Paano mahahanap ang posibilidad ng isang halimbawa ng kaganapan. Klasikal at istatistikal na kahulugan ng posibilidad

Sa ekonomiya, tulad ng sa iba pang mga lugar ng aktibidad ng tao o sa kalikasan, palagi nating kailangang harapin ang mga kaganapan na hindi tumpak na mahulaan. Kaya, ang dami ng benta ng isang produkto ay nakasalalay sa demand, na maaaring mag-iba nang malaki, at sa ilang iba pang mga kadahilanan na halos imposibleng isaalang-alang. Samakatuwid, kapag nag-oorganisa ng produksyon at nagsasagawa ng mga benta, kailangan mong hulaan ang kinalabasan ng mga naturang aktibidad batay sa alinman sa iyong nakaraang karanasan, o katulad na karanasan ng ibang tao, o intuwisyon, na sa isang malaking lawak ay umaasa din sa pang-eksperimentong data.

Upang kahit papaano masuri ang kaganapang pinag-uusapan, kinakailangang isaalang-alang o espesyal na ayusin ang mga kondisyon kung saan naitala ang kaganapang ito.

Ang pagpapatupad ng ilang partikular na kundisyon o aksyon upang matukoy ang pinag-uusapang kaganapan ay tinatawag karanasan o eksperimento.

Ang kaganapan ay tinatawag na random, kung bilang resulta ng karanasan ito ay maaaring mangyari o hindi.

Ang kaganapan ay tinatawag na maaasahan, kung kinakailangang lumabas ito bilang resulta ng isang naibigay na karanasan, at imposible, kung hindi ito makikita sa karanasang ito.

Halimbawa, ang pag-ulan ng niyebe sa Moscow noong Nobyembre 30 ay isang random na kaganapan. Ang araw-araw na pagsikat ng araw ay maaaring ituring na isang maaasahang kaganapan. Ang pag-ulan ng niyebe sa ekwador ay maaaring ituring na isang imposibleng kaganapan.

Ang isa sa mga pangunahing gawain sa teorya ng posibilidad ay ang gawain ng pagtukoy ng isang quantitative measure ng posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap.

Algebra ng mga kaganapan

Ang mga kaganapan ay tinatawag na hindi magkatugma kung hindi sila makikitang magkasama sa parehong karanasan. Kaya, ang pagkakaroon ng dalawa at tatlong kotse sa isang tindahan para sa pagbebenta sa parehong oras ay dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan.

Halaga Ang mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapang ito

Ang isang halimbawa ng kabuuan ng mga kaganapan ay ang pagkakaroon ng hindi bababa sa isa sa dalawang produkto sa tindahan.

Ang trabaho Ang mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo ng sabay-sabay na paglitaw ng lahat ng mga kaganapang ito

Ang isang kaganapan na binubuo ng hitsura ng dalawang kalakal sa isang tindahan sa parehong oras ay isang produkto ng mga kaganapan: - ang hitsura ng isang produkto, - ang hitsura ng isa pang produkto.

Ang mga kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan kung kahit isa sa mga ito ay siguradong mangyayari sa karanasan.

Halimbawa. Ang daungan ay may dalawang puwesto para sa pagtanggap ng mga barko. Tatlong kaganapan ang maaaring isaalang-alang: - ang kawalan ng mga barko sa mga puwesto, - ang pagkakaroon ng isang barko sa isa sa mga puwesto, - ang pagkakaroon ng dalawang barko sa dalawang puwesto. Ang tatlong kaganapang ito ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan.

Kabaligtaran dalawang natatanging posibleng pangyayari na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ay tinatawag.

Kung ang isa sa mga kaganapan na kabaligtaran ay tinutukoy ng , kung gayon ang kabaligtaran na kaganapan ay karaniwang tinutukoy ng .

Mga klasikal at istatistikal na kahulugan ng posibilidad ng kaganapan

Ang bawat isa sa pantay na posibleng resulta ng mga pagsubok (mga eksperimento) ay tinatawag na elementarya na kinalabasan. Sila ay karaniwang itinalaga sa pamamagitan ng mga titik. Halimbawa, ang isang mamatay ay itinapon. Maaaring magkaroon ng kabuuang anim na elementarya na resulta batay sa bilang ng mga puntos sa mga gilid.

Mula sa elementarya na mga resulta maaari kang lumikha ng isang mas kumplikadong kaganapan. Kaya, ang kaganapan ng pantay na bilang ng mga puntos ay tinutukoy ng tatlong resulta: 2, 4, 6.

Ang isang quantitative measure ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapang pinag-uusapan ay probabilidad.

Ang pinakamalawak na ginagamit na mga kahulugan ng posibilidad ng isang kaganapan ay: klasiko At istatistika.

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ay nauugnay sa konsepto ng isang kanais-nais na kinalabasan.

Ang kinalabasan ay tinatawag kanais-nais sa isang naibigay na kaganapan kung ang paglitaw nito ay nangangailangan ng paglitaw ng kaganapang ito.

Sa halimbawa sa itaas, ang kaganapang pinag-uusapan—isang pantay na bilang ng mga puntos sa pinagsama-samang bahagi—ay may tatlong paborableng resulta. Sa kasong ito, ang heneral
bilang ng mga posibleng resulta. Nangangahulugan ito na ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ng isang kaganapan ay maaaring gamitin dito.

Klasikong kahulugan katumbas ng ratio ng bilang ng mga kanais-nais na resulta sa kabuuang bilang ng mga posibleng resulta

kung saan ang posibilidad ng kaganapan, ay ang bilang ng mga kinalabasan na paborable sa kaganapan, ay ang kabuuang bilang ng mga posibleng resulta.

Sa isinasaalang-alang na halimbawa

Ang istatistikal na kahulugan ng probabilidad ay nauugnay sa konsepto ng relatibong dalas ng paglitaw ng isang kaganapan sa mga eksperimento.

Ang kamag-anak na dalas ng paglitaw ng isang kaganapan ay kinakalkula gamit ang formula

kung saan ang bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa isang serye ng mga eksperimento (mga pagsubok).

Kahulugan ng istatistika. Ang posibilidad ng isang kaganapan ay ang numero sa paligid kung saan ang kamag-anak na dalas ay nagpapatatag (nagtatakda) na may walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga eksperimento.

Sa mga praktikal na problema, ang posibilidad ng isang kaganapan ay itinuturing na kamag-anak na dalas para sa isang sapat na malaking bilang ng mga pagsubok.

Mula sa mga kahulugang ito ng posibilidad ng isang kaganapan ay malinaw na ang hindi pagkakapantay-pantay ay palaging nasisiyahan

Upang matukoy ang posibilidad ng isang kaganapan batay sa formula (1.1), kadalasang ginagamit ang mga combinatorics formula, na ginagamit upang mahanap ang bilang ng mga kanais-nais na resulta at ang kabuuang bilang ng mga posibleng resulta.

Kapag ang isang barya ay inihagis, maaari nating sabihin na ito ay dumarating sa ulo, o probabilidad ito ay 1/2. Siyempre, hindi ito nangangahulugan na kung ang isang barya ay ihagis ng 10 beses, ito ay kinakailangang mapunta sa mga ulo ng 5 beses. Kung ang barya ay "patas" at kung ito ay ihahagis ng maraming beses, ang mga ulo ay malapit na malapit sa kalahati ng oras. Kaya, mayroong dalawang uri ng mga probabilidad: eksperimental At teoretikal .

Eksperimento at teoretikal na posibilidad

Kung i-flip natin ang isang barya ng maraming beses - sabihin nating 1000 - at bibilangin kung ilang beses itong dumapo sa mga ulo, matutukoy natin ang posibilidad na mapunta ito sa mga ulo. Kung ang mga ulo ay itinapon ng 503 beses, maaari nating kalkulahin ang posibilidad ng pag-landing nito:
503/1000, o 0.503.

Ito eksperimental pagpapasiya ng posibilidad. Ang kahulugan ng probabilidad na ito ay nagmumula sa pagmamasid at pag-aaral ng data at medyo karaniwan at lubhang kapaki-pakinabang. Narito, halimbawa, ang ilang mga probabilidad na natukoy sa eksperimento:

1. Ang posibilidad na magkaroon ng breast cancer ang isang babae ay 1/11.

2. Kung hahalikan mo ang isang taong may sipon, 0.07 ang probabilidad na sipon ka rin.

3. Ang isang taong kalalabas lang sa kulungan ay may 80% na pagkakataong makabalik sa kulungan.

Kung isasaalang-alang natin ang paghagis ng isang barya at isinasaalang-alang na ito ay kasing posibilidad na ito ay lalabas ng mga ulo o buntot, maaari nating kalkulahin ang posibilidad na makakuha ng mga ulo: 1/2 Ito ay isang teoretikal na kahulugan ng posibilidad. Narito ang ilang iba pang mga probabilidad na natukoy ayon sa teorya gamit ang matematika:

1. Kung mayroong 30 tao sa isang silid, ang posibilidad na dalawa sa kanila ay may parehong kaarawan (hindi kasama ang taon) ay 0.706.

2. Sa isang paglalakbay, may nakilala kang isang tao, at sa panahon ng pag-uusap ay natuklasan mong mayroon kayong kapwa kaibigan. Karaniwang reaksyon: "Hindi ito maaari!" Sa katunayan, ang pariralang ito ay hindi angkop, dahil ang posibilidad ng naturang kaganapan ay medyo mataas - higit sa 22%.

Kaya, ang mga probabilidad ng pang-eksperimento ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagmamasid at pagkolekta ng data. Ang mga teoretikal na probabilidad ay natutukoy sa pamamagitan ng mathematical reasoning. Ang mga halimbawa ng eksperimental at teoretikal na probabilidad, tulad ng mga tinalakay sa itaas, at lalo na ang mga hindi natin inaasahan, ay humahantong sa atin sa kahalagahan ng pag-aaral ng probabilidad. Maaari mong itanong, "Ano ang tunay na posibilidad?" Kung tutuusin, wala namang ganoon. Ang mga probabilidad sa loob ng ilang partikular na limitasyon ay maaaring matukoy sa eksperimentong paraan. Maaari silang tumugma o hindi sa mga probabilidad na nakukuha natin ayon sa teorya. May mga sitwasyon kung saan mas madaling matukoy ang isang uri ng posibilidad kaysa sa iba. Halimbawa, magiging sapat na upang mahanap ang posibilidad na magkaroon ng sipon gamit ang teoretikal na posibilidad.

Pagkalkula ng mga probabilidad na pang-eksperimento

Isaalang-alang muna natin ang pang-eksperimentong kahulugan ng posibilidad. Ang pangunahing prinsipyo na ginagamit namin upang kalkulahin ang mga probabilidad ay ang mga sumusunod.

Prinsipyo P (pang-eksperimento)

Kung sa isang eksperimento kung saan ang n obserbasyon ay ginawa, ang isang sitwasyon o kaganapan E ay nangyayari nang m beses sa n obserbasyon, kung gayon ang pang-eksperimentong posibilidad ng kaganapan ay sinasabing P (E) = m/n.

Halimbawa 1 Sociological survey. Isang eksperimental na pag-aaral ang isinagawa upang matukoy ang bilang ng mga taong kaliwete, kanang kamay at mga tao na ang parehong mga kamay ay pantay na binuo Ang mga resulta ay ipinapakita sa graph.

a) Tukuyin ang posibilidad na ang tao ay kanang kamay.

b) Tukuyin ang posibilidad na ang tao ay kaliwete.

c) Tukuyin ang posibilidad na ang isang tao ay pantay na matatas sa magkabilang kamay.

d) Karamihan sa mga tournament ng Professional Bowling Association ay limitado sa 120 mga manlalaro. Batay sa data mula sa eksperimentong ito, ilang manlalaro ang maaaring maging kaliwete?

Solusyon

a) Ang bilang ng mga taong kanang kamay ay 82, ang bilang ng mga kaliwete ay 17, at ang bilang ng mga taong parehong matatas sa magkabilang kamay ay 1. Ang kabuuang bilang ng mga obserbasyon ay 100. Kaya, ang posibilidad na ang isang tao ay kanang kamay ay P
P = 82/100, o 0.82, o 82%.

b) Ang posibilidad na ang isang tao ay kaliwete ay P, kung saan
P = 17/100, o 0.17, o 17%.

c) Ang posibilidad na ang isang tao ay pantay na matatas sa magkabilang kamay ay P, kung saan
P = 1/100, o 0.01, o 1%.

d) 120 bowlers, at mula sa (b) maaari nating asahan na 17% ay kaliwete. Mula rito
17% ng 120 = 0.17.120 = 20.4,
iyon ay, maaari nating asahan ang tungkol sa 20 mga manlalaro na kaliwete.

Halimbawa 2 Kontrol sa kalidad . Napakahalaga para sa isang tagagawa na panatilihin ang kalidad ng mga produkto nito sa isang mataas na antas. Sa katunayan, ang mga kumpanya ay kumukuha ng mga quality control inspector upang matiyak ang prosesong ito. Ang layunin ay upang makagawa ng pinakamababang posibleng bilang ng mga may sira na produkto. Ngunit dahil ang kumpanya ay gumagawa ng libu-libong mga produkto araw-araw, hindi nito kayang subukan ang bawat produkto upang matukoy kung ito ay may depekto o hindi. Upang malaman kung anong porsyento ng mga produkto ang may depekto, ang kumpanya ay sumusubok ng mas kaunting mga produkto.
Ang USDA ay nangangailangan na 80% ng mga buto na ibinebenta ng mga grower ay dapat tumubo. Upang matukoy ang kalidad ng mga buto na ginagawa ng isang kumpanyang pang-agrikultura, 500 mga buto mula sa mga ginawa ang itinanim. Pagkatapos nito, nakalkula na 417 na buto ang tumubo.

a) Ano ang posibilidad na tumubo ang binhi?

b) Ang mga binhi ba ay nakakatugon sa mga pamantayan ng pamahalaan?

Solusyon a) Alam natin na sa 500 buto na itinanim, 417 ang umusbong. Ang posibilidad ng pagtubo ng binhi P, at
P = 417/500 = 0.834, o 83.4%.

b) Dahil ang porsyento ng mga buto na tumubo ay lumampas sa 80% kung kinakailangan, ang mga buto ay nakakatugon sa mga pamantayan ng pamahalaan.

Halimbawa 3 Mga rating sa telebisyon. Ayon sa istatistika, mayroong 105,500,000 kabahayan na may mga telebisyon sa Estados Unidos. Bawat linggo, ang impormasyon tungkol sa pagtingin sa mga programa ay kinokolekta at pinoproseso. Sa loob ng isang linggo, 7,815,000 na sambahayan ang nanood sa hit comedy series na "Everybody Loves Raymond" sa CBS at 8,302,000 na sambahayan ang nanood sa hit series na "Law & Order" sa NBC (Source: Nielsen Media Research). Ano ang posibilidad na ang TV ng isang sambahayan ay nakatutok sa "Everybody Loves Raymond" sa isang partikular na linggo sa "Law & Order"?

Solusyon Ang posibilidad na ang TV sa isang sambahayan ay nakatutok sa "Everybody Loves Raymond" ay P, at
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
Ang pagkakataon na ang TV ng sambahayan ay nakatutok sa Law & Order ay P, at
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
Ang mga porsyentong ito ay tinatawag na mga rating.

Teoretikal na posibilidad

Ipagpalagay na nagsasagawa kami ng isang eksperimento, tulad ng paghahagis ng barya o darts, pagguhit ng card mula sa isang deck, o pagsubok ng mga produkto para sa kalidad sa isang linya ng pagpupulong. Ang bawat posibleng resulta ng naturang eksperimento ay tinatawag Exodo . Ang hanay ng lahat ng posibleng resulta ay tinatawag espasyo ng kinalabasan . Kaganapan ito ay isang hanay ng mga kinalabasan, iyon ay, isang subset ng espasyo ng mga kinalabasan.

Halimbawa 4 Paghahagis ng darts. Ipagpalagay na sa isang eksperimento sa paghahagis ng dart, ang isang dart ay tumama sa isang target. Hanapin ang bawat isa sa mga sumusunod:

b) Outcome space

Solusyon
a) Ang mga kinalabasan ay: pagpindot sa itim (B), pagpindot sa pula (R) at pagpindot sa puti (B).

b) Ang espasyo ng mga kinalabasan ay (pagpindot sa itim, pagpindot sa pula, pagtama sa puti), na maaaring isulat lamang bilang (H, K, B).

Halimbawa 5 Paghahagis ng dice. Ang isang die ay isang kubo na may anim na gilid, bawat isa ay may isa hanggang anim na tuldok na nakaguhit dito.

Ipagpalagay na naghahagis tayo ng isang die. Hanapin
a) Mga kinalabasan
b) Outcome space

Solusyon
a) Mga Resulta: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Outcome space (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Tinutukoy namin ang posibilidad na ang isang kaganapan E ay nangyayari bilang P(E). Halimbawa, ang “the coin will land on heads” ay maaaring tukuyin ng H. Pagkatapos ay kinakatawan ng P(H) ang posibilidad na mapunta ang coin sa mga ulo. Kapag ang lahat ng kinalabasan ng isang eksperimento ay may parehong posibilidad na mangyari, sinasabing magkapareho ang posibilidad ng mga ito. Upang makita ang mga pagkakaiba sa pagitan ng mga kaganapang pareho ang posibilidad at mga kaganapang hindi, isaalang-alang ang target na ipinapakita sa ibaba.

Para sa target A, ang mga kaganapan ng pagpindot sa itim, pula at puti ay pantay na posibilidad, dahil pareho ang mga sektor ng itim, pula at puti. Gayunpaman, para sa target B, ang mga zone na may ganitong mga kulay ay hindi pareho, iyon ay, ang pagpindot sa kanila ay hindi pantay na posibilidad.

Prinsipyo P (Teoretikal)

Kung ang isang kaganapan E ay maaaring mangyari sa m paraan sa labas ng n posibleng pantay na posibleng resulta mula sa kinalabasang espasyo S, kung gayon teoretikal na posibilidad mga pangyayari, ang P(E) ay
P(E) = m/n.

Halimbawa 6 Ano ang posibilidad ng pag-roll ng isang die upang makakuha ng 3?

Solusyon Mayroong 6 na pantay na posibleng resulta sa isang dice at isa lamang ang posibilidad na igulong ang numero 3. Kung gayon ang posibilidad na P ay magiging P(3) = 1/6.

Halimbawa 7 Ano ang posibilidad ng pag-roll ng even number sa isang die?

Solusyon Ang kaganapan ay ang paghagis ng kahit na numero. Maaari itong mangyari sa 3 paraan (kung magpapagulong-gulong ka ng 2, 4 o 6). Ang bilang ng pantay na posibleng resulta ay 6. Pagkatapos ang probabilidad P(even) = 3/6, o 1/2.

Gagamit kami ng ilang halimbawa na kinasasangkutan ng karaniwang 52 card deck. Ang deck na ito ay binubuo ng mga card na ipinapakita sa figure sa ibaba.

Halimbawa 8 Ano ang posibilidad ng pagguhit ng Ace mula sa isang mahusay na binasa na deck ng mga baraha?

Solusyon Mayroong 52 na resulta (ang bilang ng mga card sa deck), pareho silang malamang (kung maayos na binasa ang deck), at mayroong 4 na paraan para gumuhit ng Ace, kaya ayon sa prinsipyo ng P, ang posibilidad
P(gumuhit ng alas) = 4/52, o 1/13.

Halimbawa 9 Ipagpalagay na pipiliin natin, nang hindi tumitingin, ng isang bola mula sa isang bag na may 3 pulang bola at 4 na berdeng bola. Ano ang posibilidad ng pagpili ng pulang bola?

Solusyon Mayroong 7 pantay na posibleng resulta ng pagguhit ng anumang bola, at dahil ang bilang ng mga paraan upang gumuhit ng pulang bola ay 3, nakukuha natin
P(pagpili ng pulang bola) = 3/7.

Ang mga sumusunod na pahayag ay mga resulta mula sa Prinsipyo P.

Mga Katangian ng Probability

a) Kung ang kaganapan E ay hindi maaaring mangyari, kung gayon ang P(E) = 0.
b) Kung ang kaganapan E ay tiyak na mangyayari pagkatapos ay P(E) = 1.
c) Ang posibilidad na mangyari ang kaganapang E ay isang numero mula 0 hanggang 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Halimbawa, sa isang coin toss, ang kaganapan na ang barya ay dumapo sa gilid nito ay walang posibilidad. Ang posibilidad na ang isang barya ay alinman sa mga ulo o buntot ay may posibilidad na 1.

Halimbawa 10 Ipagpalagay natin na ang 2 card ay nakuha mula sa isang 52-card deck. Ano ang posibilidad na pareho silang peak?

Solusyon Ang bilang n ng mga paraan upang gumuhit ng 2 card mula sa isang well-shuffled deck ng 52 card ay 52 C 2 . Dahil ang 13 sa 52 na baraha ay mga pala, ang bilang ng mga paraan ng m upang gumuhit ng 2 mga pala ay 13 C 2 . pagkatapos,
P(paghila ng 2 peak)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Halimbawa 11 Ipagpalagay na 3 tao ang pinili nang random mula sa isang grupo ng 6 na lalaki at 4 na babae. Ano ang posibilidad na 1 lalaki at 2 babae ang mapipili?

Solusyon Ang bilang ng mga paraan upang pumili ng tatlong tao mula sa isang grupo ng 10 tao ay 10 C 3. Maaaring piliin ang isang lalaki sa 6 C 1 na paraan, at 2 babae ang maaaring piliin sa 4 C 2 na paraan. Ayon sa pangunahing prinsipyo ng pagbibilang, ang bilang ng mga paraan upang pumili ng 1 lalaki at 2 babae ay 6 C 1. 4 C 2 . Pagkatapos, ang posibilidad na mapili ang 1 lalaki at 2 babae ay
P = 6 C 1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Halimbawa 12 Paghahagis ng dice. Ano ang posibilidad ng paggulong ng kabuuang 8 sa dalawang dice?

Solusyon Ang bawat dice ay may 6 na posibleng resulta. Dinoble ang mga resulta, ibig sabihin mayroong 6.6 o 36 na posibleng paraan kung saan maaaring lumitaw ang mga numero sa dalawang dice. (Mas maganda kung magkaiba ang mga cube, sabihin nating ang isa ay pula at ang isa ay asul - makakatulong ito na makita ang resulta.)

Ang mga pares ng mga numero na nagdaragdag ng hanggang 8 ay ipinapakita sa figure sa ibaba. Mayroong 5 posibleng paraan upang makakuha ng kabuuan na katumbas ng 8, kaya ang posibilidad ay 5/36.

Sa mga gawain ng Unified State Examination sa matematika, mayroon ding mga mas kumplikadong probabilidad na problema (kaysa sa aming isinasaalang-alang sa Bahagi 1), kung saan kailangan naming ilapat ang panuntunan ng karagdagan, pagpaparami ng mga probabilidad, at pagkilala sa pagitan ng magkatugma at hindi magkatugma na mga kaganapan.

Kaya, ang teorya.

Pinagsama at hindi pinagsamang mga kaganapan

Ang mga kaganapan ay tinatawag na hindi magkatugma kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi kasama ang paglitaw ng iba. Ibig sabihin, isang partikular na kaganapan lamang o iba pa ang maaaring mangyari.

Halimbawa, kapag naghahagis ng die, maaari mong makilala ang mga kaganapan tulad ng pagkuha ng pantay na bilang ng mga puntos at pagkuha ng kakaibang bilang ng mga puntos. Ang mga kaganapang ito ay hindi magkatugma.

Ang mga kaganapan ay tinatawag na magkasanib na kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi ibinubukod ang paglitaw ng isa pa.

Halimbawa, kapag naghahagis ng die, maaari mong makilala ang mga kaganapan tulad ng pag-roll ng kakaibang bilang ng mga puntos at pag-roll ng bilang ng mga puntos na isang multiple ng tatlo. Kapag ang isang tatlo ay pinagsama, ang parehong mga kaganapan ay magaganap.

Kabuuan ng mga pangyayari

Ang kabuuan (o kumbinasyon) ng ilang mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga kaganapang ito.

Kung saan kabuuan ng dalawang hindi magkatugmang pangyayari ay ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito:

Halimbawa, ang posibilidad na makakuha ng 5 o 6 na puntos sa isang die na may isang paghagis ay magiging , dahil ang parehong mga kaganapan (paggulong 5, paggulong 6) ay hindi pare-pareho at ang posibilidad ng isa o ang iba pang kaganapan ay kinakalkula bilang mga sumusunod:

Ang posibilidad kabuuan ng dalawang magkasanib na kaganapan katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito nang hindi isinasaalang-alang ang magkasanib na pangyayari:

Halimbawa, sa isang shopping center, dalawang magkaparehong makina ang nagbebenta ng kape. Ang posibilidad na maubusan ng kape ang makina sa pagtatapos ng araw ay 0.3. Ang posibilidad na maubusan ng kape ang parehong makina ay 0.12. Hanapin natin ang posibilidad na sa pagtatapos ng araw ay maubusan ang kape sa hindi bababa sa isa sa mga makina (iyon ay, alinman sa isa, o sa isa pa, o pareho nang sabay-sabay).

Ang posibilidad ng unang kaganapan na "maubos ang kape sa unang makina" pati na rin ang posibilidad ng pangalawang kaganapan na "maubos ang kape sa pangalawang makina" ayon sa kondisyon ay katumbas ng 0.3. Ang mga kaganapan ay nagtutulungan.

Ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng unang dalawang kaganapan ayon sa kondisyon ay 0.12.

Nangangahulugan ito na ang posibilidad na sa pagtatapos ng araw ay maubusan ang kape sa kahit isa sa mga makina ay

Dependent at independiyenteng mga kaganapan

Dalawang random na kaganapan A at B ay tinatawag na independyente kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi nagbabago sa posibilidad ng paglitaw ng isa pa. Kung hindi, ang mga kaganapan A at B ay tinatawag na umaasa.

Halimbawa, kapag ang dalawang dice ay pinagsama nang sabay-sabay, ang isa sa kanila, sabihin nating 1, at ang isa pa, 5, ay mga independiyenteng kaganapan.

Produkto ng mga probabilidad

Ang produkto (o intersection) ng ilang mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo ng magkasanib na paglitaw ng lahat ng mga kaganapang ito.

Kung mangyari ang dalawa mga malayang kaganapan A at B na may mga probabilidad na P(A) at P(B) ayon sa pagkakabanggit, kung gayon ang posibilidad ng paglitaw ng mga kaganapan A at B sa parehong oras ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad:

Halimbawa, interesado kaming makita ang anim na lilitaw sa isang die nang dalawang beses sa isang hilera. Ang parehong mga kaganapan ay independiyente at ang posibilidad ng bawat isa sa kanila ay magaganap nang hiwalay ay . Ang posibilidad na ang parehong mga kaganapang ito ay magaganap ay kakalkulahin gamit ang formula sa itaas: .

Tingnan ang isang seleksyon ng mga gawain para sanayin ang paksa.

Ang probabilidad ay ang antas (relative measure, quantitative assessment) ng posibilidad ng paglitaw ng ilang kaganapan. Kapag ang mga dahilan para sa ilang posibleng kaganapan ay aktwal na naganap kaysa sa kabaligtaran na mga dahilan, kung gayon ang kaganapang ito ay tinatawag na probable, kung hindi - malamang o hindi malamang. Ang pagdami ng mga positibong dahilan kaysa sa mga negatibo, at kabaliktaran, ay maaaring sa iba't ibang antas, bilang resulta kung saan ang posibilidad (at hindi maaaring mangyari) ay maaaring mas malaki o mas maliit. Samakatuwid, ang posibilidad ay madalas na tinatasa sa isang antas ng husay, lalo na sa mga kaso kung saan ang isang mas marami o hindi gaanong tumpak na pagtatasa ng dami ay imposible o napakahirap. Ang iba't ibang gradasyon ng "mga antas" ng posibilidad ay posible.
Ang pag-aaral ng probabilidad mula sa isang mathematical point of view ay bumubuo ng isang espesyal na disiplina - probability theory. Sa probability theory at mathematical statistics, ang konsepto ng probabilidad ay pormal na ginawa bilang isang numerical na katangian ng isang kaganapan - isang probability measure (o ang halaga nito) - isang sukat sa isang set ng mga kaganapan (subsets ng isang set ng elementary event), pagkuha ng mga halaga mula sa
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Ibig sabihin
(\displaystyle 1)
Naaayon sa isang mapagkakatiwalaang kaganapan. Ang isang imposibleng kaganapan ay may posibilidad na 0 (ang kabaligtaran ay karaniwang hindi palaging totoo). Kung ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap ay katumbas ng
(\displaystyle p)
Kung gayon ang posibilidad na hindi ito mangyari ay katumbas ng
(\displaystyle 1-p)
Sa partikular, ang posibilidad
(\displaystyle 1/2)
Nangangahulugan ng pantay na posibilidad ng paglitaw at hindi paglitaw ng isang kaganapan.
Ang klasikong kahulugan ng probabilidad ay batay sa konsepto ng pantay na posibilidad ng mga resulta. Ang probabilidad ay ang ratio ng bilang ng mga resultang paborable para sa isang naibigay na kaganapan sa kabuuang bilang ng pantay na posibleng mga resulta. Halimbawa, ang posibilidad na makakuha ng mga ulo o buntot sa isang random na coin toss ay 1/2 kung ito ay ipinapalagay na ang dalawang posibilidad lamang na ito ay nangyayari at na sila ay pantay na posible. Ang klasikal na "kahulugan" ng posibilidad na ito ay maaaring pangkalahatan sa kaso ng isang walang katapusang bilang ng mga posibleng halaga - halimbawa, kung ang ilang kaganapan ay maaaring mangyari na may pantay na posibilidad sa anumang punto (ang bilang ng mga puntos ay walang katapusan) ng ilang limitadong rehiyon ng espasyo (eroplano), kung gayon ang posibilidad na mangyari ito sa ilang bahagi ng rehiyong ito ay katumbas ng ratio ng volume (lugar) ng bahaging ito sa dami (lugar) ng rehiyon ng lahat ng posibleng mga punto.
Ang empirical na "depinisyon" ng probabilidad ay nauugnay sa dalas ng isang kaganapan, batay sa katotohanan na may sapat na malaking bilang ng mga pagsubok, ang dalas ay dapat na may posibilidad sa layunin na antas ng posibilidad ng kaganapang ito. Sa modernong pagtatanghal ng probability theory, ang probabilidad ay tinukoy ng axiomatically, bilang isang espesyal na kaso ng abstract theory ng set measure. Gayunpaman, ang nag-uugnay na link sa pagitan ng abstract na sukat at ang posibilidad, na nagpapahayag ng antas ng posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap, ay tiyak ang dalas ng pagmamasid nito.
Ang probabilistic na paglalarawan ng ilang mga phenomena ay naging laganap sa modernong agham, lalo na sa econometrics, statistical physics ng macroscopic (thermodynamic) system, kung saan kahit na sa kaso ng isang klasikal na deterministikong paglalarawan ng paggalaw ng mga particle, isang deterministikong paglalarawan ng buong sistema. ng mga particle ay tila halos hindi posible o angkop. Sa quantum physics, ang mga prosesong inilarawan ay probabilistic sa kanilang sarili.

Ano ang posibilidad?

Sa unang pagkakataon na nakatagpo ako ng terminong ito, hindi ko naiintindihan kung ano ito. Samakatuwid, susubukan kong ipaliwanag nang malinaw.

Ang probabilidad ay ang pagkakataon na mangyari ang kaganapang gusto natin.

Halimbawa, nagpasya kang pumunta sa bahay ng isang kaibigan, naaalala mo ang pasukan at maging ang sahig kung saan siya nakatira. Ngunit nakalimutan ko ang numero at lokasyon ng apartment. At ngayon ay nakatayo ka sa hagdanan, at sa harap mo ay may mga pintuan na mapagpipilian.

Ano ang pagkakataon (probability) na kung mag-doorbell ka sa unang pagkakataon, sasagutin ka ng kaibigan mo? Mayroon lamang mga apartment, at ang isang kaibigan ay nakatira lamang sa likod ng isa sa kanila. Sa pantay na pagkakataon maaari tayong pumili ng anumang pinto.

Ngunit ano ang pagkakataong ito?

Ang pinto, ang kanang pinto. Ang posibilidad ng paghula sa pamamagitan ng pag-ring sa unang doorbell: . Ibig sabihin, isang beses sa tatlo ay tumpak mong mahulaan.

Nais naming malaman, nang tumawag nang isang beses, gaano kadalas namin mahulaan ang pinto? Tingnan natin ang lahat ng mga pagpipilian:

Tumawag ka 1st pinto
Tumawag ka ika-2 pinto
Tumawag ka ika-3 pinto

Ngayon tingnan natin ang lahat ng mga opsyon kung saan ang isang kaibigan ay maaaring:

A. Sa likod 1st ang pintuan
b. Sa likod ika-2 ang pintuan
V. Sa likod ika-3 ang pintuan

Ihambing natin ang lahat ng mga opsyon sa anyo ng talahanayan. Ang isang tik ay nagpapahiwatig ng mga pagpipilian kapag ang iyong pinili ay nag-tutugma sa lokasyon ng isang kaibigan, isang krus - kapag hindi ito tumugma.

Paano mo nakikita ang lahat Siguro mga pagpipilian lokasyon ng iyong kaibigan at ang iyong pagpili kung aling pinto ang tatawagan.

A kanais-nais na kinalabasan ng lahat . Iyon ay, hulaan mo nang isang beses sa pamamagitan ng pag-ring ng doorbell nang isang beses, i.e. .

Ito ay probabilidad - ang ratio ng isang kanais-nais na kinalabasan (kapag ang iyong pinili ay tumutugma sa lokasyon ng iyong kaibigan) sa bilang ng mga posibleng kaganapan.

Ang kahulugan ay ang formula. Ang posibilidad ay karaniwang tinutukoy ng p, samakatuwid:

Ito ay hindi masyadong maginhawa upang magsulat ng gayong pormula, kaya kukuha kami para sa - ang bilang ng mga kanais-nais na resulta, at para sa - ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan.

Ang posibilidad ay maaaring isulat bilang isang porsyento;

Ang salitang "mga kinalabasan" ay malamang na nakakuha ng iyong mata. Dahil tinawag ng mga mathematician ang iba't ibang mga aksyon (sa aming kaso, ang naturang aksyon ay isang doorbell) na mga eksperimento, ang resulta ng naturang mga eksperimento ay karaniwang tinatawag na kinalabasan.

Well, may mga kanais-nais at hindi kanais-nais na mga resulta.

Bumalik tayo sa ating halimbawa. Sabihin nating pinindot namin ang isa sa mga pinto, ngunit isang estranghero ang nagbukas nito para sa amin. Hindi tama ang hula namin. Ano ang posibilidad na kung tatawagin natin ang isa sa mga natitirang pinto, bubuksan ito ng ating kaibigan para sa atin?

Kung naisip mo iyon, kung gayon ito ay isang pagkakamali. Alamin natin ito.

Mayroon kaming dalawang pinto na natitira. Kaya mayroon kaming mga posibleng hakbang:

1) Tumawag 1st pinto
2) Tumawag ika-2 pinto

Ang kaibigan, sa kabila ng lahat ng ito, ay talagang nasa likod ng isa sa kanila (pagkatapos ng lahat, hindi siya nasa likod ng tinawag namin):

a) Kaibigan para sa 1st ang pintuan
b) Kaibigan para sa ika-2 ang pintuan

Iguhit natin muli ang talahanayan:

Tulad ng nakikita mo, mayroon lamang mga pagpipilian, na kung saan ay kanais-nais. Ibig sabihin, pantay ang posibilidad.

Bakit hindi?

Ang sitwasyon na aming isinasaalang-alang ay halimbawa ng mga nakadependeng pangyayari. Ang unang kaganapan ay ang unang doorbell, ang pangalawang kaganapan ay ang pangalawang doorbell.

At tinawag silang umaasa dahil naiimpluwensyahan nila ang mga sumusunod na aksyon. Pagkatapos ng lahat, kung pagkatapos ng unang ring ang doorbell ay sinagot ng isang kaibigan, ano ang posibilidad na siya ay nasa likod ng isa sa dalawa pa? Tama, .

Pero kung may mga dependent na pangyayari, dapat meron din malaya? Tama, nangyayari ang mga ito.

Ang isang halimbawa ng aklat-aralin ay ang paghagis ng barya.

Maghagis ng barya nang isang beses. Ano ang posibilidad na magkaroon ng mga ulo, halimbawa? Iyan ay tama - dahil mayroong lahat ng mga pagpipilian (alinman sa mga ulo o buntot, pabayaan natin ang posibilidad ng paglapag ng barya sa gilid nito), ngunit ito ay nababagay lamang sa atin.
Ngunit ito ay dumating sa ulo. Okay, itapon natin ulit. Ano ang posibilidad na magkaroon ng mga ulo ngayon? Walang nagbago, lahat ay pareho. Gaano karaming mga pagpipilian? Dalawa. Ilan tayo masaya? Isa.

At hayaan itong lumabas sa ulo kahit isang libong beses sa isang hilera. Magiging pareho ang posibilidad na makakuha ng mga ulo nang sabay-sabay. Palaging may mga pagpipilian, at mga paborable.

Madaling makilala ang mga nakasalalay na kaganapan mula sa mga independyente:

Kung ang eksperimento ay isinasagawa nang isang beses (naghagis sila ng barya nang isang beses, nag-ring ng doorbell nang isang beses, atbp.), Kung gayon ang mga kaganapan ay palaging independyente.
Kung ang isang eksperimento ay isinasagawa ng maraming beses (isang barya ay itinapon nang isang beses, ang doorbell ay tumunog nang maraming beses), kung gayon ang unang kaganapan ay palaging independyente. At pagkatapos, kung ang bilang ng mga kanais-nais o ang bilang ng lahat ng mga kinalabasan ay nagbabago, kung gayon ang mga kaganapan ay nakasalalay, at kung hindi, sila ay independyente.

Magsanay tayo ng kaunti sa pagtukoy ng posibilidad.

Halimbawa 1.

Ang barya ay inihagis ng dalawang beses. Ano ang posibilidad na makakuha ng mga ulo nang dalawang beses sa isang hilera?

Solusyon:

Isaalang-alang natin ang lahat ng posibleng opsyon:

Agila-agila
Ulo-buntot
Tails-Heads
Tails-tails

Tulad ng nakikita mo, mayroon lamang mga pagpipilian. Sa mga ito kami ay nasisiyahan lamang. Iyon ay, ang posibilidad:

Kung hinihiling lamang sa iyo ng kundisyon na hanapin ang probabilidad, kung gayon ang sagot ay dapat ibigay sa anyo ng isang decimal fraction. Kung tinukoy na ang sagot ay dapat ibigay bilang isang porsyento, kung gayon kami ay magpaparami ng.

Sagot:

Halimbawa 2.

Sa isang kahon ng mga tsokolate, lahat ng mga tsokolate ay nakabalot sa parehong balot. Gayunpaman, mula sa mga matamis - na may mga mani, may cognac, may seresa, may karamelo at may nougat.

Ano ang posibilidad na kumuha ng isang kendi at makakuha ng kendi na may mga mani? Ibigay ang iyong sagot bilang porsyento.

Solusyon:

Ilang posibleng resulta ang mayroon? .

Iyon ay, kung kukuha ka ng isang kendi, ito ay isa sa mga magagamit sa kahon.

Gaano karaming mga kanais-nais na resulta?

Dahil ang kahon ay naglalaman lamang ng mga tsokolate na may mga mani.

Sagot:

Halimbawa 3.

Sa isang kahon ng mga lobo. kung saan ay puti at itim.

Ano ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola?
Nagdagdag kami ng higit pang mga itim na bola sa kahon. Ano ngayon ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola?

Solusyon:

a) May lamang mga bola sa kahon. Sa kanila ay puti.

Ang posibilidad ay:

b) Ngayon ay may mas maraming bola sa kahon. At ang daming puti na natitira - .

Sagot:

Kabuuang posibilidad

Ang posibilidad ng lahat ng posibleng kaganapan ay katumbas ng ().

Sabihin nating mayroong pula at berdeng mga bola sa isang kahon. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng pulang bola? Berdeng bola? Pula o berdeng bola?

Ang posibilidad ng pagguhit ng pulang bola

berdeng bola:

Pula o berdeng bola:

Gaya ng nakikita mo, ang kabuuan ng lahat ng posibleng kaganapan ay katumbas ng (). Ang pag-unawa sa puntong ito ay makakatulong sa iyong malutas ang maraming problema.

Halimbawa 4.

May mga marker sa kahon: berde, pula, asul, dilaw, itim.

Ano ang posibilidad ng pagguhit ng HINDI isang pulang marker?

Solusyon:

Bilangin natin ang bilang kanais-nais na mga resulta.

HINDI pulang marker, ibig sabihin ay berde, asul, dilaw o itim.

Probability ng lahat ng pangyayari. At ang posibilidad ng mga kaganapan na itinuturing naming hindi kanais-nais (kapag naglabas kami ng pulang marker) ay .

Kaya, ang posibilidad na mabunot ang isang NOT red felt-tip pen ay .

Sagot:

Ang posibilidad na hindi mangyari ang isang kaganapan ay katumbas ng minus ang posibilidad na mangyari ang kaganapan.

Panuntunan para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan

Alam mo na kung ano ang mga independent na kaganapan.

Paano kung kailangan mong hanapin ang posibilidad na magkasunod na magaganap ang dalawa (o higit pang) independyenteng mga kaganapan?

Sabihin nating gusto nating malaman kung ano ang posibilidad na kung magpitik tayo ng barya ng isang beses, dalawang beses tayong makakakita ng mga ulo?

Napag-isipan na namin - .

Paano kung maghagis tayo ng barya minsan? Ano ang posibilidad na makakita ng agila ng dalawang beses na magkasunod?

Kabuuang posibleng mga opsyon:

Agila-agila-agila
Ulo-ulo-buntot
Ulo-buntot-ulo
Ulo-buntot-buntot
Mga buntot-ulo-ulo
Mga buntot-ulo-buntot
Mga buntot-buntot-ulo
Tails-tails-tails

Hindi ko alam ang tungkol sa iyo, ngunit nagkamali ako nang ilang beses sa pag-compile ng listahang ito. Wow! At tanging pagpipilian (una) ang nababagay sa amin.

Para sa 5 throws, maaari kang gumawa ng isang listahan ng mga posibleng resulta sa iyong sarili. Ngunit ang mga mathematician ay hindi kasing sipag mo.

Samakatuwid, una nilang napansin at pagkatapos ay pinatunayan na ang posibilidad ng isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng kaganapan sa bawat oras ay bumababa ng posibilidad ng isang kaganapan.

Sa ibang salita,

Tingnan natin ang halimbawa ng parehong masamang barya.

Posibilidad ng pagkuha ng mga ulo sa isang hamon? . Ngayon ay i-flip namin ang barya nang isang beses.

Ano ang posibilidad na makakuha ng mga ulo sa isang hilera?

Ang panuntunang ito ay hindi lamang gagana kung hihilingin sa amin na hanapin ang posibilidad na ang parehong kaganapan ay mangyayari nang maraming beses nang magkakasunod.

Kung gusto naming hanapin ang sequence na TAILS-HEADS-TAILS para sa magkakasunod na tosses, gagawin namin ang parehong.

Ang posibilidad ng mga landing head ay - , heads - .

Ang posibilidad na makuha ang sequence TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Maaari mong suriin ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng paggawa ng isang talahanayan.

Ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan.

Kaya tumigil ka na! Bagong kahulugan.

Alamin natin ito. Kunin natin ang ating sira-sirang barya at ihagis ito ng isang beses.
Mga posibleng opsyon:

Agila-agila-agila
Ulo-ulo-buntot
Ulo-buntot-ulo
Ulo-buntot-buntot
Mga buntot-ulo-ulo
Mga buntot-ulo-buntot
Mga buntot-buntot-ulo
Tails-tails-tails

Kaya, ang mga hindi tugmang kaganapan ay isang tiyak, ibinigay na pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan. - ito ay hindi magkatugma na mga kaganapan.

Kung gusto naming matukoy kung ano ang posibilidad ng dalawa (o higit pa) na hindi magkatugma na mga kaganapan, pagkatapos ay idagdag namin ang mga probabilidad ng mga kaganapang ito.

Kailangan mong maunawaan na ang mga ulo o buntot ay dalawang malayang kaganapan.

Kung gusto naming matukoy ang posibilidad ng isang sequence (o anumang iba pa) na nagaganap, pagkatapos ay ginagamit namin ang panuntunan ng multiplying probabilities.
Ano ang posibilidad na makakuha ng mga ulo sa unang paghagis, at mga buntot sa pangalawa at pangatlong paghagis?

Ngunit kung gusto nating malaman kung ano ang posibilidad na makakuha ng isa sa ilang mga pagkakasunud-sunod, halimbawa, kapag ang mga ulo ay dumating nang eksaktong isang beses, i.e. mga opsyon at, pagkatapos ay dapat nating dagdagan ang mga probabilidad ng mga sequence na ito.

Ang kabuuang mga pagpipilian ay angkop sa amin.

Makukuha natin ang parehong bagay sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng paglitaw ng bawat sequence:

Kaya, nagdaragdag kami ng mga probabilidad kapag gusto naming matukoy ang posibilidad ng ilang, hindi pare-pareho, pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan.

Mayroong isang mahusay na panuntunan upang matulungan kang maiwasang malito kung kailan dapat dumami at kung kailan magdagdag:

Bumalik tayo sa halimbawa kung saan naghagis tayo ng barya minsan at gustong malaman ang posibilidad na makakita ng mga ulo nang isang beses.
Ano kaya ang mangyayari?

Dapat mahulog:
(mga ulo AT buntot AT buntot) O (buntot AT ulo AT buntot) O (buntot AT buntot AT ulo).
Ganito ang lalabas:

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 5.

May mga lapis sa kahon. pula, berde, orange at dilaw at itim. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng pula o berdeng lapis?

Solusyon:

Ano kaya ang mangyayari? Kailangan nating hilahin (pula O berde).

Ngayon ay malinaw na, dagdagan natin ang mga probabilidad ng mga kaganapang ito:

Sagot:

Halimbawa 6.

Kung ang isang die ay itinapon ng dalawang beses, ano ang posibilidad na makakuha ng kabuuang 8?

Solusyon.

Paano tayo makakakuha ng mga puntos?

(at) o (at) o (at) o (at) o (at).

Ang posibilidad na makakuha ng isa (anumang) mukha ay .

Kinakalkula namin ang posibilidad:

Sagot:

Pagsasanay.

Sa tingin ko ngayon ay naiintindihan mo na kung kailan mo kailangang kalkulahin ang mga probabilidad, kung kailan idaragdag ang mga ito, at kung kailan dapat i-multiply ang mga ito. Hindi ba? Magsanay tayo ng kaunti.

Mga gawain:

Kumuha tayo ng card deck na naglalaman ng mga card kabilang ang mga spade, puso, 13 club at 13 diamante. Mula hanggang Ace ng bawat suit.

Ano ang posibilidad ng pagguhit ng mga club sa isang hilera (inilagay namin ang unang card na nakuha pabalik sa deck at i-shuffle ito)?
Ano ang posibilidad ng pagguhit ng isang itim na kard (mga pala o club)?
Ano ang posibilidad ng pagguhit ng isang larawan (jack, queen, king o ace)?
Ano ang posibilidad ng pagguhit ng dalawang larawan sa isang hilera (inaalis namin ang unang card na iginuhit mula sa deck)?
Ano ang posibilidad, pagkuha ng dalawang card, upang mangolekta ng isang kumbinasyon - (jack, queen o king) at isang ace Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga card ay iginuhit ay hindi mahalaga.

Mga sagot:

Sa isang deck ng mga card ng bawat halaga, ang ibig sabihin nito ay:
Nakasalalay ang mga kaganapan, dahil pagkatapos ma-pull out ang unang card, bumaba ang bilang ng mga card sa deck (tulad ng bilang ng "mga larawan"). Mayroong kabuuang mga jack, reyna, hari at ace sa deck sa simula, na nangangahulugang ang posibilidad ng pagguhit ng "larawan" gamit ang unang card:
Dahil inalis namin ang unang card mula sa deck, nangangahulugan ito na mayroon nang mga card na natitira sa deck, kasama ang mga larawan. Ang posibilidad ng pagguhit ng isang larawan gamit ang pangalawang card:
Dahil interesado tayo sa sitwasyon kapag kumuha tayo ng "larawan" AT "larawan" mula sa deck, kailangan nating i-multiply ang mga probabilidad:
Sagot:
Pagkatapos ma-pull out ang unang card, bababa ang bilang ng mga card sa deck Kaya, nababagay sa amin ang dalawang opsyon:
1) Ang unang card ay Ace, ang pangalawa ay Jack, Queen o King
2) Kumuha kami ng jack, queen o king gamit ang unang card, at isang ace kasama ang pangalawa. (ace at (jack o reyna o hari)) o ((jack o reyna o hari) at alas). Huwag kalimutan ang tungkol sa pagbabawas ng bilang ng mga card sa deck!

Kung nagawa mong lutasin ang lahat ng mga problema sa iyong sarili, kung gayon ikaw ay mahusay! Ngayon ikaw ay pumutok probability theory problema sa Unified State Exam tulad ng mga mani!

TEORYANG PROBABILIDAD. AVERAGE LEVEL

Tingnan natin ang isang halimbawa. Sabihin nating magtapon tayo ng die. Anong klaseng buto ito, alam mo ba? Ito ang tinatawag nilang cube na may mga numero sa mukha. Ilang mukha, napakaraming numero: mula hanggang ilan? dati.

Kaya namin roll ang dice at gusto namin ito upang makabuo o. At nakukuha namin ito.

Sa probability theory sinasabi nila kung ano ang nangyari mapalad na kaganapan(hindi dapat ipagkamali sa maunlad).

Kung nangyari ito, magiging pabor din ang kaganapan. Sa kabuuan, dalawang paborableng kaganapan lamang ang maaaring mangyari.

Ilan ang hindi pabor? Dahil may kabuuang posibleng mga kaganapan, nangangahulugan ito na ang mga hindi kanais-nais ay mga kaganapan (ito ay kung o bumagsak).

Kahulugan:

Ang probabilidad ay ang ratio ng bilang ng mga paborableng kaganapan sa bilang ng lahat ng posibleng kaganapan. Ibig sabihin, ipinapakita ng probabilidad kung anong proporsyon ng lahat ng posibleng kaganapan ang paborable.

Tinutukoy nila ang posibilidad na may isang Latin na titik (tila mula sa salitang Ingles na probability - probability).

Nakaugalian na sukatin ang probabilidad bilang isang porsyento (tingnan ang mga paksa at). Upang gawin ito, ang halaga ng posibilidad ay dapat na i-multiply sa. Sa halimbawa ng dice, probability.

At sa porsyento: .

Mga halimbawa (magpasya para sa iyong sarili):

Ano ang posibilidad na makakuha ng mga ulo kapag naghagis ng barya? Ano ang posibilidad ng mga landing head?
Ano ang posibilidad na makakuha ng even number kapag naghagis ng die? At alin ang kakaiba?
Sa isang kahon ng simple, asul at pulang lapis. Gumuhit kami ng isang lapis nang random. Ano ang posibilidad na makakuha ng isang simple?

Mga solusyon:

Gaano karaming mga pagpipilian ang mayroon? Mga ulo at buntot - dalawa lang. Ilan sa kanila ang paborable? Isa lang ang agila. Kaya ang posibilidad
Ito ay pareho sa mga buntot: .
Kabuuang mga pagpipilian: (kung gaano karaming mga gilid ang kubo, napakaraming iba't ibang mga pagpipilian). Mga kanais-nais: (lahat ito ay mga even na numero:).
Probability. Siyempre, pareho ito sa mga kakaibang numero.
Kabuuan: . Kanais-nais: . Probability: .

Kabuuang posibilidad

Ang lahat ng mga lapis sa kahon ay berde. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng pulang lapis? Walang mga pagkakataon: posibilidad (pagkatapos ng lahat, kanais-nais na mga kaganapan -).

Ang ganitong pangyayari ay tinatawag na imposible.

Ano ang posibilidad ng pagguhit ng berdeng lapis? May eksaktong kaparehong bilang ng mga paborableng kaganapan gaya ng mga kabuuang kaganapan (lahat ng mga kaganapan ay paborable). Kaya ang posibilidad ay katumbas ng o.

Ang ganitong kaganapan ay tinatawag na maaasahan.

Kung ang isang kahon ay naglalaman ng berde at pulang lapis, ano ang posibilidad ng pagguhit ng berde o pula? Muli pa. Tandaan natin ito: ang posibilidad na mabunot ang berde ay pantay, at ang pula ay pantay.

Sa kabuuan, ang mga probabilidad na ito ay eksaktong pantay. Yan ay, ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng posibleng pangyayari ay katumbas ng o.

Halimbawa:

Sa isang kahon ng mga lapis, kabilang sa mga ito ay asul, pula, berde, payak, dilaw, at ang iba ay orange. Ano ang posibilidad ng hindi pagguhit ng berde?

Solusyon:

Naaalala namin na ang lahat ng mga probabilidad ay nagdaragdag. At ang posibilidad ng pagiging berde ay pantay. Nangangahulugan ito na ang posibilidad ng hindi pagguhit ng berde ay pantay.

Tandaan ang trick na ito: ang posibilidad na hindi mangyari ang isang kaganapan ay katumbas ng minus ang posibilidad na mangyari ang kaganapan.

Mga independiyenteng kaganapan at ang panuntunan sa pagpaparami

I-flip mo ang isang barya nang isang beses at gusto mong lumabas ito nang dalawang beses. Ano ang posibilidad nito?

Suriin natin ang lahat ng posibleng opsyon at tukuyin kung ilan ang mayroon:

Ulo-Ulo, Buntot-Ulo, Ulo-buntot, Buntot-buntot. Ano pa?

Kabuuang mga pagpipilian. Sa mga ito, isa lang ang nababagay sa atin: Eagle-Eagle. Sa kabuuan, ang posibilidad ay pantay.

ayos lang. Ngayon, i-flip natin ang isang barya nang isang beses. Gawin ang matematika sa iyong sarili. Nangyari? (sagot).

Maaaring napansin mo na sa pagdaragdag ng bawat kasunod na paghagis, ang posibilidad ay nababawasan ng kalahati. Ang pangkalahatang tuntunin ay tinatawag tuntunin sa pagpaparami:

Ang mga posibilidad ng mga independiyenteng kaganapan ay nagbabago.

Ano ang mga malayang kaganapan? Ang lahat ay lohikal: ito ang mga hindi umaasa sa isa't isa. Halimbawa, kapag naghagis tayo ng barya nang maraming beses, sa bawat oras na may gagawing bagong paghagis, ang resulta nito ay hindi nakasalalay sa lahat ng nakaraang paghagis. Madali nating ihagis ang dalawang magkaibang barya nang sabay.

Higit pang mga halimbawa:

Ang dice ay itinapon ng dalawang beses. Ano ang posibilidad na lalabas ito sa dalawang beses?
Ang barya ay inihagis nang isang beses. Ano ang posibilidad na ito ay lalabas sa unang pagkakataon, at pagkatapos ay dalawang beses na buntot?
Ang manlalaro ay nagpapagulong ng dalawang dice. Ano ang posibilidad na ang kabuuan ng mga numero sa kanila ay magiging pantay?

Mga sagot:

Ang mga kaganapan ay independyente, na nangangahulugang gumagana ang panuntunan sa pagpaparami: .
Ang posibilidad ng mga ulo ay pantay. Ang posibilidad ng mga buntot ay pareho. Multiply:
12 ay maaari lamang makuha kung ang dalawang -ki ay pinagsama: .

Mga hindi tugmang kaganapan at ang panuntunan sa pagdaragdag

Ang mga kaganapan na umakma sa isa't isa hanggang sa punto ng buong posibilidad ay tinatawag na hindi magkatugma. Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, hindi sila maaaring mangyari nang sabay-sabay. Halimbawa, kung i-flip natin ang isang barya, maaari itong lumabas sa ulo o buntot.

Halimbawa.

Sa isang kahon ng mga lapis, kabilang sa mga ito ay asul, pula, berde, payak, dilaw, at ang iba ay orange. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng berde o pula?

Solusyon .

Ang posibilidad ng pagguhit ng berdeng lapis ay pantay. Pula - .

Mga kanais-nais na kaganapan sa lahat: berde + pula. Nangangahulugan ito na ang posibilidad ng pagguhit ng berde o pula ay pantay.

Ang parehong posibilidad ay maaaring katawanin sa form na ito: .

Ito ang panuntunan sa pagdaragdag: ang mga posibilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay nagdaragdag.

Mga problema sa magkahalong uri

Halimbawa.

Ang barya ay inihagis ng dalawang beses. Ano ang posibilidad na mag-iba ang mga resulta ng mga rolyo?

Solusyon .

Nangangahulugan ito na kung ang unang resulta ay mga ulo, ang pangalawa ay dapat na mga buntot, at kabaliktaran. Lumalabas na mayroong dalawang pares ng mga independiyenteng kaganapan, at ang mga pares na ito ay hindi tugma sa isa't isa. Paano hindi malito kung saan dadami at kung saan idadagdag.

Mayroong isang simpleng tuntunin para sa mga ganitong sitwasyon. Subukang ilarawan kung ano ang mangyayari gamit ang mga pang-ugnay na "AT" o "O". Halimbawa, sa kasong ito:

Dapat lumabas (mga ulo at buntot) o (mga buntot at mga ulo).

Kung saan mayroong isang pangatnig na "at" magkakaroon ng pagpaparami, at kung saan mayroong "o" ay magkakaroon ng karagdagan:

Subukan ito sa iyong sarili:

Ano ang posibilidad na kung ang isang barya ay ihagis ng dalawang beses, ang barya ay makalapag sa magkabilang panig nang dalawang beses?
Ang dice ay itinapon ng dalawang beses. Ano ang posibilidad na makakuha ng kabuuang puntos?

Mga solusyon:

(Nahulog ang mga ulo at nahulog ang mga buntot) o (bumagsak ang mga buntot at nahulog ang mga buntot): .
Ano ang mga pagpipilian? At. Pagkatapos:
Nahulog (at) o (at) o (at): .

Isa pang halimbawa:

Maghagis ng barya nang isang beses. Ano ang posibilidad na lumitaw ang mga ulo kahit isang beses?

Solusyon:

Oh, ayaw kong dumaan sa mga pagpipilian... Heads-tails-tails, Eagle-heads-tails,... Ngunit hindi na kailangan! Tandaan natin ang tungkol sa kabuuang posibilidad. Naaalala mo ba? Ano ang posibilidad na ang agila hinding-hindi mahuhulog? Ito ay simple: ang mga ulo ay lumilipad sa lahat ng oras, iyon ang dahilan kung bakit.

TEORYANG PROBABILIDAD. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Ang probabilidad ay ang ratio ng bilang ng mga paborableng kaganapan sa bilang ng lahat ng posibleng kaganapan.

Mga malayang kaganapan

Ang dalawang kaganapan ay independyente kung ang paglitaw ng isa ay hindi nagbabago sa posibilidad ng isa pang naganap.

Kabuuang posibilidad

Ang posibilidad ng lahat ng posibleng kaganapan ay katumbas ng ().

Ang posibilidad na hindi mangyari ang isang kaganapan ay katumbas ng minus ang posibilidad na mangyari ang kaganapan.

Panuntunan para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan

Ang posibilidad ng isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng bawat kaganapan

Mga pangyayaring hindi magkatugma

Ang mga hindi tugmang kaganapan ay ang mga hindi posibleng mangyari nang sabay-sabay bilang resulta ng isang eksperimento. Ang isang bilang ng mga hindi tugmang kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan.

Ang mga posibilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay nagdaragdag.

Matapos ilarawan kung ano ang dapat mangyari gamit ang mga pang-ugnay na "AT" o "O", sa halip na "AT" ay naglalagay kami ng multiplication sign, at sa halip na "OR" ay naglalagay kami ng isang karagdagan na palatandaan.

Maging isang YouClever student,

Maghanda para sa Unified State Exam o Unified State Exam sa matematika,

At makakuha din ng access sa YouClever textbook nang walang mga paghihigpit...