të përcaktuar parametrikisht rezulton se
Për të llogaritur derivatin e tretë, duhet të përfaqësoni derivatin e dytë në formë
dhe përdorni përsëri rregullin që rezulton. Derivatet e rendit më të lartë llogariten në mënyrë të ngjashme.

SHEMBULL. Gjeni derivatet e rendit të parë dhe të dytë të funksionit

.

Teoremat themelore të njehsimit diferencial

TEOREMA(Fermë). Lëreni funksionin
ka në pikën
ekstreme. Nëse ekziston
, Kjo

DËSHMI. Le
, për shembull, është pika minimale. Sipas përcaktimit të një pike minimale, ekziston një fqinjësi e kësaj pike
, brenda së cilës
, kjo eshte
– rritje
në pikën
. A-parësore
Le të llogarisim derivatet e njëanshme në pikë
:

nga teorema mbi kalimin në kufirin e pabarazisë,

sepse

, sepse
Por sipas kushtit
ekziston, prandaj derivati ​​i majtë është i barabartë me të djathtën dhe kjo është e mundur vetëm nëse

Supozimi se
– pika maksimale çon në të njëjtën gjë.

Kuptimi gjeometrik i teoremës:

TEOREMA(Rolla). Lëreni funksionin
të vazhdueshme
, i diferencueshëm
Dhe
atëherë ka
sikurse

DËSHMI. Sepse
të vazhdueshme
, pastaj nga teorema e dytë e Weierstrass-it arrin në
më i madhi i tyre
dhe më së paku
vlerat ose në pikat ekstreme ose në skajet e segmentit.

1. Le
, Pastaj

2. Le
Sepse
qoftë
, ose
arrihet në pikën ekstreme
, por sipas teoremës së Fermatit
Q.E.D.

TEOREMA(Lagranzh). Lëreni funksionin
të vazhdueshme
dhe të diferencueshme
, atëherë ka
sikurse
.

Kuptimi gjeometrik i teoremës:

Sepse
, atëherë sekanti është paralel me tangjenten. Kështu, teorema thotë se ekziston një paralele tangjente me sekantën që kalon nëpër pikat A dhe B.

DËSHMI. Përmes pikave A
dhe B
Le të vizatojmë një sekant AB. Ekuacioni i saj
Merrni parasysh funksionin

– largësia ndërmjet pikave përkatëse në grafik dhe në sekantin AB.

1.
të vazhdueshme
si diferenca e funksioneve të vazhdueshme.

2.
të diferencueshme
si dallimi i funksioneve të diferencueshëm.

3.

Do të thotë,
plotëson kushtet e teoremës së Rolle-s, prandaj ekziston
sikurse

Teorema është vërtetuar.

KOMENT. Formula quhet Formula e Lagranzhit.

TEOREMA(Cauchy). Lërini funksionet
të vazhdueshme
, i diferencueshëm
Dhe
, atëherë ka një pikë
sikurse
.

DËSHMI. Le ta tregojmë atë
. Nëse
, pastaj funksioni
do të plotësonte kushtet e teoremës së Rolle-s, kështu që do të kishte një pikë
sikurse
- një kontradiktë me gjendjen. Do të thotë,
, dhe të dyja anët e formulës janë të përcaktuara. Le të shohim një funksion ndihmës.

të vazhdueshme
, i diferencueshëm
Dhe
, kjo eshte
plotëson kushtet e teoremës së Rolle-s. Pastaj ka një pikë
, ku
, Por

Q.E.D.

Formula e provuar quhet Formula cauchy.

RREGULLI I L'Hopital(teorema L'Hopital-Bernoulli). Lërini funksionet
të vazhdueshme
, i diferencueshëm
,
Dhe
. Përveç kësaj, ka një të fundme ose të pafundme
.

Pastaj ka

DËSHMI. Që nga kushti
, pastaj përcaktojmë
në pikën
, duke supozuar
Pastaj
do të bëhet e vazhdueshme
. Le ta tregojmë atë

Le të pretendojmë se
atëherë ka
sikurse
, që nga funksioni
në
plotëson kushtet e teoremës së Rolit. Por sipas kushtit
- një kontradiktë. Kjo është arsyeja pse

. Funksione
plotësoni kushtet e teoremës së Cauchy-t në çdo interval
, e cila përmbahet në
. Le të shkruajmë formulën Cauchy:

,
.

Nga këtu kemi:
, sepse nese
, Kjo
.

Duke ridizajnuar variablin në kufirin e fundit, marrim vlerën e kërkuar:

SHËNIM 1. Rregulli i L'Hopital mbetet i vlefshëm edhe kur
Dhe
. Na lejon të zbulojmë jo vetëm pasigurinë e llojit , por edhe lloji :

.

SHËNIM 2. Nëse pas zbatimit të rregullit të L'Hopital, pasiguria nuk zbulohet, atëherë duhet të zbatohet përsëri.

SHEMBULL.

KOMENT 3 . Rregulli i L'Hopital është një mënyrë universale për të zbuluar pasiguritë, por ka kufizime që mund të zbulohen duke përdorur vetëm një nga teknikat e veçanta të studiuara më parë.

Por padyshim
, meqenëse shkalla e numëruesit është e barabartë me shkallën e emëruesit, dhe kufiri është i barabartë me raportin e koeficientëve në fuqitë më të larta

Rregulli për diferencimin e një funksioni kompleks do të na çojë në një veti të jashtëzakonshme dhe të rëndësishme të diferencialit.

Le të jenë funksionet të tilla që prej tyre të mund të përbëhet një funksion kompleks: . Nëse ekzistojnë derivatet, atëherë - sipas rregullit V - ekziston edhe një derivat

Megjithatë, duke zëvendësuar derivatin e tij me shprehjen (7) dhe duke vërejtur se ekziston një diferencial i x në funksion të t, më në fund marrim:

d.m.th., le të kthehemi në formën e mëparshme të diferencialit!

Kështu, ne shohim se forma e diferencialit mund të ruhet edhe nëse ndryshorja e vjetër e pavarur zëvendësohet me një të re. Ne jemi gjithmonë të lirë të shkruajmë diferencialin y në formën (5), pavarësisht nëse x është një ndryshore e pavarur apo jo; i vetmi ndryshim është se nëse t zgjidhet si ndryshore e pavarur, atëherë nuk do të thotë një rritje arbitrare, por një diferencial prej x në funksion të Kjo veti quhet pandryshueshmëri e formës së diferencialit.

Meqenëse formula (5) jep drejtpërdrejt formulën (6), e cila shpreh derivatin përmes diferencialeve, formula e fundit mbetet e vlefshme pavarësisht se cila variabël e pavarur (sigurisht e njëjtë në të dyja rastet) llogariten diferencat e përmendura.

Le të, për shembull, kështu

Le të vendosim tani Pastaj do të kemi gjithashtu: Është e lehtë të kontrollohet se formula

jep vetëm një shprehje tjetër për derivatin e llogaritur më sipër.

Kjo rrethanë është veçanërisht e përshtatshme për t'u përdorur në rastet kur varësia e y nga x nuk specifikohet drejtpërdrejt, por përkundrazi specifikohet varësia e të dy variablave x dhe y nga një variabël i tretë ndihmës (i quajtur parametër):

Duke supozuar se të dy këta funksione kanë derivate dhe se për të parin ekziston një funksion i anasjelltë që ka një derivat, është e lehtë të shihet se atëherë edhe y rezulton të jetë një funksion i x:

për të cilin ka edhe derivat. Llogaritja e këtij derivati ​​mund të kryhet sipas rregullit të mësipërm:

pa rivendosur varësinë e drejtpërdrejtë të y nga x.

Për shembull, nëse derivati ​​mund të përcaktohet siç është bërë më sipër, pa përdorur fare varësinë.

Nëse i konsiderojmë x dhe y si koordinata drejtkëndore të një pike në rrafsh, atëherë ekuacionet (8) caktojnë çdo vlerë të parametrit t në një pikë të caktuar, e cila, me një ndryshim në t, përshkruan një kurbë në plan. Ekuacionet (8) quhen ekuacione parametrike të kësaj lakore.

Në rastin e një përkufizimi parametrik të një kurbë, formula (10) ju lejon të vendosni drejtpërdrejt pjerrësinë e tangjentes duke përdorur ekuacionet (8), pa vazhduar me specifikimin e kurbës duke përdorur ekuacionin (9); saktësisht,

Koment. Aftësia për të shprehur derivatin përmes diferencialeve të marra në lidhje me çdo variabël, në veçanti, çon në faktin se formulat

duke shprehur në shënimin e Leibniz rregullat për diferencimin e një funksioni të anasjelltë dhe një funksioni kompleks, bëhen identitete të thjeshta algjebrike (pasi të gjitha diferencat këtu mund të merren në lidhje me të njëjtën ndryshore). Sidoqoftë, nuk duhet menduar se kjo i jep një përfundim të ri formulave të lartpërmendura: para së gjithash, ekzistenca e derivateve të majta nuk u vërtetua këtu, gjëja kryesore është se në thelb kemi përdorur pandryshueshmërinë e formës së diferencialit. , e cila në vetvete është pasojë e Rregullit V.

Nëse një funksion i diferencueshëm i ndryshoreve të pavarura dhe diferenciali i tij total dz është i barabartë me Le të supozojmë tani se në pikën ((,?/) funksionet »?) dhe r)) kanë derivate të pjesshëm të vazhdueshëm në lidhje me (dhe rf, dhe në derivatet pjesore korresponduese (x, y ) ekzistojne dhe jane te vazhdueshem dhe si rrjedhoje funksioni r = f(x, y) eshte i diferencueshem ne kete pike.Ne keto kushte funksioni ka derivate ne piken 17) Diferencial i një funksion kompleks Pandryshueshmëria e formës së një diferenciali Funksionet e nënkuptuara Plani tangjent dhe normal me sipërfaqen Plani tangjent i sipërfaqes Kuptimi gjeometrik i diferencialit total Normal ndaj sipërfaqes Siç mund të shihet nga formula (2), u dhe u janë të vazhdueshëm në pika ((,*?). Prandaj, funksioni në pikë është i diferencueshëm; sipas formulës së diferencialit total për një funksion të ndryshoreve të pavarura £ dhe m], kemi Zëvendësimin në anën e djathtë të barazive (3) u dhe u shprehjet e tyre nga formula (2), marrim ose që, sipas kushtit, funksionet në pikën ((,17) kanë derivate të pjesshëm të vazhdueshëm, atëherë ato janë të diferencueshme në këtë pikë dhe nga relacionet (4) dhe (5) marrim se Krahasimi i formulave (1) dhe (6) tregon se diferenciali total i funksionit z = /(z, y) shprehet me një formulë të së njëjtës formë si në rastin kur argumentet x dhe y e funksionit /(z, y) janë variabla të pavarur, dhe në rastin kur këto argumente janë, nga ana tjetër, funksione të disa ndryshoreve. Kështu, diferenciali total i një funksioni të disa ndryshoreve ka vetinë e pandryshueshmërisë së formës. Koment. Nga pandryshueshmëria e formës së diferencialit total rezulton: nëse xlnx dhe y janë funksione të diferencishme të çdo numri të fundëm ndryshoresh, atëherë formula mbetet e vlefshme. Le të kemi ekuacionin ku është një funksion i dy variablave të përcaktuar në një fushë G. në rrafshin xOy. Nëse për secilën vlerë x nga një interval i caktuar (xo - 0, xo + ^o) ekziston saktësisht një vlerë y, e cila së bashku me x plotëson ekuacionin (1), atëherë kjo përcakton funksionin y = y(x), për të cilin barazia shkruhet në mënyrë identike përgjatë x në intervalin e caktuar. Në këtë rast, ekuacioni (1) thuhet se përcakton y si një funksion të nënkuptuar të x. Me fjalë të tjera, një funksion i specifikuar nga një ekuacion që nuk zgjidhet në lidhje me y quhet funksion i nënkuptuar", bëhet i qartë nëse varësia e y nga x jepet drejtpërdrejt. Shembuj: 1. Ekuacioni përcakton vlerën y në i gjithë OcW рх si një funksion me vlerë të vetme të x: 2. Me anë të ekuacionit, madhësia y përcaktohet si një funksion me vlerë të vetme të x. Le ta ilustrojmë këtë pohim. Ekuacioni plotësohet nga një çift vlerash x = 0, y = 0. Ne do të konsiderojmë * një parametër dhe do të shqyrtojmë funksionet. Pyetja nëse për xon e zgjedhur ka një vlerë unike korresponduese të O është e tillë që çifti (plotëson ekuacionin (2) zbret në prerjen e kurbave x ay dhe një pikë të vetme. Le të ndërtojmë grafikët e tyre në xOy plani (Fig. 11) Kurba " = x + c sin y, ku x konsiderohet si parametër, fitohet nga përkthimi paralel përgjatë boshtit Ox dhe kurba z = z sin y. Është gjeometrikisht e qartë se për çdo x lakoret x = y dhe z = t + c $1py kanë një pikë të vetme të kryqëzimit "të, ordinatori i së cilës është funksion i x, i përcaktuar nga ekuacioni (2) në mënyrë implicite. Kjo varësi nuk shprehet përmes funksioneve elementare. 3. Ekuacioni për asnjë x real nuk përcakton funksionin real të argumentit x. Në të njëjtin kuptim, mund të flasim për funksione të nënkuptuara të disa ndryshoreve. Teorema e mëposhtme jep kushte të mjaftueshme për zgjidhshmërinë unike të ekuacionit = 0 (1) në lidhje me y në një lagje të një pike të caktuar (®o>Yo). Teorema 8 (ekzistenca e një funksioni të nënkuptuar). Le të plotësohen kushtet e mëposhtme: 1) funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një drejtkëndësh të caktuar me qendër. në një pikë në pikën funksioni y) kthehet në n\l, 3) në drejtkëndëshin D ekzistojnë derivate të pjesshme dhe të vazhdueshme 4) Y) Kur ndonjë numër mjaftueshëm ma/sueo pozitiv e ka një lagje të kësaj lagjeje ka një funksion i vetëm i vazhdueshëm y = f(x) (Fig. 12), i cili merr vlerën), plotëson ekuacionin \y - yol dhe e kthen ekuacionin (1) në identitet: Ky funksion është vazhdimisht i diferencueshëm në një fqinjësi të pikës Xq, dhe le të nxjerrim formulën (3) për derivatin të funksionit implicit, duke e konsideruar të provuar ekzistencën e këtij derivati. Le të jetë y = f(x) funksioni i diferencueshëm i nënkuptuar i përcaktuar nga ekuacioni (1). Pastaj në interval) ka një identitet Diferenciali i një funksioni kompleks Pandryshueshmëria e formës së një diferenciali Funksionet e nënkuptuara Plani tangjent dhe normal në një sipërfaqe Plani tangjent i një sipërfaqeje Kuptimi gjeometrik i një diferenciali të plotë Normal ndaj një sipërfaqeje për shkak të tij në këtë intervali Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks, kemi Unik në kuptimin që çdo pikë (x , y), e shtrirë në kurbë që i përket fqinjësisë së pikës (xo, yo)” ka koordinata të lidhura me ekuacionin. Pra, me y = f(x) marrim atë dhe, për rrjedhojë, Shembull. Gjeni j* nga funksioni y = y(x), i përcaktuar nga ekuacioni Në këtë rast Nga këtu, në bazë të formulës (3) Vërejtje. Teorema do të sigurojë kushte për ekzistencën e një funksioni të vetëm të nënkuptuar, grafiku i të cilit kalon nëpër një pikë të caktuar (xo, oo). e mjaftueshme, por jo e nevojshme. Në fakt, merrni parasysh ekuacionin Këtu ka derivate të pjesshëm të vazhdueshëm të barabartë me zero në pikën 0(0,0). Megjithatë, ky ekuacion ka një zgjidhje unike të barabartë me zero në Problem. Le të jepet një ekuacion - një funksion me një vlerë të vetme që plotëson ekuacionin (D). 1) Sa funksione me një vlerë të vetme (2") plotësojnë ekuacionin (!")? 2) Sa funksione të vazhdueshme me një vlerë të vetme plotësojnë ekuacionin (!") 3) Sa funksione të diferencueshme me një vlerë të vetme plotësojnë ekuacionin (!")? 4) Sa funksione të vazhdueshme me një vlerë të vetme plotësojnë "ekuacionin (1"), edhe nëse janë mjaft të vegjël? Një teoremë ekzistence e ngjashme me teoremën 8 vlen edhe në rastin e një funksioni të nënkuptuar z - z(x, y) të dy ndryshoreve, të përcaktuara nga ekuacioni Teorema 9. Le të plotësohen kushtet e mëposhtme d) funksioni & është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në domenin D në domenin D ekzistojnë derivate dhe herës të vazhdueshëm Pastaj për çdo e mjaftueshëm të vogël e > 0 ekziston një lagje Γ2 e pikës (®o»Yo)/ në të cilën ekziston një funksion unik i vazhdueshëm z - /(x , y), duke marrë një vlerë në x = x0, y = y0, duke përmbushur kushtin dhe duke e kthyer ekuacionin (4) në identitet: Në këtë rast, funksioni në domenin Q ka derivate të pjesshëm të vazhdueshëm dhe GG Le të gjejmë shprehje për këto derivate. Le të përcaktojë ekuacioni z si një funksion me vlerë të vetme dhe të diferencueshëm z = /(x, y) të ndryshoreve të pavarura xnu. Nëse zëvendësojmë funksionin f(x, y) në këtë ekuacion në vend të z, fitojmë identitetin Rrjedhimisht, derivatet totale të pjesshme në lidhje me x dhe y të funksionit y, z), ku z = /(z, y ), gjithashtu duhet të jetë e barabartë me zero. Duke diferencuar, gjejmë se ku Këto formula japin shprehje për derivatet e pjesshme të funksionit të nënkuptuar të dy ndryshoreve të pavarura. Shembull. Gjeni derivatet e pjesshme të funksionit x(r,y) të dhëna nga ekuacioni 4. Nga kjo kemi §11. Plani tangjent dhe normal me sipërfaqen 11.1. Informacion paraprak Le të kemi një sipërfaqe S të përcaktuar me ekuacionin Defined*. Një pikë M(x, y, z) e sipërfaqes (1) quhet pikë e zakonshme e kësaj sipërfaqeje nëse në pikën M ekzistojnë të tre derivatet dhe janë të vazhdueshëm, dhe të paktën njëri prej tyre është jozero. Nëse në pikën My, z) të sipërfaqes (1) të tre derivatet janë të barabartë me zero ose të paktën një prej këtyre derivateve nuk ekziston, atëherë pika M quhet pikë njëjës e sipërfaqes. Shembull. Konsideroni një kon rrethor (Fig. 13). Këtu e vetmja pikë e veçantë delikate është origjina e koordinatave 0(0,0,0): në këtë pikë derivatet e pjesshme zhduken njëkohësisht. Oriz. 13 Konsideroni një kurbë hapësinore L të përcaktuar me ekuacione parametrike. Le të kenë funksionet derivate të vazhdueshme në interval. Le të përjashtojmë nga shqyrtimi pikat singulare të lakores në të cilat Lë të jetë një pikë e zakonshme e lakores L, e përcaktuar nga vlera e parametrit to. Atëherë është vektori tangjent ndaj lakores në pikë. Plani tangjent i një sipërfaqeje Le të jepet sipërfaqja 5 nga ekuacioni. Merrni një pikë të zakonshme P në sipërfaqen S dhe vizatoni përmes saj një kurbë L të shtrirë në sipërfaqe dhe të dhënë me ekuacione parametrike. Supozoni se funksionet £(*), "/(0" C(0) kanë derivate të vazhdueshme , askund në (a)p) të cilat zhduken njëkohësisht. Sipas përkufizimit, tangjentja e lakores L në pikën P quhet tangjente me sipërfaqen 5 në këtë pikë. Nëse shprehjet ( 2) zëvendësohen në ekuacionin (1), atëherë, meqenëse kurba L shtrihet në sipërfaqen S, ekuacioni (1) shndërrohet në një identitet në lidhje me t: Diferencimi i këtij identiteti në lidhje me t, duke përdorur rregullin për diferencimin e një kompleksi funksion, marrim Shprehja në anën e majtë të (3) është prodhimi skalar i dy vektorëve: Në pikën P, vektori z është i drejtuar tangjent ndaj kurbës L në këtë pikë (Fig. 14). Sa i përket vektorit n , varet vetëm nga koordinatat e kësaj pike dhe nga lloji i funksionit ^"(x, y, z) dhe nuk varet nga lloji i kurbës që kalon në pikën P. Meqenëse P - pika e zakonshme e sipërfaqes 5, atëherë gjatësia e vektorit n është e ndryshme nga zero. Fakti që prodhimi skalar do të thotë që vektori r tangjent me kurbën L në pikën P është pingul me vektorin n në këtë pikë (Fig. 14). Këto argumente mbeten të vlefshme për çdo kurbë që kalon nëpër pikën P dhe shtrihet në sipërfaqen S. Për rrjedhojë, çdo vijë tangjente me sipërfaqen 5 në pikën P është pingul me vektorin n, dhe, për rrjedhojë, të gjitha këto drejtëza shtrihen në të njëjtin rrafsh, gjithashtu pingul me vektorin n. Përkufizim. Rrafshi në të cilin ndodhen të gjitha vijat tangjente në sipërfaqen 5 që kalojnë nëpër një pikë të caktuar të zakonshme P G 5 quhet rrafshi tangjent i sipërfaqes në pikën P (Fig. 15). Diferenciali vektorial i një funksioni kompleks Pandryshueshmëria e formës së diferencialit Funksionet e nënkuptuara Plani tangjent dhe normal me sipërfaqen Plani tangjent i sipërfaqes Kuptimi gjeometrik i diferencialit të plotë Normalja në sipërfaqe është vektori normal i rrafshit tangjent me sipërfaqen në pika P. Prej këtu marrim menjëherë ekuacionin e rrafshit tangjent në sipërfaqen ZG (në pikën e zakonshme P0 (®o, Uo" të kësaj sipërfaqeje: Nëse sipërfaqja 5 jepet me një ekuacion, atëherë duke shkruar këtë ekuacion në Nga ne marrim edhe ekuacionin e planit tangjent në pikën, do të duket kështu 11. 3. Kuptimi gjeometrik i diferencialit total Nëse e vendosim në formulën (7), atëherë ai do të marrë formën. Ana e djathtë e (8) paraqet diferencialin total të funksionit z në pikën M0(x0) yо) në plani xOy> kështu që, pra, diferenciali total i funksionit z = /(x, y) i dy ndryshoreve të pavarura x dhe y në pikën M0, që korrespondon me inkrementet Dx dhe Du të ndryshoreve dhe y, është i barabartë me rritjen z - z0 zbaton z të pikës së rrafshit tangjent të sipërfaqes 5 në pikën Z>(xo» Uo» /(, Uo)) KUR lëvizim nga pika M0(xo, Uo) në pikën - 11.4. Përkufizimi normal i sipërfaqes. Drejtëza që kalon në pikën Po(xo, y0, r0) të sipërfaqes pingul me rrafshin tangjent me sipërfaqen në pikën Po quhet normale me sipërfaqen në pikën Pq. Vektori)L është vektori drejtues i normales dhe ekuacionet e tij kanë formën Nëse sipërfaqja 5 jepet me një ekuacion, atëherë ekuacionet e normales në pikë) duken kështu: në pikën Këtu Në pikën (0, 0) këto derivate janë të barabartë me zero: dhe ekuacioni i rrafshit tangjent në pikën 0 (0,0,0) merr formën e mëposhtme: (rrafshi xOy). Ekuacionet normale

Formula për funksionin diferencial ka formën

ku është diferenciali i ndryshores së pavarur.

Le të jepet tani një funksion kompleks (i diferencuar), ku,. Më pas duke përdorur formulën për derivatin e një funksioni kompleks gjejmë

sepse .

Kështu që, , d.m.th. Formula diferenciale ka të njëjtën formë për variablin e pavarur dhe për argumentin e ndërmjetëm, i cili është një funksion i diferencueshëm i.

Kjo pronë zakonisht quhet pronë pandryshueshmëria e një formule ose e një forme diferenciale. Vini re se derivati ​​nuk e ka këtë veti.

Marrëdhënia midis vazhdimësisë dhe diferencimit.

Teorema (kusht i domosdoshëm për diferencimin e një funksioni). Nëse një funksion është i diferencueshëm në një pikë, atëherë ai është i vazhdueshëm në atë pikë.

Dëshmi. Lëreni funksionin y=f(x) të diferencueshme në pikë X 0 . Në këtë pikë i japim argumentit një rritje  X. Funksioni do të rritet  në. Le ta gjejmë.

Prandaj, y=f(x) e vazhdueshme në një pikë X 0 .

Pasoja. Nëse X 0 është pika e ndërprerjes së funksionit, atëherë funksioni në të nuk është i diferencueshëm.

E kundërta e teoremës nuk është e vërtetë. Vazhdimësia nuk nënkupton diferencim.

Diferenciale. Kuptimi gjeometrik. Zbatimi i diferencialit në llogaritjet e përafërta.

Përkufizimi

Diferenciali i funksionit quhet pjesa relative lineare e rritjes së funksionit. Është caktuar kakili. Kështu:

Komentoni

Diferenciali i një funksioni përbën pjesën më të madhe të rritjes së tij.

Komentoni

Së bashku me konceptin e një diferenciali funksioni, prezantohet koncepti i një diferenciali të argumentit. A-parësore diferenciali i argumentitështë shtimi i argumentit:

Komentoni

Formula për diferencialin e një funksioni mund të shkruhet si:

Nga këtu ne e marrim atë

Pra, kjo do të thotë që derivati ​​mund të përfaqësohet si një fraksion i zakonshëm - raporti i diferencialeve të një funksioni dhe një argumenti.

Kuptimi gjeometrik i diferencialit

Diferenciali i një funksioni në një pikë është i barabartë me shtimin e ordinatave të tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit në këtë pikë, që korrespondon me rritjen e argumentit.

Rregullat themelore të diferencimit. Derivat i një konstante, derivat i një shume.

Le të kenë funksionet derivate në një pikë. Pastaj

1. Konstante mund të hiqet nga shenja rrjedhore.

5. Konstante diferenciale e barabartë me zero.

2. Derivat i shumës/diferencës.

Derivati ​​i shumës/diferencës së dy funksioneve është i barabartë me shumën/diferencën e derivateve të secilit funksion.

Rregullat themelore të diferencimit. Derivat i produktit.

3. Derivat i produktit.

Rregullat themelore të diferencimit. Derivat i një funksioni kompleks dhe të anasjelltë.

5. Derivat i një funksioni kompleks.

Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me derivatin e këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm, shumëzuar me derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me argumentin kryesor.

Dhe ata kanë derivate në pika, përkatësisht. Pastaj

Teorema

(Rreth derivatit të funksionit të anasjelltë)

Nëse një funksion është i vazhdueshëm dhe rreptësisht monoton në një lagje të një pike dhe i diferencueshëm në këtë pikë, atëherë funksioni i anasjelltë ka një derivat në pikë, dhe .

Formulat e diferencimit. Derivat i një funksioni eksponencial.