Linear na pag-asa at kalayaan. Linear dependence at independence, mga katangian, pag-aaral ng isang sistema ng mga vectors para sa linear dependence, mga halimbawa at solusyon sa linear independence theorem

Lemma 1 : Kung sa isang matrix na may sukat n n kahit isang hilera (column) ay zero, kung gayon ang mga row (column) ng matrix ay linearly dependent.

Patunay: Hayaan ang unang linya na maging zero, kung gayon

saan isang 10. Iyon ang kinakailangan.

Kahulugan: Ang isang matrix na ang mga elemento na matatagpuan sa ibaba ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero ay tinatawag tatsulok:

at ij = 0, i>j.

Lemma 2: Ang determinant ng isang triangular matrix ay katumbas ng produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal.

Ang patunay ay madaling isagawa sa pamamagitan ng induction sa dimensyon ng matrix.

Teorama sa linear na kalayaan ng mga vectors.

A)Pangangailangan: nakadepende sa linear D=0 .

Patunay: Hayaan silang maging linearly dependent, j=,

ibig sabihin, mayroong isang j , hindi lahat ay katumbas ng zero, j= , Ano a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n = , A j – mga hanay ng matrix A. Hayaan, halimbawa, isang n¹0.

Meron kami a j * = a j / a n , j£ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .

Palitan natin ang huling column ng matrix A sa

A n * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n = .

Ayon sa napatunayang pag-aari sa itaas ng determinant (hindi ito magbabago kung ang isa pang column sa isang matrix ay idinagdag sa anumang column, na pinarami ng isang numero), ang determinant ng bagong matrix ay katumbas ng determinant ng orihinal na isa. Ngunit sa bagong matrix ang isang column ay zero, na nangangahulugan na, ang pagpapalawak ng determinant sa column na ito, nakukuha natin D=0, Q.E.D.

b)Kasapatan: Sukat ng matrix nna may mga linearly independent row Maaari itong palaging bawasan sa isang triangular na anyo gamit ang mga pagbabagong hindi nagbabago sa ganap na halaga ng determinant. Bukod dito, mula sa kalayaan ng mga hilera ng orihinal na matrix, sumusunod na ang determinant nito ay katumbas ng zero.

1. Kung sa size matrix n na may linearly independent rows element isang 11 ay katumbas ng zero, pagkatapos ay ang column na may elemento isang 1 j ¹ 0. Ayon sa Lemma 1, umiiral ang gayong elemento. Ang determinant ng transformed matrix ay maaaring mag-iba mula sa determinant ng orihinal na matrix sa sign lamang.

2. Mula sa mga linyang may mga numero i>1 ibawas ang unang linya na pinarami ng fraction a i 1 / a 11. Bukod dito, sa unang hanay ng mga hilera na may mga numero i>1 makakakuha ka ng zero na elemento.

3. Simulan natin ang pagkalkula ng determinant ng resultang matrix sa pamamagitan ng pag-decomposing sa unang column. Dahil ang lahat ng elemento dito maliban sa una ay katumbas ng zero,

D bago = a 11 bago (-1) 1+1 D 11 bago,

saan d 11 bago ay ang determinant ng isang matrix na may mas maliit na sukat.

Susunod, upang kalkulahin ang determinant D 11 ulitin ang mga hakbang 1, 2, 3 hanggang ang huling determinant ay lumabas na determinant ng size matrix 1 1. Dahil ang hakbang 1 ay nagbabago lamang ng tanda ng determinant ng matrix na binago, at ang hakbang 2 ay hindi nagbabago sa halaga ng determinant, pagkatapos, hanggang sa sign, sa huli ay makukuha natin ang determinant ng orihinal na matrix. Sa kasong ito, dahil dahil sa linear na kalayaan ng mga hilera ng orihinal na matrix, ang hakbang 1 ay palaging nasiyahan, ang lahat ng mga elemento ng pangunahing dayagonal ay magiging hindi katumbas ng zero. Kaya, ang pangwakas na determinant, ayon sa inilarawan na algorithm, ay katumbas ng produkto ng mga di-zero na elemento sa pangunahing dayagonal. Samakatuwid, ang determinant ng orihinal na matrix ay hindi katumbas ng zero. Q.E.D.

Appendix 2

Ang mga sumusunod ay nagbibigay ng ilang pamantayan para sa linear dependence at, nang naaayon, linear independence ng mga vector system.

Teorama. (Kinakailangan at sapat na kondisyon para sa linear dependence ng mga vectors.)

Ang isang sistema ng mga vector ay nakasalalay kung at kung ang isa sa mga vector ng system ay linear na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pa ng sistemang ito.

Patunay. Pangangailangan. Hayaang maging linearly dependent ang system. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, kinakatawan nito ang zero vector na hindi trivially, i.e. mayroong isang di-maliit na kumbinasyon ng sistemang ito ng mga vector na katumbas ng zero vector:

kung saan hindi bababa sa isa sa mga coefficient ng linear na kumbinasyong ito ay hindi katumbas ng zero. Hayaan mo,.

Hatiin natin ang magkabilang panig ng nakaraang pagkakapantay-pantay sa non-zero coefficient na ito (i.e. multiply sa:

Tukuyin natin: , kung saan .

mga. ang isa sa mga vector ng system ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pa ng system na ito, atbp.

Kasapatan. Hayaang ang isa sa mga vector ng system ay linearly na ipahayag sa pamamagitan ng iba pang mga vector ng system na ito:

Ilipat natin ang vector sa kanan ng pagkakapantay-pantay na ito:

Dahil ang koepisyent ng vector ay katumbas ng , kung gayon mayroon kaming isang nontrivial na representasyon ng zero sa pamamagitan ng isang sistema ng mga vector, na nangangahulugan na ang sistemang ito ng mga vector ay linearly na umaasa, atbp.

Ang teorama ay napatunayan.

Bunga.

1. Ang isang sistema ng mga vector sa isang vector space ay linearly independent kung at kung wala sa mga vectors ng system ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng iba pang mga vectors ng system na ito.

2. Ang isang sistema ng mga vector na naglalaman ng isang zero vector o dalawang magkaparehong mga vector ay linearly dependent.

Patunay.

1) Pangangailangan. Hayaang maging linearly independent ang system. Ipagpalagay natin ang kabaligtaran at mayroong isang vector ng system na linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pang mga vectors ng system na ito. Pagkatapos, ayon sa theorem, ang sistema ay nakadepende sa linya at nakarating tayo sa isang kontradiksyon.

Kasapatan. Huwag hayaang maipahayag ang alinman sa mga vectors ng system sa mga tuntunin ng iba. Ipagpalagay natin ang kabaligtaran. Hayaan ang system na maging linearly dependent, ngunit pagkatapos ay sumusunod mula sa theorem na mayroong isang vector ng system na linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pang mga vectors ng system na ito, at muli tayong dumating sa isang kontradiksyon.

2a) Hayaang maglaman ang system ng zero vector. Ipagpalagay natin para sa katiyakan na ang vector :. Tapos halata ang pagkakapantay-pantay

mga. isa sa mga vector ng system ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pang mga vectors ng system na ito. Ito ay sumusunod mula sa theorem na ang naturang sistema ng mga vectors ay linearly dependent, atbp.

Tandaan na ang katotohanang ito ay maaaring mapatunayan nang direkta mula sa isang linearly dependent na sistema ng mga vectors.

Dahil , kitang-kita ang sumusunod na pagkakapantay-pantay

Ito ay isang hindi trivial na representasyon ng zero vector, na nangangahulugan na ang system ay linearly dependent.

2b) Hayaang magkaroon ng dalawang pantay na vector ang sistema. Hayaan para sa . Tapos halata ang pagkakapantay-pantay

Yung. ang unang vector ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng natitirang mga vectors ng parehong sistema. Ito ay sumusunod mula sa theorem na ang sistemang ito ay linearly dependent, atbp.

Katulad ng nauna, ang pahayag na ito ay maaaring mapatunayan nang direkta sa pamamagitan ng kahulugan ng isang linearly dependent system

kung saan sumusunod ang linear dependence ng system.

Ang teorama ay napatunayan.

Bunga. Ang isang sistema na binubuo ng isang vector ay linearly independent kung at kung ang vector na ito ay nonzero.

Hayaan L – linear na espasyo sa ibabaw ng field R . Hayaan А1, а2, …, аn (*) may hangganan na sistema ng mga vector mula sa L . Vector SA = a1× A1 + a2× A2 + … + isang× An (16) ay tinatawag Linear na kumbinasyon ng mga vector ( *), o sinasabi nila na ito ay isang vector SA linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng isang sistema ng mga vectors (*).

Kahulugan 14. Ang sistema ng mga vectors (*) ay tinatawag Nakadepende sa linear , kung at kung mayroong isang di-zero na hanay ng mga coefficient a1, a2, … , isang tulad na a1× A1 + a2× A2 + … + isang× An = 0. Kung a1× A1 + a2× A2 + … + isang× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, pagkatapos ay tinatawag ang system (*). Linearly independent.

Mga katangian ng linear dependence at independence.

10. Kung ang isang sistema ng mga vector ay naglalaman ng isang zero vector, ito ay linearly na umaasa.

Sa katunayan, kung sa system (*) ang vector A1 = 0, 1× yan 0 + 0× A2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. Kung ang isang sistema ng mga vector ay naglalaman ng dalawang proporsyonal na mga vector, kung gayon ito ay linearly na umaasa.

Hayaan A1 = L×a2. Tapos 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Ang isang may hangganang sistema ng mga vectors (*) para sa n ³ 2 ay linearly dependent kung at kung hindi bababa sa isa sa mga vectors nito ay isang linear na kumbinasyon ng mga natitirang vectors ng system na ito.

Þ Hayaang maging linearly dependent ang (*). Pagkatapos ay mayroong isang di-zero na hanay ng mga coefficient a1, a2, …, an, kung saan a1× A1 + a2× A2 + … + isang× An = 0 . Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na a1 ¹ 0. Pagkatapos ay mayroon A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Kaya, vector A1 ay isang linear na kumbinasyon ng mga natitirang vectors.

Ü Hayaang ang isa sa mga vector (*) ay isang linear na kumbinasyon ng iba. Maaari nating ipagpalagay na ito ang unang vector, i.e. A1 = B2 A2+ … + bn A N, Kaya naman (–1)× A1 + b2 A2+ … + bn A N= 0 , ibig sabihin. (*) ay linearly dependent.

Magkomento. Gamit ang huling pag-aari, maaari nating tukuyin ang linear na pag-asa at kalayaan ng isang walang katapusang sistema ng mga vector.

Kahulugan 15. Sistema ng vector А1, а2, …, аn , … (**) ay tinatawag na Nakadepende sa linear, Kung hindi bababa sa isa sa mga vector nito ay isang linear na kumbinasyon ng ilang may hangganan na bilang ng iba pang mga vector. Kung hindi, ang system (**) ay tinatawag Linearly independent.

40. Ang isang may hangganang sistema ng mga vector ay linearly na independyente kung at kung wala sa mga vectors nito ang maaaring linearly na ipahayag sa mga tuntunin ng mga natitirang vectors nito.

50. Kung ang isang sistema ng mga vector ay linearly independent, kung gayon ang alinman sa mga subsystem nito ay linearly independent din.

60. Kung ang ilang subsystem ng isang ibinigay na sistema ng mga vector ay linearly dependent, ang buong sistema ay linearly dependent din.

Hayaang magbigay ng dalawang sistema ng mga vector А1, а2, …, аn , … (16) at В1, В2, …, Вs, … (17). Kung ang bawat vector ng system (16) ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng isang may hangganan na bilang ng mga vectors ng system (17), kung gayon ang system (17) ay sinasabing linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng system (16).

Kahulugan 16. Ang dalawang sistema ng vector ay tinatawag Katumbas , kung ang bawat isa sa kanila ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng isa.

Teorama 9 (basic linear dependence theorem).

Hayaan na – dalawang may hangganan na sistema ng mga vector mula sa L . Kung ang unang sistema ay linearly independent at linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng pangalawa, kung gayon N£s.

Patunay. Magpanggap na tayo N> S. Ayon sa mga kondisyon ng teorama

magkadugtong Dahil ang bilang ng mga equation ay mas malaki kaysa sa bilang ng mga hindi alam, ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon. Samakatuwid, mayroon itong non-zero X10, x20, …, xN0. Para sa mga halagang ito, ang pagkakapantay-pantay (18) ay magiging totoo, na sumasalungat sa katotohanan na ang sistema ng mga vectors ay linearly independent. Kaya mali ang assumption natin. Kaya naman, N£s.

Bunga. Kung ang dalawang katumbas na sistema ng mga vector ay may hangganan at linearly na independyente, kung gayon naglalaman ang mga ito ng parehong bilang ng mga vector.

Kahulugan 17. Ang sistema ng vector ay tinatawag Pinakamataas na linearly independent system ng mga vectors Linear na espasyo L , kung ito ay linearly independent, ngunit kapag idinagdag dito ang anumang vector mula sa L , hindi kasama sa sistemang ito, nagiging linearly dependent ito.

Teorama 10. Anumang dalawang finite maximal linearly independent system ng mga vectors mula sa L Naglalaman ng parehong bilang ng mga vector.

Patunay sumusunod mula sa katotohanan na ang anumang dalawang pinakamataas na linearly independiyenteng mga sistema ng mga vector ay katumbas .

Madaling patunayan na ang anumang linearly independent system ng space vectors L ay maaaring mapalawak sa isang pinakamataas na linearly independent system ng mga vector sa espasyong ito.

Mga halimbawa:

1. Sa hanay ng lahat ng mga collinear na geometric na vector, anumang sistema na binubuo ng isang nonzero vector ay pinakamataas na linearly independent.

2. Sa hanay ng lahat ng coplanar geometric vectors, anumang dalawang non-collinear vectors ay bumubuo ng isang pinakamataas na linearly independent system.

3. Sa hanay ng lahat ng posibleng geometric na vector ng three-dimensional na Euclidean space, ang anumang sistema ng tatlong non-coplanar vectors ay maximally linearly independent.

4. Sa hanay ng lahat ng polynomial, ang mga degree ay hindi mas mataas kaysa N Sa tunay (kumplikadong) coefficients, isang sistema ng polynomials 1, x, x2, … , xn Ay maximally linearly independyente.

5. Sa hanay ng lahat ng polynomial na may tunay na (kumplikadong) coefficient, ang mga halimbawa ng isang pinakamataas na linearly independent system ay

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. Set ng mga matrice ng dimensyon M´ N ay isang linear na espasyo (suriin ito). Ang isang halimbawa ng pinakamataas na linearly independent system sa espasyong ito ay ang matrix system E11= , E12 =, …, EMn = .

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga vector C1, c2, …, cf (*). Ang subsystem ng mga vectors mula sa (*) ay tinatawag Maximum na linearly independent Subsystem Mga sistema ( *) , kung ito ay linearly independent, ngunit kapag nagdagdag ng anumang iba pang vector ng system na ito dito, ito ay nagiging linearly dependent. Kung ang system (*) ay may hangganan, kung gayon ang alinman sa pinakamalaki nitong linearly independent subsystem ay naglalaman ng parehong bilang ng mga vector. (Patunayan mo ito sa iyong sarili). Ang bilang ng mga vector sa maximum na linearly independent subsystem ng system (*) ay tinatawag Ranggo Ang sistemang ito. Malinaw, ang mga katumbas na sistema ng mga vector ay may parehong ranggo.

Theorem 1. (Sa linear na pagsasarili ng orthogonal vectors). Let Then ang system ng mga vectors ay linearly independent.

Gumawa tayo ng linear na kumbinasyon ∑λ i x i =0 at isaalang-alang ang scalar product (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, ngunit ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

Kahulugan 1. Sistema ng vectoro (e i ,e j)=δ ij - simbolo ng Kronecker, tinatawag na orthonormal (ONS).

Kahulugan 2. Para sa isang di-makatwirang elemento x ng isang arbitraryong infinite-dimensional na Euclidean space at isang arbitraryong orthonormal na sistema ng mga elemento, ang Fourier series ng isang elemento x sa ibabaw ng system ay tinatawag na pormal na binubuo ng walang katapusan na kabuuan (serye) ng anyo , kung saan ang mga tunay na numero λ i ay tinatawag na Fourier coefficients ng elementong x sa system, kung saan λ i =(x,e i).

Komento. (Naturally, ang tanong ay lumitaw tungkol sa convergence ng seryeng ito. Upang pag-aralan ang isyung ito, inaayos namin ang isang di-makatwirang numero n at alamin kung ano ang pagkakaiba ng ika-na bahagi ng serye ng Fourier mula sa anumang iba pang linear na kumbinasyon ng unang n elemento ng orthonormal system.)

Teorama 2. Para sa anumang nakapirming numero n, sa lahat ng kabuuan ng anyo, ang ika-na bahagi ng kabuuan ng Fourier serye ng elemento ay may pinakamaliit na paglihis mula sa elementong x ayon sa pamantayan ng isang ibinigay na espasyong Euclidean

Isinasaalang-alang ang orthonormality ng system at ang kahulugan ng Fourier coefficient, maaari nating isulat

Ang pinakamababa ng expression na ito ay nakakamit sa c i =λ i, dahil sa kasong ito ang di-negatibong unang kabuuan sa kanang bahagi ay palaging nawawala, at ang natitirang mga termino ay hindi nakasalalay sa c i.

Halimbawa. Isaalang-alang ang trigonometric system

sa espasyo ng lahat ng Riemann integrable function f(x) sa segment [-π,π]. Madaling suriin na ito ay isang ONS, at pagkatapos ay ang Fourier Series ng function na f(x) ay may form kung saan .

Komento. (Ang trigonometric Fourier series ay karaniwang nakasulat sa anyo Pagkatapos )

Ang isang di-makatwirang ONS sa isang walang katapusang-dimensional na espasyong Euclidean na walang karagdagang mga pagpapalagay, sa pangkalahatan, ay hindi batayan ng espasyong ito. Sa isang intuitive na antas, nang hindi nagbibigay ng mahigpit na mga kahulugan, ilalarawan namin ang kakanyahan ng bagay. Sa isang arbitrary na infinite-dimensional na Euclidean space E, isaalang-alang ang ONS, kung saan (e i ,e j)=δ ij ang simbolo ng Kronecker. Hayaang ang M ay isang subspace ng Euclidean space, at ang k=M ⊥ ay isang subspace na orthogonal sa M na ang Euclidean space E=M+M ⊥ . Ang projection ng vector x∈E papunta sa subspace M ay ang vector ∈M, kung saan

Hahanapin natin ang mga halagang iyon ng expansion coefficients α k kung saan ang nalalabi (squared residual) h 2 =||x-|| 2 ang magiging pinakamababa:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Malinaw na ang expression na ito ay kukuha ng pinakamababang halaga sa α k =0, na walang kabuluhan, at sa α k =(x,e k). Pagkatapos ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Mula dito nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel ∑α k 2 ||x|| 2. Sa ρ=0 ang orthonormal system of vectors (ONS) ay tinatawag na kumpletong orthonormal system sa Steklov sense (PONS). Mula dito maaari nating makuha ang pagkakapantay-pantay ng Steklov-Parseval ∑α k 2 =||x|| 2 - ang "Pythagorean theorem" para sa walang katapusang-dimensional na mga puwang na Euclidean na kumpleto sa kahulugan ng Steklov. Ngayon ay kinakailangan upang patunayan na upang ang anumang vector sa kalawakan ay natatanging kinakatawan sa anyo ng isang seryeng Fourier na nagtatagpo dito, ito ay kinakailangan at sapat para sa pagkakapantay-pantay ng Steklov-Parseval na mahawakan. Ang sistema ng mga vectors pic=""> ONB ay bumubuo ng sistema ng mga vector Pagkatapos parang buntot ng convergent series. Kaya, ang sistema ng mga vector ay isang PONS at bumubuo ng isang ONB.

Halimbawa. Trigonometric system

sa espasyo ng lahat ng Riemann-integrable function na f(x) sa segment na [-π,π] ay isang PONS at bumubuo ng isang ONB.

Tinatawag ang mga function linearly independent, Kung

(isang maliit na linear na kumbinasyon ng mga function na magkaparehong katumbas ng zero ang pinapayagan). Sa kaibahan sa linear na kalayaan ng mga vectors, dito ang linear na kumbinasyon ay magkapareho sa zero, at hindi pagkakapantay-pantay. Ito ay naiintindihan, dahil ang pagkakapantay-pantay ng isang linear na kumbinasyon sa zero ay dapat masiyahan para sa anumang halaga ng argumento.

Tinatawag ang mga function nakadepende sa linear, kung mayroong isang non-zero set ng mga constants (hindi lahat ng constants ay katumbas ng zero) tulad na (mayroong isang non-trivial linear na kumbinasyon ng mga function na magkaparehong katumbas ng zero).

Teorama.Upang maging linearly dependent ang mga function, kinakailangan at sapat na ang alinman sa mga ito ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba (kinakatawan bilang kanilang linear na kumbinasyon).

Patunayan ang teorama na ito sa iyong sarili;

Ang determinant ni Vronsky.

Ang Wronski determinant para sa mga function ay ipinakilala bilang isang determinant na ang mga column ay ang mga derivatives ng mga function na ito mula sa zero (ang mga function mismo) hanggang sa n-1st order.

.

Teorama. Kung ang mga function ay linearly dependent, kung gayon

Patunay. Dahil ang mga pag-andar ay linearly dependent, pagkatapos ay alinman sa mga ito ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba, halimbawa,

Ang pagkakakilanlan ay maaaring iba-iba, kaya

Pagkatapos ang unang column ng Wronski determinant ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng natitirang mga column, kaya ang Wronski determinant ay identically equal to zero.

Teorama.Upang maging linearly dependent ang mga solusyon ng isang linear homogeneous differential equation ng nth order, kinakailangan at sapat na.

Patunay. Ang pangangailangan ay sumusunod mula sa nakaraang teorama.

Kasapatan. Ayusin natin ang ilang punto. Dahil , ang mga column ng determinant na kinakalkula sa puntong ito ay linearly dependent vectors.

, na ang mga relasyon ay nasisiyahan

Dahil ang isang linear na kumbinasyon ng mga solusyon sa isang linear homogenous na equation ay ang solusyon nito, maaari nating ipakilala ang isang solusyon ng form

Isang linear na kumbinasyon ng mga solusyon na may parehong coefficient.

Tandaan na ang solusyon na ito ay nakakatugon sa zero na mga paunang kondisyon; ito ay sumusunod mula sa sistema ng mga equation na nakasulat sa itaas. Ngunit ang trivial na solusyon ng isang linear homogeneous equation ay nakakatugon din sa parehong zero na paunang kondisyon. Samakatuwid, mula sa teorama ni Cauchy ay sumusunod na ang ipinakilalang solusyon ay magkaparehong katumbas ng walang halaga, samakatuwid,

samakatuwid ang mga solusyon ay linearly dependent.

Bunga.Kung ang determinant ng Wronski, na binuo sa mga solusyon ng isang linear homogeneous na equation, ay naglalaho ng hindi bababa sa isang punto, kung gayon ito ay kaparehong katumbas ng zero.

Patunay. Kung , ang mga solusyon ay linearly dependent, samakatuwid, .

Teorama.1. Para sa linear dependence ng mga solusyon ito ay kinakailangan at sapat(o ).

2. Para sa linear na kalayaan ng mga solusyon ito ay kinakailangan at sapat.

Patunay. Ang unang pahayag ay sumusunod mula sa theorem at corollary na pinatunayan sa itaas. Ang pangalawang pahayag ay madaling mapatunayan sa pamamagitan ng kontradiksyon.

Hayaang maging linearly independent ang mga solusyon. Kung , ang mga solusyon ay linearly dependent. Kontradiksyon. Kaya naman, .

Hayaan . Kung ang mga solusyon ay linearly dependent, kung gayon , samakatuwid, isang kontradiksyon. Samakatuwid, ang mga solusyon ay linearly independent.

Bunga.Ang pagkawala ng determinant ng Wronski kahit man lang isang punto ay isang criterion para sa linear dependence ng mga solusyon sa isang linear homogeneous equation.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng Wronski determinant at zero ay isang criterion para sa linear na kalayaan ng mga solusyon sa isang linear homogeneous equation.

Teorama.Ang dimensyon ng espasyo ng mga solusyon sa isang linear na homogenous na equation ng nth order ay katumbas ng n.

Patunay.

a) Ipakita natin na mayroong n linearly independent na solusyon sa isang linear homogeneous differential equation ng nth order. Isaalang-alang natin ang mga solusyon , na natutugunan ang mga sumusunod na paunang kundisyon:

...........................................................

Ang ganitong mga solusyon ay umiiral. Sa katunayan, ayon sa teorama ni Cauchy, sa pamamagitan ng punto dumadaan sa iisang integral curve—ang solusyon. Sa pamamagitan ng punto ang solusyon ay dumadaan sa punto

- solusyon, sa pamamagitan ng isang punto - solusyon.

Ang mga solusyong ito ay linearly independent, since .

b) Ipakita natin na ang anumang solusyon sa isang linear homogenous na equation ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng mga solusyong ito (ay ang kanilang linear na kumbinasyon).

Isaalang-alang natin ang dalawang solusyon. Isa - isang di-makatwirang solusyon na may mga paunang kondisyon . Patas na ratio