Isulat ang theorem tungkol sa pagbabago ng momentum. Dynamics ng relatibong paggalaw
Tingnan: ang artikulong ito ay nabasa nang 14066 beses
Pdf Pumili ng wika... Russian Ukrainian English
Maikling pagsusuri
Ang buong materyal ay dina-download sa itaas, pagkatapos piliin ang wika
Dami ng paggalaw
Momentum ng isang materyal na punto - isang dami ng vector na katumbas ng produkto ng mass ng isang punto at ang velocity vector nito.
Ang yunit ng pagsukat para sa momentum ay (kg m/s).
Ang momentum ng mekanikal na sistema - isang dami ng vector na katumbas ng geometric sum (pangunahing vector) ng momentum ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng produkto ng masa ng buong sistema at ang bilis ng sentro ng masa nito.
Kapag ang isang katawan (o sistema) ay gumagalaw upang ang sentro ng masa nito ay nakatigil, kung gayon ang dami ng paggalaw ng katawan ay katumbas ng zero (halimbawa, pag-ikot ng katawan sa paligid ng isang nakapirming axis na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan ).
Sa kaso ng kumplikadong paggalaw, ang dami ng paggalaw ng system ay hindi mailalarawan ang umiikot na bahagi ng paggalaw kapag umiikot sa gitna ng masa. Iyon ay, ang dami ng paggalaw ay nagpapakilala lamang sa translational motion ng system (kasama ang sentro ng masa).
Puwersa ng salpok
Ang salpok ng isang puwersa ay nagpapakilala sa pagkilos ng isang puwersa sa isang tiyak na tagal ng panahon.
Puwersahin ang salpok sa loob ng isang takdang panahon ay tinukoy bilang integral na kabuuan ng kaukulang elementarya na impulses.
Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto
(sa differential forms e ):
Ang derivative ng oras ng momentum ng isang materyal na punto ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga puwersang kumikilos sa mga punto.
(V integral na anyo ):
Ang pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga impulses ng mga puwersa na inilapat sa punto sa panahong ito.
Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema
(sa differential form ):
Ang derivative ng oras ng momentum ng system ay katumbas ng geometric na kabuuan ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system.
(sa integral form ):
Ang pagbabago sa momentum ng isang sistema sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga impulses ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema sa panahong ito.
Ang teorama ay nagpapahintulot sa isa na ibukod ang malinaw na hindi kilalang mga panloob na pwersa mula sa pagsasaalang-alang.
Ang theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema at ang theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ay dalawang magkaibang anyo ng parehong teorama.
Batas ng konserbasyon ng momentum ng isang sistema
- Kung ang kabuuan ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system ay katumbas ng zero, kung gayon ang vector ng momentum ng system ay magiging pare-pareho sa direksyon at magnitude.
- Kung ang kabuuan ng mga projection ng lahat ng kumikilos na panlabas na pwersa sa anumang arbitrary axis ay katumbas ng zero, kung gayon ang projection ng momentum sa axis na ito ay isang pare-parehong halaga.
mga konklusyon:
- Ang mga batas sa konserbasyon ay nagpapahiwatig na ang mga panloob na puwersa ay hindi maaaring baguhin ang kabuuang dami ng paggalaw ng system.
- Ang theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema ay hindi nagpapakilala sa rotational motion ng isang mekanikal na sistema, ngunit ang translational lamang.
Ang isang halimbawa ay ibinigay: Tukuyin ang momentum ng isang disk ng isang tiyak na masa kung ang angular velocity at laki nito ay kilala.
Halimbawa ng pagkalkula ng isang spur gear
Isang halimbawa ng pagkalkula ng spur gear. Ang pagpili ng materyal, pagkalkula ng mga pinahihintulutang stress, pagkalkula ng contact at baluktot na lakas ay natupad.
Isang halimbawa ng paglutas ng problema sa beam bending
Sa halimbawa, ang mga diagram ng transverse forces at mga baluktot na sandali ay itinayo, isang mapanganib na seksyon ang natagpuan at isang I-beam ang napili. Sinuri ng problema ang pagbuo ng mga diagram gamit ang differential dependencies at nagsagawa ng comparative analysis ng iba't ibang cross section ng beam.
Isang halimbawa ng paglutas ng problema sa shaft torsion
Ang gawain ay upang subukan ang lakas ng isang bakal na baras sa isang ibinigay na diameter, materyal at pinahihintulutang stress. Sa panahon ng solusyon, ang mga diagram ng torques, shear stresses at twist angles ay itinayo. Ang sariling timbang ng baras ay hindi isinasaalang-alang
Isang halimbawa ng paglutas ng problema ng tension-compression ng isang baras
Ang gawain ay upang subukan ang lakas ng isang bakal na baras sa tinukoy na pinahihintulutang mga stress. Sa panahon ng solusyon, ang mga diagram ng mga longitudinal na pwersa, normal na mga stress at displacements ay itinayo. Ang sariling timbang ng pamalo ay hindi isinasaalang-alang
Application ng theorem sa konserbasyon ng kinetic energy
Isang halimbawa ng paglutas ng problema gamit ang theorem sa konserbasyon ng kinetic energy ng isang mekanikal na sistema
Pagtukoy sa bilis at acceleration ng isang punto gamit ang mga ibinigay na equation ng paggalaw
Isang halimbawa ng paglutas ng isang problema upang matukoy ang bilis at acceleration ng isang punto gamit ang mga ibinigay na equation ng paggalaw
Pagpapasiya ng mga bilis at acceleration ng mga punto ng isang matibay na katawan sa panahon ng plane-parallel motion
Isang halimbawa ng paglutas ng problema upang matukoy ang mga bilis at acceleration ng mga punto ng isang matibay na katawan sa panahon ng plane-parallel motion
Pagpapasiya ng mga puwersa sa mga bar ng isang flat truss
Isang halimbawa ng paglutas ng problema sa pagtukoy ng mga puwersa sa mga baras ng isang flat truss gamit ang paraan ng Ritter at ang paraan ng pagputol ng mga node
Application ng theorem sa pagbabago sa angular momentum
Isang halimbawa ng paglutas ng problema gamit ang theorem sa pagbabago sa kinetic momentum upang matukoy ang angular velocity ng isang katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis.
Differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto sa ilalim ng impluwensya ng puwersa F ay maaaring katawanin sa sumusunod na vector form:
Dahil ang masa ng isang punto m ay tinatanggap bilang pare-pareho, pagkatapos ay maaari itong ilagay sa ilalim ng derivative sign. Pagkatapos
Ang Formula (1) ay nagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa differential form: ang unang derivative na may kinalaman sa oras ng momentum ng isang punto ay katumbas ng puwersang kumikilos sa punto.
Sa mga projection papunta sa coordinate axes (1) ay maaaring katawanin bilang
Kung ang magkabilang panig (1) ay pinarami ng dt, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isa pang anyo ng parehong theorem - ang momentum theorem sa differential form:
mga. ang pagkakaiba ng momentum ng isang punto ay katumbas ng elementarya na salpok ng puwersang kumikilos sa punto.
Ang pag-project ng parehong bahagi ng (2) sa mga coordinate axes, nakuha namin
Ang pagsasama ng parehong bahagi ng (2) mula sa zero hanggang t (Fig. 1), mayroon tayo
kung saan ang bilis ng punto sa sandaling ito t; - bilis sa t = 0;
S- salpok ng puwersa sa paglipas ng panahon t.
Ang isang expression sa anyo (3) ay madalas na tinatawag na momentum theorem sa may hangganan (o integral) na anyo: ang pagbabago sa momentum ng isang punto sa anumang yugto ng panahon ay katumbas ng salpok ng puwersa sa parehong yugto ng panahon.
Sa mga projection sa coordinate axes, ang theorem na ito ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo:
Para sa isang materyal na punto, ang theorem sa pagbabago ng momentum sa alinman sa mga anyo ay mahalagang walang pinagkaiba sa mga differential equation ng paggalaw ng isang punto.
Theorem sa pagbabago ng momentum ng isang sistema
Ang dami ng paggalaw ng system ay tatawaging vector quantity Q, katumbas ng geometric sum (pangunahing vector) ng mga halaga ng paggalaw ng lahat ng mga punto ng system.
Isaalang-alang ang isang sistemang binubuo ng n materyal na puntos. Bumuo tayo ng mga differential equation ng paggalaw para sa sistemang ito at idagdag ang mga ito sa pamamagitan ng termino. Pagkatapos makuha namin:
Ang huling kabuuan, dahil sa pag-aari ng mga panloob na pwersa, ay katumbas ng zero. Bukod sa,
Sa wakas nakita namin:
Ang equation (4) ay nagpapahayag ng theorem sa pagbabago ng momentum ng system sa differential form: ang time derivative ng momentum ng system ay katumbas ng geometric na kabuuan ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system.
Maghanap tayo ng isa pang expression para sa theorem. Hayaan sa sandaling ito t= 0 ang dami ng paggalaw ng system ay Q 0, at sa sandali ng oras t 1 nagiging pantay Q 1. Pagkatapos, pagpaparami ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (4) sa dt at pagsasama, nakukuha namin:
O kung saan:
(S- force impulse)
dahil ang mga integral sa kanan ay nagbibigay ng mga impulses ng mga panlabas na puwersa,
Ang equation (5) ay nagpapahayag ng theorem sa pagbabago ng momentum ng system sa integral form: ang pagbabago sa momentum ng system sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng kabuuan ng mga impulses ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa sistema sa parehong yugto ng panahon.
Sa mga projection sa coordinate axes magkakaroon tayo ng:
Batas ng konserbasyon ng momentum
Mula sa theorem sa pagbabago ng momentum ng isang sistema, ang mga sumusunod na mahahalagang corollaries ay maaaring makuha:
1. Hayaang ang kabuuan ng lahat ng panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema ay katumbas ng zero:
Pagkatapos mula sa equation (4) ito ay sumusunod na sa kasong ito Q = const.
kaya, kung ang kabuuan ng lahat ng panlabas na puwersa na kumikilos sa system ay katumbas ng zero, kung gayon ang vector ng momentum ng system ay magiging pare-pareho sa magnitude at direksyon.
2. 01 Hayaan ang mga panlabas na puwersa na kumikilos sa system na ang kabuuan ng kanilang mga projection sa ilang axis (halimbawa Ox) ay katumbas ng zero:
Pagkatapos mula sa mga equation (4`) ito ay sumusunod na sa kasong ito Q = const.
kaya, kung ang kabuuan ng mga projection ng lahat ng kumikilos na panlabas na pwersa sa anumang axis ay katumbas ng zero, kung gayon ang projection ng dami ng paggalaw ng system sa axis na ito ay isang pare-parehong halaga.
Ang mga resultang ito ay nagpapahayag batas ng konserbasyon ng momentum ng isang sistema. Ito ay sumusunod mula sa kanila na ang mga panloob na pwersa ay hindi maaaring baguhin ang kabuuang halaga ng paggalaw ng sistema.
Tingnan natin ang ilang halimbawa:
· Kababalaghan tungkol sa pagbabalik ng rolyo. Kung isasaalang-alang natin ang rifle at ang bala bilang isang sistema, kung gayon ang presyon ng mga pulbos na gas sa panahon ng pagbaril ay magiging isang panloob na puwersa. Hindi mababago ng puwersang ito ang kabuuang momentum ng system. Ngunit dahil ang mga gas ng pulbos, na kumikilos sa bala, ay nagbibigay dito ng isang tiyak na dami ng paggalaw na nakadirekta pasulong, dapat silang sabay na ibigay sa riple ang parehong dami ng paggalaw sa kabaligtaran ng direksyon. Ito ay magiging sanhi ng pag-urong ng rifle, i.e. ang tinatawag na pagbabalik. Ang isang katulad na kababalaghan ay nangyayari kapag nagpaputok ng baril (rollback).
· Operasyon ng propeller (propeller). Ang propeller ay nagbibigay ng paggalaw sa isang tiyak na masa ng hangin (o tubig) kasama ang axis ng propeller, na ibinabalik ang masa na ito. Kung isasaalang-alang natin ang itinapon na masa at ang sasakyang panghimpapawid (o barko) bilang isang sistema, kung gayon ang mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng propeller at ng kapaligiran, bilang panloob, ay hindi maaaring baguhin ang kabuuang dami ng paggalaw ng sistemang ito. Samakatuwid, kapag ang isang masa ng hangin (tubig) ay itinapon pabalik, ang sasakyang panghimpapawid (o barko) ay tumatanggap ng katumbas na bilis ng pasulong upang ang kabuuang halaga ng paggalaw ng sistemang isinasaalang-alang ay nananatiling katumbas ng zero, dahil ito ay zero bago nagsimula ang paggalaw. .
Ang isang katulad na epekto ay nakakamit sa pamamagitan ng pagkilos ng mga sagwan o mga gulong ng sagwan.
· R e c t i v e Propulsion Sa isang rocket (rocket), ang mga gas na produkto ng fuel combustion ay inilalabas sa mataas na bilis mula sa butas sa buntot ng rocket (mula sa jet engine nozzle). Ang mga puwersa ng presyur na kumikilos sa kasong ito ay magiging mga panloob na pwersa at hindi nila mababago ang kabuuang momentum ng sistema ng rocket-powder gas. Ngunit dahil ang mga tumatakas na gas ay may isang tiyak na dami ng paggalaw na nakadirekta pabalik, ang rocket ay tumatanggap ng kaukulang bilis ng pasulong.
Theorem ng mga sandali tungkol sa isang axis.
Isaalang-alang ang materyal na punto ng masa m, gumagalaw sa ilalim ng impluwensya ng puwersa F. Hanapin natin para dito ang kaugnayan sa pagitan ng sandali ng mga vectors mV At F kaugnay sa ilang nakapirming Z axis.
m z (F) = xF - yF (7)
Katulad din para sa halaga m(mV), kung inilabas m ay wala sa mga bracket
m z (mV) = m(xV - yV)(7`)
Ang pagkuha ng mga derivatives na may paggalang sa oras mula sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito, nakita namin
Sa kanang bahagi ng resultang expression, ang unang bracket ay katumbas ng 0, dahil dx/dt=V at dу/dt = V, ang pangalawang bracket ayon sa formula (7) ay katumbas ng
mz(F), dahil ayon sa pangunahing batas ng dinamika:
Sa wakas magkakaroon tayo ng (8)
Ang resultang equation ay nagpapahayag ng theorem ng mga sandali tungkol sa axis: ang derivative ng oras ng sandali ng momentum ng isang punto na may kaugnayan sa anumang axis ay katumbas ng sandali ng kumikilos na puwersa na nauugnay sa parehong axis. Ang isang katulad na teorama ay nagtataglay ng mga sandali tungkol sa alinmang sentro O.
Ang sistemang tinalakay sa theorem ay maaaring anumang mekanikal na sistema na binubuo ng anumang katawan.
Pahayag ng teorama
Ang dami ng paggalaw (impulse) ng isang mekanikal na sistema ay isang dami na katumbas ng kabuuan ng mga halaga ng paggalaw (impulses) ng lahat ng mga katawan na kasama sa system. Ang salpok ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa mga katawan ng system ay ang kabuuan ng mga impulses ng lahat ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa mga katawan ng system.
( kg m/s)
Ang theorem sa pagbabago sa momentum ng isang sistema ay nagsasaad
Ang pagbabago sa momentum ng system sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng salpok ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa system sa parehong yugto ng panahon.
Batas ng konserbasyon ng momentum ng isang sistema
Kung ang kabuuan ng lahat ng panlabas na puwersa na kumikilos sa system ay zero, kung gayon ang dami ng paggalaw (momentum) ng system ay isang pare-parehong dami.
,
nakukuha natin ang pagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng system sa differential form:
Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang magkabilang panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa loob ng arbitraryong kinuha na tagal ng panahon sa pagitan ng ilan at , nakukuha natin ang pagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng system sa integral form:
Batas ng konserbasyon ng momentum (Batas ng konserbasyon ng momentum) ay nagsasaad na ang vector sum ng mga impulses ng lahat ng katawan ng system ay isang pare-parehong halaga kung ang vector sum ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa system ay katumbas ng zero.
(sandali ng momentum m 2 kg s −1)
Theorem sa pagbabago sa angular momentum na may kaugnayan sa sentro
ang derivative ng oras ng momentum ng momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa anumang nakapirming sentro ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa punto na may kaugnayan sa parehong sentro.
dk 0 /dt = M 0 (F ) .
Theorem sa pagbabago sa angular momentum na may kaugnayan sa isang axis
ang derivative ng oras ng momentum ng momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na nauugnay sa anumang nakapirming axis ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa puntong ito na nauugnay sa parehong axis.
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .
Isaalang-alang ang isang materyal na punto M misa m , gumagalaw sa ilalim ng impluwensya ng puwersa F (Larawan 3.1). Isulat natin at buuin ang vector ng angular momentum (kinetic momentum) M 0 materyal na punto na nauugnay sa gitna O :
Ibahin natin ang expression para sa angular momentum (kinetic moment k 0) ayon sa oras:
kasi Dr /dt = V , pagkatapos ay ang produkto ng vector V ⊗ m ⋅ V (mga collinear vector V At m ⋅ V ) ay katumbas ng zero. Sa parehong oras d(m ⋅ V) /dt = F ayon sa theorem sa momentum ng isang materyal na punto. Kaya't nakukuha natin iyon
dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)
saan r ⊗F = M 0 (F ) – vector-sandali ng puwersa F may kaugnayan sa isang nakapirming sentro O . Vector k 0 ⊥ eroplano ( r , m ⊗V ), at ang vector M 0 (F ) ⊥ eroplano ( r ,F ), sa wakas meron na tayo
dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)
Ang equation (3.4) ay nagpapahayag ng theorem tungkol sa pagbabago sa angular momentum (angular momentum) ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa gitna: ang derivative ng oras ng momentum ng momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa anumang nakapirming sentro ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa punto na may kaugnayan sa parehong sentro.
Ang pagpapakita ng pagkakapantay-pantay (3.4) sa mga axes ng mga coordinate ng Cartesian, nakuha namin
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)
Ang mga pagkakapantay-pantay (3.5) ay nagpapahayag ng teorama tungkol sa pagbabago sa angular na momentum (kinetic momentum) ng isang materyal na punto na nauugnay sa axis: ang derivative ng oras ng momentum ng momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na nauugnay sa anumang nakapirming axis ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa puntong ito na nauugnay sa parehong axis.
Isaalang-alang natin ang mga kahihinatnan kasunod ng Theorems (3.4) at (3.5).
Bunga 1. Isaalang-alang natin ang kaso kapag ang puwersa F sa buong paggalaw ng punto ay dumadaan sa nakatigil na sentro O (kaso ng sentral na puwersa), i.e. Kailan M 0 (F ) = 0. Pagkatapos mula sa Theorem (3.4) ito ay sumusunod na k 0 = const ,
mga. sa kaso ng isang sentral na puwersa, ang angular na momentum (kinetic moment) ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa sentro ng puwersang ito ay nananatiling pare-pareho sa magnitude at direksyon (Larawan 3.2).
Larawan 3.2
Mula sa kondisyon k 0 = const ito ay sumusunod na ang trajectory ng isang gumagalaw na punto ay isang patag na kurba, ang eroplano na kung saan ay dumadaan sa gitna ng puwersang ito.
Bunga 2. Hayaan M z (F ) = 0, ibig sabihin. ang puwersa ay tumatawid sa axis z o kahanay nito. Sa kasong ito, tulad ng makikita mula sa ikatlo ng mga equation (3.5), k z = const ,
mga. kung ang sandali ng puwersa na kumikilos sa isang punto na nauugnay sa anumang nakapirming axis ay palaging zero, kung gayon ang angular na momentum (kinetic moment) ng puntong nauugnay sa axis na ito ay nananatiling pare-pareho.
Patunay ng theorem sa pagbabago ng momentum
Hayaang ang sistema ay binubuo ng mga materyal na puntos na may mga masa at acceleration. Hinahati namin ang lahat ng pwersang kumikilos sa mga katawan ng system sa dalawang uri:
Ang mga panlabas na puwersa ay mga puwersang kumikilos mula sa mga katawan na hindi kasama sa sistemang isinasaalang-alang. Ang resulta ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa isang materyal na punto na may numero i tukuyin natin
Ang mga panloob na pwersa ay ang mga puwersa kung saan ang mga katawan ng sistema mismo ay nakikipag-ugnayan sa isa't isa. Ang puwersa kung saan sa punto na may numero i wasto ang puntong may numero k, ipakikilala natin ang , at ang puwersa ng impluwensya i ika punto sa k ika punto -. Malinaw, kapag , pagkatapos
Gamit ang ipinakilalang notasyon, isinusulat namin ang pangalawang batas ni Newton para sa bawat isa sa mga materyal na punto na isinasaalang-alang sa form
Isinasaalang-alang na 
at pagbubuod ng lahat ng mga equation ng pangalawang batas ni Newton, nakukuha natin:
Ang expression ay kumakatawan sa kabuuan ng lahat ng panloob na pwersa na kumikilos sa system. Ayon sa ikatlong batas ni Newton, sa kabuuan na ito, ang bawat puwersa ay tumutugma sa isang puwersa na, samakatuwid, hawak nito 
Dahil ang buong kabuuan ay binubuo ng gayong mga pares, ang kabuuan mismo ay zero. Kaya, maaari tayong magsulat
Gamit ang notasyon para sa momentum ng system, nakuha namin
Isinasaalang-alang ang pagbabago sa momentum ng mga panlabas na pwersa 
, nakukuha natin ang pagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng system sa differential form:
Kaya, ang bawat isa sa mga huling equation na nakuha ay nagpapahintulot sa amin na sabihin: ang isang pagbabago sa momentum ng system ay nangyayari lamang bilang isang resulta ng pagkilos ng mga panlabas na pwersa, at ang mga panloob na pwersa ay hindi maaaring magkaroon ng anumang impluwensya sa halagang ito.
Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang magkabilang panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa isang arbitraryong kinuha na agwat ng oras sa pagitan ng ilan at , nakukuha natin ang pagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa momentum ng system sa integral form:
kung saan at ang mga halaga ng dami ng paggalaw ng system sa mga sandali ng oras at, ayon sa pagkakabanggit, at ito ay ang salpok ng mga panlabas na puwersa sa loob ng isang yugto ng panahon. Alinsunod sa sinabi kanina at sa mga ipinakilalang notasyon,
Dahil ang masa ng isang punto ay pare-pareho, at ang acceleration nito, ang equation na nagpapahayag ng pangunahing batas ng dynamics ay maaaring katawanin sa anyo
Ang equation ay sabay na nagpapahayag ng theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa differential form: derivative ng oras ng momentum ng isang punto ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga puwersang kumikilos sa punto.
Isama natin ang equation na ito. Hayaang tumuro ang masa m, gumagalaw sa ilalim ng impluwensya ng puwersa (Larawan 15), ay may sa sandaling ito t=0 bilis, at sa ngayon t 1-bilis.
Fig.15
Pagkatapos ay i-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay at kumuha ng mga tiyak na integral mula sa kanila. Sa kasong ito, sa kanan, kung saan nagaganap ang pagsasama sa paglipas ng panahon, ang mga limitasyon ng mga integral ay 0 at t 1, at sa kaliwa, kung saan isinama ang bilis, ang mga limitasyon ng integral ay ang kaukulang mga halaga ng bilis at . Dahil ang integral ng ay katumbas ng , pagkatapos ay bilang isang resulta makuha namin:
.
Ang mga integral sa kanan ay kumakatawan sa mga impulses ng kumikilos na pwersa. Samakatuwid, sa wakas ay magkakaroon tayo ng:
.
Ang equation ay nagpapahayag ng theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa huling anyo: ang pagbabago sa momentum ng isang punto sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga impulses ng lahat ng pwersa na kumikilos sa punto sa parehong tagal ng panahon ( kanin. 15).
Kapag nilulutas ang mga problema, kadalasang ginagamit ang mga projection equation sa halip na mga vector equation.
Sa kaso ng rectilinear motion na nagaganap sa kahabaan ng axis Oh ang teorama ay ipinahayag ng una sa mga equation na ito.
Mga tanong sa pagsusulit sa sarili
Bumuo ng mga pangunahing batas ng mekanika.
Anong equation ang tinatawag na fundamental equation of dynamics?
Ano ang sukat ng inertia ng mga solidong katawan sa panahon ng paggalaw ng pagsasalin?
Nakadepende ba ang bigat ng katawan sa lokasyon nito sa Earth?
Anong sistema ng sanggunian ang tinatawag na inertial?
Sa anong katawan inilapat ang inertial force ng isang materyal na punto at ano ang modulus at direksyon nito?
Ipaliwanag ang pagkakaiba sa pagitan ng mga konsepto ng "inertia" at "force of inertia"?
Sa anong mga katawan inilapat ang inertial force, paano ito nakadirekta at sa anong formula ito makalkula?
Ano ang prinsipyo ng kinetostatics?
Ano ang mga module at direksyon ng tangential at normal na puwersa ng inertia ng isang materyal na punto?
Ano ang tawag sa timbang ng katawan? Ano ang SI unit ng masa?
Ano ang sukatan ng inertia ng isang katawan?
Isulat ang pangunahing batas ng dynamics sa vector at differential form?
Ang isang pare-parehong puwersa ay kumikilos sa isang materyal na punto. Paano gumagalaw ang punto?
Anong acceleration ang matatanggap ng isang punto kung ang isang puwersa na katumbas ng dalawang beses ang puwersa ng grabidad ay kumilos dito?
Matapos ang banggaan ng dalawang materyal na punto na may masa m 1 =6 kg at m 2 =24 kg ang unang punto ay nakatanggap ng acceleration na 1.6 m/s. Ano ang acceleration na natanggap ng pangalawang punto?
Sa anong paggalaw ng isang materyal na punto ang tangential force ng inertia nito ay katumbas ng zero at sa anong paggalaw ito normal?
Anong mga formula ang ginagamit upang kalkulahin ang mga module ng rotational at centrifugal forces ng inertia ng isang puntong kabilang sa isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis?
Paano nabuo ang pangunahing batas ng point dynamics?
Ibigay ang pagbabalangkas ng batas ng pagsasarili ng pagkilos ng mga puwersa.
Isulat ang mga differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto sa vector at coordinate form.
Bumuo ng kakanyahan ng una at pangalawang pangunahing problema ng point dynamics.
Ibigay ang mga kondisyon kung saan natutukoy ang mga constant ng integration ng mga differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto.
Anong mga equation ng dynamics ang tinatawag na natural na equation ng paggalaw ng isang materyal na punto?
Ano ang dalawang pangunahing problema ng point dynamics na nalutas gamit ang differential motions ng isang materyal na punto?
Differential equation ng paggalaw ng isang libreng materyal na punto.
Paano natutukoy ang mga constant kapag pinagsasama ang mga differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto?
Pagpapasiya ng mga halaga ng mga di-makatwirang mga constant na lumilitaw kapag pinagsama ang mga pagkakaiba-iba ng mga equation ng paggalaw ng isang materyal na punto.
Ano ang mga batas ng malayang pagkahulog ng isang katawan?
Ayon sa anong mga batas nangyayari ang pahalang at patayong paggalaw ng isang katawan na itinapon sa isang anggulo sa abot-tanaw sa kalawakan? Ano ang trajectory ng paggalaw nito at sa anong anggulo ang katawan ay may pinakamalaking saklaw ng paglipad?
Paano makalkula ang salpok ng isang variable na puwersa sa isang may hangganan na tagal ng panahon?
Ano ang tawag sa momentum ng isang materyal na punto?
Paano ipahayag ang elementarya na gawain ng isang puwersa sa pamamagitan ng elementarya na landas ng punto ng aplikasyon ng puwersa at paano - sa pamamagitan ng pagtaas ng coordinate ng arko ng puntong ito?
Sa anong mga displacement ang gawain ng grabidad: a) positibo, b) negatibo, c) zero?
Paano makalkula ang kapangyarihan ng isang puwersa na inilapat sa isang materyal na punto na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis na may angular na bilis?
Bumuo ng isang teorama tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto.
Sa ilalim ng anong mga kondisyon hindi nagbabago ang momentum ng isang materyal na punto? Sa ilalim ng anong mga kondisyon hindi nagbabago ang projection nito sa isang tiyak na axis?
Ibigay ang pagbabalangkas ng theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang materyal na punto sa differential at finite form.
Ano ang tinatawag na angular momentum ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa: a) ang sentro, b) ang axis?
Paano nabuo ang teorama tungkol sa pagbabago sa angular na momentum ng isang punto na may kaugnayan sa sentro at nauugnay sa axis?
Sa ilalim ng anong mga kondisyon ang angular na momentum ng isang punto na may kaugnayan sa axis ay nananatiling hindi nagbabago?
Paano tinutukoy ang angular momentum ng isang materyal na punto na nauugnay sa gitna at nauugnay sa axis? Ano ang relasyon nila?
Sa anong lokasyon ng momentum vector ng isang materyal na punto ang momentum na nauugnay sa axis ay katumbas ng zero?
Bakit ang trajectory ng isang materyal na punto na gumagalaw sa ilalim ng impluwensya ng isang sentral na puwersa ay nasa parehong eroplano?
Anong paggalaw ng isang punto ang tinatawag na rectilinear? Isulat ang differential equation para sa rectilinear motion ng isang materyal na punto.
Isulat ang mga differential equation ng paggalaw ng eroplano ng isang materyal na punto.
Anong galaw ng isang materyal na punto ang inilalarawan ng Lagrange differential equation ng unang uri?
Sa anong mga kaso tinatawag na hindi libre ang isang materyal na punto at ano ang mga differential equation ng paggalaw ng puntong ito?
Magbigay ng mga kahulugan ng nakatigil at hindi nakatigil, holonomic at non-holonomic na koneksyon.
Anong uri ng mga koneksyon ang tinatawag na bilateral? One-sided?
Ano ang kakanyahan ng prinsipyo ng paglaya mula sa mga ugnayan?
Anong anyo mayroon ang mga differential equation ng paggalaw ng isang di-libreng materyal na punto sa anyong Lagrange? Ano ang tinatawag na Lagrange multiplier?
Ibigay ang pagbabalangkas ng Coriolis dynamic theorem.
Ano ang kakanyahan ng prinsipyo ng relativity ng Galileo-Newton?
Pangalanan ang mga paggalaw kung saan ang Coriolis inertial force ay zero.
Anong module at anong direksyon mayroon ang paglipat at Coriolis inertial forces?
Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng mga differential equation ng kamag-anak at ganap na paggalaw ng isang materyal na punto?
Paano natutukoy ang mga puwersa ng paglipat at Coriolis inertia sa iba't ibang kaso ng paglipat ng paggalaw?
Ano ang kakanyahan ng prinsipyo ng relativity ng klasikal na mekanika?
Anong mga sistema ng sanggunian ang tinatawag na inertial?
Ano ang kondisyon para sa kamag-anak na natitirang bahagi ng isang materyal na punto?
Sa anong mga punto sa ibabaw ng mundo ang gravity ay may pinakamalaki at pinakamaliit na halaga?
Ano ang nagpapaliwanag sa paglihis ng mga bumabagsak na katawan sa silangan?
Sa anong direksyon lumilihis ang isang katawan na inihagis nang patayo?
Ang isang balde ay ibinaba sa baras na may acceleration A=4 m/s 2. Bucket gravity G=2 kN. Tukuyin ang puwersa ng pag-igting ng lubid na sumusuporta sa batya?
Dalawang materyal na punto ang gumagalaw sa isang tuwid na linya na may pare-parehong bilis na 10 at 100 m/s. Masasabi ba natin na ang mga katumbas na sistema ng pwersa ay inilalapat sa mga puntong ito?
1) imposible;
Ang pantay na puwersa ay inilalapat sa dalawang materyal na punto ng mass 5 at 15 kg. Ihambing ang mga numerical na halaga ng acceleration ng mga puntong ito?
1) pareho ang mga acceleration;
2) ang acceleration ng isang punto na may mass na 15 kg ay tatlong beses na mas mababa kaysa sa acceleration ng isang punto na may mass na 5 kg.
Maaari bang malutas ang mga problema sa dinamika gamit ang mga equation ng equilibrium?
Hayaang gumalaw ang isang materyal na punto sa ilalim ng impluwensya ng puwersa F. Kinakailangang matukoy ang paggalaw ng puntong ito na may kaugnayan sa gumagalaw na sistema Oxyz(tingnan ang kumplikadong paggalaw ng isang materyal na punto), na gumagalaw sa isang kilalang paraan na may kaugnayan sa isang nakatigil na sistema O 1 x 1 y 1 z 1 .
Pangunahing equation ng dynamics sa isang nakatigil na sistema
Isulat natin ang ganap na acceleration ng isang punto gamit ang Coriolis theorem
saan a abs- ganap na acceleration;
a rel- kamag-anak na acceleration;
a lane– portable acceleration;
a core– Pagpapabilis ng Coriolis.
Isulat muli natin ang (25) na isinasaalang-alang (26)
Ipakilala natin ang notasyon 
- portable inertia force, 
- Coriolis inertial force. Pagkatapos ang equation (27) ay kumukuha ng anyo
Ang pangunahing equation ng dynamics para sa pag-aaral ng relative motion (28) ay nakasulat sa parehong paraan tulad ng para sa absolute motion, tanging ang transfer at Coriolis forces of inertia ang dapat idagdag sa mga pwersang kumikilos sa isang punto.
Pangkalahatang theorems sa dynamics ng isang materyal na punto
Kapag nilulutas ang maraming problema, maaari mong gamitin ang mga pre-made na blangko na nakuha batay sa pangalawang batas ni Newton. Ang ganitong mga paraan ng paglutas ng problema ay pinagsama sa seksyong ito.
Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto
Ipakilala natin ang mga sumusunod na dynamic na katangian:
1. Momentum ng isang materyal na punto– dami ng vector na katumbas ng produkto ng mass ng isang punto at ang velocity vector nito
.
(29)
2. Puwersa ang salpok
Pangunahing salpok ng puwersa– dami ng vector na katumbas ng produkto ng force vector at isang elementarya na pagitan ng oras
(30).
Pagkatapos buong salpok
.
(31)
Sa F= const nakukuha namin S=Ft.
Ang kabuuang impulse sa loob ng isang takdang panahon ay maaaring kalkulahin lamang sa dalawang kaso, kapag ang puwersa na kumikilos sa isang punto ay pare-pareho o depende sa oras. Sa ibang mga kaso, kinakailangan upang ipahayag ang puwersa bilang isang function ng oras.
Ang pagkakapantay-pantay ng mga sukat ng impulse (29) at momentum (30) ay nagpapahintulot sa amin na magtatag ng isang dami ng relasyon sa pagitan nila.
Isaalang-alang natin ang paggalaw ng isang materyal na punto M sa ilalim ng pagkilos ng isang arbitrary na puwersa F kasama ang isang arbitrary trajectory.
TUNGKOL SA 
UD: 
.
(32)
Pinaghihiwalay namin ang mga variable sa (32) at isinasama
.
(33)
Bilang resulta, isinasaalang-alang ang (31), nakukuha namin
.
(34)
Ang equation (34) ay nagpapahayag ng sumusunod na theorem.
Teorama: Ang pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng salpok ng puwersang kumikilos sa punto sa parehong agwat ng oras.
Kapag nilulutas ang mga problema, ang equation (34) ay dapat na i-project sa coordinate axes
Ang teorama na ito ay maginhawang gamitin kapag kabilang sa mga ibinigay at hindi kilalang mga dami ay mayroong masa ng isang punto, ang una at huling bilis nito, mga puwersa at oras ng paggalaw.
Theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang materyal na punto
M 
sandali ng momentum ng isang materyal na punto kamag-anak sa sentro ay katumbas ng produkto ng modulus ng momentum ng punto at balikat, i.e. ang pinakamaikling distansya (patayo) mula sa gitna hanggang sa linya na tumutugma sa velocity vector
,
(36)
.
(37)
Ang ugnayan sa pagitan ng sandali ng puwersa (sanhi) at ang sandali ng momentum (epekto) ay itinatag ng sumusunod na teorama.
Hayaan ang point M ng isang naibigay na masa m gumagalaw sa ilalim ng impluwensya ng puwersa F.
,
,
,
(38)
.
(39)
Kalkulahin natin ang derivative ng (39)
.
(40)
Ang pagsasama-sama ng (40) at (38), sa wakas ay nakuha natin
.
(41)
Ang equation (41) ay nagpapahayag ng sumusunod na theorem.
Teorama: Ang derivative ng oras ng angular momentum vector ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa ilang sentro ay katumbas ng sandali ng puwersa na kumikilos sa punto na nauugnay sa parehong sentro.
Kapag nilulutas ang mga problema, ang equation (41) ay dapat na projected sa coordinate axes
Sa mga equation (42), ang mga sandali ng momentum at puwersa ay kinakalkula kaugnay ng mga coordinate axes.
Mula sa (41) ito ay sumusunod batas ng konserbasyon ng angular momentum (batas ni Kepler).
Kung ang sandali ng puwersa na kumikilos sa isang materyal na punto na may kaugnayan sa anumang sentro ay zero, kung gayon ang angular na momentum ng punto na may kaugnayan sa sentro na ito ay nagpapanatili ng magnitude at direksyon nito.
Kung 
, Iyon 
.
Ang theorem at conservation law ay ginagamit sa mga problemang kinasasangkutan ng curvilinear motion, lalo na sa ilalim ng pagkilos ng mga sentral na pwersa.