Patunayan na ang mga vector ay linearly independent. Linear dependence at linear independence ng isang sistema ng mga vectors

Hayaan L – linear na espasyo sa ibabaw ng field R . Hayaan А1, а2, …, аn (*) may hangganan na sistema ng mga vector mula sa L . Vector SA = a1× A1 + a2× A2 + … + isang× An (16) ay tinatawag Linear na kumbinasyon ng mga vector ( *), o sinasabi nila na ito ay isang vector SA linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng isang sistema ng mga vectors (*).

Kahulugan 14. Ang sistema ng mga vectors (*) ay tinatawag Nakadepende sa linear , kung at kung mayroong isang di-zero na hanay ng mga coefficient a1, a2, … , isang tulad na a1× A1 + a2× A2 + … + isang× An = 0. Kung a1× A1 + a2× A2 + … + isang× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, pagkatapos ay tinatawag ang system (*). Linearly independent.

Mga katangian ng linear dependence at independence.

10. Kung ang isang sistema ng mga vector ay naglalaman ng isang zero vector, ito ay linearly na umaasa.

Sa katunayan, kung sa system (*) ang vector A1 = 0, 1× yan 0 + 0× A2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. Kung ang isang sistema ng mga vector ay naglalaman ng dalawang proporsyonal na mga vector, kung gayon ito ay linearly na umaasa.

Hayaan A1 = L×a2. Tapos 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Ang isang may hangganang sistema ng mga vectors (*) para sa n ³ 2 ay linearly dependent kung at kung hindi bababa sa isa sa mga vectors nito ay isang linear na kumbinasyon ng mga natitirang vectors ng system na ito.

Þ Hayaang maging linearly dependent ang (*). Pagkatapos ay mayroong isang di-zero na hanay ng mga coefficient a1, a2, …, an, kung saan a1× A1 + a2× A2 + … + isang× An = 0 . Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na a1 ¹ 0. Pagkatapos ay mayroon A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Kaya, vector A1 ay isang linear na kumbinasyon ng mga natitirang vectors.

Ü Hayaang ang isa sa mga vector (*) ay isang linear na kumbinasyon ng iba. Maaari nating ipagpalagay na ito ang unang vector, i.e. A1 = B2 A2+ … + bn A N, Kaya naman (–1)× A1 + b2 A2+ … + bn A N= 0 , ibig sabihin. (*) ay linearly dependent.

Magkomento. Gamit ang huling pag-aari, maaari nating tukuyin ang linear na pag-asa at kalayaan ng isang walang katapusang sistema ng mga vector.

Kahulugan 15. Sistema ng vector А1, а2, …, аn , … (**) ay tinatawag na Nakadepende sa linear, Kung hindi bababa sa isa sa mga vector nito ay isang linear na kumbinasyon ng ilang may hangganan na bilang ng iba pang mga vector. Kung hindi, ang system (**) ay tinatawag Linearly independent.

40. Ang isang may hangganang sistema ng mga vector ay linearly na independyente kung at kung wala sa mga vectors nito ang maaaring linearly na ipahayag sa mga tuntunin ng mga natitirang vectors nito.

50. Kung ang isang sistema ng mga vector ay linearly independent, kung gayon ang alinman sa mga subsystem nito ay linearly independent din.

60. Kung ang ilang subsystem ng isang ibinigay na sistema ng mga vector ay linearly dependent, ang buong sistema ay linearly dependent din.

Hayaang magbigay ng dalawang sistema ng mga vector А1, а2, …, аn , … (16) at В1, В2, …, Вs, … (17). Kung ang bawat vector ng system (16) ay maaaring kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng isang may hangganan na bilang ng mga vectors ng system (17), ang system (17) ay sinasabing linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng system (16).

Kahulugan 16. Ang dalawang sistema ng vector ay tinatawag Katumbas , kung ang bawat isa sa kanila ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng isa.

Teorama 9 (basic linear dependence theorem).

Hayaan na – dalawang may hangganan na sistema ng mga vector mula sa L . Kung ang unang sistema ay linearly independent at linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng pangalawa, kung gayon N£s.

Patunay. Magpanggap na tayo N> S. Ayon sa mga kondisyon ng teorama

magkadugtong Dahil ang bilang ng mga equation ay mas malaki kaysa sa bilang ng mga hindi alam, ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon. Samakatuwid, mayroon itong non-zero X10, x20, …, xN0. Para sa mga halagang ito, ang pagkakapantay-pantay (18) ay magiging totoo, na sumasalungat sa katotohanan na ang sistema ng mga vectors ay linearly independent. Kaya mali ang assumption natin. Kaya naman, N£s.

Bunga. Kung ang dalawang katumbas na sistema ng mga vector ay may hangganan at linearly na independyente, kung gayon naglalaman ang mga ito ng parehong bilang ng mga vector.

Kahulugan 17. Ang sistema ng vector ay tinatawag Pinakamataas na linearly independent system ng mga vectors Linear na espasyo L , kung ito ay linearly independent, ngunit kapag idinagdag dito ang anumang vector mula sa L , hindi kasama sa sistemang ito, nagiging linearly dependent ito.

Teorama 10. Anumang dalawang finite maximal linearly independent system ng mga vectors mula sa L Naglalaman ng parehong bilang ng mga vector.

Patunay sumusunod mula sa katotohanan na ang anumang dalawang pinakamataas na linearly independiyenteng mga sistema ng mga vector ay katumbas .

Madaling patunayan na ang anumang linearly independent system ng space vectors L ay maaaring mapalawak sa isang pinakamataas na linearly independent system ng mga vector sa espasyong ito.

Mga halimbawa:

1. Sa hanay ng lahat ng mga collinear na geometric na vector, anumang sistema na binubuo ng isang nonzero vector ay pinakamataas na linearly independent.

2. Sa hanay ng lahat ng coplanar geometric vectors, anumang dalawang non-collinear vectors ay bumubuo ng isang pinakamataas na linearly independent system.

3. Sa hanay ng lahat ng posibleng geometric na vector ng three-dimensional na Euclidean space, ang anumang sistema ng tatlong non-coplanar vectors ay maximally linearly independent.

4. Sa hanay ng lahat ng polynomial, ang mga degree ay hindi mas mataas kaysa N Sa totoong (kumplikadong) coefficients, isang sistema ng polynomials 1, x, x2, … , xn Ay maximally linearly independyente.

5. Sa hanay ng lahat ng polynomial na may tunay na (kumplikadong) coefficient, ang mga halimbawa ng isang pinakamataas na linearly independent system ay

A) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. Set ng mga matrice ng dimensyon M´ N ay isang linear na espasyo (suriin ito). Ang isang halimbawa ng pinakamataas na linearly independent system sa espasyong ito ay ang matrix system E11= , E12 =, …, EMn = .

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga vector C1, c2, …, cf (*). Ang subsystem ng mga vectors mula sa (*) ay tinatawag Maximum na linearly independent Subsystem Mga sistema ( *) , kung ito ay linearly independent, ngunit kapag nagdagdag ng anumang iba pang vector ng system na ito dito, ito ay nagiging linearly dependent. Kung ang system (*) ay may hangganan, kung gayon ang alinman sa pinakamalaki nitong linearly independent subsystem ay naglalaman ng parehong bilang ng mga vector. (Patunayan mo ito sa iyong sarili). Ang bilang ng mga vector sa maximum na linearly independent subsystem ng system (*) ay tinatawag Ranggo Ang sistemang ito. Malinaw, ang mga katumbas na sistema ng mga vector ay may parehong ranggo.

Kahulugan. Linear na kumbinasyon ng mga vector a 1 , ..., a n na may coefficients x 1 , ..., x n ay tinatawag na vector

x 1 a 1 + ... + x n a n .

walang kuwenta, kung ang lahat ng coefficients x 1 , ..., x n ay katumbas ng zero.

Kahulugan. Ang linear na kumbinasyon x 1 a 1 + ... + x n a n ay tinatawag hindi mahalaga, kung hindi bababa sa isa sa mga coefficients x 1, ..., x n ay hindi katumbas ng zero.

linearly independent, kung walang di-trivial na kumbinasyon ng mga vector na ito na katumbas ng zero vector.

Ibig sabihin, ang mga vectors a 1, ..., a n ay linearly independent kung x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 kung at kung x 1 = 0, ..., x n = 0.

Kahulugan. Ang mga vectors a 1, ..., a n ay tinatawag nakadepende sa linear, kung mayroong isang non-trivial na kumbinasyon ng mga vector na ito na katumbas ng zero vector.

Mga katangian ng linearly dependent vectors:

Para sa 2 at 3 dimensional na vector.

Dalawang linearly dependent vectors ay collinear. (Ang mga collinear vectors ay linearly dependent.)

Para sa mga 3-dimensional na vector.

Tatlong linearly dependent vectors ay coplanar. (Tatlong coplanar vector ang linearly dependent.)

• Para sa mga n-dimensional na vector.

  Ang mga n + 1 na vector ay palaging nakadepende sa linya.

Mga halimbawa ng mga problema sa linear dependence at linear independence ng mga vectors:

Halimbawa 1. Suriin kung ang mga vectors a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) ay linearly independent .

Solusyon:

Ang mga vector ay magiging linearly dependent, dahil ang dimensyon ng mga vector ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga vector.

Halimbawa 2. Suriin kung ang mga vectors a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) ay linearly independent.

Solusyon:

ibawas ang pangalawa sa unang linya; magdagdag ng pangalawang linya sa ikatlong linya:

Ang solusyon na ito ay nagpapakita na ang sistema ay may maraming mga solusyon, iyon ay, mayroong isang non-zero na kumbinasyon ng mga halaga ng mga numero x 1, x 2, x 3 upang ang linear na kumbinasyon ng mga vectors a, b, c ay katumbas ng ang zero vector, halimbawa:

A+b+c=0

na nangangahulugan na ang mga vectors a, b, c ay linearly dependent.

Sagot: ang mga vectors a, b, c ay linearly dependent.

Halimbawa 3. Suriin kung ang mga vectors a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) ay linearly independent.

Solusyon: Hanapin natin ang mga halaga ng mga coefficient kung saan ang linear na kumbinasyon ng mga vector na ito ay magiging katumbas ng zero vector.

Ang vector equation na ito ay maaaring isulat bilang isang sistema ng mga linear equation

Lutasin natin ang sistemang ito gamit ang Gauss method

ibawas ang una sa pangalawang linya; ibawas ang una sa ikatlong linya:

ibawas ang pangalawa sa unang linya; magdagdag ng pangalawa sa ikatlong linya.

Sa madaling salita, ang linear dependence ng isang pangkat ng mga vector ay nangangahulugan na mayroong isang vector sa kanila na maaaring katawanin ng isang linear na kumbinasyon ng iba pang mga vector sa pangkat na ito.

Sabihin nating. Pagkatapos

Samakatuwid ang vector x linearly dependent ng mga vectors ng pangkat na ito.

Mga vector x, y, ..., z ay tinatawag na linear independiyenteng mga vector, kung ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay (0) na

α=β= ...= γ=0.

Ibig sabihin, linearly independent ang mga pangkat ng mga vector kung walang vector ang maaaring katawanin ng isang linear na kumbinasyon ng iba pang mga vector sa pangkat na ito.

Pagpapasiya ng linear dependence ng mga vectors

Hayaang maibigay ang m string vectors ng order n:

Ang pagkakaroon ng paggawa ng Gaussian exception, binabawasan namin ang matrix (2) sa itaas na triangular na anyo. Ang mga elemento ng huling column ay nagbabago lamang kapag ang mga row ay muling inayos. Pagkatapos ng mga hakbang sa pag-aalis nakukuha namin:

saan i 1 , i 2 , ..., i m - row index na nakuha sa pamamagitan ng posibleng permutation ng mga row. Isinasaalang-alang ang mga resultang row mula sa row index, ibubukod namin ang mga tumutugma sa zero row vector. Ang natitirang mga linya ay bumubuo ng mga linearly independent vectors. Tandaan na kapag bumubuo ng matrix (2), sa pamamagitan ng pagpapalit ng sequence ng row vectors, maaari kang makakuha ng isa pang grupo ng mga linearly independent vectors. Ngunit ang subspace na nabuo ng parehong mga grupo ng mga vectors ay nag-tutugma.

Ipinakilala sa amin mga linear na operasyon sa mga vector gawin itong posible upang lumikha ng iba't ibang mga expression para sa dami ng vector at baguhin ang mga ito gamit ang mga katangiang itinakda para sa mga operasyong ito.

Batay sa isang ibinigay na hanay ng mga vectors a 1, ..., a n, maaari kang lumikha ng isang expression ng form

kung saan ang isang 1, ..., at n ay mga arbitrary na tunay na numero. Ang ekspresyong ito ay tinatawag linear na kumbinasyon ng mga vector isang 1, ..., isang n. Ang mga numerong α i, i = 1, n, ay kumakatawan linear na kumbinasyon coefficients. Ang isang hanay ng mga vector ay tinatawag din sistema ng vector.

Kaugnay ng ipinakilalang konsepto ng isang linear na kumbinasyon ng mga vector, ang problema ay lumitaw sa paglalarawan ng isang hanay ng mga vectors na maaaring isulat bilang isang linear na kumbinasyon ng isang naibigay na sistema ng mga vectors a 1, ..., a n. Bilang karagdagan, may mga natural na tanong tungkol sa mga kondisyon kung saan mayroong representasyon ng isang vector sa anyo ng isang linear na kumbinasyon, at tungkol sa pagiging natatangi ng naturang representasyon.

Kahulugan 2.1. Ang mga vectors a 1, ..., at n ay tinatawag nakadepende sa linear, kung mayroong isang set ng coefficients α 1 , ... , α n tulad na

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

at hindi bababa sa isa sa mga coefficient na ito ay hindi zero. Kung ang tinukoy na hanay ng mga coefficient ay hindi umiiral, kung gayon ang mga vector ay tinatawag linearly independent.

Kung α 1 = ... = α n = 0, kung gayon, malinaw naman, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Sa pag-iisip na ito, masasabi natin ito: mga vectors a 1, ..., at Ang n ay linearly independent kung sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay (2.2) na ang lahat ng coefficients α 1 , ... , α n ay katumbas ng zero.

Ang sumusunod na theorem ay nagpapaliwanag kung bakit ang bagong konsepto ay tinatawag na terminong "dependence" (o "independence"), at nagbibigay ng isang simpleng criterion para sa linear dependence.

Teorama 2.1. Upang ang mga vectors a 1, ..., at n, n > 1, ay maging linearly dependent, kinakailangan at sapat na ang isa sa mga ito ay isang linear na kumbinasyon ng iba.

◄ Pangangailangan. Ipagpalagay natin na ang mga vectors a 1, ..., at n ay linearly dependent. Ayon sa Depinisyon 2.1 ng linear dependence, sa pagkakapantay-pantay (2.2) sa kaliwa ay mayroong kahit isang non-zero coefficient, halimbawa α 1. Iniwan ang unang termino sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, inililipat namin ang natitira sa kanang bahagi, binabago ang kanilang mga palatandaan, gaya ng dati. Ang paghahati ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng α 1, nakukuha natin

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

mga. representasyon ng vector a 1 bilang isang linear na kumbinasyon ng natitirang mga vectors a 2, ..., a n.

Kasapatan. Hayaan, halimbawa, ang unang vector a 1 ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga natitirang vectors: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Ang paglilipat ng lahat ng mga termino mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, makakakuha tayo ng 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, i.e. isang linear na kumbinasyon ng mga vectors a 1, ..., a n na may coefficients α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, katumbas ng zero vector. Sa linear na kumbinasyong ito, hindi lahat ng coefficient ay zero. Ayon sa Definition 2.1, ang mga vectors a 1, ..., at n ay linearly dependent.

Ang kahulugan at criterion para sa linear dependence ay binuo upang ipahiwatig ang pagkakaroon ng dalawa o higit pang mga vector. Gayunpaman, maaari rin nating pag-usapan ang tungkol sa isang linear na pag-asa ng isang vector. Upang mapagtanto ang posibilidad na ito, sa halip na "ang mga vector ay linearly dependent," kailangan mong sabihin na "ang sistema ng mga vectors ay linearly dependent." Madaling makita na ang expression na "isang sistema ng isang vector ay linearly dependent" ay nangangahulugan na ang solong vector na ito ay zero (sa isang linear na kumbinasyon ay mayroon lamang isang koepisyent, at hindi ito dapat katumbas ng zero).

Ang konsepto ng linear dependence ay may simpleng geometric na interpretasyon. Nililinaw ng sumusunod na tatlong pahayag ang interpretasyong ito.

Teorama 2.2. Dalawang vector ang linearly na umaasa kung at kung sila lang collinear.

◄ Kung ang mga vectors a at b ay linearly dependent, kung gayon ang isa sa mga ito, halimbawa a, ay ipinahayag sa pamamagitan ng isa, i.e. a = λb para sa ilang totoong numero λ. Ayon sa kahulugan 1.7 gumagana mga vector bawat numero, ang mga vectors a at b ay collinear.

Hayaan ngayon ang mga vectors a at b ay collinear. Kung pareho silang zero, malinaw na nakadepende sila sa linya, dahil ang anumang linear na kumbinasyon ng mga ito ay katumbas ng zero vector. Hayaan ang isa sa mga vector na ito ay hindi katumbas ng 0, halimbawa vector b. Tukuyin natin sa pamamagitan ng λ ang ratio ng mga haba ng vector: λ = |a|/|b|. Ang mga collinear vector ay maaaring unidirectional o salungat na direksyon. Sa huling kaso, binabago namin ang tanda ng λ. Pagkatapos, pagsuri sa Depinisyon 1.7, kami ay kumbinsido na a = λb. Ayon sa Theorem 2.1, ang mga vectors a at b ay linearly dependent.

Puna 2.1. Sa kaso ng dalawang vectors, na isinasaalang-alang ang criterion ng linear dependence, ang napatunayang theorem ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: dalawang vectors ay collinear kung at kung ang isa sa kanila ay kinakatawan bilang produkto ng isa sa pamamagitan ng isang numero. Ito ay isang maginhawang criterion para sa collinearity ng dalawang vectors.

Teorama 2.3. Tatlong vector ang linearly na umaasa kung at kung sila lang coplanar.

◄ Kung ang tatlong vectors a, b, c ay linearly dependent, kung gayon, ayon sa Theorem 2.1, isa sa mga ito, halimbawa a, ay isang linear na kumbinasyon ng iba pa: a = βb + γc. Pagsamahin natin ang mga pinagmulan ng mga vectors b at c sa punto A. Pagkatapos ang mga vectors βb, γс ay magkakaroon ng isang karaniwang pinagmulan sa punto A at kasama ayon sa paralelogram na tuntunin, ang kanilang kabuuan ay mga. Ang vector a ay magiging isang vector na may pinanggalingan A at wakas, na siyang vertex ng isang paralelogram na binuo sa mga component vector. Kaya, ang lahat ng mga vector ay namamalagi sa parehong eroplano, ibig sabihin, coplanar.

Hayaang maging coplanar ang mga vectors a, b, c. Kung ang isa sa mga vector na ito ay zero, kung gayon ay malinaw na ito ay magiging isang linear na kumbinasyon ng iba. Ito ay sapat na upang kunin ang lahat ng mga coefficient ng isang linear na kumbinasyon na katumbas ng zero. Samakatuwid, maaari nating ipagpalagay na ang lahat ng tatlong mga vector ay hindi zero. Magkatugma nagsimula ng mga vector na ito sa isang karaniwang punto O. Hayaang ang kanilang mga dulo ay mga puntos A, B, C, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 2.1). Sa pamamagitan ng punto C gumuhit kami ng mga linya na kahanay sa mga linya na dumadaan sa mga pares ng mga puntos na O, A at O, B. Ang pagtatalaga ng mga punto ng intersection bilang A" at B", nakakakuha kami ng parallelogram OA"CB", samakatuwid, OC" = OA" + OB". Vector OA" at ang di-zero na vector a = OA ay collinear, at samakatuwid ang una sa mga ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng pangalawa sa isang tunay na numero α:OA" = αOA. Katulad nito, OB" = βOB, β ∈ R. Bilang resulta, nakuha natin na ang OC" = α OA. + βOB, ibig sabihin, ang vector c ay isang linear na kumbinasyon ng mga vectors a at b. Ayon sa Theorem 2.1, ang mga vectors a, b, c ay linearly dependent.

Teorama 2.4. Anumang apat na vectors ay linearly dependent.

◄ Isinasagawa namin ang patunay ayon sa parehong pamamaraan tulad ng sa Theorem 2.3. Isaalang-alang ang arbitrary na apat na vectors a, b, c at d. Kung ang isa sa apat na vectors ay zero, o kasama ng mga ito ay mayroong dalawang collinear vectors, o tatlo sa apat na vectors ay coplanar, ang apat na vectors na ito ay linearly dependent. Halimbawa, kung ang mga vectors a at b ay collinear, maaari nating gawin ang kanilang linear na kumbinasyon na αa + βb = 0 na may mga non-zero coefficients, at pagkatapos ay idagdag ang natitirang dalawang vector sa kumbinasyong ito, na kumukuha ng mga zero bilang coefficient. Nakukuha namin ang isang linear na kumbinasyon ng apat na vector na katumbas ng 0, kung saan mayroong mga non-zero coefficient.

Kaya, maaari nating ipagpalagay na sa mga napiling apat na vector, walang mga vector ang zero, walang dalawa ang collinear, at walang tatlo ang coplanar. Piliin natin ang puntong O bilang kanilang karaniwang simula. Sa pamamagitan ng punto D gumuhit kami ng tatlong eroplanong parallel sa mga eroplanong OBC, OCA, OAB, at hayaan ang A", B", C" na maging mga punto ng intersection ng mga eroplanong ito na may mga tuwid na linya na OA, OB, OS, ayon sa pagkakabanggit. parallelepiped OA" C "B" C" B"DA", at ang mga vectors a, b, c ay nakahiga sa mga gilid nito na lumalabas mula sa vertex O. Dahil ang quadrilateral OC"DC" ay isang parallelogram, kung gayon ang OD = OC" + OC " Sa turn, ang segment na OC" ay isang parallelogram na OA"C"B", kaya OC" = OA" + OB" at OD = OA" + OB" + OC" .

Nananatiling tandaan na ang mga pares ng mga vectors OA ≠ 0 at OA" , OB ≠ 0 at OB" , OC ≠ 0 at OC" ay collinear, at, samakatuwid, posible na piliin ang mga coefficient α, β, γ upang OA" = αOA , OB" = βOB at OC" = γOC. Sa wakas ay nakuha namin ang OD = αOA + βOB + γOC. Dahil dito, ang OD vector ay ipinahayag sa mga tuntunin ng iba pang tatlong vectors, at lahat ng apat na vectors, ayon sa Theorem 2.1, ay linearly dependent.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Solusyon. Naghahanap kami ng pangkalahatang solusyon sa sistema ng mga equation

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Pamamaraan ng Gauss. Upang gawin ito, isulat namin ang homogenous system na ito sa mga coordinate:

System Matrix

Ang pinahihintulutang sistema ay may form: (r A = 2, n= 3). Ang sistema ay kooperatiba at hindi sigurado. Ang pangkalahatang solusyon nito ( x 2 – libreng variable): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Ang pagkakaroon ng isang non-zero partikular na solusyon, halimbawa, ay nagpapahiwatig na ang mga vectors a 1 , a 2 , a 3 nakadepende sa linear.

Halimbawa 2.

Alamin kung linearly dependent o linearly independent ang isang ibinigay na sistema ng mga vector:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Solusyon. Isaalang-alang ang isang homogenous na sistema ng mga equation a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

o sa pinalawak na anyo (sa pamamagitan ng mga coordinate)

Ang sistema ay homogenous. Kung ito ay hindi degenerate, kung gayon mayroon itong natatanging solusyon. Sa kaso ng isang homogenous na sistema, mayroong isang zero (walang halaga) na solusyon. Nangangahulugan ito na sa kasong ito ang sistema ng mga vector ay independyente. Kung ang sistema ay degenerate, kung gayon mayroon itong mga non-zero na solusyon at, samakatuwid, ito ay nakasalalay.

Sinusuri namin ang system para sa pagkabulok:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Ang sistema ay non-degenerate at, sa gayon, ang mga vectors a 1 , a 2 , a 3 linearly independent.

Mga gawain. Alamin kung linearly dependent o linearly independent ang isang ibinigay na sistema ng mga vector:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Patunayan na ang isang sistema ng mga vector ay magiging linearly dependent kung naglalaman ito ng:

a) dalawang pantay na vectors;

b) dalawang proporsyonal na vector.