Paano matukoy kung ang mga vector ay linearly dependent o independent. Linear dependence ng mga vectors

Linear dependence at linear independence ng mga vectors.
Batayan ng mga vector. Affine coordinate system

Mayroong isang cart na may mga tsokolate sa auditorium, at bawat bisita ngayon ay makakakuha ng isang matamis na mag-asawa - analytical geometry na may linear algebra. Tatalakayin ng artikulong ito ang dalawang seksyon ng mas mataas na matematika nang sabay-sabay, at makikita natin kung paano sila magkakasamang nabubuhay sa isang wrapper. Magpahinga, kumain ng Twix! ...damn, anong kalokohan. Although, okay, I won’t score, in the end, you should have a positive attitude towards studying.

Linear dependence ng mga vectors, linear vector pagsasarili, batayan ng mga vector at iba pang mga termino ay hindi lamang isang geometric na interpretasyon, ngunit, higit sa lahat, isang algebraic na kahulugan. Ang mismong konsepto ng "vector" mula sa punto ng view ng linear algebra ay hindi palaging ang "ordinaryong" vector na maaari nating ilarawan sa isang eroplano o sa kalawakan. Hindi mo kailangang maghanap ng malayo para sa patunay, subukang gumuhit ng vector ng limang-dimensional na espasyo . O ang weather vector, na pinuntahan ko lang sa Gismeteo para sa: temperatura at atmospheric pressure, ayon sa pagkakabanggit. Ang halimbawa, siyempre, ay hindi tama mula sa punto ng view ng mga katangian ng vector space, ngunit, gayunpaman, walang sinuman ang nagbabawal na gawing pormal ang mga parameter na ito bilang isang vector. Hininga ng taglagas...

Hindi, hindi ako magsasawa sa iyo ng teorya, mga linear vector space, ang gawain ay maintindihan mga kahulugan at teorema. Ang mga bagong termino (linear dependence, independence, linear combination, basis, atbp.) ay nalalapat sa lahat ng vectors mula sa algebraic point of view, ngunit ang mga geometric na halimbawa ay ibibigay. Kaya, ang lahat ay simple, naa-access at malinaw. Bilang karagdagan sa mga problema ng analytical geometry, isasaalang-alang din namin ang ilang karaniwang mga problema sa algebra. Upang makabisado ang materyal, ipinapayong maging pamilyar sa mga aralin Mga vector para sa mga dummies At Paano makalkula ang determinant?

Linear na pag-asa at pagsasarili ng mga vector ng eroplano.
Plane basis at affine coordinate system

Isaalang-alang natin ang eroplano ng iyong computer desk (isang mesa, bedside table, sahig, kisame, anuman ang gusto mo). Ang gawain ay binubuo ng mga sumusunod na aksyon:

1) Piliin ang batayan ng eroplano. Sa halos pagsasalita, ang isang tabletop ay may haba at lapad, kaya intuitive na kakailanganin ng dalawang vector upang mabuo ang batayan. Ang isang vector ay malinaw na hindi sapat, tatlong mga vector ay masyadong marami.

2) Batay sa napiling batayan itakda ang coordinate system(coordinate grid) upang magtalaga ng mga coordinate sa lahat ng mga bagay sa talahanayan.

Huwag magtaka, sa una ang mga paliwanag ay nasa daliri. Bukod dito, sa iyo. Mangyaring ilagay kaliwang hintuturo sa gilid ng tabletop para tumingin siya sa monitor. Ito ay magiging isang vector. Ngayon lugar kanang kalingkingan sa gilid ng talahanayan sa parehong paraan - upang ito ay nakadirekta sa screen ng monitor. Ito ay magiging isang vector. Ngumiti ka, ang galing mo! Ano ang masasabi natin tungkol sa mga vector? Mga vector ng data collinear, ibig sabihin linear ipinahayag sa bawat isa:
, well, o vice versa: , kung saan ang ilang numero ay naiiba sa zero.

Makakakita ka ng larawan ng pagkilos na ito sa klase. Mga vector para sa mga dummies, kung saan ipinaliwanag ko ang panuntunan para sa pagpaparami ng vector sa isang numero.

Itatakda ba ng iyong mga daliri ang batayan sa eroplano ng computer desk? Halatang hindi. Ang mga collinear vector ay naglalakbay nang pabalik-balik mag-isa direksyon, at ang isang eroplano ay may haba at lapad.

Ang ganitong mga vector ay tinatawag nakadepende sa linear.

Sanggunian: Ang mga salitang "linear", "linearly" ay nagpapahiwatig ng katotohanan na sa mga mathematical equation at expression ay walang mga parisukat, cubes, iba pang kapangyarihan, logarithms, sines, atbp. Mayroon lamang mga linear (1st degree) na expression at dependencies.

Dalawang vector ng eroplano nakadepende sa linear kung at kung sila ay collinear.

I-cross ang iyong mga daliri sa mesa upang mayroong anumang anggulo sa pagitan ng mga ito maliban sa 0 o 180 degrees. Dalawang vector ng eroplanolinear Hindi nakasalalay kung at kung hindi sila collinear. Kaya, nakuha ang batayan. Hindi na kailangang ikahiya na ang batayan ay naging "skewed" na may mga di-perpendicular na vector na may iba't ibang haba. Sa lalong madaling panahon makikita natin na hindi lamang isang anggulo ng 90 degrees ang angkop para sa pagtatayo nito, at hindi lamang ang mga unit vector na may pantay na haba

Anuman vector ng eroplano ang tanging paraan ay pinalawak ayon sa batayan:
, nasaan ang mga totoong numero. Tinatawag ang mga numero mga coordinate ng vector sa batayan na ito.

Sinasabi rin na vectoripinakita bilang linear na kumbinasyon mga batayan ng vector. Ibig sabihin, tinatawag ang expression pagkabulok ng vectorsa pamamagitan ng batayan o linear na kumbinasyon mga batayan ng vector.

Halimbawa, maaari nating sabihin na ang vector ay nabubulok sa isang orthonormal na batayan ng eroplano, o maaari nating sabihin na ito ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vector.

Bumalangkas tayo kahulugan ng batayan pormal na: Ang batayan ng eroplano ay tinatawag na isang pares ng linearly independent (non-collinear) vectors, , kung saan anuman ang plane vector ay isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector.

Ang isang mahalagang punto ng kahulugan ay ang katotohanan na ang mga vector ay kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Mga base – ito ay dalawang ganap na magkaibang base! Tulad ng sinasabi nila, hindi mo maaaring palitan ang maliit na daliri ng iyong kaliwang kamay sa halip na ang maliit na daliri ng iyong kanang kamay.

Naisip namin ang batayan, ngunit hindi sapat na magtakda ng coordinate grid at magtalaga ng mga coordinate sa bawat item sa iyong computer desk. Bakit hindi sapat? Ang mga vector ay libre at gumagala sa buong eroplano. Kaya paano ka magtatalaga ng mga coordinate sa mga maliliit na maruruming lugar sa mesa na natitira mula sa isang ligaw na katapusan ng linggo? Kailangan ng panimulang punto. At ang gayong palatandaan ay isang punto na pamilyar sa lahat - ang pinagmulan ng mga coordinate. Unawain natin ang coordinate system:

Magsisimula ako sa sistema ng "paaralan". Nasa panimulang aralin na Mga vector para sa mga dummies Binigyang-diin ko ang ilang pagkakaiba sa pagitan ng rectangular coordinate system at ng orthonormal na batayan. Narito ang karaniwang larawan:

Kapag pinag-uusapan nila rectangular coordinate system, kung gayon kadalasan ang ibig sabihin ng mga ito ay ang pinagmulan, mga coordinate na palakol at sukat sa kahabaan ng mga palakol. Subukang mag-type ng "rectangular coordinate system" sa isang search engine, at makikita mo na maraming source ang magsasabi sa iyo tungkol sa mga coordinate axes na pamilyar mula sa ika-5-6 na baitang at kung paano mag-plot ng mga puntos sa isang eroplano.

Sa kabilang banda, tila ang isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay maaaring ganap na tukuyin sa mga tuntunin ng isang orthonormal na batayan. At iyon ay halos totoo. Ang mga salita ay ang mga sumusunod:

pinagmulan, At orthonormal itinakda ang batayan Cartesian rectangular plane coordinate system . Iyon ay, ang rectangular coordinate system tiyak ay tinukoy ng isang solong punto at dalawang unit orthogonal vectors. Iyon ang dahilan kung bakit nakikita mo ang pagguhit na ibinigay ko sa itaas - sa mga problemang geometriko, ang parehong mga vector at coordinate axes ay madalas (ngunit hindi palaging) iginuhit.

Sa palagay ko naiintindihan ng lahat na ang paggamit ng isang punto (pinagmulan) at isang orthonormal na batayan ANUMANG PUNTO sa eroplano at ANUMANG VECTOR sa eroplano maaaring italaga ang mga coordinate. Sa makasagisag na pagsasalita, "lahat ng bagay sa isang eroplano ay maaaring bilangin."

Kailangan bang maging unit ang mga coordinate vectors? Hindi, maaari silang magkaroon ng di-zero na haba. Isaalang-alang ang isang punto at dalawang orthogonal na vector ng di-zero na haba:

Ang ganitong batayan ay tinatawag orthogonal. Ang pinagmulan ng mga coordinate na may mga vector ay tinukoy ng isang coordinate grid, at anumang punto sa eroplano, anumang vector ay may mga coordinate sa isang ibinigay na batayan. Halimbawa, o. Ang halatang abala ay ang coordinate vectors sa pangkalahatan may iba't ibang haba maliban sa pagkakaisa. Kung ang mga haba ay katumbas ng pagkakaisa, kung gayon ang karaniwang orthonormal na batayan ay nakuha.

! Tandaan : sa orthogonal na batayan, pati na rin sa ibaba sa mga base ng affine ng eroplano at espasyo, ang mga yunit sa kahabaan ng mga palakol ay isinasaalang-alang KONDISYONAL. Halimbawa, ang isang yunit sa kahabaan ng x-axis ay naglalaman ng 4 cm, ang isang yunit sa kahabaan ng ordinate axis ay naglalaman ng 2 cm. Ang impormasyong ito ay sapat na, kung kinakailangan, i-convert ang "hindi pamantayan" na mga coordinate sa "aming karaniwang sentimetro".

At ang pangalawang tanong, na talagang nasagot na, ay kung ang anggulo sa pagitan ng mga batayang vector ay dapat na katumbas ng 90 degrees? Hindi! Tulad ng sinasabi ng kahulugan, ang mga batayan ng vector ay dapat non-collinear lang. Alinsunod dito, ang anggulo ay maaaring maging anuman maliban sa 0 at 180 degrees.

Isang punto sa eroplano ang tinawag pinagmulan, At hindi collinear mga vector, , itakda affine plane coordinate system :

Minsan tinatawag ang ganitong coordinate system pahilig sistema. Bilang mga halimbawa, ang pagguhit ay nagpapakita ng mga puntos at vectors:

Tulad ng naiintindihan mo, ang sistema ng affine coordinate ay hindi gaanong maginhawa; ang mga formula para sa mga haba ng mga vector at mga segment, na tinalakay namin sa ikalawang bahagi ng aralin, ay hindi gumagana dito. Mga vector para sa mga dummies, maraming masasarap na formula na may kaugnayan sa scalar na produkto ng mga vector. Ngunit ang mga patakaran para sa pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng isang vector sa isang numero, mga formula para sa paghahati ng isang segment sa kaugnayang ito, pati na rin ang ilang iba pang mga uri ng mga problema na isasaalang-alang namin sa lalong madaling panahon ay wasto.

At ang konklusyon ay ang pinaka-maginhawang espesyal na kaso ng isang affine coordinate system ay ang Cartesian rectangular system. Iyon ang dahilan kung bakit madalas mo siyang makita, mahal ko. ...Gayunpaman, ang lahat ng bagay sa buhay na ito ay kamag-anak - maraming mga sitwasyon kung saan ang isang pahilig na anggulo (o iba pa, halimbawa, polar) sistema ng coordinate. At maaaring gusto ng mga humanoid ang mga ganitong sistema =)

Lumipat tayo sa praktikal na bahagi. Ang lahat ng mga problema sa araling ito ay may bisa kapwa para sa rectangular coordinate system at para sa pangkalahatang affine case. Walang kumplikado dito; lahat ng materyal ay naa-access kahit na sa isang mag-aaral.

Paano matukoy ang collinearity ng mga vector ng eroplano?

Tipikal na bagay. Para sa dalawang plane vectors ay collinear, ito ay kinakailangan at sapat na ang kanilang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal Sa pangkalahatan, ito ay isang coordinate-by-coordinate na nagdedetalye ng malinaw na relasyon.

Halimbawa 1

a) Suriin kung ang mga vector ay collinear .
b) Ang mga vector ba ay bumubuo ng batayan? ?

Solusyon:
a) Alamin natin kung mayroong para sa mga vectors koepisyent ng proporsyonalidad, upang ang mga pagkakapantay-pantay ay nasiyahan:

Talagang sasabihin ko sa iyo ang tungkol sa "foppish" na bersyon ng paglalapat ng panuntunang ito, na gumagana nang maayos sa pagsasanay. Ang ideya ay agad na gawin ang proporsyon at tingnan kung ito ay tama:

Gumawa tayo ng isang proporsyon mula sa mga ratios ng kaukulang mga coordinate ng mga vectors:

Paikliin natin:
, kaya ang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal, samakatuwid,

Ang relasyon ay maaaring gawing kabaligtaran; ito ay isang katumbas na opsyon:

Para sa self-test, maaari mong gamitin ang katotohanan na ang mga collinear vectors ay linearly na ipinahayag sa bawat isa. Sa kasong ito, nagaganap ang pagkakapantay-pantay . Ang kanilang bisa ay madaling ma-verify sa pamamagitan ng mga elementary operation na may mga vectors:

b) Dalawang plane vector ang bumubuo ng batayan kung hindi sila collinear (linearly independent). Sinusuri namin ang mga vector para sa collinearity . Gumawa tayo ng system:

Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , mula sa pangalawang equation ito ay sumusunod na , na nangangahulugan hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang kaukulang mga coordinate ng mga vectors ay hindi proporsyonal.

Konklusyon: ang mga vector ay linearly independent at bumubuo ng isang batayan.

Ang isang pinasimple na bersyon ng solusyon ay ganito ang hitsura:

Gumawa tayo ng isang proporsyon mula sa kaukulang mga coordinate ng mga vectors :
, na nangangahulugan na ang mga vector na ito ay linearly independent at bumubuo ng isang batayan.

Karaniwan ang opsyong ito ay hindi tinatanggihan ng mga tagasuri, ngunit may problemang lumitaw sa mga kaso kung saan ang ilang mga coordinate ay katumbas ng zero. Ganito: . O tulad nito: . O tulad nito: . Paano magtrabaho sa pamamagitan ng proporsyon dito? (sa katunayan, hindi mo maaaring hatiin sa zero). Ito ay para sa kadahilanang ito na tinawag ko ang pinasimple na solusyon na "foppish".

Sagot: a) , b) anyo.

Isang maliit na malikhaing halimbawa para sa iyong sariling solusyon:

Halimbawa 2

Sa anong halaga ng parameter ang mga vectors magiging collinear ba sila?

Sa sample na solusyon, ang parameter ay matatagpuan sa pamamagitan ng proporsyon.

Mayroong isang eleganteng algebraic na paraan upang suriin ang mga vector para sa collinearity. I-systematize natin ang ating kaalaman at idagdag ito bilang ikalimang punto:

Para sa dalawang plane vector ang mga sumusunod na pahayag ay katumbas:

2) ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan;
3) ang mga vector ay hindi collinear;

+ 5) ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito ay nonzero.

Kaugnay nito, ang mga sumusunod na kasalungat na pahayag ay katumbas:
1) ang mga vector ay linearly na umaasa;
2) ang mga vector ay hindi bumubuo ng isang batayan;
3) ang mga vector ay collinear;
4) ang mga vector ay maaaring linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng bawat isa;
+ 5) ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito ay katumbas ng zero.

Talagang, talagang umaasa ako na sa ngayon ay naiintindihan mo na ang lahat ng mga termino at pahayag na iyong nakatagpo.

Tingnan natin ang bago, ikalimang punto: dalawang vector ng eroplano ay collinear kung at kung ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng ibinigay na mga vector ay katumbas ng zero:. Upang mailapat ang tampok na ito, siyempre, kailangan mong magawa maghanap ng mga determinant.

Magdesisyon tayo Halimbawa 1 sa pangalawang paraan:

a) Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vectors :
, na nangangahulugan na ang mga vector na ito ay collinear.

b) Dalawang plane vector ang bumubuo ng batayan kung hindi sila collinear (linearly independent). Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng vector :
, na nangangahulugan na ang mga vector ay linearly independent at bumubuo ng isang batayan.

Sagot: a) , b) anyo.

Mukhang mas compact at mas maganda kaysa sa isang solusyon na may mga proporsyon.

Sa tulong ng materyal na isinasaalang-alang, posible na maitaguyod hindi lamang ang collinearity ng mga vectors, kundi pati na rin upang patunayan ang parallelism ng mga segment at tuwid na linya. Isaalang-alang natin ang ilang problema sa mga partikular na geometric na hugis.

Halimbawa 3

Ang mga vertices ng isang quadrilateral ay ibinibigay. Patunayan na ang quadrilateral ay isang paralelogram.

Patunay: Hindi na kailangang gumawa ng guhit sa problema, dahil ang solusyon ay puro analytical. Tandaan natin ang kahulugan ng paralelogram:
Paralelogram Ang isang may apat na gilid na ang magkabilang panig ay parallel sa mga pares ay tinatawag.

Kaya, ito ay kinakailangan upang patunayan:
1) paralelismo ng magkabilang panig at;
2) paralelismo ng magkabilang panig at.

Patunayan namin:

1) Hanapin ang mga vector:

2) Hanapin ang mga vectors:

Ang resulta ay ang parehong vector ("ayon sa paaralan" - pantay na mga vector). Ang collinearity ay medyo halata, ngunit mas mahusay na gawing pormal ang desisyon nang malinaw, na may pag-aayos. Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng vector:
, na nangangahulugan na ang mga vector na ito ay collinear, at .

Konklusyon: Ang magkasalungat na panig ng isang may apat na gilid ay magkatulad sa mga pares, na nangangahulugang ito ay isang paralelogram sa pamamagitan ng kahulugan. Q.E.D.

Higit pang mahusay at iba't ibang mga figure:

Halimbawa 4

Ang mga vertices ng isang quadrilateral ay ibinibigay. Patunayan na ang quadrilateral ay isang trapezoid.

Para sa isang mas mahigpit na pagbabalangkas ng patunay, ito ay mas mahusay, siyempre, upang makuha ang kahulugan ng isang trapezoid, ngunit ito ay sapat na upang matandaan lamang kung ano ang hitsura nito.

Ito ay isang gawain para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Buong solusyon sa pagtatapos ng aralin.

At ngayon ay oras na upang dahan-dahang lumipat mula sa eroplano patungo sa kalawakan:

Paano matukoy ang collinearity ng mga vector ng espasyo?

Ang panuntunan ay halos magkatulad. Upang ang dalawang space vector ay maging collinear, kinakailangan at sapat na ang kanilang kaukulang mga coordinate ay proporsyonal..

Halimbawa 5

Alamin kung ang mga sumusunod na space vector ay collinear:

A);
b)
V)

Solusyon:
a) Suriin natin kung mayroong isang koepisyent ng proporsyonalidad para sa kaukulang mga coordinate ng mga vectors:

Ang sistema ay walang solusyon, na nangangahulugan na ang mga vector ay hindi collinear.

Ang "Simplified" ay ginawang pormal sa pamamagitan ng pagsuri sa proporsyon. Sa kasong ito:
– ang kaukulang mga coordinate ay hindi proporsyonal, na nangangahulugan na ang mga vector ay hindi collinear.

Sagot: ang mga vector ay hindi collinear.

b-c) Ito ay mga punto para sa malayang desisyon. Subukan ito sa dalawang paraan.

Mayroong isang paraan para sa pagsuri ng mga spatial vector para sa collinearity sa pamamagitan ng isang third-order determinant; ang paraang ito ay sakop sa artikulo Vector na produkto ng mga vector.

Katulad ng kaso ng eroplano, ang mga itinuturing na tool ay maaaring gamitin upang pag-aralan ang parallelism ng spatial na mga segment at tuwid na linya.

Maligayang pagdating sa pangalawang seksyon:

Linear dependence at independence ng mga vectors sa three-dimensional na espasyo.
Spatial na batayan at affine coordinate system

Marami sa mga pattern na aming napagmasdan sa eroplano ay magiging wasto para sa espasyo. Sinubukan kong i-minimize ang mga tala ng teorya, dahil ang malaking bahagi ng impormasyon ay na-chewed na. Gayunpaman, inirerekumenda kong basahin mong mabuti ang panimulang bahagi, dahil lalabas ang mga bagong termino at konsepto.

Ngayon, sa halip na ang eroplano ng computer desk, ginalugad namin ang three-dimensional na espasyo. Una, gawin natin ang batayan nito. May nasa loob na ngayon, may nasa labas, ngunit sa anumang kaso, hindi natin matatakasan ang tatlong dimensyon: lapad, haba at taas. Samakatuwid, upang makabuo ng isang batayan, tatlong spatial vectors ang kakailanganin. Ang isa o dalawang vector ay hindi sapat, ang ikaapat ay labis.

At muli kaming nagpainit sa aming mga daliri. Mangyaring itaas ang iyong kamay at ikalat ito sa iba't ibang direksyon hinlalaki, hintuturo at gitnang daliri. Ang mga ito ay magiging mga vector, tumingin sila sa iba't ibang direksyon, may iba't ibang haba at may iba't ibang anggulo sa pagitan nila. Binabati kita, ang batayan ng tatlong-dimensional na espasyo ay handa na! Oo nga pala, hindi na kailangang ipakita ito sa mga guro, gaano man kahirap ang iyong mga daliri, ngunit walang pagtakas sa mga kahulugan =)

Susunod, tanungin natin ang ating sarili ng isang mahalagang tanong: ang anumang tatlong vector ay bumubuo ng batayan ng tatlong-dimensional na espasyo? Mangyaring pindutin nang mahigpit ang tatlong daliri sa tuktok ng computer desk. Anong nangyari? Tatlong mga vector ang matatagpuan sa parehong eroplano, at, halos nagsasalita, nawala namin ang isa sa mga sukat - taas. Ang ganitong mga vector ay coplanar at, ito ay lubos na halata na ang batayan ng tatlong-dimensional na espasyo ay hindi nilikha.

Dapat pansinin na ang mga coplanar vectors ay hindi kailangang magsinungaling sa parehong eroplano, maaari silang magkatulad na mga eroplano (huwag lang gawin ito sa iyong mga daliri, si Salvador Dali lang ang gumawa nito =)).

Kahulugan: tinatawag na mga vector coplanar, kung mayroong isang eroplano kung saan sila ay parallel. Ito ay lohikal na idagdag dito na kung ang naturang eroplano ay hindi umiiral, kung gayon ang mga vector ay hindi magiging coplanar.

Ang tatlong coplanar vector ay palaging nakadepende sa linear, iyon ay, ang mga ito ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng bawat isa. Para sa pagiging simple, muli nating isipin na nakahiga sila sa parehong eroplano. Una, ang mga vector ay hindi lamang coplanar, maaari rin silang maging collinear, kung gayon ang anumang vector ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng anumang vector. Sa pangalawang kaso, kung, halimbawa, ang mga vector ay hindi collinear, kung gayon ang ikatlong vector ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito sa isang natatanging paraan: (at bakit madaling hulaan mula sa mga materyales sa nakaraang seksyon).

Totoo rin ang kabaligtaran: tatlong non-coplanar vectors ay palaging linearly independent, ibig sabihin, hindi sila ipinahayag sa bawat isa. At, malinaw naman, ang gayong mga vector lamang ang maaaring maging batayan ng tatlong-dimensional na espasyo.

Kahulugan: Ang batayan ng tatlong-dimensional na espasyo ay tinatawag na isang triple ng linearly independent (non-coplanar) vectors, kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, at anumang vector ng espasyo ang tanging paraan ay decomposed sa isang naibigay na batayan, kung saan ay ang mga coordinate ng vector sa batayan na ito

Hayaan akong ipaalala sa iyo na maaari din nating sabihin na ang vector ay kinakatawan sa form linear na kumbinasyon mga batayan ng vector.

Ang konsepto ng isang sistema ng coordinate ay ipinakilala sa eksaktong parehong paraan tulad ng para sa kaso ng eroplano; sapat na ang isang punto at anumang tatlong linearly independent vectors:

pinagmulan, At hindi koplanar mga vector, kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, itakda affine coordinate system ng three-dimensional na espasyo :

Siyempre, ang coordinate grid ay "pahilig" at hindi maginhawa, ngunit, gayunpaman, ang itinayong sistema ng coordinate ay nagpapahintulot sa amin tiyak tukuyin ang mga coordinate ng anumang vector at ang mga coordinate ng anumang punto sa espasyo. Katulad ng isang eroplano, ang ilang mga formula na nabanggit ko na ay hindi gagana sa affine coordinate system ng espasyo.

Ang pinakapamilyar at maginhawang espesyal na kaso ng isang affine coordinate system, gaya ng hula ng lahat, ay rectangular space coordinate system:

Isang punto sa espasyo na tinatawag pinagmulan, At orthonormal itinakda ang batayan Cartesian rectangular space coordinate system . Pamilyar na larawan:

Bago lumipat sa mga praktikal na gawain, muli nating i-systematize ang impormasyon:

Para sa tatlong space vector ang mga sumusunod na pahayag ay katumbas:
1) ang mga vectors ay linearly independent;
2) ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan;
3) ang mga vector ay hindi coplanar;
4) ang mga vector ay hindi maaaring linearly na ipahayag sa pamamagitan ng bawat isa;
5) ang determinant, na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito, ay iba sa zero.

Sa tingin ko ang kabaligtaran na mga pahayag ay naiintindihan.

Ang linear dependence/independence ng mga space vector ay tradisyonal na sinusuri gamit ang isang determinant (punto 5). Ang natitirang mga praktikal na gawain ay magiging isang binibigkas na likas na algebraic. Oras na para ibaba ang geometry stick at gamitin ang baseball bat ng linear algebra:

Tatlong vector ng espasyo ay coplanar kung at kung ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng ibinigay na mga vector ay katumbas ng zero: .

Nais kong iguhit ang iyong pansin sa isang maliit na teknikal na nuance: ang mga coordinate ng mga vector ay maaaring isulat hindi lamang sa mga haligi, kundi pati na rin sa mga hilera (ang halaga ng determinant ay hindi magbabago dahil dito - tingnan ang mga katangian ng mga determinant). Ngunit ito ay mas mahusay sa mga haligi, dahil ito ay mas kapaki-pakinabang para sa paglutas ng ilang mga praktikal na problema.

Para sa mga mambabasa na medyo nakalimutan ang mga paraan ng pagkalkula ng mga determinant, o marahil ay may kaunting pag-unawa sa mga ito, inirerekomenda ko ang isa sa aking mga pinakalumang aralin: Paano makalkula ang determinant?

Halimbawa 6

Suriin kung ang mga sumusunod na vector ay bumubuo ng batayan ng tatlong-dimensional na espasyo:

Solusyon: Sa katunayan, ang buong solusyon ay bumababa sa pagkalkula ng determinant.

a) Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga vector coordinates (ang determinant ay ipinahayag sa unang linya):

, na nangangahulugan na ang mga vector ay linearly independent (hindi coplanar) at bumubuo ng batayan ng three-dimensional na espasyo.

Sagot: ang mga vector na ito ay bumubuo ng isang batayan

b) Ito ay isang punto para sa malayang desisyon. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Mayroon ding mga malikhaing gawain:

Halimbawa 7

Sa anong halaga ng parameter magiging coplanar ang mga vector?

Solusyon: Ang mga vector ay coplanar kung at kung ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito ay katumbas ng zero:

Mahalaga, kailangan mong lutasin ang isang equation na may determinant. Bumababa kami sa mga zero tulad ng mga saranggola sa jerboas - pinakamahusay na buksan ang determinant sa pangalawang linya at agad na alisin ang mga minus:

Nagsasagawa kami ng mga karagdagang pagpapasimple at binabawasan ang bagay sa pinakasimpleng linear equation:

Sagot: sa

Madaling suriin dito; para magawa ito, kailangan mong palitan ang resultang halaga sa orihinal na determinant at tiyakin na , muling binuksan ito.

Sa konklusyon, isasaalang-alang namin ang isa pang tipikal na problema, na mas algebraic sa kalikasan at tradisyonal na kasama sa isang linear na kurso ng algebra. Ito ay karaniwan na nararapat sa sarili nitong paksa:

Patunayan na ang 3 vector ay bumubuo ng batayan ng three-dimensional na espasyo
at hanapin ang mga coordinate ng ika-4 na vector sa batayan na ito

Halimbawa 8

Ibinibigay ang mga vector. Ipakita na ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan sa tatlong-dimensional na espasyo at hanapin ang mga coordinate ng vector sa batayan na ito.

Solusyon: Una, harapin natin ang kundisyon. Sa pamamagitan ng kundisyon, apat na vector ang ibinibigay, at, tulad ng nakikita mo, mayroon na silang mga coordinate sa ilang batayan. Kung ano ang batayan na ito ay hindi interesado sa amin. At ang sumusunod na bagay ay interesado: tatlong vectors ay maaaring bumuo ng isang bagong batayan. At ang unang yugto ay ganap na nag-tutugma sa solusyon ng Halimbawa 6; ito ay kinakailangan upang suriin kung ang mga vector ay tunay na linearly independent:

Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng vector:

, na nangangahulugan na ang mga vector ay linearly independent at bumubuo ng batayan ng three-dimensional na espasyo.

! Mahalaga : mga coordinate ng vector Kailangan isulat sa mga hanay determinant, hindi sa mga string. Kung hindi, magkakaroon ng kalituhan sa karagdagang algorithm ng solusyon.

Ang sistema ng vector ay tinatawag nakadepende sa linear, kung mayroong mga numero kung saan hindi bababa sa isa ang naiiba sa zero, upang ang pagkakapantay-pantay https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay nasiyahan lamang sa kaso kapag lahat , kung gayon ang sistema ng mga vector ay tinatawag linearly independent.

Teorama. Ang sistema ng vector ay nakadepende sa linear kung at kung hindi bababa sa isa sa mga vectors nito ay isang linear na kumbinasyon ng iba.

Halimbawa 1. Polinomyal ay isang linear na kumbinasyon ng mga polynomial https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Ang mga polynomial ay bumubuo ng isang linearly independent system, dahil ang polynomial https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Halimbawa 2. Ang matrix system, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> ay linearly independent, dahil ang isang linear na kumbinasyon ay katumbas ng zero matrix lamang sa kaso kapag https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linearly dependent.

Solusyon.

Gumawa tayo ng linear na kumbinasyon ng mga vector na ito https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" taas=" 22">.

Pag-equate ng parehong mga coordinate ng pantay na mga vector, nakukuha namin ang https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Sa wakas nakuha namin

At

Ang system ay may isang natatanging trivial na solusyon, kaya ang isang linear na kumbinasyon ng mga vector na ito ay katumbas ng zero lamang sa kaso kapag ang lahat ng mga coefficient ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang sistemang ito ng mga vectors ay linearly independent.

Halimbawa 4. Ang mga vector ay linearly independent. Ano ang magiging hitsura ng mga vector system?

a).;

b).?

Solusyon.

a). Gumawa tayo ng linear na kumbinasyon at i-equate ito sa zero

Gamit ang mga katangian ng mga pagpapatakbo na may mga vector sa linear na espasyo, muling isinusulat namin ang huling pagkakapantay-pantay sa anyo

Dahil ang mga vector ay linearly independent, ang mga coefficient sa ay dapat na katumbas ng zero, ibig sabihin..gif" width="12" height="23 src=">

Ang nagresultang sistema ng mga equation ay may kakaibang walang kuwentang solusyon .

Dahil pagkakapantay-pantay (*) naisakatuparan lamang kapag https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linearly independent;

b). Gumawa tayo ng pagkakapantay-pantay https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Paglalapat ng katulad na pangangatwiran, nakukuha namin

Ang paglutas ng sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss, nakuha namin

o

Ang huling sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Kaya, mayroong hindi- zero set ng coefficients kung saan mayroong pagkakapantay-pantay (**) . Samakatuwid, ang sistema ng mga vectors – linearly dependent.

Halimbawa 5 Ang sistema ng mga vector ay linearly independent, at ang isang sistema ng mga vector ay linearly dependent..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Sa pagkakapantay-pantay (***) . Sa katunayan, sa , ang system ay magiging linearly dependent.

Mula sa relasyon (***) nakukuha namin o Tukuyin natin .

Nakukuha namin

Mga problema para sa independiyenteng solusyon (sa silid-aralan)

1. Ang isang sistema na naglalaman ng isang zero vector ay linearly dependent.

2. System na binubuo ng isang vector A, ay linearly dependent kung at kung, a=0.

3. Ang isang sistema na binubuo ng dalawang vectors ay linearly dependent kung at kung proporsyonal lang ang mga vectors (iyon ay, ang isa sa mga ito ay nakuha mula sa isa sa pamamagitan ng pagpaparami ng isang numero).

4. Kung nagdagdag ka ng vector sa isang linearly dependent system, makakakuha ka ng linearly dependent system.

5. Kung ang isang vector ay tinanggal mula sa isang linearly independent system, ang resultang sistema ng mga vectors ay linearly independent.

6. Kung ang sistema S ay linearly independent, ngunit nagiging linearly dependent kapag nagdaragdag ng vector b, pagkatapos ay ang vector b linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng system vectors S.

c). System of matrices , , sa espasyo ng second-order matrices.

10. Hayaan ang sistema ng mga vectors a,b,c Ang vector space ay linearly independent. Patunayan ang linear na kalayaan ng mga sumusunod na vector system:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– arbitrary na numero

c).a+b, a+c, b+c.

11. Hayaan a,b,c– tatlong vector sa eroplano kung saan maaaring mabuo ang isang tatsulok. Magiging linearly dependent ba ang mga vector na ito?

12. Dalawang vector ang ibinigay a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Maghanap ng dalawa pang four-dimensional na vector a3 ata4 upang ang sistema a1,a2,a3,a4 ay linearly independent .

Sa artikulong ito tatalakayin natin ang:

• ano ang mga collinear vectors;
• ano ang mga kondisyon para sa collinearity ng mga vectors;
• anong mga katangian ng collinear vectors ang umiiral;
• ano ang linear dependence ng collinear vectors.

Ang mga collinear vector ay mga vector na kahanay sa isang linya o nakahiga sa isang linya.

Halimbawa 1

Mga kondisyon para sa collinearity ng mga vectors

Ang dalawang vector ay collinear kung ang alinman sa mga sumusunod na kundisyon ay totoo:

• kondisyon 1 . Ang mga vectors a at b ay collinear kung mayroong numerong λ na ang a = λ b;
• kondisyon 2 . Ang mga vectors a at b ay collinear na may pantay na coordinate ratios:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• kondisyon 3 . Ang mga vector a at b ay collinear sa kondisyon na ang cross product at ang zero vector ay pantay:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Tandaan 1

Kondisyon 2 hindi naaangkop kung ang isa sa mga coordinate ng vector ay zero.

Tandaan 2

Kondisyon 3 nalalapat lamang sa mga vector na tinukoy sa espasyo.

Mga halimbawa ng mga problema upang pag-aralan ang collinearity ng mga vectors

Sinusuri namin ang mga vectors a = (1; 3) at b = (2; 1) para sa collinearity.

Paano malutas?

Sa kasong ito, kinakailangang gamitin ang 2nd collinearity condition. Para sa mga binigay na vector, ganito ang hitsura:

Mali ang pagkakapantay-pantay. Mula dito maaari nating tapusin na ang mga vectors a at b ay hindi collinear.

Sagot : isang | | b

Halimbawa 2

Anong value m ng vector a = (1; 2) at b = (- 1; m) ang kailangan para maging collinear ang mga vectors?

Paano malutas?

Gamit ang pangalawang kondisyon ng collinearity, ang mga vector ay magiging collinear kung ang kanilang mga coordinate ay proporsyonal:

Ipinapakita nito na ang m = - 2.

Sagot: m = - 2 .

Pamantayan para sa linear dependence at linear independence ng mga vector system

Ang isang sistema ng mga vector sa isang vector space ay linearly dependent lamang kung ang isa sa mga vectors ng system ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng natitirang mga vectors ng system na ito.

Patunay

Hayaan ang sistema e 1 , e 2 , . . . , e n ay linearly dependent. Sumulat tayo ng linear na kumbinasyon ng sistemang ito na katumbas ng zero vector:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

kung saan hindi bababa sa isa sa mga coefficient ng kumbinasyon ay hindi katumbas ng zero.

Hayaan ang isang k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Hinahati namin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa isang non-zero coefficient:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Tukuyin natin:

A k - 1 a m , kung saan m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Sa kasong ito:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

o e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Kasunod nito na ang isa sa mga vector ng system ay ipinahayag sa pamamagitan ng lahat ng iba pang mga vector ng system. Alin ang kailangang patunayan (atbp.).

Kasapatan

Hayaang ang isa sa mga vector ay linearly na ipahayag sa pamamagitan ng lahat ng iba pang mga vector ng system:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Inilipat namin ang vector e k sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Dahil ang koepisyent ng vector e k ay katumbas ng - 1 ≠ 0, nakakakuha tayo ng di-trivial na representasyon ng zero sa pamamagitan ng isang sistema ng mga vectors e 1, e 2, . . . , e n , at ito naman, ay nangangahulugan na ang sistemang ito ng mga vector ay linearly na umaasa. Alin ang kailangang patunayan (atbp.).

Bunga:

• Ang isang sistema ng mga vector ay linearly na independyente kapag wala sa mga vector nito ang maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng lahat ng iba pang mga vector ng system.
• Ang isang sistema ng mga vector na naglalaman ng zero vector o dalawang magkaparehong vector ay linearly dependent.

Mga katangian ng linearly dependent vectors

1. Para sa 2- at 3-dimensional na mga vector, ang sumusunod na kundisyon ay natutugunan: dalawang linearly dependent na vector ay collinear. Dalawang collinear vectors ay linearly dependent.
2. Para sa mga 3-dimensional na vector, ang sumusunod na kundisyon ay nasiyahan: tatlong linearly dependent na vector ay coplanar. (3 coplanar vectors ay linearly dependent).
3. Para sa n-dimensional vectors, ang sumusunod na kundisyon ay nasiyahan: n + 1 vectors ay palaging linearly dependent.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema na kinasasangkutan ng linear dependence o linear independence ng mga vectors

Suriin natin ang mga vectors a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 para sa linear na kalayaan.

Solusyon. Ang mga vector ay linearly dependent dahil ang dimensyon ng mga vector ay mas mababa sa bilang ng mga vector.

Halimbawa 4

Suriin natin ang mga vectors a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 para sa linear na kalayaan.

Solusyon. Nahanap namin ang mga halaga ng mga coefficient kung saan ang linear na kumbinasyon ay katumbas ng zero vector:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Isinulat namin ang vector equation sa linear form:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Nire-solve namin ang system na ito gamit ang Gauss method:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Mula sa ika-2 linya ay ibawas namin ang ika-1, mula sa ika-3 - ang ika-1:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Mula sa unang linya ay ibawas namin ang ika-2, hanggang sa ika-3 idinagdag namin ang ika-2:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Mula sa solusyon ay sumusunod na ang sistema ay may maraming mga solusyon. Nangangahulugan ito na mayroong isang non-zero na kumbinasyon ng mga halaga ng naturang mga numero x 1, x 2, x 3 kung saan ang linear na kumbinasyon ng a, b, c ay katumbas ng zero vector. Samakatuwid, ang mga vectors a, b, c ay nakadepende sa linear. ​​​​​​​

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Hayaan L ay isang arbitraryong linear na espasyo, a i Î L,- mga elemento nito (mga vector).

Kahulugan 3.3.1. Pagpapahayag , Saan , - arbitrary na tunay na mga numero, na tinatawag na linear na kumbinasyon mga vector a 1 , a 2 ,…, a n.

Kung ang vector R = , tapos sinasabi nila yan R nabulok sa mga vector a 1 , a 2 ,…, a n.

Kahulugan 3.3.2. Ang isang linear na kumbinasyon ng mga vector ay tinatawag hindi mahalaga, kung sa mga numero ay mayroong hindi bababa sa isang hindi zero. Kung hindi, ang linear na kumbinasyon ay tinatawag walang kuwenta.

Kahulugan 3.3.3 . Vectors a 1 , a 2 ,…, a n ay tinatawag na linearly dependent kung mayroong isang nontrivial linear na kumbinasyon ng mga ito na ganoon

= 0 .

Kahulugan 3.3.4. Mga Vector a 1 ,a 2 ,…, a n ay tinatawag na linearly independent kung ang pagkakapantay-pantay = 0 ay posible lamang sa kaso kapag ang lahat ng mga numero l 1, l 2,…, l n ay sabay-sabay na katumbas ng zero.

Tandaan na ang anumang hindi zero na elemento a 1 ay maaaring ituring bilang isang linearly independent system, dahil ang pagkakapantay-pantay l a 1 = 0 posible lamang kung l= 0.

Teorama 3.3.1. Isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa linear dependence a 1 , a 2 ,…, a n ay ang posibilidad na mabulok ang kahit isa sa mga elementong ito sa iba.

Patunay. Pangangailangan. Hayaan ang mga elemento a 1 , a 2 ,…, a n nakadepende sa linear. Ibig sabihin nito ay = 0 , at kahit isa sa mga numero l 1, l 2,…, l n iba sa zero. Hayaan para sa katiyakan l 1 ¹ 0. Pagkatapos

i.e. ang elemento a 1 ay nabubulok sa mga elementong a 2 , a 3 , …, a n.

Kasapatan. Hayaang mabulok ang elemento a 1 sa mga elementong a 2 , a 3 , …, a n, ibig sabihin, a 1 = . Pagkatapos = 0 , samakatuwid, mayroong isang non-trivial linear na kumbinasyon ng mga vectors a 1 , a 2 ,…, a n, katumbas 0 , kaya linearly dependent ang mga ito .

Teorama 3.3.2. Kung hindi bababa sa isa sa mga elemento a 1 , a 2 ,…, a n zero, kung gayon ang mga vector na ito ay linearly dependent.

Patunay . Hayaan a n= 0 , pagkatapos = 0 , na nangangahulugan ng linear dependence ng mga elementong ito.

Teorama 3.3.3. Kung sa mga n vector ay anumang p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Patunay. Hayaan, para sa katiyakan, ang mga elemento a 1 , a 2 ,…, a p nakadepende sa linear. Nangangahulugan ito na mayroong isang non-trivial linear na kumbinasyon na ganoon = 0 . Ang tinukoy na pagkakapantay-pantay ay mapapanatili kung idaragdag natin ang elemento sa parehong bahagi nito. Pagkatapos + = 0 , at kahit isa sa mga numero l 1, l 2,…, lp iba sa zero. Samakatuwid, ang mga vectors a 1 , a 2 ,…, a n ay linearly dependent.

Corollary 3.3.1. Kung ang n mga elemento ay linearly independent, kung gayon ang alinman sa k sa kanila ay linearly independent (k< n).

Teorama 3.3.4. Kung ang mga vectors a 1 , a 2 ,…, a n- 1 ay linearly independent, at ang mga elemento a 1 , a 2 ,…, a n- 1,a n ay linearly umaasa, pagkatapos ay ang vector a n ay maaaring mapalawak sa mga vectors a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Patunay. Dahil sa pamamagitan ng kondisyon a 1 , a 2 ,…, a n- 1,a n ay linearly dependent, at pagkatapos ay mayroong isang nontrivial linear na kumbinasyon ng mga ito = 0 , at (kung hindi, ang mga vectors a 1 , a 2 ,…, a ay lalabas na linearly dependent n- 1). Ngunit pagkatapos ay ang vector

Q.E.D.

Sa madaling salita, ang linear dependence ng isang pangkat ng mga vector ay nangangahulugan na mayroong isang vector sa kanila na maaaring katawanin ng isang linear na kumbinasyon ng iba pang mga vector sa pangkat na ito.

Sabihin nating. Pagkatapos

Samakatuwid ang vector x linearly dependent ng mga vectors ng pangkat na ito.

Mga vector x, y, ..., z ay tinatawag na linear independiyenteng mga vector, kung ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay (0) na

α=β= ...= γ=0.

Iyon ay, ang mga pangkat ng mga vector ay linearly na independyente kung walang vector ang maaaring katawanin ng isang linear na kumbinasyon ng iba pang mga vector sa pangkat na ito.

Pagpapasiya ng linear dependence ng mga vectors

Hayaang maibigay ang m string vectors ng order n:

Ang pagkakaroon ng Gaussian exception, binabawasan namin ang matrix (2) sa upper triangular form. Ang mga elemento ng huling column ay nagbabago lamang kapag ang mga row ay muling inayos. Pagkatapos ng mga hakbang sa pag-aalis nakukuha namin:

saan i 1 , i 2 , ..., i m - row index na nakuha sa pamamagitan ng posibleng permutation ng mga row. Isinasaalang-alang ang mga resultang row mula sa row index, ibubukod namin ang mga tumutugma sa zero row vector. Ang natitirang mga linya ay bumubuo ng mga linearly independent vectors. Tandaan na kapag bumubuo ng matrix (2), sa pamamagitan ng pagbabago ng pagkakasunud-sunod ng mga row vector, maaari kang makakuha ng isa pang pangkat ng mga linearly independent vectors. Ngunit ang subspace na nabuo ng parehong mga grupo ng mga vectors ay nag-tutugma.